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PROBLEMA 12.- Todas las barras de la celosíarepresentada
en la figura tienen el mismo módulo de elasticidad E y el
mismo area A en su sección transversal. Teniendoen cuenta los
orados de libertad indicados en la fioura, se pide:
a.- Las. matrices de 'rigidez en coordenadas globales de
cada una de las barras; así como, partiendo de ellas, la
matriz de rigidez de la estructura.
b.- La matriz de rigidez de laestructura a partir de las
fuerzas Que generan las funciones de forma correspondientes a
1.
1 ibert"ad.cada uno de
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Soluci6n:
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138
b) Sumando todos los coeficientes de las matrices elementales
del apartado anterior, teniendo en cuenta su fila y columna
globales se obtiene:
1 3 4 s 62
EAK ; -'" L
c) Cada columna se obtendrá como el trabajo virtual de las
fuerzas que generan una deformada multinlicada por todas.
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.----------------PROBLEMA 12.- Calcular los movimientos en el nudo A, así comolos esfuerzos en las barras de la estructura representada.
en lafigura, si además de la carga que se indica, la barra AC sufre unenfriamiento de 30 2C. Datos:
Barra AC de sección variablecon un area en el extremo e de 4.-cm2, de 12.- cm2 en el extremo A y con variación lineal entreambos extremos.Barras AB y AD: A = 6.- cm2P = 30.- TE = 2*10" kg/cm2a = 2*10-5 2C-1
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f PROBLEMA 12.- Calcular los movimientos de todos losnudos
y los esfuerzos en todas las barras de la estructura simétrica
representada en la figura, cuando las barras"
b, e, f', Q
sufren un aumento de temperatura de 30 2C.
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-
543
PROBLEMA~
NQ
Dada la estructura de la figura 4.6 aniculada y con el estado de S1JS-
tentaci~n y cargas que se indica.
Hn dA
- Fig.1..6-
CALCULAR:
-Clasificar la estructura a panir de C (matriz de conexión)
-Esfuerzos en barras'y movimientos de los nudos
RESOLUCION
!El primer paso es enumerar I~s nudos iy las barras (Sig. 4.7).
Nótese que los nudos C y D son nudos CERO, pues soh fijos.
3 Tn A
e
d
e
bB
!' Tn
- Fig.4.7Clasificaci6n de la estructura a partir de e
[0.8
Ta k Te k0,6
-0.6]0.8
'.
T .kC e-:J
. ,Tb e Td k[ : :]
..- - 0.'-
Luego la matriz de conexión e, será:
a b e d e
0,8 O O -1 OA
0,6 O 1 O Oe e
O 1 O O -0,8B
O O -1 O -0,6
-) 0,8 O O -1 O 4000 0,8 0,6 O O
0,6 O 1 O O 5000 n O O 1 OK'e K
O 1 O O -0,8 6667 O 1 O -1
O O -1 0-0.,6 ¡¡ 5000 -1 O O O
4000 O O ':'0,8 -O,
7560 1920 O O
1920 8107 O -6667e
OO 756") ,1920
O -6667 1920 8107'
(que por supuesto es simétrica)
{
544
Luego al ser e rectangular (n) N) implicará que es HIPERESTATICA
DE GRADO UNO.
Calculo de movimientos en los nudos A y B
Al ser la estructura hiperestática, el cálculo lo haremos a través de
la matriz de rigidez K'
Sabemos que: P' ~ KI dI
Como conocemos la matriz. C, calculare..mos
guiente forma:
la matriz K' de la ,sj-
K' = C K ctbarras
','
"~".rj'
1,
ji' .
I¡
PI:
3
(""1920 O
-,,,:
]
uA
O 1920 8107 O vA=
O O O 7560 1920 uB
-4 , O -6667 1920 8107 vB
Resolviendo el sistema., nos queda
Formemos el sistema P '. = K' d' que en forma mauicial será:
,1f!Ji'
';;';'"
""'~S{:f'..!.l~~:,.j,'..J.,-~..
~' I'--.¡r.::;
~(;t"-~-:-
~~.r."¿.~.~:::!o,..,".""~
.;,..-
""-:::.1"':~,-",.
1
u = 1 003 .10-3 m,A '
vA =-2,388.10-3 m
-3
~
uB = 0,664.10
-3vB =-2,615.10
(moyimientos de los nudos A Y B)
m
m
Esfuerzos en las barras (Por supuesto solo hay axites)
.,o',\
P2 = KZl dI .. K22 dl (ecuación de estado)o,
:..~
"'.'~
P2a ~ K21a dla.. K22a d2a = K22a T: dZa . K22a T~ dA =
"
(Nótese que dlacO pues el extremo 1 de 'la ba;ra a es fijo)
= [4000
O°][
0,8
° -0,6
0,6] 11,003 ~
0,8 -2,388 \10-3 = r:,52~
(componente según x)
(componente según y)
Luego N = -2,52 Tna
(según eje x)
P2c = K21c dlc.. K12c dlc = kl1c -rc. dic .. k12c -rc dzc &
= K21c -r .d' ..
c B K22c T~ dA =
r
( I
1
I
(
". [-b66:
:] [-~ ~] L::::: ~ 10-3+
[666::] l~ :] t:::: ~
.10-3 =
=~
:.51
~
(componente según x)
(componente según y)
Luego N = 1,51 Te n (según eje x)
haciendo To mismo con el resto de las barras. obtenemos:
Nb = 3,32 Tn Nd =-5,01 Tn N = 4,15 Tne
. .
;~~.
;~.
I.
.'
~:.~;.~;:!t;:.'%.
;~.:~ó
:~:
,~;\~'?:.~~
mientes en el nudo A (unidades cm y kc;¡). es:
~::1,V-
Vll~lg36O
-
j~' JITt- @~O ijt;.l; 7fA
....
t.(//7 (,-177 ,,",u,
1 PROBLEMA 12.- Calcular 105 mQvimientos del nudo A de la
estructura representada en la figura, así como el a ~ i 1 en 1 a
barra e . si las barras. y b sufren un aumento de temperatura
de 30 SIC.
Datos: A - 30 e."
E - 2 . 10' kg/clft
ot'"
1<,." SlC--1
Nota: La ecuación matricial para el cálculo de los movi-
6h2-
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~ UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA
~ ESCUElA TECHICA SUPERIOR DE m6EtilEROS U:DUSTRIAlES
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PROBLEMA 2.-La estructura simétirca de la figura ,además de las cargaE
que se indican está sometida a un incremento de temperatura de 20 RC.
Calcular por métodos matriciales los movimientos de los nudos y lOE
esfuerzos en las barras.
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PROBLEMA 12.- Calcular los movimientos en~structura representada en la figura, as! comoipOYOS B y D de la misma.
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PROBLEMA 22.- Obtener a partir de la matrizde pórtico plano, las matrices de rigidez deindican en la figura.
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PROBLEMA 22.- Calcular la matriz de rigidez de la viga de lafigura a, considerando las cuatro coordenadas que se indican.Condensar la matriz obtenida para calcular las matrices de rigidezcorrespondientes a la viga de la figura b, con las tres coordenadasque se indican, y a la de la figura c, unicamente con doscoordenadas.
La rigidez a flexión El es constante a lo largo de la viga:-
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PROBLEMA 211.- Obtener las ma.trices de rigidez de las
estructuras de la figura a partir de las fuerzas que generan
las funciones de forma correspondientes a cada uno de los
grados de libertad indicados.
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PROBLEMA 2Q.-Escribir la ecuación matricial E = K.~ para laestructura de la figura, tras la aplicación de las condiciones decontorno.
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PROBLEMA 22.- Calcular los esfuerzos en la barra de
figura sometida a las cargas indicadas, si el vector de
plazamientos en coordenadas locales es el siguientel
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1.20
-3.
3 * 10-
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146
soluci6n:
El vector de esfuerzos en los extremos de la barra en
coordenadas locales es determinado por:
f = ~e ; + f",N '" '"
",emp
(1)
~
~e
donde K es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas'"locales y f son los esfuerzos de empotramiento
perfecto co-
",emprrespondientes a la carga aplicada.
La de~ostración de la anterior fórmula es fácil si se
piensa la barra como una estructura completa y se considera que
los esfuerzos en los extremos son entonces unas cargas externas
en nudos que, junto con las cargas equivalentes
empotramiento cambiados de signo), configuran el
gas en la ecuación de equilibrio
(esfuerzos deI
vector dFcar-
I
~e a = f - f'" '"
",N ",emp
de la que se deduce (1)inmediatamente.
-
EA EAO O O O
L L
12El 6El 12El 6BlO 7 L2
O - -L2
6El 4El 2ElO
L2O -7
~eL
= EA EA ='V - - O O O Ü
L L
<t'J12El 6El 12El 6El
O -7 -L2
O 7 -L2
6El 2El 6El 4 El
OL2
O -L2L L
160 O O - 160 O O
O 2,4 1200 O - 2,4 1200
O 1200 8.105 O - 1200 4.105. =- 160 O O 160 O O
O - 2,4 - 1200 O 2,4 - 1200
O 1200 4.105 O - 1200 8.105
. -.. . .~~'" . .~~'_~::""~-..~
MatriZ C-:o rigidez elérnental:
.. ..
147
~de
o O
P/2 0,5
PL 125{I'L
PL
8 TG¡ ~)T
f = =t~
t~",empO O
Jz
P/2 0,5
PL - 125(t,. cm t)
8
- 3,2 O - 3,2 .
2,4012 0,5 2,9012
" 1199,6 125 1324,6
fN =Ke a + f = + = (t, cm t)
emp'\.
'" '" '"3,2 O 3,2
- 2,4012 0,5 - 1,9012
1201,6 -125 1076,6
,.-
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L¡ Jt
148
Vector de fuerzas de empotramiento:
Vector de esfuerzos en los extremos:
z,'1
3'Z~~~
~0f1
[-3,2~3ZS
.¡5Zt;
:J,z.
I
2," ~,'�
[ -0- ,I
1m \ ,mi~5 tn~
-1071
(t(tI
(cm tI
)
1.49
obteniéndose los siguientes diagramas de esfuerzoS:
AX! LE;CORTANTES
FLECTORES
1
I
(
".:'::i.""'O~..'
'.-~';:
fJ~
~ "~"'1'!'"'
PROBLEMA l'.-Calcular los movimientos en el nudo B de la viga represen-
tada en la figura.
Datos:Para todas las barras E'!K400 Tm'
~~".. ..@" ..
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PROBLEMA 12.- Calcular losdesplazamientos de todos los nudos dela estructura representada en la figura, así como la reacción en el nudo
: de la misma, cuando la barra AB sufre un aumento de temperatura
de!02C y el apoyo C un descenso de 2 cm.
Datos: Para todas las barras: El = 6.25 * 10' nrT ; EA = 300
* 10' T.
E = 2 * 10' T/m' ; a = 10-' 2C-'
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PROBLEMA 22.- Calcular el movimiento relativo entre les
puntos A y B de la estructura de la figura, así Como dibujar
las leyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y a~i1es
de todas sus barras.
Las barras CD y EF se suponen ineKtensibles para el
resto se tiene: E*I .. 6 .. 10. Tm"
E*A .. 3 .. 10.'
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3m 3m l' .31/) + 3/>1 ~,
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PROBLEMA 2.- Calcular por métodos matriciales los movimientos en E
nudo B de la estructura representada en la figura.
DATOS:Para todas las barras E e 2*10' T/mt
A e 0.15 rfl
1 e 3.125*10.1 m4
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nudos de la estructurarepresentada en la figura,si
además de la carga quePROBLEMA lO.-Calcular por métodos matriciales los movimientos de los
se indica el nudo D sufre un descenso de 1 cm.
DATOS:Barras AB Y BC : EaA=50al0' kg
EaI=50al0' kgacm'
Barra BD : EaA=10al0'.)<9
Rigidez del empotramiento elástico en e : ~= 100al~ cmokg/rad
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PROBLEMA 22.- En la estructura de la figura 1, todas las barras sonde sección constante de 0.3 m por 0.5 m (ancho * canto). Obtener los
.movimientos del punto D, cuando sobre él se aplican los siguientesvectores de carga:
.4 ..g .!J
.J~-':-'Q."
Se considera ahora la estructura de la figura 2, en la que se debetener en cuenta que su parte izquierda es igual a la de la figura 1 yla barra DE es de sección constante de 0.3 IDpor 0.4 m (ancho * canto).
Se pide calcular los movimientos de D y las reacciones en E.
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PROBLEMA 1°.- Calcular los movimientos del nudo B de la estructura
representada en la figura, si además de las cargas indicadas, el tiranteBD se enfría 30°C Y el apoyo A se desplaza 3mm horizontalmente hacia ellado izquierdo.
Datos:Del semiempotramiento se sabe que gira 4 10" rad al aplicarle un
momento de 1 mT.Para la barra BD: E = 2 10' T/m'
A = 20 cm'a = 10.5 ge'
Para el resto de las barras: I = 4.17 10.3 m'A=0.2m'E = 2 10' T/m'
Nota: plantear una ecuación matricial de 3x3 para su resolución.
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PROBLEMA 1"0- Calcular matricialmente los movimientos en los nudos dela estructura, sus reacciones y esfuerzos en los resortes, si además delas fuerzas que se indican, las barras AB y CD sufren un incremento dede temperatura de 30 "C.
Datos: La sección de todas las barras es (ancho, alto)=(0.3m,0,4m)E = 2 * 10' T/m2a = 10.5 "C.l
Para ambos resortes, su rigidez es K = 200. T/m
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-------------------------------------------------------------PROBLEMA lQ.- Plantear la ecuación matricial para el cálculo de
los desplazamientos, giros en todos los nudos, así como reacciones enla estructura representada en la figura.
Datos: Para todas las barras E = 2.1*106 kg/cmz1 = 10" cm'"A = 40.- cmZ
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Aunque el problema puede resolverse en un unico sistema de
coordenadas global (empleando como sistema global el X'-Y' de la figura
2), se va a uWizar el sistema global X-Y, con objeto de mostrar la
metodología general para apoyos inclinados.
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Los sistemas de coordenadas global y locales son los de la figura 2.
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Figura 2. Sistemas de coordenadas global y locales
El proceso a seguir es el siguiente:
1. formar la matriz de rigidez de la estructura en el sistema de
coordenadas X-Y;
2. C2.1cular las fuerzas equivalentes en los nudos, en el sistema de
coordenadas X-Y;
3. Realizar cambios en la matriz de rigidez obtenida anteriormente,
para pasar las fuerzas equivalentes y los desplazamientos del nudo
1 al sistema X'-Y';
4. Aplicar las condiciones
coordenadas X-Y Y X'-Y';
de contorno segun los sistemas de
-
5. Obtener los desplazamientos; ~.
6. Obtener los esfuerzos y reacciones...-;..-
, .
ENR_AI
El sistema de ecuaciones de equilibrio de la estructura, en el sistema x-
Y, sin aplicar las condiciones de contorno es
~
Asi pues, para formar el sistema de ecuacones de equ:..".ibrio es
necesario conocer las matrices K211, Ku, KitZ, K)n, 1\.2], K';) y los
vect.ores de cargas p¡, p, y p).
-------..
Ba.rTa 1-2 (O = at.'1n (3/4))\),
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~en II 0.01
0.8 0.6 0.0 !I
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Las matrices de la diagonal principal son
Kl1 . K'II
Kz, = K'" + K]"
KJ3 1; K2J)
[ Id:¡-"
J_.
1.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 1.0l
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I
42000.00 0.0 0.0
Kz)"" 0.0 -3150.00 3150.00 ; K'n"¡ 3150.00 3150.00
0.0 -3150.00 2100.00 SIJvEIRI CA 4200.00J
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l0.0 I 42000.00 0.0 0.0
K2 ".1 'K32""
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0.0 -3150.00 -3150.00 ; 3150.00 -3150.00¡
I
4200'00J0.0 3150.00 2~00. 00 ' S IM::TIU CA,,
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I
[10824.6 7967.2 -302.4 -1082".6 -7967.2 -302.4! 0.0I II 6:77.0 403.2 -7967.2 -6177.0 403.2 I 0.0I
1 i1680.0 302.04 -';03.2 e-1o.o ¡ 0.0
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Barra 2-3 (, : atan (012))
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COS tI sen l1. 0.0
R2): -sen (1. cos"
0.0 :
0.0 0.0 1.0
La matriz ¿~ rigidez ce 13 eS<..ructura, en el sis\.ema X-Y, es~
~
0.0 10.0 I!
0.0 :
I,
0.0 "
0.0II
3150.0 ;
0.0
S IM:'rn.: CA
,,_.I
7967.2 302.41-_2000.0 0.0. ,
I 9327.0 2746.1: 0.0 -3150.0
L_-
0.0
52824.6
5880.0 : 0.0 -3150.0 2~OO.0
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I4200.01
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Scbre eSL3 matriz se pueden apli..:ar, di:~...a.!T.ent.e, la~ condicicnes de
ccntorno del nudo 3, D,,= D". O.
p'¡ R¡ K" R'¡ R, K'I O O'¡
~PI = KI1 R'¡ K2I KIJ 01
P3 O KJ2 KJJ O)
JJe{r
Para poder aplicar las condiciones de cont.orno en el nudo 1 hay que
cambiar la matriz de rigidez de forma que los desplazamientos Yfuerzas
en el nudo 1 esti:n en el sistema X'-Y',
Sea RI la matriz de rotacion que pasa un vect.or del sistema X-y al
sistema X'-Y'.en el nudo 1. La ecuacion matricial 1 puede ponerse en la
forma
en esta ecuaoon se cumple
P'I: R¡ p, O',. RI 01 RT 1= R,-I
p, = RT, p', D, = RT, D' 1
la matriz de rigidez sigue siendo simetrica. ya que (Rl K!:
latrizsimeu-;ca, y (R, K;¡)'= KT¡¡ RT,= Kll R'¡,
RT,) es L.:.:;.a
y y'
Figura 3. Rotacion de sistemas de coordenadas
[Io'R-
A J
¡ii cos 1 sen t 0.0 0.6 -0.8 0.0
R¡" -sen t cos t 0.0 . 0.8 0.6 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 1.0
-120.96 :61.28 -503.86
R¡ K, ¡. -13439.99 -10079.99 -0.11
I
302.04 -';03.00 840.00
161.3 -503.9 ¡ 0.0 O.CI,
-lC08C. -o 11 0.0 0.0.I
-403.2 ' 0.0 0.0840.0I
7967.2 302.4 '-42000.0 0.0
~
c: J- 1)"
"
La matriz ce rotación, de acuerdo con la figura 3, viene dada por
1 = 360-53.13= 306.87Q
201.59 0.0 -504.00
R¡ K,¡ R'," :6799.99 0.0
¡,
r
I,,
SIM:TRI CA 1680.0
La nueva mat.:"iz ce rigidez de la estruC",-'-..L:"2 es
201.6 0.0 -504.01 -120.9
16799.9 0.0 -13440.0
1580.0 302.04
r52824.6,I
0.01
0.0
0.0
9327 . O 27,!6.1¡
I58S0.0i
I
I
0.0 -3150.0
0.0 II
3150.0'
S~CA0.0 -3150.0 2100.0
42000.0 0.0 0.0
3150.0 -3150.0 I;
I.J200. O J
J
¡yfr',t),
e
Aplicando las condiciones de con tarr.'::; D1r GlI= DJ.I= DJY. °, el
4.0
0.0
-7.0
~0.67
0.66
r 201.6 -120.9 161.3 -503.9 0.0
52824.6 7967.2 302.4 0.0
9327.0 2746.1 3150.0
5880.0 2100.0
S IM::ffi1 CA 4200.0
-
r0.0
1-1. 2lI 0.8 0.6 0.0
I,If12= R12 Fl1 e ;-0.6 0.8 0.0 -2.0' -1.6[
I
J l 0.0J
i 0.0 0.0 1.0 0.0Il
r- L/2 0.0 0.0 l
Cu;c I 0.0 -L/2 0.0!I
l I0.0 -L'(12 0.0
J
sistema de ecuaciones final a resol ver es
GJl
D'lX
DII
DIV
Gil
Resolviendo este sistema de ecuaciones se ob~ene
D',x. 0.03344 m.; D,x= 0.0005318 m.; DIY =-0.003181 m.
GIZ" 0.004296 rad.; GJZ= 0.0003948 rad.
Lll=:Lequ.l val en t.es
Barra 1-2 !
;;-vedor de cargas en J si~cema global es
FlIT= (0.0, -2.0, 0.0)
El vecto" de ca:<;as en el sis.t.ema local de la bar.ca es
:1de- ¡:}
- ;;>',.,,",:
La matriz para obt.e:1er las fuerzas de empotramiento en el extremo i es
["dI Al
-2.500 0.0 0.0 -1.2 3.000
pt12z Cut fIl'; 0.0 -2.500 0.0 -1.6 . 4.000
0.0 -2.083 0.0 0.0 3.333
~,.?
¿Je rJ
Para obtener la matriz en el extremo j se cambia de signo Cn.
Las fuerz2s de empotramiento en el extremo 1 son
y las fuerzas equivalentes
0.8 -0.6 0,0 3.0
P'¡,. -RT¡1 P'¡I. - 0.6 0.8 0.0 4.0
0.0 0.0 1.0 3.333
Las fuerzas de empotramient..o en e1 extremo'Z son
pf' '1 1 = Cu'l f 1 '1 =
y ~s fuerz2s equivalentes
~
f
-Z.500 0.0
0.0 -2.500
l
0.0
0.0
1 [
-1.Z
1o.O
j
'1-1. 6
;
.
.
I
I
0.0lo.OJ
2.083
[0,8
P'lt. -RT¡1 P'I¡" - 10.6
Barra 2-3-:-':'~'
0.0
-0.6 o. 0
1
r
3. O
10.8 0.0 i 4.0 ¡"
0.0 1.oJ l-3.233J
E1 ',lector ce cargas en. el sistema global es
I
~
~
F"Tc (0.0, -Z.O, 0.0)
0.0
-5.0
-3.333l
!.~
3.0CO¡
~.OCC
I1-3.3331I I.
"
r
0.0
1'-5.0I
: 3.333l
--........
El vedar de cargas en el sistema local de la barra es
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
fl3= R" <" = 0.0 1.0 0.0 -2.0 = -2.0
0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
-1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
P~2]'"Cul f,,& 0.0 -1.0 0.0 -2.0 & 2.0
0.0 -1/3 0.0 0.0 0.666
1.0 0.0 0.0 0.0 1 0.0l.
P'ZJ=_RT23 p'ZJe - 0.0 1.0 0.0 2~0 1= -2.0 I
0.~66J
.
i
0.0 0.0 1.0 I
l-0.666J
-,-1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
I
IP')2'" Cu) fI)'" 0.0 -1.0 0.0 -2.0 = 2.0
j0.0 1/3 0.0 0.0 -0.666
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1
Pt")2C-RT2J p'JZ- - 0.0 1.0 0.0 2.0 -2.0 I
0.0 0.0 1.0 -0.666 0.666!j
Las fuerzas equivalentes en las barras de la estructura son las
ider)
Las fuerzas de em¡ootramiento en el extremo 2 son
y las fuerzas equivalentes
Las fuerzas oe empo::amiento en el extremo 3 son
y las fuerzas equivalentes
r :> .I!
O.alr
0.01 '0.6 -0.8 "t.o I,
1-3.01p',. R¡ P,e 0.8 0.6 ,,] ->O '-. .
I[0.0 0.0 1.0 -3,333! [-3,333Jl J
1:J
"J.j/O,k'I)
'. ,
,-~ I:.
I,
I¡
representadas en la figura 4.
S1¡n
)O,666mT
IZT
(~0,666..T
Figura 4. Fuerzas equivalentes en el sistema X-y
';si pues, las cargas totaJes sobre los nudos son
Pl'" Pf'121:
0.0
l.-5.0
j'
-3.333
Pz= ptxt~P"ll + pf'Z) c
r0.0
11-7.0
io, 66:' ¡
I'
,-'
p)= p"J]'"
fa'O
1
1-2. O
I
[0.666J
?c¡est.O ,<Cle en el r.uco 1 hay que tener las fuerza~ er: el si~t.ema X'-t
¡s-
. 2
, ,
V"\,1
Pu 0.0 10824.57 7967.23 302.40 0.6 0.8 0.0 0.03344
. p, y . - -5.0 + 6177.02 403.20 -0.8 0.6 0.0 0.0
,.,...
'.
M'I -3.333 SD-EIRlCA 1680.00 0.0 0.0 1.0 0.0
-10824.57 -7967.23 -302.40 0.000""1 22.332
+ -7967.23 -6177.02 403.20 -0.003181 . 16.751
302.40 -403.00 840.00 0.004296J
-8.469
-10824.57 -7967.23 302.40 0.6 0.8 0.0 0.03344 [-22.332
+ -7967.23 -6177.02 -403.20 -0.8 -0.6 0.0 0.0 . -6.751
-302.40 403.00 840.00 0.0 0.0 1.0 0.0 -11.526J
{(de1 r
ESFUERZOS EN LAS BARRAS
Barra 1-2
PI2. -P"2 + K211 D, + K'2 D2 e -P'12 + Kl"R,TD" + K'I D2
M'I 0.0 0.0 1.0
22.332-
\
[27.9161
16.751.! 0.0 I
-8.469 j H-8.469J
N12 0.8 0.6 0.0
p12 = R12 P12' P'2 = -0.6 0.8 0.0
pl] . -P'I] + K'¡¡ DI + KI] D, . -P'I] + K'I2 DI + Kl¡ R~ D',
PIY . - -5.0 + 6177.02
302.401 0.00053181
-403.20\ -0.003181 I
1680.00\ 0.004296'\J L J
PI' 0.0 10824.57 7967.23
M21 3.333 lSIM:1RI CA
(Hg_"l
""~"'-'-~'~O~~
N21 0.8 0.6 0.0 -22.332 -21. 916
p¡ 1" R12 P21c P'I " -0.6 0.8 0.0 -6.751 " 7.998
MzI 0.0 0.0 1.0 -11. 526 -11. 526
r'"0.0 42000.00 0.0 0.0 0.0053181
"PZy e: - -2.0 + 3150.00 3150.00 -0.003181
lMz¡ 0.666 SIM::TIUCA 4200.00 0'004296J
00
1
f22.335
o
-42000.00 0.0 00
1
~-3150.00 3150.00 6.755
0.0 -3150.00 2100.00J O. 0:~:948 J"! 5.518l
f';. ...-, :
;~ I,.-~
1-¡
.it ,;~~ ¡
\ 1.der r
h
.,
~ .
.,-~
O,.
., :¡
. .. .:" f
Barra 2-3
P¡3 . -P"3 + KJ¡¡ D, ~ K¡3 D3
P¡ 2' R¡ 3 p¡3" P¡3 .
1.00.00.01 f2203351
i0.0 1.0 0.0 6'755
J
"
0.0 0.0 1.°j l 9.518
b. 3351ii, 6.755¡,í 9.518l
N2J
MzJ
,., !
("'0 -... J
p" 0.0 42000.00 0.0 0.0 0.0
. Pn = - -2.0 + 3150..00 -3150.00 + 0.0
MJz 0.666 SI!>EIRICA 4200.00 0.0003948
-42000.00 0.0 0.0 0.0005318 -22.335
+ 0.0 -3150.00 -3150.00 -0.0031810 ' -2.755
0.0 3150.00 2100.00 0.0042960 0.0
PJ' = -P'J' + K'JJ DJ + KJ' D,
[NJ21
r
1.0 0.0 0.0
1 r
-22.335
pJ2= R"p,,=
l
P" = 0.0 1.0 0.0 1-2.755 .
1.\:"J l
0.0 0.0 1.0
J l
0.0
r
-22.3351
-2.7551
l
0.0j
I ~ de 11
I
1
,
'1I.;
~NR_AI
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
Flectores
(m.T)
Cortantes
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I
Axiles
(T)
"'i?---r;C:j'-' '"..01 ¡..f V"
,~-.~
-{J-
.- '"
",..~- .-- '. "-..;-::";:-'":"::"'--
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!~ d~ I(
I1",
I~ .~
R", 0.6 -0.8 0.0 22.332 0.0
R,= P,Y' = RI PIZc 0.8 0.6 0.0 16.751 ' 27.916
M,z' 0.0 0.0 1.0 -8.469 -8.469
REACCIONES
~ ."~. -
3122,3351
2,75551
Ijcle (eí
""""""'~''>;';:''''''~'Y~',~~,. .
=c.~''':'-'''o._-''''~~~'1-')"!-~''''-"'';:~--~~'~''~''''-'''''''''''~'':''"':~-:<t-;-''.¡;',,-'<",.''''.~-'':,'';''~:';o
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[HA_Al
-.~-~.",,", ;':"-;';;~,!,~.",,":.,::~1'" '\.~.~;~-~ ~;'it:,,;-,~,
.X PROBLEMA 18.- Calcular por métodos matriciales 105 movi-
mientes de los nudos de la estructur~ representada en la
figura.~.
.,,-/
Datos: Para-todas-las barras A - 6~ cm" ~ i)n~ =n '!.
""1:>::-f S".'(
4 ,.,
'1" t:u¿ E - 2;1 .. 10. kg/caf
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,"-"-'::'. :~f;~? - ":-":':)~-~k'tf;-:.h~:;-;¡?'~::-~~~~~~'~r:~~';¿;S~(F~2J't';:~';;;7/.::~f".,~..\~ :~:!~1'ttJ.1'1~'. '.r:,"'iJ~'::}, ~r"-:':;,-="-,:,,,.,- ".'
'UNIVERSIDAD NACIONAL'DE EDUCAC10N A DISTANC1A:'::T:''::,,;,;~-::::'':1';'~'
/( ~",';~~S.C.u~iIE.;~,~;I,F~i:'SUrE~~Q~.,P.~.::JM~~',~~:o.S.;'Ir..DUSTRI~LE~:::3'~~~<:
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PROBLEMA l".-De la estructura de la figura 1,de la que se conoce la
matriz!:. en el nudo B tal y como se indica en dicha figura, se sabe que al
aplicar una carga unidad horizontal dirigida hacia la derecha en el nudo
A ,los movimientos del nudo B son:
1m" ,ó4H:1~Calcular los "movimientos del punto C de la estructura de la figura 2 ,
sabiendo que est& formada por la unión el&stica en C de dos elementos
iguales al representado en la figura 1.A
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A?ROBLEHA 11.- Calcular por métodos matriciales
los movimientos en
os nudos B y C de la estrucb1.rarepresentada en la figura. si las
barras e y d sufren un aumento de temperatura de 40 IC.
Datos:
Barras a y b : r = 3.125 . 10-3 m' ¡ A = 0.15 m2 ¡ E . 2 . 106
Barras e y d : ex =10-5 IC-l
.¡ A = 20 =2 ¡ E =.2 . lO'
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PROBLEMA 2R-Calcular el incremento de temperatura que sufren.las barras
c: y d de la estructurarepresentadaen la figura,sise sabe que los
movimientos producidos en los nudos B y C por dicho incremento de
temperatura son:
.í§"clo.3627jcm 0.000483cm-O.OOO44JradIT:1
t(.é :.¿~'!'
!c-lO.36486cm 0.30SJ44cm 0.00079Jrad)T= i
Uc Jf Sbj'
Datos: Barras a y 11: E"2810' f:.g/c:m'r-3.12S810' c:m' A-150O c:m'
Barras c: y d:
~E-281O' 'Kg/c:m'
~.1.-20 c:m'
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PROBLEMA 12.- Calcularmatricialmente el corrimiento relativo
entrelos nudos A y C de la estructura de la figura, así como el axil en eltirante BD, cuando este sufre una disminuci6n de temperatura de
.40
2C.Datos: Tirante BD : EA
= 12000.- T
a = 10-5 2C-1
Resto de la barras: El= 6000.- m2T
EA = 8000.- T
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PROBLEMA 2.-Las barras verticales de. la fi~ura tienen ri~idez infinit¡
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Calcular por métodos matriciales el corrimiento horizontal de A,B r C
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~PROBLEHA 22.- Calcular, aplicandolínea de influencia del momento torsorestructura representada en la figura,dirigida hacia abajo recorre la barra AB.
. Datos: E = 2.1*10" kg/cm"G = 10" kg/cm"J = O.5 m41 = 1.- m4
formulación matricial, laen la . sección 1-1 de lacuando una carga unidad
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PROBLEMA lO.- Calcular el desplazamiento en B y el esfuerzo en el tirante del emparrillado de [a figuraDatos: Barras AB y eB: E ~ 2. 10'T/m' Tirante SO E ~ 2 ¡O'T/Il1'
A ~ 0.5* 0.3 m' (canto 'ancho) A ~ 0.05' 0.02 m'
u~0.15' u~02
J ~ 3.159 10.3m ' (inercia a torsión)Nota: los extremos A y e están empotrados. í: C~--- ~
Z (i-lY)D
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PROBLEMA 32.- Obtener la matriz B de relaci6n deformaciones-desplazamientos nodales para el elemento rectangular de cuatro nodos.en o
tensión plana que se indica en la figura.Los desplazamientos en.el interior del elemento están definidos en
coordenadas locales por:1,,2/
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