Un ordenador es una máquina que procesa información.

La ejecución de una tarea implica la realización de una serie de tratamientos, siguiendo unas instrucciones llevadas a cabo por un programa, sobre una serie de datos.

Para que el ordenador ejecute un programa es necesario darle dos tipos de información:

› Instrucciones que forman el programa› Datos con los que debe operar el programa

Uno de los aspectos más importantes relacionado con la información es como representarla.

Normalmente, al ordenador se la transmitimos conforme la utilizamos nosotros de forma escrita, es decir, con la ayuda de un alfabeto o conjunto de símbolos (caracteres)

Esta serie de caracteres que utilizamos los humanos, son:

› Numéricos: Constituidos por los diez dígitos del sistema decimal (ALFANUM)

› Alfabéticos: Constituidos por letras mayúsculas y minúsculas (ALFANUM)

› Especiales: Constituidos por símbolos no incluidos en los grupos anteriores, como: ) ( * / + - [ ] …

Este tipo de caracteres usados en la representación son representables en los ordenadores mediante la codificación, y lógicamente a la inversa, mediante la decodificación.

Por este motivo hay dos niveles en la representación de la información:

› Nivel de representación externa: Usada por las personas e inadecuada para el ordenador

› Nivel de representación interna: Adecuada al ordenador y no inteligible directamente por el ser humano

Por lo tanto, los elementos básicos que constituyen la representación de datos de un ordenador son de naturaleza binaria, sólo pueden adoptar dos valores (0 y 1), los cuales corresponden a dos niveles de tensión eléctrica (Desactivado y Activado).

Al tener que traducir toda la información suministrada desde el Nivel de Representación Externa, a 0 y 1, es necesario establecer las distintas correspondencias entre el conjunto de todos los caracteres del Nivel Exterior.

Estos códigos de transformación, las distintas equivalencias entre un sistema numérico y otro, se denominan códigos de entrada/salida (E/S) o externos, y se pueden definir de forma arbitraria.

Como hemos comentado antes, en el ordenador se efectúa una transformación entre códigos binarios, obteniéndose una representación de base dos.

Al ser una representación numérica posicional es muy apta para realizar todo tipo de operaciones aritméticas.

El cálculo del complemento a dos es muy sencillo y muy fácil de realizar mediante puertas lógicas, donde reside su utilidad.

Para comenzar los números positivos se quedarán igual en su representación binaria. Los números negativos deberemos invertir el valor de cada una de sus cífras, es decir realizar el complemento a uno, y sumarle 1 al número obtenido. Podemos observar esto en la tabla de ejemplo.

Cabe recordar que debido a la utilización de un bit para representar el signo, el rango de valores será diferente al de una representación binaria habitual; el rango de valores decimales para 'n' bits será:

Hay dos formas de calcular la MS

› Truncacion› Redondeo

Hay que tener en cuenta el teorema que nos habla sobre el error en estas dos reglas

› Teorema:

› Donde:

Note que el error en redondeo es en general la mitad del error en truncación. También se puede verificar que como los errores en redondeo varian en signo, estadisticamente "en promedio" tienden a cancelarce. Esta cancelación no es tan probable con truncación. A pesar de estas ventajas la truncación es usada comunmente en el diseño de computadoras por lo fácil de su implementacion a nivel de "hardware".

Es una cosa tan tonta que da risa. En exceso Z se escoge cualquier número (Z) para representar el cero. Cualquier número entero A se expresa como el natural A+Z. Por ejemplo, en exceso 127, el -7 se expresa como 120 (-7 + 127). El 3 se expresa como 130 (3 + 127).

Precisamente 127 es el Z escogido para representar el exponente en el formato IEEE754. Por tanto, ya disponemos de todos los elementos para ponernos a calcular números reales. Buenos, nos falta dar el orden de los campos: Signo - Exponente - Mantisa. Ya está.

Representar -209.5625 en coma flotante IEEE754 (simple precisión)S = 1 (signo negativo)Parte entera: 209 = 11010001Parte fraccionaria: .5625 = 0.1001 (2-1 + 2-4)Mantisa: (parte entera.parte fraccionaria) 11010001.1001 = 1.10100011001 * 2+7

  Exponente Z = 127 + 7 = 134, que en binario es 10000110

                        S E        MDe lo cual: -209.5625 = 1 10000110 10100011001000000000000

El objetivo es representar un número con un punto decimal en sistema binario (por ejemplo, 101.01, que no se lee ciento uno punto cero uno ya que es, de hecho, un número binario, 5,25 en sistema decimal) mediante el formato 1.XXXXX... * 2n (en nuestro ejemplo, 1.0101*22).

  El estándar IEEE 754 define cómo codificar un número real. 

Este estándar ofrece una forma de codificar un número utilizando 32 bits, y define tres componentes:

el signo más/menos se representa por un bit: el bit de mayor peso (aquel que se encuentra más a la izquierda)

el exponente se codifica utilizando 8 bits inmediatamente después del signo

la mantisa (los bits después del punto decimal) con los 23 bits restantes

  Así, la codificación sigue la forma: 

seeeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

la s representa al bit del signo.

cada e representa al exponente del bit

cada m representa a la mantisa del bit

Sin embargo, hay ciertas restricciones para los exponentes:

› el exponente 00000000 está prohibido

› el exponente 11111111 está prohibido. Sin embargo, a veces se utiliza para informar de errores. Esta configuración numérica se denomina NaN (Not a number), que significa No es un número.

Se le debe sumar 127 (01111111) al exponente para convertir al decimal en un número real dentro del sistema binario. Por lo tanto, los exponentes pueden variar de -254 a 255

Así, la fórmula para expresar números reales es:(-1)^S * 2^( E - 127 ) * ( 1 + F )donde:

› S es el bit del signo y, por lo tanto, 0 se entiende como positivo ( -1^0=1 ).› E es el exponente al que se le debe sumar 127 para obtener el equivalente

codificado› F es la parte de la fracción, la única que se expresa, y la que se le suma a 1

para realizar el cálculo.

Aquí hay un ejemplo: 

Se codificará el valor 525,5.525,5 es positivo, por lo que el primer bit será 0.

Su representación en el sistema binario (base 2) es: 1000001101.1 Al normalizarlo, obtenemos: 1.0000011011*2^9

Sumándole 127 al exponente, que es 9, da 136 o, en sistema binario (base 2):

10001000

La mantisa está compuesta por la parte decimal de 525,5 en base 2 normal,

que es 0000011011.

Como la mantisa debe tomar 23 bits, se deben agregar ceros para

completarla: 

00000110110000000000000

La representación binaria de 525,5 bajo el estándar IEEE 754 es, por lo tanto: 

0 1000 1000 00000110110000000000000 

0100 0100 0000 0011 0110 0000 0000 0000 (4403600 en sistema

hexadecimal)

A continuación hay otro ejemplo, esta vez utilizando un número real negativo : Se codificará el valor -0,625.

El bit s es 1, como 0,625 es negativo.

0,625 se escribe en sistema binario (base 2) de la siguiente manera: 0.101

Queremos escribirlo en la forma 1.01 x 2-1

Consecuentemente, el exponente vale 1111110 como 127 - 1 = 126 (o 1111110 en sistema binario)

La mantisa es 01000000000000000000000 (sólo se representan los dígitos después del punto decimal, ya que el número entero es siempre equivalente a 1)

La representación binaria de 0,625 bajo el estándar IEEE 754 es, por lo tanto: 1 1111 1110 01000000000000000000000 1111 1111 0010 0000 0000 0000 0000 0000 (FF 20 00 00 en sistema hexadecimal)