Repaso de coordenadas polaresUn sistema de coordenadas polares en el plano consiste de un punto O, llamado poloy una semirrecta con origen en O, llamada eje polar (vea la figura 1).Opolo eje polarFigura 1. Sistema de coordenadas polares.Cada punto P en el plano se representa mediante un par ordenado P(r, q) donde r esla distancia del punto P al polo y q es la medida del ngulo entre el eje polar y el segmentoOP, tal como se indica en la figura 2. Los nmeros r y q son las coordenadas polares de Py se llaman, respectivamente, distancia radial y ngulo polar del punto P en el sistema.Las coordenadas polares del polo, en tal sistema, son (0, 0).OP(r, q)rqFigura 2. Coordenadas polares de P en el plano.Aunque como polo se puede tomar cualquier punto en el plano y, como eje polar,cualquier semirrecta con origen en ese punto, se acostumbra imaginar en el plano unsistema de coordenadas rectangulares, se toma como polo el origen de dicho sistema y,como eje polar, el eje x positivo. Esto facilita el paso de un sistema de coordenadas a otro.Ejemplo 1Sea P el punto en el plano cuyas coordenadas rectangulares vienen dadas por (1, 1),Cules son las coordenadas polares de P?12 Clculo IntegralSolucin:En la figura 3, el4OAP es rectngulo issceles; porlo tanto, segn el teorema de Pitgoras, la distancia deO a P es p2, entonces r = p2. Por otra parte, el segmentoOP y el eje polar forman un ngulo de p4 radianes(puesto que el tringulo es issceles); por lo tanto,q = p4 . De esta manera, el punto P, en coordenadaspolares, puede representarse por P(p2, p4 ), como seobserva en la figura 3.OP(p2, p/4)p2Ap/411Figura 3. Representacin deP(1, 1) en coordenadas polares._En el ejemplo anterior se dice que el punto P decoordenadas rectangulares (1, 1) puede representarseen coordenadas polares mediante (p2, p4 ). Esto, porcuanto no hay una forma nica de representar lospuntos del plano en coordenadas polares. Por ejemplo,considerando este mismo punto P, se observa queOP no solo forma un ngulo de p4 con el eje polar, sinotambin forma un ngulo de 94p radianes (e infinitasmedidas ms, vea la figura 4). De este modo, P tambinpuede representarse en coordenadas polares mediante(p2, 94p).OP(p2, p/4)P(p2, 94p)P(p2,74p)p2p494p74pFigura 4. Varias representacionesde P(1, 1) en coordenadaspolares.Ahora se consideran los puntos P(1, 1) y Q(1,1) (ambos en coordenadas cartesianas).Si se trazan en un sistema de coordenadas cartesianas, se nota que P es la reflexin deQ con respecto al origen; por otra parte, Q se puede representar en coordenadas polaresmediante (p2, 54p), segn se ilustra en la siguiente figura.OP(p2, 14p)Q(p2, 54p)p2p4p254p1111Figura 5. P es la reflexin de Q con respecto a O.Integrales en coordenadas polares y paramtricas 3De acuerdo con el comentario anterior, otra forma posible de representar P, en coordenadaspolares, es mediante (p2, 54p), dado que P es la reflexin de Q.En general, si P se escribe en coordenadas polares mediante (r, q), entonces tambinpuede representarse mediante (r, q + np), para cualquier nmero entero n, o mediante(r, q + p).Se denominan representaciones principales del P a las representaciones:(r, q), donde 0 _ q < 2p.(r, q + p), donde p _ q < p.Ejemplo 2