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Matemática Básica Olga Carabús
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE TECNOLOGÍA Y CIENCIAS APLICADAS CÁTEDRA ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Secretaría de Ciencia y Tecnología – Editorial Científica Universitaria ISBN: 978-987-1341-53-5
1
Repasando lo aprendido...
...con una propuesta autoinstruccional
Te propongo un rápido repaso en matemática básica, que te será de suma
ut i l idad para f i jar los conocimientos dados. Sólo te br indo una guía de estudio
que te permit i rá recordar lo más esencial . Ordenamos el repaso en dos
capítu los:
I – Expresiones Algebraicas
I I– Función
La propuesta es:
1) Repasamos juntos y resolvemos los ejerc ic ios propuestos para
expresiones algebraicas y funciones, cotejando con la resolución dada en
este impreso
2) Resuelve después los ejerc ic ios de autoevaluación que f iguran a part i r de
la página 44 y controla con las c laves de corrección.
3) Si real izas más del 80% de los ejercic ios, ¡ fe l ic i taciones!. Si e l porcentaje
de acier to es menor, preocúpate y hazlos de nuevo.
I–EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Recordemos la def inic ión de expresión algebraica:
“expresión algebraica es una combinación cualquiera de números expresados
por letras o por letras y ci f ras, s i y sólo si estos números están vinculados un
número f in i to de veces por la adición, la sustracción, la mult ip l icación, la
d iv is ión, la potenciación y la radicación”.
Ejemplos:
3 x4–2 x3 y + 10 x2 y2 –2 x y3 +y4
4 x – 2 _ 3
x +1 x – 1
Las expresiones algebraicas enteras ( las que sólo cont ienen las
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operaciones de suma, sustracción, mult ip l icación y potenciación de
exponente entero no negat ivo, o sea las operaciones l lamadas “enteras”) se
div iden en monomios y pol inomios.
Ejemplo:
3 x2 y es un monomio
2 x3 y + 6 x y2 – 3 x y es un pol inomio
RAÍZ DE UN POLINOMIO
Se l lama raíz de un pol inomio en x a todo numero que escr i to en el lugar
de x hace que el valor numérico del pol inomio sea cero.
Si P(a) = 0; a es raíz de P(x)
MULTIPLICIDAD DE UNA RAÍZ
Dado el pol inomio P(x) ; s i a es raíz del pol inomio y P(x) es div is ib le por
(x – a)k pero no es div is ible por (x – a) k + 1 se expresa que a es raíz múlt ip le y
que su mult ip l ic idad es k.
FACTOREO
Factorear un pol inomio es presentar lo como una mult ip l icación de
expresiones algebraicas enteras.
Con estos conceptos en claro, ya puedes abordar los ejercic ios que s iguen:
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EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS
1) Encuentra el resul tado de las operaciones indicadas
a) (x3 –5 x2 +7 x – 2) + (–2 x4 +2 x3 + 8 x2 – 5 x + 6)
b ) 4 ( x 3 – 2 x – 1 / 2 )
c ) 2 ( x 3 + 6 x 2 – 5 x – 3 ) – 3 ( x 3 – x 2 + 6 x – 3 )
d ) ( x 3 – 5 x 2 + 7 x – 3 ) ( x 2 – 3 x + 5 )
e ) ( 1 – 2 x + 3 x 2 – 5 x 3 ) ( 5 + 4 x – 2 x 2 + x 3 )
2) Encuentra el resul tado de las operaciones indicadas
a ) ( x 5 + 3 x 4 + 2 x 3 – x + 2 ) : ( 2 x 3 – x + 1 )
b ) ( x 3 – 2 x 2 – 3 x + 1 ) : ( x 2 – 3 x + 2 )
3) Calcula los cocientes de las div is iones indicadas
a ) ( 3 x 4 + 6 x 3 – x + 1 ) : ( x + 2 )
b ) ( x 4 – 3 ) : ( x – 2 )
c ) ( x 5 + 3 x – 2 ) : ( x – 1 )
4) Indica s i e l d iv idendo es div is ib le por e l d iv isor, s in efectuar la div is ión
a ) ( 3 x 4 – 2 x 3 + 6 x – 3 ) : ( x – 3 )
b ) ( 6 x 3 + 2 x 2 – 3 x – 5 0 ) : ( x – 2 )
c ) ( x 3 – 5 x 2 + 3 x + 1 ) : ( x – 1 )
5) Calcula el valor numérico P(a) en los s iguientes pol inomios
a ) P ( x ) = x 4 – x 2 – 6 p a r a a = – 2
b ) P ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 p a r a a = 1
c ) P ( x ) = x 5 – x 3 + 6 x – 3 p a r a a = – 1
6) Aver igua s i 2 es raíz del s iguiente pol inomio
P(x) = 3 x2– 5 x– 2
7) Encuentra las raíces del pol inomio p(x) = x2 – 2 x
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8) Encuentra el pol inomio de cuarto grado cuyas raíces son 2, 3, –2, –1 y el
valor del coef ic iente de cuarto grado es 2.
9) Encuentra el pol inomio P(x) de tercer grado cuyas raíces son los números 1,
2, –2 s iendo
a) P(0) =2
b) P(0)=12
10) Simpl i f ica las fracciones racionales
a) 1 6 x 4 – 1
4 x 2 + 1
b) x – 9
x
1 + 3
x
11) Calcula el resto de dividi r 4x3+2x–10 por
a) x–3
b) x+3
c) x–1
12)Determina el valor de a para que el pol inomio
4 x 3 + a x 2 + 3 x – ( 3 a + 1 )
sea divis ib le por x+2
13) Determina los coef ic ientes a, b y c para que el pol inomio x3+ax2+bx+c sea
div is ib le por x, por x – 2 y por x + 2
14) Calcula
a) x5–32
x–2
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5
b) x4–256
x+4
c) x4–256
x–4
d) x4+ 81
x+3
e) x4+ 625
x – 5
15) Factorea los siguientes pol inomios
a ) 6 x y 3 – 3 x 2 y 2 – 1 8 x 3 y
b ) 2 5 x 5 + 1 5 x 4 – 5 x 3
16) Factorea
a ) a x – b x – a y + b y
b ) x y – x z + u y – u z
c ) 2 x – 2 y + 2 – x z + y z – z
d ) 2 x y – 6 x + 5 y 2 – 1 5 y
17) Factorea:
a ) x 4 + 8 x 2 + 1 6
b ) a 4 – 1 0 a 2 + 2 5
c ) 4 x 2 + 1 2 x 4 + 9 x 6
18) Factorea
a ) x 9 + 6 x 6 + 1 2 x 3 + 8
b ) 8 y 6 – 3 6 x y 4 + 5 4 x 2 y 2 – 2 7 x 3
c ) 1 2 5 x 6 – 2 5 x 4 y + 5 x 2 y 2 – 1 y 3
8 4 6 2 7
19) Factorea
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a ) 1 6 – y 2
b ) 1 6 9 y 6 – 6 4 x 4
20) Factorea
a ) 1 6 9 x 4 – 4 9
b ) y 5 + 3 2
RESOLUCIÓN
1)
a ) – 2 x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 4
b ) 4 x 3 – 8 x – 2
c ) 2 x 3 + 1 2 x 2 – 1 0 x – 6 – 3 x 3 + 3 x 2 – 1 8 x + 9 =
= – x 3 + 1 5 x 2 – 2 8 x + 3
d ) x 3 – 5 x 2 + 7 x – 3
x 2 – 3 x + 5
x 5 – 5 x 4 + 7 x 3 – 3 x 2
– 3 x 4 + 1 5 x 3 – 2 1 x 2 + 9 x
5 x 3 – 2 5 x 2 + 3 5 x – 1 5
x 5 – 8 x 4 + 2 7 x 3 – 4 9 x 2 + 4 3 x – 1 5
e ) 1 – 2 x + 3 x 2 – 5 x 3
5 + 4 x – 2 x 2 + x 3
5 – 1 0 x + 1 5 x 2 – 2 5 x 3
4 x – 8 x 2 + 1 2 x 3 – 2 0 x 4
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– 2 x 2 + 4 x 3 – 6 x 4 + 1 0 x 5
x 3 – 2 x 4 + 3 x 5 – 5 x 6
5 – 6 x + 5 x 2 – 8 x 3 – 2 8 x 4 + 1 3 x 5 – 5 x 6
2)
a) x5 + 3 x4 + 2 x3 – x + 2 2 x3 – x + 1
– x5 + 1 x3 – 1 x2 1 x2 + 3 x + 5
2 2 2 2 4
3 x4 + 5 x3 – 1 x2 – x + 2
2 2
– 3 x4 + 3 x2 – 3 x
2 2
5 x3 + x2 – 5 x + 2
2 2
–5 x3 + 5 x – 5
2 4 4
x2 – 5 x + 3
4 4
b)
x3 – 2 x2 – 3 x + 1 x2 – 3 x + 2
– x3 + 3 x2 – 2 x x + 1
x2 – 5 x + 1
– x2 + 3 x – 2
–2 x – 1
3–
a)
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8
3 6 0 –1 1
–2 – 6 0 0 2
3 0 0 –1 3
Cociente : 3 x3 –1
Resto : 3
b)
1 0 0 0 –3
2 2 4 8 16
1 2 4 8 13
Cociente: x3 +2 x2 + 4 x + 8
Resto : 13
c)
1 0 0 0 3 –2
1 1 1 1 1 4
1 1 1 1 4 2
Cociente:x4 + x3 +x2 + x + 4
Resto: 2
4–
a) 3 (3)4 – 2 (3)3 + 6 (3) – 3 =
= 243 – 54 + 18 – 3
= 204
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El d iv idendo no es div is ible por el d iv isor
b) 6 (2)3 + 2 ( 2 )2 – 3 ( 2 ) – 50 =
= 48 + 8 – 6 – 50
= 0
El d iv idendo es div is ib le por el d iv isor
c) (1)3 – 5 (1)2 + 3 (1) + 1 =
= 1 – 5 + 3 + 1
= 0
El d iv idendo es div is ib le por el d iv isor
5)
a) P(– 2 ) = (– 2)4 – ( –2 )2 – 6
= 16 – 4 – 6
= 6 P(– 2) = 6
b) P(1) = 13 +12 + 1 + 1
= 4 P(1) = 4
c) P(– 1) = (– 1 )5 – (– 1 )3 + 6 ( – 1) – 3
= – 1 + 1 – 6 – 3
= – 9 P (– 1 )= – 9
6) P(2) = 3 (2)2 – 5 (2) – 2
= 12 – 10 – 2
= 0
∴P(2) = 0; 2 es raíz del pol inomio.
7) x2 – 2 x = x ( x – 2 )
para que P(x) se haga cero: x=0 ∨ x – 2 = 0
las raíces son: x = 0 y x = 2
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8) Siendo P(x) de enésimo grado o sea de la forma
P(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + a2 xn – 2 + . . .+ an
Y siendo x1; x2 ; . . . . ; xn sus raíces
P(x) = a0 (x– x1 ) ( x – x2) . . . (x – xn)
El pol inomio buscado es entonces:
P(x) = 2 (x – 2) (x – 3 )( x + 2 ) ( x + 1 )
P(x) = 2 (x2 – 5 x + 6 ) ( x2 + 3 x + 2 )
P(x) = 2 x4 – 4 x3 _ 14 x2 +16 x + 24
9) P(x) = a0 (x – 1)( x – 2 ) ( x + 2 )
= a0 ( x2 – 3 x + 2 ) ( x + 2 )
= a0 ( x3 +2x2– 3 x2 + 2 x + 4 )
= a0 x3 – a0 x2 –4 a0 x + 4 a0
a) P(0) = 2
4a0 = 2
a0 = 1/2
P(x) = 1 /2 x3 – 1/2 x2 – 2 x + 2
b) P(0) = 12
4 a0 = 12
a0 = 3
P(x) = 3 x3 – 3 x2 – 12 x + 12
10)
a) 16 x4 – 1 = (4 x2 + 1 ) ( 4 x2 – 1 ) = (2x + 1)( 2 x – 1 )
4 x2 + 1 4 x2 + 1
b) x – 9 x2 – 9
x = x = ( x + 3 )( x – 3 ) = x – 3
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11
1 + 3 x + 3 x + 3
x x
11)
a) 4 (3)3 + 2 (3) – 10 = 108 + 6 – 10
= 104
b) 4 (– 3 )3 + 2 ( – 3 ) – 10 = – 108 –6 – 10
= – 124
c) 4 ( 1 )3 + 2 ( 1 ) – 10 = – 4
12)
4 ( –2) 3 + a ( –2 )2 + 3 ( –2 ) – ( 3 a + 1 ) = 0
– 32 + 4 a – 6 – 3 a – 1 = 0
a – 39 = 0
a = 39
a = 39
13) Para que sea div is ib le por x: c = 0
Para que sea div is ib le por x – 2 :
23 + a 22 + b 2 + c = 0
8 + 4 a + 2 b + c = 0
c = 0
4 a + 2 b = – 8 (1)
Para que sea divis ib le por x + 2 :
(– 2 )3 + a ( – 2 )2 + b ( – 2) + c = 0
–8 + 4 a – 2 b + c = 0
c = 0
4 a – 2 b = 8 (2)
De (1) y (2) :
4 a + 2 b = – 8
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4 a – 2 b = 8
Sumando miembro a miembro
8 a = 0 a = 0
Restando miembro a miembro
4 b = –16 b= – 4
14) a) x5 –32 = x4 + 2 x3 + 4 x2 + 8 x + 16
x – 2
x5 –32 es div is ible por x – 2
1 0 0 0 0 –32
2 2 4 8 16 32
1 2 4 8 16 0
b) x4 – 256 = x3 – 4 x2 + 16 x – 64
x + 4
x4 – 256 es div is ible por x + 4
1 0 0 0 –256
–4 –4 16 –64 256
1 –4 16 –64 0
c) x4 – 256 = x3 + 4 x2 + 16 x + 64
x – 4
x4 – 256 es div is ible por x – 4
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13
1 0 0 0 –256
4 4 16 64 256
1 4 16 64 0
d) x4 + 81 = x3 - 3x2 + 9x – 27 + 162
x + 3 x + 3
x4 + 81 no es div is ib le por x + 3
1 0 0 0 81
-3 -3 9 - 27 81
1 -3 9 -27 162
e) x4 + 625 = x3 -5x2 + 25 x + 125 + 1050
x – 5 x – 5
x4 + 625 no es divis ib le por x – 5
1 0 0 0 625
5 5 25 125 625
1 5 25 125 1050
15) Sacamos factor común (pr imer caso)
a) 6 x y3 – 3 x2 y2 – 18 x3 y = 3 x y ( 2 y2 – x y – 6 x2 )
b) 25 x5 + 15 x4 – 5 x3 = 5 x3 ( 5 x2 + 3 x – 1 )
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16) Formamos grupos de igual número de términos con un factor
común en cada uno de el los (segundo caso).
a) a x – b x – a y + b y = ( a x – b x ) + ( – a y + b y )
= x (a – b ) + y ( – a + b )
= x ( a – b ) – y ( a – b )
= (x – y ) ( a – b )
b) x y – x z + u y – u z = ( x y – x z ) + ( u y – u z )
= x ( y – z ) + u (y – z )
= (x + u ) ( y – z )
c) 2 x – 2 y + 2 – x z + y z – z = ( 2 x – 2 y + 2 )+(– x z + y z –z)
= 2 ( x – y + 1 ) + z ( – x + y – 1 )
= 2 ( x – y + 1 ) – z (x – y + 1 )
= ( 2 – z) ( x – y + 1 )
d) 2 x y – 6 x + 5 y2 – 15 y = (2 x y – 6 x ) + ( 5 y2 – 15 y )
= 2 x ( y – 3 ) + 5 y ( y – 3 )
= ( 2 x + 5 y ) ( y – 3 )
17) Tenemos aquí t r inomios cuadrados perfectos
a) x4 + 8 x2 + 16 = ( x2 + 4 )2
( x2 ) 2= x4 ; 42 = 16
2 x2 4 = 8 x2
b) a2 – 10 a2 + 25 = ( a2 – 5)2
( a2 ) 2 = a4 ; 52 = 25
2 a2 5 = 10 a2
c) 4 x2 + 12 x4 + 9 x6 = ( 2 x + 3 x3 )2
( 2 x )2 = 4 x2 ; ( 3 x3 )2 = 9 x6
2 . 2 x . 3 x3 = 12 x4
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18) Tenemos aquí cuatr inomios cubos perfectos
a) x9 + 6 x6 + 12 x3 + 8 = ( x3 + 2 )3
( x3 ) 3 = x9 3( x3 ) 2 . 2 = 6 x6
23 = 8 3. x3 .4 = 12 x3
b) 8 y6 –36 x y4 + 54 x2 y2 – 27 x3 = ( 2 y2 – 3 x )3
( 2 y2 )3 = 8 y6 3 ( 2 y2 ) 2 3 x = 36 x y4
( 3 x ) 3 = 27 x3 3 ( 2 y2 ) 9 x2 = 54 x2 y2
c)125 x6 – 25 x4 y + 5 x2 – 1 y3 = ( 5/2 x2 – 1/27 y3 )3
8 4 6 27
( 5 / 2 x2 )3 = 125 / 8 x6 3 ( 5 / 2 x2 )2 1 / 3 y = 25 / 4 x4 y
( 1 / 3 y )3 = 1 /27 y3 3 ( 5 / 2 x2 ) ( 1 / 3 y )2 = 5 /6 x2 y2
19) Tenemos aquí di ferencias de cuadrados
a) 16 – y2 = ( 4 + y ) ( 4 – y )
b) 169 y6 – 64 x4 = ( 13 y3 + 8 x2 ) ( 13 y3 – 8 x2 )
20) Tenemos sumas y potencias de igual grado
a) La di ferencia de potencias de igual grado es s iempre div is ib le por la
d i ferencia de sus bases.
169 x4 – 49 = ( 13 x2 – 7 ) ( 13 x2 + 7 )
la d i ferencia de potencias de igual grado es div is ible por la suma de sus bases
s i e l exponente es par.
169 x4 – 49 = ( 13 x2 + 7 ) ( 13 x2 – 7 )
b) La suma de potencias de igual grado es div is ible por la suma de sus bases s i
e l exponente es impar.
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16
y5 + 32 = ( y + 2 ) ( y4 – 2 y3 + 8 y + 16 )
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I I - Función
Tomando como concepto de función al s iguiente:
“Una relac ión es función s i y solo s i a cada elemento del dominio le corresponde
un único elemento de la imagen o codominio” , aceptamos que en una función
entran “en juego” los s iguientes elementos:
a) A, e l conjunto de part ida que cont iene el dominio
b) B, e l conjunto de l legada;
c) Y= f(x) , la relación funcional
Un ejemplo:
A=C , B=ℜ ; y=2x
o sea:
F={(x,y) / x ε ℜ , y ε ℜ ∧ y =2x}
Con DF= ℜ CF= ℜ (Dominio y codominio respect ivamente)
Representando a la misma en un sis tema de ejes de coordenadas cartes ianas:
R
N
M
M(0,0) ε F ;N(1;2) ε F ; R(2;4) ε F
En general: P(x;2x) ε F
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En al práct ica, puedes real izar la tabla de valores como sigue:
x
Y = 2x
0
1
2
–1
–2
0
2
4
–2
_ 4
Si A es el dominio, B es el conjunto de l legada y F la función, la notación:
F: A B se lee:
“ la función apl ica al conjunto A en el conjunto B”
Función inyectiva: una función es inyect iva s i y sólo s i a elementos dist intos
del dominio corresponden elementos dist intos de la imagen.
Función suryectiva: una función es suryect iva s i y sólo si todo elemento del
conjunto de l legada es un elemento correspondiente de algún elemento del
dominio.
Función biyectiva : una función es biyect iva s i y sólo s i es inyect iva y
suryect iva.
Función de primer grado de una variable:
y = a x + b de ℜ ℜ ; su gráf ica es una recta
Ecuación de primer grado con una incógnita:
a x + b = 0 ; una solución o raíz
Ecuación de primer grado con dos incógnitas:
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a x + b y + c = 0 ; inf in i tas soluciones ( todos los puntos que
pertenecen a
y = – a x – c )
b d
Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
a x+ b y+ c = 0
a ’x+ b’y+ c = 0
Si hay solución común el s is tema es compatib le
Si no hay solución común el s istema es incompatible
Si las soluciones son inf in i tas o sea las ecuaciones son equivalentes, el
s is tema es indeterminado.
Un s is tema de dos ecuaciones de pr imer grado con dos incógnitas, se puede
resolver por cuatro métodos:
Método de sust i tuc ión
Método de igualación
Método de reducción por suma o resta
Método por determinantes
Funciones de segundo grado de una variable:
y = a x2 + bx + c de ℜ en ℜ con a ≠ 0
Ecuación de segundo grado:
a x2 + bx + c = 0 con a ≠ 0
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Se resuelve con la fórmula:
x = –b ± √ b2– 4ac
2a
Las raíces son dos: x1 y x2 y se ver i f ica
x1 + x2 = –b
a
x1 • .x2 = c
a
EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS
1) Indica y just i f ica en que caso la asignación x 1 def ine una función de A
en B: x
a) A=ℜ ∧ B = ℜ b) A=ℜ – {0} ∧ B = Q
c) A=ℜ – {0} ∧ B=ℜ– {0} d) A=ℜ ∧ B = ℜ– {0}
2) Ídem para x x2 – 1 en los s iguientes casos:
x – 1
a) A = ℜ ∧ B= ℜ b) A = ℜ – {1} ∧ B = ℜ
c) A = Z – {1} ∧ B = Q d) A={ – 2; –1; 0; 2} ∧ B = Z – {1}
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3) ¿Cuáles de las s iguientes gráf icas que representan funciones de
[–2,2] en [0,2]?
a) b)
2
2
-2 2 -2 2
c) d)
2 2
-2 2 -2 2
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e) f )
2
2
-2 2 -2 2
4) ¿Cuáles de los siguientes gráf icos representan funciones de ℜ en ℜ?
a) b)
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c) d)
e) f )
5) ¿Cuáles de las s iguientes relaciones en ℜ x ℜ es una función?
a) {(x,y) / x2 + y2 = 1 }
b) { (x,y) /y = 1 }
c) {(x,y) / x > 1}
d) {(x,y) / x3 – 2 y2 + 1 = 0 }
6– Representa en un s is tema de coordenadas cartes ianas las s iguientes
funciones de ℜ x ℜ
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a) x = – 2
b) y = 4 x + 1
c) y = x
d) y = x
e) y = [x] (entero de x)
f ) y = 4 x2
7) Encuentra los siguientes valores de las funciones
a) y = 6 x – 5 para x = 1, x = – 2; x = 1 / 2
b) y = 3 x – 2 para x = 0, x = 3, x = – 1 / 9
c) f (x) = x2 + x – 1 ; f (1) ; f (–2); f(3)
d) S(t) = 5 t2 – 7 t + 4; S(–2); S(0) ; S(2)
8) Dadas las s iguientes funciones indica el dominio de las mismas.
a) y = – 3 + x
b) y= x2 – 3
2
c) y = ( 4 x + 5 ) ( x – 7 )
d) g(x) = √ x2 – 4
e) f (x) = 2 x
x2 – 9
f ) h(x) = x + 1
x2 – 3 x + 2
9) ¿ En qué casos la f : A B con f(x) = x2 – 5 admite función inversa?
a) A = ℜ ∧ B = ℜ
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b) A = { x / x ε ℜ+ } ∧ B = ℜ
c) A = ℜ ∧ B = [5, + ∞ )
d) A = [0, + ∞ ) ∧ B = [ 5; + ∞ )
10) Si f(x) = x3 + 2 ¿Cuál de los s iguientes pares ordenados pertenecen al
gráf ico de f – 1?
a) ( 0 ; 0 )
b) ( 0 ; 2 )
c) ( 1 ; –1 )
d) (–1 ; 1 )
e) ( –2 ; 0 )
11) En cada uno de los casos anal iza s i la función es inyect iva, suryect iva,
b iyect iva.
a) f : ℜ ℜ : x x
b) f : ℜ ℜ : x x2
c) f : { x / x ε ℜ ∧ x ≥ 0} ℜ : x x2
d) f : {x / x ε ℜ ∧ x ≥ 0 } { y/y ε ℜ ∧ y ≥ 0 } : x x2
12) En cada uno de los siguientes casos anal izar s i la función cuya
representación gráf ica se da es inyect iva, suryect iva o biyect iva.
a) b)
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c) d)
13) Resuelve las s iguientes ecuaciones:
a) 5 x – 3 = 2 x + 1
b) ( x + 2 )2 – ( x + 3 ) ( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( 2 – x ) + ( x – 1 )2
c) x – 1 – x – 2 + x + 3 = 0
2 5 3
14) Resuelve los s iguientes s istemas
a) 3 x – y = 3
x + y = 1
b) 2 / 3 x + 1 / 2 y = – 1
3 / 4 x – 1 / 2 y = 1 / 4
c) –2 x + 4 y = 2
x – 2 y = –1
d) 3 x + 2 y = 5
2 x – y = 0
e) 4 x + y = 3
2 x – y = 2
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15) Resuelve gráf icamente los s iguientes s is temas:
a) 2 x + y = 7 b) 3 x – 2 y = 7
4 x + 2 y = 2 2 x + y = 7
c) 2 x + y = 3 d) 4 x – 7 y = 0
4 x + 2 y = 6 x – 4 y = 0
16) Representa gráf icamente las s iguientes funciones:
a ) y = (x – 3 )2
b) y = x2 – 4
c) y = – x2 + 2
d) y = 3 ( x – 1 ) ( x + 3 )
e) y = – 2 x ( x – 1 )
f ) y = x2 – 2 x + 4
17) Escr ibe la función y = a x2 + b x + c para la s iguiente gráf ica:
x = 2
(0;3)
1 3
18) Resuelve las s iguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 4 x2 – 49 = 0
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b) 64 x2 – 1 = 0
c) 3 x2 + 5 x = 0
d) 2 x2 – 8 x + 6 = 0
e) x2 – 2 x – 3 = 0
f ) x2 + 4 x = 5
g) x2 + 4 x = 0
h) 12 x2 + 12 = 25 x
19) Escr ibe la ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son:
a) (1; – 1 / 4 )
b) ( –1 / 2 ; 2 / 3 )
20 )La suma de las raíces de una ecuación de segundo grado es 1 y e l producto
de las mismas es –2.
Escr ibe la ecuación y calcula esas raíces.
21) Representa gráf icamente, en forma aproximada, las s iguientes ecuaciones:
a) y = x4
b) y = – x4
c) y = 2 x3
d) y = – 2 x3
e) y = x3 – 1
f ) y = x4 – 4 x2
22) Determina los valores de b para que la ecuación
x2 + b x + 6 = 0
a) tenga dos soluciones reales
b) tenga una raíz doble
c) no tenga soluciones reales
23) Factorea los siguientes pol inomios:
a) x2 – 5 x + 6
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b) x2 + 4 x + 3
c) x2 – 4 x + 3
24) Estudia el s igno de las expresiones:
a) x2 – 25
b) 4 x2 + 9
c) 3 x2 – 5 x
25) En una caramelera hay caramelos. A Jorge le doy la mitad de los
caramelos, la tercera parte de los que quedan a Rosa, y la cuarta parte de los
que quedan le doy a Diana. En la caramelera quedan aún 6 caramelos. ¿Cuántos
había antes de invi tar a mis amigos?
26) En el corral hay patos y cerdos. Cuento 20 cabezas y 52 patas ¿ Cuántos
patos y cerdos hay en el corral?
RESOLUCION
1) Anal izamos si la as ignación x 1 def ine una función en
x
cada caso dado.
Teniendo en cuenta que la d iv is ión por cero no existe, es x = 0 no perteneciente
al dominio de la asignación dada.
Para los casos a) , b) y d) la as ignación x 1 no es función.
x
Para el caso c) s í es función.
Si se completara la asignación dada con
x 1/x s i x ≠ 0
0 0
e l dominio será R y la asignación es función de ℜ ℜ
2– Anal izamos la relac ión x x2 – 1 y observamos que debemos
x – 1
exceptuar a x = 1 para evi tar la d iv is ión por cero.
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Entonces la presente asignación es función de
ℜ – {1} ℜ
Por lo tanto para el caso a) no es función; para el caso b) sí es función; para el
caso c) es función de Z – {1} Q
En el caso d) no es función porque cero no t iene imagen en B.
3) a) Sí ; [– 2; 2 ] es el dominio ; [0; 2] es el conjunto de l legada; y para cada
elemento del dominio le corresponde un único elemento en la imagen.
b) Sí ; ídem anter ior .
c) Sí
d) Sí
e) No; porque [0; 2 ) no t iene imagen en [0;2]
f ) No; porque para cada x que pertenece a [–2;2] le corresponde dos valores en
la imagen
4) No todos los gráf icos representan funciones de ℜ ℜ .
En a) se t iene una función ℜ ℜ+ + {0}
En c) se t iene una función de ℜ ℜ+ – {0}
En f) una función de ℜ ( – ∞ ; a]
En b) , d) y e) son funciones
Gráf icamente, s i t razamos una recta vert ical por cualquier punto del e je x, la
misma corta en un solo punto a la gráf ica.
5) a) { (x,y) / x2 + y2 = 1 }
La re lación x2 + y2 = 1 se escr ibe también de la forma
y = ± √1 – x2. De aquí comprobamos que a cada valor de x de ℜ le
corresponde dos valores de y .
Por lo tanto no es función.
b) Sí es una función. Aquí todos los valores de y son iguales a 1. Tenemos una
función constante.
c)No es función porque para cada x hay inf in i tos y en el p lano.
d){(x ; y) / x3 – 2 y + 1 = 0 }
x3 – 2 y + 1 = 0 se puede escr ibir como y = 1 + x3
2
Entonces para cada x le corresponde un valor de y. Es una función de
ℜ ℜ .
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6)
a) b)
-2
c) d)
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e) f )
°
° ° ° 1 2 3 4
7) a) y = 6 x – 5 ; y1 = 1 ; y– 2 = – 17 ; y ½ = – 2
b) 3 x – 2 ; y 0 = –2 ; y 3 = 3 x 3 – 2=7 ; y – 1 / 9 = –7/3
c) f(x) = x2 + x – 1 ; f (1) = 1 ; f (–2) = 1 ; f (3) = 11
d) S(t) = 5 t2 – 7 t + 4 ; S(–2) = 30 ; S(0) = 4 ; S(2) = 10
8)a) y = –3 + x ; D = ℜ .
Real izando la gráf ica se comprueba fáci lmente
b) y = x2 – 3 ; D =ℜ
2
c) y = ( 4 x + 5 ) ( x – 7 ) ; D = ℜ
d) g(x) = √ x2 – 4 ; x2 = 4 ; x≥ 2 ; x ≥ –2 ó x ≥ 2
e) f (x) = 2 x ; x ≠ 3 x ≠ –3 ;
x2 – 9
D = ( – ∞ ; – 3 ) U ( –3; 3) U ( 3 ; + ∞ )
f ) h(x) = x + 1 ; x + 1 = x + 1
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x2 – 3 x + 2 x2 – 3 x + 2 (x – 1 ) (x – 2 )
D = (–∞ ; 1 ) U ( 1 ; 2) U ( 2; +∞ )
9) f (x) = x2 – 5 t iene como dominio a ℜ y codominio a [–5 +∞ ) .
Por lo tanto para los casos:
a) No t iene inversa
b) No t iene inversa
c) No t iene inversa, y
d) Sí; t iene inversa
En el caso d) ¿ la función es biyect iva?. Traza la gráf ica.
3
10) f– 1 (x) = √x – 2
Pertenecen a la f – 1 los pares que la ver i f ican
3
( 0; 0 ) ∉ f – 1 pues no la ver i f ica ya que 0≠ √ 0 – 2
( 0; 2 ) ∉ f – 1
( 1;–1 ) ε f – 1
(–1; 1 ) ∉ f – 1
(– 2; 0 ) ∉ f – 1
11)
a) f : ℜ ℜ : x x; es inyect iva; para números reales dist intos le
corresponden reales dist intos. Es suryect iva: el codominio es ℜ . Por lo tanto es
biyect iva.
b) f : ℜ ℜ : x x2 ; No es inyect iva: – 2 ≠ 2 ;(– 2 )2 =(+ 2 )2 . No es
suryect iva. Su codominio es [0 ; + ∞ ) . No es biyect iva
c) f : { x / x ε ℜ ∧ x ≥ 0 } → ℜ :x x2 . Es inyect iva : a cada x le corresponde
un y d is t into. No es suryect iva: su codominio es [0;+ ∞ ) .No es biyect iva.
d) f : { x / x ε ℜ ∧ x≥ 0 } { y / y ε ℜ ∧ y ≥ 0} x x2 .
E s i n y e c t i v a . E s s u r y e c t i v a . E s b i y e c t i v a .
12) a) no es inyect iva. Para x ∧ – x le corresponde la misma imagen. No es
suryect iva: R t iene elementos que no se corresponden con los elementos del
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dominio. No es biyect iva.
b) Es inyect iva. Es suryect iva. Es biyect iva.
c) Es inyect iva. No es suryect iva. No es biyect iva.
d) No es inyect iva : existen valores de x d is t intos que t ienen la misma imagen.
Es suryect iva. No es biyect iva.
13) a) 5 x – 3 = 2 x + 1
5 x – 2 x = 1 + 3
3 x = 4
x = 4 / 3
b) ( x + 2 )2 – ( x + 3 ) ( x – 2 ) = ( x + 2 ) ( 2 – x ) + ( x – 1 )2
x2 + 4 x + 4 – x2 – x + 6 = 2 x + 4 – x2 – 2 x + x2 – 2 x + 1
3 x + 2 x = 5 – 6 – 4
5 x = – 5
x = 1
c) x – 1 – x – 2 + x + 3 = 0
2 5 3
15 x – 15 – 6 x + 12 + 4 x + 12 = 0
30
13 x + 9 = 0
x = – 9 / 13
14) a) 3 x – y = 3
x + y = 1
Resolvamos el s is tema apl icando el método de sust i tuc ión:
y = 1 – x de la segunda ecuación
Reemplazamos en la pr imera:
3 x – ( 1 – x ) = 3
3 x + x = 3 + 1
4 x = 4
x = 1
Reemplazando en:
y = 1 – x
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y = 1 – 1
y = 0
Apl icamos el método de igualación:
2 / 3 x + 1 / 2 y = – 1
3 / 4 x – 1 / 2 y = 1 / 4
4 x + 3 y = – 6 y = – 6 – 4 x
3 x – 2 y = 1 3
y = 3 x – 1
2
–6 – 4 x = 3 x – 1
3 2
–12 – 8 x = 9 x – 3
–17 x = 9
x = – 9 / 17
Reemplazamos el valor de x encontrado en cualquiera de las igualdades que dan
el valor de y en función de x se obt iene el valor de y. Por e jemplo, s i
reemplazamos en la segunda igualdad se t iene:
y = 3 (–9 / 17) – 1
2
y= – 22 / 17
c) – 2 x + 4 y = 2
x – 2 y = 1
Apl icamos el método de reducción por suma o resta
–2 x + 4 y = 2
2 x – 4 y = 2
Sumando miembro a miembro l legamos a 0 = 4
En efecto el s istema no es otro que el s iguiente:
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– ( 2 x – 4 y) = 2
2 x – 4 y = 2
El s is tema es incompat ib le: las soluciones de la pr imera ecuación no son las de
la segunda.
d) 3 x + 2 y = 5
2 x – y = 0
6 x + 4 y = 10
6 x – 3 y = 0
Restando miembro a miembro:
7 y = 10 ∴ y = 10 / 7
3 x + 2 y = 5
4 x – 2 y = 0
Sumando miembro a miembro:
7 x = 5 ∴ x = 5 / 7
e) 4 x + y = 3
2 x – y = 2
Apl icamos el método de igualación:
y = 3 – 4 x
y = 2 x – 2
3 – 4 x = 2 x – 2
– 6 x = – 5 ∴ x = 5 / 6
Remplazando en alguna igualdad que da a y en función de x se t iene el valor de
y. Por ejemplo, en la segunda:
y = 2 . 5 / 6 – 2 ∴y = –1 / 3
15) Representando en un s is tema de coordenadas cartes ianas cada ecuación
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del s istema, podemos hal lar gráf icamente la solución del mismo.
a)
y = 7 – 2 x
y = 2 – 4 x
2
El s is tema es incompat ib le ya que las rectas no se cortan.
b)
(3,1)
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Representamos: y = 3 x – 7
2
y = 7 – 2 x
( 3 ; 1 ) es el punto de intersección y sus coordenadas son las soluciones del
s is tema.
c)
Representamos : y = 3 – 2 x
y = 6 –4 x
2
Las dos rectas están
superpuestas: e l s is tema es
indeterminado.
d)
Representamos : y = 4 / 7 x
y = 1 / 4 x
La intersección es ( 0; 0 )
16)Todas las gráf icas son parábolas
a) y = ( x – 3 )2 ; y = x2 – 6 x + 9
Como a > 0 las ramas van hacia
arr iba
( 3 ; 0 ) intersección con el e je x
x v = – b / 2 a ; x v = 3 , y v = 0
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b)
y = x2 – 4 ; a > 0 : las ramas van
arr iba.
y = ( x – 2 ) ( x + 2 ) ; se anula
para x = 2 y x = –2.
Los puntos de intersección son
(–2; 0 ) y ( 2 ; 0 )
xv= 0 ; yv =–4 ; (0; –4) vért ice
c)
y = –x2 + 2 ; a <0 : las ramas van
hacia abajo
y = –( x2 – 2 )= –( x + √2 ) ( x–√2 )
(– 2 ; 0 ) ( 2 ; 0 ) : puntos de
intersección con el e je x
x v = 0 ; y v = 2 ; ( 0 ; 0 ) vér t ice
de la parábola.
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d)
y = 3 ( x – 1 ) ( x + 3 ) ; a > 0 ; las
ramas van hacia arr iba.
(1; 0 ) , ( –3 ; 0 ) puntos de
intersección con el e je x.
y = 3 x2 + 6 x – 9 ;
x v = –1 ; y v = –12
e)
y = –2 x ( x – 1 ) ; a < 0 : las ramas
están hacia abajo
( 0 ; 0 ) ( 1 ; 0 ) , puntos de intersección
con el e je x.
y = – 2 x2 + 2 x ; xv = 1 / 2 ; yv = 1 / 2
f )
y = x2 – 2 x + 4 ; a > 0 : las ramas
están hacia arr iba.
x v = 1 ; y v = 3
Corta al e je y, en y = 4
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17) Los punto (0;3) ;(1;0) ; (3;0) sat is facen a y = a x2 + b x + c.
Reemplazando se obt iene:
c=3
a + b + c = 0
3a +3b + c = 0
Resolviendo el s is tema se t ienen los valores de:
a= 1; b= –4; c= 3
Por lo tanto la función es:
y =x2 – 4 x + 3
18) a) 4 x2 – 49 =0
4x2 = 49
x2 = 49 /4
∴x1 = 7/2
x2 = –7/2
b) 64 x2 – 1 = 0
64 x2 = 1
x2 = 1/64
∴x1 = 1/8
x2 = –1/8
c) 3 x2 + 5 x = 0 ; x (3 x + 5 ) = 0
∴x1 = 0
3 x + 5 = 0; ∴ x2=–5/3
d) 2 x2 – 8 x + 6 = 0
Apl icamos la formula de resolución:
x= – b ± √ b2 – 4 a c
2 a
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Obtenemos x1= 3 ; x2 =1
e) x2 – 2 x – 3 = 0
Apl icamos la misma formula obtenemos x1= 3 y x2= –1
f ) x2 + 4 x = 5 ; x2 + 4 x – 5 = 0
Apl icando la misma formula obtenemos x1=1 y x2= –5
g) x2 + 4 x = 0 ; x ( x + 4 ) = 0
x1= 0
x2 = –4
h) 12 x2 +12 = 25 x ; 12x2 – 25 x + 12 = 0
Apl icando la formula de resolución obtenemos:
x1 = 4/3
x2 = 3/4
19) a) x1 + x2 = 3 / 4
x1 . x2 = –1/4
La ecuación es: x2– 3 / 4 x – 1 / 4 = 0
o también: 4 x2 – 3x – 1 = 0
b) x1+ x2 = 1/6
x1 . x2 = –1/3
La ecuación es: x2– 1/6 x – 1/ 3 = 0;
o también: 6 x2 – x – 2 = 0
20 ) x1 + x2 = 1
x1 . x2 = –2
La ecuación es : x2 – x – 2 = 0
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Apl icamos la formula de resolución, obtenemos los valores:
x1 = 2 y x2 = –1
2 1 ) a ) P a r a v a l o r e s o p u e s t o s d e x
c o r r e s p o n d e n v a l o r e s i g u a l e s y
p o s i t i v o s d e y .
La gráf ica está en el 1° y 2°
cuadrantes.( 0; 0 ) sat is face la
ecuación, entonces, por e l or igen.
Con algunos valores tentamos su
gráf ica.
b) y= –4 x4
La gráf ica es simétr ica de
la anter ior con respecto del
e je x.
c)y= 2 x3 Si x>0 ; y >0
x<0 ; y <0
x= 0; y =0
La gráf ica está en el pr imer y
tercer cuadrante. Tentamos la
gráf ica.
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d)y= –2 x3
L a g r á f i c a e s t a e n e l
s e g u n d o y c u a r t o
c u a d r a n t e .
Es s imétr ica con respecto
del eje x.
e)y = x3 – 1
y= (x – 1 ) (x2 + x + 1 )
x – 1 = 0 ; x2 + x + 1 = 0
x1= 1 ; x2 + x + 1 = 0 no t iene
raíces reales. (1;0) es
intersección con el e je y. (0;–1)
con el e je x.
Si x>0 ; y >0 . Si x <0 ; y <0.
Si 0<x<1; y<0
f ) y = x4 – 4 x2
y = x2 ( x2 – 4 )
y = x.x (x+2) (x–2); los puntos
(0;0) , (–2;0) , (2;0) son las
intersecciones con x.
Con algunos valores tentamos la
gráf ica.
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22) a) Part iendo de la formula
x= – b ± √ b2 – 4 a c
2 a
b2 – 4 a c > 0 ; b2 – 24 > 0; b2 > 24 ; b > √ 24; b > 2 √ 3
Es entonces: b > 2 √ 3 ó b < – 2 √ 3
b) b2 – 4 a c =0; b2 – 24 = 0 b2 = 24 ; b = √ 24 ; b = 2√ 3
b= 2√ 3 ó b = – 2 √ 3
c) b2 – 4 a c <0 ; b2 – 24< 0 b2 < 24 ; b < 2 √ 3 ; – 2 √ 3< b < 2 √ 3
23) a) x2 – 5 x + 6 = ( x – 2 )( x – 3 ) ; 2 y 3 son las raíces.
b) x2 + 4 x + 3 = ( x + 1 ) ( x + 3 )
c) x2 – 4 x + 3 = ( x – 1 ) ( x – 3 )
24) a) y = x2 – 25
y= (x + 5 ) ( x – 5 ) ; x= –5 ó x = 5 cuando y = 0
Las ramas van hacia arr iba
–5 < x < 5 ; y < 0
x < –5 ó x > 5 ; y > 0
b) y = 4 x2 + 9
y = 4 ( x2 + 9 / 4 )
Las ramas van hacia arr iba; no hay valores reales de x que hagan cero a y. Para
todo x ε ℜ ; y >0.
c) y = 3 x2 – 5 x ; y = x ( 3 x – 5 )
y= 0 s i x = 0 ó x = 5/ 3
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x < 0; y > 0
0< x < 5/3 ; y < 0
x > 5/3 ; y >0
25) x= número de caramelos
x/2 = caramelos para Jorge
Quedan: x – x / 2 = x / 2 caramelos
1/3(x/2) = x/6 caramelos para Rosa
Quedan : x – x / 2 – x / 6 = x / 3 caramelos
1/4(x/3) = x/12 : caramelos para Diana
Quedan: x /3 – x / 12 = 6
4 x – x = 6
12
3 x = 72 ∴ x = 24
Respuesta: Hay 24 caramelos
26) x= número de patos
y= número de cerdos
Formamos el s iguiente s istema de ecuaciones:
x + y = 20
2 x + 4 y = 52
De la pr imera ecuación:
x = 20 – y
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Reemplazando en la segunda:
2 ( 20 – y ) + 4 y = 52
40 – 2 y + 4 y = 52
2 y = 12 ∴ y = 6
como x = 20 – y ∴ x = 14
Respuesta: Hay 14 patos y 6 cerdos.
EJERCICIO DE AUTOEVALUACION
1) El producto de las fracciones algebraicas s iguientes
x2– 8 x + 16 . x2 + 2 x – 5 es:
x2 + 3 x – 10 x2 – 16
a) x –4
b) x + 4
c) x – 2
x + 5
d) (x – 4)(x-1)
x + 5
e) x + 5
x – 5
2) ¿Cuál es el resul tado de simpl i f icar la f racción x2 –16 ?
x2– 5x + 4
a) x – 1
x + 1
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b) x + 4
x – 1
c) x + 4
x + 1
d) x + 4
e) x – 4
x – 2
3) ¿ Para cuál de los s iguientes valores de a , (x – a ) d iv ide al pol inomio
P(x) = x3– 5x2 + 7 x – 3 ?
a) 0
b) 3
c) –1
d) –3
e) 2
4) Dado el pol inomio P(x)= x3 +2 x + c, ¿cuál debe ser el valor de c, para que _1sea raíz de dicho pol inomio?
a) 0
b) –3
c) 4
d) 1
e) 3
5) ¿Cuál debe ser e l valor c para que x + 3 sea uno de los factores del
pol inomio P(x) = – 3 x2 + 2 c – 5 ?
a) – 16
b) – 38
c) 16
d) 38
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e) 0
7) Dado un pol inomio de grado tres (3) , cuyas raíces son dos complejas y una
real ¿ Cuántos puntos de intersección t iene la gráf ica del pol inomio con el e je x?
a) 3
b) 2
c) 1
d) n inguna
8) Dado p(x) = (x2 – 9 ) ( x + 3 ) ( x2 + 4 x + 3 ) , la raíz
a1 = – 3 ¿de qué mult ip l ic idad es?
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) 5
9)El resto de div idir el pol inomio P(x) = (x – 3 ) 5 + x4 – 3 x3
por x – 3 es:
a) 0
b) –10
c) – 1
d) 7
e) 9
10) El pol inomio de grado tres (3) cuyas raíces son –2; 0 y 2, que t iene por
coefic iente pr incipal el número 4, es:
a) 4 x3 – 16 x + 16
b) 4 x3 + 16 x2 + 16 x
c) 4 x3 – 16 x2 + 16 x
d) 4 x3 + 16 x2 + 16
e) n inguno de los anter iores
11) Dado P(x) = x3 – 6 x2 + 3 x + 10 = (x – 5 )(x – 2 ) ( x – a) ,
e l valor de a es:
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a) –2
b) –1
c) –3
d) 3
e) 1
12) ¿Cuál de las siguientes div is iones es exacta?
a) ( x5 + 32 ) : ( x – 2 )
b) ( x6 + 64 ) : ( x – 2 )
c) ( x5 + 32 ) : ( x + 2 )
d) ( 27 – x3 ) : (3 + x )
e) ( x3 – 27 ) : ( x + 3 )
13) Dada una ecuación de segundo grado cuyas raíces son a1 =3 y a2 = –15.
¿Cuál es la ecuación?
a) x2 +15 x – 45 = 0
b) x2 +12 x = 45
c) x2 +18 x = 45
d) x2 – 12 x – 45 = 0
e) x2 – 18 x + 45 = 0
14) Dada la relac ión x x2– 1 ; def in ida en A B es:
x – 1
a) una función de A en B si A= ℜ y B = ℜ
b) una función de A en B si A =Z – {1} y B = Q
c) una función de A en B si la regla fuese:
x x2–1 s i x ≠ 1
x – 1
x 5 s i x = 1
x 2 s i x = 1
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d) No es función si la regla fuese:
x x2 – 1 s i x ≠ 1
x - 1
x 2 s i x = 2
15) Dada la función x3 – 8 def in ida en ℜ ℜ t iene por función
3
inversa a:
a) y = 3 x + 8
b) y = √ x3 + 8
3
c) y = 3 x3 + 8
3 d) y = √3 x + 8
3 e) y = √3 x3 + 8
16) ¿Cual de las siguientes re lac iones en R R const i tuye una función?
a) { (x ; y) / x2 + y2 = 1 }
b) { (x ; y) / x = 0 }
c) { (x ; y) / y ≤ 2 x }
d) { (x ; y) / y > x2 }
17) Si una gráf ica representa a la función y = 2 x2 + b x + c, ¿Cuál de las
s iguientes condiciones se cumple ? (xv > 0; yv < 0)
a) b > 0
c > 0
b) b < 0
c < 0
c) b = 0
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c > 0
d) b < 0
c > 0
e) b > 0
c < 0
18) ¿Cuál es la solución del s is tema de ecuaciones?
1 / 2 x = 2 – 1 / 3 y
2 x + 1 = y
a) x = 27/7; y = 10/7
b) no t iene solución
c) t iene inf in i tas soluciones
d) x= 10/7 ; y = 27/7
e) n inguna de las anter iores
19) Dentro de c inco años Juan tendrá el doble de la edad de Car los. Hace un
año Juan tenía el tr ip le de la edad de Car los. ¿Cuál es la edad de Juan?
a) 19 años
b) 27 años
c) 31 años
d) 36 años
e) n inguna es correcta
20) Si la solución del s is tema
x + y = 3
x + b y = 4
es (x ; y )= ( 1 ; 2) , entonces ¿Cuál es el valor de b?
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a) 2/3
b) – 3/2
c) 3/2
d) 5/3
e) – 5/2
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CLAVE DE CORRECCIÓN
1) d) 11) b)
2) b) 12) c)
3) b) 13) b)
4) e) 14) b)
5) c) 15) d)
6) d) 16) b)
7) c) 17) e)
8) a) 18) d)
9) a) 19) a)
10) e) 20) c)
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Para pensar:
1) Si los lados de un rectángulo se alargan 2cm cada uno, el perímetro vale
24cm. Sabiendo además que la d i ferencia de los lados es de 2
centímetros,¿cuánto miden los lados del rectángulo?
2) Dos números suman 44.Si al mayor lo d iv id imos en tres y al segundo en
cuatro, los nuevos números obtenidos se di ferencian en 3 unidades. ¿Cuáles
son estos números?
3) Un padre, para est imular a su hi jo a que estudie matemát icas, promete
dar le $30 por cada ejerc ic io bien resuel to pero, por cada uno que esté mal, el
h i jo le dará $20. Ya van por e l e jerc ic io 26 y el muchacho recibe de su padre
$380.¿Cuántos ejerc ic ios ha resuelto b ien y cuántos mal?
4) Un avión de vuelo s in motor( avión velero) t iene una velocidad de caída Y
relacionada con la velocidad X del avión guía en el momento de ser sol tado
(ambas en m/s) . Esta relación viene dada por
Y= -1/ 160 x2 + 1/ 4 x – 3/2
¿A qué velocidad debe ir e l avión guía para que el avión velero se mantenga
el mayor t iempo posible en el a ire? (velocidad de caída mínima)
5) Cier to proyect i l , después de ser lanzado, alcanzó una al tura de 213 km.
Su trayector ia fue paraból ica, yendo a caer a 14 km de la base de
lanzamiento. ¿Cuál es la ecuación de la trayector ia?