RELACIONES ESCALARES Y COMPLETAS DE CIRCUITOS LINEALES

I.- OBJETIVO:

Deducir experimentalmente la variabilidad de las corrientes y caídas de tensión a

través de los elementos R – L – C, la aplicarle una señal sinusoidal.

II.- FUNDAMENTO TEÓRICO:

Si un sistema lineal es excitado por una función periódica, la respuesta será una

función periódica con el mismo periodo. Supóngase que la excitación y la respuesta

están dadas respectivamente por la sinusoides:

v(t) = Vmcos (wt + ) ......... (1)

i(t) = Imcos (wt + ) ......... (2)

donde Vm e Im son los valores máximos de las funciones temporales sinusoidales de la

frecuencia con ángulos de fases y .

Intensidad de corriente y tensión senoidales

Al aplicar las leyes de Kirchhoff a un circuito cualquiera de una malla el resultado

es en general una ecuación integrodiferencial. Los métodos de resolución clásicos de

ecuaciones diferenciales proporcionan la solución del problema eléctrico. Ahora bien, la

intensidad de corriente, que suele ser la incógnita, debida a una determinada tensión

aplicada, viene dada por una suma de dos funciones. Una de ellas corresponde a la

intensidad del régimen transitorio que, normalmente se anula a las pocas fracciones de

segundo, y la otra constituye la intensidad en régimen permanente la cual perdura

mientras existe la excitación.

Intensidad de corriente senoidales

En la Tabla 1 aparecen las tensiones en bornes de los tres elementos R. L y c

puros en el caso de que la corriente que circule por ellos sea de tipo seno o coseno.

Tabla 1

1

Tensión en bornes de un elementos puro si la corriente es

senoidal

Elemento Tensión si

i es general

Tensión si

i = Im sen wt

Tension si

I = I, cos wt

Resistencia R VR = Ri VR = RIm sen wt VR = RIm cos wt

Autoinducción LVL = L

VL = wLIm cos wt VL = wLIm (-sen wt)

Capacidad CVc = Vc = Vc =

Tabla 2

Corriente en los elementos puros si la tensión es senoidal

Elemento Tensión si

v es general

Tensión si

v = Vm sen wt

Tension si

V = V, cos wt

Resistencia RiR = IR = iR = cos wt

Autoinducción LiL = iL = sen wt

Capacidad Cic =

ic = wCVm cos wt ic = wCVm (-sen wt)

Tensiones senoidales2

En la tabla 2 aparecen las intensidades de corriente por los tres elementos R. L y

c puros en el caso de la que la tensión aplicada a cada uno de ellos sea de tipo seno o

coseno.

Impedancia

La impedancia de un elemento aislado o de una rama de varios elementos o de

un circuito completo es la relación entre la tensión aplicada y la intensidad de corriente

que circula.

si las tensiones e intensidades de corriente son senoidales esta relación tiene un

modulo y un argumento (ángulo).

Ángulo de fase

Si tanto la tensión como la intensidad de corriente son funciones senoidales del

tiempo y se representan gráficamente con la misma escala de tiempos, aparece un

desplazamiento relativo entre ambas magnitudes que solo es nulo en el caso de

tratarse de un elemento resistivo puro. Dicho desplazamiento es el ángulo de fase y

nunca puede ser superior a /2 radianes. Por convenio al hablar del ángulo de fase se

considera “el que forma la intensidad de corriente i con la tensión V”. En un

condensador, por ejemplo i adelanta /2 radiantes a v: en un circuito serie RL, con R

igual a wL ,V adelanta /4 a i (o bien o esta retrasada /4 respecto de V): en una

resistencia pura i esta en fase con V: etc. Las representaciones de las figuras

siguientes aclaran los conceptos de impedancia y ángulo de fase.

Resistencia R

En un elemento resistivo puro la intensidad de corriente y la tensión están en

fase. El modulo de la impedancia es R.

Autoinducción L

En una bobina pura la intensidad de corriente se retrasa /2 respecto de la

tensión. El módulo de la impedancia es wL.

Capacidad C

3

En un condensador puro, la intensidad de corriente adelante /2 a la tensión. El

módulo de la impedancia es

Circuito RL

La intensidad de corriente se retrasa respecto de la tensión un ángulo igual a arc

tg (wL L/R). El módulo de la impedancia es .

Circuito serie RC

La intensidad de corriente adelanta a la tensión en un ángulo igual a arc .

El módulo de la impedancia es

Circuitos serie y paralelo

En un circuito cuyos elementos (impedancias) están conectados en serie es

igual a la suma de las caídas de tensión en dichos elementos individuales.

En un circuito cuyos elementos (impedancias) están conectados en paralelo la

intensidad de corriente total es igual a la suma de las intensidades que circulan por

cada uno de dichos elementos individuales.

Impedancia compleja y notación fasorial

El análisis de circuitos en régimen permanente senoidal tiene una gran

importancia no solo porque las tensiones que suministran los generadores son, muy

aproximadamente, funciones senoidales del tiempo sino porque cualquier forma de

onda periódica se puede sustituir por un término constante y la serie de términos de

senos y cósenos.

Impedancia compleja

Consideremos al circuito serie RL de la figura 6 al que se le aplica una tensión

v(t) = vmr/wt. Según la formula de Euler, esta ecuación se descompone en un termino es

seno y otro en coseno. Vm coswr + jVm sen wt. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a

la malla o lazo tendremos.

4

La ecuación diferencial lineal es de primer orden y su solución particular es de

forma i(t) = Kejwt. Sustituyendo esta función la corriente resulta.

donde K = e i(t) = . La relación entre las funciones de tensión e

intensidad de corriente pone de manifiesto que la impedancia es un numero complejo

cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es wL:

Consideramos ahora un circuito serie RC con la misma tensión

aplicada Vmejwt. En este caso.

Haciendo : i(t) = Kejwt y sustituyendo en (l) resulta.

de donde

Una vez mas observamos como la impedancia es un numero complejo cuya

parte real es el valor de y cuya parte imaginaria es, en este caso – 1/wC.

Todo esto indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante

su impedancia compleja Z.

Ahora bien como la impedancia es un número complejo se podrá representar por

un punto en el plano complejo. Además como la resistencia ohmica no puede ser

negativa solo se precisan el primero y el cuarto cuadrante. La representación gráfica

correspondiente se llama diagrama de impedancias.

5

La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje positivo. Una inductancia o

reactancia inductiva XL se representará por un punto del eje imaginario positivo.

Mientras que una capacitancia o reactancia capacitiva Xc estará representada por un

punto sobre el eje imaginario negativo. En general una impedancia compleja Z se

encontrará sobre el primero o el cuarto cuadrante. Según los elementos que integren el

circuito. El argumento de la forma polar de Z esta comprendido, según lo dicho entre

Notación fasorial

Consideremos la función f(t) = r ejwt. Representa un numero complejo que

depende del tiempo t. Sin embargo, su modulo es constante e igual a r. Haciendo una

representación grafica en los instantes t = 0, como se pone de

manifiesto la naturaleza de la citada función.

En efecto, para w constante el segmento gira en sentido contrario al de las

agujas del reloj con velocidad angular constante. Si observamos las proyecciones de

este segmentos giratorio sobre los ejes real e imaginario. Veremos que coinciden con

los cósenos y seno, respectivamente de ejwt dados por la formula de Euler.

Anteriormente vimos que por un circuito serie RL al que se aplica una tensión v =

Vm sen wt voltios circula una corriente, i = Im sen (wt - ) amperes, que esta retrasada

un ángulo 0 respecto de la tensión, siendo = arc tg (wL/R). Este ángulo de fase

depende de las constantes del circuito de la frecuencia de la tensión aplicada, pero

nunca puede ser mayor de /2 radianes. Además por el sentido de giro se deduce que

la corriente esta retrasada respecto de la tensión un ángulo .

Las proyecciones del segmento giratorio sobre el eje imaginario son

exactamente las funciones representadas. Estos se deduce de la formula de Euler ya

que la parte imaginaria de la función exponencial es la función seno.

Consideramos una función de tensión general r= Vmej(wt+2) siendo la fase inicial

de la misma es decir en el instante inicial t = 0,. Apliquemos esta tensión a un circuito

de impedancia Z = ejθ (- /2 < θ < /2). En estas condiciones la intensidad de corriente

viene dada por:

es decir.

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Esta ecuación pertenece al dominio del tiempo, ya que este aparece explícitamente en

las expresiones de la corriente y de la tensión. A continuación vamos a hacer dos

cambios en dichas ecuación para representar los fasores. En primer lugar,

multipliquemos la igualdad por e-jwt para eliminar el tiempo después multipliquémosla

por para obtener los valores eficaces de corriente y tensión.

la ecuación (2) es la transformada de la anterior al dominio de la frecuencia. En ella no

aparece el tiempo. Sin embargo la variación con el tiempo de la ecuación (l) esta bien

clara. En la expresión (3) los símbolos V e I sin subíndices indican los valores eficaces

de la tensión e intensidad de corriente respectivamente. La expresión (4) relacionada.

Pues las magnitudes complejas U V y Z y como tales deben considerarse esto es con

módulo y su argumento. Estas ultima formula es el equivalente fasorial de la ley de

Ohm que a veces se llama compleja o forma vectorial de la ley de Ohm.

III.- CIRCUITO A UTILIZAR

Circuito 1

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Circuito 2

CUESTIONARIO

1. Sobre un par de ejes coordenados graficar en función de R (caso 1) y C (caso 2

y 3) las lecturas de V1, V2, V3 y A tomadas en la experiencia.

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Caso1

R (W)

R (W)

9

Caso 2

10

Caso 3

11

2. Graficar en cada caso el lugar geométrico de la impedancia

del circuito (Z), en el plano R-X

De los datos obtenidos en la experiencia podemos calcular

las respectivas reactancias de los circuitos las cuales se

muestran a continuación junto a su respectiva gráfica:

Circuito 1

R (W) X (W)148.2 44.55105.9 44.55 88.1 44.55 66.8 44.55 57.1 44.55 46.6 44.55

40 44.55 30.7 44.55 24.4 44.55

12

R vs X

Circuito 2

R (W) X (W)11.1 88.4211.1 106.1011.1 265.2511.1 48.2311.1 78.0211.1 66.3111.1 70.7311.1 91.4711.1 102.0211.1 79.18

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R vs X

Circuito 3

R (W) X (W)150.2 47.73150.2 64.91150.2 223.09150.2 147.51150.2 109.82150.2 27.18150.2 35.76150.2 14.37150.2 41.24150.2 60.92

14

R vs X

15

3. Graficar el lugar geométrico del fasor corriente para los

tres casos, tomando como referencia el fasor tensión (V),

en el mismo diagrama graficar el lugar geométrico de los

fasores V1, V2, V3.

Circuito 1

Circuito 2

16

Circuito 3

Lugar Geométrico de las tensiones

Circuito 1

17

Circuito 2

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Observaciones

En el circuito RL se observó que a medida que se aumentaba la resistencia el

voltaje en la bobina disminuía y el voltaje en la resistencia aumentaba (tanto el

aumento como descenso del voltaje se dieron con una marcada tendencia

parabólica) y la corriente del circuito disminuía.

Para el caso del circuito RC se observó que el voltaje en la resistencia aumenta

(con tendencia lineal) a medida que se aumenta la capacitancia mientras que el

voltaje a través del capacitor disminuye gradualmente y la corriente aumentaba

con una tendencia lineal.

En el caso del circuito RLC se observó que ha medida que se aumentaba la

capacitancia el voltaje a través de la resistencia y la bobina aumentaba y

disminuía respectivamente mientras que el voltaje a través del capacitor

aumentaba de una forma lenta.

Conclusiones

Se puede concluir que las resistencias y las reactancias inductivas y capacitivas

son elementos lineales que cumplen con la ley de Ohm, verificándose esto en

los incrementos o disminuciones de corriente y voltaje respectivos.

En el caso de tensión alterna, las relaciones ya no son tan simples, debido a que

si utilizamos los valores como en continua no se cumplirían las leyes de

Kirchhoff, sin embargo éstas sí se cumplen si utilizamos los valores complejos

(fasores).

Los lugares geométricos y los diagramas fasoriales nos ayudan a predecir el

comportamiento de los elementos de los circuitos, así como las fases

(importantes para determinar el fdp). También nos ayudan a determinar los

puntos de resonancia.

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VI.- BIBLIOGRAFIA

- Análisis de circuitos SCOTT.

- Guía de laboratorio de circuitosUNI.

- Circuitos Eléctricos IIMORALES.

- Manual de Laboratorios de CircuitosALEXANDER W. AVTGIS.

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