RELACIONES BINARIAS

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“AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO”

ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TÉCNICA PROFESIONAL PNP SANTA LUCIA

SECCIÓN : 8va

CURSO : MATEMÁTICA

PROMOCIÓN : TRIUNFADORES

COMPAÑÍA : 4ta

BATALLÓN : II

CATEDRÁTICO :

TEMA : RELACIONES BINARIAS

INTEGRANTES : VIDAL FIGUEROA, Jersson GIL TRUJILLO, Rudyn CHAMORRO ORIZANA, Julio CÁRDENAS MACHUCA, Abel

SANTA LUCIA – PERÚ2014


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DEDICATORIA

Queremos dedicarle este trabajo a Dios fue el creador de

todas las cosas, el que nos ha dado fortaleza a cada uno

de nosotros para seguir adelante; por ello, con toda la

humildad que de nuestros corazones puede emanar.

De igual forma, a nuestras Madres, a quien le debemos

todas nuestras vidas, les agradecemos el cariño y su

comprensión, quien nos han sabido formarnos con buenos

sentimientos, hábitos y valores, lo cual nos ha ayudado a

salir adelante buscando siempre el mejor camino para

nosotros.


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INTRODUCCIÓN

El concepto de función comienza con las primeras relaciones observadas entre

dos variables; esto es desde el comienzo del desarrollo de las matemáticas, es

decir, entre los babilonios y los egipcios. Ya que se podría decir que los

babilonios tenían una idea de las funciones mediante sus tablas de cuadrados

de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los

números naturales porque son correspondencias, (pero no se les toma en

cuenta). En las matemáticas griegas aparece Ptolomeo quien computó cuerdas

de un círculo, es decir, computó funciones trigonométricas aunque lo más

probable es que no conocía lo que era una función. Con los trabajos de Galileo,

se inicia una relación matemática explícita; se acerco mucho al concepto de

función ya que, sus estudios sobre el movimiento contienen la clara

comprensión de una relación entre variables.

Por decir, en 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro

O, en el cual le asignaba a cada punto de A un punto de B. También hizo una

correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus

cuadrados; mas o menos en esos tiempos Descartes publico un Discurso sobre

el Método de Conducir Rectamente la Razón y Buscar la Verdad de las

Ciencias, en el año de 1637 escribió su obra La Geometrie en donde introdujo

el algebra a la geometría, afirmo que una curva puede dibujarse si a una línea

le asignan un numero de valores infinitos, y conceptualizo un sistema de

coordenadas cartesianas.


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ÍNDICE

Dedicatoria 02

Introducción 03

I. Relaciones binarias 05

II. Dominio y rango 07

III. Funciones especiales 09

IV. Funciones algebraicas 13

Conclusiones 15

Bibliografía 16


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I. RELACIONES BINARIAS

Son relaciones elemento a elemento entre los elementos de un mismo

conjunto. Dados dos elementos a y b pertenecientes ambos al conjunto A, para

expresar que a está relacionado con b escribiremos a R b, que se lee “a está

relacionado con b”. Así, pues, una relación binaria es una correspondencia

entre los elementos de un mismo conjunto.

La diferencia entre aplicaciones y relaciones binarias está en que las

aplicaciones son correspondencias de elementos entre distintos conjuntos y las

relaciones binarias, correspondencias entre los elementos de un mismo

conjunto.

Una relación binaria se puede representar mediante:

a) Diagrama de Venn

Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los

conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas

circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la

unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los

Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una

herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría

de Conjuntos.

Dado el conjunto A = {a, b, c, d} la relación que aparece en el diagrama

de Venn indica que: el elemento a está relacionado consigo mismo; el

elemento b está relacionado con el c y el c lo está con el d.


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b) Conjunto de pares

Según esta forma de expresión, la relación binaria del diagrama de Venn

anterior sería:

R = {(a, a), (b, c), (c, d)}

c) Diagramas cartesianos

La expresión matemática de una relación binaria es:

, y ∈ C, x R y ⇔ (x, y) ∈ R ⊂ C × C

En efecto, si se forma el producto cartesiano de un conjunto consigo

mismo (C×C) una relación binaria será un subconjunto K formado por

varios pares, pertenecientes todos ellos al producto cartesiano C × C. K

es un subconjunto de C × C.


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Los productos cartesianos aparecen muy frecuentemente en

matemáticas. Por ejemplo, el plano de los números complejos es R x R,

donde R es la recta real, o conjunto de todos los números reales. La

superficie terrestre es producto cartesiano de la circunferencia del

ecuador por la del meridiano origen, pues cada punto aparece

determinado por el par ordenado (longitud-latitud). La superficie lateral

de un cilindro puede considerarse como el producto cartesiano de la

circunferencia de un círculo (base) por un segmento rectilíneo

(generatriz), tomados estos tres elementos superficie lateral,

circunferencia y generatriz como conjuntos de puntos.

II. DOMINIO Y RANGO

A. DOMINIO

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que

puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede

tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio

está compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable

independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos

para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos

da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x) =

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores

de x la función produce como resultado un número Real. Se observa,

para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se

nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no


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es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que

satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está

constituido por todos los números mayores o iguales que cero;

expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para

obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

No puede haber una raíz cuadrada (ó cualquier raíz par)

negativa, pues se trataría de un número imaginario que no

hace parte de los Reales.

Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues

la expresión queda indeterminada.

B. RANGO

Está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar

una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y).

También se puede expresar como todos los valores de salida de la

función.

Por ejemplo:

Si x = 2, evaluamos f (2) = 2 x 2 = 4. Y así podemos hacerlo con

cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado

todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo

anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los

números positivos.


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Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner

nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por

valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa

está ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado

anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por

ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las

horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende

del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional,

en los cálculos de tasas de interés, etc.

III. FUNCIONES ESPECIALES

Las funciones especiales, como su nombre lo dice, son funciones poco

comunes, pero que por su importancia en el campo del análisis

matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee

nombres y designaciones más o menos establecidos. Entre las

funciones especiales podemos encontrar las siguientes:


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1. Función identidad: Su representación algebraica es f(x) = x. En

esta función todos los elementos del dominio proyectan una

imagen, que así mismo, son lo mismo, es decir, 3 proyecta 3, 0

proyecta 0,-1 proyecta -1.

La función identidad es aquella a la que a todo elemento del

dominio le hace corresponder como imagen ese mismo elemento,

o sea:

Esta se lee “identidad de x”

O sea que si aA i(a)=a, y así para todos los valores de A. En

diagrama de Venn será:

A

Haciendo un estudio de esta función se tiene que:

La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos

del dominio es imagen de sí mismo, y ellos son distintos.

La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del

dominio también son imagen.

Como conclusión podemos decir que esta función es

biyectiva.


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2. Función valor absoluto: Su representación algebraica es f(x)=/x.

Esta función siempre será positiva o nula, en otras palabras los

valores no tendrán signo, pero permanecerán iguales, es decir -3

proyectara 3, -1 proyectara 1. Por tal motivo su grafica siempre

estará en la parte inferior del eje X. Esta es una función

sobreyectiva.

La función valor absoluto se define como:

Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales y el rango

son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene

es una curva en forma de v.

EJEMPLO:

3. Función constante: Su representación algebraica es f(x)=k; en

donde k pertenece es un número real. Esta función no depende

de ninguna variable y el condominio va a tener una a única

imagen para todos los dominios, que es el valor constante. Esta

es una función sobreyectiva y su grafica siempre será una línea

recta paralela al eje X, o al eje Y de ser negativo.


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La función f: AB se llama constante si para todo elemento del

dominio, le hace corresponder como imagen un único elemento

“K” del codominio.

O sea que:

Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y

siempre paralela al eje de las abscisas. O sea:

Trabajando con los números reales observamos que elementos

distintos del conjunto de partida o dominio tienen siempre la

misma imagen k, por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de

todos los elementos del dominio, solamente k tiene pre imagen,

por lo tanto no es sobreyectiva.

Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x = k, su

gráfica cortará al eje de las abscisa en k y será paralela a las

ordenadas.

4. FUNCIÒN RAIZ CUADRADA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la

forma:


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f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de

cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función

cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos

funciones cuadráticas muy sencillas:

f(x) = x2

f(x) = -x2

Ejemplo:

IV. FUNCIONES ALGEBRAICA

Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia

es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface

una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere

combinando un número finito de veces la variable x y constantes

reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta,

multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.


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Entonces en las funciones explicitas es posible obtener las imágenes

de x por sustitución:

f(x) = 5x – 2

A. Funciones transcendente

Se le llama función trascendental a una función no expresable

como una combinación finita de operaciones algebraicas; es decir

cualquier función que no se puede ser representada por una

ecuación polinómica. Entre ellas podemos mencionar a las

funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones

trigonométricas, funciones hiperbólicas, entre otras.

B. Funciones combinadas

Son aquellas funciones donde combinan las funciones

algebraicas y transcendentales.


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CONCLUSIÓN

La investigación que hemos realizado en las funciones matemáticas, podemos

concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para

muchas otras ciencias, en especial la física y la química.

El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a

lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al

haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo

que podemos aplicar frente a cierta problemática.

Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo,

ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que

también esta monografía nos será útil en la practica


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BIBLIOGRAFÍA

- Enciclopedia Microsoft Encarta 1999

- Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar

- Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.


http://www.yahoo.com.ar/

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