Tema: Significado y uso de las literales

Subtema: Relación funcional

• Una función es un objeto matemático que seutiliza para expresar la dependencia entredos magnitudes, y puede presentarse através de varios aspectos complementarios.

• Un ejemplo habitual de función numérica esla relación entre la posición y el tiempo enel movimiento de un cuerpo.

• Dados dos conjuntos: X, Y; una relación f,que determina una correspondenciamatemática entre todos los elementosde X con los elementos de Y, diremos queesa relación: f, define una Aplicaciónmatemática entre X e Y, querepresentaremos:

• Es una relación entre magnitudes medibles. Esuno de los escasos conceptosmatemáticos ampliamente difundido en lapoblación. Esto se debe a que es en buenamedida intuitiva y de uso muy común.

• La proporcionalidad directa es un caso particularde las variaciones lineales. El factor constante deproporcionalidad puede utilizarse para expresarlas relaciones entre las magnitudes.

La proporcionalidad.

• Dadas dos variables x e y, y es (directamente)proporcional a x (x e y varíandirectamente, o x e y están en variacióndirecta) si hay una constante k distinta de cerotal que

• La relación a menudo se denota

• y la razón constante

• es llamada constante de proporcionalidad.

Proporcionalidad directa.

Ejemplo

• La receta de un pastel de vainilla indica quepara cuatro personas se necesitan200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatrohuevos y 120 g de azúcar ¿Cómo adaptar lareceta para cinco personas? Según variosestudios, la mayoría de la gente calcularía lascantidades para una persona (dividiendo entrecuatro) y luego las multiplicaría por el númeroreal de personas, cinco, otras solo le sumaríanlo que a una persona le corresponde.

• Una minoría no siente la necesidad de pasarpor las cantidades unitarias (es decir porpersona) y multiplicaría los números de lareceta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadircinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g demantequilla y 150 g de azúcar) tendrá elmismo sabor que el otro, si el cocineroaficionado se muestra tan bueno comoel chef que escribió la receta.

• Se dice que la cantidad de cada ingredientees proporcional al número de personas y serepresenta esta situación mediante una tablade proporcionalidad: coeficiente k no nulo( en el ejemplo) tal que

• Si se consideran e comovalores de variables e , entonces se dice queestas variables son proporcionales; laigualdad y = k·x significa que y es una Funciónlineal de x.

• La representación gráfica de esta función esuna recta que pasa por el origen del sistemade coordenadas. Una variación (incremento odecremento) de x da lugar a una variaciónproporcional de y (y recíprocamente, puestoque k≠0: y = 1/k · x):

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/Variables_proporcionals.png

• La relación «Ser proporcional a» es

• reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, conel coeficiente 1)

• simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x loes a y, con el coeficiente inverso) y

• transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x loes con z, multiplicando los coeficientes)

• por lo que se trata de una relación de equivalencia. Enparticular dos variables proporcionales a una terceraserán proporcionales entre sí).

• La tabla del primer ejemplo se puededescomponer en tres de formato dos por dos:

• Por tanto las propiedades de la

proporcionalidad se ilustran

preferentemente con tablas de cuatrocasillas.

• Si todas las otras variables se mantienen constantes,la magnitud o el valor absoluto de una variable deproporcionalidad inversa disminuirá si la otra variableaumenta, mientras que su producto se mantendrá (laconstante de proporcionalidad k) siempre igual.

• Formalmente, dos variables son inversamenteproporcionales (o están en variación inversa, oen proporción inversa o en proporción recíproca) siuna de las variables es directamente proporcionalcon la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, oequivalentemente, si sus producto es constante. Sesigue que la variable y es inversamente proporcionala la variable x si existe una constante k distinta decero tal que

Proporcionalidad inversa.

Actividad.• Lean la siguiente información, con base en ésta, organícense

en equipos para resolver los incisos señalados.

• Se sabe que la distancia que necesita un automóvil para frenar completamente es directamente proporcional a velocidad que lleva. Al probar uno de sus nuevos modelos de autos una compañía determinó que para una velocidad de 60 km/h el auto necesita una distancia de frenado de 12 metros.

• a) Elaboren una tabla que exprese la relación entre los dos conjuntos de cantidades, velocidad y distancia de frenado. La distancia de frenado debe ir desde 12 metros hasta un metro.

• b) Expresen con palabras la regla general que permite obtener las distancias de frenado a partir de las velocidades.

• c) Expresen algebraicamente la regla general que encontraron.

• d) Utilicen la regla general para encontrar las distancias de frenado que corresponden a las siguientes velocidades: 80 km/h, 100 km/h, 120 km/h, 150 km/h.

• e) ¿Cuál es la velocidad que corresponde a una distancia de frenado de 20 metros?

• Lean la siguiente información, con base en ella, organícense en equipos para resolver lo que se explica:

• Luis tiene cinco años y su hermana Patricia tiene dos más que él.

• a) Elaboren una tabla que represente la relación entre la edad de Luis y la de su hermana, a partir del nacimiento de Luis.

• b) Expresen algebraicamente la regla general que expresa la relación entre ambas edades.

• c) A partir de la expresión general, contesten las siguientes preguntas:

• ¿Qué edad tenía Patricia cuando Luis nació?

• ¿Cuál será la edad de Patricia cuando Luis tenga 20, 30, 40 y 50 años, respectivamente?

• ¿Qué edad tendrá Luis cuando Patricia tenga 65 años?

• ¿Crees que las edades de Luis y Patricia son directamente proporcionales? ¿Por qué?