Relación Definida en Un Conjunto

7/21/2019 Relacin Definida en Un Conjunto

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RELACIN DEFINIDA EN UNCONJUNTOSi en AxB, el conjunto B es igual alconjunto A, entonces tendramosAxA, por ejemplo: Dado el conjunto A

= {1; ; !", #cu$l es la relaci%n & deA en A de'nida por la relaci%n: a() =*+

Paso 1:Se alla el producto cartesianoAxA

A x A = { -1;1., -1;., -1;!., -;1., -;.,-;!.,

-!;1., -!;., -!;!."

Paso 2: /xtraemos a0uellos 0uecumplen:

a ) = *2

& ={-;1.,-!;."

PROPIEDADES DE UNA RELACINDEFINIDA EN UN CONJUNTO

1. Propiedad refexia:3na relaci%n& en A es refexia, si todoelemento del conjunto A estarelacionado consigo mismo por larelaci%n &2 4or ejemplo:

Dado el conjunto: A ={1; *; "

5allar:

& ={-a;). AxA6a=)"={-1;1.,-*;*.,

-;."

Donde se o)ser7a 0ue cadaelemento del conjunto A est$relacionado consigo mismo, entonces& es refexia2

2. Propiedad Si!"#ri$a:3na relaci%n& en A es si!"#ri$a, si siempre0ue un elemento de A est$relacionado por & con otro,tam)i8n 8ste est$ relacionado por& con el primero2 4or ejemplo:


5allar:

& ={-a;).AxA6 a9)="={-1;.,-*;*.,

-;1."Donde se o)ser7a 0ue:

1 est$ relacionado con estarelacionado con 12

* est$ relacionado con * * estarelacionado con *2

%. Propiedad Tra&si#ia: 3narelaci%n & en A es #ra&si#ia, sisiempre 0ue un elemento delconjunto A est$ relacionado conotro, 8ste relacionado con untercero, entonces el primero est$relacionado por & con el tercero24or ejemplo:


5allar: & = {-a;).AxA6 a


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,%. Sea A = {1, *, , , !,

C, ?" sea & una relaci%n de'nidaen A por& = { -x,. 6 x 9 = G2 5allar n-&.So(+$i)&:

&={-1,?.,-?,1., -*,C., -C,*., -,!.,

-!,., -,." n -&. = ?

,'. Sean A = {n E 6 n

es impar" B = {m E6 m es par"{considerar H = par"

Se de'ne &: A B mediante la

regla:& = { -n,m. 6 m 9 n = primo menor0ue 1H"

/ncontrar el cardinal de &

So(+$i)&:

& = {-1, *., -1,., -1,C., -,*., -,.,-!,*."

n -&. = C

,-. Sea 3 = {1, *, , , !,C, ?, G" sean las siguientesrelaciones de'nidas en 3, segn suscorrespondientes reglas decorrespondencia:

&1 ={ -x,.6 = x" & ={ -x,.6x = *

&*={ -x,.6 = x*" &= { -x,.6 *x "

Determinar por extensi%n cada unade las relaciones2

So(+$i)&:

&1= { -1,., -*,C. "&*= { -121., -*,. "

&= { -,G., -,C., -G,., -C,. "& = -1,.,-1,.,-1,!.,-1,C.,-1,?.,-1,G.,-*,!.,

-*,C.,-*,?.,-*,G.,-,?.,-,G. "

,. #/s transit i7a larelaci%n dada por el gr$'co+

So(+$i)&:Al analiar: a, ) c se cumple:-a, )., -),c. -a,c.; -a,. -,d., -a,d. -c,F. -F,g. -c,g.2 Adem$s -c,d. es-@., -c2g. es I -d,F. es -@.

/l gr$'co pertenece a una

relaci%n )inaria transiti7a2

,/. Sea el conjunto A= J1;*; ; K en el cual se de'ne larelaci%n2

= J-1;1., -1;*., -*;*., -*;., -;.,

-;., -;.,-;1.KSea o)ser7a 0ue:

es &/@L/MIA2

HG./n A= {1;*;;" se considera larelaci%n:

= {-x;. A*6 x = x9 = "

Se a'rma 0ue se puede colocar

por extensi%n, as:

= J-1;1., -*;*., -;., -;., -1;*.,

-*;1.,K

2 Se o)ser7a 0ue es &/@L/MIA

2 es SNOP&QA

2 es P&AESPIA

I2 Qomo es &/@L/MIA,

SNOP&QA R P&AESPIA a la 7e, se

conclue 0ue es de /3IAL/EQA

Son 7erdaderas PTDAS

,0. Sea R una relaci%n enA= {1,*,,", tal 0ue:

R1= {-1,*., -,., -,., -*,1., -,."

R*= {-x,.6x"R= {-x,.6x9= "R= {-x,. 6 x mltiplo de "R!= {-x,. 6 = *x"RC= {-x,. 6 x9=par"

ndicar cu$les son re>exi7a,sim8trica transiti7a

So(+$i)&:

R1: Eo es re>exi7a2 4ara 0ue lo seaFaltan los pares -1,1., -*,*. -,./s sim8trica2Eo es transiti7a

R*= {-*,1., -,*., -,1., -,., -,*.,-,1."Eo es re>exi7aEo es sim8trica/s transiti7a

R= {-1,., -*,*., -,1."Eo es re>exi7a/s sim8tricaEo es transiti7a

1,. La relaci%n 1= J-x;.

E* 6 x es un di7isor de K es

&/@L/MIA, pues todo nmero

natural es di7isor de si mismo enconsecuencia:

a E: -a;a. 1

La relaci%n *= J-x;. &*6 x < K

no es &/@L/MIA, por0ue a&, el

par -a;a. no satisFace la regla decorrespondencia de &*o sea es Falso

0ue: a


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,%. Si: A ={(!;", #cu$les

son relaciones de A en A cu$lesno+#por 0u8+

a. & ={-(!;(!.,-;.,-(!;."). S ={-(!;!.,-(!;.,-;(!.,-;."c. P ={-;(!.,-(!;."

/la)ora un diagrama sagital paracada relaci%n en A2

,'. Sea: A ={aE6 a"

la relaci%n &:

& ={-a;).A*6 a=) % a9)=",

5alla el nmero de elementos de &2

,-. Si A ={1; *; ", #+Qu$les de las siguientes relacionesson re>exi7as cu$les no+ #4or0u8+

a. &1 ={-1;*.,-;*.,-*;*.,-*;."). &* ={-1;*.,-*;.,-1;."c. & ={-1;1.,-*;*.,-*;.,-;*.,-;."d.&={-1;1.,-1;*.,-*;1.,-*;*.,-*;.,

-;1.,-;."

,. Si: S={x6xes 7ocalde la pala)ra 7alencia", #cu$lesde las siguientes relaciones sonsim8tricas en S cu$les no+#4or0u8+

a. &1 ={-a; e.,-a; i.,-e; i.,-e; a.,-i; e."

). &* ={-a; a.,-i; i.,-e; e."

c. & ={-a; a.,-a; e.,-e; e.,-i; i.,-e; a."

d. &={-i; a.,-e; e.,-a; i."

,/. Si: D ={x E6xes

primo; x


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e. E2A2

21. Dado el conjunto: A={1; *; ; "#cu$les de las siguientes relacionesson re>exi7as+

&1 ={-1;1.,-*;*.,-;. "

&* ={-1;1.,-;.,-;."& ={-1;1.,-*;*.,-;.,-;."

a. Podas ). S%lo &1 c. S%lo&*d. S%lo & e. &1 &

22. Sea la relaci%n &de'nida en los nmeros naturalespor:

&={-a;). ExE6 a9*)=1H"

5allar: Dom-&. &an -&.

a. {" ). {*;" c.{H;*;"d. {H;*" e. {;C"

2%. Sea la relaci%n &de'nida en A, donde:

A={1; *; "&={-1;1.,-*;*.,-1;*.,-*;1.,-;.,-;1.,-1;."

A'rmamos:

2 & es re>exi7a22 & es sim8trica22 & es transiti7a2

a. S%lo ). S%lo c. S%lod. e. Podas

2'. Si:

N ={*; ; ", allar n-&., si:

& ={-x;.N*6 x9C"

a. 1 ). * c. d. e. C

2-. Dadas las siguientesrelaciones:

ndicar 7erdadero o Falso segncorresponda:

2 &1es re>exi7a2 - .2 &es sim8trica2 - .2 &* &son transiti7as - .I2 &1 & son de e0ui7alencia -

.

a. @II@ ). @I@@ c. I@@Id. II@@ e. E2A2

2. #Qu$l de las

siguientes relaciones de'nidas enA= {!, C, ?, G" es re>exi7a+

a. R = {-!,!., -C,G., -?,?., -?,G.,-G,G."). R = {-!,!., -!,C., -C,C., -C,?.,-?,?., -?,G."c. R = {-!,!., -C,!., -C,C., -?,?.,-?,G., -G,G."

d. R = {-!,C., -C,?., -?,G., -!,G."e. R = {-!,!., -C,G., -?,?., -?,G.,-G,G."

2/. #Qu$l de lassiguientes relaciones es sim8trica+

a. R = {-1,*., -,., -,., -*,1.,

-!,C., -C,?."). R = {-?,1., -*,., -C,., -1,?.,-,C., -,*."c. R = {-a,m., -m,)., -),a., -),m.,-n,m.,- a,)."d. R = {-*,!., -C,., -!,*., -1,*.,-,C., -*,."e. R = {-,C., -?,G., -1,!., -G,?.,-C,., -!,."

2. /n A = {1,*,,", sede'ne la relaci%n re>exi7a

R = {-1,a., -),*., -c,c., -,d."

/l 7alor de -a9)9c9d. es:

a. ! ). 1H c. Ud. G e. ?

20. /n A={1,*,,", sede'ne la relaci%n

R = {-x,. A*6 x es par"

5allar el nmero de elementos de R

a. G ). 1H c. 1*d. C e. U

%,. /n el conjunto de losnmeros enteros -. se de'ne larelaci%n:

-a;). a) H2 Qon respecto a

las a'rmaciones:

2 es re>exi7a

2 es sim8trica

2 es transiti7a

I2 es de e0ui7alencia

a. Podas ). c. S%lo

d . S%lo e. Einguna

%1. /n A=J1;*;;C;GK sede'ne la relaci%n:

= J-x;. 6 es di7isor de x9K#Qu$les de las a'rmacionessiguientes son 7erdaderas+

2 es re>exi7a

2 es sim8trica

2 es transiti7a

a. S%lo ). S%lo c. S%lo

d. e. Podas

%2. /n A= J1;*;K se

de'nen las relaciones:

= J-1;1.,-*;.,-a;*.,-;).K ; esre>exi7a

S = J-1;.,-c;d.K, S es sim8trica; T =J-;e.,-*;.K, Tes transiti7a

5allar: a9)9c9d9e

a. 1* ). 11 c. 1Hd. U e. G

5

67

8

R1

3 5

1

7

R3

46

2

8

R2

10 5

5

20

R4


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