ARITMÉTICA

Relación de divisibilidad

1. Relación de divisibilidad.

2. Múltiplos y divisores.

3. Criterios de divisibilidad.

Hueso de Ishango

Los conceptos relacionados con la divisibilidad se conocen desde la prehistoria con el descubrimiento del hueso de Ishango que representa el ciclo de un calendario lunar de seis meses. Posteriormente, tanto en el antiguo Egipto como en Mesopotamia, se emplearon los conceptos de divisibilidad para resolver problemas de medida “cuantos caben en”.

La matemática griega, a través de la obra de Euclides (300 a.C.) “Elementos”, en particular, con los volúmenes VII, VIII y IX (de los trece que elaboro), en los que por medio de proposiciones formuladas en términos de medida establece:

Un procedimiento llamado “antenaresis” (Algoritmo de Euclides) para calcular el máximo común divisor de dos o más números.

Propiedades de la divisibilidad.

Propiedades de los números primos entre sí a partir de las proposiciones. En el libro IX además se incluye la proposición que establece que el conjunto de los números primos es infinito “Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos”, junto con proposiciones próximas al Teorema Fundamental de la Aritmética pero sin concebirlo como tal ya que no concebían la matemática independiente de la construcción.

ÍNDICE

ANTES DE EMPEZAR.

CURIOSIDAD HISTÓRICA

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Relación de divisibilidad

1. RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD. Dos números están emparentados por la RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD cuando uno cabe en el otro una cantidad exacta de veces; es decir, cuando el mayor dividido entre el menor nos da un cociente entero y resto cero (cociente exacto). Ejemplo: El profesor de matemáticas puede formar equipos de 5 alumnos en 1º A sin que ningún alumno se quede sin equipo. Sin embargo, en 1º B, quedan 2 alumnos sin equipo.

La división de 20 : 5 es exacta

La división de 22 : 5 NO es exacta

Conclusión: Entre 20 y 5 existe RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD, mientras que entre 22 y 5 NO.

2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Si dos números están emparentados por la RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD, podemos decir que:

El MAYOR es MÚLTIPLO del MENOR.

El MENOR es DIVISOR del MAYOR.

Los MÚLTIPLOS de un número se obtienen multiplicándolo por

cualquier otro número natural. Esto nos lleva a que un número siempre tendrá infinitos múltiplos y lo podremos expresar de las siguientes formas:

ademúltiplos

a

amul

20 se puede agrupar en 4 grupos de 5, es decir, 20 contiene 4 veces a 5.

Con 22 no podemos formar grupos de 5 y no que sobre nadie. 22 no contiene a 5 una cantidad exacta de veces.

MÚLTIPLOS

de un número

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Relación de divisibilidad

Ejemplos:

a) Los 5 primeros múltiplos de 22 110,88,66,44,225·22,4·22,3·22,2·22,1·2222

b) Los múltiplos de 22 comprendidos entre 513 y 570. ?57022513¿

1º Dividimos 513 entre 22 para obtener el primer múltiplo de 22 anterior a 513:

513 : 22 = 23, y RESTO 7, lo cual significa que 22·23 es el múltiplo de 22 anterior a 513 (506).

2º Multiplicando 22·24 (23 + 1) obtenemos el primer múltiplo de 22 posterior a 513:

22·24 = 528

22·25 = 550

22·26 = 572, que ya no nos valdría por ser superior a 570.

Por tanto: 550,52857022513

PROPIEDAD INTERESANTE DE LOS MÚLTIPLOS: La SUMA de dos MÚLTIPLOS de un

número a es otro múltiplo de a.

Demostración: m·a + n·a = (m + n)·a

Por el contrario, si a un MÚLTIPLO de a se le SUMA otro número que NO LO SEA, el

resultado NO ES MÚLTIPLO de a.

Los DIVISORES de un número están contenidos en él una cantidad

exacta de veces (ver RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD) y, por tanto, lo dividen con un cociente exacto. Esto nos lleva a que la cantidad de divisores de un número será siempre finita, siendo el divisor más pequeño el 1 y el más grande el propio número.

Lo expresaremos de la siguiente forma: adedivisoresaDiv

Ejemplo: Obtén todos los divisores de 72:

}72,36,24,18,12,9,8,6,4,3,2,1{7291218243672

div

Los DIVISORES que nos faltan

Los COCIENTES de las divisiones

DIVISORES de un número

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Relación de divisibilidad

Recuerda que un número es divisor de 72 si la división de 72 entre ese número nos da exacta (cociente entero y resto cero), en cuyo caso el cociente también es divisor (gracias a la propiedad conmutativa). Este pequeño truco nos permite obtener los divisores de cualquier número haciendo la mitad de trabajo, ya que los cocientes de las divisiones también son divisores.

3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Los CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD son reglas sencillas que permiten averiguar si un número es o no divisible por otro, sin necesidad de hacer la división:

Divisible por…

Criterio de divisibilidad

2 Si termina en 0 o cifra par.

3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

5 Si termina en 0 o 5.

11 Si la suma de las cifras que ocupan los lugares impares menos la suma de las cifras que ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11.

Compuestos

6 6 = 2·3 Si cumple el criterio de divisibilidad del 2 y del 3, es decir, si el

número es par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (por ejemplo: 522. Es par y la suma de sus cifras es 9).

9 9 = 32 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

10 Si terminan en 0.

15 15 = 3·5 Si cumple el criterio de divisibilidad del 3 y del 5, es decir, si el

número termina en 0 o 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (por ejemplo: 225. Termina en 5 y la suma de sus cifras es 9).

Ejemplo: ¿75405 es múltiplo de 11? La suma de las cifras en posición par:

5 + 0 = 5

ª1ª2ª3ª4ª5

50457 16 – 5 = 11, que por supuesto es múltiplo de 11.

La suma de las cifras en posición impar: 7 + 4 + 5 = 16 Por tanto, 75405 es múltiplo de 11.

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Relación de divisibilidad

Recuerda, un número es múltiplo de 11 si la suma de las cifras que ocupan los lugares impares menos la suma de las cifras que ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11 (piensa que esta operación puede hacerse de cabeza). Si comprobamos dividiendo 75405 entre 11, el cociente es 6855 y el resto cero.