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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Regularidad en espacios de Besov yLizorkin-Triebel,
de la descomposicion de Hodge sobre variedadesRiemannianas con frontera
Francisco J. Torres Ayala FC-UNAMMa. de los Angeles Sandoval Romero, FC-UNAM
Miguel A. Ballesteros Montero, IIMAS
ENJIM15IMATE
30 de noviembre del 2015
Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Plan
Introduccion
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposicion de Hodge
Generalizaciones
Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Descomposicion de Helmotz
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz
Teorema
Sea F : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial C1 (U dominio acotadocon frontera suave). Entonces F se puede descomponer, de maneraunica, como una suma de un gradiente negativo, con potencial φ yel rotacional de un potencial a. Es decir
F = −∇φ+∇× a
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Solucion de ecuaciones con valores en la frontera
U ⊆ Rn, abierto acotado con frontera suave:
∇× X = F, en U
X|∂U = 0, en ∂U
PeroF = −∇φ+∇× a
entonces, para tener solucion, necesariamente −∇φ = 0.
Se propone X = a+∇g, con g en C∞(U).El problema es equivalente a :
(∇g)|| = −a|| y (∇g) · N = 0, en ∂U
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Y cuando desperte ...
el kernel del operador era distinto de cero
... pero su kernel y co-kernel eran finito dimensionales.
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Y cuando desperte ...
el kernel del operador era distinto de cero
... pero su kernel y co-kernel eran finito dimensionales.
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Aσ = η ⇒ σ = A−1η
Definicion Un operador se llama esencialemte invertible si esinvertible modulo operadores compactos.
Algebra de Calkin
C(H) := B(H)/K(H).
B(H)π→ C(H)
A es escencialmente invertible sii π(A) es invertible.
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Teorema de Atkinson
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales.
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Teorema de Atkinson(WRONG ATKINSON)
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales.
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Teorema de Atkinson
Frederic Valentine Atkinson
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales (i.e. T esFredholm).
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Problemas con valores en la frontera
Problema con valores en la frontera en U ⊂ Rn
Lu = v, en U
Lju = vj , 1 ≤ j ≤ l, en ∂U
Lu =∑|α|≤d
aα(x)︸ ︷︷ ︸matriz N ×N
∂α(u)
Lju =∑|β|≤dj
b(j)β (x)︸ ︷︷ ︸
matriz Nj ×N
∂β(u)
El sımbolo principal de L, se define como
pL(x, ξ) =∑|α|=d
aα(x)(ξ)α ∈MN,N
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Elipticidad
• Lopatskii-SapiroEl problema con valores a la frontera es elıptico si
1. pL(x, ξ) es invertible sii ξ 6= 0.
2. Para todo x y para todo ξ ∈ Rn \ 0, la transformacion
Mx,ξ →l⊕
j=1
CNj
σ 7→ (pLi(x, ξ + ien∂s)σ|s=0)1≤i≤l
es biyectiva, para todo ξ 6= 0, donde
Mx,ξ = σ : pL(x, ξ + ien∂s)σ = 0 y σ es acotada en R+
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Elipticidad
• Boutet de MonvelEl problema con valores a la frontera es elıptico si
1. pL(x, ξ) es invertible sii ξ 6= 0.
2. Para todo x y para todo ξ ∈ Rn \ 0 la transformacion
S(R+) 7→ S(R+)⊕l⊕
j=1
CNj
σ 7→ (pL(x, ξ + ien∂s)σ, pLi(x, ξ + ien∂s)σ|s=0)1≤i≤l
es biyectiva.
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Teorema (Hormander, Grubb, Rempel y Schulze)
Para el operador
∆nnd
: W spΩk(D)→
W s−2p Ωk(D)
⊕W
s−1/pp Ωk(D)|∂D
⊕W
s−1−1/pp Ωk+1(D)|∂D
son equivalentes:
1. Es elıptico
2. Es Fredholm, para todo s ≥ 2, 1 < p <∞.
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El reparto
• (M, g), variedad Riemanniana, orientada, completa con radioinyectivo positivo y geometria acotada.• D ⊂M , sub-variedad, compacta, conexa con frontera.
• d : Ωk(M)→ Ωk+1(M), t,n : Ωk(D)→ Ωk(D)|∂D
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y como estrella principal ...El operador de Hodge
∗ : Ωk(M)→ Ωn−k(M)
Si (Ei)1≤i≤n es un marco g-ortonormal (local):
∗(E∗i1 ∧ · · ·E∗ik
) = εE∗i′1∧ · · · ∧ E∗i′n−k
E1i1
E2i′1
E3i2
E4i′2
E5i′3
E6i′4
ε = ε(1, 3, 2, 4, 5, 6) = −1
Producto interior
〈η, ω〉 :=
∫Mη ∧ ∗ω
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La co-diferencial
δ : Ωk(M)→ Ωk−1(M)
δ(ω) = (−1)nk+n+1 ∗ d ∗ (ω)
Formula de Green
Para ω ∈ Ωk−1(D), η ∈ Ωk(D)
〈dω, η〉 = 〈ω, δη〉+
∫∂D
tω ∧ ∗nη
En un mundo sin fronteras (∂D = ∅)
〈dω, η〉 = 〈ω, δη〉
Entonces d y δ son adjuntos uno del otro.
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El operador de Laplace-Beltrami∆ := dδ + δd
• Laplaciano de Neumann:
∆(k)N :=
∆nnd
: Ωk(D)→ Ωk(D)⊕ Ωk(D)|∂D ⊕ Ωk+1(D)|∂D
• Laplaciano de Dirichlet:
∆(k)D :=
∆ttδ
: ΩK(D)→ Ωk(D)⊕ Ωk(D)|∂D ⊕ Ωk−1(D)|∂D
• Equivalentes
∗n = t∗, ∗t = n∗, nδ = δn, td = dt, ∗∆ = ∆∗
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El operador de Laplace-Beltrami
s ∈ N0, p ≥ 2
• Laplaciano de Neumann:
∆(k)N :=
∆nnd
: W spΩk(D)→
W s−2p Ωk(D)
⊕W
s−1/pp Ωk(D)|∂D
⊕W
s−1−1/pp Ωk+1(D)|∂D
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Potenciales y regularidad
HkN(D) = ω ∈ H1Ωk(D) : dω = δω = nω = 0
Teorema
Dado η ∈ HkN(D)⊥ exsite una unica k-forma φN tal que
∆φN = η, en D
nφN = 0, en ∂D
ndφN = 0, en ∂D
Ademas, si η es de clase W sp entonces φN es de clase W s+2
p .
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Ek(D) = dα : α ∈ H1Ωk−1(D), tα = 0Ck(D) = δβ : α ∈ H1Ωk+1(D),nβ = 0Hk(D) = ω ∈ H1Ωk(D) : dω = δω = 0
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Descomposicion de Hodge
Teorema (Hodge-Morrey)
L2Ωk(D), se descompone, como la suma L2-ortogonal de:
L2Ωk(D) = Ek(M)⊕ Ck(M)⊕Hk(D)
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En W sp
W spEk(D) = Ek(D) ∩W s
pΩk(D)
W spCk(D) = Ck(D) ∩W s
pΩk(D)
W spHk(D) = Hk(D) ∩W s
pΩk(D)
Teorema (Hodge-Morrey-Schwarz)
W spΩk(D) (s ∈ N0, p ≥ 2), se descompone, como la suma
L2-ortogonal de:
W spΩk(D) = W s
pEk(M)⊕W spCk(M)⊕W s
pHk(D)
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Extenciones• Schwarz, Gunter. Hodge Decomposition-A method for Solving
Boundary Value Problems. Lecture Notes in Mathematics.Springer-Verlag, 1995.
• Jonhsen, Jon. Elliptic boundary problems and the Boutet deMonvel Calulus in Besov and Triebel-Lizorkin spaces.Math.Scand. 79. pp. 25-28, 1996.
• Mitrea, Marius. Sharp Hodge Decompositions, Maxwell’sEquations, and vector Poisson problems on nonsmooth,three-dimensional riemannian manifolds. Duke Math. J. 125,3. pp. 467-547, 2004.
• Mitrea, Marius. Sharp Hodge decompositions in two and threedimensional Lipschitz domains. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I334. pp. 109-112, 2002.
• Schneider, Cornelia.Traces in Besov and Triebel- Lizorkinspaces on domains. Mathematische Nachrichten 284, 5-6.pp.572-586, 2011.
• Triebel, Hans. Theory of Function Spaces Vol. 1,2,3.
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Era un trabajo sucio...
Teorema
Asp,qΩk(D) (s > 0, 2 ≤ p, q ≤ ∞, p finito para Lizorkin-Triebel), se
descompone, como la suma L2-ortogonal de:
Asp,qΩk(D) = Asp,qEk(M)⊕Asp,qCk(M)⊕Asp,qHk(D)
Asp,qEk(D) = Ek(D) ∩Asp,qΩk(D)
Asp,qCk(D) = Ck(D) ∩Asp,qΩk(D)
Asp,qHk(D) = Hk(D) ∩Asp,qΩk(D)
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Espacios de Besov y Lizorkin-TriebelPara ındices, 0 < p, q ≤ ∞ y s ∈ R definimos
Bsp,q :=
f ∈ S′(Rn) :
( ∞∑k=0
2sqk‖(ϕkf)∨‖qLp
)1/q
<∞
con las moficicaciones usuales para q =∞.Para ındices 0 < p <∞, 0 < q ≤ ∞ y s ∈ R definimos
F sp,q :=
f ∈ S′(Rn) :
∥∥∥∥∥( ∞∑k=0
2sqk∣∣∣(ϕkf)∨(·)
∣∣∣q )1/q∥∥∥∥∥Lp
<∞
con las moficicaciones usuales para q =∞.Donde (ϕj)j∈N0 , es una particion de la unidad, suave que satisface
1. supp(ϕ0) ⊂ ξ ∈ Rn : ‖ξ‖ ≤ 2,2. para todo j ∈ N, supp(ϕj) ⊂ ξ ∈ Rn : 2j−1 ≤ ‖ξ‖ ≤ 2j+1,3.∑∞
k=0 ϕk(x) = 1, para todo x en Rn.
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Espacios de Besov y Lizorkin-Triebel
T : DT ⊆ H → H, operador lineal, no acotado, positivo,ϕ : R→ R continua.
ϕ(T )f :=
∫ ∞0
ϕ(t)dEf (t)
D(ϕ(T )) := f ∈ H :
∫ ∞0|ϕ(t)|2d‖Ef (t)‖ <∞
‖T sf‖ ∼
∞∑j=0
22js‖ϕj(T )f‖21/2
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Regularidad
Teorema
Supongamos que v ∈W 22 Ωk(D) resuelve el problema de valores en
la frontera
∆v = η, en U (1)
nv = ηn, en ∂U (2)
ndv = ηnd, en ∂U (3)
para η ∈ AspqΩk(D) ∩HkN(D)⊥, ηn ∈ Asp,pΩk(D)|∂D, ηnd ∈
As−1−1/pp,p Ωk+1(D)|∂D. Entonces, v ∈ As+2
pq Ωk(D).
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Descomposicion de Friedrics
Hkex(D) :=ω ∈ Hk(D) | ω = dα, para alguna α ∈W 1
2 Ωk−1(D)Hk
co(D) :=ω ∈ Hk(D) | ω = δβ, para alguna β ∈W 12 Ωk+1(D)
Teorema
AspqHk(D) = AspqH
kex(D)⊕Hk
N(D) = AspqHkco(D)⊕Hk
D(D),
AspqHk(D) = AspqH
kex(D)⊕Hk
N(D) = AspqHkco(D)⊕Hk
D(D),
donde la suma es ortogonal en L2.Los espacios AspqH
kex(D) y AspqH
kco(D) son cerrados con respecto a
la topologıa de Aspq.
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G RACIAS