Actividad nro. 2.a- Exactitud regla del punto medio:

Regla de integración: (síntesis de la regla de cuadratura)

Tiene exactitud k, si:

( ) ( ( )); ( )b

k

a

p x dx Q p x p x p

Pero no para 1( ) kp x p

Exactitud k solo si es para la base 21, , ,...., kx x x pero no para

1kx

Se debe verificar: 0

b nm k

j jja

x dx X A

con m=1, 2,3,….., k. pero no para m=k+1

( )b a

n

11

0

( )( )

2

nj j

j

x xb aR f f

n

(Formula del método)Hago:

Parto de un supuesto: (exactitud 1)

1

1

0xdx

xo= - 1; x1=1

0 12* 02

x xf

Verifica

Supongo exactitud 0:

1

1

1 2dx

0 12* 2

2

x xf

Pruebo con exactitud 2:

12

1

2 / 3x dx

0 12* 0

2

x xf

2 / 3 0

Por lo tanto puedo decir que la regla de punto medio tiene exactitud 1.

b- Exactitud de la regla del trapecio:

0

( ) ( )n

j jj

Q f f x A

Parto de un supuesto: (exactitud 2)

Pruebo:

12

1

2 / 3x dx

( )[ ( ) ( )]

2

b aTf f a f b

(Formula del método)

1*[ ( 1) (1)] 2f f

2 / 3 2

Supongo exactitud 1:

1

1

0xdx

1*[ ( 1) (1)] 0f f Verifica, la regla del Trapecio tiene exactitud 1.

d- Exactitud de la Regla de Gauss- Legendre para dos nodos:

Para dos nodos tengo:

1 2 1W W

11 ( )

31

23

x

x

Supongo exactitud 2:

12

1

2 / 3x dx

( ) 1 ( 1) 2 ( 2)b

a

f x dx W f x W f x (Formula del método)

Pruebo:

12

1

2 / 3x dx

1 11* ( ( )) 1* ( ) 2 / 3

3 3f f

Supongo exactitud 3:

13

1

0x dx

1 11* ( ( )) 1* ( ) 0

3 3f f

Pruebo exactitud 4:

14

1

2 / 5x dx

1 11* ( ( )) 1* ( ) 2 / 9

3 3f f

2 / 5 2 / 9 Por lo tanto la Regla de Gauss-Legendre para dos nodos tiene exactitud 3.

c- Exactitud de la Regla de Simpson:

1 0 1

24

6Tf f f f

(Formula del método)

Supongo exactitud 3:

13

1

0x dx

3 32( 1) 4*(0) 1 0

6

Pruebo exactitud 4:

14

1

2 / 5x dx

4 42( 1) 4*(0) 1 2 / 3

6

2 / 5 2 / 3 Por lo tanto este método tiene exactitud 3.

Actividad nro. 3:a-

Pruebo que la formula es exacta para: 2 3 4 5( ) 1, , , , ,f x x x x x x

Verifica lo siguiente:

1

1

1

1

1/2 1/2

12 2

1

13 3

1

3/2 3/2

14 4

1

( ) 1, 1 2

5*(1) 8*(1) 5*(1)2

9

( ) , 0

5*( (3 / 5) ) 8*(0) 5*((3 / 5) )0

9

( ) , 2 / 3

5*(3 / 5) 8*(0) 5*(3 / 5)2 / 3

9

( ) , 0

5*( (3 / 5) ) 8*(0) 5*((3 / 5) )0

9

( ) ,

f x dx

f x x xdx

f x x x dx

f x x x dx

f x x x

2 2

15 5

1

5/2 5/2

2 / 5

5*((3 / 5) ) 8*(0) 5*((3 / 5) ) 180, 4

9 45

( ) , 0

5*( (3 / 5) ) 8*(0) 5*((3 / 5) )0

9

dx

f x x x dx

Probado.

b- Para la base: 1, x, x^2, x^3, x^4, x^5.

Pariendo de la formula general del método para tres nodos obtengo las 6 ecuaciones con las 6 incógnitas.

1

1

1

1

12 2 2 2

1

13 3 3 3

1

4 4

( ) 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3)

( ) 1, ( ) 2 1 2 3

( ) , ( ) 0 1 1 2 2 3 3

( ) , ( ) 2 / 3 1 1 2 2 3 3

( ) , ( ) 0 1 1 2 2 3 3

( ) , ( ) 2 / 5 1 1 2

b

a

f x dx W f x W f x W f x

f x f x dx W W W

f x x f x dx W x W x W x

f x x f x dx W x W x W x

f x x f x dx W x W x W x

f x x f x dx W x W

1

4 4

1

15 5 5 5

1

2 3 3

( ) , ( ) 0 1 1 2 2 3 3

x W x

f x x f x dx W x W x W x