11. Integración Aproximada-Regla Del Trapecio y Regla de Simpson
Regla de la cadena para la integración
3
Por Eleazar J. García Regla de la cadena para la integración Sea g una función diferenciable cuyo conjunto de imágenes es el intervalo [ ] , . ab Sea f una función definida en [ ] , ab y F una antiderivada o primitiva de f en [ ] , . ab Entonces: ( ) ( ) ( ) [ ( )]· () [ ( )] , . fgx g x dx f gx d gx Fgx C C ′ = = + ∈ ∫ ∫ ℝ Note que: [ ( ( )) ] ( ( ))· () 0 ( ( ))· ( ). x D Fgx C F gx g x F gx g x ′ ′ ′ ′ + = + = Ahora, como F es una primitiva de , f entonces, ( ) () , F x f x ′ = por lo que: () [ ( )]· () [ ( )]· ( ). F gx F gx g x fgx g x ′ ′ ′ ′ = Luego, tenemos que: 1. 1 [ ( )] [ ( )] · () , 1 1 n n gx gx g x dx C n n + ′ = + ≠− + ∫ . Comprobación: En efecto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 [ ( )] [ ( )] 1 1 1 0 . 1 n n n n d gx d gx d C C dx n dx n dx n gx g x gx g x n + + + − + = + + + ′ + ⋅ ′ = + = ⋅ + 2. 1 , 1 1 n n x x dx C x n + = + ≠ + ∫ . Comprobación: ( ) 1 1 1 1 n n d d d C C dx n dx x x n dx + + + = + + +
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Estudio de la regla de la cadena para l integración.
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Por Eleazar J. García
Regla de la cadena para la integración
Sea g una función diferenciable cuyo conjunto de imágenes es el intervalo [ ], .a b
Sea f una función definida en [ ],a b y F una antiderivada o primitiva de f en [ ], .a b
Entonces:
( ) ( )( )[ ( )]· ( ) [ ( )] , .f g x g x dx f g x d g x F g x C C′ = = + ∈ ∫ ∫ ℝ
Note que:
[ ( ( )) ] ( ( ))· ( ) 0 ( ( ))· ( ).xD F g x C F g x g x F g x g x′ ′ ′ ′+ = + =
Ahora, como F es una primitiva de ,f entonces, ( )( ) ,F x f x′ = por lo que:
( )
[ ( )]· ( ) [ ( )]· ( ).
F g x
F g x g x f g x g x
′
′ ′ ′=�����
Luego, tenemos que:
1. 1[ ( )]
[ ( )] · ( ) , 11
nn g x
g x g x dx C nn
+
′ = + ≠ −+∫ .
Comprobación:
En efecto,
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1 1
1 1
[ ( )] [ ( )]
1 1
1
0 .1
n n
n
n
d g x d g x dC C
dx n dx n dx
n g x g x
g x g xn
+ +
+ −
+ = + + +
′+ ⋅ ′= + = ⋅ +
2. 1
, 11
nn xx dx C x
n
+
= + ≠+∫ .
Comprobación:
( )1 1
1 1
n nd d dC C
dx n dx
x x
n dx
+ + + = + + +
Eleazar J. García
( ) ( )1 1
10
1
n
nn x
xn
+ −+= + =
+
Ejemplos:
1. 1 1 2
1 1 2
x xx dx C C
+
= + = ++∫
2. 6 6
5 5 24 4 4
6 3
x xx dx x dx C C= = + = +∫ ∫
3.
3 413 47 7
7 77
3 4 41
7 7
x xx dx C C x C
−+−
= + = + = +−
+∫
4. 5(2 1)x dx+∫
Note que: (2 1) 2,xD x + = por lo que es necesario multiplicar por 1
2 y 2
de la
siguiente manera,
6 65 51 1 (2 1) (2 1)
(2 1) 2(2 1)2 2 6 12
x xx dx x dx C C
+ ++ = + = + = +∫ ∫ ∫
5. 2 2
55
3 4 3 4
x xdx dx
x x=
+ +∫ ∫
Observe que: 2(3 4) 6 ,xD x x+ = por tal razón, debemos multiplicar por 1
6 y 6
de la
forma siguiente,
11 2 2
2 2
2 2
5 5 5 (3 4)5 6 (3 4) ·
16 63 4 3 42
x x xdx dx x x dx C
x x
− += = + = +
+ +∫ ∫ ∫
253 4
3x C= + +
6.
1
2 3(2 )(4 5)y y y dy+ + +∫
Lic. Eleazar J. García
Puesto que: ( ) ( )24 5 4 2 2 2 ,yD y y y y+ + = + = + por lo tanto, debemos multiplicar
por 1
2 y 2
de la manera siguiente,
1 1
2 23 31
(2 )(4 5) · 2(2 )(4 5)2
y y y dy y y y dy+ + + = + + +∫ ∫
41 42 3
2 23 31 1 (4 5) 3· (4 2 )(4 5) · (4 5)
42 2 8
3
y yy y y dy C y y C
+ += + + + = + = + + +∫
7. ( )6 5
2
2
ln 3 5
3 5
z
z zdz
z z
++
+∫
Como: ( ) ( ) ( )6
2
25
2
2
6 5 lln 3 5 n 3
3 5,
3 5
5z
z zz zdz
z zdz
z
z
z
++
+=
+
++
∫ ∫ y
( )2
2
6 5ln 3 5 ,
3 5z
zD z z
z z
+ + = + entonces,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
62
2
2
52
2 2
22
6 5 ln 3 5 6 5ln 3 5
3ln 3 5 ,
3 55
3 5
3 5
ln
z
z z z zdz z z dz
z zdz
z z z z z z
z z C
++ + +
= = + ⋅+
= + +
+
+ +
∫ ∫ ∫
Resuelva:
6 53
54
2
2 3 3
43 2
3
5 3 4, 0 2. 3. (4 3 )
7(1 5 ) 34. 5 (3 2 ) 5.
1
6. ,23 22 5
.
4
xdx x dx x x dx
xx
x dxu u du dx x
xx x
+> +
++ <
−+ +
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
