UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVILCARRERA DE INGENIERIA CIVIL

Nombre: Luis Edwin Robles Erazo Materia: Calculo DiferencialParalelo: 1ro ´´C´´Fecha: 07 de Agosto del 2014Docente: Ing. Ginger Carrión

Trabajo investigativo # 13

Regla de la cadena.

La regla de la cadena se usa para derivar funciones compuestas, una función compuesta se denota porg(t ( x )), es decir, suponiendo tres conjuntos de números reales, X, Y, Z. Para cadax∈ X , el numero t (x) está en Y. Como Yes el dominio de gse puede encontrar la imagen de t (x) bajo g. Este elemento en Z se denota por g(t ( x )). Al asociar g(t ( x )) con x se obtiene una función de X a Z que se llama función compuesta. En f ( x )=g (t ( x ))donde g (t ( x ) ), si g (u )y t ( x )son derivables, entonces la derivada de esta función compuesta estádada por f ' ( x )=g' (u )t '(x ), pero ya que u=t(x ), entonces la derivada está dada por f ' ( x )=g' ¿

Ejemplo: Calcular la derivada: f ( x )=¿

Si u=x2+1 , u'=2 xEn este caso m=3f ' ( x )=3¿ *2x = 6x (x2+1¿2

Otra definicion:

La regla de la cadena

Si u es una función diferenciable de x, y f es una función diferenciable de u, entonces f es una función diferenciable de x, y:

ddx

[ f (u ) ]=f ' (u) dudx

Ejemplo: tomando f ( x )=x3, obtenemos:

ddx

u3=3u2 dudx

 

TEOREMA DE ROLLE

Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un número c en (a,b).

Ejemplos:

1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.

Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Además,

f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8   y,  f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8.  Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8.

Luego, f’(x) = 4x3 - 4x

= 4x(x2 - 1)

= 4x(x + 1)(x - 1)

Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’(-1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO (LAGRANGE)

Si f (x)es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe algún punto c∈ (a , b )

tal que f (b )−f (a)

b−a=f ' c

Interpretación geométrica: existe un punto perteneciente al intervalo en el que la tangente a f (x) es paralela a la secante que pasa por los puntos de abscisa a y b.

De otro modo: existe un punto del intervalo en el que la tasa de variación instantánea coincide con la tasa de variación media de todo el intervalo.

Interpretación física: si se realiza un trayecto a velocidad media v, en algún instante de ese trayecto se ha llevado esa velocidad v .

Ejemplo:

La función f ( x )=x3−6 xes continua y derivable en el intervalo [-2,1]¿>∃ c ,−2<c<1tal

que f (1 )−f (−2 )

1−(−2 )=f ' (c ) .

En efecto: −5−4

1−(−2)=3 x2−6=¿−3=3 x2=1=¿ x=−1 , x=1

El valor medio que cumple el teorema es x= -1, el número que pertenece a (-2,1)

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE LAGRANGE.

1. Si una función f (x) ) es tal que f ' ( x )=0 para todo x de un intervalo, entonces f ( x )es constante en el intervalo.Si f ( x )=0, de f ( x )=f (a )+ f ' (c )(x−a) f ( x )=f (a )=cte .

2. Si f ( x ) y g (x)verifican que f ' ( x )=g ' (x)para todo x de un intervalo, entonces f ( x ) y g (x) se diferencian en una constante. (Pues f −gcumple que f '−g'=0¿.

3. Si una función f ( x )es tal que f ' ( x )>0para todo x de un intervalo, entonces f ( x ) es creciente en el intervalo. Si f ( x )>0 , de f ( a+h )=f (a )+h' f (c)f ( a+h )> f (a)

Análogamente, sif ( x )<0 para todo x de un intervalo, entonces es decreciente en el intervalo.

Regla de L’ Hopital.

Supongamos que limx →a

f ( x )=0 y limx→ a

g ( x )=0 , siendo g(x )≠ 0 en un entorno de a,

entonces, si existe limx →a

f ' (x)g '(x )

,se cumple que limx →a

f (x)g '(x )

Esto es válido si ase sustituye por a+¿ , a−¿ ,+∞, o−∞ .¿ ¿

Cabe recalcar: la regla dice que “el límite de un cociente es igual al límite del cociente de las derivadas”; y no al de la derivada del cociente.Ejemplos:

limx →0

senxx

=[ 00 ]→ Aplicando la regla de la L’Hopital se tiene.

limx →0

senxx

=[ 00 ]=lim

x →0

cosx1

=11=1.

RESEÑA BILBLIOGRAFICA:

Universidad Nacional Autónoma de México. Portal Académico del CCH. Recuperado: El 5 de agosto del 2014. Disponible en: http://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/matdidac/sitpro/mate/calc/calc1/calculo/U3_Cadena.pdf

TORO JIMÉNEZ, Nilsa. Facultad: Departamento de ciencias naturales y matemáticas. (s.d). Recuperado: el 5 de agostos del 2014. Disponible en:http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Teorema%20de%20Rolle%20y%20Teorema%20del%20Valor%20Medio.htm

MARTÍNEZ MEDIANO, José M. Universidad de Alcalá.(s.d). Matemáticas II. Teoremas del valor medio. Recuperado el 05 de agosto del 2014. Disponible en:http://www2.uah.es/jmmartinezmediano/matebach2/Mat%20II%20Tema%2014%20T

oremas%20del%20VM%20y%20regla%20de%20LHopital.pdf