Registros de representación semiótica para el aprendizaje ...

ESCUELA DE POSGRADO

Registros de representación semiótica para el aprendizaje significativo de la

integral definida y sus aplicaciones en el cálculo integral-nivel universitario

TESIS PARA OPTAR EL GRADO ACADÉMICO DE:

AUTOR:

Br. Holger Andrés Espinola López

(ORCID 0000-0002-9174-6961)

ASESORA:

Dra. Kony Luby Durán LLaro

(ORCID 0000-0003-4825-3683)

LÍNEA DE INVESTIGACIÓN:

Innovación pedagógica

Trujillo – Perú

2019

Maestro en Educación con mención en docencia y gestión educativa

ii

Página del jurado

______________________________________________

Dr. Ramón Asunción Lezcano Tello.

PRESIDENTE

______________________________________________

Mg. Víctor Ivan Pereda Guanilo.

SECRETARIO

______________________________________________

Dra. Kony Luby Durán Llaro.

VOCAL

iii

Dedicatoria

Mi tesis la dedico a la Inteligencia Infinita que

desde la supra realidad ha observado e

influenciado en mi desarrollo evolutivo en las

diversas realidades del Multiverso.

A mis padres Andrés y Santos, que siempre me

obsequiaron su amor y protección incondicional,

induciéndome la sabiduría que el desarrollo del ser

es más importante que el tener y que la educación

es la vía más segura del progreso personal y

colectivo.

A mi segunda madre Luzmila, in memoriam, por

encaminarme desde temprano en los mejores

valores humanos y haber recibido de ella

abundante amor y protección en el preámbulo de

mi vida.

A mi abuela Juanita, Marcionila,

Zoraida, Arístides y Román, in

memoriam, por haber escuchado con

mucha atención mis relatos sobre

aspectos de la ciencia y de la cultura,

haberlos valorado y disfrutado mucho.

A mi esposa Mary por la excelente

manifestación de su amor expresado en su

completa dedicación a la familia que

formamos.

A mis hijos Holger, Cynthia y Khriss, como

muestra del amor singular que tengo por

ellos.

iv

Agradecimiento

Agradezco a toda mi familia cercana por haber

permeado en mí el inefable amor por la ciencia, por

haber aceptado dedicar mi vida a la docencia en

matemática, la pasión que siempre ha embargado el

sentido de mi vida. A la Universidad Nacional de

Trujillo, donde pasé extraordinarios años de mi vida

estudiando las exuberantes maravillas de la

matemática. A la Universidad de Brasilia que me

mostró la supra belleza de la matemática. A la

Universidad César Vallejo, que admitió mi

consolidación en el post grado. A la Universidad

Privada del Norte por incorporarme a su gran familia

con gesto muy loable. Al maestro Felfe Cerna, por sus

valiosas sugerencias en la elaboración de los “planos”

de este trabajo. A mi hijo Holger por sus sugerencias

para la elección de la praxeología. A la Dra. Kony

Durán, mi orientadora, por su inspiración y confianza

que este trabajo se realizaría, por sus valiosas

orientaciones, sugerencias y su paciente espera.

v

Declaración de Autenticidad

Yo, Holger Andrés Espinola López, egresado de la Escuela de post grado de la Universidad

César Vallejo, filial-Trujillo; declaro que el trabajo académico titulado “Registros de

representación semiótica para el aprendizaje significativo de la integral definida y sus

aplicaciones en el cálculo integral-nivel universitario” presentado en 106 folios para la

obtención del grado académico de Maestro en Docencia Universitaria, es de mi autoría.

Por lo tanto, declaro lo siguiente:

He mencionado todas las fuentes empleadas en el presente trabajo de investigación,

identificando correctamente toda cita textual o de paráfrasis proveniente de otras

fuentes, de acuerdo a lo establecido por las normas de elaboración de trabajos

académicos.

No he utilizado ninguna otra fuente distinta de aquellas expresamente señaladas en

este trabajo.

Este trabajo de investigación no ha sido previamente presentado completa ni

parcialmente para la obtención de otro grado académico o título profesional.

Soy consciente de que mi trabajo puede ser revisado electrónicamente en búsqueda

de plagios.

De encontrar uso de material intelectual ajeno sin el debido reconocimiento de su

fuente o autor, me someto a las sanciones que determinan el procedimiento

disciplinario.

Trujillo, 07 de noviembre del 2019

__________________________

Holger Andrés Espinola López

DNI: 17942679

vi

ÍNDICE

Carátula……………………………………………………………………………………

Página del jurado…………………………………………………….…………………..ii

Dedicatoria…..………………...………………………..…..…………………….…….iii

Agradecimiento.………..………………………………..…….………………..…..…..iv

Declaratoria de autenticidad……………………………………………..........................v

Índice………………………………………………………..….……………….………vi

RESUMEN……………………………………………………………………………..vii

ABSTRACT…………………………………………………………………………...viii

I. INTRODUCCIÓN……………………………………………...…………....9

II. MÉTODO………………………………….…….………………….............50

2.1. Tipo y diseño de investigación…………………………..…...…………..……50

2.2. Escenario de estudio…………………………………….……………..….…...50

2.3. Participantes………………………………………………………….…...…....50

2.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos………………………….......51

2.5. Procedimiento………………………..…………………………...…………....51

2.6. Método de análisis de información……….……………………..……………..52

2.7. Aspectos éticos……………….…………...……….…………………………...54

III. RESULTADOS …..……….……………….……..………………………...55

IV. DISCUSIÓN……..………..………...….…………………………….……...60

V. CONCLUSIONES…………………………………………………….…......62

VI. RECOMENDACIONES....……….……….……………...…………….........63

REFERENCIAS………………….…………..………………………………………......65

ANEXOS………………………………..……………………………..……….………...69

vii

RESUMEN

Se presenta una propuesta de trayectoria didáctica para la enseñanza de la integral definida

y sus aplicaciones desde la concepción del cálculo integral como análisis matemático por

infinitesimales, tomando como punto de partida un sistema de prácticas o praxeología

(Godino, 2002 y Font, Godino y Gallardo, 2013) de la cual emergen los objetos matemáticos

que ontológicamente son de naturaleza cognitiva y cuyo único acceso se viabiliza mediante

sus representaciones semióticas, que siguiendo a Duval (1993, 2006) los movilizamos en

diversidad, con sus transformaciones de conversión y tratamiento (que son un todo en la

resolución de problemas), coordinándolos y evitando paradojas cognitivas y conflictos

semióticos en el aprendizaje al apoyarnos en estrategias didácticas que utilizan el software

dinámico e interactivo GeoGebra (López, F., Nieto, Antolín y López, P. 2013). Enfatizamos

la importancia de las representaciones semióticas de los objetos matemáticos, a priori

diferenciando ambas cosas, concordando con Duval, que estas juegan un papel fundamental

en la actividad matemática; por eso proponemos y caracterizamos la estructura de un

modelo de registros de representación semiótica para la integral definida y sus aplicaciones

a la ingeniería y lo fundamentamos con los estudios ontológicos de Pecharromán (2013,

2014), las teorías de los registros de representación semiótica de Duval (1993, 2006), los

desarrollos teóricos ontosemióticos de Godino (2002) y los estudios sobre la

conceptualización constructivista de D´Amore (2004). Aquí está la relevancia de nuestro

estudio, que aparte de ser una propuesta que visa a generar aprendizajes significativos de

la integral definida y sus aplicaciones, este se enmarca dentro de la convergencia de

disciplinas como la didáctica matemática, ontología, semiótica y teoría cognitiva.

Palabras clave: Registros de representación semiótica, integral definida, geogebra e

integral definida, aplicaciones de la integral definida, conversión y tratamiento.

viii

ABSTRACT

A proposal of didactic trajectory for the teaching of the definite integral and its applications

is presented from the conception of the integral calculus as mathematical analysis by

infinitesimals, taking as a starting point a system of practices or praxeology (Godino, 2002

and Font, Godino and Gallardo , 2013) from which the mathematical objects emerge that are

ontologically cognitive in nature and whose only access is made possible through their

semiotic representations, which following Duval (1993, 2006) we mobilize them in

diversity, with their conversion and treatment transformations (which they are a whole in

solving problems), coordinating them and avoiding cognitive paradoxes and semiotic

conflicts in learning by supporting us in didactic strategies that use GeoGebra dynamic and

interactive software (López, F., Nieto, Antolín and López, P. 2013) . We emphasize the

importance of semiotic representations of mathematical objects, a priori differentiating both,

agreeing with Duval, that these play a fundamental role in mathematical activity; That is

why we propose and characterize the structure of a model of semiotic representation records

for the definite integral and its applications to engineering and we base it with the ontological

studies of Pecharromán (2013, 2014), the theories of Duval's semiotic representation records

(1993, 2006), the ontosemiotic theoretical developments of Godino (2002) and the studies

on the constructivist conceptualization of D'Amore (2004). Here is the relevance of our

study, which apart from being a proposal that seeks to generate significant learning of the

definite integral and its applications, this is framed within the convergence of disciplines

such as mathematical teaching, ontology, semiotics and cognitive theory.

Keywords: Records of semiotic representation, definite integral, geogebra and definite

integral, applications of the definite integral, conversion and treatment.

9

I. INTRODUCCIÓN

Realidad problemática

Según Engels (1876, citado en Ríbnikov, 1974, p. 9) el objeto de estudio de la

Matemática es “las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real”. En

este contexto, los objetos matemáticos se diferencian de los objetos utilizados en otros

campos del conocimiento por la singularidad; de que para su aprehensión se carece de

la vía directa de acceso, es decir no se los puede conocer por percepción directa o

instrumentación, solo conceptualmente, valiéndose de ciertas representaciones

semióticas (D´Amore, Fandiño, Iori y Matteuzzi, 2015).

La exclusividad de la existencia funcional, pero no material de los objetos matemáticos

obliga la necesidad de representarlos externamente con signos que permitan expresarlos

y reconocerlos (Pecharromán, 2014). Por tanto, el estudio de los objetos matemáticos,

por su ontología, es de naturaleza semiótica y la cognición juega un papel fundamental

en su aprendizaje.

Según Duval, aprender matemática exige que se coordinen como mínimo dos registros

de representación (Damisa y Ponzetti, 2015). Además, los procesos matemáticos solo

pueden ser realizados utilizando un sistema semiótico de representación (Martínez y

Hernández, 2016).

Son conocidas las múltiples dificultades, que tienen los estudiantes, para aprender

matemática en todas las latitudes del mundo, en particular en Perú, donde los índices de

reprobación en los cursos de cálculo invitan hacer un acto reflexivo del proceso de

enseñanza-aprendizaje, las estrategias didácticas y sobre todo de los recursos con que se

cuentan, para la mediación docente de la actividad matemática. Hay una creencia

habitual que el matemático de formación está apto, como tal, para ejercer la docencia en

matemática, lo cual puede no ser necesariamente siempre cierto. Considerando que en

el Perú la actividad laboral del matemático termina en la gran mayoría de los casos

inevitablemente en la docencia y que la mediación docente requiere conocimientos de

pedagogía y didáctica de la matemática, este trabajo se constituye en una necesaria

contribución a la mejora del ejercicio profesional del matemático como docente en su

búsqueda de generar aprendizajes significativos en estudiantes de cálculo integral y

10

conocer las dificultades que se presentan en este proceso. En este contexto, Duval

expuso una de estas dificultades; en su famosa paradoja en la cual manifiesta que casi

inevitablemente un sujeto, en fase de aprendizaje, puede confundir el objeto matemático

que está tratando de construir cognitivamente con su representación semiótica

(D´Amore, Fandiño, Iori y Mateuzzi, 2015, p. 180) y que tal confusión acarrea consigo

un efecto de pérdida de la comprensión (Penalva y Torregrosa, 2001). Por otro lado,

cabe preguntarse ¿cómo se puede lograr dominar los tratamientos matemáticos si no se

adquirió previamente un aprendizaje conceptual de los objetos matemáticos? Duval

expone las bases de la apropiación conceptual de un objeto matemático, señalando dos

de sus características fuertes: usar por lo menos dos registros de representación

semiótica y concebir y desarrollar nuevos sistemas semióticos (Oviedo, Kanashiro,

Bnzaquen, Gorrochátegui, 2012, p. 32).

Nardin et al. (2012), estudia los registros de representación semiótica para la integral

definida en el enfoque de primitiva de una función. Lee y Martínez (2014) estudian los

registros de representación semiótica para la integral definida en el cálculo

multivariable. Ely (2017) da las pautas sobre los modos de interpretación de la notación

(registro de representación semiótica) del cálculo que respaldan el modelado e

interpretación del contexto, en las aplicaciones. Flores (2015), en su libro estudia la

educación matemática en Perú evidencia las publicaciones relacionadas con el uso de la

tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de diversos temas matemáticos, y menciona

que el grupo de investigadores y estudiantes de la maestría en enseñanza de las

matemáticas de la PUC de Perú e investigadores del grupo Processos de Ensino e

Aprendizagem de Matemática PEA-MAT de la Pontificia Universidad Católica de Sao

Paulo-PUC-SP se propusieron trabajar en conjunto y estudiar temas relacionados con el

aprendizaje de conceptos geométricos y algebraicos, tomando como referencia teórica

la teoría de registros de representación semiótica, pero no menciona la producción de

trabajos sobre registros de representación semiótica relacionados con la integral

definida.

En este trabajo, y dada la relevancia de la comprensión conceptual de la integral definida

en el ámbito del análisis matemático y el manejo de sus aplicaciones en problemas de

ingeniería, se proponen sistemas semióticos que faciliten su aprendizaje y el dominio

de sus aplicaciones, caracterizándolos en el marco de la teoría de Duval que indica como

11

un sistema semiótico puede tornarse en un registro de representación al admitir tres

actividades cognoscitivas relacionadas con la semiosis: Identifica al objeto matemático

(representación), puede ser transformada al interno del registro en el cual fue

formulada (tratamiento) y puede ser transformada en otra representación de otro

registro (conversión), conservando todo o parte del significado de la representación de

partida (Oviedo, Kanashiro, Bnzaquen y Gorrochátegui, 2012, p. 32).

Usar y comprender las representaciones semióticas de objetos matemáticos, por parte de

los estudiantes, puede conllevar a limitaciones que se reflejen en que puedan tener los

siguientes problemas: con frecuencia no logren comprender su naturaleza comunicativa

y figurada, aunque realicen el análisis de varias representaciones, terminen

focalizándose en una de ellas (la más probable sería aquella que les resulte más familiar

y real) y en las características superficiales de la misma (no en aquellas que son

esenciales conceptualmente) y cuando utilicen diferentes representaciones les resulte

difícil coordinarlas e integrarlas y solo consigan realizar conexiones entre ellas cuando

resuelvan problemas (García y Perales, 2006, citado en Hernández, Cervantes, Ordoñez

y García, 2017).

Caracterizamos nuestro modelo de representación semiótica, a fin de conseguir cuatro

ventajas, en el proceso de aprehensión de la integral definida y sus aplicaciones

(Hernández, Cervantes, Ordoñez y García, 2017): lograr una comprensión que produzca

los efectos esperados y sea integradora, centrando el aprendizaje en la conversión de las

representaciones y en la coordinación de los diferentes tipos de registros semióticos;

extraer conocimiento nuevo de los objetos matemáticos representados, mediante las

transformaciones de ciertas representaciones en otras; configurar los conceptos, en su

completa extensión y profundidad, mediante el énfasis de sus características y

propiedades en cada registro de representación, y atender las peculiaridades de

aprendizaje de cada estudiante, presentando los objetos matemáticos por mediación de

varias representaciones.

Las ventajas del modelo que se propone, es que parte de la concepción del cálculo

integral como análisis matemático por infinitesimales (la integral de Riemann) (Larson

y Edwars, 2011), (Stewart, 2018), presenta como componente técnico una praxeología

intra y extra matemática (sistema de prácticas) desde donde emergen los objetos

matemáticos que se representan movilizando diversos registros de representación

12

semiótica para no confundir objeto representante de objeto representado, logrando

transformaciones de conversión y tratamiento, la coordinación entre la diversidad de

registros (que es condición esencial para cualquier aprendizaje de base) (Duval, 1993,

Trad. MMoretti, 2012, p. 270) y evitando los conflictos semióticos que puedan

presentarse en el aprendizaje con el apoyo del software dinámico, interactivo y gratuito

GeoGebra (Gruszycki, A., Oteiza, Mara, Gruszycki , L. y Ballés, p. 2173), (López, F.,

Nieto, Antolín y López, P, 2013, p. 65). Este modelo es una alternativa para generar

aprendizajes significativos de la integral definida y sus aplicaciones en el sentido que

contenga los registros semióticos correspondientes a los saberes previos, con los cuales

interactuarán los registros que representen a los nuevos conocimientos sobre integral

definida y sus aplicaciones, a fin de producir cambios en la estructura cognitiva del

estudiante (Ausubel, citado en de Carvalho y Schirlo, 2014).

En este trabajo alcanzamos nuestro objetivo, caracterizando los registros de

representación semiótica, en juego, en la resolución de los ejercicios 5 y 20 de la

práctica, fundamentándolos teóricamente, y estructurando un modelo para el aprendizaje

de la integral definida que puede generar aprendizajes significativos en estudiantes de

ingeniería.

Sobre las características que deben presentar los registros semióticos que proponemos

para la representación de los objetos matemáticos involucrados en la actividad

matemática con la integral definida y sus aplicaciones, manifestamos expresamente que

los usamos solo como representaciones semióticas particulares de estos objetos, que no

son los objetos en sí y tampoco son unívocos con ellos y que están orientados a la

construcción del conocimiento matemático a través de tres operaciones básicas:

representar los objetos mediante un registro determinado, tratar las representaciones

al interno de un mismo registro y realizar conversiones, de las mismas, de un registro

dado a otro, de acuerdo con las tres razones que da D’ Amore: La conversión colisiona

con manifestaciones de no congruencia, que constituyen el muro más invariable que se

observa en la aprehensión de objetos matemáticos, la conversión permite fijar con

claridad los medios que el estudiante utiliza para procesar la información, lo que permite

observar y experimentar de manera precisa y sutil y la conversión es anticipada por la

coordinación, de por lo menos dos registros de representación iniciados y que dan inicio

a la “conceptualización” (D´Amore, 2011).

13

Nuestro abordaje sobre los registros de representación del objeto matemático integral

definida y sus aplicaciones a la ingeniería es esencial, pero no únicamente, cognitivo y

lo realizamos desde la perspectiva del enfoque ontológico y semiótico de la cognición

matemática propuesto por Godino, en el cual, mejora la noción débil que considera como

objeto matemático a todo ente o elemento referido o hablado, real o ficticio o de otro

tipo que tome parte, de alguna manera, en la actividad matemática; por una “teoría

fuerte”, como lo llama, evidenciando su postura ontológica al considerar el objeto

matemático como una metáfora que consiste en llevar una de las peculiaridades de los

entes físicos a la matemática, aceptando la factibilidad de distinguirlo de otros entes. De

acuerdo con lo anterior, todo lo que se pueda “individualizar” en matemática puede

considerarse como objeto; por ejemplo: conceptos, propiedades, representaciones,

procedimientos, símbolos, etc. (Godino y Font, 2002, p. 2). Esta abordaje representa un

hecho de suma importancia para la profesión del docente en matemática, dado que

permite encuadrar el conocimiento matemático en un contexto más amplio, desde el cual

científicamente se percibe con mayor claridad y fundamento los problemas de

aprendizaje de la matemática y sus correspondientes soluciones. Para la sociedad, este

trabajo apertura la posibilidad de generar un mayor interés por una matemática que

pueda ser aprendida conceptualmente desde sus aplicaciones y evitando conflictos

semióticos de aprendizaje gracias a la manipulación de herramientas tecnológicas y tal

vez esto contribuya a un mejor aprendizaje y a una disminución de la deserción o

reprobación de los cursos de cálculo integral por parte de los estudiantes de ingeniería.

Ahora bien, los objetos matemáticos existen debido a que son o están representando una

funcionalidad organizativa o interpretativa, en un contexto dado, una funcionalidad que

se torna objeto. Los objetos matemáticos son entes que cumplen algunas determinadas

relaciones, las cuales determinan un estado de las cosas y este estado se constituye en el

objeto, como objeto estado. Se puede considerar, entonces, al objeto matemático como

un estado de relaciones. Cuando el ser humano percibe un contexto y su dinámica y su

razón busca organizar y descifrar tal contexto advertido sensorialmente, se crean los

objetos matemáticos para utilizarlos como medios de ordenar los fenómenos del mundo.

Generalmente el contexto provee el conocimiento precedente y el conocimiento del

contexto conlleva hacia el descubrimiento del objeto. La percepción del contexto crea

la necesidad de representar determinados atributos y acciones organizativas o

interpretativas del mismo. Los objetos matemáticos se conciben a partir de la

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representación de funciones organizativas o interpretativas del contexto y, estos, son o

representan una función o funcionalidad encargada de organizar o interpretar el

contexto; tal función que desempeñan los objetos matemáticos justifica su existencia.

Por tanto, la razón de existencia de los objetos matemáticos deviene de la función que

desempeñan al organizar o interpretar el contexto, que al mismo tiempo representan.

Esta génesis, junto con su causalidad, se relaciona con la naturaleza de los objetos

matemáticos. La existencia de los objetos matemáticos es real no material, no es posible

descubrirlos por experiencias físicas, sensitivas o intuitivas inmediatas, sino a través de

la razón, solo cognitivamente; sin embargo, el hecho que sean producto de la razón, pues

son percibidos por ella, les otorga la condición de ser reales no materiales. Al abstraerse

una cualidad del contexto, esta se torna en objeto matemático, el cual representa un

elemento interpretativo del contexto. Se puede ilustrar lo anterior con el hecho con que

se interpreta y simplifica la representación del aspecto físico del orbe, que motivó la

conceptualización de ciertos atributos de ese contexto relacionados a formas,

cardinalidad, etc., de los cuales surgió una diversidad de objetos matemáticos como

formas geométricas, área, números, etc. En otra ocurrencia, el objeto matemático es

acción o procedimiento que organiza o interpreta el contexto. Como ilustración se puede

mencionar a los conjuntos que cumplen la función de clasificar o suplen una

clasificación, la integral suple una suma, etc. Los operadores, generalmente, representan

o son por si mismos una acción que se manifiesta cuando se vinculan a los objetos con

los que actúan. Al percibir en el contexto, atributos como forma, masa, color o

rugosidad; al llevarlos a la matemática, los objetos matemáticos (que los representan)

deben hacer posible una disposición ordenada o interpretativa que no sea, solamente

clasificatoria o distintiva, sino también estructural e indispensable, sin que impida la

necesidad de precisar la funcionalidad que representan los objetos matemáticos para

realizar selectividad excluyente o de reconocimiento de objetos. Para ciertos casos es

necesario una mejor caracterización de la naturaleza o funcionalidad del objeto

matemático, necesidad manifiesta a partir de atributos propios del objeto como

propiedades, conexiones internas y conexiones con otros objetos. En coherencia con la

génesis de los objetos matemáticos, estos atributos pueden representar nuevos objetos

matemáticos. Parece que la razón, cuando interpreta u organiza los contextos (actividad

que se puede interpretar como descubrimiento de los objetos matemáticos), se conduce

por: buscar la regularidad, simplicidad, generalidad, polivalencia e inclusive la belleza,

15

como se muestra en la presencia y uso del número phi o llamado también número áureo

y cuyas proporciones se manifiestan en objetos matemáticos y en el contexto del mundo

sensible (Pecharromán, 2013).

De la misma manera como el objeto matemático es o representa una funcionalidad en

un determinado contexto, le es imprescindible la existencia de un signo que manifieste

su existencia y lo represente. La creación de un objeto matemático ocurre cuando se le

asocia uno o varios signos junto con las causas de tal asociación. La representación más

inmediata del objeto matemático es creada a partir del contexto al que refiere como

vehículo de expresión de la funcionalidad que suple y, de sus propiedades. Al

descubrirse, en el contexto, la función organizadora (que está representando) el objeto

matemático; la representación se desenvuelve a partir de los signos que participan en la

configuración de este contexto. Es decir el acto creativo de la representación, lo dirige,

esencialmente, la función organizativa que quiere manifestarse y se subordina a la

naturaleza del contexto donde el objeto matemático fue descubierto y también del

conocimiento que se tiene de tal contexto. En cualquier caso, solo hay sentido en el

desarrollo y construcción de la representación cuando se observa, desde un contexto, la

funcionalidad de un objeto matemático. Del mismo modo, usar una representación para

manifestar un objeto matemático, solo adquiere sentido dentro de un contexto del cual

emerja o en el cual, la presencia de su representación tenga coherencia con este,

principalmente cuando tal representación puede ser utilizada para suplir objetos distintos

y la identificación de uno u otros dependa de la ubicación que tenga la representación

en ese contexto. La naturaleza o la dinámica del contexto. El contexto que da la

posibilidad de existencia y uso del objeto más su representación, subordinan la expresión

del objeto matemático. Los objetos matemáticos deben aprenderse desde

representaciones que manifiesten la función que representan y a partir de estas alcanzar

a las demás que también participan del aprendizaje del objeto matemático. Algunos

objetos matemáticos determinan registros semióticos mediante los cuales son

representados otros objetos matemáticos (Pecharromán, 2013).

Los objetos matemáticos, descubiertos o creados desde el menester práctico de

interpretar, organizar y representar el mundo tangible se constituyen en los primeros

objetos matemáticos creados, precursores del contexto matemático, cuyo desarrollo a

posteriori es autónomo y en algunos casos impulsados por el mundo sensible. A lo largo

16

de toda su historia, la matemática ha sido una herramienta eficaz en la interpretación,

organización y representación del mundo material e inversamente el mundo sensible se

constituye en un contexto a partir del cual se crean los objetos matemáticos. También el

desarrollo de la matemática está impulsado por la disposición de la razón por conocer

las propiedades, relaciones y potencialidades de los objetos matemáticos creados. En

conclusión, los objetos matemáticos brindan a la razón otro contexto para ser analizado,

organizado o interpretado. La funcionalidad que representa un objeto matemático en un

contexto de origen, y las características discriminatorias de la misma, definen el

significado del objeto matemático. Cuando el objeto matemático se manifiesta en

contextos distintos del de su origen, adquiere nuevas funcionalidades vinculadas con su

uso y al contexto donde se usa. El significado institucional del objeto matemático está

constituido por la funcionalidad que le da origen y lo representa, los aspectos que

distinguen a la misma y el cúmulo de usos de esta funcionalidad en el conocimiento

matemático. El significado institucional del objeto matemático se completa

permanentemente por sus nuevos usos. Lo que indica que la determinación del

significado institucional de un objeto matemático es abierta y potencialmente pueden

surgir nuevos usos de objeto matemático y enriquecer el campo semántico de este. El

desenvolvimiento del significado de un objeto matemático, también, puede estar

condicionado por el desarrollo propio del conocimiento matemático. La adquisición de

una identidad propia del objeto matemático deviene de la funcionalidad que representa

en el contexto que lo origina, tal funcionalidad se desenvuelve, a posteriori, en los

contextos en los cuales se usa el objeto. De manera que, el acceso al significado, uso o

funcionalidad inmediata, del objeto matemático, es influenciado por el contexto. Por

ejemplo un punto puede ser el vértice (significado) de un cuadrado (contexto) o el centro

(significado) de una circunferencia (contexto). (Pecharromán, 2013).

En matemática se crea y se descubre. Se entiende por descubrir a la percepción realizada

por medio de la razón y la comprensión existente de una cualidad o acción organizativa

o interpretativa del contexto. El acto creativo, se relaciona con la manifestación externa

de la anterior funcionalidad como un objeto libre del contexto en el cual fue percibido.

Por ejemplo, el objeto circunferencia surge para representar una determinada relación

cuadrática entre dos magnitudes variables. El objeto matemático número natural se crea

como objeto matemático, después que se descubre la posibilidad de representar la

cantidad, justo para representar esta funcionalidad. El acto de percibir cualidades o

17

acciones que permitan ordenar o interpretar contextos gesta objetos matemáticos y el

acto de analizar estos objetos lleva a descubrir propiedades, métodos o procesos

asociados, vínculos entre objetos, de lo cual pueden emerger nuevos objetos

matemáticos. De manera general, se define el concepto (punto, recta, derivada integral

etcétera) mediante los aspectos que permiten distinguir o discriminar en la clase de

objetos que está siendo representada. Se puede considerar al objeto en particular como

ejemplo del concepto y que se puede definir a través de él. El desenvolvimiento del

conocimiento matemático exige mudanza o desenvolvimiento de la definición de los

objetos matemáticos. Percibir la funcionalidad que representa el objeto en contextos

diferentes del cual se originó puede exigir cambiar o desarrollar la definición de los

objetos matemáticos. Objetos distintos pueden originarse de una misma funcionalidad

dependiendo del contexto desde donde se perciba y de las propiedades y relaciones que

se apropie la funcionalidad de ese contexto (integral definida, curva, etcétera).

Subordinado al contexto a partir del cual se despliega su definición, el objeto matemático

puede poseer varias definiciones, por ejemplo para la integral definida existen las

definiciones de Riemann, Darboux, etcétera. La funcionalidad representada por el objeto

matemático (medida del área de una región plana, etcétera) puede interpretarse desde

diversos contextos de aprehensión y expresión que dan lugar a diversas definiciones

como se manifiesta con la integral definida. El entendimiento de un objeto matemático

equivale a la percepción de la funcionalidad que está representando este objeto y a la

expresión de tal funcionalidad en un contexto. Desconsiderando aquellas experiencias

mediante las cuales un individuo pueda percibir determinados objetos matemáticos en

el contexto del mundo sensible, el aprendizaje de los objetos matemáticos tiene

necesariamente como punto de partida sus representaciones. El objeto matemático se

expresa mediante sus representaciones, que son el medio para llegar a percibir la

funcionalidad del objeto. Debido a la poca especificidad que, generalmente, posee el

simbolismo que constituyen estas representaciones hace necesario considerar el

contexto (medio físico, objeto matemático, registro semiótico, etcétera) como manera

que perite observar la funcionalidad que está representando el objeto y que por ende

permita la representación adecuada manifieste el objeto. Cuando el individuo tiene

experiencia con las representaciones de un objeto, desarrolla un significado personal de

este objeto. Como este aprendizaje se limita al tratamiento de sus representaciones, se

torna incompleto. Se llega al aprendizaje y a la comprensión cuando se logra

18

independizar el objeto de sus representaciones y de sus usos particulares y, este se

percibe como funcionalidad. En el proceso de aprendizaje, el aprendiz se capacita para

requerir a la representación más adecuada y a efectuar el reconocimiento del objeto en

un contexto o situación dados. Es imprescindible que la funcionalidad en lugar de ligarse

a un signo, se ligue al objeto, para que cuando una representación sea signo de diferentes

objetos, para que cuando la misma representación sea signo de diferentes objetos no

represente problemas para el aprendizaje y la comunicación. Generalmente, lo que

determina a un objeto aludido por un signo es la funcionalidad que se asocie al signo

mediante su uso en un contexto dado (significado) (Pecharromán, 2014).

La creación del objeto matemático se revela cuando este queda estructurado por aspectos

de representación y significado. El primer aspecto se ocupa de la expresión y uso del

objeto, el segundo cuida de la interpretación del objeto. Estos aspectos se desenvuelven

a partir de la funcionalidad que está representando el objeto. El desenvolvimiento del

significado del objeto matemático está determinado por el uso del objeto, en actividades

organizativas o interpretativas de ciertas situaciones. A partir de la interpretación u

organización que realiza un objeto del contexto, debe ser reconocido como atributo o

acción en este contexto. Teniendo el significado personal de un objeto se elaboran

correspondientes representaciones internas o mentales de este objeto. Ser usado

funcionalmente un objeto matemático permite o guía la aprehensión racional de la

funcionalidad que representa este objeto debido a que está regido por esta. Tratase de

reconocer que el objeto matemático es funcionalidad o función organizativa o

interpretativa, para lo cual debe destacarse las siguientes intervenciones docentes: para

reconocer el objeto matemático por sus íconos, se necesita, por un lado, una descripción

verbal orientadora de la interpretación que se haga de sus íconos en los registros

semióticos y que permita el reconocimiento del objeto por medio de ellos. De otra parte,

es menester brindar ejemplos particulares mediante los cuales se manifieste el objeto y

que relacionen al objeto con los saberes previos del sujeto cognoscente. Tales ejemplos

se erigen en contextos o registros semióticos notables para el sujeto, y esto favorece la

percepción del objeto matemático. (Pecharromán, 2014).

Las transformaciones de representaciones en otras transformaciones semióticas se

encuentran en el núcleo dinámico del quehacer matemático y estas pueden ser diversas

y complejas al punto de comprometer el aprendizaje matemático de los estudiantes; en

19

el estudio de esta complejidad hay que tener en cuenta que las representaciones

semióticas de los objetos matemáticos deben analizarse desde su funcionalidad

representacional propia del registro donde son producidas. En matemática, el conocer

los objetos y los conceptos solo comienza cuando el estudiante moviliza y coordina

espontáneamente dos registros de representación de un mismo objeto. Si se quiere

comprender, en matemática, se tiene que diferenciar el objeto de su representación.

Debido a que la accesibilidad a los objetos matemáticos es únicamente por vía cognitiva,

la diversidad de representaciones es completamente necesaria así como los tratamientos

que se realicen sobre objetos matemáticos son dependientes directamente del sistema

semiótico que se utilice. Esto nos indica el papel esencial que desempeñan las

representaciones semióticas en la actividad matemática. Tradicionalmente se da más

importancia a las representaciones mentales que a las semióticas, sin embargo, a

diferencia de las representaciones mentales que cubren el conjunto de imágenes y por

ende de las conceptualizaciones que puede tener un individuo con respecto a un objeto;

las representaciones semióticas terminan siendo producciones que son formadas

empleando signos que forman parte de un sistema de representaciones con desventajas

de significación y funcionamiento. Las representaciones semióticas, además de ser

necesarias para fines de comunicación matemática, son fundamentales para la actividad

cognitiva del pensamiento, para lo cual desempeñan un papel esencial. El desarrollo de

la ciencia está relacionado con el desarrollo de sistemas semióticos cada vez más

específicos e independientes del lenguaje natural. Únicamente las representaciones

semióticas posibilitan la realización de algunas funciones cognitivas básicas como las

de tratamiento. La funcionalidad cognitiva del pensamiento humano se manifiesta

inherente a la existencia de registros de representación. Se llama semiosis a la

comprensión o producción de una representación semiótica y noesis a la comprensión

conceptual de un objeto. Es necesario indicar que la noesis es inherente a la semiosis.

Para evitar paradojas cognitivas en el pensamiento matemático y con ello el surgimiento

de dificultades para aprenderlas se debe enseñar matemática considerando que no hay

noesis sin semiosis. Es fundamental, en la actividad matemática, la capacidad de

movilizar diversos registros de representación semiótica (figurales, gráficos, en lenguaje

simbólico, en lenguaje natural, etcétera). Disponer de una diversidad de registros es,

aparentemente, necesario para que no se confundan los objetos matemáticos con sus

representaciones y puedan, también, ser identificados en cada una de sus

20

representaciones. Hay, entonces, un fuerte vínculo entre semiosis y noesis en la

funcionalidad cognitiva del pensamiento que debe ser siempre evidenciado cuando se

organiza la enseñanza matemática. Hay tres actividades cognitivas relacionadas con la

semiosis. Solo dos de estas, la de formación y tratamiento se toman en cuenta en la

enseñanza, mismo tratándose de la organización de secuencias de aprendizaje o de

cuestionarios de validación. La conversión, tercera actividad cognitiva del pensamiento,

juega un papel esencial en la noesis y en general en la comprensión. En el aprendizaje,

la conversión es fundamental para la conceptualización y para percibir esto, hay que

examinar la diversidad de registros de representación que incluye. Comparando la

funcionalidad del pensamiento humano en relación con la inteligencia animal o artificial,

la diferencia, con la inteligencia animal, no está en disponer de un sistema semiótico

para comunicarse (una lengua), sino más bien en disponer de muchos sistemas de

representación, como lenguaje e imagen gráfica (dibujo, pintura, …). Y con respecto a

la inteligencia artificial, la dificultad de superar la rigidez funcional que evita la

especialización del modo de representación reducido a un solo sistema semiótico: la

expresión booleana. El conocimiento progresa debido a se crean o desarrollan nuevos y

peculiares sistemas semióticos que cohabitan con los anteriores como el sistema de la

lengua natural. Considerando que el pensamiento humano funciona movilizando

múltiples registros, la necesidad de crearlos o desarrollarlos pueden orientarse por: los

costos de tratamiento, las limitaciones de representatividad específicas de cada registro

y en la necesidad de una discriminación entre representante y representado. Los aspectos

anteriores no se excluyen, pero se sitúan en niveles diferentes de descripción de la

actividad cognitiva. Los costos de tratamiento se basan en una condición descriptiva

superficial referida al funcionamiento de cada uno de los registros tal como son en el

tratamiento de las representaciones. Las limitaciones de representatividad de cada

registro (algo más semiótico) suponen una comparación entre las diferentes maneras de

representar un miso objeto, mediante un análisis de aspectos que son tomados en cuenta

y aquellos que no lo son, en cada uno de los registros. En cuanto a la discriminación

entre representante y representado supone un abordaje desarrollista de la actividad

cognitiva, en materias en las cuales es fundamental disponer de una multiplicidad de

registros. Tal discriminación involucra que en el estudio de las adquisiciones se

reemplacen criterios de tratamiento y espontaneidad de las conversiones, poder de las

trasferencias en lugar de sencillos criterios de acierto (logro de una “buena respuesta”).

21

En cuanto a la economía de tratamiento, disponer de múltiples registros permite el

cambio de uno de ellos y este cambio tiene por finalidad posibilitar realizar tratamientos

más económicos y más potencializados que, en términos de costo de memoria,

benefician los tratamientos de tipo cálculo y además se extiende a otros tratamientos

como las representación más rápida de las relaciones entre objetos, por fórmulas literales

más que por frases. La economía de tratamiento (perceptivo o algorítmico), en

matemática, es más eficiente que en la lengua natural. La complementariedad de los

registros tiene que ver con las posibilidades intrínsecas de cada sistema semiótico, de la

selección de elementos significativos o informativos del contenido (objeto, concepto o

situación) que se quiere representar y que determina la naturaleza del registro semiótico.

La elección es hecha de acuerdo con las posibilidades y desventajas semióticas del

registro que se elija. Son diferentes las posibilidades de representación que brindan un

lenguaje, una figura o un diagrama. Esto lleva a entender que cualquier representación,

cognitivamente, suple parcialmente aquello que representa, pues de un registro a otro no

se encuentran los mismos aspectos del contenido de la situación que está siendo

representada. De esta manera, las figuras y todas las representaciones analógicas,

representan solamente estados, configuraciones o productos de operaciones, no acciones

ni trasformaciones. La representación de operaciones necesita de un registro con

propiedades de una lengua: lenguaje natural o algebraico. Las figuras admiten

representar todas las relaciones entre los componentes que forman parte del objeto o de

la situación. Conceptualizar es una condición suficiente para la coordinación de registros

de representación. Una idea sobre esto puede ser expresada como una primera hipótesis:

escogido bien el registro de representación, las representaciones de este registro

implican la aprehensión del contenido conceptual que se ha representado. La anterior

hipótesis aparentemente queda justificada por la propia estructura de la representación

como se la presenta habitualmente, en función de la significación de los signos. Como

segunda hipótesis, se afirma que la comprensión integral de un concepto, se erige sobre

la coordinación de por lo menos dos registros de representación, coordinación

evidenciada por la rapidez y espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión

(Duval, 1993).

Considerando los elementos teóricos anteriormente expuestos, presentamos un estudio

de las representaciones semióticas de los objetos que emergen de la solución de los

problemas 5 (área bajo una curva), 20 (aplicación de la integral definida al vaciado de

22

líquidos), 25 (b) (volumen de un sólido de revolución) y 27 (longitud de arco). De estas

resoluciones se realizará un análisis de los registros de representación semiótica,

movilizados en la resolución de los problemas 5 y 20 de la práctica (ver anexo III).

Resolución del problema 5

(a) Para dar solución al ejercicio 5, se salva la dificultad de graficar manualmente la

función ( ) 2ln( )f x x x usando el software dinámico GeoGebra que trabaja

simultáneamente con dos registros: algebraico y gráfico al mismo tiempo, con una

vista en la que se puede realizar cálculo simbólico (CAS). La construcción de la

gráfica es automática pero, en la mediación, el docente debe explicar los pasos para

lograrla, a partir de la construcción de las gráficas de ( ) 2ln( )g x x y

h( ) 2ln( )x x para configurar f( ) 2ln( )x x x , observando la reflexión de

( ) 2ln( )g x x en h( ) 2ln( )x x y la traslación variable en ( ) x 2ln(x)f x ; así

como la determinación el dominio Dom(f)=(0, +∞) y rango de la función

Rang(f)=[f(2), +∞), de los cuales se revelará la asíntota 0x .

Llamaremos 1r al registro semiótico en lenguaje natural,

2r al registro semiótico

gráfico, 3r al registro semiótico en lenguaje algebraico,

4r al registro semiótico

numérico y 5r al registro semiótico en lenguaje simbólico y i

j kR O la

representación j del objeto kO en el registro semiótico ir (Oviedo et al., 2012). Por

tanto en el presente trabajo serán movilizados y coordinados hasta cinco registros de

representación semiótica con sus conversiones y tratamientos visando la

conceptualización de la integral definida (Duval, 1993, Trad. Moretti, 2012) y

facilitar la resolución de situaciones problemáticas aplicadas a la ingeniería (Nardín,

et al., 2012). De manera especial consideramos *

1O el objeto situación problemática

5, componente de las prácticas consideradas.

23

Representación en registros algebraico y gráfico 3

1 1R O y 2

1 1R O , objeto función

2lnf x x x

(b) Para calcular el área aproximada de la región S1 limitada por la región

( ) x 2ln(x)f x , x=1, x=5 y y=0 cubriéndola con cuatro rectángulos y:

(i) Por sumas superiores de Riemann

Representación en registros algebraico y gráfico 3 2

2 1 2 2R O y R O , 2O es el

objeto área de la región S1 por cobertura con cuatro rectángulos, resultantes de

las sumas superiores de Riemann.

FIGURA 1 – CREACIÓN PROPIA

24

Representación en el registro numérico 4

1 2R O , O2 área aproximada, por

exceso de cuatro rectángulos que cubren la región S.

Calculando el área aproximada, por exceso, de la región S:

De la gráfica observamos que f es continua y acotada en [1, 5]

Sea 0 1 2 3 41, 2, 3, 4 5x x x x y x , entonces 1,2,3,4,5P es una

partición de [1, 5] y 1 1i i iP x x x x , entonces calculamos:

1 0 1

2 1 2

3 2 3

( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 1,2 sup (1), (2)

sup 1,0.61 1 (1)

( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 2,3 sup (2), (3)

sup 0.61,0.8 0.8 (3)

( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 3,4 sup (3), (4)

su

M f f x x x x x x x f f

f


f


4 3 4

p 0.8,1.2 1.23 (4)

M ( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 4,5 sup (4), (5)

sup 1.23,1.78 1.78 (5)

f

f f x x x x x x x f f

f


25

4 4

0 0( )i ii i

h M f Son las alturas de los cuatro rectángulos considerados en la

figura. El área aproximada bajo la curva f estará dada por:

4

1 1 1 0 2 2 1 3 3 2 4 5 4( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1(2 1) 0.8(3 2) 1.2(4 3) 1.8(5 4) 4.81

RA S M f x x M f x x M f x x M f x x

Registro en lenguaje simbólico 5

1 2( )R O (Representación como suma

expandida de la aproximación por exceso del área de la región S1

1 1 2 2 3 3 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4.81U f P M f x M f x M f x M f x


2 2( )R O (Representación como suma con

notación sigma de la aproximación por exceso del área de la región S1

4

1

( , ) ( ) 4.81i i

i

U f P M f x

(ii) Cálculo del área aproximada de la región S1 por la regla de los puntos

medios.

Registro algebraico y gráfico 3 2

1 3 1 3R O y R O , 3O área aproximada de la

región S por cobertura de cuatro rectángulos resultantes de la regla de los puntos

medios.


26

Representación en registro numérico 4

1 3( )R O

El área aproximada de la región S1 por cobertura de cuatro rectángulos

resultantes de la regla de los puntos medios:



partición de [1, 5] y 1 1i i iP x x x x , entonces:

Sean 4

4 1

1

12

i ii i

i

x xh f

las alturas de los cuatro rectángulos de la figura

1 01

2 12

3 23

4 34

2 11.5 1.5 2ln(1.5) 0.69

2 2

3 22.5 2.5 2ln(2.5) 0.67

2 2

4 33.5 3.5 2ln(3.5) 0.99

2 2

5 44.5 4.5 2ln(4.5)

2 2

x xh f f f

x xh f f f

x xh f f f

x xh f f f

1.49

El área aproximada bajo la curva f estará dada por:

4 0.69 1 0.67 1 0.99 1 1.49 1 3.84S



expandida de la aproximación al área de la región S1 por cuatro rectángulos

resultantes de la regla de los puntos medios)

1 1 1 2 2 3 3 4 4

1 0 2 1 3 21 0 2 1 3 2

4 34 3

2 2 2

3.842

A S h x h x h x h x

x x x x x xf x x f x x f x x

x xf x x

Registro simbólico 5

2 3( )R O (como suma con notación sigma para la

aproximación del área de la región S1 por cuatro rectángulos resultantes de la

regla de los puntos medios)

4 4 4

1 1 14 1

1 1 12 2 2

i i i i i ii i i

i i i

x x x x x xS f x x f x f x

27

(c) Cálculo del área aproximada de la región S limitada por ( ) x 2ln(x)f x , x=1, x=5

y y=0 usando ocho rectángulos y:

(i) Por suma superior

Representación en registro algebraico y gráfico 3 2

1 4 1 4( ) yR O R O , 4O es el

objeto área aproximada de la región 1S por cobertura con 8 rectángulos

resultantes de las sumas superiores de Riemann.


1 4( )R O

El área aproximada de la región S1 por cobertura con ocho rectángulos

resultantes de las sumas superiores de Riemann.


Sea 0 1 2 3 4 5 6 7 81, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5 5x x x x x x x x y x ,

entonces 1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5P es una partición de [1, 5] y

1 0.5i i iP x x x x , entonces:


28

1 0 1

2 1 2

3 2 3

( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 1,1.5 sup (1), (1.5)

sup 1,0.69 1 (1)

( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 1.5,2 sup (1.5), (2)

sup 0.69,0.61 0.69 (1.5)

( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 2,2.5 su


f


f

M f f x x x x x x x

4 3 4

5 4 5

6

p (2), (2.5)

sup 0.61,0.67 0.67 (2.5)

M ( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 2.5,3 sup (2.5), (3)

sup 0.67,0.8 0.8 (3)

( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 3,3.5 sup (3), (3.5)

sup 0.8,0.99 0.99 (3.5)

(

f f

f


f


f

M

5 6

7 6 7

8 7 8

) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 3.5,4 sup (3.5), (4)

sup 0.99,1.23 1.23 (4)

( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 4,4.5 sup (4), (4.5)

sup 1.23,1.49 1.49 (4.5)

M ( ) sup ( ) / , sup 2ln( ) / 4.5,5


f


f

f f x x x x x x x

sup (4.5), (5)

sup 1.49,1,78 1.78 (5)

f f

f

8 8

0 0( )i ii i

h M f Son las alturas de los ocho rectángulos considerados en la


8 1 1 0 2 2 1 3 3 2 4 5 4

5 6 5 6 7 6 7 8 7

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1(1.5 1) 0.69(2 1.5) 0.67(2.5 2) 0.8(3 2.5) 0.99(3.5 3)

1.23(4 3.5) 1.49(4.5 4) 1.78(5 4.5) 4.33

S M f x x M f x x M f x x M f x x

M f x x M f x x M f x x

Representación en registro simbólico 5

1 4( )R O (como suma expandida de la

aproximación por exceso del área de la región S1 por cobertura con ocho

rectángulos)

8 1 1 2 2 3 3 4 4

5 5 6 6 7 7 8 8

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4.33

S U f P M f x M f x M f x M f x

M f x M f x M f x M f x


2 4( )R O (como suma con notación

sigma de la aproximación por exceso del área de la región S1 por cobertura con

ocho rectángulos)

29

88

1

1

( , ) ( ) 4.33R

i i

i

S U f P M f x

(iii) Por la regla de los puntos medios


1 5 1 5( ) y ( )R O R O


1 5( )R O , 5O es el área aproximada de

S1 por cobertura con ocho rectángulos resultantes de la regla de los puntos

medios.

Cálculo del área aproximada de la región S1:


Sea 0 1 2 3 4 5 6 7 81, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5 5x x x x x x x x y x ,



Sean 8

8 1

1

12

i ii i

i

x xh f

las alturas de los ocho rectángulos de la figura


30

0 11

1 22

2 33

3 44

1 1.51.25 1.25 2ln(1.25) 0.8

2 2

1.5 21.75 1.75 2ln(1.75) 0.63

2 2

2 2.52.25 2.25 2ln(2.25) 0.63

2 2

2.5 32

2 2

x xh f f f

x xh f f f

x xh f f f

x xh f f f

4 55

5 66

6 77

7 88

.75 2.75 2ln(2.75) 0.73

3 3.53.25 3.25 2ln(3.25) 0.89

2 2

3.5 43.75 3.75 2ln(3.75) 1.11

2 2

4 4.54.25 4.25 2ln(4.25) 1.36

2 2

x xh f f f

x xh f f f

x xh f f f

x xh f

4.5 54.75 4.75 2ln(4.75) 1.63

2 2f f

El área aproximada bajo la curva f estará dada por:

8

1 0.8 0.63 0.63 0.73 0.89 1.11 1.36 1.63 0.5 3.89RS



expandida del área aproximada de S1 por cobertura con ocho rectángulos

resultantes de la regla de los puntos medios)

8 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8

0 1 2 31 21 0 2 1 3 2

3 4 4 5 5 64 3 5 4 6 5

6 7 7 87 6

2 2 2

2 2 2

2 2

S h x h x h x h x h x h x h x h x

x x x xx xf x x f x x f x x

x x x x x xf x x f x x f x x

x x x xf x x f x

8 7 3.89x



sigma del área aproximada de S1 por cobertura con ocho rectángulos resultantes

de la regla de los puntos medios)

8 8 4

8 1 1 11 1

1 1 12 2 2

R i i i i i ii i i

i i i

x x x x x xS f x x f x f x

31

Con esto, quedaría respondidas las preguntas que plantea la situación

problemática 5. Aún queda por complementar como se llega al área exacta.

Antes daremos la visión de la aproximación del área, por sumas inferiores.

Cuando se intenta cubrir el área con cuatro rectángulos


1 6 1 6( ) y ( )R O R O , 6O es el

objeto área aproximada de S1 por cobertura con cuatro rectángulos resultantes de

las sumas inferiores de Riemann.


1 6( )R O .

Cálculo del área aproximada de la región S1 por cobertura con cuatro rectángulos

resultantes de las sumas inferiores de Riemann.



partición de [1, 5] y 1 1i i iP x x x x , entonces:


32

1 0 1

2 1 2

( ) inf ( ) / , inf 2ln( ) / 1,2 inf (1), (2)

inf 1,0.61 0.614 (2)

( ) inf ( ) / , inf 2ln( ) / 2,3 inf (2), (3)

inf 0.61,0.8 0.614 (2)

m f f x x x x x x x f f

f


f

3 2 3

4 3 4

( ) inf ( ) / , inf 2ln( ) / 3,4 inf (3), (4)

inf 0.8,1.23 0.803 (3)

( ) inf ( ) / , inf 2ln( ) / 4,5 sup (4), (5)

inf 1.23,1.78 1.23 (4)


f


f

4 4

0 0( )i ii i

h m f Son las alturas de los cuatro rectángulos considerados en la


4 1 1 0 2 2 1 3 3 2 4 5 4( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

0.614(2 1) 0.614(3 2) 0.803(4 3) 1.23(5 4) 3.26

S m f x x m f x x m f x x m f x x


1 6( )R O (Como suma expandida, del

área aproximada de S1 por cobertura con cuatro rectángulos resultantes de las

sumas inferiores de Riemann)

4

1 1 1 2 2 3 3 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.26RS L f P m f x m f x m f x m f x


2 6( )R O (Como suma con notación

sigma, del área aproximada de S1 por cobertura con cuatro rectángulos

resultantes de las sumas inferiores de Riemann)

44

1

1

( , ) ( ) 3.26R

i i

i

S L f P m f x

Aproximación, por defecto, al área de S1 por cobertura con 8 rectángulos


1 7 1 7( ) ( )R O y R O , 7O es el

objeto área aproximada a S1 por cobertura con ocho rectángulos, resultantes de

las sumas inferiores de Riemann.

33


1 7( )R O , O7 es el área aproximada de

S1, por cobertura con ocho rectángulos resultantes de las sumas inferiores de

Rieman.

Cálculo del área aproximada de la región S por cobertura con ocho rectángulos


Sea 0 1 2 3 4 5 6 7 81, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5 5x x x x x x x x y x ,




34

1 0 1

2 1 2

3 2 3

( ) inf ( ) / , sup 2ln( ) / 1,1.5 inf (1), (1.5)

inf 1,0.69 0.69 (1.5)

( ) inf ( ) / , inf 2 ln( ) / 1.5,2 inf (1.5), (2)

inf 0.69,0.61 0.61 (2)

( ) inf ( ) / , inf 2 ln( ) / 2,2.5


f


f

m f f x x x x x x x

4 3 4

5 4 5

6

inf (2), (2.5)

inf 0.61,0.67 0.61 (2)

( ) inf ( ) / , inf 2 ln( ) / 2.5,3 inf (2.5), (3)

inf 0.67,0.8 0.67 (2.5)

( ) inf ( ) / , inf 2 ln( ) / 3,3.5 inf (3), (3.5)

sup 0.8,0.99 0.8 (3)

f f

f


f


f

m

5 6

7 6 7

8 7 8

( ) sup ( ) / , inf 2 ln( ) / 3.5,4 sup (3.5), (4)

inf 0.99,1.23 0.99 (3.5)

( ) inf ( ) / , inf 2 ln( ) / 4,4.5 inf (4), (4.5)

inf 1.23,1.49 1.23 (4)

( ) inf ( ) / , inf 2 ln( ) / 4.5,


f


f

m f f x x x x x x x

5 inf (4.5), (5)

inf 1.49,1,78 1.49 (4.5)

f f

f

8 8

0 0( )i ii i

h m f Son las alturas de los ocho rectángulos considerados en la


4 1 1 0 2 2 1 3 3 2 4 4 3

5 4 5 6 6 5 7 7 6 8 8 7

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1(1.5 1) 0.69(2 1.5) 0.67(2.5 2) 0.8(3 2.5) 0.99(3.5 3)

1.23(4 3.5) 1.49(4.5 4) 1.78(5 4.5) 3.55

S m f x x m f x x m f x x m f x x

m f x x m f x x m f x x m f x x



expandida, por defecto, de la aproximación al área de S, por cobertura con ocho

rectángulos resultantes de las sumas inferiores de Riemann)

8 1 1 2 2 3 3 4 4

5 5 6 6 7 7 8 8

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 3.55

S L f P m f x m f x m f x m f x

m f x m f x m f x m f x



sigma, por defecto, de la aproximación al área de S1, por cobertura con ocho

rectángulos resultantes de las sumas inferiores de Riemann)

35

8

8

1

( , ) ( ) 3.55i i

i

S L f P m f x

Cálculo del área exacta de S1


1 8R O , 8O es el objeto área exacta de S1 por

cobertura con n infinitos rectángulos, resultantes del límite de las sumas

inferiores de Riemann.

La aproximación al área de S1 se puede obtener por sumas de Riemann

superiores, inferiores o por la regla de los puntos medios. En la situación

problemática 5, para obtener el valor exacto del área de la región del plano S1

limitada por ( ) 2ln( )f x x x , y=0, x=1 y x=5; sea 0 1 2 1, , , , ,n nP x x x x x

una partición de [a, b] donde 0 1 5nx y x , por sumas inferiores una buena

aproximación al área, se obtendría de la siguiente manera:

1 1 1 2 2 1 1

1

( , P)nR

i i i i

n

i i

i

S L f m x m x m x m x

m x

n>5000 (ggb)

Donde 1inf{ ( ) / [ , ]}i i im f x x x x son las alturas de los rectángulos que cubren

la región considerada y 1

5 1 4i i ix x x x

n n

es la longitud de sus

bases, considerando 4

iP x xn

. A medida que el número de

rectángulos que cubren la región crece n , 0x y el área de la región

pasa de aproximada a exacta cuando se toma el límite: 1

1

lim ( )n

in

i

S f x x

que

representa el área exacta de la región. Para el caso de la situación problemática

5, se tendría:

4 4 4 41 ; ( ) 1 2ln 1i i i

i i ix f x y x x

n n n n

, entonces

36

1

4 4 4lim 1 2ln 1 20 10ln(5)

n

ni

i iS

n n n

Que sería el valor

numérico del área exacta de la región considerada (el límite fue calculado con

Symbolab).

Ahora bien, esta área exacta se considera, también, por definición, como la

integral definida de la función f en el intervalo [1,5] , según (Espinoza, 2012,

p. 332) 5 5

1 1 |

lim ( ) ( ) 2ln( ) 20 10ln( ) 3.91n

i in

i

f x x f x dx x x dx x

El valor exacto del área es 20 10ln( )x que aproximando a dos decimales

resulta 3.91 u2.

Las representaciones anteriores nos permiten emular las definiciones como las

presenta Espinoza (2012). También, el símbolo ( )

b

a

f x dx representa la

determinación de la primitiva F(x) así como F(b)-F(a) llamado segundo teorema

fundamental del cálculo (Nardín, et al., 2012). Para el caso de la situación

problemática 5 de la práctica propuesta; obtener 5

1

2ln( )x x dx manualmente,

requiere calcular la primitiva de 2lnf x x x , usando el método de

integración por partes, para luego aplicar el segundo teorema fundamental del

cálculo como sigue:

5 55 52 2

1 11 1

2ln( ) ( 2 ln( ) ( 22 2

x xI x x dx x dx J

Registro algebraico 3

1 9R O , 9O es el objeto integral definida de f en [1, 5],

desde la perspectiva de la integral definida como cálculo de la primitiva de f y

aplicación del segundo teorema fundamental del cálculo o fórmula de Newton-

Leibitz (Lee, D. y Martínez, R., 2014).

Aplicando el método de integración por partes, para J, y el criterio ILATE

(Espinoza, 2012) se tiene:

37

5 55 5 5

1 1 1

1 1

ln( )

ln 2 ln

dxu x du

x

dv dx v x

J uv vdu x x x x dx

Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo llamado también regla

de Barrow o fórmula de Newton-Leibniz, se tiene:

25 1

2 5ln5 5 1 20 10ln52 2

I

Que es el valor exacto del área la región S limitada por ( ) 2ln( )f x x x , y=0,

x=1 y x=5.

A guisa de justificaciones correspondientes son importantes las siguientes

definiciones, propiedades y teoremas.

Definición de la integral como límite de sumas

Definición 1: Criterio de integrabilidad de una función (Espinoza, 2012).

f es integrable en el intervalo [a, b], si existe un número L, satisfaciendo la

condición: para cada 0 , existe 0 , tal que 1

n

i i

i

f x L

, para

cualquier partición P del intervalo [a, b], donde P , esta definición se

representa por: 1

lim ( )n

i in

i

L f x

Definición 2: Integral definida en un intervalo cerrado (Espinoza, 2012).

Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b], entonces la integral

definida de “a” hasta “b”, denotada por 1

( ) lim ( )

b n

i in

ia

f x dx f x

si este límite

existe.

En este trabajo se ha considerado el cálculo de la integral definida utilizando

intervalos de igual longitud (en la partición). Es decir, asumiendo

1 1, [ , ]i i i i i ix x x x x x x y donde , 0,1,2, ,i

b ax a i n

n

. Por

tanto, para el caso de la situación problemática 5, la definición de integral

definida queda como: 1

( ) lim ( )

b n

in

ia

f x dx f x x

.

38

Donde f, se requiere que sea continua y positiva en [a, b].

Propiedades básicas de la integral definida (Espinoza, 2012)

Sean f y g funciones integrables en [a, b] y k una constante arbitraria, entonces:

1.

2.

3.

4. , 5. 0

b b

a a

b b b

a a a

b c b

a a c

b a a

a b a

kf x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx b a f x dx

Teorema del valor medio para integrales (Espinoza, 2012, p. 352)

Si f es continua en [a, b], entonces existe un número [ , ]c a b tal que:

dx f

b

a

f x c b a

Primer teorema fundamental del cálculo (derivadas de integrales)

(Espinoza, 2012, p. 361)

Sea f una función continua en [a, b]. Entonces la función F definida por

,

x

a

F x f t dt a x b es derivable en [a, b] y

( ), ,

x

x x

a

D F x D f t dt f x x a b

Segundo teorema fundamental del cálculo (Fórmula de Newton-Leibnitz)

(Espinoza, 2012, p. 368)

Sea f una función continua en [a, b] y F una función tal que

[ , ]F x f x x a b , entonces b

b

aa

f x dx F x F a F b .

Las demostraciones de los tres teoremas anteriores, están bastante claras y

entendibles en (Espinoza, 2012)

39

Resolución del problema 20 (Aplicación de la integral definida al vaciado de líquidos)

Trabajo Mecánico

(29 de 1, pg.467)

Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paraboloide de revolución, como se ve en el

registro gráfico 2

1 10R O , 10O es el objeto trabajo mecánico que se aplica sobre el volumen

de agua contenido en el recipiente paraboloide de la figura, para vaciarlo.

(a) Si su altura es de 4 pies y el radio en la parte superior es de 4 pies, encuentre el

trabajo necesario para bombear el agua fuera del tanque.

(b) Después que se han realizado 4000 lb-pie de trabajo, ¿cuál es la profundidad del

agua restante en el tanque?

La lectura del problema, junto con el esbozo de la gráfica nos permite organizar los

datos en el Registro gráfico:

a) Registro en lenguaje simbólico 5

2 11R O , 11O es el objeto i-ésimo trabajo iw

necesario para desplazar el i-ésimo volumen de agua iV , una de las n “rebanadas” de

volúmenes de agua en que ha sido dividido el volumen total de agua contenido en el

recipiente paraboloidico, considerado en esta situación problemática.

Consideremos el i-ésimo volumen, de la i-ésima rebanada, a ser bombeada como un

i-ésimo cilindro circular recto de altura infinitesimal y y radio de la base i ir f y

, entonces 2 2 2 4i i i i i i i iV r y f y y x y y y . La i-ésima masa de esta

rebanada será 4i i im V y y , la i-ésima fuerza que la desplaza

4 4i i i iF m g g y y y y , y el i-ésimo trabajo necesario para bombear

mi será 4 4i i i i iw F d y y y , es el peso específico del fluido (en caso del

y

( )i i ir x f y

i-ésima rebanada

40

agua 62.43 lb/ft3). Una aproximación, por suma extensiva, al trabajo para bombear

toda el agua del recipiente al exterior puede representarse por 5

1 12R O :

1 2 3 1n nw w w w w w

Usando la notación sigma, la aproximación al trabajo para bombear toda el agua del

recipiente al exterior puede representarse por 5

2 12R O :

1 1 1

4 4n n n

i i i i i

i i i

w w F d y y y

.

Para obtener el trabajo exacto, necesario para bombear toda el agua del recipiente,

hacia el exterior, las alturas de los i-ésimos cilindros que cubran el volumen del sólido

de revolución, deben encajar exactamente en sus “paredes interiores”, para esto es

necesario que el número de i-ésimos cilindros tienda al infinito ( )n , para que

sus alturas (𝛥𝑦 → 0 ) encajen perfectamente en las paredes internas del paraboloide,

puede ser representado por 5

2 10R O (Lee, D. y Martínez, R., 2014):

1 1 1

lim lim lim 4 4n n n

i i i i in n n

i i i

w w F d y y y

La representación anterior se asume, también, como 5

3 10R O :

4

0

4 4W y y dy (Espinoza, 2012, p. 331), que representa el trabajo exacto que se

tiene que realizar la fuerza F, para bombear toda el agua del recipiente en forma de

paraboloide, hacia afuera. Su valor numérico se calcula:

44 4

2 2 3

00 0

14 4 4 4 4 (2

3

64 324 32 4 62.43 7991.04

3 3 3

W y y dy y y dy y y

w lb ft

b) Si se ha realizado un trabajo 4000w lb ft para bombear agua del recipiente,

entonces podemos ilustrar este hecho en el siguiente registro gráfico 2

1 10R O :

41


1 10R O

De donde

44

2 3

2 3 3 2

14 4 4000 (2

3

64 1 4000 132 2 2 5.56 0

3 3 4 3

2.1

hh

w y y dy y y

h h h h

h ft

La ecuación cúbica se ha resuelto con el programa GeoGebra.

Aplicación de la integral definida al cálculo de volúmenes de sólidos de revolución

Resolución de problema 25 (b)

Formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región 2S

delimitada por las curvas

2

( ) 4 ( ) 24

xf x g x , girando

alrededor del eje indicado (X).


1 17R O : 17O es el objeto volumen del sólido

de revolución formado al girar la región 2S en torno al eje X.

4,4

h

y


42

Esta región, al girar determina un sólido de revolución cuyo volumen aproximaremos por n

cilindros huecos cuyos radios son ( ) ( )i i i iR f x y r g x y de altura x , por tanto el i-

esimo cilindro hueco tiene como i-ésimo volumen

2 2 2 2

2 42 24 2 2 12

4 16

i i i i i

i ii i

V R r x f x g x x

x xV x x x

Una aproximación al volumen del sólido de revolución sería 4

2

1

2 1216

ni

i

i

xV x x

El volumen exacto se obtiene cuando n o que determina que 0x como sigue

42

1

lim 2 1216

ni

in

i

xV x x

, lo cual se entiende también como:

2 2 2 24 42 2

02 2

448 22 12 2 2 12 132.69

16 16 15

i ii i

x xV x dx x dx

, que

representa el volumen exacto del sólido de revolución formado al girar la región dada

alrededor del eje x.

Los límites de integración se obtuvieron intersectando ( ) ( )f x g x .

Resolución del problema 27

Longitud de Arco

(5 de 2, pg.481)

Un cable eléctrico cuelga entre dos torres que están a 200 m de distancia, como se muestra

en la figura. El cable toma la forma de una catenaria cuya ecuación es:

/150 /150150cosh 75 ; 100 100150

x xxf x e e x

Registro algebraico-gráfico 3

1 11R O , 11O es el objeto longitud de arco del cable de alta

tensión de esta situación problemática.

iriR


43

Encontrar la longitud de arco del cable entre las dos torres.

Solución

Para calcular la longitud de arco del cable de alta tensión, construimos una aproximación

poligonal a la curva C que forma el cable entre las dos torres de alta tensión. Sea

150 150( ) 150 cosh 75150

x xx

f x e e

la función que define a C, en cuyo registro gráfico

se muestra que f es continua en [-100, 100].


1 11 1 11R O y R O , O11 es el objeto longitud de arco de la

función catenaria ( ) 150cosh150

xf x

, en x[-100, 100].


44


1 11R O

Dividimos el intervalo [-100, 100] en n subintervalos de igual longitud x y con extremos

0 1 2, , , , nx x x x . Siendo i iy f x , el punto ,i i iP x f x pertenece a la curva C y una

aproximación a C es la línea poligonal abierta de extremos 0 1 2, , , , nP P P P . La longitud del

polígono es aproximada a la longitud de la curva L C . La aproximación va mejorando a

medida que se incrementa el número de segmentos n (𝑛 → ∞).

Registros gráficos 2 2

1 12 2 13R O y R O , 12O es el objeto longitud aproximada a L(C) por

cobertura con línea poligonal abierta formada por tres segmentos y 13O es el objeto longitud

aproximada a L(C) por cobertura con línea poligonal abierta formada por setenta y cuatro

segmentos.

Entonces 1

0

( ) limn

i in

i

L C P P

.

Definimos la longitud L C de la curva C, de ecuación ( ), 100 100y f x x

, como el límite de la suma de las longitudes de estos polígonos inscritos (en caso que el

límite exista); como sigue:

1

0

( ) limn

i in

i

L C P P

.

Iniciemos el cálculo de la longitud de arco L(C) aproximándola con líneas poligonales

abiertas, primero cuando n=4:


45


1 14 1 14( ) ( )R O y R O , 14O es el objeto longitud aproximada a

L(C) por cobertura con línea poligonal abierta formada por cuatro segmentos.

Registro numérico 4

1 14R O

Dividimos [-100, 100] en 4 intervalos de igual tamaño 100 ( 100)

504

x

, entonces

{ 100, 50,0,50,100}P es una partición de [-100, 100], en la cual

0 1 2 3 4100, 50, 0, 50, 100x x x x x , es decir 4

1{ 100 }i ix i x . Los puntos

4

1{( , ( ))}i i ix f x son puntos sobre la curva f que podemos tomarlos como extremos de

segmentos rectos que forman un polígono que se aproxima a la curva:

100 100

150 1500 0

50 50

150 1501 1

0 0

150 1502 2

100, ( ) ( 100) 75 184.59

50, ( ) ( 50) 75 158.41

0, ( ) (0) 75 150

x f x f e e

x f x f e e

x f x f e e


46

50 50

150 1503 3

100 100

150 1504 4

50, ( ) (50) 75 158.41

100, ( ) (100) 75 184.59

x f x f e e

x f x f e e

Los extremos de los segmentos determinados por la partición son:

0 1 2 3 4( 100,184.59), ( 50,158,41), (0,150), (50,158.41) (100,184.59)P P P P y P .

Para el caso del ejercicio, calculando de acuerdo a 4 2 2

1 1 11( )i i i i i ii

P P x x y y

tenemos:

4

1

1

( ) 56.44 50.7 50.7 56.44 214.28i i

i

L C P P

Ahora calculemos la longitud de arco L(C) aproximándola con líneas poligonales abiertas,

cuando n=8:


1 15 1 15R O y R O , 15O es el objeto longitud aproximada

a L(C) por cobertura con línea poligonal abierta formada por ocho segmentos.


47

Registro numérico 4

1 15R O : Construcción de la línea poligonal abierta con ocho

segmentos.

Dividimos [-100, 100] en 8 subintervalos de igual tamaño 100 ( 100)

258

x

, entonces

{ 100, 75, 50, 25,0,25,50,75,100}P es una partición de [-100, 100], en la cual

0 1 2 3 4 5 6 7 8100, 75, 50, 25, 0, 25, 50, 75, 100x x x x x x x x x , es decir

8

1{ 100 }i ix i x . Los puntos 8

1{( , ( ))}i i ix f x son puntos sobre la curva f que podemos

tomarlos como extremos de segmentos rectos que forman un polígono que se aproxima a la

curva:

100 100

150 1500 0

75 75

150 1501 1

50 50

150 1502 2

25 25

150 1503 3

100, ( ) ( 100) 75 184.59

75, ( ) ( 75) 75 169.14

50, ( ) ( 50) 75 158.41

25, ( ) ( 25) 75 152.09

x f x f e e

x f x f e e

x f x f e e

x f x f e e

0 0

150 1504 4

25 25

150 1505 5

50 50

150 1506 6

75 75

150 1507 7

8 3

0, ( ) (0) 75 150

25, ( ) (25) 75 152.09

50, ( ) (50) 75 158.41

75, ( ) (75) 75 169.14

100, ( ) (100)

x f x f e e

x f x f e e

x f x f e e

x f x f e e

x f x f

100 100

150 15075 184.59e e

Los extremos de los segmentos determinados por la partición son:

0 1 2 3 4

5 6 7 8

( 100,184.59), ( 75,169.14), ( 50,158.41), ( 25,152.09), (0, 150)

(25, 152.09), (50, 158.41), (75, 169.14) y (100, 184.59)

P P P P P

P P P P

.

48

Para el caso del ejercicio, calculando la longitud de cada segmento del polígono, de acuerdo

con: 8 2 2

1 1 11( )i i i i i ii

P P x x y y tenemos:

8

1

1

( ) 29.38 27.21 25.79 25.09 25.79 27.21 29.38 214.93i i

i

L C P P

Registro en lenguaje simbólico: 5

1 15R O

Calculando el tamaño de cada uno de los n segmentos resultantes, tenemos:

2 2

1 1 1 1 11

2 2

1 1

( ) , { ( )}n n

i i i i i i i i i i i ii

n

i i ii

P P x x y y y f x y y y y

P P x y

Aplicando el teorema del valor medio a f en el intervalo 1 1[ , ]n

i i ix x , hay un valor

*

1[ , ]i i ix x x tal que *

1 1( ) ( )i i i i if x f x f x x x o sea *

i iy f x x , entonces

queda:

2 22 2 2 2* *

1

2*

1

1 , 0

i i i i i

i

P P x y x f x x f x x

f x x x

Por la definición de L(C) se tiene:

2

*

1

1 1

lim lim 1n n

i i in n

i i

L C P P f x x

, expresión que se reconoce igual a:

100

2

100

(C) 1L f x dx

……… (1) (Stewart, 2018)

Calculando la integral para el caso de la situación problemática abordada, se tiene

2100

150 150

100

1 2(C) 1 300 215.15

2 3

x x

L e e dx senh

(Calculado con GeoGebra y

WolframAlpha)

Mostramos el cálculo manual de L(C):

49


1 16R O , 16O es el objeto longitud de arco L(C) obtenida aplicando la

fórmula (1).

100 100

2 2

100 100

100

100

( ) 150cosh ( ) , 100 100150 150

( ) 1 cos150 150

100 100( ) 150[ 150

150 150 150

( ) 150 2

x xf x f x senh x

x xL C senh dx h dx

xL C senh senh senh

L C s

2 2300 215.15

3 3enh senh

En la resolución de los ejercicios de la práctica, hechos anteriormente, los tratamientos

realizados en los registros semióticos considerados, los hicimos con todos los detalles

algorítmicos para que pudiera compararse como para cubrimientos pequeños los

tratamientos pueden resultar tediosos, engorrosos y a veces complicados, creando conflictos

semióticos en los estudiantes y comprometiendo la devolución del conocimiento.

Imaginemos como sería para cubrimientos con número de rectángulos muy grande. Por esto

nos apoyamos con el software dinámico y gratuito GeoGebra, para evitar conflictos

semióticos en el aprendizaje y dirigir la atención al aprendizaje conceptual. Como discierne

Ely (2017) cuando afirma que los ordenadores pueden computar cualquier integral, pero no

pueden ver una situación y escribir una integral que la represente; y por esto los planes de

estudio del cálculo (análisis por infinitesimales) deben dar un giro y apoyar la necesidad de

modelar e interpretar, es decir, instrumentar a los estudiantes con modalidades de interpretar

la notación del cálculo que respalda su modelado e interpretación de los contextos que

devienen de las aplicaciones de la integral definida. Proporcionar a los estudiantes formas

de interpretar las piezas de notación del cálculo para que representen y trabajen de manera

confiable y significativa con cantidades en un contexto determinado. Solo este hecho,

justifica nuestra investigación.

50

II. MÉTODO

2.1. Tipo y diseño de investigación

Esta investigación es descriptiva y está orientada a la caracterización teórica (considerando

algunos aspectos ontológicos, epistemológicos, cognitivos y semióticos) de los registros de

representación semiótica que se movilizan y coordinan (con sinergia) para lograr, en los

estudiantes de ingeniería, aprendizajes significativos del concepto de integral definida y

facilitarles el trabajo de solución de situaciones problemáticas que afronten al tratar con

aplicaciones a la ingeniería.

2.2 Escenario de estudio

El escenario de estudio es: las situaciones contextualizadas o situaciones-problema extraídos

de un componente (dos prácticas) de un sistema de prácticas o praxeología que se han

compilado seleccionando ejercicios y problemas de tres textos utilizados en la enseñanza-

aprendizaje del cálculo integral con sus aplicaciones. Elegimos Stewart, J. (2018), Larson,

R. (2011) y Hibbeler, R., por ser textos que consideramos más adecuados al propósito de

caracterizar, movilizar y coordinar (realizar las conversiones entre registros, de manera

sinérgica) los registros de representación, tanto para conceptualizar integral definida, como

para resolver los problemas de aplicación a la ingeniería.

2.3. Participantes

Praxeología intra y extramatemática, con ejercicios y problemas propuestos, seleccionados

de los tres textos muy usados por las instituciones de educación superior de Trujillo, en la

enseñanza de cálculo integral, que se han compilado y algunos desarrollado y de los cuales

consideramos emerge el objeto integral definida que nos proponemos conceptualizarlo

mediante sus representaciones en registros semióticos, que analizaremos evidenciándolos y

caracterizándolos, así como explicando las transformaciones ocurridas entre sus

representaciones con o sin cambio de registro (conversiones y tratamientos), visando

construir el concepto o conceptualizar la integral definida y facilitar la resolución de

problemas de aplicación a la ingeniería. Nos apoyamos con el software gratuito GeoGebra

con la intención de evitar conflictos semióticos en el proceso de aprendizaje, con respecto a

determinada complejidad para graficar funciones o coberturas rectangulares, comprensión

de infinitesimales, cálculo de límites al infinito y cálculos aritméticos y simbólicos que

pueden resultar engorrosos y tediosos hacerlos manualmente (Aranda, C. y Callejo, M. Luz.,

2010).

51

2.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos

La técnica utilizada es el análisis documental, utilizando una ficha de análisis como

instrumento de estudio analítico (véase en Anexo II).

La ficha de análisis de esta investigación involucra componentes otológicos,

epistemológicos y semióticos sobre los objetos matemáticos, sus representaciones en

registros semióticos con sus significados correspondientes, las transformaciones que se

realizan de una representación en otra, tanto en el mismo registro como en registros

diferentes con el propósito de conceptualizar la integral definida y facilitar la resolución de

problemas aplicados a la ingeniería como trabajo mecánico, longitud de arco, fuerza de

empuje, campo eléctrico y centro de masa. Las situaciones problemáticas sobre áreas de

regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución también viabilizan la

conceptualización de la integral definida.

La ficha o tabla de análisis está dividida en siete partes: concepto, registro, representación

objeto representante, objeto representado, funcionalidad, conversiones y tratamientos.

2.5. Procedimiento

El análisis se aplicó a la resolución hecha, primero, de una situación problemática que

involucra el cálculo del área de una región plana con una de sus fronteras siendo la función

f(x) continua y positiva en [a, b] (ejercicio 5 de la práctica), ver pag. 84. En este análisis se

evidencian los objetos matemáticos emergentes: función, área aproximada por sumas

superiores de Riemann, por cobertura con cuatro y ocho rectángulos; para lo cual se

movilizaron los registros algebraico, geométrico, numérico y simbólico y sus respectivas

conversiones y tratamientos. Los objetos área aproximada obtenida por la regla de los puntos

medios, por cobertura con cuatro y ocho rectángulos; para lo cual se movilizaron los mismos

registros anteriores y sus respectivas conversiones y tratamientos. Los objetos área

aproximada obtenida por sumas inferiores de Riemann, por cobertura con cuatro y ocho

rectángulos; para lo cual se movilizaron los mismos registros anteriores y sus respectivas

conversiones y tratamientos. Para construir el concepto del objeto área aproximada obtenida

por sumas inferiores de Riemann, por cobertura con un número finito n de rectángulos (n>8),

se movilizaron los registros simbólicos de representación con suma extendida y con notación

sigma, preparando el terreno para conceptualizar el objeto área exacta de S1 como integral

definida sobre el intervalo [1, 5]. Por último. Para conceptualizar el objeto área exacta de la

región S1 se movilizaron en el registro simbólico las representaciones como límite de una

52

suma infinita y como integral definida de f(x) sobre el intervalo [1, 5]. En segundo lugar,

analizamos los registros de representación semiótica que se movilizan para conceptualizar

la integral definida como el trabajo mecánico (problema 20 de la práctica), ver pag. 98,

necesario para vaciar el agua contenida en un recipiente en forma de paraboloide, de cuatro

pies de profundidad y cuatro pies de radio de la boca. Los objetos que emergieron son, la

cantidad exacta de energía necesaria para que la fuerza variable F, vacíe el agua contenida

en el recipiente en forma de paraboloide; el objeto i-ésima cantidad de energía exacta

necesaria para que la i-ésima fuerza constante que actúa sobre la cantidad de agua contenida

en la i-ésima rebanada, tomada de una cobertura por n rebanadas cilíndricas circulares rectas,

que recubren aproximadamente la porción del paraboloide que delimita el recipiente, para

desplazarla hasta la el nivel de la boca de dicho recipiente. El objeto trabajo aproximado a

W, resultante de la suma extensiva de los n trabajos 1

n

i iw

que realizan las n fuerzas

1

n

i iF

para desplazar las n masas de agua 1

n

i im

contenidas en las n rebanadas del cubrimiento de

la masa total de agua contenida en el recipiente en forma de paraboloide; el objeto Trabajo

aproximado a W, resultante de la suma con notación sigma de todos los n trabajos 1

n

i iw

que realizan las n fuerzas 1

n

i iF

para desplazar las n masas

1

n

i im

contenidas en las n

rebanadas del cubrimiento aproximado de la masa total de agua contenida en el recipiente

en forma de paraboloide, hasta la boca de dicho recipiente; objeto cantidad exacta de energía

necesaria para para que la fuerza variable F(x) vacíe la masa de agua contenida en el

recipiente en forma de paraboloide, representada por notación con integral definida.

También se ha resuelto la aplicación del cálculo de la longitud de arco en forma de catenaria

(problema 27 de la práctica) de la cual no se ha hecho, en este trabajo, un análisis de los

registros semióticos para conceptualizar longitud exacta del cable debido a que tal análisis

sería análogo a los anteriores.

2.6. Método de análisis de información

Coherentes con el diseño cualitativo, la trayectoria metodológica la presentamos en el

siguiente cuadro:

53

ACTIVIDADES CARACTERÍSTICAS ONTOLÓGICAS Y

SEMIÓTICAS

1. Análisis de los objetos

matemáticos emergentes de la

situación problemática.

Conceptos: función área aproximada al área de S1

(diferentes recubrimientos con 4R y 8R, por exceso

y por defecto); área aproximada al área de S1 del

cubrimiento por defecto con nR (n>8), área exacta

de S1 (como límite de una suma infinita y como

integral definida). Objeto cantidad necesaria de

energía w para que la fuerza variable F logre vaciar

un tanque en forma de paraboloide, objeto trabajo

necesario iw para que la fuerza constante iF

desplace la masa de agua im , contenida en la i-

ésima rebanada del cubrimiento de la masa total de

agua contenida en el recipiente en forma de

paraboloide, hasta la boca de dicho recipiente;

objeto cantidad aproximada (a w) de energía

resultante de la suma extensiva

1 2 nw w w w , necesaria para que las fuerzas

1

n

i iF

desplacen las masas

1

n

i im

desde el nivel de

profundidad en que se encuentra cada una, hasta la

boca del recipiente en forma de paraboloide; objeto

cantidad aproximada (a w) de energía, resultante de

la suma con notación sigma 1

n

i

i

w w

, necesaria

para que las fuerzas 1

n

i iF

desplacen las masas

1

n

i im

desde el nivel de profundidad en que se

encuentra cada una, hasta la boca del recipiente en

forma de paraboloide; objeto trabajo, w, exacto y

necesario para vaciar la masa total de agua

contenida en el recipiente parabólico, obtenido

como límite de una suma infinita; Trabajo, w,

54

exacto y necesario para vaciar la masa total de agua

contenida en el recipiente parabólico, obtenido

como integral definida.

2. Identificar en que registro se

hace la representación semiótica.

Cada representación semiótica se hace en un

determinado registro, cuando se transforma en otra

representación en el mismo registro, se produce un

tratamiento y cuando esta transformación cambia de

registro se produce una conversión.

3. Representación semiótica de los

objetos emergentes.

Cada representación semiótica de los objetos

matemáticos 1

j

i kR O se le asignó los subíndices j

indicando el tipo de registro, i el tipo de

representación en el registro j y k el tipo de objeto

matemático.

4. Diferenciación entre objeto

representante y representado.

El objeto representante lo constituye la cadena

simbólica, que generalmente es icónica y el

representado es el objeto que será conceptualizado a

través de las representaciones semióticas.

5. Determinación de la

funcionalidad del objeto

emergente.

La existencia de los objetos matemáticos se debe a

su funcionalidad, en la tabla de análisis describimos

la funcionalidad de cada uno de los objetos en el

contexto de la situación problemática.

6. Explicitación de las

conversiones y tratamientos.

Cuando la transformación requiere de reglas

establecidas se llama tratamiento, en caso contrario

es una conversión. Aquí se establece la diferencia.

2.7. Aspectos éticos

Esta tesis se fundamenta en un amplio espectro de información de temas puntuales, sobre

educación matemática y particularmente sobre didáctica de la matemática, provenientes de

fuentes como: investigaciones, artículos científicos, textos, y otros; que han aportado un haz

de conocimientos a la mejora del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática y en

particular del cálculo integral, disciplina con la que experimentan mucha dificultad los

estudiantes de ingeniería, tanto para su comprensión como para la resolución de situaciones

55

problemáticas de aplicación. Esta tesis es original y su contenido no es copia de otros

documentos.

III. RESULTADOS

Los resultados que se describen a continuación se obtuvieron a partir de la resolución

detallada de dos situaciones problemáticas planteadas en la práctica: la conceptualización

histórica de integral definida como área bajo una función continua y positiva (proveniente

históricamente del método de agotamiento) y de la aplicación de la integral definida al

vaciado de agua de un tanque en forma de paraboloide.

Siguiendo nuestro objetivo general de caracterizar los registros de representación semiótica

involucrados en esta investigación, movilizamos en este trabajo los registros algebraico,

geométrico, numérico y simbólico, a fin de conceptualizar la integral definida y lograr no

confundir el objeto integral definida con sus representaciones (Duval, R., Trad. Moretti, M.,

1981, pg. 270) debido a la carencia de unicidad al ser representada. Partimos siempre del

binomio de registros algebraico-grafico, primero por la facilidad con que se pueden construir

las gráficas, con el software dinámico GeoGebra, ingresando las ecuaciones algebraicas de

las funciones o ingresando las instrucciones para los cubrimientos por sumas superiores,

regla de los puntos medios o sumas inferiores de Riemann; segundo, para potenciar la

percepción visual al presentar un panorama claro de la representación gráfica del objeto

matemático que se está analizando, visando generar las intuiciones pertinentes y necesarias

para la aprehensión conceptual de la integral definida y facilite la resolución de situaciones

problemáticas aplicadas a la ingeniería, donde se involucre integral definida; y, tercero

porque evita cálculos simbólicos engorrosos y desnecesarios para la construcción de graficas

o cubrimientos del área de S1 con rectángulos. También GeoGebra evita los conflictos

semióticos producidos por los infinitesimales (utilizando la herramienta deslizador), límites

al infinito, cubrimientos con número grande de rectángulos, etc. En la resolución del

ejercicio 5 se movilizaron los registros algebraico, geométrico, numérico y simbólico. Se

inició con la aproximación por cubrimiento al área bajo la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2ln(𝑥) en

[1, 5], con cuatro y ocho subintervalos iguales. En los registros numéricos correspondientes

se realizaron los cálculos, manualmente, de la base y las alturas de cada uno de los

rectángulos de cada cubrimiento, para luego calcular sus áreas y al sumarlas obtener una

aproximación al área exacta (AE) que resultó AE=3,91 calculada con el programa online

WolfranAlpha por integral definida. El área aproximada por sumas superiores de Riemann

56

(AAUS) resultó AAUS=4,81 y por sumas inferiores de Riemann (AALS) AALS=3,26. Por

cubrimiento con cuatro rectángulos (C4R). Con un cubrimiento por ocho rectángulos, se

hizo un tratamiento análogo, obteniéndose las aproximaciones AAUS=4,33 y AALS=3,55.

Este estudio tiene significancia porque a partir de los cubrimientos C4R y C8R se aprecia

que los valores de las sumas superiores de Riemann se aproximan de manera monótona

decreciente al valor del área exacta, y las sumas inferiores de Riemann se aproximan de

manera monótona creciente al mismo valor. El software interactivo GeoGebra nos permitió,

usando la herramienta deslizador, aumentar progresivamente el número de rectángulos del

cubrimiento e ir teniendo la experiencia de percibir, progresivamente, la monotonía con que

se van aproximando las sumas superiores e inferiores de Riemann, a medida que van

aumentando el número de rectángulos en los cubrimientos respectivos. Esta experiencia, en

su completa dimensión, es difícil tenerla fuera de un entorno tecnológico. Construimos la

applet 1, para tener la experiencia visual e intuitiva de cómo, al aumentar el número de

subintervalos en las particiones de [1, 5] y por ende el de los rectángulos de los cubrimientos

de S1, los valores de las sumas superiores e inferiores de Riemann convergen

monótonamente al valor exacto de la región. Observamos en la applet 1 que al mover el

deslizador hasta n=5003, es decir tomando una partición de 5003 subintervalos iguales en

[1, 5] que generan el cubrimiento C5003R, los valores de las sumas superiores e inferiores

de Riemann “alcanzan” el valor del área exacta de S1; por supuesto que, por ser

20 10ln(5)AE un número trascendente, usamos, en la Apple x, aproximaciones a dos

decimales, tanto para AE, AAUS, AALS como para los errores AE-AAUS y AE-AALS y

entonces para ese valor de n se observa que AAUS=3,91, AALS=3,91, AE-AAUS=0 y AE-

AALS=0; lo cual da una “sensación” que los valores de las sumas superiores e inferiores de

Riemann “alcanzaron” el valor exacto del área de S1. Los registros simbólicos 5

1R y 5

2R

juegan el rol de pasar de la aproximación discreta hacia la obtención del área de forma

continua. Estos registros permiten una expresión simbólica y general de las sumas de

Riemann, permitiendo la representación del área aproximada por sumas expandidas y por

sumas con notación sigma, con las cuales al aumentar tanto como se pueda el número de

subintervalos de la partición del intervalo [1, 5] y con ello el número de rectángulos del

cubrimiento CnR ( n ), tomando el límite como proceso y como objeto, se obtiene el

valor exacto del área de S1 [ 20 10 ln(5)AE ]. También se explotó la concepción de

integral definida como primitiva de una función y se calculó manualmente, usando el criterio

57

ILATE y aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo (Espinoza, 2012). La

movilización de varios registros de representación semiótica, la evidencia de sus

conversiones y tratamientos, así como la coordinación entre registros realizada utilizando

GeoGebra y haciéndolo analíticamente, vislumbran una trayectoria didáctica que al aplicarla

pueden generar aprendizajes significativos en los estudiantes del cálculo integral y sus

aplicaciones a la ingeniería; tanto para la conceptualización de la integral definida como para

el favorecimiento de la resolución de problemas de aplicación a la ingeniería, como

mostramos al resolver el problema 20 de la práctica, que trata sobre el trabajo mecánico

necesario para vaciar el agua de un tanque en forma de un paraboloide, de cuatro pies de

profundidad y cuatro pies de radio de la boca. Se movilizaron los mismos registros de

representación semiótica que para el caso de la resolución del problema 5. La funcionalidad

de los objetos matemáticos se relaciona estrechamente con los fenómenos físicos que están,

tales objetos, también, representando. En el caso del problema 20, se representan una fuerza

variable que tiene que desplazar una masa de agua fuera de un recipiente en forma de

paraboloide. La idea de llegar a la integral definida que represente la cantidad exacta de

energía necesaria para que la fuerza variable consiga vaciar la masa de agua contenida en el

recipiente, tiene como punto de partida calcularlo, a partir de aproximaciones y estas

requieren aproximar la masa de agua contenida en el del sólido recipiente mediante

cubrimientos por cilindros circulares rectos iguales, resultantes de hacer una partición del

intervalo [0, 4] contenido en el eje Y . Cada i-ésimo cilindro es una rebanada de la cobertura

de la masa de agua y contiene un i-ésimo volumen iV que con la densidad del agua, se calcula

la i-ésima masa im de agua de la i-ésima rebanada. Como hay que vencer la gravedad para

desplazar la i-ésima rebanada de agua desde su posición iy (profundidad en el recipiente)

hasta el nivel de la “boca” del recipiente (la distancia 4- iy ) lo que determina la i-esima

fuerza i iF m g que transfiere la energía necesaria para desplazar la i-ésima rebanada de agua

(Tipler y Mosca, 2010, p. 174). También se puede construir una Applet, en la cual se pueda

tener la experiencia dinámica de observar como la serie de los valores de los trabajos 1

n

i iw

se van “acercando” a W, a medida que el número de rebanadas de masa de agua aumentan

tanto como se quiera. Aun cuando las rebanadas de agua son tridimensionales y los

rectángulos de los cubrimientos del ejercicio 5, la trayectoria didáctica para conceptualizar

el área bajo una curva y el trabajo necesario para vaciar la masa de agua contenida el

58

recipiente, creemos, es la misma. Para pasar de la aproximación al trabajo exacto recurrimos

a los registros simbólicos 5

1R y 5

2R con sumas extendidas y con notación sigma y tomando

el límite de estas sumas que coincide con la integral definida 4

0

4 4W y y dy que

calcula el trabajo exacto. Entonces, para facilitar la resolución de problemas de aplicación

que tenga que ver con calcular el área bajo una curva o el trabajo mecánico, visando

conceptualizar integral definida y los objetos matemáticos relacionados con esta, necesarios

para lograr facilidad para resolver las aplicaciones; presentamos una trayectoria didáctica

que conjeturamos, de seguirla, van a generar aprendizajes significativos en los estudiantes

de cálculo integral durante la mediación semiótica docente en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la actividad matemática. Esto lo podemos entender como un aporte a lo

acostumbrado en la mediación docente de tentar conceptualizar por definiciones y resolver

aplicaciones solo de manera algorítmica, principalmente algebraica y numérica. El apoyo

obtenido con el uso del software GeoGebra radica en evitar conflictos semióticos con

respecto a gráficas de funciones, cubrimientos, cálculo simbólico, límites al infinito,

convergencia de series, etc., que muchas veces comprometen la devolución de los

estudiantes, debido a la complejidad de la comprensión y el manejo conceptual de estos

objetos matemáticos. La praxeología propuesta, de donde emergen los objetos y

procedimientos matemáticos que trabajamos, nos da el crédito de cumplimiento de nuestro

objetivo de estructurar un modelo de registros de representación semiótica. Por supuesto que

puede ser extendido y mejorado, pero nos ha servido para justificar este estudio de los

registros de representación semiótica que movilizamos y coordinamos para resolver un

problema intramatemático de área bajo una curva (problema 5) y otro extramatemático de

aplicación al cálculo del trabajo mecánico (problema 20); en ambos se representaron los

objetos matemáticos con registros algebraicos, geométricos, numéricos y simbólicos, de

acuerdo con la teoría de Raymond Duval, cuidando que tales registros identifiquen a los

objetos representados, se evidencien los tratamientos y conversiones que ocurren en y entre

estos registros. Estos tres elementos caracterizan nuestros registros de representación

semiótica como acción de la cognición comprometida en las aptitudes matemáticas

necesarias para facilitar la resolución de los problemas de aplicación (Hernández, Cervantes,

Ordoñez-Cuastumal y García, 2017). En las tablas de análisis, las unidades de análisis

contienen componentes semióticas con signos y significados, componente ontológico que

muestra como los objetos emergen de la praxeología y la funcionalidad que desempeñan al

59

interpretar u organizar un fenómeno, componentes cognitivas presentes en el atributo de los

registros para identificar los objetos matemáticos, realizar tratamientos en un mismo registro

y conversiones de un registro en otro y componentes epistemológicas que evidencian la

actividad matemática como una actividad antropológica social. La trayectoria didáctica de

representación semiótica de los objetos matemáticos, presentada en la resolución del

problema 5, puede ser seguida, de forma análoga, por ejemplo en la resolución del problema

27, en el cual, se pide calcular la longitud de arco de un cable, en forma de catenaria, que

cuelga de dos torres eléctricas. En este trabajo, mostramos, que la trayectoria didáctica para

la resolución de este problema, es similar a la seguida en la resolución del problema 5, con

sus particularidades propias de la naturaleza de la situación problemática, pero en general,

aproximando la longitud del cable por cubrimientos con segmentos que forman una línea

poligonal abierta que termina coincidiendo con el cable, cuando se toma un número de

segmentos tan grande cuanto se quiera y el límite de la suma de las longitudes de los

segmentos representa la integral definida que permite el cálculo exacto de la longitud del

cable. En la resolución de este problema, evitamos los conflictos semióticos relacionados

con la gráfica del cable, los cubrimientos, límites al infinito y cálculos simbólicos

engorrosos, utilizando el software dinámico GeoGebra. Dejamos, también, la resolución del

problema 25 (b) sobre volumen de un sólido de revolución generado por la rotación de la

región plana S2 alrededor del eje x , en esta, también, usamos una trayectoria pedagógica

esencialmente análoga a las aplicadas en los problemas mencionados anteriormente, con sus

propias particularidades, pero con las ideas esenciales de partición, cubrimiento,

aproximación y salto al infinito. El software dinámico GeoGebra, jugando el papel de evitar

o minimizar los conflictos semióticos que se presenten en el aprendizaje conceptual y

procedimental, y por tanto se generen aprendizajes significativos en los estudiantes de

ingeniería, que aborden el cálculo integral y sus aplicaciones.

60

IV. DISCUSIÓN

Los registros de representación semiótica movilizados y coordinados en la resolución de los

problemas 5 y 20 de la práctica considerada en este trabajo, constituyen un modelo cognitivo

del pensamiento, que viabiliza la representación y comprensión conceptual del objeto

matemático integral definida y de los procedimientos que visan facilitar la resolución de

problemas de aplicación, de este objeto, a la ingeniería. (Duval, 1993, Trad. Moretti, 2012,

pg. 266). En las tablas de análisis se categorizan tanto la representación como el objeto

representado, evidenciando así la diferencia esencial entre el objeto matemático y su

representación, tan necesario para evitar la paradoja de Duval. (Damisa y Ponzetti, 2015,

p.137), (Duval, 1993, Trad. Moretti, 2012). En las mismas tablas de análisis destacamos la

funcionalidad que desempeñan cada uno de los objetos involucrados en nuestro estudio,

debido a que el reconocer esta funcionalidad que puede ser organizativa o interpretativa del

contexto que representa (sistema de prácticas) da paso a la comprensión del objeto

matemático (Pecharromán, 2014, p. 112) desde una posición ontológica. También, en dichas

tablas, se señalan las conversiones y tratamientos que han ocurrido en y entre los registros

movilizados, porque estas transformaciones forman parte del motor de la actividad

matemática (Duval, 1993, Trad. Moretti, 2012, p. 266). Como dice Duval, desde la óptica

matemática las transformaciones de conversión y tratamiento son un todo en la actividad

matemática de resolución de problemas (Duval, 2006, Trad. Quesada, H, p. 149).

Construimos las applets 1 e 2, con GeoGebra, para evidenciar la efectividad de las secuencias

didácticas que permiten tener la experiencia de aproximación por cubrimientos y el “salto al

infinito” para alcanzar la exactitud. Tal experiencia viabiliza mejorar la comprensión

conceptual de los alumnos de ingeniería permitiéndoles acercarse a los conceptos mediante

diversas representaciones de estos, superando el hecho de que en los diferentes niveles de

enseñanza no se enfatiza la diversidad de representaciones y mucho menos la coordinación

entre ellas. Orientando, los entornos tecnológicos (colaborativos e interactivos) apoyados

por ordenador y software dinámico, a generar situaciones de aprendizaje en las cuales se

ofrezcan herramientas que permitan, a los estudiantes, desarrollar su máximo potencial

cognitivo, aproxima de lograr aprendizajes efectivos y significativos (Gruszycky, Oteiza,

Maras, Gruszycky y Ballés, 2014, p. 2169). Con respecto a entornos tecnológicos (Turégano,

1997, pp- 44-46) usa los programas ALTURAS, APROXIMA e INTEGRAL en las

actividades que propone para pasar al concepto abstracto de integral definida. Gatica, y Ares,

2011, usan la interface gráfica de MATLAB, GUI (graphical user interface) para

61

conceptualizar integral definida. En este trabajo los autores señalan algunas dificultades que

tienen los estudiantes para la aprehensión de integral definida, relacionados con los textos y

el propio enfoque que nortea la mediación docente y, plantean la visualización, como

necesaria para salir de estas dificultades. Manejando el argumento que en la visualización se

movilizan los registros numérico, gráfico, algebraico, verbal y gestual y que, además, esta

interviene con la fisiología de las estructuras cognitivas y con las relaciones entre las

representaciones en juego (coordinaciones), los autores consideran la visualización como un

medio, del que dispone el estudiante, para lograr un mejor entendimiento, es decir,

comprender un concepto mediante una imagen visual (Gatica, y Ares, 2011, pp. 79, 80). En

nuestro trabajo utilizamos GeoGebra como recurso de visualización, necesario para la

aprehensión conceptual de integral definida en tiempo real y para evitar conflictos

semióticos en su aprendizaje y en el abordaje al resolver problemas de aplicación a la

ingeniería. El contexto de nuestro estudio lo constituye la práctica considerada (ver anexo),

de la cual los estudiantes adquieren su experiencia y de la que emerge el objeto matemático

integral definida y otros objetos conexos con este estudio. El objeto integral definida asume

un estado que se deriva de la práctica que lo precede (Font, Godino y Gallardo, 2013). Como

lo expresó Godino con respecto al significado de los objetos matemáticos que debe llevar a

pensar en términos de “los sistemas de prácticas que realiza un individuo para resolver

determinada clase de problemas”. Prácticas que como acciones operatorias y discursivas

cuando hechas por un individuo se puede hablar de significado personal y cuando hecha en

el seno institucional se trata del significado institucional (Godino, 2002, p. 241), (Font,

Godino y DÁmore, 2007, p. 3). En este trabajo, los significados de los objetos matemáticos

y de los procedimientos los damos de forma expresa, escrita y discursiva. Por tanto, en la

solución de los problemas 5 y 20 de práctica, el señalamiento de la funcionalidad de los

objetos matemáticos como elemento esencial de su existencia ontológica, la diferenciación

señalada entre objeto representante y representado, así como la explicitación de las

transformaciones de conversión y tratamiento entre registros de representación y sus

respectivas coordinaciones, caracterizan los registros de representación semiótica, que al

mismo tiempo las fundamentamos principalmente con las teorías de Duval (Duval, 1993,

Trad. Moretti, 2012), (Duval, 2006, Trad. Quesada), Godino (Godino, 2002), DÁmore

(DÁmore, 2011), (Font, Godino, y DÁmore, 2007).

62

V. CONCLUSIONES

El presente trabajo se ha hecho con el propósito de mostrar la importancia de la naturaleza

ontológica de los objetos matemáticos radicada en la funcionalidad que desempeñan en el

contexto (sistema de prácticas intramatemáticas y extramatemáticas) del cual emergen, de

las representaciones semióticas que lo identifican y suplen al movilizar una diversidad de

registros con sus respectivas transformaciones de conversión y tratamiento, así como de la

coordinación entre estos registros. Utilizamos el software GeoGebra para aprovechar sus

vistas algebraica y gráfica, el cálculo simbólico, los cubrimientos por sumas de Riemann

superiores e inferiores, la herramienta deslizador que permite tener la “experiencia virtual”

de aproximación por cubrimientos con número muy grande de rectángulos y que podría

aplicarse a rebanadas tridimensionales y el “salto al infinito”, elementos que evitan

conflictos semióticos en el aprendizaje conceptual de la integral definida y facilitan la

resolución de problemas aplicados a la ingeniería. Esta experiencia se hace posible

manipulando las applets construidas para tal fin y disponibles en el blog que se refiere en el

Anexo VI. Nuestro estudio propone una alternativa a la enseñanza tradicional que se basa

en conceptualizar la integral definida mediante definición o como primitiva de una función,

reduciendo el estudio a aplicar algoritmos y procesos algebraicos en la resolución de

ejercicios que despiertan en los estudiantes interés por procesos memorísticos y mecánicos,

despreciando el aprendizaje de conceptos matemáticos (Salinas & Alanis, 2009, citados en

Argentina, 2019). En nuestro trabajo orientamos el conocimiento estrechamente a la

resolución de problemas, como lo estima Douady (1986), citado en Nitti y Álvarez (2014).

Para la elección de los componentes de la práctica considerada consideramos los textos de

Larson y Stewart, muy usados en la enseñanza del cálculo integral y de los cuales no solo se

tomaron algunos ejercicios y problemas, sino también aspectos teórico-prácticos coherentes

con nuestro estudio (Larson y Edwars, 2011), (Stewart, 2018). En nuestro estudio

conceptualizamos la integral definida desde una posición independiente de la derivada, vía

aproximaciones por cubrimientos finitos que llevan a límite al infinito de sumas superiores

o inferiores de Riemann, contando con el software GeoGebra para salvar los conflictos

semióticos, en el aprendizaje, que se puedan generar a causa de los infinitesimales utilizados,

el infinito, convergencia de series, entre otras y que permitan aprendizajes significativos de

cálculo integral a os estudiantes de ingeniería.

63

VI. RECOMENDACIONES

A los docentes que enseñan cálculo integral en una variable para estudiantes de

ingeniería:

- Se les recomienda considerar el desarrollo histórico del conocimiento matemático

sobre la integral definida y abordar su conceptualización según Riemann desde la

posición de un sistema de prácticas operativas y discursivas, con problemas

intramatemáticos y extramatemáticos, de los cuales emerjan los objetos matemáticos

en juego, mostrando su existencia por la funcionalidad que desempeñan en el

contexto, identificados y representados en diversos registros semióticos con sus

respectivas transformaciones de conversión y tratamiento (que son un todo en la

resolución de problemas), asumiendo las características señaladas en la teoría de

Duval (1993, 2006), las consideraciones ontológicas de Pecharromán (2013, 2014) y

los desarrollos teóricos ontosemióticos de Godino (2002), básicamente.

- Recomendamos el uso de software dinámico y libre como GeoGebra, bajo un plan

de secuencias didácticas que viabilicen la conceptualización de integral definida y

faciliten la resolución de problemas de aplicación a la ingeniería, utilizando sus vistas

y herramientas (como el deslizador) para evitar conflictos semióticos en la

construcción gráficas de funciones, las conversiones de registros, la visualización en

tiempo real de las sumas superiores e inferiores de Riemann, la facilidad de

realización del cálculo aritmético y simbólico, las aproximaciones por cubrimientos

con un número muy grande de rectángulos y el “salto al infinito” yendo de la

aproximación a la exactitud, creando applets que permitan tener una experiencia

virtual del paso de lo discreto a lo continuo, de lo finito a lo infinito.

- Recomendamos transitar cognitivamente por las teorías que dan soporte a la didáctica

de la matemática y a los trabajos científicos relacionados con la creación de entornos

tecnológicos dinámicos e interactivos de aprendizaje de temas matemáticos, en

particular de la integral definida.

A las instituciones de enseñanza superior que brindan los cursos de cálculo integral en una

variable:

64

- Recomendamos desarrollar e incluir actividades de aprendizaje de la integral

definida, considerando el desarrollo histórico de este conocimiento matemático,

desde el método de exhaustión creado por Eudoxo, cuya utilización se evidencia en

el libro XII de los “Elementos” de Euclides y en una diversidad de obras de

Arquímedes, pasando por los trabajos de Leibnitz y Newton, las obras de Euler y

Lagrange, hasta la integral de Riemann como ahora se concibe (Ríbnikov, 1987). Es

decir considerar al cálculo integral como análisis matemático por infinitesimales.

- Recomendamos incluir en las actividades de aprendizaje entornos tecnológicos de

aprendizaje, de preferencia contando con software dinámico y gratuito como

Geogebra que permitan aproximarse a los conceptos, por vivencia experiencial,

mediante una diversidad de representaciones de estos, resaltando las visuales y de

cálculo simbólico; que estimulen los sentidos durante la edificación de nuevas

estructuras mentales y que posibiliten a los usuarios expresar conceptos e ideas

matemáticas (Gruszycky, Oteiza, Maras, Gruszycky y Ballés, 2014).

A los estudiantes de ingeniería que aborden el cálculo integral en una variable

- Recomendamos conseguir sus aprendizajes significativos de la integral definida

desde el enfoque del cálculo integral como análisis matemático por infinitesimales,

conceptualizando la integral definida y buscando la facilidad para resolver problemas

de aplicación a la ingeniería desde el punto de partida de un sistema de prácticas de

las cuales emerjan los objetos matemáticos expresados por sus representaciones

manifestadas con la movilización de una diversidad de registros de representación

semiótica con sus respectivas transformaciones de conversión y tratamiento y la

coordinación entre ellos.

65

REFERECIAS

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69

ANEXO I

PRÁCTICA

Elegimos los problemas de la práctica (junto con sus correspondientes figuras), de los textos

de Stewart (2018) aquí considerado como libro 1, Larson (2011) libro 2 y Hibbeler (2010)

como libro 3. De tal manera que cada problema tendrá la referencia: Número

correspondiente en la práctica (Número del problema en el libro del cual se sacó y página de

este libro donde se encuentra el problema).

PROBLEMAS INTRAMATEMÁTICOS

1. (3 de 1, p. 375)

(a) Estime el área bajo la gráfica de 1

( )f xx

, de x=1 a x=2, usando cuatro

rectángulos de aproximación y los puntos finales derechos. Trace la curva y los

rectángulos de aproximación. ¿Su estimación es una subestimación o una

sobreestimación?

(b) Repita el inciso (a), con los puntos finales izquierdos.

2. (26 de 2, p. 268)

Considerar la función 2( ) 4g x x x

(a) Estimar el área entre la gráfica de g y el eje x entre x=2 y x=4, usando rectángulos

y puntos terminales derechos. Bosquejar la gráfica y los rectángulos.

(b) Repetir el apartado (a) usando puntos terminales izquierdos.

3. (4 de 1, p. 375)

(a) Estime el área bajo la gráfica de ( )f x sen x de x=0 a x= 𝜋

2 usando cuatro

rectángulos de aproximación y puntos finales derechos. Trace la gráfica y los

rectángulos. ¿Su estimación es una sobreestimación o una subestimación?

(b) Repita el inciso (a) con los puntos finales izquierdos.

70

4. (27 al 32 de 2, p. 268)

En los ejercicios abajo dados, usar los puntos terminales izquierdo y derecho y el

número de rectángulos dado para encontrar dos aproximaciones del área de la región

entre la gráfica de la función y el eje x sobre el intervalo dado.

(a) ( ) 2 5f x x , [0, 2], 4 rectángulos.

(b) ( ) 9f x x , [2, 4], 6 rectángulos.

(c) 2( ) 2 1g x x x , [2, 5], 6 rectángulos.

(d) 2( ) 1g x x , [1, 3], 8 rectángulos.

(e) ( ) cosf x x , 0,2

, 4 rectángulos.

(f) ( )f x sen x , [0, ], 6 rectángulos.

5. (6 de 1, p. 375)

(a) Trace la gráfica de la función ( ) 2ln , 1 5f x x x x

(b) Estime el área bajo la gráfica de f con cuatro rectángulos de aproximación y

considerando que los puntos muestra son (i) los puntos finales derechos y (ii) los

puntos medios. En cada caso, trace la curva y los rectángulos.

(c) Mejore sus estimaciones del inciso (b) utilizando ocho rectángulos.

6. (1 al 6 de 2, p. 267)

En los ejercicios del (1) al (6), encontrar la suma. Usar una herramienta informática

para verificar el resultado.

(1) 6

13 2

ii

(2)

8

54

kk k

(3)

4

20

1

1k k (4)

7

4

2

j j

(5) 4

1k

c

(6) 4 2 3

11 1

iy i

71

7. (7, 9, 10 y 12 de 2, p. 267)

(7) 1 1 1 1

5(1) 5(2) 5(3) 5(11)

(9)

1 2 67 5 7 5 7 5

6 6 6

(10)

2 2 21 2 4

1 1 14 4 4

(12)

2 22 2 2 2

1 1 1 1n

n n n n

8. (17, 19, 20 y 22 de 2, p. 267)

En los ejercicios, utilizar las propiedades de la notación sigma y el teorema 4.2 para

calcular la suma. Utilizar la función de suma de una herramienta informática para

verificar el resultado.

(17)

24

1

4i

i

(19)

202

1

( 1)i

i

(20) 10

2

1

1i

i

(22) 10

2

1

1i

i i

9. (23 y 24 de 2, p. 267)

(23) 20

2

1

3i

i

(24) 15

3

1

2i

i i

10. (37, 39 y 40 de 2, p. 268)

(37)

22

4

181( )

4

n ns n

n

(39)

2

118( )

2

n ns n

n

(40)

2

11( )

2

n ns n

n

72

11. (41 al 44 de 2, p. 268)

En los ejercicios del 41 al 44, utilizar las sumas superiores e inferiores para aproximar

el área de la región empleando el número dado de subintervalos (de igual ancho).

12. (45 y 47 de 2, p. 268)

En los ejercicios 45 y 47 utilizar las fórmulas de suma con notación sigma para

reescribir la expresión sin la notación sigma. Emplear el resultado para determinar la

suma correspondiente a n=10, 100, 1000 y 10000.

(45) 21

2 1n

i

i

n

(47)

31

6 1n

k

k k

n

13. (49, 50, 51 y 53 de 2, p. 268)

En los ejercicios 49, 50, 51 y 53, encontrar una fórmula para la suma de los n

términos. Emplear la fórmula para determinar el límite cuando n .

(49) 21

24lim

n

in

i

n (50)

1

2 2lim

n

in

i

n n

(51) 2

31

1lim 1

n

ini

n

73

(53) 1

2lim 1

n

in

i

n n

14. (85 de 2, p. 269)

Razonamiento gráfico. Considerar la región delimitada por la gráfica de 8

( )1

xf x

x

, x=0, x=4 y y=0 como se muestra en la figura.

(a) Redibujar la figura y trazar y sombrear los

rectángulos que representan a la suma inferior

cuando n=4. Encontrar esa suma inferior.

(b) Redibujar la figura y trazar y sombrear los

rectángulos que representan la suma superior

cuando n=4. Determinar esa suma superior.

(c) Redibujar la figura y trazar y sombrear los

rectángulos cuyas alturas se determinan mediante los valores funcionales en el

punto medio de cada subintervalo cuando n=4. Determinar esta suma utilizando

la regla del punto medio.

(d) Verificar las siguientes fórmulas al aproximar el área de la región utilizando n

intervalos de igual ancho.

Suma inferior: 1

4 4( ) 1

n

is n f i

n n

Suma superior: 1

4 4S( )

n

in f i

n n

Regla del punto medio: 1

1 4 4M( )

2

n

in f i

n n

(e) Utilizar una herramienta de graficación y las fórmulas del apartado (d) para

completar la tabla:

74

(f) Explicar or qué s(n) aumenta y S(n) disminuye para valores recientes de n, como

se muestra en la tabla en el apartado (e).

PROBLEMAS EXTRAMATEMÁTICOS

Densidad de una varilla

15. (63 de 1, pg.410)

Se da la densidad lineal de una varilla de longitud de 4 m mediante ( ) 9 2x x

medida en kg/m, donde x se mide en metros desde un extremo de la varilla. Calcular

la masa total de la varilla.

Caudal de un líquido

16. (64 de 1, pg.410)

Del fondo de un tanque de almacenamiento fluye agua con una rapidez de

( ) 200 4V t t litros por minuto, donde 0 ≤ t ≤ 50. Encuentre la cantidad de agua que

fluye del tanque durante los primeros 10 minutos.

Trabajo de un resorte

17. (9 de 1, pg.459)

Para estirar un resorte desde su longitud natural de 30 cm hasta una longitud de 42

cm, se necesitan 2 J de trabajo. Dada la información, resolver:

(a) Calcular el trabajo necesario para estirar el resorte desde 35 hasta 42 cm.

(b) ¿Qué distancia más allá de su longitud natural, el resorte mantendrá una fuerza de

30 N?

75

Trabajo de un gas

18. (29 de 1, pg.460)

Cuando el gas se expande en un embolo cilíndrico de radio r, la presión en cualquier

momento dado es una función del volumen P = P(V). La fuerza que ejerce el gas sobre

el embolo es el producto de la presión por el área: 2F r P .

(a) Formular el modelo matemático que represente el trabajo que realiza el gas cuando

el volumen se expande desde un volumen V1 al volumen V2.

(b) Un ingeniero mecánico modela el comportamiento de la presión y determina un

crecimiento linear de la presión (Pa) respecto al volumen (m3) mediante el modelo:

( ) 0.1 1.9P V V . Calcular el trabajo realizado por el gas de un émbolo de 10 cm de

radio que se expande longitudinalmente en 50 cm.

Trabajo Mecánico

19. (18 de 1, pg.459)

Un cubo que pesa 4 Kg y una soga de peso insignificante se usan para extraer agua de

un pozo de 80 m de profundidad. El cubo se llena con 40 Kg de agua y se jala hacia

arriba con una rapidez de 2 m/s, pero se sale por un agujero que tiene el cubo, con una

rapidez de 0.2 Kg/s. Calcular el trabajo hecho al jalar el cubo hasta la boca del pozo.

20. (29 de 1, pg.467)

Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paraboloide de revolución, como se ve

en la figura:

76

(a) Si su altura es de 4 pies y el radio en la parte superior es de 4 pies, encuentre el

trabajo necesario para bombear el agua fuera del tanque.

(b) Después que se han realizado 4000 lb-pie de trabajo, ¿cuál es la profundidad del

agua restante en el tanque?

Principio de Arquímedes

21. (11 de 2, pg.518)

El principio de Arquímedes establece que la fuerza de flotación (empuje) de un objeto

parcial o totalmente sumergido en un líquido es igual al peso del líquido que desaloja

el objeto. Por lo tanto, en el caso de un objeto de densidad ρ0 que flota parcialmente

sumergido en un líquido de densidad ρL la fuerza de flotación es: 0

( )Lh

F g A y dy

,

donde g es la aceleración debido a la gravedad y A(y) es el área de la sección trasversal

del objeto. El peso del objeto está dado por 0 ( )L h

hW g A y dy

.

(a) Formular matemáticamente el modelo que representa el porcentaje del objeto por

arriba de la superficie del líquido.

(b) La densidad del hielo es 917 Kg/m3 y la densidad del agua del mar es 1030 Kg/m3.

¿Qué porcentaje del volumen de un iceberg sobresale el agua?

77

(c) Una esfera de 0.4 m de radio y peso insignificante flota en un enorme lago de agua

dulce. Calcular el trabajo que se requiere para sumergir del todo la esfera, sabiendo

que la densidad del agua es de 1000 Kg/m3.

22. (16 de 1, pg.566)

Una prensa está inclinada 30° desde la vertical y tiene la forma de un trapecio

isósceles de 100 m de ancho en la parte superior y 50 m de ancho en el fondo y con

una altura inclinada de 70 m. Encontrar la fuerza hidrostática sobre la prensa cuando

está llena de agua.

Campo Eléctrico

23. (42 de 1, pg.492)

Una varilla cargada de longitud L produce un campo eléctrico en un punto P (a, b)

dado por:

2 2 3/2

0

( )4 ( )

L a

a

bE P dx

x b

, donde λ es la densidad de carga por unidad

de longitud de la varilla y ϵ0 es la permeatividad del espacio libre. Determinar una

expresión para campo eléctrico E(P).

Cálculo de Áreas

24. (1-2, 17-18 de 2, pg.454)

Calcular el área debajo de las regiones sombreadas.

(a) (b)

78

(c) (d)

Cálculo de Volúmenes

25. (1-6 de 2, pg.465)

Formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región

alrededor del eje indicado.

(a) (b)

(c) (d)

79

Diseño de construcción

26. (97 de 2, pg.457)

Las secciones de concreto (hormigón) para un nuevo edificio tienen las dimensiones

(m) y la forma mostrada en la figura:

(a) calcular el área de la cara adosada en el sistema de coordenadas rectangulares

(b) calcular el volumen de concreto en una de las secciones multiplicando el área

obtenida en el apartado (a) por 2 m.

(c) 1 m3 de concreto pesa 5000 Kg. Encontrar el peso de la sección.

Longitud de Arco

27. (5 de 2, pg.481)

Un cable eléctrico cuelga entre dos torres que están a 200 m de distancia, como se

muestra en la figura. El cable toma la forma de una catenaria cuya ecuación es:

/150 /150150cosh 75150

x xxy e e

Encontrar la longitud de arco del cable entre las dos torres.

80

Área de un techo

28. (32 de 2, pg.486)

Un granero tiene 100 m de largo y 40 m de ancho. Una sección transversal del tejado

es una catenaria invertida. Encontrar el área del techo del granero.

Diseño de una bombilla

29. (65 de 2, pg.488)

Una bombilla ornamental se diseña al girar la gráfica de 1/2 3/21

3y x x , donde 0 ≤

x ≤ 1/3, alrededor del eje X, donde las coordenadas X, Y están medidas en m.

Calcular el área superficial de la bombilla y usar el resultado para aproximar la

cantidad de vidrio necesaria para hacer la bombilla. (Suponer que el vidrio tiene un

espesor aproximado de 0.015 m).

Puente suspendido

30. (69 de 2, pg.488)

Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una parábola con la ecuación

2y kx . Sea ‘h’ la medida para representar la altura del cable de su punto más bajo

a su punto más alto y sea ‘2w’ la anchura total del puente.

(a) Formular el modelo matemático para calcular la longitud del cable.

81

(b) El cable en suspensión está hecho de acero estructural cuyo costo es de $3.66 el

Kg y la densidad lineal del acero es de 7.8 Kg/m. Hacer un presupuesto para costear

la construcción de un puente que conecta una distancia de 100 m y cuya altura

máxima es proyectada para 35 m.

Centro de Masa

31. (9.4 de 3, pg.461)

Un ingeniero civil tiene el modelo matemático de una columna, sobre la cual debe

determinar la ubicación de un punto de estabilidad sobre la cual se sustentará un peso.

Localizar el centro de masa de la barra recta si su masa por unidad de longitud está

dada por 2 2

0(1 / )m x L .

32. (9.30 de 3, pg.467)

Una placa de acero tiene un espesor de 0.3 m y una densidad de 7850 Kg/m3. Esta

placa será usada como suporte de estabilidad de carga. Determinar la ubicación del

mejor punto de estabilidad para el suporte de la carga.

83

ANEXO II

Herramienta de análisis

Ficha de análisis de datos

Concepto: Resultado de la coordinación de los registros de representación semiótica.

Registro: Sistema semiótico en el cual se representa un objeto matemático.

Representación: conjunto icónico que se coloca en lugar de un objeto matemático.

Objeto representante: Cadena simbólica que representa al objeto matemático.

Objeto representado: Objeto matemático que emerge de un componente de la práctica.

Funcionalidad: función que desempeña el objeto matemático en el contexto.

Conversiones: Cambio de registro de representación semiótica.

Tratamientos: Cambios de una representación en un mismo registro semiótico.

CONCEPTO REGISTRO REPRESENTACIÓN OBJETO

REPRESENTANTE

OBJETO

REPRESENTADO FUNCIONALIDAD CONVERSIONES TRATAMIENTOS

84

ANEXO III


REPRESENTANTE

OBJETO


Función Algebraico-

geométrico 3

1 1R O y 2

1 1R O 1 : ( ) 2ln( )O f x x x función Relacionar

magnitudes

3 2

1 1 1 1R O R O

Automático con

GeoGebra

Área

aproximada geométrico 2

2 2R O

2O : Área

aproximada de 1S

por cubrimiento 4R

Área de 4R

resultantes de las

sumas sup. De

Riemann

Aproximar, por

exceso, al área de

1S por cubrimiento

4R

3 2

2 2 2 2R O R O

automático con

GeoGebra

Área

aproximada Numérico 4

1 2R O

2O : Área

aproximada de 1S

por cubrimiento 4R

Suma de los

valores numéricos

de las áreas de los

4R por sumas sup.

Aproximar

numéricamente

por exceso, las

áreas de 4R al

Varios, hechos

manualmente

Ficha de análisis de los registros de representación semiótica, que emergen de la resolución del ejercicio 5 de la práctica.

85

De Riemann área de 1S

Área

aproximada simbólico

5

1 2( )R O

2O : Área

aproximada de 1S

por cubrimiento 4R

Suma expandida

como expresión

simbólica de las

áreas de los 4R

Aproximar, por

exceso, al área de

1S

4 5

1 2 1 2R O R O

Área

aproximada

Algebraico-

gráfico 3 2

1 3 1 3R O y R O 3O

Área aproximada

de la región S1 por

cubrimiento con

4R resultantes de

la regla de los

puntos medios

Aproximar al área

de S1 por el área

de una cobertura

4R resultantes de

la regla de los

puntos medios

3 2

1 3 1 3R O R O

Automático con

GeoGebra.

Área

aproximada Numérico

4

1 3( )R O 3O

Área aproximada


cubrimiento con

4R resultantes de

la regla de los

puntos medios

Aproximar al área

de S1por

cubrimiento de

4R resultantes de

la regla de los

puntos medios

2 4

1 3 1 3R O R O

Cálculo del valor

numérico del área

de los 4R de la

cubrimiento

86

puntos medios

Área

aproximada Simbólico

5

1 3( )R O 3O

Área aproximada


cubrimiento con

4R resultantes de

la regla de los

puntos medios

Aproximar,

mediante suma

expandida, al área

de S1 por el área

del cubrimiento

4R resultante de

la regla de los

puntos medios

4 5

1 3 1 3( ) ( )R O R O

Área


5

2 3( )R O 3O

Área aproximada


cubrimiento con

4R resultantes de

la regla de los

puntos medios

Aproximar,

mediante suma

con notación

sigma, al área de

S1 por el área de

la cubrimiento de

4R resultantes de

la regla de los

5 5

1 3 2 3( ) ( )R O R O

87

puntos medios

Área

aproximada

Algebraico y

gráfico 3 2

1 4 1 4( ) yR O R O 4O

objeto área

aproximada a la

de la región 1S ,

por cubrimiento

con 8R resultantes

de las sumas

inferiores de

Riemann

Aproximar al área

de 1S por el área

de 8R resultantes

de las sumas

superiores de

Riemann

3 2

1 4 1 4( )R O R O

Automática con

GeoGebra

Área


4

1 4( )R O 4O

Área aproximada

al área de 1S por

cubrimiento con

8R resultantes de

las sumas

superiores de

Riemann

Aproximar al área

de 1S , por exceso,

con el área de

C8R resultantes

de las sumas

superiores de

Riemann

2 4

1 4 1 4( ) ( )R O R O

Cálculo numérico

de la suma de las

áreas de los

rectángulos de la

cubrimiento por

exceso de 1S

88

Área


5

1 4( )R O 4O

Área aproximada,

por suma

expandida, de la

región S1 por

cubrimiento con

8R resultantes de

las sumas

superiores de

Riemann

Aproximar el

área, por exceso,

de la cubrimiento

de 8R al área de

1S

4 5

1 4 1 4( ) ( )R O R O

Área


5

2 4( )R O 4O

Área aproximada,

suma con

notación sigma, a

la región S1 por

cubrimiento con

8R resultantes de

las sumas

superiores de

Riemann

Aproximar, por

exceso, el área de

los 8R de la

cubrimiento

resultante de las

sumas superiores

de Riemann, al

área de 1S

Obtención de la

suma con notación

sigma, de la suma

expandida, por

cálculo simbólico

5 5

1 4 2 4( ) ( )R O R O

89

Área

aproximada

Algebraico y

gráfico

3 2

1 5 1 5( ) y ( )R O R O 5O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

8R resultantes de

la regla de los

puntos medios

Aproximar al área

de 1S con el área

de C8R

resultantes de la

regla de los

puntos medios

3 2

1 5 1 5( ) ( )R O R O Automáticos con

GeoGebra

Área


4

1 5( )R O 5O

Área aproximada,

obtenida con

cálculo numérico,

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con 8

rectángulos

resultantes de la

regla de los

puntos medios

Aproximar

numéricamente al

área de 1S por el

área de 8R

resultantes de la

regla de los

puntos medios

2 4

1 5 1 5( ) ( )R O R O

Cálculo numérico

de la suma de las

áreas de los

rectángulos de la

cubrimiento

obtenida por la

regla de los puntos

medios

90

Área


5

1 5( )R O 5O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

8R resultantes de

la regla de los

puntos medios,

calculada

simbólicamente

como suma

expandida

Aproximar, por

suma expandida,

el área de C8R

obtenidos por la

regla de los

puntos medios al

área de la región

S1

4 5

1 5 1 5( ) ( )R O R O

Cálculo simbólico

de la suma de las

áreas de los 8R

obtenidos con la

regla de los puntos

medios, como

suma expandida

Área


5

2 5( )R O 5O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

8R, resultantes de

la regla de los

puntos medios,

calculada

Aproximar, por

suma con

notación sigma, el

área de C8R

obtenidos por la

regla de los

puntos medios, al

área de la región

Obtención de la

suma con notación

sigma, de la suma

expandida, por

cálculo simbólico

5 5

1 5 2 5( ) ( )R O R O

91

simbólicamente

como suma con

notación sigma

S1

Área

aproximada

Algebraico-

gráfico

3 2

1 6 1 6( ) y ( )R O R O 6O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

4R resultantes de

las sumas

inferiores de

Riemann

Aproximar al área

de 1S con el área

de 4R resultantes

de las sumas

inferiores de

Riemann

3 2

1 6 1 6( ) ( )R O R O

Área


4

1 6( )R O 6O

Área aproximada,

obtenida con

cálculo numérico,

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

4R resultantes de

las sumas

Aproximar

numéricamente al

área de 1S por el

área de C4R

resultantes de la

regla de las sumas

inferiores de

Riemann

2 4

1 6 1 6( ) ( )R O R O

Cálculo numérico

de la suma de las

áreas de los 4R del

cubrimiento

obtenida por las

sumas inferiores

de Riemann

92

inferiores de

Riemann

Área


5

1 6( )R O 6O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

4R resultantes de

las sumas

inferiores de

Riemann,

calculada

simbólicamente

como suma

expandida

Aproximar, por

suma expandida,

el área de C4R

obtenidos por las

sumas inferiores

de Riemann, al

área de la región

S1

4 5

1 6 1 6( ) ( )R O R O

Cálculo simbólico

de la suma de las

áreas de los 4R

obtenidos de las

sumas inferiores

de Riemann, como

suma expandida

Área


5

2 6( )R O 6O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

Aproximar, por

suma con

notación sigma, el

área de C4R

Obtención de la

suma con notación

sigma, de la suma

expandida, por

5 5

1 6 2 6( ) ( )R O R O

93

4R resultantes de

las sumas

inferiores de

Riemann,

calculada

simbólicamente

como suma con

notación sigma

obtenidos por las

sumas inferiores

de Riemann, al

área de la región

S1

cálculo simbólico

Área

aproximada

Algebraico-

gráfico

3 2

1 7 1 7( ) ( )R O y R O 7O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

8R resultantes de

las sumas

inferiores de

Riemann

Aproximar al área

de 1S con el área

de C8R

resultantes de las

sumas inferiores

de Riemann

3 2

1 7 1 7( ) ( )R O R O

Área


4

1 7( )R O 7O

Área aproximada,

obtenida con

cálculo numérico,

Aproximar

numéricamente al

área de 1S por el

2 4

1 7 1 7( ) ( )R O R O

Cálculo numérico

de la suma de las

áreas de los 8R de

94

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

8R resultantes de

las sumas

inferiores de

Riemann

área de C8R

resultantes de las

sumas inferiores

de Riemann

la cubrimiento

obtenida por las

sumas inferiores

de Riemann

Área


5

1 7( )R O 7O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

8R resultantes de

las sumas

inferiores de

Riemann,

calculada

simbólicamente

como suma

expandida

Aproximar, por

suma expandida,

el área de C8R

obtenidos por las

sumas inferiores

de Riemann, al

área de la región

S1

4 5

1 7 1 7( ) ( )R O R O

Cálculo simbólico

de la suma de las

áreas de los 8R

obtenidos de las

sumas inferiores

de Riemann, como

suma expandida

95

Área


5

2 7( )R O 7O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

8R resultantes de

las inferiores de

Riemann,

calculada

simbólicamente

como suma con

notación sigma

Aproximar, por

suma con

notación sigma, el

área de C8R

obtenidos por las

sumas inferiores

de Riemann, al

área de la región

S1

Área

aproximada Simbólico 5

1 8R O 8O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

nR, resultantes de

las sumas

inferiores de

Riemann y

Aproximar, por

suma expandida,

el área de CnR

obtenidos por las

sumas inferiores

de Riemann, al

área de la región

S1

96

calculada

simbólicamente

como suma

expandida

Área

aproximada Simbólico 5

2 8R O 8O

Área aproximada

al área de la

región 1S , por

cubrimiento con

nR, resultantes de

las sumas

inferiores de

Riemann y

calculada

simbólicamente

como suma con

notación sigma

Aproximar, por

suma con

notación sigma, el

área de CnR

obtenidos por las

sumas inferiores

de Riemann, al

área de la región

S1

5 5

1 8 2 8R O R O

Área exacta Simbólico 5

2 9R O 9O

Área exacta de 1S

representada

como el límite de

Calcular el área

exacta de 1S como

límite de una

5 5

2 8 2 9R O R O

97

una suma infinita suma infinita

Área exacta Simbólico 5

3 9R O 9O

Área exacta de 1S

representada

como la integral

definida de f sobre

[1, 5]

Calcular el área

exacta de 1S como

la integral de f

sobre [1, 5]

5 5

2 9 3 9R O R O

Área exacta Algebraico 3

1 9R O 9O

Área exacta de 1S

representada

como la integral

definida de f sobre

[1, 5]

Calcular el área

exacta de 1S como

la integral de f

sobre [1, 5]

Integración por

partes y aplicación

del segundo

teorema

fundamental del

cálculo

98

ANEXO IV


REPRESENTANTE

OBJETO


Trabajo

exacto Simbólico 2

1 10R O 10O

Cantidad exacta

de energía W

necesaria para que

la fuerza variable

F vacíe el agua

contenida en el

recipiente

parabólico de 4

pies de

profundidad y 4

pies de radio de la

boca.

Calcular el trabajo

mecánico W,

exacto, necesario

para vaciar toda el

agua contenida en

el recipiente

parabólico de 4 pies

de profundidad y 4

pies de radio de la

boca.

Análisis de los registros de representación semiótica movilizados para facilitar la solución de la situación problemática 20, sobre

trabajo mecánico utilizado para vaciar agua de un recipiente parabólico.

99

Simbólico 5

1 11R O 11O

i-ésima cantidad

exacta de energía

necesaria para que

la i-ésima fuerza

constante logre

elevar la i-ésima

rebanada de agua,

desde la

profundidad en

que se encuentra,

hasta el nivel de

la boca del

recipiente en

forma de

paraboloide.

Calcular el i-ésimo

trabajo exacto,

realizado por la i-

ésima fuerza, para

desplazar, la iésima

masa de agua

contenida en la i-

esima rebanada de

la cubrimiento del

volumen total,

desde la

profundidad donde

se ubica hasta el

nivel de la boca del

recipiente en forma

de paraboloide.

Cálculo simbólico

de la: i-ésima

cantidad exacta de

energía necesaria

para que la i-esima

fuerza desplace la

i-ésima masa de

agua contenida en

la i-ésima

rebanada de la

cubrimiento del

volumen total,

desde la

profundidad en

que encuentra

hasta en nivel de

la boca del

recipiente en

forma de

paraboloide.

100

Trabajo

aproximado Simbólico 5

1 12R O 12O

Trabajo

aproximado a W,

Resultante de la

suma extensiva de

todos los n

trabajos 1

n

i iw

que realizan las n

fuerzas 1

n

i iF

para

desplazar las n

masas de agua,

1

n

i im

,

contenidas en las

n rebanadas de la

cubrimiento del

recipiente en

Calcular el Trabajo

aproximado a W,

Resultante de la

suma extensiva de

todos los n trabajos

1

n

i iw

que realizan las n

fuerzas 1

n

i iF

para

desplazar las n

masas de agua,

1

n

i im

,

contenidas en las n

rebanadas de la

cubrimiento del

recipiente en forma

Suma simbólica

extensiva de los n

trabajos, 1

n

i iw

,

realizados por las

n fuerzas, 1

n

i iF

,

para desplazar las

n masas de agua,

1

n

i im

,

contenidas en las n

rebanadas de la

cubrimiento del

recipiente en

forma de

paraboloide.

101

forma de

paraboloide.

de paraboloide.

Trabajo

aproximado Simbólico 5

2 12R O 12O

Trabajo

aproximado a W,

Resultante de la

suma con

notación sigma,

de todos los n

trabajos 1

n

i iw

que realizan las n

fuerzas 1

n

i iF

para

desplazar las n

masas de agua,

1

n

i im

,

contenidas en las

n rebanadas de la

cubrimiento del

Calcular el trabajo

aproximado a W,

Resultante de la

suma con notación

sigma, de todos los

n trabajos 1

n

i iw

que realizan las n

fuerzas 1

n

i iF

para

desplazar las n

masas de agua,

1

n

i im

,

contenidas en las n

rebanadas de la

cubrimiento del

recipiente en forma

Suma simbólica

con notación

sigma, de los n

trabajos, 1

n

i iw

,

realizados por las

n fuerzas, 1

n

i iF

,

para desplazar las

n masas de agua,

1

n

i im

,

contenidas en las n

rebanadas de la

cubrimiento del

recipiente en

forma de

paraboloide.

102

recipiente en

forma de

paraboloide.

de paraboloide.

Trabajo

exacto Simbólico 5

2 10R O 10O

Cantidad exacta

de energía W

necesaria para que

la fuerza variable

F vacíe el agua

contenida en el

recipiente

parabólico de 4

pies de

profundidad y 4

pies de radio de la

boca, obtenida por

suma con

notación sigma.

Calcular el límite

( )n de la

suma, con notación

sigma, de los n

trabajos 1

n

i iw

que realizan las n

fuerzas 1

n

i iF

para

desplazar las n

masas de agua,

1

n

i im

,

contenidas en las n

rebanadas de la

cubrimiento del

recipiente en forma

de paraboloide.

Límite ( )n de

la suma, con

notación sigma, de

los n trabajos

1

n

i iw

que

realizan las n

fuerzas 1

n

i iF

para

desplazar las n

masas de agua,

1

n

i im

,

contenidas en las n

rebanadas de la

cubrimiento del

recipiente en

forma de

103

paraboloide.

Trabajo

exacto Simbólico 5

3 10R O 10O

Cantidad exacta

de energía W

necesaria para que

la fuerza variable

F vacíe el agua

contenida en el

recipiente

parabólico de 4

pies de

profundidad y 4

pies de radio de la

boca,

representada por

notación con

integral definida.

Calculo de la

cantidad exacta de

energía W

necesaria para que

la fuerza variable F

vacíe el agua

contenida en el

recipiente

parabólico de 4 pies

de profundidad y 4

pies de radio de la

boca, representada

por notación con

integral definida.

Integral definida

de la fuerza

variable F(x) en

[0, 4]

104

ANEXO V

Tabla de derivadas e integrales

TABLA DE DERIVADAS TABLA DE INTEGRALES

Potencias

1. )( Rnuy n '' 1 uuny n )1(

1'

1

nkn

udxuu

nn

Exponenciales

2. uey '' uey u kedxue uu '

3. uay '' uLaay u kaL

adxua

uu '

Logarítmicas

4. uLy u

uy

'' kuLdx

u

u ||

'

5. uy alg eu

uy alg

'' Recuerda que:

a

bb

c

ca

lg

lglg

Trigonométricas

6. useny 'cos' uuy kusendxuu 'cos

7. uy cos '' uuseny kudxuusen cos'

8. utgy 'sec' 2 uuy kutgdxuu 'sec2

9. usenarcy 21

''

u

uy

kusenarc

u

dxu

21

'

10. uarcy cos 21

''

u

uy

kuarc

u

dxu

cos

1

'

2

105

11. utgarcy 21

''

u

uy

kutgarc

u

dxu

21

'

Operaciones más usuales en derivadas e integrales

12. uky '' uky dxvdxudxvu )(

13. vuy ''' vuy Integración por partes:

duvvudvu 14. vuy ''' vuvuy

15.

v

uy

2

'''

v

vuuvy

Regla de la cadena: Si y(x)=y[u(v(x))]

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy

16. vuy ''' 1 vuLuuuvy vv

Derivada de la función inversa:

Si y = f(x) ; x = g(y) g ’=1/f ’

Observaciones:

a) Las letras u y v representan funciones de x: u = u(x); v = v(x); k R ; L: logaritmo neperiano

b) Cuando u(x) = x u’(x) = 1, obtenemos las derivadas e integrales simples

TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES versión B

Fuente: https://matemairena.files.wordpress.com/2011/05/tabla-de-derivadas-e-integrales-

versic3b3n-b2.doc

ANEXO VI

Applets:

Applet 1: https://www.geogebra.org/m/fryenrad

Applet 2: https://www.geogebra.org/m/gv3qwrva

https://matemairena.files.wordpress.com/2011/05/tabla-de-derivadas-e-integrales-versic3b3n-b2.doc

https://matemairena.files.wordpress.com/2011/05/tabla-de-derivadas-e-integrales-versic3b3n-b2.doc

https://www.geogebra.org/m/fryenrad

https://www.geogebra.org/m/gv3qwrva

Registros de representación semiótica para el aprendizaje ...

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