Registro El astico de Im agenes M edicas Multimodales Basado … · 2019-09-30 · Diagonal Sur...

ARTICULO DE INVESTIGACION

Vol. 34, No. 1, Abril 2013, pp. 7-21

Registro Elastico de Imagenes Medicas MultimodalesBasado en Medidas de Variabilidad Local

I. ReducindoE.R. Arce-Santana

D.U. Campos-DelgadoF. Vigueras-Gomez

Universidad Autonoma de

San Luis Potosı, Facultad de

Ciencias

Diagonal Sur S/N, Zona

Universitaria, C.P. 78290,

San Luis Potosı, S.L.P.,

Mexico

RESUMEN

En este artıculo se propone un enfoque no parametrico para el

registro elastico de imagenes medicas multimodales, cuya idea

principal radica en el uso de medidas de variabilidad local, basadas

en la entropıa, la varianza o una combinacion de ambas. La

metodologıa empleada consiste en encontrar el campo vectorial de

los desplazamientos entre los pixeles de las imagenes candidata y

patron empleando una tecnica compuesta por tres pasos: primero,

se obtiene una aproximacion del campo vectorial por medio

de un registro parametrico entre ambas imagenes; segundo, se

mapean las imagenes registradas parametricamente a un espacio

de intensidades donde pueden ser comparadas; tercero, se obtiene

el flujo optico entre las imagenes en el espacio al que fueron

mapeadas. El algoritmo propuesto se evaluo usando un conjunto

de imagenes de resonancia magnetica y tomografıa computarizada

adquiridas desde diferentes vistas, las cuales fueron deformadas

sinteticamente. Los resultados obtenidos en la estimacion del

campo de desplazamientos con las cuatro medidas de variabilidad

local propuestas muestran un error medio menor que 1.4 mm, y

en el caso de la entropıa menor a 1 mm. Ademas, se demuestra

la convergencia del algoritmo con ayuda de la entropıa conjunta.

Ası, la metodologıa descrita representa una nueva alternativa para

el registro elastico multimodal de imagenes medicas.

Palabras clave: imagenes multimodales, imagenologıa, flujo

optico, optimizacion, registro elastico.

8 Revista Mexicana de Ingenierıa Biomedica · volumen 34 · numero 1 · Abril, 2013

Correspondencia:Isnardo Reducindo

UASLP Diagonal Sur S/N,Zona Universitaria, C.P. 78290,San Luis Potosı, S.L.P., Mexico

Tel. +52 (444) 826-2316, ext.2907

Correo electronico:

[email protected]

Fecha de recepcion:5 de Noviembre de 2012

Fecha de aceptacion:25 de Febrero de 2013

ABSTRACT

In this work, we present a novel approach for multimodal elastic

registration of medical images, where the key idea is to use local

variability measures based on entropy, variance or a combination

of these metrics. The proposed methodology relies on finding

the displacements vector field between pixels of a source image

and a target one, using the following three steps: first, an initial

approximation of the vector field is achieved by using a parametric

registration based on particle filtering between the images to align;

second, the images previously registered are mapped to a common

space where their intensities can be compared; and third, we

obtain the optical flow between the images in this new space. To

evaluate the proposed algorithm, a set of computed tomography

and magnetic resonance images obtained in different views, were

modified with synthetic deformation fields. The results obtained

with the four proposed local variability measures show an average

error of less than 1.4 mm, and in the case of the entropy less than

1 mm. In addition, the convergence of the algorithm is highlighted

by the joint entropy. Therefore, the described methodology

could be considered as a new alternative for multimodal elastic

registration of medical images.

Keywords: elastic registration, medical imaging, multimodal

images, optical flow, optimization.

INTRODUCCION

El registro de imagenes se ha convertido enuna tarea muy importante en el area deprocesamiento digital de imagenes medicas,ya que puede ser empleado en varios procesoscomo: caracterizacion de los cambios anatomicosdel corazon en un ciclo cardıaco o la atrofiagradual del cerebro en el envejecimiento;comparacion o modelado de estructurasanatomicas (morfometrıa); segmentacion deestructuras o tejidos por medio de atlasesmedicos; correccion de los artefactos causadospor el movimiento en imagenes fetales; deteccionde las discrepancias entre imagenes de un mismopaciente que fueron adquiridas durante distintasetapas de algun tratamiento; entre muchasotras [1, 2, 3, 4]. De acuerdo a los tipos dedeformaciones que se deseen aproximar conel registro, este puede dividirse en dos: enel registro parametrico y en el elastico o no

parametrico [5]. En la literatura, las tecnicasbasadas en el descenso (o ascenso) de gradiente[6], [7] son las mas comunmente utilizadaspara optimizar una medida de similitud (ej.Informacion Mutua [8, 9, 10]) y obtener latransformacion espacial (ej. afın o perspectiva[11]) que alinee las imagenes candidata ypatron [5]. Otras opciones basadas en metodosde optimizacion global como los algoritmosgeneticos [12] y filtrado de partıculas [13],han comenzado a ganar terreno dentro de estecampo [14, 15, 16]. Por otro lado, el registroelastico es un problema mas complejo que elregistro parametrico [3], especialmente cuandose intentan registrar imagenes provenientes dedistintas fuentes (registro multimodal). Elregistro elastico es un area de investigacionrelativamente reciente donde la mayorıa delos algoritmos desarrollados se encuentran ensus primeras etapas de evaluacion y validacion[17], y pocas veces buscan resolver el problema

Reducindo y cols. Registro Elastico de Imagenes Medicas Multimodales basado en Medidas de Variabilidad Local 9

para imagenes multimodales, y de hacerlo,generalmente se centran en parametrizar elespacio de deformaciones para optimizar unamedida de similitud obligando en ocasionesal usuario a ubicar puntos de interes en lasimagenes, lo que resulta en procesos con muyalto costo computacional y/o semi-autonomos[18, 19, 20, 21, 22, 23]; razones por las que seha dificultado su uso en tareas de imagenologıamedica.

Una propuesta reciente para resolver elregistro elastico se enfoca en el uso delflujo optico (FO) [24] para encontrar losdesplazamientos faltantes, despues de haberrealizado una aproximacion inicial del campode deformacion por medio de un registroparametrico basado en el uso del filtro departıculas (FP), donde se estiman los parametrosde una matriz de transformacion [25]; estemetodo muestra resultados prometedores en [26]y [27]. Por otro lado, una limitante de dichoalgoritmo es la restriccion para uso solo enimagenes unimodales o la necesidad de contarcon una funcion de transferencia inyectiva deintensidades entre las imagenes a registrar, loque no se tiene en los casos medicos de registromultimodal.

Dentro del contexto descrito en los parrafosanteriores, en este artıculo se propone unametodologıa para resolver dos problemasimportantes en la imagenologıa medica,pero poco abordados simultaneamente en laliteratura: el registro elastico de imagenes ya la vez multimodal. En este estudio lo que sepropone es mapear las imagenes a un espaciodonde sus intensidades puedan ser comparadas,y entonces sea posible abordar el problema sinparametrizar el espacio de deformaciones alaplicar iterativamente una tecnica de FO comoen [25], bajo un esquema de espacio de escalas[28].

El artıculo esta organizado de la siguientemanera: en la seccion 2 se describe lateorıa necesaria para la comprension de la

metodologıa propuesta; en las subsecciones 2.1y 2.2 se revisa el registro parametrico basadoen el FP y el registro elastico basado enFP mas FO, respectivamente, y los detallesdel algoritmo propuesto se describen en lasubseccion 2.3. Despues, en la seccion 3 seexplican los experimentos realizados para llevara cabo la evaluacion del algoritmo de registroelastico multimodal propuesto, empleando datosgenerados sinteticamente. A continuacion, en laseccion 4 se presentan los resultados obtenidosde los experimentos realizados para la evaluacion(cuantitativos y cualitativos), y en la seccion5 se realiza el analisis y discusion de dichosresultados. Finalmente, en la seccion 6 semuestran las conclusiones derivadas de estetrabajo, ası como el posible trabajo a futurosobre la metodologıa presentada.

METODOLOGIA

El registro elastico puede ser visto comoencontrar el campo vectorial de desplazamientosV (r) que alinee la imagen candidata IC(r) conla patron IP (r),

IP (r) = F [IC(r + V (r))] , (1)

donde r = (x, y)> denota una posicion dentrodel dominio rectangular Ω ⊂ R2 de lasimagenes, y F [·] representa una relacion entrelas intensidades de ambas imagenes. De acuerdocon la ecuacion (1), si el registro es unimodal,es decir si F es la identidad, el problemapuede ser visto como obtener el FO entrelas imagenes. Sin embargo, para simplificarla estimacion del FO es mejor restringir labusqueda a desplazamientos pequenos entre lospixeles correspondientes. Por esta razon, antesde calcular el FO, es conveniente acercar lospixeles entre ambas imagenes por medio de unatransformacion inicial usando algun metodo deregistro parametrico, por ejemplo el basado en elFP [25].


Registro parametrico basado en elfiltro de partıculas

La idea principal del registro parametricobasado en el FP consiste en estimar elvector de parametros desconocidos θ deuna transformacion, afın o perspectiva, pormedio de una busqueda estocastica sobreuna superficie de optimizacion (funcion decosto) [29]. Este objetivo se logra usandoun conjunto de N puntos de prueba llamadospartıculas (θ1, . . . ,θN ), y sus pesos asociadosWj , calculados por medio de una funcion deverosimilitud entre las imagenes,

Wj =exp

ση√

2π

− (2−NMI IP (r), IC(T (r|θj)))2

2σ2η

(2)

donde σ2η es la varianza del ruido en la medicion

z, T (r|θ) es una transformacion parametricadependiente del vector θ, y NMI(·, ·) representala informacion mutua normalizada [30] entredos imagenes; esta medida de similitud ofreceel mejor desempeno para este metodo como sereporta en [31].

Los pesos Wj son utilizados para aproximarde forma iterativa la funcion de distribucionde probabilidad a posteriori P (θ|z) de losparametros desconocidos θ con respecto auna medicion z [13, 32]. Esta distribucionse aproxima considerando una ventana dek mediciones (z1, . . . , zk), la cual es usadapara estimar el vector de parametros de la

transformacion θk, tomando por ejemplo el valor

esperado de la distribucion a posteriori:

θk

= E[θ|z1, . . . , zk] ≈N∑j=1

W kj θ

kj . (3)

Para ver mas detalles teoricos y deimplementacion de este algoritmo, el lectorpuede dirigirse a [13, 14, 16, 26, 31].

Registro elastico basado en flujo optico

Una vez logrado el registro parametricoempleando el FP, los desplazamientosexistentes entre los pixeles correspondientesde las imagenes, en teorıa deberıan serpequenos. Ademas, sı las imagenes son

unimodales, entonces es posible encontrar dichosdesplazamientos sin parametrizar el espaciode deformaciones empleando una tecnica deestimacion de FO. Esto se puede lograr bajoun enfoque solamente espacial dado que no secuenta con una secuencia de imagenes varianteen el tiempo como en los problemas de FOtradicionales [24].

Sea w = (u, v, 1)> el vector dedesplazamientos a calcular, donde u y v sonlos desplazamientos en x y en y respectivamente,I(x+ u, y + u, t+ 1) = I(x, y, t), con t = 0 paranuestro problema en particular; la mayorıa delos metodos de FO de la literatura pueden serrepresentados por medio de la siguiente funcionde energıa [33]:

Υ(w) =

∫Ω

ψ1

(w>Jρ (∇I) w

)+ αψ2(w)

dx dy,

(4)

donde ψ1(·) es una funcion que penaliza elerror en el termino de datos, ψ2(·) penalizael termino de regularizacion pesado por unaconstante positiva α, ∇I = (Ix, Iy, It)

> es elgradiente de la imagen donde los subındicesrepresentan las derivadas parciales, y dado unkernel Gaussiano Kρ(r) con desviacion estandarρ; la funcion Jρ(·) esta dada por

Jρ (∇I) = Kρ ∗(∇I∇I>

), (5)

donde ∗ representa el operador convolucion.Las tecnicas de FO pueden clasificarse enmetodos locales que optimizan una expresionlocal de energıa (mas robustos al ruido), y lasestrategias globales que minimizan una funcionglobal de energıa (mas aptos para estimar flujosdensos) [33]. De la ecuacion (4), variando losvalores de ρ, α y las funciones ψ1(·) y ψ2(·),es posible derivar por ejemplo, el metodo localpropuesto en [34] sı ψ1 es la identidad, ρ > 0 yα = 0; o la tecnica tanto global como local en[33] si ρ > 0 y α > 0.

Para este trabajo, nuestro interes es observarel desempeno del algoritmo propuesto en laestimacion del campo denso de desplazamientos,dado que no se esta enfocando a una aplicacionmedica en especıfico, por lo que un metodo globalresulta lo mas viable para probar el desempenode la propuesta. Entonces, tomando ψ1 como la


identidad, ψ2(w) = |∇u|2+|∇v|2, ρ = 0 y α > 0,se obtiene la tecnica global de FO propuestaen [35], y de la cual se basa la mayorıa de laspropuestas globales existentes [24]. La solucional problema de optimizacion en (4) de acuerdo alplanteamiento en [35], se encuentra resolviendoel sistema de ecuaciones en (6) para cada pixel,empleando para ello un metodo iterativo (porejemplo Gauss-Seidel [36]):

un+1 = un − Ix[Ixun + Iyv

n + It]/[α2 + I2

x + I2y ],

vn+1 = vn − Iy[Ixun + Iyvn + It]/[α

2 + I2x + I2

y ],

(6)

donde u y v son el promedio de losdesplazamientos en el vecindario en torno al pixelde interes. Para mas detalles teoricos y deimplementacion del algoritmo de FO empleado,el lector interesado puede consultar [35, 37].

Por otro lado, una evaluacion del metodo deregistro propuesto empleando diversas tecnicasde FO debe ser contemplada en un futuro deacuerdo a la aplicacion medica que se pretendaabordar; ya que dependera del problema eltipo de evaluacion requerida, ası como lascaracterısticas de las imagenes. A diferenciade las tecnicas que parametrizan el espaciode deformaciones, abordar el problema deregistro elastico desde esta perspectiva, conviertea la estimacion del campo vectorial densoen un problema de optimizacion sobre unasuperficie convexa, cuya solucion esta dadapor un sistema lineal de ecuaciones, lo quegarantiza un computo rapido en la estimacionde dicho campo. Ademas, el hecho deno parametrizar el espacio de deformacionesincrementa la gama de deformaciones que puedenser logradas (cumpliendo ciertas restricciones dehomogeneidad), debido a que estas no se venlimitadas por los dominios de parametros.

Ası pues, de acuerdo con [25] es posibleaplicar de forma iterativa un registroparametrico y el FO, y acumular los camposvectoriales obtenidos en cada iteracion hastasatisfacer cierto criterio de paro. Para el casodel registro multimodal, proponen aproximar lafuncion de transferencia de intensidades entrelas imagenes usando el histograma conjunto,pero este enfoque solo es factible si el mapeo

de intensidades F [·] en (1) es inyectivo. Porlo tanto, en este trabajo se propone unaextension de esta metodologıa de registro elasticocon la finalidad de solventar las limitacionesmencionadas anteriormente, para lo cual despuesde un registro parametrico se aplica un mapeode intensidades para las imagenes candidata ypatron usando medidas de variabilidad local,y enseguida se realiza un proceso iterativo pormedio del FO en un espacio de escalas.

Algoritmo propuesto para el registroelastico multimodal

La idea principal del algoritmo propuesto esel mapear las imagenes a registrar, despues dehaber sido alineadas por una transformacionparametrica, a un espacio donde la intensidadde cada pixel en una de las imagenes puedaser comparada con la de su correspondiente enla otra imagen, a pesar de sus caracterısticasmultimodales, es decir, establecer un mapeo Gtal que

G[IP (r)] = G[IC(r + V (r))]. (7)

Para definir dicho mapeo, sugerimos el usode medidas que no dependan del nivel degris del pixel, pero si de la variabilidad delas intensidades en los pixeles vecinos. Dosmedidas que cumplen con lo anterior son laentropıa [38] y la varianza, calculadas sobreuna ventana centrada en el pixel de interes,y a las cuales nosotros llamamos Medidas deVariabilidad Local (MVL). Ası, la metodologıapropuesta para el registro elastico multimodalesta compuesta por los siguientes pasos:

1. Registro parametrico. Encontrar elvector de parametros θ (usando el FP) deuna transformacion de perspectiva T (r|θ)que proporcione la mejor alineacion entrelas dos imagenes, IP e IC ; obtener laimagen registrada IR(r) = IC(T (r|θ)),y el correspondiente campo vectorial dedesplazamientos VR(r) = T (r|θ)− r.

2. Mapeo basado en MVL. Aplicar elmapeo G basado en una MVL (entropıa,varianza o una combinacion de ambas)sobre todos los pixeles en ambas imagenes


(IP e IR). Esto es, obtener IP (r) =G[IP (r)] e IR(r) = G[IR(r)] de acuerdo alas 4 siguientes propuestas:

MVL1[I(r)] =∑s∈Nr

pr(I(s)) log2(I(s)) (8)

MVL2[I(r)] =∑s∈Nr

pr(I(s)) [µr − I(s)]2

(9)

MVL3[I(r)] =

√√√√ i=2∑i=1

(MVLi[I(r)])2 (10)

MVL4[I(r)] = max MVL1[I(r)],

MVL2[I(r)] (11)

donde MVL1 representa la medida devariabilidad local usando la entropıa,MVL2 empleando la varianza, MVL3 unaponderacion Euclideana entre la varianzay la entropıa en cada pixel, y MVL4

considerando el valor maximo entre lavarianza y la entropıa nuevamente porpixel. Ademas, Nr representa el conjuntode pixeles de una ventana centrada en r ytamano n × n, pr(I(s)) es la distribucionde probabilidad de las intensidades de laimagen I(s) asociada a la ventana Nr, y µres el valor esperado de las intensidades enla misma ventana, dado por

µr =∑s∈Nr

I(s)pr(I(s)). (12)

3. Ecualizacion. Despues de aplicarel mapeo G, las intensidades de lasimagenes resultantes (IP e IR) tienenvalores pequenos concentrados en un rangodinamico muy estrecho. Por esta razon, esnecesario escalar dichas intensidades en unrango de 0 a 255 (escala de grises), y aplicaruna ecualizacion de histograma [11].

4. Espacio de escalas. Con la intencionde poder aproximar deformaciones mascomplejas encontrando desplazamientosmas grandes, el FO se aplica empleando

una tecnica de espacio de escalas [28] (verFigura 1):

Dadas las dos imagenes ecualizadas IP eIR de tamano 2K × 2K , y una subescala m(escala mas pequena sobre la que se deseacalcular el FO):

(a) Tomar como cero el valor inicial delos desplazamientos para el FO en laescala m, V m

0 = 0.

(b) Escalar las imagenes a un tamano2K−m × 2K−m; aplicando unsuavizado con un kernel Gaussiano,de tamano n×n y desviacion estandarσG, a la imagen que se desea escalary despues realizando un proceso desubmuestreo.

(c) Estimar el FO entre ImP e ImR , yestablecer t = 0.

i. Obtener una imagen auxiliar,dada por IA = ImR (r + V m

t (r)).

ii. Incrementar t, t = t+ 1.

iii. Calcular el FO V mt entre ImP e IA.

iv. Acumular los desplazamientosobtenidos en esta escala, V m

t =V mt + V m

t−1.

v. Si∑

r |V mt (r)− V m

t−1(r)| < ε, ir ad), si no regresar a (i).

(d) Ir a la siguiente escala m = m− 1.

(e) Si m ≥ 0, propagar losdesplazamientos en la siguiente escalaV m

0 (r) = 2B(V m−1(r)) e ir a b), sino VE(r) = V 0(r) y continuar conel paso 5. Aquı B(·) representa unafuncion de interpolacion (ej. bilineal[11]).

5. Obtener el registro elastico.Finalmente, se suman los camposvectoriales obtenidos en los pasos 1 y 4,V (r) = VR(r)+VE(r), y despues es posibleobtener la imagen candidata registradaelasticamente IE(r) = IC(r + V (r)), talque IP (r) ≈ F [IE(r)].


2 x2k k

2 x2k-1 k-1

2 x2k-2 k-2

m

m-1

2

1

0

2 x2k-m k-m

2 x2k-m-1 k-m-1

Figura 1: Piramide que muestra las posibles escalas ası como sus correspondientes tamanos al usar unatecnica de espacio de escalas.

En el algoritmo descrito anteriormente, seutilizo una escala inicial dem = 5 y para suavizarlas imagenes antes de realizar el submuestro, seempleo un kernel Gaussiano de tamano n = 5con desviacion estandar σG = 0.3(n/2− 1) + 0.8.Tambien se debe tener en cuenta el umbralde convergencia ε usado en el paso 4.c).(v), ypara el cual se puede establecer un valor conbase a la resolucion deseada en el FO y eltamano de las imagenes, o puede ser remplazadopor algun otro criterio de parada, por ejemplocalculando una medida de similitud como laentropıa conjunta entre las imagenes, que sirvacomo indicador del estado del registro. Por otrolado, el tamano de ventana en pixeles establecidopara el calculo de la entropıa es de 7 × 7 y de13 × 13 para la varianza, donde estos valoresfueron obtenidos por medio de una evaluacionnumerica del metodo con respecto al tamanode ventana. Sin embargo, el tamano optimode ventana puede variar dependiendo de lascaracterısticas de las texturas y del contraste conrespecto al fondo de las imagenes a registrar.Adicionalmente, debido a la factibilidad del FPpara ser paralelizado, este fue implementado enuna arquitectura de procesamiento en paralelo,lo que incrementa en gran medida la velocidadde computo del algoritmo.

EXPERIMENTOS

Con el proposito de analizar el comportamientodel algoritmo propuesto con datos reales y paramostrar su eventual desempeno en el registro deatlases medicos (donde se registran los datos deun paciente con una muestra tıpica o promedio

de varias imagenes de diferentes pacientes) [39],comenzamos resolviendo el problema de registroelastico de dos imagenes de resonancia magneticaT1 en corte transversal de distintos pacientestomadas de [40] (ver Figura 2).

Ademas, con la finalidad de obtener datosnumericos que nos proporcionen mas informacionsobre el desempeno del algoritmo, se simularon20 pares de imagenes alineadas de resonanciamagnetica T1 y tomografıa computarizada(MR/CT), empleando el software de simulacionreportado en [41] y disponible en lınea enhttp://www.bic.mni.mcgill.ca/brainweb/. Sietede los pares fueron en corte sagital, siete en axialy seis en coronal, con un tamano de pixel de1×1 mm y con un nivel de inhomogeneidad deintensidades de entre 0% y 40%. Tambien seadquirieron una tomografıa computarizada y unaresonancia magnetica T1 en corte transversal(tamano de pixel de 1×1 mm), Figuras 3.(d)y 3.(g), tomadas de diferentes pacientes conun tumor cerebral en el Hospital San Raffaeley proporcionadas por el Institute of MolecularBioimaging and Physiology, ambos en Milan,Italia. Con estas muestras se simularon dos paresde imagenes multimodales alineadas usando dospolinomios de grado 6 y 9 como mapeo deintensidades (ver Figura 4). Despues, a unaimagen de cada par simulado se le aplicoun campo vectorial de deformacion elasticogenerado a partir de Thin Plate Splines [42],los cuales se tomaron como campo de referencia(ground truth GT, ver Figura 3) y se utilizaronpara calcular el error del algoritmo de registroen la estimacion del campo vectorial de ladeformacion, usando como metrica la normaEuclideana.

14 Revista Mexicana de Ingenierıa Biomedica · volumen 34 · numero 1 · Abril, 20138 Revista Mexicana de Ingenierıa Biomedica · volumen 34 · numero 1 · Abril, 2013

(a) Candidata (b) Patron (c) Antes del registro

Figura 2: Registro elastico entre dos pacientes diferentes, el cual presenta un escenario similar alproblema de registrar una imagen con la de un atlas medico. (a) Imagen candidata tomada de [40],(b) Imagen patron tomada de [40], (c) Imagenes superpuestas antes del registro en RGB. En la terceracolumna la imagen patron se encuentra en el canal verde y la candidata en el rojo.

como metrica la norma Euclideana. Dado queconocemos el mapeo de intensidades en dos paresde imagenes simulados, tambien se midio elerror del algoritmo obteniendo las diferencias deintensidades entre estos pares.

Otro factor importante a tener en cuentadentro de los algoritmos computacionales queemplean tecnicas de optimizacion, es garantizarla convergencia del metodo. Por lo tanto,para establecer un criterio de convergencia parael algoritmo propuesto, se realizo un analisis

usando la entropıa conjunta entre las imagenescon respecto al numero de iteraciones.

Finalmente, cabe mencionar que existenalgoritmos de registro elastico que noparametrizan el espacio de deformaciones [43],pero no encontramos en la literatura, tecnicasmultimodales que sigan este mismo enfoqueaplicado en imagenes medicas, motivo por elcual no se compara esta propuesta con otrosalgoritmos de registro elastico multimodal.

RESULTADOS

En la Figura 5 se presentan los resultadosvisuales de registrar las imagenes de las Figuras2.(a) y 2.(b), utilizando las cuatro MVLpropuestas para el algoritmo. De igual formaen la Figura 6 se muestra el resultado delregistro entre las imagenes en las Figuras 3.(g)y 3.(h), empleando las cuatro MVL. Calculandoel error usando la norma Euclideana entre elGT y los vectores de desplazamiento obtenidospara cada pixel al registrar la imagen de la

Figura 3.(a) con 3.(b), se obtuvieron los erroresque se muestran en la Figura 7, usando laentropıa como MVL en la Figura 7.(a), lavarianza en 7.(b), la ponderacion Euclideanaentre entropıa y varianza en 7.(c), y el maximoentre ellas mismas en 7.(d). Tambien se calculoel error en las intensidades para el registro delas imagenes de las Figuras 3.(d) y 3.(e) (dadoque conocemos su transformacion sintetica deintensidades tonales), el cual se puede observaren la Figura 8.(a) para la MVL1, 8.(b) con laMVL2, 8.(c) para la MVL3 y 8.(d) con la MVL4.

En la Tabla 1 se presentan la media delerror y su desviacion estandar, calculado con lanorma Euclideana, del campo vectorial estimadopor el algoritmo de registro elastico con lascuatro MVL, donde tambien se incluye la mediadel error obtenida con la version unimodaldel algoritmo que nos servira como punto dereferencia, ya que idealmente los resultados delas MVL tendrıan que ser muy cercanos aestos valores y que es factible calcular dado

que se utilizaron transformaciones de intensidadsinteticas. De la misma forma, en la Tabla 1 semuestra la media y desviacion estandar del erroren las intensidades obtenidas por las cuatro MVLcon los dos pares de imagenes de los cuales seconoce su mapeo de intensidades que se muestranen la Figura 4.

Por ultimo, como parte de los resultadosen la Figura 9 se muestran las graficas de laentropıa conjunta y la media del error en el

Figura 2: Registro elastico entre dos pacientes diferentes, el cual presenta un escenario similar alproblema de registrar una imagen con la de un atlas medico. (a) Imagen candidata tomada de [40],(b) Imagen patron tomada de [40], (c) Imagenes superpuestas antes del registro en RGB. En la terceracolumna la imagen patron se encuentra en el canal verde y la candidata en el rojo.

Dado que conocemos el mapeo de intensidadesen dos pares de imagenes simulados, tambiense midio el error del algoritmo obteniendo lasdiferencias de intensidades entre estos pares.

Otro factor importante a tener en cuentadentro de los algoritmos computacionales queemplean tecnicas de optimizacion, es garantizarla convergencia del metodo. Por lo tanto,para establecer un criterio de convergencia parael algoritmo propuesto, se realizo un analisisusando la entropıa conjunta entre las imagenescon respecto al numero de iteraciones.

Finalmente, cabe mencionar que existenalgoritmos de registro elastico que noparametrizan el espacio de deformaciones [43],pero no encontramos en la literatura, tecnicasmultimodales que sigan este mismo enfoqueaplicado en imagenes medicas, motivo por elcual no se compara esta propuesta con otrosalgoritmos de registro elastico multimodal.

RESULTADOS

En la Figura 5 se presentan los resultadosvisuales de registrar las imagenes de las Figuras2.(a) y 2.(b), utilizando las cuatro MVLpropuestas para el algoritmo. De igual formaen la Figura 6 se muestra el resultado delregistro entre las imagenes en las Figuras 3.(g)y 3.(h), empleando las cuatro MVL. Calculandoel error usando la norma Euclideana entre elGT y los vectores de desplazamiento obtenidospara cada pixel al registrar la imagen de laFigura 3.(a) con 3.(b), se obtuvieron los erroresque se muestran en la Figura 7, usando la

entropıa como MVL en la Figura 7.(a), lavarianza en 7.(b), la ponderacion Euclideanaentre entropıa y varianza en 7.(c), y el maximoentre ellas mismas en 7.(d). Tambien se calculoel error en las intensidades para el registro delas imagenes de las Figuras 3.(d) y 3.(e) (dadoque conocemos su transformacion sintetica deintensidades tonales), el cual se puede observaren la Figura 8.(a) para la MVL1, 8.(b) con laMVL2, 8.(c) para la MVL3 y 8.(d) con la MVL4.

En la Tabla 1 se presentan la media delerror y su desviacion estandar, calculado con lanorma Euclideana, del campo vectorial estimadopor el algoritmo de registro elastico con lascuatro MVL, donde tambien se incluye la mediadel error obtenida con la version unimodaldel algoritmo que nos servira como punto dereferencia, ya que idealmente los resultados delas MVL tendrıan que ser muy cercanos aestos valores y que es factible calcular dadoque se utilizaron transformaciones de intensidadsinteticas. De la misma forma, en la Tabla 1 semuestra la media y desviacion estandar del erroren las intensidades obtenidas por las cuatro MVLcon los dos pares de imagenes de los cuales seconoce su mapeo de intensidades que se muestranen la Figura 4.

Por ultimo, como parte de los resultadosen la Figura 9 se muestran las graficas de laentropıa conjunta y la media del error en elcampo vectorial de las imagenes registradas,ambas con respecto al numero de iteraciones delalgoritmo, con la intension de mostrar graficay numericamente la convergencia del metodopresentado.

Reducindo y cols. Registro Elastico de Imagenes Medicas Multimodales basado en Medidas de Variabilidad Local 15Reducindo y cols. Registro Elastico de Imagenes Medicas Multimodales basado en Medidas de Variabilidad Local 9

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figura 2: Tres ejemplos de problemas sinteticos de registro generados para evaluar el algoritmo. (a), (d)y (g) imagen candidata. (b), (e) y (h) imagen patron (creada artificialmente a partir de la candidata).(c), (f) e (i) deformacion sintetica para generar la imagen patron.

0 50 100 150 200 2500

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200

250

Intensidad de origen

Inte

nsid

ad d

e de

stin

o

Mapeo 1, polinomio de grado 6


Figura 3: Mapeos de intensidades empleados para generar las imagenes sinteticas. Para la imagenmostrada en la Figura 3.(h) se empleo el mapeo 1, y para la mostrada en la Figura 3.(e) el mapeo 2.

DISCUSION

Observando la Figura 4, se puede apreciarque las estructuras del craneo, la traquea, eltracto nasal, el bulbo y la medula espinal,se alinean congruentemente (en tonalidadesamarillo verdosas) en tres de las cuatro MVL(entropıa, varianza y obteniendo el maximo);con respecto a otras estructuras o tejidos, esdifıcil para alguien sin formacion medica yexperiencia en analisis de imagenes de este tipo,

tener la certeza de que se encuentran alineadascorrectamente todas las estructuras y tejidos.Para realizar un analisis cuantitativo sobre estosresultados, se requerirıa del uso de tecnicas desegmentacion ası como de ındices de evaluacionsobre ciertos estandares medicos, ademas deque la evaluacion dependerıa de los tejidos y/oestructuras que un medico especialista quisieraanalizar en las imagenes [17], [27], asunto queno era de interes para este trabajo por el



(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)


0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

Intensidad de origen

Inte

nsid

ad d

e de

stin

o




DISCUSION


tener la certeza de que se encuentran alineadascorrectamente todas las estructuras y tejidos.Para realizar un analisis cuantitativo sobre estosresultados, se requerirıa del uso de tecnicas desegmentacion ası como de ındices de evaluacionsobre ciertos estandares medicos, ademas deque la evaluacion dependerıa de los tejidos y/oestructuras que un medico especialista quisieraanalizar en las imagenes [17], [27], asunto queno era de interes para este trabajo por el


DISCUSION


tener la certeza de que se encuentran alineadascorrectamente todas las estructuras y tejidos.Para realizar un analisis cuantitativo sobre estosresultados, se requerirıa del uso de tecnicas desegmentacion ası como de ındices de evaluacionsobre ciertos estandares medicos, ademas deque la evaluacion dependerıa de los tejidos y/oestructuras que un medico especialista quisieraanalizar en las imagenes [17, 27], asunto queno era de interes para este trabajo por elmomento, ya que el estudio esta orientado a



(a) MVL1 (b) MVL2 (c) MVL3 (d) MVL4

Figura 4: Resultados obtenidos de aplicar el algoritmo de registro elastico multimodal sobre las imagenesde la Figura 2, empleando las cuatro MVL propuestas. (a) Entropıa o MVL1, (b) varianza o MVL2,(c) ponderacion Euclideana entre entropıa y varianza o MVL3, y (d) el maximo entre ellas mismas oMVL4. Las imagenes se muestran superpuestas en RGB, donde la imagen patron esta en el canal verdey la registrada en el rojo.


Figura 5: Resultados obtenidos de aplicar el algoritmo de registro elastico multimodal sobre las imagenesde la Figura 3.(g) y 3.(h), empleando las cuatro MVL propuestas. (a) Entropıa o MVL1, (b) varianzao MVL2, (c) ponderacion Euclideana entre entropıa y varianza o MVL3, y (d) el maximo entre ellasmismas o MVL4. Las imagenes se muestran superpuestas en RGB, donde la imagen patron esta en elcanal verde y la registrada en el rojo.


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 6: Error en la estimacion del campo vectorial para el registro elastico multimodal entre lasimagenes de las Figuras 3.(a) y 3.(b), usando las MVL. (a) Entropıa o MVL1, (b) varianza o MVL2,(c) ponderacion Euclideana entre entropıa y varianza o MVL3, y (d) el maximo entre ellas mismas oMVL4.

momento, ya que el estudio esta orientado aprobar la eficiencia del algoritmo en la estimaciondel campo vectorial denso de la deformacion.En este punto cabe senalar que las imagenesregistradas en este experimento a pesar de serambas resonancias magneticas T1 (ver Figura2), las intensidades en escala de grises norepresentan un mapeo biyectivo entre ambas,debido a que pertenecen a diferentes pacientesy fueron adquiridas bajo diferentes condiciones;

ademas de que la deformacion elastica requeridapara lograr alinearlas no es facil de estimary es muy poco probable que se presente encasos reales de registro dentro de la imagenologıamedica, sin embargo se opto por probar condichas imagenes para tener una idea de lacapacidad del algoritmo presentado para estimareste tipo de deformaciones, ademas de ser unproblema similar al que se tiene en el registrode atlases medicos [39].








0

0.5

1

1.5

2

2.5

3











0

0.5

1

1.5

2

2.5

3





probar la eficiencia del algoritmo en la estimaciondel campo vectorial denso de la deformacion.En este punto cabe senalar que las imagenesregistradas en este experimento a pesar deser ambas resonancias magneticas T1 (verFigura 2), las intensidades en escala de grisesno representan un mapeo biyectivo entreambas, debido a que pertenecen a diferentes

pacientes y fueron adquiridas bajo diferentescondiciones; ademas de que la deformacionelastica requerida para lograr alinearlas no esfacil de estimar y es muy poco probable quese presente en casos reales de registro dentrode la imagenologıa medica, sin embargo se optopor probar con dichas imagenes para tener unaidea de la capacidad del algoritmo presentado




0

10

20

30

40

50

Figura 7: Error en las intensidades para el registro elastico multimodal entre las imagenes de las Figuras3.(d) y 3.(e), usando las MVL. (a) Entropıa o MVL1, (b) varianza o MVL2, (c) ponderacion Euclideanaentre entropıa y varianza o MVL3, y (d) el maximo entre ellas mismas o MVL4.

Tabla 1: Error en la estimacion del campo vectorial y en las intensidades, con respecto a los camposde referencia generados sinteticamente, despues de realizar el registro elastico con las cuatro MVL.

MetodoError en el campo

Error en las intensidadesvectorial en mm

Media Desv. Estd. Media Desv. Estd.

Unimodal 0.217 0.367 0.479 1.181Entropıa (MVL1) 0.898 0.472 7.114 15.485Varianza (MVL2) 1.385 0.857 12.499 24.291Ponderacion Euclidiana Entre Medidas (MVL3) 1.343 0.664 9.166 18.974Maximo Entre Medidas (MVL4) 1.071 0.465 5.508 11.054

10 20 30 40 50 606.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

7

7.1

7.2

Iteraciones

Ent

ropí

a C

onju

nta

MVL1

MVL2

MVL3

MVL4

Figura 8: Ejemplo de grafica de la entropıa conjunta (izquierda) y del error en la estimacion del campovectorial (derecha) con respecto al numero de iteraciones del algoritmo. Graficas obtenidas de registrarel par de imagenes de las Figuras 3.(d) y 3.(e).

Por otra parte, observando mas a detalle laFigura 4.(a) donde se utilizo la entropıa comoMVL, se puede apreciar que las zonas dondeexisten alineamientos poco congruentes (pixelestotalmente rojos o verdes), son principalmente enlos bordes del craneo, y en la Figura 4.(b) dondela MVL utilizada fue la varianza, dichas zonasestan principalmente en la materia gris. Estonos hace suponer que los errores de alineamientoen los bordes del craneo son debidos a que elcalculo de la entropıa se ve afectado por elfondo negro que cubre una gran parte de la

ventana (Nr) cuando se encuentra centrada enestas zonas; en contra parte, este efecto no sepresenta con la varianza que define mejor losbordes debido al contraste con el fondo. Demanera similar se tiene un efecto contrario conla materia gris, donde no existe mucho contrasteentre tejidos, pero si texturas muy marcadas.Debido a este fenomeno observado en MVL1 yen MVL2, es que se decidio probar combinandoambas medidas (MVL3 y MVL4) con la intensionde complementar la informacion entre ellas eintentar reducir los errores en la alineacion.




0

10

20

30

40

50







10 20 30 40 50 606.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

7

7.1

7.2

Iteraciones

Ent

ropí

a C

onju

nta

MVL1

MVL2

MVL3

MVL4






0

10

20

30

40

50







10 20 30 40 50 606.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

7

7.1

7.2

Iteraciones

Ent

ropí

a C

onju

nta

MVL1

MVL2

MVL3

MVL4





para estimar este tipo de deformaciones, ademasde ser un problema similar al que se tiene en elregistro de atlases medicos [39].

Por otra parte, observando mas a detalle laFigura 5.(a) donde se utilizo la entropıa comoMVL, se puede apreciar que las zonas dondeexisten alineamientos poco congruentes (pixelestotalmente rojos o verdes), son principalmenteen los bordes del craneo, y en la Figura 5.(b)

donde la MVL utilizada fue la varianza, dichaszonas estan principalmente en la materia gris.

Esto nos hace suponer que los errores dealineamiento en los bordes del craneo son debidosa que el calculo de la entropıa se ve afectado porel fondo negro que cubre una gran parte de laventana (Nr) cuando se encuentra centrada enestas zonas; en contra parte, este efecto no sepresenta con la varianza que define mejor los


bordes debido al contraste con el fondo. Demanera similar se tiene un efecto contrario conla materia gris, donde no existe mucho contrasteentre tejidos, pero si texturas muy marcadas.Debido a este fenomeno observado en MVL1 yen MVL2, es que se decidio probar combinandoambas medidas (MVL3 y MVL4) con la intensionde complementar la informacion entre ellas eintentar reducir los errores en la alineacion.En los resultados obtenidos combinando ambasMVL mostrados en la Figura 5.(c) usando unaponderacion Euclideana, y en la 5.(d) empleandoel maximo valor entre ellas, visualmente noparecen muy favorables para la MVL3, pero laMVL4 si presenta un registro muy similar a lasotras dos.

Analizando un caso mas cercano a losproblemas reales de registro en imagenologıa,como lo es el correspondiente a los resultadosmostrados en de la Figura 6, se puede observarque las regiones que presentan un mayor error,es decir zonas no traslapadas correctamente(regiones totalmente rojas o verdes) son mayorespara la MVL2 y la MVL3 (Figuras 6.(b) y6.(c)); contrario a lo que presentan la MVL1

y la MVL4 (Figuras 6.(a) y 6.(d)), donde seaprecia que en su mayorıa todas las regionesestan correctamente traslapadas (tonos amarillosverdosos). Por lo que en este escenario, lainformacion proveniente de la entropıa, permitiotener un correcto alineamiento, es decir conMVL1 y MVL4.

Con respecto a los resultados numericos, secomprueba lo descrito en el parrafo anterior, yaque analizando las Figuras 7 y 8, ası como laTabla 1, se observa que las MVL que presentan elmenor error para los casos sinteticos analizados,son la entropıa (MVL1 con un error mediomenor a 1 mm) y el maximo entre las medidas(MVL4 con un error medio de 1 mm), ambascon desviaciones estandar menores a 0.5 mm;a diferencia de la varianza y la ponderacionEuclideana que presentan errores mayores a 1mm con una desviacion estandar mayor a 0.5mm (ver Tabla 1). Ademas, los errores en lasintensidades son para MVL4 los mas cercanosa los obtenidos por la version unimodal delalgoritmo (ver Tabla 1). Una diferencia quese puede observar entre MVL1 y MVL4 es que

los errores son mas homogeneos para el maximoentre la entropıa y varianza, que para la entropıapor si sola (ver Figuras 7.(a), 7.(d), 8.(a) y8.(d)), probablemente debido a la informacionadicional que proporciona la varianza y entropıacombinadas en esta MVL.

Por ultimo, debido a que el algoritmopropuesto es un metodo iterativo, es necesarioestablecer las condiciones que deben cumplirsepara detener el proceso, ademas de asegurarsu convergencia a una solucion. Ası pues,observando las graficas de la Figura 9 se puedeapreciar que la entropıa conjunta entre las dosimagenes tiene su mınimo aproximadamente enla misma iteracion en que se alcanza el mınimoerror por el algoritmo (mas visible para la MVL1

y MVL4), y despues tiende a incrementarse aligual que el error. Por lo tanto, se puedeestablecer como criterio de parada para elmetodo, el fijar un umbral para la magnitud de laderivada de la entropıa conjunta y de esta formase asegura la convergencia del algoritmo.

CONCLUSIONES

Despues de analizar los resultados obtenidos,cualitativos y cuantitativos, de los experimentosrealizados para evaluar el algoritmo propuesto, sepuede concluir que este metodo ofrece un buendesempeno para el registro elastico multimodalempleando como medida de variabilidad localla entropıa, obteniendo en la evaluacioncuantitativa un error medio menor a 1 mm.Ademas, ofrece como ventajas un calculonumerico mas rapido y con una mayor libertad enlas deformaciones que se puedan lograr, debidoa que el campo vectorial de las deformacionesno es parametrizado. Sin embargo, es deseablebuscar mejoras para el metodo, intentandoigualar los errores obtenidos por la versionunimodal, con un error medio menor a 0.5 mm.Dado que los experimentos fueron realizadosempleando imagenes medicas simuladas y reales,la tecnica propuesta puede ser considerada comouna alternativa viable para su aplicacion enla imagenologıa medica, aunque por otro ladoes necesaria una evaluacion de acuerdo a losestandares medicos dependiendo de la aplicacionhacia la que se decida enfocar el metodo.


Como trabajo futuro, se propone realizarmodificaciones al algoritmo para reducir elerror en la estimacion del campo vectoriale intentar que sea similar al reportado portecnicas de registro unimodal. Tambien secontempla una implementacion del algoritmopara el registro de volumenes en la herramientade analisis de imagenes medicas ITK (InsightSegmentation and Registration Toolkit [44]),ademas de realizar una comparacion exhaustiva,de acuerdo a estandares medicos y a unaaplicacion especıfica, con otros metodos deregistro elastico multimodal reportados en laliteratura. Finalmente, buscamos realizar unaevaluacion del metodo propuesto para unaaplicacion medica especıfica.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al Institute of MolecularBioimaging (IBFM), Milan, Italia, porproporcionar dos de las imagenes utilizadasen este trabajo y en especial a Aldo MejıaRodrıguez. Los autores agradecen a CONACyTpor el apoyo financiero otorgado a traves de losproyectos #168140 y #154146. I. Reducindoagradece a CONACyT por el apoyo financierobrindado a traves de una beca de posgrado(CVU/Becario 266553/218513).

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