1

FUNCIONES

1. Determina el domino y el recorrido para las siguientes funciones. ¿Son funciones continuas? Indica, si los tiene los puntos de discontinuidad.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

2

2. Representa las siguientes funciones definidas a trozos, indicando para cada una de ellas el dominio y estudiando la continuidad:

a)

+ <

= + < ≤ >

2

x 4 si x 0

f(x) -x 4 si 0 x 3

2 si x 3

calcula f(-1), f(0), f(2) y f(5)

b)

x 1 si - 3 x 0

g(x) 2x si 0 x 3

2 - 3x si x 3

− − < <

= < ≤ >

calcula g(-4), g(0), g(0,5), g(3)

c)

2x 5 si x 0

h(x) -1 si 0 x 2

x - 2 si x 3

− − <

= ≤ ≤ >

calcula h(-1), h(0), h(2,5), h(3)

d)

3x 4 si x 0

i(x) -x 2 si 0 x 2

4x -12 si x 3

− − <

= − ≤ ≤ >

calcula i(-2), i(0), i(1), i(4)

3. Determina la expresión algebraica que corresponde a la siguientes gráficas:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

4. Determina el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) 5=

b) 2

f(x)x 2

−=

− +

c) 2f(x) x 3x= −

d) 3 2

3

x xf(x)

x x

−=

− +

e) f(x) 5x 7= − −

f) 2

4x 2f(x)

x x 1

−=

− − −

3

g) f(x) x= −

h) 2

1f(x)

x 4=

−

i) 3 2

x 6f(x)

x x

−=

+

j) 2f(x) 2x 5x 2= − +

k) 2f(x) x 5x 6= − +

5. Determina los puntos de corte de las siguientes funciones con cada uno de los ejes de coordenadas:

a) 2f(x) x 1= +

b) 2f(x) x 1= −

c) f(x) 8=

d) 2f(x) x 2x 3= − −

e) f(x) 5x 1= − +

f) 3 2f(x) x x= +

g) 2f(x) 5x 12x= − +

h) 2f(x) 3x x 2= − + +

6. La siguiente gráfica nos muestra la temperatura de un radiador desde que se enciende la calefacción (8 h) hasta 14 horas más tarde.

a) ¿Cuál es la temperatura máxima que alcanza y cuándo la alcanza? b) Calcula el aumento de temperatura por hora entre las 8 h y las 10 h. ¿Es el mismo

entre las 10 h y las 12 h? c) ¿Cuál es el dominio de definición? d) Di en qué intervalo es decreciente la función.

7. Esta curva muestra la audiencia de televisión en España en un día promedio del mes de abril

de 2002. ¿Cuáles son sus puntos más importantes? Descríbela.

4

Cuando se habla de audiencia se dice que España, al igual que Francia, Italia o Portugal,

pertenece al grupo de países “camello” cuyas curvas de audiencia tienen dos “jorobas”. Otros

países como Alemania y Dinamarca son del grupo dromedario con una sola “joroba”, que se

produce alrededor de las 20 h. ¿Qué quieren decir los técnicos cuando hablan de “jorobas”?

8. Esta gráfica muestra cómo varía la altura del agua en un depósito que se llena con una bomba y que lleva dos válvulas para regular la entrada y la salida del agua

a) ¿Cuál es el máximo de esta función? Explica su significado. b) ¿En qué puntos corta el eje de las x? ¿Qué significan esos puntos? c) ¿Cuál es su dominio de definición? d) Di en qué intervalo es creciente y en cuál es decreciente.

9. Un fontanero cobra 18 € por el desplazamiento y 15 € por cada hora de trabajo.

a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-coste y represéntala gráficamente. b) Si ha cobrado por una reparación 70,50 €, ¿cuánto tiempo ha invertido en la

reparación?

10. En las llamadas telefónicas interurbanas, el tiempo que dura cada paso del contador depende de la hora de la llamada:

a) Representa gráficamente la función que da la duración del paso del contadorhora de la llamada para un día completo.

b) Busca la expresión analítica de esa función.

11. El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha hechoexplicarle lo que espera conseguir en las 12 semanas que dure

a) ¿Cuál era su peso al comenzar el régimen?b) ¿Cuánto tiene que adelgazar por semana en la primera etapa del régimen?

6ª y la 8ª semana? c) Halla la expresión analítica de esa función.

12. La temperatura de un enfermo evolucionó a lo largo de 14 días según se muessiguiente.

Representa gráficamente la función que da la duración del paso del contadorla llamada para un día completo.

Busca la expresión analítica de esa función.

El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha hechoexplicarle lo que espera conseguir en las 12 semanas que dure la dieta.

su peso al comenzar el régimen? ¿Cuánto tiene que adelgazar por semana en la primera etapa del régimen?

Halla la expresión analítica de esa función.

La temperatura de un enfermo evolucionó a lo largo de 14 días según se mues

5

Representa gráficamente la función que da la duración del paso del contador según la

El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha hecho esta gráfica para

¿Cuánto tiene que adelgazar por semana en la primera etapa del régimen? ¿Y entre la

La temperatura de un enfermo evolucionó a lo largo de 14 días según se muestra en el gráfico

6

a) ¿En qué días subió la temperatura? b) ¿En qué días permaneció constante? c) ¿Y en qué días bajó? d) ¿Cuál fue la temperatura máxima alcanzada? ¿En qué día la alcanzó? e) ¿Cuál fue la temperatura mínima alcanzada? ¿En qué día la alcanzó? f) Si le dieron una pastilla los días en que la temperatura subió por encima de 38 ºC,

¿qué días tomó la pastilla?

SOLUCIONES FUNCIONES PARTE 1

1. Numerando las gráficas empezando por la primera y después la de la derecha, se tiene que:

a) [ ) [ ] ( )Dominio 8, 5 3,0 1,= − − ∪ − ∪ +∞ .

( )Recorrido 1,= − +∞

No es una función continua, presentando puntos de discontinuidad en x = -5, x = -3, x =

0, x = 1.

b) ( ) ( ]Dominio ,4 4,6= −∞ ∪

( )Recorrido 8,4= −

No es una función continua, presentando puntos de discontinuidad en x = -2 y x = 4.

c) Dominio = ℝ

Recorrido = ℝ

No es una función continua, tiene una discontinuidad en x = 1.

d) ( ) ( )Dominio ,0 2,5= −∞ ∪

( ) ( )Recorrido ,0 3,6= −∞ ∪

No es continua, tiene discontinuidades en x = 0 y x = 2.

e) ( ) [ ) ( )Dominio , 5 4,0 0,= −∞ − ∪ − ∪ +∞

[ )Recorrido 4,= − +∞

No es continua, tiene discontinuidades en x = -5, x = -4, x = 0.

f) { }Dominio 2= − −ℝ

{ }Recorrido 0= −ℝ

Tiene una discontinuidad en x = -2

2. Las gráficas son:

7

a)

+ <

= + < ≤ >

2

x 4 si x 0

f(x) -x 4 si 0 x 3

2 si x 3

f(-1) = 3; f(0) no está definida; f(2) = 0

y f(5) = 2

Es discontinua en x = 0 y en x=3.

Dominio ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

b)

x 1 si - 3 x 0

g(x) 2x si 0 x 3

2 - 3x si x 3

− − < <

= < ≤ >

g(-4) no existe; g(0) no existe g(0,5)

= 1; g(3) = 6.

Dominio ( ) ( )3,0 0,− ∪ +∞

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

c)

2x 5 si x 0

h(x) -1 si 0 x 2

x - 2 si x 3

− − <

= ≤ ≤ >

h(-1) = -3; h(0) = -1; h(2,5) no existe; h(3)

no existe.

Dominio ( ] ( ),2 3,−∞ ∪ +∞ .

Discontinuidades en x = 0, x = 2 y x = 3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

8

d)

3x 4 si x 0

i(x) -x 2 si 0 x 2

4x -12 si x 3

− − <

= − ≤ ≤ >

i(-2) = 2; i(0) = -2; i(1) = -3; i(4) = 4.

Dominio ( ] ( ),2 3,−∞ ∪ +∞ .

Discontinuidades en x = 0, x = 2 y x = 3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

3.

3 si x -2

3f(x) x si - 2 x 2

2

3x 12 si x 4

<

−= < ≤

− ≥

3 1x si - 5 x -1

2 2

f(x) x 2 si -1 x 2

2 si x 3

−− ≤ <

= + ≤ < >

4. Los dominios son:

a) R

b) { }2−ℝ

c) ℝ

d) { }1,0,1− −ℝ

e) 7

,5

− −∞

f) ℝ

g) ( ],0−∞

h) ( ] [ ), 2 2,−∞ − ∪ +∞

i) { }1,0− −ℝ

j) [ )1

, 2,2

−∞ ∪ +∞

k) ℝ

9

5. Calculamos los puntos de corte:

a) 2f(x) x 1= +

- Eje X 2y 0 x 1 0→ = ⇒ + = , que no tiene solución y, por tanto, no corta al eje X.

- Eje Y x 0 y 1→ = ⇒ = . Punto de corte (0,1).

b) 2f(x) x 1= −

- Eje X 2y 0 x 1 0 x 1→ = ⇒ − = ⇒ = ± .

Los puntos de corte con el eje X son (1,0) y (-1,0).

- Eje Y x 0 y 1→ = ⇒ = − . Punto de corte (0,-1).

c) f(x) 8=

No corta al eje X. Al eje Y en (0,8).

d) 2f(x) x 2x 3= − −

- Eje X 2y 0 x 2x 3 0 x 3 y x 1→ = ⇒ − − = ⇒ = = − .

Los puntos de corte con el eje X son (-1,0) y (3,0).

- Eje Y x 0 y 3→ = ⇒ = − . Punto de corte (0,-3).

e) f(x) 5x 1= − +

- Eje X 1

y 0 5x 1 0 x5

→ = ⇒ − + = ⇒ = . Corta al eje X en 1

,05

- Eje Y x 0 y 1→ = ⇒ = . Punto de corte (0,1).

f) 3 2f(x) x x= +

- Eje X 3 2y 0 x x 0 x 0 y x 1→ = ⇒ + = ⇒ = = − .

Los puntos de corte con el eje X son (-1,0) y (0,0).

10

- Eje Y x 0 y 0→ = ⇒ = . Punto de corte (0,0).

g) 2f(x) 5x 12x= − +

- Eje X 2 12

y 0 5x 12x 0 x 0 y x5

→ = ⇒ − + = ⇒ = = .

Los puntos de corte con el eje X son 12

,05

y (0,0).

- Eje Y x 0 y 0→ = ⇒ = . Punto de corte (0,0).

h) 2f(x) 3x x 2= − + +

- Eje X 2 2

y 0 3x x 2 0 x 1 y x3

−→ = ⇒ − + + = ⇒ = = .

Los puntos de corte con el eje X son 2

,03

−

y (1,0).

- Eje Y x 0 y 2→ = ⇒ = . Punto de corte (0,2).

6. Las soluciones son:

a) La temperatura máxima es de 70 °C y la alcanza a las 14 horas.

b) 15ºC cada hora. Entre las 10 y las 12 es de 12,5ºC

c) Dominio = [8,22].

d) El intervalo de decrecimiento es [14, 22].

7. A las 0 h hay un 15% de gente viendo la televisión. De esa hora en adelante decrece el porcentaje hasta las 6 h, que empieza a crecer poco a poco hasta las 15 h, que es cuando hay más de un 30% de audiencia. De nuevo baja hasta un 15% a las 18 h, y vuelve a subir muy rápido hasta un 40% de audiencia a las 22 h, que empieza a decrecer, quedándose a las 24 h en un 15%, como se empezó. Las jorobas son los máximos, es decir, los puntos con un índice de audiencia más alto.

8. Las soluciones son:

a) El máximo llega a los 60 minutos y es de 10 m de altura. Esto significa que al llegar el agua a los 10 m de altura, se abre la válvula que lo vacía.

b) En x = 0 y en x = 120.

11

Para x = 0, empieza a llenarse el depósito, y para x = 120, es que el depósito se ha

vaciado a las 2 horas.

c) Dominio = [0, 120]

d) Creciente → (0, 60) Decreciente → (60, 120)

9. Las soluciones son:

a) La tabla de valores, con 5 valores, es:

Tiempo (h) 1 2 3 4 5

Coste (€) 33 48 63 78 93

La gráfica es:

b) y = 18 + 15x donde x son las horas invertidas e y es el coste de la reparación. Si y = 70,50 → x= = 3,5. Ha invertido 3 horas y media.

10. Las soluciones son:

a) La gráfica es:

12

b)

24 si 0 x 8

12 si 9 x 14f(x)

18 si 14 x 20

24 si 20 x 24

< ≤

< ≤=

< ≤ < ≤

11. Las soluciones son:

a) Ricardo pesaba 80 kg al comenzar el régimen.

51,67

3= kg por semana. Entre la 6ª y 8ª semana no tiene que adelgazar nada.