Refuerzo 7

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN

MEDIA

DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE

MATEMÁTICA

Ministerio de Educación Dirección Nacional de Educación

Actividades de Refuerzo para Matemática Página 2

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

Presentación El proyecto de refuerzo académico como acción estratégica del Programa Social Educativo 2009-2014 “Vamos a la Escuela”, se prevé como una de las estrategias para evitar la repetición y la deserción.

En ese marco, este proyecto cobra importancia ya que a partir de éste se promoverá el apoyo a los estudiantes de segundo año de bachillerato que presenten dificultades para desarrollar las competencias, conocimientos y habilidades, que se espera tengan los jóvenes y señoritas que egresan de bachillerato.

Para poder hacer efectivo el refuerzo académico se hace necesario contar con información que permita tener un diagnóstico de las fortalezas y las limitaciones de los estudiantes que integran cada sección de segundo año de bachillerato; por ello, el proyecto inicia con una evaluación diagnóstica, cuyo fin no es asignar una nota a los estudiantes, tal como se describe a continuación.

1. Finalidad de la evaluación diagnóstica

La administración de las pruebas de diagnóstico tiene como finalidad poner a disposición de los docentes de educación media un instrumento de evaluación, que les permita identificar en los resultados los puntos fuertes y /o débiles de los estudiantes, con el propósito de realizar acciones pedagógicas que respondan a las necesidades individuales y de grupo, las cuales deberán estar encaminadas a la mejora y aprovechamiento de los aprendizajes.

Ésta es una evaluación analítica y orientadora que pretende apoyar a los estudiantes que presentan más dificultades en el aprendizaje; por lo tanto, no se debe tomar como una evaluación para asignar calificaciones o calcular promedios en la asignatura.

2. Documentos que se proporcionan a los docentes

Pruebas por asignatura.

Se han elaborado pruebas de diagnóstico de las 4 asignaturas básicas: Matemática, Lenguaje y Literatura, Estudios Sociales y Ciencias Naturales. Cada una de ellas se presenta en cuadernillo separado; los ítems son de opción múltiple con 4 opciones de respuesta de las cuales sólo una es la correcta.

Los insumos considerados para definir qué evaluar en cada asignatura fueron: los indicadores de logro que resultaron más difíciles para los estudiantes evaluados en la PAES 2008 y 2009; así como los indicadores de logro de los programas de estudio de primer año de bachillerato que son prerrequisito para el dominio de otros indicadores de segundo año, y que a la vez se consideran difíciles para los estudiantes o difíciles de impartir por el docente.



Actividades de Refuerzo Académico Es un documento por asignatura dirigido a los docentes, en el que se sugieren actividades de refuerzo orientadas a reducir las dificultades mostradas por los estudiantes en el desarrollo de las tareas propuestas en los ítems.

En cada asignatura se identifica el contenido que se explora en cada ítem de la prueba, así como el indicador de logro del programa de estudio .Para cada ítem se dan a conocer las causas posibles por las que los estudiantes lo respondieron incorrectamente. Se presenta la actividad sugerida, los recursos con los que se puede desarrollar, la descripción de la misma y en algunos casos se brinda información para enriquecer el desarrollo del contenido.

Las actividades de refuerzo por asignatura deberán trabajarse, prioritariamente, con el grupo de estudiantes que obtuvieron menos aciertos en la prueba; aun cuando las actividades propuestas pueden ser aplicadas a todo el grupo.

Plantilla para registrar las respuestas correctas

Después de aplicada cada prueba, el docente responsable de la asignatura y de la sección, deberá revisar las respuestas dadas por los estudiantes a cada ítem; para el registro de las respuestas correctas se propone una plantilla por asignatura, en la que se identifica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta; registrar sólo las respuestas correctas; de esta manera tendrá un diagnóstico del desempeño de cada estudiante y del grupo. En la sección podrá identificar cuáles ítems fueron respondidos correctamente en mayor o menor cantidad por los estudiantes. 3. Desarrollo de la Evaluación

Para que los resultados de las pruebas reflejen las dificultades o las fortalezas de los estudiantes, se sugiere desarrollar una asignatura cada día, y que ésta se realice simultáneamente en todas las secciones de segundo año de bachillerato de la institución; el tiempo máximo estimado para cada prueba es de 90 minutos.

La evaluación deberá realizarse en la segunda semana del mes de febrero.

Se deben administrar las pruebas dando indicaciones claras y de forma imparcial en un ambiente que genere confianza; es decir, evitar acciones que causen tensión en los estudiantes, ya que ello podría influenciar negativamente sobre el trabajo de éstos en la prueba.

Los estudiantes deberán marcar sus respuestas en cada cuadernillo; para lo cual se debe encerrar en un círculo la letra de la opción que contiene la respuesta correcta.

El docente debe explicar a los estudiantes que la prueba no es para asignarles una nota y deberán motivarlos para que realicen su mayor esfuerzo al responder todos los ítems.



Las indicaciones para la aplicación de la prueba deben ser respetadas, Si un estudiante pide información adicional, no se le deben dar elementos de respuesta, ni información susceptible de orientar su respuesta. Si la indicación no es comprendida, será suficiente solicitar que relea la indicación o la pregunta.

La prueba debe ser realizada individualmente, para que el propósito de diagnóstico de ésta, realmente sea alcanzado.

4. Proceso de registro de las respuestas dadas por los estudiantes en cada prueba

Después de la aplicación de las pruebas, los docentes proceden al registro de las respuestas correctas de los estudiantes. Esta fase es parte integral de la evaluación porque permite el análisis de las respuestas y conduce a la reflexión y valoración de decisiones pedagógicas que respondan a cada contexto.

El docente responsable de la asignatura deberá realizar el registro de las respuestas correctas, para ello utilizará la plantilla propuesta en la que se indica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta de cada ítem de la asignatura.

Cuando existan errores o ausencias de respuesta muy frecuentes en una misma sección, es importante verificar si los elementos referidos fueron estudiados y como se procedió. El docente podrá así establecer un diagnóstico y juzgar si es necesario o no desarrollar procedimientos de ayuda para algunos estudiantes.

Revisar en los resultados de cada estudiante, cuáles ítems no respondió correctamente para determinar cuáles contenidos son los que requieren de refuerzo académico, de esta manera se pueden formar grupos con dificultades en común para poder atenderlos con las actividades sugeridas. Asimismo, es importante identificar los puntos fuertes de cada uno con el propósito de poder tomarlos como apoyo en procesos de tutoría con otros estudiantes que tengan dificultades. Los resultados globales no tienen un significado importante, puesto que lo que se debe destacar no es cuántos respondió, si no cuáles no fueron respondidos correctamente, para planificar y orientar las actividades de refuerzo académico.

Estos resultados conciernen a grupos de alumnos y pueden constituir referencias, pero la dimensión diagnóstica de las evaluaciones toma toda su pertinencia cuando el docente se interesa en el alumno en toda su singularidad

Revisar las propuestas de actividades de refuerzo académico que se sugieren para los ítems, si están de acuerdo con éstas, desarrollarlas con los estudiantes que lo requieran; si usted tiene experiencia con otro tipo de actividades que le han resultado exitosas para el dominio de ciertos contenidos, puede aplicarla en su clase y compartirla con otros docentes en círculos de estudio.



PLANTILLA PARA EL REGISTRO DE LAS RESPUESTAS CORRECTAS

12

34

56

78

91

01

11

21

31

41

51

61

71

81

92

02

12

22

32

42

52

62

72

82

93

03

13

23

33

43

53

63

73

83

94

0

CD

BB

BA

BD

BA

BD

CC

DC

CA

AA

BC

AC

DD

CC

AA

DC

BC

CC

DC

DB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

To

tal

de

est

ud

ian

tes

qu

e

Re

spo

nd

iero

n c

orr

ect

am

en

te a

l ít

em

No

mb

reN

o.

MA

TE

MÁ

TIC

Aít

em

s

Total



Actividades de refuerzo académico sugeridas para que los estudiantes superen las deficiencias mostradas en el desarrollo de los

ítems de la prueba.

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 1 Y 2

Bloque de contenido: Números y operaciones

Contenido: Números enteros

Indicadores de logro:

1.6 (7º grado) Resuelve ordenadamente ejercicios de suma y/o resta de números enteros (aplicando la ley de los signos)

1.7 (8º grado) Resuelve problemas con seguridad, utilizando operaciones combinadas de números reales y signos de agrupación.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:

1) Desconoce las leyes de los signos

2) Desconoce las reglas para eliminar signos de agrupación.

3) Aplica la ley de los signos para la multiplicación cuando suma.

4) Aplica incorrectamente las leyes de los signos aun cuando elimina correctamente los signos de agrupación.

5) Interpreta incorrectamente el problema. 6) Se enfoca solo en una parte del problema.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad 1. Iniciar la actividad reflexionando sobre la importante de aplicar correctamente las

operaciones matemáticas en situaciones de la vida diaria, como las medidas de la temperatura, las alturas tomando como punto de partida el nivel del mar, etc.

2. Reforzar los conocimientos previos que son necesarios en la solución de éste ítem, como los siguientes:

Ley de los signos para la suma y la resta: Se debe hacer énfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicación y división, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera.

Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos: Los números tienen el mismo signo: en este caso se suman los números y al resultado se le escribe el signo común.

Ejemplos:

5 + 27 = 32 (El signo más de los números 5 y 32 no se escribe)

- 8 – 35 = - 43

Los números tienen signos diferentes: en este caso se restan y el minuendo será la cantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocará el signo de esta cantidad.

Ejemplo:

5 – 27 = - 22, ya que 27 es el mayor valor absoluto y posee signo menos.

18 – 11 = 7, ya que 18 es el mayor valor absoluto y posee signo más.



Ley de los signos para la multiplicación y división Hacer énfasis en identificar la operación que se desea realizar, para no confundir la ley de los signos. La ley es la misma para la multiplicación y la división y nos dice que al multiplicar o dividir cantidades con signos iguales se obtiene una cantidad con valor positivo y al multiplicar o dividir cantidades con signos contrarios se obtiene una cantidad con signo negativo. Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos.

Jerarquía de las operaciones Cuando se presentan operaciones combinadas, primero se efectúan potencias, luego productos y/o divisiones, por último sumas y restas.

1. Completar la siguiente tabla:

2. Simplificar cada una de las expresiones siguientes:

a) 4 – 2- ( 8 – 12 )

b) ( -36) + ( +15) – ( -13 ) + ( +25 )

c) 3 - [ 2 – ( 4 – 5 – 8 ) – ( 2 + 3 – 9 )

d) (-5 + 4 – 10 + 25) – (4 – 15) + (8 – 15 -19)

e) 13 - [-8 – (- 4 +3 -8 + (15 – 20)- (13 – 40)

f) -20 – [ (13 + 12) + 15 – (1 – 8 – 9 + 3)

g) 19 – 3 - [6 – (5 – 3) – (2 + 1) + (5 – 3)

h) 15 - [- (3 + 4 – 7) + (2 – 20 + 18)] + (3 – 5 – 10 – 7)

3. Resolver los siguientes problemas:

a. Si la construcción de una pirámide duró 200 años y fue iniciada en el año 152 a.C. ¿en qué año finalizó su construcción?

b. A las 10 de la mañana el termómetro marcó 13 o C, a las 2 de la tarde la temperatura aumentó 10 o C y luego disminuyó continuamente hasta alcanzar una disminución total de 15 o C a las 8 de la noche. Expresar la temperatura en grados centígrados a las 8 de la noche.

c. Si se toma como origen para medir tiempo el 12 de julio de 1992 a las cero horas y se escoge como unidad de tiempo la hora, ¿cuál es la fecha y la hora que corresponden a los siguientes números enteros?

1) 25 2) -73 3) 105

a +5 -7 +31 -52 -17 +19 -41 +13 -5 -8

b -13 -12 -11 0 -10 -9 +20 +21 0 -23

a + b

a - b



d. Completar con números enteros el siguiente cuadrado mágico, si la suma de sus filas, columnas y diagonales es -10.

Actividad 2: Reduzco expresiones aritméticas con números reales

Descripción:

Reforzar las operaciones básicas con fracciones, luego proporcionar una serie de ejercicios de sumas y restas de fracciones de igual y distinto denominador.

a) Cuando multiplicamos fracciones se debe multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador. Hacer énfasis en que un número entero puede expresarse como una fracción, agregándole uno en el denominador.

Ejemplos:

218

)7)(3(

)4)(2(

47

32 ))((

72

730

76

15

76 4))((5

b) Cuando sumamos o restamos fracciones homogéneas se operan los numeradores

y al resultado obtenido se le coloca el mismo denominador. Ejemplo: Realizar la siguiente operación:

31

310

3541

35

34

31 3

c) Cuando sumamos o restamos fracciones heterogéneas (de distinto denominado) se

busca que el denominador sea el mismo para operarlas como fracciones homogéneas.

Ejemplo:

47

53

21 El denominador común debe ser 20 (mcm)

2013

2033

20351210

20

20202014

753

21

Multiplicamos cada fracción

por el mcm

5

-9

2

0

-3

-2

-4

-7

-10

35

34

31



Ejercicios: a) Identificar si cada fracción es homogénea o heterogénea y encontrar el resultado.

5. 45

41

41

6. 85

74

31

7. 35

34

31

b) Operar considerando la prioridad de las operaciones y las leyes de los signos.

1. 225

43

2. 52

31 35

3. 41

57

74

32

4. 41

75

47

32

c) Resolver los siguientes problemas:

a) José tiene $6 más que Juan, si Juan tiene $28 ¿Cuánto dinero tienen entre los dos?

b) Carmen tiene de lo que tiene Oscar. Si Oscar tiene $70. Entonces, ¿cuánto tiene

Carmen?

c) Por el costo total de las llamadas que realizo en cada mes, la empresa de telefonía me

hace un descuento de la cuarta parte de lo que consumo. Si en un mes gasté $18

¿Cuánto pagué en total?

Fuente de información: Dimensión. Matemática 7. Nelson Londoño, Hugo Guarín, Hernando Bedoya. Grupo Editorial Norma Educativa.

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 3

Bloque de contenido: Números y operaciones

Contenido: Regla de tres simple

Indicador de logro:

5.12 (7º grado) Resuelve y explica con interés ejercicios y problemas usando la regla de tres directa o inversa.


1. Muestra dificultad para entender el problema (lectura comprensiva).

2. No asocia el problema con proporcionalidad ni con la regla de tres directa.

5. 41

575

6. 413

7. 41

57

74

32

8. 41

74 13

4. 47

73

21

5. 47

53

21



3. Escribe diferentes unidades en la misma columna al plantear la regla de tres.

4. Resuelve la regla de tres directa como si se tratara de inversa.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad

1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo 2. Solicitar que elaboren la gráfica del volumen en función del tiempo, con los valores

presentados en la tabla que aparece en la guía. 3. Escribir las características de las gráficas de magnitudes que son directamente

proporcionales.

Reflexionar ante la situación: Un recipiente se está llenando con un líquido, de tal manera que cada segundo aumenta 3 litros. En la situación se pueden distinguir dos magnitudes (volumen y tiempo) y se quiere conocer la relación entre ellas. Observa la tabla:

¿Cómo podemos hacer para saber si las magnitudes guardan alguna relación? Completa la razón del volumen y el tiempo ( V/T)

Cuáles son los volúmenes que corresponden 10 y 15 segundos respectivamente. En general

Si la magnitud A toma valore x1, x2, x3, …y la magnitud B toma valores y1, y2,y3,… decimos entonces que A es directamente proporcional B si se cumple que:

= = = … = constante, es decir = y = k. x

Magnitudes inversamente proporcionales Completa la tabla de la velocidad que necesita un vehículo para que en determinado tiempo recorra cierta distancia. Magnitudes

Puedes observar que la constante se obtiene en este caso multiplicando k = v t

Tiempo (T) en segundos

1 2 3 4 … 10 15

Volumen (V) en litros

3 6 9 12 … ? ?

( V/T) 3/1 6/2 …

K 3 3 … ? ?

Velocidad (V) en km/h

100 50 25 10

Tiempo (t) en horas (h)

1 2 4 10

Distancia (d) d = v t

100 ? ? ?

3

2

2

2

1

1

x

y

x

y

x

yK

x

y



Ejercicio: Clasifica cada una de las siguientes proporcionalidades en directa o inversa. a) El precio de un artículo y el número de artículo b) El tiempo empleado y la distancia recorrida c) El volumen y la presión de un gas d) La base y la altura de un rectángulo (si el área es la misma)

Actividad 2: Cálculo en la solución de problema


Observa los siguientes ejemplos y escribe el resultado del cálculo.

Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa

La rueda de un automóvil recorre 15 m cada 10 vueltas, ¿cuántas vueltas dará al recorrer 75 m? Solución

Se puede observar que si la distancia aumenta el número de vuelta aumenta en la misma proporción, entonces la las magnitudes son directamente proporcionales

Entonces x = 15

)10)(75( =

R/ La rueda dará ____vueltas

En una fábrica 12 obreros hacen cierto trabajo en 15 horas. ¿Cuánto tiempo demoran 5 obreros en efectuar ese trabajo, en las mismas condiciones? Solución Si al disminuir el número de obreros, el tiempo aumenta en la misma proporción las magnitudes son inversamente proporcionales

Entonces x = = R/ los 5 obreros realizan la obra en ____ días

Nota: En la respuesta escribimos siempre la unidad de medida.

Resuelve los problemas siguientes:

a) Ana vio un rayo que quema un árbol a una distancia de 2,380 m y escucho el trueno pasado 7 segundos. ¿Cuántos metros recorre el sonido en 1 segundo?

b) Para un viaje en alta mar un barco con una tripulación de 8 personas dispone de alimentos para 15 días. ¿Para cuántos días alcanzará la ración de alimentos si en el barco viajarán 10 personas?

c) Si un grifo vierte 1.2 litros de agua por segundo y tarda 18 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo si vertiera 0.9 litros por segundo?

d) Un estanque de 2.5 m de profundidad contiene 85,000 litros de agua cuando está lleno. Si el nivel de agua baja 1.8 m, ¿qué cantidad de agua contiene?

Fuente de información a. http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres

b. http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/´Proporcionalidad

c. http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530

d. Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición.

Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008

Magnitudes

Distancia N de vueltas

15 10

75 x

Magnitudes

N de obreros Tiempo

12 15

5 x

5

)12)(15(

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres

http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/%C2%B4Proporcionalidad

http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530




Bloque de contenido: Geometría

Contenido: Conversión de ángulos de grados a radianes

Indicador de logro:

4.6 (1er. año de bachillerato) Muestra confianza al convertir ángulos expresados en grados a radianes y viceversa, utilizando los factores de conversión.


1. Le falta dominio de la regla de tres simple y su respectiva interiorización, la cual debe ser una pauta para aplicar los factores de conversión de forma significativa y no mecánica.

2. No tiene dominio de la equivalencia entre grados y radianes.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Recursos: Representaciones gráficas para visualizar las agujas del reloj.


A partir del siguiente problema se debe orientar a los estudiantes a que enumeren lo que necesitan y con lo que cuentan para resolver este tipo de problemas (asociación entre los 360o de una vuelta entera y las particiones que corresponde a cada hora, equivalencias entre grados y radianes, métodos de conversión de una a otra unidad, etc.), esto les permitirá integrar sus saberes, y no verlos de forma aislada, sin utilizar los recursos que ya poseen.

El reloj de la torre de la iglesia, marca la 1 de la tarde, formando un ángulo con las dos manecillas. ¿De cuántos grados es el ángulo que forman? Representa ese mismo ángulo en radianes.

Para resolver: a) Recuerda la equivalencia de 1 radián en grados, de la relación 360º entre 2

b) Realizar una tabla de los valores de y su equivalencia en grados; para hacer una comparación del sistema sexagesimal y el sistema circular.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:



Actividad 2: Realicemos conversiones


Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

a) Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

38180x

Despejamos x, también simplificamos.

9019

18038 x

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 0.6632 radianes

b) Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

x24

180

Despejamos x.

24180x

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 137.5099 o

Convertir de Grados a Radianes Convertir de Radianes a Grados

Fuente de información Mc graw Hill, México 1996 www. didactika.com www.descartes.com

Radianes Grados

0.79483 Rad

3.54209 Rad

1.1680 Rad

4.5836 Rad

2.22106 Rad

0.8670 Rad

1.8536 Rad

3.1558 Rad

6.5438 Rad

Grados Radianes

38 o

147 o 15’

250 o 30’ 45”

72 o

201 o 50’

322 o 14’ 10”

30 o

150 o 40’

189 o 30’ 58”





Contenido: Sector circular

Indicador de logro:

5.10 (8’ grado): Determina, explica y usa con seguridad la fórmula para el cálculo del área de un sector circular.


1. Desconoce la fórmula del área del círculo

2. Desconoce la fórmula para encontrar el sector circular

3. Dificultad al aplicar la fórmula del sector circular

4. No hay conocimiento de los elementos necesarios para encontrar el área de un sector circular.

Actividad 1. Reforcemos saberes previos

Recursos: Compás, regla, colores, tijeras, pegamento y círculos en papel bond.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad ¿Cómo encontrar el área de un círculo deduciendo la fórmula?

1. Presentar círculos en papel bond divididos inicialmente en cuatro partes iguales, trazando diámetros, pintar la mitad de un color y la otra mitad de otro color, recortar cada sector y colocar en forma invertida (ver figura). Realizar el mismo proceso con los otros círculos dividiéndolos en ocho, dieciséis y treinta y dos partes.

2. Apoyar la actividad con preguntas pertinentes al contenido como:

¿A qué figura geométrica se parece?

¿Qué relación puedes hacer de las dimensiones del rectángulo con las del círculo?

3. Recordar como se deduce la fórmula para encontrar el área de un círculo Construye un círculo de papel y piensa en la forma para encontrar el área.

Solicitar que observen como se transforma un círculo en la medida que se dividen sectores de 8, 16, 32 y 64.



Cuanto más se sectoriza el círculo, ¿a qué figura se parece? La figura compuesta por los sectores se aproxima a un rectángulo.

Relaciona con una línea las expresiones de la izquierda con las de la derecha y deduce la fórmula del área del círculo.

Largo del rectángulo Radio x radio x

Ancho del rectángulo Radio x 3.1416

Mitad de la circunferencia Diámetro x 3.1416 ÷ 2

Diámetro x 3.1416 ÷ 2 Radio de la circunferencia

Área de la circunferencia Mitad de la circunferencia

El ancho del rectángulo coincide con el radio del círculo. El largo del rectángulo coincide con la mitad de la longitud de la circunferencia

A = r2

Para encontrar el área de un sector circular, tienes que conocer la longitud del radio y el ángulo central en grados. Con estos datos utiliza la fórmula:

Donde es el ángulo interno del sector, medido en grados.



Actividad 2: Resolvamos ejercicios y problemas aplicando la fórmula


Aplica la fórmula para encontrar el área de círculos y sectores circulares. 1- Encuentra el radio y el área de los círculos cuyas circunferencias tienen las

siguientes medidas:

a) 62.8 cm b) 12.65 cm c) 47.1

2- Observa las figuras y calcula el área de las partes sombreadas

3- Encuentra el área de los siguientes sectores.

4- Encuentra el área de un semicírculo cuyo radio mide 4cm. 5- Encuentra el área de un sector circular con ángulo central de 60º y radio de 5cm

Fuente de información: Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición. Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 6, 7 y 8


Contenido conceptual: Triángulos. Clasificación y teoremas

Indicadores de logros:

3.1 (8º grado) Construye con precisión y aseo triángulos; los clasifica, describe y explica según sus lados y ángulos.

3.3 (8º grado) Resuelve con precisión problemas aplicando el teorema; “la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360 o”


1. Desconoce la clasificación de los triángulos en relación a sus ángulos. 2. No examina cuidadosamente todos los ángulos. 3. Desconoce las características claves para identificar cuando un triángulo es

acutángulo o rectángulo.

b)



4. No encuentra coherencia entre la representación del triángulo y los datos que éste contiene.

5. No tiene dominio de las características de un triángulo isósceles.

6. Desconoce los teoremas de los triángulos.

7. Confunde los distintos teoremas.

8. Tiene dificultad para plantear y resolver una ecuación lineal.

9. Muestra dificultad en la comprensión del problema (lectura comprensiva).

Actividad 1: Clasificando triángulos


Presentar el siguiente esquema, y que se discuta la información que contiene.

En la clasificación “por sus ángulos”, que compartan las razones por las que consideran que el triángulo acutángulo es presentado de esa manera y que a partir de ello, dibujen el triángulo obtusángulo, y discutan los resultados.

Discutir de forma semejante la parte izquierda del esquema.

Clasificando los triángulos

Actividad 2: Apliquemos la clasificación


1. En parejas o tríos, que discutan, complementen, definan o justifiquen y se pongan de acuerdo sobre los siguientes las siguientes tareas.

a) Define qué es un triángulo isósceles.

b) ¿Cuándo un triángulo es obtusángulo?

c) ¿Cuántos ángulos rectos puede tener un triángulo? Escribe las razones de tu respuesta.

d) ¿Cuántos grados suman los tres ángulos interiores de un triángulo? Ejemplifica tu respuesta.



e) Con la ayuda de un reloj de agujas, representa los diferentes ángulos que conoces;

utilizando dibujos para cada ángulo, marcando la hora del reloj que forme dicho

ángulo.

f) Si el reloj marca las 12:00 hrs, ¿cómo se llama el ángulo que forman las agujas?

g) Si las 3 manecillas del reloj, se encuentran en diferente posición. ¿Qué nombre

reciben los ángulos que forman?

h) En tu reloj marca las 3 de la tarde. ¿Qué ángulo forman las manecillas en esa hora?

¿Qué nombre recibe ese ángulo?

2. Escribir la clasificación del triángulo de acuerdo a lo que se solicita.

Actividad 3: Apliquemos teoremas


1. Resolver ecuaciones lineales, considerando los errores más comunes en los y las estudiantes.

d) 7x + 13 – 9x = 8x – 3x – 8

e) 11x + 5x – 1 = 65x – 36

f) 2y – 99 – 5y + 9y = 128 – 5y – 7

2. Orientar la resolución de los ejercicios pero dejar que sean los estudiantes quienes resuelvan.

a) Pedir a los y las estudiantes que investiguen los distintos teoremas con que cumplen los triángulos y las definiciones de ángulos complementarios y suplementarios.

b) Además se recomienda efectuar en clase lectura y planteamiento de diversos problemas (lógicos, algebraicos, aritméticos, etc.), para mejorar en la lectura comprensiva.

Según sus lados Según sus ángulos

d) x + 3(x-2) = 2x – 4

e) 36 – 9

4x = 8



3. Hallar el valor de los ángulos aplicando los diferentes teoremas. C 65o 30o A 50o 35o B y x 40o R Z 30o 58o P 60o Q q’ X 65o y x’ Y C T 5x t

3x 4x R r s S

A B 140o 70o

Actividad 4: Resolvamos problemas


Resolver los siguientes problemas:

1. Si uno de los ángulos de un triángulo es el doble del ángulo más pequeño y el tercer ángulo es tres veces el ángulo más pequeño. Encontrar la medida de cada ángulo interior y su correspondiente ángulo exterior.

2. Un ángulo externo a la base de un triángulo isósceles mide 155o. ¿Cuánto mide el ángulo vértice?

3. En un triángulo ABC, <A = 5x, <B = 7x y <C = 36o. Encontrar las medidas de <A y <B.

4. Dos ángulos están en relación 3:2. Si se les presenta por 3x y 2x, hallar el valor de los ángulos si:

a) Los ángulos son adyacentes y forman un ángulo de 60o

b) Los ángulos son complementarios



c) Los ángulos son suplementarios

d) Los ángulos pertenecen a un triángulo cuyo tercer ángulo es la suma de los dos ángulos dados.

5. Encontrar la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son:

a) 67 y 47

b) 22 y 135

c) a y 2a

Fuente de información: Matemática 3 Geometria y Trigonometria Ortiz Campos. Publicaciones Culturales

Algebra. Luis María Ormaechea UCA Editores 1989. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 9


Contenido: Teorema de Pitágoras

Indicador de logro:

3.25 (8º grado) Resuelve problemas aplicando el Teorema de Pitágoras, en cooperación con sus compañeros.

Causas posible por las que el estudiante no contestó bien el ítem

1. No identifica el triángulo rectángulo.

2. No asocia el problema con el Teorema de Pitágoras.

3. Aplica incorrectamente el Teorema de Pitágoras.

4. Dificultad para encontrar el perímetro de la figura.

Actividad 1: Juguemos con Triángulos


En el cuadro siguiente se te presenta la clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Clasificación de los Triángulos

Según la medida de sus lados

Triángulo rectángulo Uno de sus ángulos es recto

Triángulo acutángulo Todos sus ángulos son agudos

Triángulo obtusángulo

Uno de sus ángulos es obtuso



Según la medida de sus lados

Triángulo equilátero Todos sus lados son iguales

Triángulo isósceles Dos de sus lados son iguales

Triángulo escaleno No tiene lados de igual tamaño

Usando la clasificación anterior, marca con una “X” la columna de verdadero o falso de acuerdo a la proposición presentada. Justifica tu respuesta.

Proposición V F Justificación

Todo triángulo equilátero es isósceles

Algunos triángulos equiláteros son obtusángulos

Algunos triángulos rectángulos son isósceles

Todo triángulo isósceles es acutángulo

Algunos triángulos rectángulos son escálenos

Todo triángulo obtusángulo es escaleno

Actividad 2: Construyamos el cuadrado de la hipotenusa


Formar equipos de trabajo y entregar a cada uno, la copia de una de las siguientes figuras para que los estudiantes las recorten y comprueben el Teorema de Pitágoras.



Actividad 3: Apliquemos el Teorema de Pitágoras


Encuentra el valor de la incógnita aplicando el Teorema de Pitágoras.

a) b)

Actividad 4: Encontremos el perímetro

Esta actividad se sugiere para aquellos casos en que los estudiantes aplican el Teorema de Pitágoras pero no recuerdan como encontrar el perímetro de la figura.

Ejercicio: Un topógrafo mide un terreno con forma de triángulo rectángulo. Los dos lados que forman el ángulo recto miden 21m y 28m respectivamente. ¿Cuántos metros mide el perímetro del terreno?

Fuente de información www.roble.pntic.mec.es/jarran2/.../teoremapitagoras.htm

s

13

8

15

12

p




Bloque de contenidos: Números y Operaciones

Contenido: Fracciones complejas

Indicador de logro: 3.7 (7º grado): Resuelve con seguridad

problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números fraccionarios.

Causas posibles por que los estudiantes no contestaron bien el ítem.

1. Dificultad en la interpretación del problema.

2. Dificultad para establecer el orden de prioridad en el problema.

3. No recuerda el algoritmo de las operaciones con números fraccionarios.

4. Dificultad para convertir números mixtos a fracción impropia.



1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo

2. Entregar información sobre la clasificación de los números fraccionarios.

3. Pedir que elaboren un mapa conceptual de acuerdo a la clasificación de los números fraccionarios

4. Solicitar que realicen una descripción de los procesos que se realizan para convertir fracciones mixtas a fracciones impropias, sumar fracciones con igual y distinto denominador y aplicar dichos procedimientos en la solución de la actividad 1.

Se presenta la siguiente situación Carmen preparó jugo de naranja y midió la cantidad

¿Cuántos litros de jugo hay en el recipiente de la derecha? R ¾ l

¿Cómo podemos representar la cantidad total de jugo

R: Hay 2 l y ¾ de jugo la cantidad total se escribe 4

32 l y se lee “dos tres cuartos de

litro”. Se llama fracción impropia si el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo:

3

7

3

1 2

1 l 1 l 1 l



Actividad 2: Juguemos con fracciones


Completa los espacio que faltan, observa que en los extremos de la figura están escritos los recíprocos de los números naturales. En los otros espacios se coloca la suma de las dos fracciones sobre las que se apoya.

Ver ejemplo.

Une la figura que contiene la operación indicada con la del resultado.

3

1

4

3

8

2

6

11

4

21

2

12

2

1 .

5

3

4

1

3

2

3

2

6

52

40

11

5

1

2

1 2

1

2

1 2

1

1

1

3

1 6

1 3

1

4

1 4

1

? 3

1

Para escribir el número que corresponde, buscamos la

fracción que al sumarla con 3

1 el resultado es 2

1

La fracción que hace falta en este caso es 6

1

6

1+

3

1=

2

1

5

1

6

1

6

1

1

1

3

1



Observa la figura y calcula el área que se te indica

Área de una pierna =________________ Área del tronco = ______________

Área de las dos piernas = Área de un brazo =

Compruebe los resultados de las operaciones siguientes

a) R/ 15

812 b) R/

16

3

Resuelve

a) En una caja hay 90 tornillos,15

5 del total son grandes,

3

1 del total son medianos y

18

6 del total son pequeños. ¿Cuántos tornillos hay de cada clase?

b) En una clase de 40 alumnos, 5

2 son de la zona oriental

4

1 de la zona occidental y el

resto de la zona central. ¿Cuántos alumnos hay de cada región Fuente de información: http://www.vitutor.net/2/3/4.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

Matemática 5, Colección Cipotas y Cipotes; MINED, 2007, Pág. 66 - 81

2

1 x

8

3

4

7

5

3

4

3

3

12

4

1

3

1

2

1

http://www.vitutor.net/2/3/4.html




Bloque de contenido: Geometría y medidas

Contenido: Semejanza de triángulos

Indicador de logro: 3.19 (8° grado) Determina, explica y aplica

con seguridad la semejanza de triángulos, mostrando confianza.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Tiene problemas para despejar la variable en una ecuación fraccionaria

(proporción).

2. Plantea la proporcionalidad sin considerar que el producto de los extremos (o de

los medios) debe incluir la sombra de uno de los objetos y la altura del otro.

3. Desconocimiento de la relación entre los ángulos que se forman al cortar dos

paralelas.

4. No lo relaciona con semejanza de triángulos por tratarse de figuras separadas.



Es importante asegurar que los estudiantes tengan dominio de los saberes previos, por las siguientes causas:

a) El dominio de ángulos entre paralelas es la base para establecer la semejanza.

b) Para resolver el problema deben encontrar el valor de x en una igualdad, ya sea que se encuentre como numerador o denominador y en cualquiera de los lados de la igualdad.

c) La congruencia tiene como base el planteamiento de proporciones. El dominio de estos saberes puede observarse en ejemplos como los siguientes:

Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:500,000; es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real.

La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción,



ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.

Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).

Actividad 2: Encontremos congruencias en un triángulo trazando paralelas Recursos: Cartulina y estuche de geometría para trazar triángulos.


Es más fácil que los estudiantes observen la congruencia de los ángulos cuando se traza una paralela a cualquiera de los lados ya sea adentro o afuera del triángulo.

Debe aprovecharse este momento para insistir en los casos de semejanza y que compruebe la congruencia de los ángulos (de ser necesario recortándolos). Ejemplos:

Actividad 3: Encontremos congruencias comparando dos triángulos


Es difícil para los estudiantes ver la proporcionalidad cuando los triángulos están separados (como en el ítem) o unidos solo por un vértice.

b) Hallar la longitud de x si las rectas a, b y c son paralelas.

a) Hallar las medidas de los segmentos a y b.



Estos ejercicios deben razonarse, ayuda mucho calcar los triángulos y colocarlos de la forma que ellos mejor comprenden.

Ejemplos:

a) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

b) ¿Son semejantes los siguientes triángulos?

Fuente de información: es.wikipedia.org/wiki/Triángulos_semejantes

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 12 y 13

Bloque de contenido: Estadística

Contenido: Presentación y organización de datos

Indicador de logro:

2.26 (1er. año): Resuelve problemas interpretando la información extraída y presentada, mostrando interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas estadísticos distintos a los propios.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem

1. Interpretan erróneamente los datos al no tomar en cuenta que los ingresos

inician en -1. 2. Interpretan incorrectamente los datos proporcionados al no relacionar el grafico

y el titulo del grafico. 3. Tiene dificultad al aplicar la regla de tres.

A

A B

B





Recordar la proporcionalidad directa e inversa y presentar ejercicios donde se practique las proporciones y la regla de tres. En el planteamiento de la regla de tres asegura que los datos que tienen las mismas unidades estén en la misma columna.

¿Cómo encuentras el porcentaje de una cantidad y cómo encuentras la cantidad que corresponde a un porcentaje?

Ejemplos:

1. Si de 100 estudiantes el 40% son niños y el 60% son niñas. ¿Cuántas son niñas y cuántos son niños?

Esto significa que habría 40 niños y 60 niñas.

2. En la votación para elegir al delegado de la clase, Carlos ha obtenido el 32% de los votos, Carmen el 46% y Ana el 22%.

¿Cuántos votos han obtenido cada uno, si el total del alumnado es de 200?

Recuerda, que para calcular el tanto por ciento de una determinada cantidad multiplicamos dicha cantidad por la fracción que representa el tanto por ciento.

Ejemplo:

En un partido de baloncesto el porcentaje de acierto en canastas de dos puntos de mi equipo ha sido del 40%. Si hemos lanzado canastas de dos puntos en 30 ocasiones, ¿cuántas canastas hemos hecho? ¿Y cuántas veces hemos fallado?

Para saber las canastas de dos puntos que hemos acertado, tenemos que hallar el 40% de 30, el cual se obtiene de la siguiente manera:

1230

100120

100

4030

10040

Para calcular las que hemos fallado, lo podemos hacer de dos maneras:

1) La forma más sencilla y rápida es restar del total de lanzamientos las que sí hemos acertado:

30 – 12 = 18 fallos

Cuando la proporcionalidad es directa se multiplica en diagonal



2) También podemos calcular el porcentaje de fallos y hallar lo que supone sobre el total de lanzamientos:

Si el 40% son aciertos → el 100% - 40% = 60% será de fallos.

El 60% de 30 es: 18 R: 18 fallos

Actividad 2: Leamos e interpretemos gráficos


El docente encargado de la clase proporcionará una serie de gráficos de los cuales pedirá a los estudiantes dar cualquier interpretación con respecto a una barra o cualquier otro elemento de un gráfico.

Se debe recalcar que todo gráfico debe contener los siguientes aspectos:

Título

Leyendas en los ejes

Nombrar las clases o los datos representados en el gráfico.

Observa el siguiente gráfico y responde las preguntas

Observa el gráfico circular

a) ¿Cuánto incremento el ingreso entre

el 2001 y el 2002?

b) ¿Cuánto es la diferencia entre los

ingresos de 1999 y el 2003?

c) ¿Cuánto incrementaron los ingresos

de 1999 y al 2002?

d) ¿Entre qué años los ingresos

disminuyeron $ 40 millones?



Para los sectores del gráfico anterior, menciona dos comparaciones que consideres relevantes. Calcula:

a) El total de personas que deciden ir al parque

b) Las personas que deciden ver la televisión

c) El total de personas que se quedan a dormir y los que hacen deporte.

Observa el gráfico

Contesta: a) ¿Cuál es el ganado que se encuentra en menor cantidad, en la región?

b) ¿Qué ganado es un poco más del doble del ganado ovino?

c) Si el total de ganado de dicha región fuera de 250,600 cabezas ¿Cuántas cabezas serían del ganado porcino?

Fuentes de información: http://www.cdc-cap.org/ http://www.bves.com.sv/estados/index.php http://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532 http://www.bcr.gob.sv

http://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532





Contenidos: Medidas de tendencia central y coeficiente de variabilidad

Indicadores de logro:

8.20 (8° grado) Resuelve cooperando con sus compañeros problemas aplicando la media aritmética.

5.5 (1er año) Resuelve problemas, con perseverancia y autonomía, aplicando la media aritmética ponderada.

8.12 (1er año) Resuelve problemas con orden, aplicando el coeficiente de variabilidad a situaciones reales.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems: 1. Comprende la media aritmética en una serie simple pero no en una ponderada. 2. No establece diferencia entre los datos y su frecuencia. 3. No interpreta el valor resumen, como aquel que sustituido por cada uno de los datos produce una suma igual que cada uno de los datos originales 4. Desconocimiento del cálculo del coeficiente de variabilidad. 5. Interpretación errónea del coeficiente de variabilidad.

Actividad 1: Encontremos medidas de tendencia central


Debemos procurar un dominio manipulativo de la fórmula, pero además realizar un análisis interpretativo de las variables que involucra dicha fórmula. Por ejemplo, al ver la

fórmula de la media aritmética simple n

xX

i y la fórmula de la media aritmética para

distribuciones de frecuencia y su interpretación como una media ponderada

ii

i

i

i

i

iiwx

f

fx

f

fxX

, observamos que la segunda no es más que la

multiplicación de cada variable por su peso relativo.

Las expresiones ixXn y iii fxfx dimensionalmente deben ser iguales, para

que esto se cumpla debe ocurrir que n , debe ser adimensional y X e ix deben tener

las mismas dimensiones (años, valor de una calificación, estatura, etc.). Además indica que el valor de la media multiplicado por la cantidad de datos

Por ejemplo: Si hay tres personas con edades de 7, 10 y 31 años, su edad promedio es 16 años. Dicho valor multiplicado por tres proporciona tantos años como la suma de las edades de cada una de las tres personas.

Aunque el concepto de la media es relativamente sencillo debe analizarse hasta donde sea posible en cuanto a las dimensiones o tipo de variable que involucra.



Ejemplo: En un taller de carpintería, se producen tres tipos de sillas a diferentes precios y en cantidades distintas. Determine el costo promedio de una silla vendida.

Ese costo promedio debe ser tal que si se multiplica por la cantidad de sillas, genera tanto dinero como el que genera cada grupo de sillas a su respectivo precio.

3150$)$(

2040$8020$5015$)$(

sillas las de totalprecio el Calculemos

total

total

Si se compran 150 sillas a $21 cada una, se obtienen $3150, que es la misma cantidad de dinero que se pagó comprando tres tipos de sillas a precios distintos.

Ejercicio: Se compran tres sillas de distinto tipo, los precios fueron $15, $20 y $40,

a) ¿Cuánto se pagó por las tres sillas?

b) ¿Cuál fue el valor promedio de las tres sillas?

c) Si se hubieran comprado tres sillas de un precio igual al del valor promedio, ¿cuánto se hubiera pagado por las tres?

d) ¿Qué conclusión obtienes?

Actividad 2: Practiquemos la obtención del coeficiente de variabilidad


Proporcionar situaciones del contexto donde aplique contenidos que ayuden a lograr el indicador propuesto. El coeficiente de variación, nos permite comparar la variabilidad entre dos distribuciones distintas, con el fin de determinar cuál de ellas tiene una menor o mayor variabilidad relativa. Representa la proporción geométrica entre la media aritmética y la desviación típica o estándar.

Donde s es la desviación típica o estándar y la media aritmética o promedio.

Entre mayor es el coeficiente de variabilidad, mayor será la variabilidad o dispersión de los datos.

1) Obtener el coeficiente de variabilidad en los casos siguientes

s

CV

1.15 24.8

0.45 6.15

3.15 75.15

4.48 204

Cantidad Precio ($)

50 15

80 20

20 40



2) Completar la siguiente tabla

s

CV

24.8 0.24

0.45 0.17

0.94 5.15

1.46 10.44

3) Resolver los siguientes problemas

a) En una fábrica de tela el promedio mensual de los salarios es de $225.95 con una desviación típica de $56.85. Si una fábrica de confección de ropa tiene el mismo promedio, pero su desviación típica es de $28.95. ¿En cuál fábrica es preferible trabajar?

b) A continuación se presentan los promedios de notas y desviaciones típicas de dos centros escolares. Centro Escolar “A”: promedio 7.3 y desviación típica 1.8 Centro Escolar “B”: promedio 8.1 y desviación típica 2.8 ¿En cuál de las dos instituciones la media aritmética es más representativa?

Fuente de información: Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, Raúl



Contenido: Medidas de posición

Indicador de logro:

6.6 (1er. año) Resuelve con seguridad problemas que requieran de cuartiles, deciles y percentiles

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:

1. Dificultad en la interpretación de las medidas.

2. Confusión entre las diferentes medidas.

3. Errores en procedimientos y cálculos.


Recursos: Texto de consulta.


En muchas ocasiones necesitamos conocer el valor del dato ubicado en una determinada posición en la serie ordenada de datos. En estos casos se realiza el cálculo de las medidas de posición: cuartiles, deciles y percentiles.

Los cuartiles son valores que dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Entre cada dos de ellos estará el 25% de los datos.



Los deciles son valores que dividen la serie en diez partes iguales. El porcentaje de datos entre ellos es del 10%.

Los percentiles son valores que dividen la serie en cien partes iguales. Cada uno separado del otro por un 1% de los datos. El cálculo de estos parámetros, tanto para variables discretas como para variables continuas, se hace de forma similar al cálculo de la mediana.

Ejercicio: Investiga 3 situaciones del contexto en que se apliquen estas medidas.

Actividad 2. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datos simples y ponderados.

Recursos: Texto de consulta.


Al resolver los ejercicios haga énfasis no solo en el cálculo, sino también en lo que cada resultado representa.

1) Las edades de veinte jóvenes son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y 15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias y calcula:

a) El cuartil 1 b) Los deciles 1 y 6 c) Los percentiles 35 y 80

2) El número de turistas que visitaron un parque de diversiones en distintas fechas es: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58.

Calcular: a) los cuartiles 2 y 3 b) los deciles 2 y 7 c) los percentiles 35, 60 y 95

3) La siguiente distribución, corresponde a las notas finales obtenidas por un curso de 30 personas en un curso de estadística:

x 1 2 3 4 5 6 7

f 3 6 7 7 5 0 4

Calcular: a) Los cuartiles 1, 2 y 3 b) ¿Qué calificación limita el 40% inferior?

Actividad 3. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datos agrupados.


Antes de iniciar con el cálculo, debe establecer la diferencia entre las series ponderadas y agrupadas.



Ejercicio: Con los datos de la siguiente tabla:

Puntaje de 50 alumnos en una prueba

Puntajes frecuencia

60 - 65 5

65 - 70 5

70 - 75 8

75 - 80 12

80 - 85 16

85 - 90 4

totales 50

Calcular:

a) Q1, D4, P65 y P80

b) El puntaje mínimo del 25% que obtuvo los mejores resultados.

c) El puntaje mínimo del 10% que obtuvo los mejores resultados y ganará una disminución de su cuota escolar.

d) El puntaje que debe superar el 20% que obtuvo las notas más bajas, para no asistir a un taller de refuerzo.

e) El puntaje que separa la serie en dos partes iguales (50% inferior y 50% superior).

Fuentes de información: www.sectormatemática.cl/educmedia. Htm

Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, Raúl


Bloque de contenido: Álgebra

Contenidos: Propiedades de los exponentes.

Indicador de logro:

7.12 (7° grado) Simplifica cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más propiedades de los exponentes.


1. Confunde la regla de la multiplicación de potencias de la misma base y la de la potencia de una potencia.

2. Confunde la regla de la división de potencias de la misma base y la de la raíz de una potencia.





Construir cuadrados 2, 3 y 4 centímetros de lado y luego dividirlos en centímetros cuadrados.

a) Preguntar a los estudiantes cuántos centímetros cuadrados tiene cada figura. Relaciona la cantidad de centímetros cuadrados con el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula del área.

b) Solicitar a los estudiantes que escriban el área de cada cuadrado como una potencia.

422 , 932 , 1642

c) Usar cubos para comprobar que en un cubo de 2 cm de arista hay ocho cubos de un 1cm3.

an = a×a×.×a.….×a (a se multiplica por sí mismo n veces)

d) Realizar ejercicios en los que se obtenga una potencia de base negativa.

Base Exponente Potencia

Negativa

Par Positiva

Impar Negativa

e) Repasar las reglas de los exponentes.

Regla 1: an · a

m = a

n+m Ejemplo:

Regla 2: (an)m = a

nm 84242 xxx

Regla 3: nnnbaab Ejemplo: 222

yxxy

Regla 4: nm

n

m

aa

a , a tiene que ser diferente de 0, Ejemplo 224

2

4

xxx

x

Regla 5: a 0 = 1; si a es diferente de 0. Ejemplo 120

Regla 6: a -n

na

1

, si a es diferente de 0. Ejemplo 9

1

3

13

2

2

V = (2)(2)(2) = 823

Ejemplos: (-3)4 = 81 (-5)

3 = -125



Actividad 2: Apliquemos las propiedades de las potencias


Esta actividad trata sobre la aplicación de las propiedades de las potencias y para ello se ha dividido en dos partes, la de desarrollo y la de simplificación.

1. Desarrollar cada una de las siguientes situaciones:

a) 32a b) 32ab c) 23 aa d) 26 aa

e) 33a f) 323b g) 2

5

a

a h) 0b

2. Simplificar las siguientes expresiones utilizando las diversas propiedades de los exponentes

a) 3

429

a

aa b)

3

02

2

23 c)

2

4

02

2

3

5

8

d) 1035

104

)2(3

2)3(

e

e)10

6

x

x f)

85

74

12

6yx

yx g) (6x

10) (3x

4)2 h)

4

12

106

104

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 19, 20, 21 y 22

Bloque de contenido: Algebra

Contenido: División y factorización de polinomios

Indicadores de logro: 4.13 (8º Grado) Resuelve problemas, con

perseverancia, aplicando la descomposición de expresiones algebraicas por diferencia de cuadrados.

2.29 (8º Grado) Resuelve problemas de aplicación usando la división de polinomios, en colaboración de sus compañeros.

4.9: (8º Grado) Resuelve con perseverancia problemas aplicando la descomposición de trinomios factorizables que no son trinomios cuadrados perfectos

4.5 (8º Grado) Explica y aplica con seguridad las reglas a un trinomio cualquiera, para determinar si es trinomio cuadrado perfecto.



(3x) (2x) = (3) (2) x1+1 = 6x2

2x

2x (2x + 3y + 6) = 4x2 + 6xy + 12x

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:

1. Confunde el algoritmo de la división con el de la multiplicación.

2. Desconoce el algoritmo de la división de polinomios.

3. Dificultad al aplicar la regla de diferencia de cuadrados.

4. Tiene problemas para identificar las dimensiones de un cuadrado o un rectángulo.

5. No identifica la diferencia de cuadrados y no puede factorarla.

6. No identifica cuando un trinomio es cuadrado perfecto.

7. Desconoce las reglas de un trinomio cuadrado perfecto.

8. Confunde las reglas de los diferentes trinomios factorizables.

Actividad 1 Reforcemos saberes previos


Para abordar la multiplicación de expresiones algebraicas se necesita un dominio en los aspectos siguientes: Ley de los signos Ley de los exponentes. Productos:

1) Monomio por monomio 2) Monomio por trinomio 3) Binomio por binomio 4) Trinomio por binomio

1) Monomio por monomio Encontremos el área del rectángulo siguiente:

Multipliquemos los monomios:

a) a3 x a5 d) (3a3)( 4a2) g) (a2b3)(ab)

b) b4 x b2 e) (5c2)(8c7) h) (4x5y3)(2x4y5)

c) -p7 x p3 f) (2x4)(-3x3) i) (-3m2n3)(8m4n4)

2) Monomio por trinomio Encontremos el área de los rectángulos siguientes:

2x 3y 6

2x

3x



(a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

3x + 2 3x + 2 9x2 + 6x + 6x + 4 9x2 + 12x + 4

Cuando multipliquemos un monomio por un polinomio usamos la propiedad distributiva. En la forma siguiente

3m ( 5m2 + 4m + 8 ) = 15m3 + 12m2 + 24m

Encontremos el resultado de los productos siguientes

a) 3a3 (2a + b - 4) c) 4m3 (3m2 - mn - 8)

b) 7x5 (6x2 –xy – 3) d) xy5 (6x5 –xy – 7)

3) Binomio por binomio

Para multiplicar dos polinomios también aplicamos la propiedad distributiva, pero facilitar podemos colocar los polinomios de la manera siguiente. Multiplicar (3x + 2) (3x + 2)

Encontremos el producto de los binomios siguientes

a) (m + n ) (m + n) d) (m + n ) (m - n)

b) (5p – 3) (5p – 3) e) (2x – 3) (2x + 3)

c) (2y + 3)2 f) (5x + 6) (5x - 6)



x + 3 x + 3 x2 + 3x 3x + 9 x2 + 6x + 9

4) Trinomio por binomio

Se efectúa en forma similar al binomio por binomio. Recuerda que debes colocar los términos semejantes en una sola columna, para sumar o restar con facilidad.

Como observarás, es más complicado multiplicar dos trimonomios, sin embargo, en el trascurso de la historia, los matemáticos han dedicado mucho tiempo para buscar la manera de resolver más fácilmente y con mayor rapidez un mismo problema, así después de efectuar muchos ejercicios similares llegaron a la conclusión que en algunas ocasiones no es necesario hacer la multiplicación sino solo aplicar una regla que permite encontrar el resultado rápidamente.

Las multiplicaciones que se pueden efectuar mediante el uso de reglas se llaman productos notables.

Actividad 2: Encontremos el cuadrado de un binomio


Recordemos que para calcular el área de un cuadrado multiplicamos lados por lado. Así para encontrar el área de un cuadrado cuyas medidas desconocemos, tendríamos:

x A = x. x x A = x2 Si a dicho cuadrado le aumentamos 3 unidades por lado, y deseamos calcular el área de la figura obtenida tendremos:

x 3 x 3 x x 3 3 Efectuando la multiplicación para obtener el resultado tenemos:

El área del cuadrado que mide (x + 3) de lado es x2 + 6x + 9



Se puede comprobar gráficamente que la respuesta obtenida es correcta. Obtenemos el siguiente cuadrado dividido en 4 regiones, obtenemos el área de cada una de ellas y luego sumamos para encontrar el área del cuadrado. x 3 x 3 3

3 x x + x + x + 3 3 x2 + 3x + 3x + 9 6x

Si analizamos nuestra respuesta observamos que al elevar al cuadrado un binomio (x + 3)2 obtuvimos un trinomio, x2 + 6x + 9, como resultado. El resultado de elevar un binomio al cuadrado es un trinomio al que llamaremos trinomio cuadrado perfecto. Veamos ahora la relación que existe entre los términos del binomio y los del trinomio

Aplica la regla para elevar al cuadrado los siguientes binomios,

a) (2x + 5)2 = c) (7m + 1)2 = e) (3p2 + 4)2 =

b) (4y + 2)2 = d) (2x + m2)2 = f) (2a3 + 4b4)2 =

El cuadrado del primero

más

el doble producto del primero por el segundo

más

el cuadrado del segundo

es igual

El primero más el segundo

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9



Ya conocemos la regla para elevar al cuadrado la suma de dos cantidades, apliquémosla para elevar el cuadrado la diferencia de dos cantidades.

a) (x + y)2 = d) (x - y)2 =

b) (a + 4)2 = e) (a - 4)2

c) (5m - 2)2 = f) (4a3 - 2b5)2 =

Actividad 3: Encontremos binomios conjugados


El producto de la suma y diferencia de dos términos, no constituye un binomio elevado al cuadrado debido a que los factores no son iguales, puesto que aparece un término común pero el otro difiere en el signo (término opuesto). Cuando dos binomios tienen esta característica se llaman binomios conjugados. Ejemplo:

a) (x + y) (x - y)

b) (2x +8 ) (2x - 8)

c) (3 – y) (3 + y)

Observemos el resultado que obtenemos al multiplicar estos binomios conjugados

x + y 2x + 8 3 – y

x - y 2x - 8 3 + y x2 + xy 4x2 + 32x 9 - 3y - xy - y2 - 32x - 64 + 3y - y2

x2 - y2 4x2 - 64 9 - y2

En todos los casos obtuvimos como respuesta un binomio con las características siguientes:

a) Es una diferencia. b) El primero de sus términos es el cuadrado del término común de los binomios

conjugados. c) El segundo de los términos, es el cuadrado de los términos que difieren en el

signo.

Para poder comprobar esta respuesta en forma geométrica. Observa los segmentos siguientes:

x y

Si los sumamos: x + y

Si los restamos: x - y



Formemos un rectángulo, con la suma como base y la resta como altura.

x - y

x + y

Si colocamos el segundo rectángulo, sobre el primero, tendríamos x - y y2 x - y x x2 x y A = (x + y) ( x – y) = x2 – y2 De lo anterior podemos concluir que si multiplicamos dos binomios conjugados obtenemos una diferencia de cuadrados. (x + y) ( x – y) = x2 – y2 Binomios Diferencia Conjugados de cuadrados (2x +8 ) (2x - 8) = 4x2 - 64

El área de este rectángulo es el producto de la base por la altura. A = (x + y) ( x – y)



Aplicando la regla para realizar la multiplicación de los binomios conjugado Ejemplos: Término común

a) (a – 3) (a + 3) = ( a)2 - (3)2 = a2 - 9 Términos opuestos

Término común

b) (-5 + y) (5 + y) = y2 - 25 Términos opuestos

Ejercicio: Escribe cada binomio su conjugado y escribe el producto.

a) ( y + 2) d) (-p + 6) g) (-2p2 + 8)

b) (3b + 5) e) (3a2 – 4) h) (-3f4 + 2p3)

c) (2m – n) f) (4a2 + 5b3)

Actividad 4: Dividamos polinomios


Para dividir un polinomio entre otro polinomio se realiza lo siguiente:

a) Tanto el dividendo como el divisor se escribe en orden descendente en función de una de las variables que aparece en ambos polinomios.

b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente.

c) Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenido se le resta del dividendo.

d) El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo y se repite con él los pasos b y c.

e) Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cero o menor que el divisor.

Ejemplo:

Dividir (x2 + 15 –8x) ÷ (3 – x)

Cuadrado del término común

Cuadrado del término que difiere en el signo

Cuadrado del término común

Cuadrado del término que difiere en el signo



Ordenamos en forma descendente, el dividendo y el divisor de acuerdo a los exponentes de la variable. Si el coeficiente de uno de los términos es cero, se deja el espacio.

(x2 – 8x + 15) ÷ (–x + 3) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.

x2 – 8x + 15 -x + 3 -x

Se multiplica el cociente por el divisor. El producto se resta del dividendo (cambiando los signos de cada uno de los términos).

x2 – 8x + 15 -x + 3 -x2 + 3x -x -x(-x +3) = x2 - 3x

Luego, se reducen términos semejantes para obtener el primer residuo.

x2 – 8x + 15 -x + 3 -x2 + 3x -x

- 5x + 15

Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cuyo mayor exponente sea menor que el mayor exponente del divisor.

x2 – 8x+15 -x + 3

-x2 + 3x -x + 5

- 5x + 15 5x - 15 R/ –x + 5

0

Ejercicio: Dividir los polinomios

a) (5x + x2 + 6) ÷ (2 + x) c) (w2 – 11wx – 102x2) ÷ ( w – 17x)

d) (m2 +2m + 1) entre ( m3 – 7) d) (-7x2 +12 –16x + 10x3) ÷(5x –6)

Actividad 5: Factoremos diferencias de cuadrados


Recordemos que al multiplicar binomios conjugados, obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados

(x + y) ( x – y) = x2 – y2

xx

x

2



Ejemplo: Factorar: 9x2 – 144

a) Calculamos la raíz cuadrada de cada término 9x2 – 144

b) Escribimos el resultado formando dos binomios, uno corresponde a la suma de las raíces y el otro, a la resta.

(3x + 12) (3x – 12)

El resultado de la factorización es: 9x2 – 144 = (3x + 12) (3x – 12)

Ejercicio: Factorar las expresiones siguientes:

a) 16 – x6 d) 4m8 – 121n4 g) 25x2 – (5 + x)2

b) b8 – 49 e) 25x2 – 36y2 h) (x – y)2– (x – 1)

c) 1 – a4 f) 4 – (x – 2)2 i) (a + 1)2 - 4

Actividad 6: Factoremos trinomios cuadrados perfectos


Hemos visto que el resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Podemos afirmar que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse en un producto de dos binomios iguales. Antes de averiguar como encontrar dicho binomio debemos identificar si es un trinomio cuadrado perfecto o no.

Para comprobar si el trinomio 36x2 + 100y2 - 120xy es cuadrado perfecto, se procede de la forma siguiente:

xx 39 2

12144 xx 39 2

12144

Trinomio cuadrado perfecto



a) Ordenamos el trinomio en forma decreciente respecto a una de las variables 36x2 + 100y2 - 120xy 36x2 - 120xy + 100y2 b) Extraemos la raíz cuadrada al primero y al tercero de sus términos 36x2 - 120xy + 100y2 6x 10y

c) Verificamos si el segundo término es el doble producto de las raíces obtenidas.

36x2 - 120xy + 100y2 2 (6x)(10y) = 120xy

Concluimos que el trinomio 36x2 - 120xy + 100y2 es cuadrado perfecto

Ejemplos:

Factorar:

a) 9 + x2 - 6x b) p2 + 4p + 16

Ordenamos los trinomios x2 - 6x + 9 p2 + 4p + 16

2(x)(3) = 6x (son iguales) 2 (p)(4) = 8p (no son iguales)

Es trinomio cuadrado perfecto No es trinomio cuadrado perfecto Cuando se comprueba que el trinomio es cuadrado perfecto, se forma un binomio con las raíces obtenidas y el signo del segundo término. El binomio se eleva al cuadrado. x2 - 6x + 9 = ( x - 3 ) 2

x 3



Ejercicios:

Identificar los trinomios que son cuadrados perfectos y factorarlos.

a) 15 + 5y – 10y2

b) 36x2 – 96x + 64

c) 2x4 + 8x2 -42

d) 25a 2 + 50ab +25b2

e) x4 – 2x2 + 1

f) 2b2 + 12b + 16

g) 16x2 – 24x -8

h) 5x2 + 25x + 20

Factorar los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

a) 64 + 25y2 – 80y

b) r2 + 2r +1

c) 4x2 + 12x + 9

d) m2 + 2mn + n2

e) 4x2 + 12xy + 9y2

f) 100 – 20x + x2

Actividad 7: Factoremos trinomios que no son cuadrados perfectos


En esta actividad vamos a factorar trinomios de la forma x2 + bx + c.

Ejemplo: x2 + 2x - 24

Observamos que el trinomio está ordenado y que el tercer término no tiene raíz cuadrada exacta. Por lo tanto, no es un trinomio cuadrado perfecto.

Estos trinomios se descomponen en dos factores que tienen en común la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

x2 + 2x – 24 = (x )(x )

El signo del segundo término del primer factor es el signo del segundo término del trinomio.

x2 + 2x – 24 = (x + )(x )

El signo del segundo término del segundo factor resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

x2 + 2x - 24 = (x + )(x - )

por

Cuando los signos de los factores son diferentes, se buscan dos números que restados resulten el coeficiente del segundo término del trinomio y multiplicados resulten el tercer término del trinomio.

6 – 4 = 2 (el coeficiente del segundo término es 2)

6 (- 4) = - 24 (el tercer término del trinomio es – 24)



Entonces: x2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4)

Ejercicios: Factorar los siguientes trinomios.

a) x2 + 12x + 36

b) 1 + 20n + 100n2

c) 25p2 + 90p + 81

d) 4 – 16x2 + 64x2

e) -14x + 49 + x2

f) y2 – 2y – 15

g) X4 + 5x2 + 4

h) m2 – 9m + 20

i) -2 + 3x + x2

Fuente de información: Álgebra y Trigonometria, Segunda Edición Revisada, Dennis G. Zil Jacqueline M. Dewar Editorial Mc Graw Hill.

Algebra, Segunda Edición, Max a. Sobe, Norbert Lerner Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.



Contenidos: Ecuaciones lineales

Indicador de logro:

9.6 (8ª grado) Resuelve problemas utilizando ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita, en colaboración de sus compañeros


1. Se equivoca en la reducción de términos semejantes aplicando inadecuadamente la ley de signos.

2. Efectúa mal la multiplicación de un monomio por un polinomio.

3. No interpreta adecuadamente los axiomas de la igualdad.

4. Desconoce el algoritmo de resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

5. Dificultad para traducir el problema a un leguaje matemático.

Actividad 1: Resolvamos problemas y ejercicios que involucran el planteamiento y solución de una ecuación


Para resolver problemas que involucran el planteamiento y solución de ecuaciones, se recomienda:

Presentar situaciones que motiven al estudiante a encontrar ciertos valores desconocidos que cumplan una condición determinada y plantear el algoritmo de solución de ecuaciones.



Ejemplos:

1) Hacer los siguientes cálculos:

a) ¿Qué número debe sumarse a 7 para que el resultado sea 20?

b) ¿Cuál es el número, si el triplo es 120?

c) ¿Cuál es el número cuyo quíntuplo disminuido en 10, es 100?

2) Expresar en leguaje matemático:

a) el número aumentado en tres (la edad dentro de tres años) x + 3

b) el número disminuido en siete ( la edad hace 7 años) x - 7

c) el triple del número (el triple de la edad) 3x

d) la mitad del número (la mitad de la edad) 2

x ó x

2

1

e) el cuadrado del número (cuadrado de la edad) 2x

f) la quinta parte del número disminuido en dos es 25

x

g) un quinto del número disminuido en dos es )2(5

1x

3) Efectuar operaciones aplicando los axiomas de igualdad para los números reales:

Dado 38x , multiplicar ambos miembros por tres

3833 x

83 x , sume x a cada miembro

83 xxx

4) Resolver ecuaciones aplicando los axiomas de igualdad:

12

32 x

x

12

32 x

x , multiplicando por 2 cada uno de los términos

)1(22)32(22 xx ,

264 xx , restando x a cada miembro

664 xxxx , reduciendo términos semejantes

263 x , sumando 6 a cada miembro

6263 x , reduciendo términos semejantes

, reste 6 a cada miembro

, divida entre 2 cada término de la ecuación



83 x , multiplicando ambos miembros por un tercio

),8(3

1)3(

3

1x

Luego:

Al aplicar los axiomas en ambos miembros de la igualdad y despejar la variable, se puede inducir al estudiante a que realice procesos de transposición de términos de un miembro a otro de la igualdad.

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 173 xx

b) 2134 xxx

c) 371532 xxx

d) 1433

72

2

75

x

xx



Analiza las condiciones de cada problema y observa la forma de resolver.

1) La edad actual de una madre es 5 veces la del hijo, dentro de 5 años será tres veces la del hijo. Hallar la edad actual del hijo.

Solución: ¿Qué busco? La edad actual del hijo.

Identifiquemos las variables

La edad actual del hijo es: x

La edad actual de la madre (5 veces la del hijo) es: 5x

Transcurridos 5 años

La edad del hijo será: x+5

La edad de la madre será: 5x+5

Tres veces la edad del hijo: 3(x+5)

Si la edad de la madre después de 5 años es 3 veces la edad del hijo, la condición de

igualdad es: 5x + 5 = 3(x + 5)

Otra forma de plantear el problema

Edades iniciales Edades después de 5 años Condición de igualdad

x, edad del hijo x + 5, edad del hijo

5x + 5 = 3(x + 5) 5x, edad de la madre 5x + 5, edad de la madre

3

8x



Resolvemos la ecuación:

5x + 5 = 3(x + 5)

5x + 5 = 3x + 15

5x - 3x = 15 – 5 Transponiendo los términos

2x = 10 Reduciendo términos semejantes

x = 5 Dividiendo entre 2

R: La edad actual del hijo es 5 años.

Los estudiantes pueden hacer otros planteamientos, partiendo de la edad de la madre o de la edad del hijo después de 5 años. En este caso estimular a los estudiantes que los presenten y recordarles que hay diferentes formas de resolver los problemas. Pero siempre hay que tener claro cuál es la variable de interés, los cambios que experimenta y la condición de igualdad que se plantea.

2) Separar 132 en dos partes tales que 5/7 de una de ellas, y los 3/5 de la otra sumen 88.

Solución: ¿Qué busco? Dos números que sumen 132. Uno de los números es “x” y el otro “132 – x”.

Planteamiento del problema

Números Partes de los números Condición de igualdad

Sea x uno de los números

x75

, los 75

del primer número

88)132(5

3

7

5 xx , la

suma de las dos partes

132 - x, el otro número (al sumarlo con x obtenemos 132)

x13253

, los 53

del segundo número

)132(

5

3

7

5xx , la suma de las partes

Al resolver 88)132(5

3

7

5 xx , resulta x = 77 que representa una de las partes y 132 - x = 55,

la otra de las partes.

R: 77 y 55 son las partes en que se divide 132

Aplicando las condiciones del problema a las dos partes de 132, verificamos los resultados:

5/7 de 77 es 551

)11)(5(

)1)(7(

)77)(5(

177

75 55 + 33 = 88

3/5 de 55 es 331

)3)(11(

)5)(1(

)3)(55(

53

155



3) Un grupo de excursionistas recorren en igual tiempo 160 km en una carretera pavimentada y 120 km en una carretera de tierra. Hallar la velocidad en cada carretera, sabiendo que la velocidad en la pavimentada es 15 km mayor que la de tierra.

¿Qué busco? Las velocidades en carretera de tierra y en pavimentada.

Sea y, velocidad en carretera de tierra

Sea y + 15, velocidad en carretera pavimentada.

¿Condición de igualdad?

Los tiempos en ambas carreteras se encuentran a partir de la fórmula d=vt, luego t=d/v, el tiempo en carretera de tierra es igual al tiempo en carretera pavimentada.

Si t1 = y t2 = son iguales, tenemos: yy

120

15

160

Resolviendo:

yy

120

15

160

160y = 120(y + 15)

160y = 120y+1800

40y = 1800

y = 45

y+15 = 45+15 = 60

R: La velocidad en carretera de tierra es 45 km/h y en pavimentada, 60 km/h

Ejercicios:

Resolver los problemas

a) Las entradas a un cine valen $2 para niños y $5 para adultos. Sabiendo que asistieron 280 personas y que se recaudaron $800, ¿cuántos niños asistieron a la función?

b) Hallar tres números enteros consecutivos que sumados dan 60.

Fuente de Información: Álgebra y Trigonometria, Segunda Edición Revisada, Dennis G. Zil Jacqueline M. Dewar Editorial Mc Graw Hill.

Álgebra, Segunda Edición, Max a. Sobe, Norbert Lerner Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.

Álgebra. Aurelio Baldor.

15160y

y120





Contenido: Sistema de ecuaciones lineales.

Indicador de logro:

2.18 (9º grado): Resuelve con seguridad un sistema de ecuaciones lineales aplicando cualquiera de los métodos (sustitución, igualación, reducción).


1. Dificultad al aplicar los métodos de resolución de un sistema de ecuaciones.

2. Errores en los procedimientos al aplicar el método y despejar la incógnita.

3. Dificultad para plantear las ecuaciones por falta de comprensión del enunciado.


Recursos: Texto para consulta.


Practiquemos la lectura e interpretemos problemas, realizando cuestionamientos, discusión y planteamientos de ecuaciones.

Antes de resolver las actividades, se sugiere recordar los métodos de resolución de un sistema de ecuaciones: reducción, igualación, sustitución, determinantes, método gráfico.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Determina dos líneas rectas en el plano xy. Hay tres casos posibles para las gráficas de las ecuaciones en el sistema:

a)

b)

c)

x

Las rectas se intersecan en un solo punto por ser ecuaciones independientes. La solución del sistema es el par ordenado de números reales correspondiente al punto de intersección de las rectas.

y

Las ecuaciones describen la misma recta por ser dependiente. Tienen infinitas soluciones porque todos los puntos son comunes.

x

y

No hay solución para el sistema porque no tienen un punto en común. Las dos rectas son paralelas. x

y



Ejercicios: 1) Encontrar el valor de las incógnitas que satisfacen el sistema de ecuaciones.

Utiliza el método que prefieras.

a) 7x – 4y = 0

4x – 2y = 16

b) 2x + 7y = 57

6x + 5y = 24

c) 7x + 2y = -1

x – y = 14

d) x = -5y + 14 x + y = -2

e) 45

2 yx

x = 5y

f) x + 2y = 5 x = -3y - 24

2) Encontrar las soluciones del sistema y clasificar las ecuaciones como dependientes o

independientes.

a) 2x – 3y = 12 b) 3x – 4y = 8

x + 4y = -5 2x + 9y = 3 c) 2x + y – 13 = 0 d) 3x – y = 2

x – 11y = 0 x + y = 6

Actividad 2: Resolvamos los problemas



Resolvamos los problemas planteando un sistema de ecuaciones.

1) Carlos vendió dos automóviles recibiendo un total de $13,000. Si recibió $1400 por uno más que por el otro, ¿cuál fue el precio de venta de cada uno?

2) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 12 y cuando se invierten las cifras, el valor del número crece en 54. Encontrar el número.

3) La fortuna de María se estima en $5,000 más que el triple de la fortuna de su marido. El valor combinado de sus bienes asciende a $185,000. Encontrar el valor de cada fortuna.

4) La asistencia a un juego de fútbol profesional fue de 45,000 personas y el dinero recaudado en la entrada fue $495,000. Si cada persona compró un boleto de $10 o un boleto de $15, ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

Fuente de información: Algebra y Trigonometría Segunda Edición revisada Dennis g. Zill, Jacqueline m. Dewar Editorial MC Graw Hill





Contenido conceptual: Ecuaciones cuadrática

Indicadores de logro: 5.8 (9°grado) Calcula las soluciones para

ecuaciones cuadráticas, aplicando la fórmula general con orden y seguridad.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. No recuerda que debe igualar a cero la ecuación.

2. No ordena correctamente los términos de la ecuación.

3. Considera siempre positivo el signo de los coeficientes al sustituirlos en la

fórmula.

4. No tienen dominio de la ley de los signos para el producto.

5. No tienen dominio de la ley de los signos al reducir términos.



1) Cuando los estudiantes presentan problemas en el desarrollo de un contenido con mucha frecuencia se debe a que no tienen dominio de los saberes previos. Este ítem, se espera que lo resuelvan utilizando la fórmula general pero muchos recurrirán a la factorización o a sustituir los valores de la variable en la igualdad; por eso, es importante saber como llegaron a la respuesta y orientarlos a partir de sus errores.

2) Uno de los errores frecuentes al momento de utilizar la fórmula general es la asignación de valores a las variables a, b y c por las siguientes causas:

a) Olvidan ordenar el trinomio. Ejemplo: Si el trinomio es 3x – 2x2 + 9 = 0 utilizan a= 3, b= -2 y c= 9

b) Al ordenarlo le cambian el signo al término sin que este cambie de lado de la igualdad. Ejemplo: Al ordenar el trinomio anterior, escriben 2x2 - 3x + 9 = 0 cambiando el signo a los dos primeros términos.

c) Consideran siempre positivo el coeficiente. Ejemplo: Si el trinomio ya ordenado es – 2x2 + 3x + 9 = 0 utilizan a=2, b=3 y c=9

Se debe hacer igual énfasis en todas las causas.

Ejercicio:

Ordena los trinomios en función de la variable x (si lo considera necesario agregue

el signo = en algún lugar del trinomio):

a) 5x - 8 + 3x2

b) 10 – 2x2 - 5x

c) 4xy + 3y2 - 2x2

d) 15a2 + 3x2 -18ax

3) Aunque el ítem no incluye productos indicados, es posible que presenten problemas al hacer los productos sobre todo si los antecede un signo negativo.



Ejercicio:

Simplifica e iguala a cero, las expresiones:

a) 3(3x -2) = (x + 4)(4 – x)

b) (x – 5)2 – (x – 6)2 = (2x – 3)2 – 118

Actividad 2: Resolvamos ecuaciones


Esta actividad tiene como objetivo diferenciar la forma en que se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas (binomios) y las completas (trinomios). Indicando que en todos los casos pueden utilizar la fórmula general, aunque para los binomios existe una manera más fácil de resolver.

Resolver las ecuaciones:

1) 5x2 – 9 =16

2) (x + 5)(x – 5) = -7

3) x2 – 3x = 3x2 – 4x

4) 5x2 +4 = 2(x + 2)

5) x2 = -15x - 56

6) (x + 4)2 = 2x (5x - 1) – 7(x – 2)

Actividad 3: Utilicemos la fórmula general


La actividad tiene como finalidad que los estudiantes valoren la importancia del discriminante (b2 – 4ac) en la resolución de ecuaciones cuadráticas y lo encuentren antes de resolver. A continuación, se presenta un ejercicio de cada caso indicando en paréntesis el valor del discriminante.

Resolver

1) 9x2 – 12x = - 4 (El discrimínate es cero, esto indica que se trata de un trinomio cuadrado perfecto)

2) 2x2 + 35 = 17x (El discrimínate es mayor que cero, esto indica que el trinomio tiene dos raíces)

3) 3x2 = 5x - 6 (El discrimínate es negativo, esto indica que no hay solución en el conjunto de números reales)



Considerando que el enfoque de matemática es la resolución de problemas y que el currículo nacional es por competencias, debemos hacer énfasis en la aplicación de los contenidos en el contexto.



Resolver las siguientes situaciones, planteando ecuaciones cuadráticas:

1) Jorge tiene 2 hermanitos, la suma de sus edades es 9 y la suma de los cuadrados de sus edades es 53. Hallar las edades de los hermanitos de Jorge.

2) Un hombre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se comió 5 naranjas y vendiendo las restantes a 1 centavo más de lo que le costó cada una, recuperó lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró y a que precio?

3) Los gastos de una excursión son $90. Si desisten de ir 3 personas, cada una de las restantes tendría que pagar $1 más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una?

4) Encontrar los valores de x y escribir las dimensiones en metros de las siguientes figuras: a) b)

Fuente de información http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ecua2g.htm http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 27


Contenido conceptual: Desigualdades lineales y cuadráticas

Indicador de logro:

7.11 (primer año) Resuelve con seguridad, ejercicios y/ o problemas utilizando desigualdades cuadráticas con una variable.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem 1. Dificultad al factorar el polinomio. 2. Dificultad al igualar a cero los factores y despejar la variable. 3. No establece la diferencia entre los corchetes abiertos y los cerrados. 4. Dificultad al elaborar el cuadro de variación para los signos.

Actividad 1: Reforcemos conocimientos previos

Recursos: Hoja impresa con ejercicios.

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ecua2g.htm

http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado




1. Proponer diferentes casos de expresiones cuadráticas que se puedan factorar.

Veamos algunos ejemplos

a) aplicando factor común

b) aplicando diferencia de cuadrados

c) aplicando trinomio cuadrado perfecto

d) aplicando trinomios de la forma

e) aplicando trinomios de la forma

2. Factorar los siguientes polinomios.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

3. Proporcionar a los estudiantes una hoja de ejercicios en los que se apliquen los casos de factoreo a las expresiones cuadráticas.

Actividad 2: Construyamos cuadros de variación

Recursos: Cuadros de variación impresos.


1) Proponer las reglas para construir un cuadro de variación de signos.

a) Escribir un factor por fila en el cuadro de variación.

b) Escribir en la parte superior del cuadro, en orden ascendente, los valores que hacen cero cada factor.

c) Trazar un círculo hueco o relleno en el valor donde cada factor se hace cero.

d) Colocar en cada fila, signos positivos a la derecha del círculo y negativos a su izquierda.

e) Multiplicar en forma vertical los signos obtenidos y escribir el resultado en la tercera fila.

f) Determinar el o los intervalos que contienen a los valores que cumplen la desigualdad, positivo si el signo de la desigualdad es “>” o negativo, si es “<”.

g) Determinar si los corchetes del conjunto solución son abiertos (signos < y >) o cerrados (signos ).

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de x2 + 2x > 15

Realizamos la transposición de términos al miembro de la izquierda x2 + 2x – 15 > 0

Factoramos el trinomio x2 + 2x – 15 = (x + 5)(x – 3)



Completamos el cuadro de variación ubicando en la parte superior los valores que hacen cero a cada uno de los factores.

Como (x + 5)(x – 3) > 0 el conjunto solución es que son los intervalos donde el producto es positivo.

Si cambiamos el signo de la desigualdad (x + 5)(x – 3) < 0 el conjunto solución seria que es el intervalo donde el producto es negativo.

2) Proporcionar a los estudiantes una hoja impresa con ejercicios.

Ejemplo Factorar, completar el cuadro de variación y encontrar el conjunto solución de la desigualdad.

2x2 + 6x – 20 < 0

Fuente de información

Aguilera Liborio Raúl, Matemática primer año de bachillerato, Talleres gráficos UCA

Galo de Navarro Gloria, Matemática primer año de bachillerato, UCA editorial


Bloque de contenido: Números y Operaciones

Contenido: Operaciones con intervalos

Indicador de logro: 7.3 (1º año) Aplica la unión, intersección y

diferencia de intervalos, con interés, en la solución de ejercicios.


1. Realiza las operaciones entre los conjuntos en el orden incorrecto. 2. No relaciona los símbolos (U e ∩) con la operación que representan.





1. Representar intervalos claramente delimitados utilizando colores u otros elementos que permitan la discriminación visual con facilidad, para que reorganice los esquemas mentales sobre el gráfico de un intervalo. Esto le permita comprender las operaciones de unión e intersección.

2. Representar la unión e intersección de intervalos

Encontrar A U B Encontrar A ∩ B

Otra forma de representar la intersección de los intervalos

3. Solicitar a los estudiantes que representen gráficamente los intervalos. Recordarles que esos son el resultado de operar dos intervalos. Y que en algunos casos pueden existir muchos pares de intervalos que llevan a la misma respuesta, pero que solo deben determinar un par que cumplan la condición dada.

Escribe para cada ejercicio, dos intervalos que verifiquen las siguientes afirmaciones:

a) De su unión resulta

b) De su intersección resulta



c) Su unión es

d) Su intersección es

e) Si los intercepta da vacío (Ø) y su unión es .

Actividad 2. Ejercitemos lo aprendido


Los estudiantes deben plantear el ejercicio, decidir qué letra asignar a cada conjunto, y expresar la operación pero utilizando los nombres dados a los conjuntos, Luego debe pedírsele los resuelva. Recordarles que debe prestar atención a: el orden requerido de las operaciones, la importancia de realizar más de un gráfico para representar las operaciones, y realizar las operaciones presentadas en paréntesis, y éste resultado con el conjunto restante.

Fuente de información

Aguilera Liborio Raúl, Matemática primer año de bachillerato, Talleres gráficos UCA.

Galo de Navarro Gloria, Matemática primer año de bachillerato, UCA editorial.

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 29 Y 30

Bloque de contenido: Relaciones y funciones

Contenido conceptual: Producto Cartesiano

Indicador de logro: 4.2 (1er. año) Gráfica pares ordenados en

el plano cartesiano, con orden y aseo.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:

1. Confunde las coordenadas de un par ordenado. 2. Tiene dificultad al ubicar puntos que contienen una coordenada con valor cero.



En ésta actividad se propone situaciones del contexto donde se aplique contenidos que ayuden a lograr las competencias requeridas, para ello se realiza un refuerzo sobre contenidos como:



1. Representación de puntos sobre un eje.

Un eje es una línea recta, horizontal o vertical, sobre la que señalamos un punto de referencia, llamado origen, y sobre el que representamos los números enteros:

a) Si el eje es horizontal, hacia la derecha se representan los enteros positivos, y hacia la izquierda los enteros negativos.

b) Si el eje es vertical, hacia arriba se representan los enteros positivos, y hacia abajo los enteros negativos.

Por ejemplo, si representamos los puntos A(3), B(-2), C(5), D(-3), E(-1) y F(1), tendremos que contar desde el origen (cero) tantas unidades hacia la derecha (si el número es positivo) o hacia la izquierda (si el número es negativo) como indique el valor absoluto (sin considerar el signo) del número que queremos representar:

A= 3, B= -2,…

Actividad 2: Grafiquemos en el plano cartesiano


Iniciamos con la descripción del sistema de coordenadas cartesianas antes de la ubicación de puntos. Al eje horizontal se le llama eje de abscisas, y se le representa por la letra x. Al eje vertical se le llama eje de ordenadas, y se le representa por la letra y.

Si prolongamos los dos ejes, vemos que el plano queda dividido en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, que se numeran así:

Un punto P del plano quedará determinado por un par de números (x, y), que son las coordenadas cartesianas del punto P.

Veamos ahora con algunos ejemplos el primer cuadrante:

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas positivas (+, +). Por ejemplo, los puntos A(3,1), B(2,2) y C (4,3) pertenecen al I cuadrante.

Segundo cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son negativa la “x” y positiva la “y” (-,+). Por ejemplo, los puntos D (-3, 1), E (-2, 2) y F (-4, 3) pertenecen al II cuadrante:



Tercer cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas negativas (-, -). Por ejemplo, los puntos G (-3, -1), H (-2, -2) e I (-4, -3) pertenecen al III cuadrante:

Cuarto cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son la “x” positiva y la “y” negativa (+, -). Por ejemplo, los puntos J (3,-1), K (2, -2) y L (4, -3) pertenecen al IV cuadrante:

Sobre los ejes de coordenadas.

En este caso, de coordenadas de puntos que están sobre los ejes de coordenadas, pueden darse dos situaciones: que el punto esté sobre el eje x o que esté sobre el eje y.

Si está sobre el eje x, las coordenadas del punto serán (x, 0), siendo x positiva o negativa, según si está a la derecha o a la izquierda del origen. Por ejemplo, los puntos M(1, 0), N (-1, 0) y P (4, 0) están sobre el eje x:

Si el punto está sobre el eje y, las coordenadas del punto serán (0, y), siendo y positiva o negativa, según si está por encima o por debajo del origen. Por ejemplo, los puntos Q (0, -3), R (0, 1) y S (0, -1) están sobre el eje y:

Actividad 3: Nos divertimos uniendo y graficando puntos en el plano


Proporcionar un listado de pares ordenados, y pedirles a los estudiantes que los grafiquen en un mismo plano cartesiano y luego que unan los puntos por orden alfabético, con segmentos de rectas.



Ubicar los puntos en el plano y unirlos para obtener una figura.

A (0, 9), B (5, 2), C (0, 2), D (-8, 2), E (0, 8),

F (0, 0), G (8, 0), H (6, -3), I (-6, -3), J (-8, 0), K (0,0) Fuente de información

www.cescar,edu.do/Hojas%20Matemática02/01/2008

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 31, 32, 33 y 34


Contenidos: Funciones algebraicas, dominio y recorrido de una relación, función raíz cuadrada

Indicador de logro: 9.6 (1º año). Determina, grafica y explica

las funciones cuadráticas con precisión, orden y limpieza.

4.6 (1º año). Determina, con seguridad, dominio y recorrido de una relación.

9.10 (1º año). Determina, grafica y explica la función raíz cuadrada, con precisión, orden y limpieza.

Causas por las que los estudiantes no respondieron bien el ítem

1. Dificultad para determinar cuál variable se asocia al dominio y cuál al recorrido.

2. Dificultad al despejar una variable en una ecuación.

3. No determina dominio y/o rango sin graficar.

4. Poca práctica con este tipo de ejercicios.

5. Dificultad para especificar los elementos que conforman los conjuntos numéricos

(IN, Z, Q, Q ´, IR)

6. Desconocimiento de las propiedades de la función raíz cuadrada.



1. Realizar una breve exploración de saberes previos, para que a partir de estos se retroalimente. Presentar ejemplos y discutir los resultados justificando la respuesta.

Dominio y recorrido de una relación

Definición (Dominio y Recorrido de una relación) Sean A y B dos conjuntos y R una relación de A en B, llamaremos Dominio de R al conjunto formado por los elementos de A que cumplen la relación.

Simbólicamente:

Dom R = x A / y B; (x, y) R



Llamaremos Recorrido de R al conjunto formado por los elementos de B que cumplen con la relación.

Simbólicamente:

Rec R = y B/ x A; (x, y) R

Ejemplos:

a) Si R = {(2,2), (1,1), (1,2), (1,3)} entonces Dom (R) = {2,1} = {1,2} y Rec (R) = {1, 2,3}

b) La relación S= {(x, y) INxIN / x + 2y = 8} Por extensión es S={(2, 3), (4, 2), (6, 1) entonces Dom S = {2, 4, 6} y Rec S= {1, 2, 3}

c) Si la relación C={ (x, y ) IRxIR / x2 + y2 = 1} para hallar el dominio y el recorrido de la relación C, observamos que:

Dom C = x IR/ y IR, (x, y) C= x IR/ y IR, x2 + y2 = 1

x2 + y2 = 1 y2 = 1 x2 2x1y , como y IR, se debe cumplir que:

1 x2 0

x2 1, multiplicando por -1

x2 1

1x2 , como xx2 , se tiene entonces que

x 1 -1 x 1

Luego Dom C =-1, 1, de manera análoga, se obtiene que Rec C= -1, 1. A continuación se muestra el gráfico de la relación C.

d) En IR, se define la relación L={(x, y)/y = x + 2}

Dom L = x IR/ y IR, (x, y) L= x IR/ y IR, y = x + 2, como

y= x+ 2 es un número real para todo x IR, se obtiene que Dom L = IR

1

1

-1

-1

x

y

0

Fig 1. C: x2 + y2 =1



Rec L = y IR/ x IR, (x, y) L = y IR / x IR, y =x + 2

= y IR/ x IR, y –2 =x, como para todo y IR, x = y –2 IR, Rec L = IR La representación gráfica de la relación L se muestra a continuación

Actividad 2. Resolvamos ejercicios


Lee cuidadosamente y resuelve los ejercicios

1. Escriba el dominio y el recorrido de cada una de las relaciones, definidas en Z.

a) R={(5,2),(6,4),(8,6)} b) S={(5,6)}

c) T={(6,2),(2,0),(13,0)} d) V=={(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}

2. Dado D = {1, 0, 1,2}. Encontrar:

a) D x D

b) R1 = {(x, y) DxD / x y} por extensión.

c) Dominio y recorrido de la relación anterior.

d) R2 = {(x, y) DxD / x2 = y2} por extensión. 3. Dado E = {-1, 1, 3,5}, encontrar el producto cartesiano E x E. Hallar por extensión

la relación

S= {(x, y) E x E / x < y } 4. Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes relaciones.

a) R={(x, y) IRxIR/ x2 + y2 = 25}

b) T={(x, y) IRxIR/ 4x + 9y = 36}

5. Trazar el gráfico de las relaciones R y T del ejercicio 4.

Actividad 3: Resolvamos los ejercicios





En una expresión con radicales como x (función de la raíz cuadrada) el dominio de f

esta formado por los números reales no negativos (x 0), ya que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

Ejercicios

1) Evaluar las funciones:

a) ¿Para qué valor de x es f (x) = 3x igual a 3?

b) Si f (x) = f (x) = 1x , hallar f (0), f (-8), f

2

1 , y f

2

1

c) ¿Para qué valores de x es f (x) = 12 x igual a 0?

d) Si f(x) = x24 , halle f(0), f(4), f(-2) f

2

3

2) Graficar las funciones y escribir las características de cada gráfica

FUNCIÓN GRÁFICA CARACTERISTICAS

f(x) = x

f(x) = - x

f(x)= x

3) Gráfica de cada pareja de funciones en el mismo sistema de ejes. Diferenciarlas utilizando diferentes colores.

a) f (x ) = x , g(x) = 1x

b) f (x) = x , g(x) = 1x

c) f(x) = - x , g(x) = - 2x



Actividad 4. Encontremos el dominio de las funciones


Hallar el dominio de las funciones:

a) f (x) = 23 x

b) f (x) = 4x

c) f (x) = 2x

Fuente de información Algebra Segunda Edición Max A. Sobel, Norbert Lerner, Prentice Hall hispanoamericana, S.A.

Algebra y Trigonometría, Segunda Edición Revisada. Dennis G. Zill, Jacqueline M. Dewar



Contenido conceptual: Funciones algebraicas

Indicador de logro: 9.16 (1er año de bachillerato) Resuelve

ejercicios y/o problemas aplicando con confianza la función inversa.


1. Comete error al aplicar los pasos para obtener la inversa de una función.

2. Tiene problemas para despejar una variable en una ecuación.

Actividad 1: Reforcemos conocimientos previos


1. Recordar como se despeja una variable.

En la ecuación despejar k.

a) Si la ecuación es fraccionaria, como en este caso, hacerla entera. (f - k)(3a) = 5 (Se multiplicó por el mcm de los denominadores)

b) Hacer los productos indicados, si los hay. 3fa – 3ka = 5

c) Dejar el o los términos que contienen a la variable, en un solo lado de la igualdad. Es recomendable que sea en el lugar en que su signo sea positivo. 3fa – 5 = 3ka

d) Si la variable se encuentra en más de un término, se debe obtener como factor común.

e) El factor que acompaña a la variable pasa a dividir al otro miembro de la igualdad.

d) f (x) = 3x - 1

e) f (x) = - x + 3



2. Proporcionar al estudiante situaciones donde aplique contenidos que ayuden a lograr el indicador propuesto por el ítem.

Ejercicios:

En las siguientes ecuaciones, despejar la variable que se indica.

1) , despejar M

2) , despejar “A”

3) , despejar P

Actividad 2: Practiquemos la obtención de la inversa de una función


Proporcionar los ejercicios a resolver en equipo e indicar que cada uno debe ser discutido hasta que todos despejen sus dudas.

Pasos para obtener la inversa de una función. 1) Realizar un cambio de variables: donde se encuentre “x” escribir “y” y viceversa. 2) Despejar “y” la ecuación que se obtenga será .

Ejemplo: obtener la inversa de

Paso 1:

x

Paso 2.

Por lo tanto la inversa de la función f(x) es:

Ejercicios:

1. Determinar la inversa de las siguientes funciones.

a)

b)

c)

d)

2. Determinar cuál de las siguientes funciones es igual a su inversa.

a) f(x) = - x

b) f(x) =

c) f(x) = 2x

d) f(x) =

e)

f)

g)

h) , con 0 < x < 2





Contenido: Funciones reales de variable real

Indicador de logro:

4.10 (1º año): Interpreta, plantea y resuelve, con confianza, funciones reales de variable real a fenómenos de la cotidianidad.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Dificultad para comprender el problema (comunicación con lenguaje matemático).

2. Dificultad para identificar la variable y escribir la ecuación.



1. Investigar los contenidos: función, tipos de función y evaluación de funciones.

2. Realizar la lectura y planteamiento de diversos problemas (lógicos, algebraicos, aritméticos, etc.) para reforzar la lectura comprensiva.

Ejemplo:

Si viajas durante cierto tiempo en un automóvil cuya velocidad promedio es 50 km/h.

a) ¿Cuál es la variable independiente x?

b) ¿Cuál es la variable dependiente y?

c) ¿Cómo puede representarse la situación utilizando una ecuación?

d) ¿Qué tipo de función representa la ecuación planteada?

e) ¿Cuál es la distancia recorrida en t = 3.5 horas?

f) ¿Cuál es el dominio de la función?

g) ¿Cuál es el rango de la función?

h) Determinar la gráfica que representa la relación distancia- tiempo.



Una de las causas más frecuentes por las que los estudiantes cometen errores es: establecer una relación funcional entre dos variables, interpretando datos escritos. Para superarla es necesaria la ejercitación en la lectura.

Ejercicios:

Resolver los problemas:

1) Una compañía ha determinado que el costo de producción de x unidades de su producto está dado por C(x) = 600 + 8x + 0.003x2. Evalúa el costo de producir: a) 4000 unidades. b) 1500 unidades. c) Ninguna unidad.



2) En una prueba sobre el metabolismo del azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo t (medido en horas) y dada por a(t) = 3.9 + 0.2t – 0.1t2 Encontrar la cantidad de azúcar en la sangre:

a) al principio de la prueba

b) 1 hora después

c) 22

1horas después

3) Un granjero tiene 400 yardas de cerca para delimitar un terreno rectangular. Expresar el área (A) del rectángulo como una función de la longitud de uno de sus lados.

4) En la figura, s es la longitud de la sombra proyectada por una persona que mide 1.83 metros de altura, parada a x metros de una fuente luminosa que se encuentra a 7.32 metros sobre el nivel del suelo. Expresar s en función de x.

7.32m

1.83m

x s

Fuente de información: Algebra Sobel, Max A. Lerner, Norbert. Segunda edición. Prentice hall. Hispanoamericana, s. a.



Contenido: Función lineal

Indicador de logro:

9.5 (1er. año) Resuelve ejercicios y/o problemas aplicando las funciones lineales.


1. Dificultad para expresar una situación en lenguaje algebraico.

2. Dificultad para identificar las variables y escribir la ecuación.

3. No utiliza correctamente la ecuación para determinar el resultado.



Para superar la primera dificultad que se identificó, se presenta el siguiente ejercicio:

Matemática. Primer año de bachillerato. Gloria Galo de Navarro Gildaberto Bonilla Marta Lidia Merlos David Navarro, UCA Editores.



Expresar en lenguaje algebraico: a) El triple de un número menos quince. c) Tres números enteros consecutivos. d) El perímetro de un rectángulo, con uno de sus lados 4m más largo que el otro. d) El triplo del cuadrado de un número disminuido en 10 equivale al número

aumentado en 5.

Actividad 2: Elaboremos gráficas


Otro de los problemas y que se identifica en la segunda dificultad, es reconocer cuál ecuación al ser graficada nos da como resultado una línea recta.

Ejercicios:

1) Elaborar las tablas de valores y graficar.

a) y = x - 2

b) y = - 2x +3

2) En el mismo sistema de ejes, graficar: a) y = x b) y = x + 1 c) y = x – 1

Explicar la relación entre las tres gráficas.



Orientar a que resuelvan individualmente antes de compartir con sus compañeros o compañeras.

1) Si se viaja en condiciones similares, por una distancia de 100km se pagan $30. Por 150km, el costo es de $45.

a) Escribir la ecuación de la función lineal para los puntos dados. b) Utilizar la función para calcular cuánto se paga por una distancia de 200km.

2) Un contador determinó cinco pagos diferentes de impuestos en un año específico.

Ingreso (en miles de $) 8 15 25 40 75

Impuestos ( en $) 24 70 180 300 560

Ajustar los datos a una función lineal y calcular el impuesto que se debe pagar correspondiente a un ingreso de $55.000, y el ingreso correspondiente a un impuesto de $240.

3) El valor de una máquina fotocopiadora nueva es de $5,200. Después de dos años de uso su valor es de $4,225. Encontrar su valor después de 8 años.

4) Un fabricante tiene costos fijos de $3,000 y costos variables de $25 por unidad. Encontrar la ecuación que relacione los costos con la producción y calcular el costo de producir 100 unidades.



5) La pieza de un equipo que se compró hoy por $10,000 se depreciará linealmente, estimando que su vida útil será de 20 años y su valor de desuso es de cero dólares. Escribir una fórmula para su valor (V) después de t años.

Fuente de información: Algebra. Segunda edición. Max a. Sobel, Norbert Lerner Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Stanley A. Smith ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 38

Bloque de Contenido: Relaciones y funciones

Contenido: Funciones

Indicador de logro:

4.8 (1er. año) Interpreta las propiedades de las funciones y valora su importancia y utilidad al resolver diferentes situaciones relativas al entorno físico.


1. No interpreta el significado de la trayectoria de cada intervalo (creciente, decreciente y constante) de la gráfica.

2. Vincula la altura del gráfico con el tiempo utilizado para el recorrido.



Plantear la situación y discutirla en equipo:

Fernando, Luis, María y Yolanda, viven en una colonia cercana a la universidad. Esta mañana fueron al centro de estudios en bicicleta y cada uno lo hizo de diferente forma.

Yolanda: salió sin precipitarse pero en el camino empezó a pedalear más de prisa.

Fernando: salió rápido pero en el camino tuvo que reparar una llanta para poder llegar.

Luis: salió pero olvidó algo en casa y regresó. Después pedaleó muy de prisa.

María: salió tranquila y al final se apresuró.

1) Si las gráficas muestran las distancias recorridas en función del tiempo, ¿a quién corresponde cada gráfica? Justifique su respuesta.



2) A continuación se presenta la gráfica de Yolanda, con mayor precisión. Indicado la distancia en kilómetros y la hora en la que realiza el recorrido.

Usa la gráfica para contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos kilómetros había recorrido Yolanda a las 7:45?

b) ¿Cuántos minutos tardó Yolanda en la primera mitad del recorrido?

c) ¿Cuántos km. pedaleó entre las 7:45 y las 8:00?

d) ¿Cómo puedes saber que Yolanda fue a la misma velocidad en los primeros 20 minutos (de 7:30 a 7:50)?

e) Si Yolanda hubiera seguido con la misma velocidad, ¿con cuántos minutos de adelanto o atraso habría llegado?

f) ¿Entre qué horas, aproximadamente, fue la mayor velocidad de Yolanda? ¿A qué velocidad pedaleaba en ese momento?



Actividad 2: El vuelo del Águila.

Descripción: Este tipo de ejercicio es muy importante para la interpretación de la información que encontramos en los medios de comunicación. La gráfica muestra la altura en metros del vuelo de un águila en función del tiempo.

Analicemos la gráfica:

La gráfica nos muestra que estuvo volando durante 100 segundos y que sus alturas oscilaron entre 5 y 105 m aproximadamente.

a) ¿Podríamos saber a qué altura estaba al cabo de 2 minutos?

b) Observamos que en distintos instantes estuvo a la misma altura; por ejemplo, a

los 20, 30, 40, y 57 segundos estuvo a 80 m del suelo.

c) ¿Cuál es la mayor altura que alcanzó entre los 20 y 30 segundos?

d) Entre los 50 y 60 segundos, ¿el vuelo era ascendente o descendente?

e) Durante todo el tiempo que estuvo volando, ¿en qué instante alcanza la mayor altura?

f) ¿A qué altura estaba cuando comenzó a volar?

g) Entre los 30 y 40 segundos hubo un instante en que estuvo más bajo. ¿A qué altura se

encontraba? ¿Ocurre esto en algún otro intervalo de tiempo? ¿Cuál?

h) A los 70 segundos ¿el vuelo era ascendente o descendente?

i) Durante todo el tiempo que estuvo volando, ¿en qué instante alcanza la menor altura?




Bloque de contenido: Trigonometría

Contenido: Ángulos de elevación y depresión

Indicador de logro: 1.8 y 1.11 (1er. año) Resuelve problemas

con confianza y seguridad, utilizando los ángulos de elevación y depresión.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:

1. Confunden los ángulos de elevación y depresión. 2. Dificultad para identificar el lado desconocido del triángulo. 3. Confunden las razones trigonométricas. 4. Presentan problemas al despejar la incógnita.



1. Hacer ejercicios de identificación de los catetos y la hipotenusa en triángulos rectángulos.

2. Identificar los catetos opuesto y adyacente en relación a uno de sus ángulos agudos (A).

3. Encontrar las razones trigonométricas para cada uno de los ángulos agudos.

z

ysenA ,

z

xA cos ,

x

yA tan

Recodar que el teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, para el triángulo anterior se

tiene que 222 yxz , conocidas dos de ellas, se puede determinar la tercera.



Ejercicio: Dado el triángulo rectángulo, determina las razones trigonométricas.

sen A, cos B, tan A, tan B, cos A

Calcular la hipotenusa usando el Teorema de Pitágoras

2515201520 22222 xxx

Calcular las tres razones trigonométricas

6.025

15senA

6.0

25

15cos B 75.0

20

15tan A

25.115

20tan B 8.0

25

20cos A

4. Determinar el valor de un ángulo dado el valor de una de sus razones trigonométricas, usando calculadora.

a) Si tan A= 2, hallar el valor de A.

Usar la función trigonométrica inversa de la tangente (arco tangente). En la calculadora se puede seguir una de las siguientes formas (depende de la calculadora): Presionar la tecla “inv” o “2da. f” y luego “tan” (aparece tan-1). A continuación escribir el

valor de la tangente, en este caso 2.

Escribir el valor de la tangente y a continuación presionar las teclas “inv” o “2da. f” y “tan”.

Esto lo escribimos º43.632tan 1 A

Solicitar a los estudiantes que lo comprueben encontrando tan 63.43º

b) Si Sen A=0.8 hallar el valor del ángulo.

Transformar 0.8 en fracción, construir el triángulo utilizando los lados que proporciona la fracción y aproximar el valor del ángulo.

Calcular el ángulo utilizando la calculadora

º13.538.01 senA Verificar el resultado.



c) Solicitar que encuentren un ángulo cuyo coseno es 1.2

Indúzcalo a calcularlo con un triángulo, luego aplique la fórmula y compruebe que dicho ángulo no existe. Ejercicios

a) Encuentre los valores de A, B y C, si Sen A= 0.5, tan B= 1, cos B= 3 ,

b) Explique por qué la calculadora produce un error al buscar C en el caso sen C= 2.



1. Reforzar los saberes previos. a) Línea de visión: la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar

observado. b) Ángulo de elevación: es el que se forma entre la horizontal y la línea de visión,

cuando el observador se encuentra a menor altura que el punto de observación. c) Ángulo de depresión: es el que se forma entre la horizontal y la línea de visión,

cuando el observador se encuentra a mayor altura que el punto de observación.

d) Teorema de Pitágoras: se aplica únicamente a triángulos rectángulos.

2. Seguir el procedimiento adecuado.

a) Trazar el triángulo que represente las condiciones del problema.

b) Identificar la razón trigonométrica que involucre a los datos del problema (si se

conoce la hipotenusa debe ser seno o coseno; si son los catetos, utilizar la

tangente).



Ejercicios

Resolvamos las siguientes situaciones:

1) Determine la altura de un árbol, si desde una distancia de 5 m se ve la parte superior del árbol con un ángulo de elevación de 30º.

2) Con que ángulo debo lanzar una piedra para bajar un mango que está a 6 m de altura, si la piedra la lanzo desde una distancia de 3 metros del palo.

3) Una escalera eléctrica debe transportar a una altura del piso de 20 pies, con un ángulo de elevación de 25º, ¿qué longitud tendrá la escalera?

4) Cuando el ángulo de elevación del sol es de 28.4°; en París, la Torre Eiffel forma una sombra horizontal de 1822 pies de largo, ¿qué altura tiene la torre?

5) Calcular la altura del árbol si el ángulo de elevación es de 58º y la sombra proyectada sobre el piso es de 8.8m.

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6) Desde la punta de un faro, a 120 pies sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión en dirección a un barco a la deriva del mar es de 9.4º, ¿a qué distancia está el barco de la base del faro?

7) Un salvavidas se encuentra en una torre a 120 metros del nivel del mar. Descubre una persona que necesita su ayuda a un ángulo de depresión de 35º, ¿a qué distancia de la base de la torre se encuentra esa persona?

8) Calcular la altura de una torre si desde un punto situado a un kilómetro de la base se ve la cúspide con un ángulo de elevación de 16°42’

9) Desde la cumbre de un cerro de 300m de alto, el ángulo de depresión de un barco es de 17°35’. Hallar la distancia del barco al punto de observación.

Fuente de información Algebra y trigonometría. Segunda edición revisada

Dennis G. Zill, Jacqueline M. Dewar Editorial Mc Graw Hill

58º

16º 42’

Refuerzo 7

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