Recursos y estrategias para la enseñanza y el aprendizaje ... · Trabajo de Fin de Grado Recursos...
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Ángel Del Río San Martín José Ignacio Extremiana Aldana Facultad de Letras y de la Educación Grado en Educación Primaria 2014-2015 Título Director/es Facultad Titulación Departamento TRABAJO FIN DE GRADO Curso Académico Recursos y estrategias para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría del espacio en el tercer ciclo de Primaria Autor/es
Transcript of Recursos y estrategias para la enseñanza y el aprendizaje ... · Trabajo de Fin de Grado Recursos...
Ángel Del Río San Martín
José Ignacio Extremiana Aldana
Facultad de Letras y de la Educación
Grado en Educación Primaria
2014-2015
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
Recursos y estrategias para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría del espacio en el tercer ciclo
de Primaria
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016
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Recursos y estrategias para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría del espacio en el tercer ciclo de Primaria, trabajo fin de grado
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Trabajo de Fin de Grado
Recursos y estrategias para la
enseñanza y el aprendizaje de la
geometría del espacio en el tercer
ciclo de Primaria
Autor:
ÁNGEL DEL RÍO SAN MARTÍN
Tutor:
Fdo. JOSÉ IGNACIO EXTREMIANA ALDANA
Titulación:
Grado en Educación Primaria [206G]
Facultad de Letras y de la Educación
AÑO ACADÉMICO: 2014/2015
Ángel del Río San Martín
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Ángel del Río San Martín
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RESUMEN:
En este trabajo fin de grado se presentan una serie de actividades propuestas para
el tercer ciclo de Educación Primaria, atendiendo concretamente a los contenidos de
Geometría. Siguiendo la propuesta metodológica que planteo, se concederá gran
importancia al trabajo participativo y manipulativo. De esta forma, los discentes
adoptarán un papel protagonista en su aprendizaje, convirtiéndose en los sujetos activos
del mismo, tal y como se persigue en numerosos ámbitos de la educación desde hace
algunas décadas. Además, en consonancia con el modelo de Van Hiele, el niño deberá
avanzar por una serie de niveles para progresar en su aprendizaje.
Para ello, es preciso partir de un conocimiento de las leyes educativas vigentes
en el curso académico 2014-2015, con el fin de conocer sus modificaciones y poder
adaptarnos a los contenidos que se establecen para este ciclo.
En el documento se analizan algunas teorías de enseñanza aprendizaje y su
repercusión en la enseñanza de la Geometría. De ellas he extraído las ideas que he
considerado más apropiadas para establecer el punto de partida de las propuestas que se
recogen posteriormente. Además, se tienen en cuenta los métodos de enseñanza que se
están llevando a cabo actualmente en algunas de las escuelas riojanas, ya que gracias a
la elaboración de una encuesta que respondieron varios docentes, he podido hacerme
una idea global de ello.
En conclusión, el fin último de este trabajo es realizar una revisión bibliográfica
de algunos métodos de enseñanza y diseñar un conjunto de actividades que respondan a
una metodología caracterizada por el aprendizaje activo del alumno procurando
despertar su interés y motivación hacia este campo de las matemáticas.
Palabras clave: Geometría, matemáticas, manipulativo, participativo, Van Hiele,
método de enseñanza, Educación Primaria, aprendizaje.
Ángel del Río San Martín
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ABSTRACT:
In this final grade essay it is exposed a series of activities proposed for the third
grade in Elementary School, focusing mainly at the contents of geometry. According to
the methodological proposed I expose, it will be given more importance to the
participative and the manipulative work. In this way, the student body will adopt a
starring role on their learning skills, becoming themselves their own source of learning,
as we have watched in many different aspect of education since some decades ago. In
addition, in harmony with Van Hiele’s model, the pupil will must overcome through a
series of different levels to progress in their capacity of learning.
For that, is precise to start from the knowledge of the active educative laws in
the 2014-2015 academic year, to know its modifications and to be able to adapt to its
contents which are set up for this cycle.
In the document, the teaching theories and their influence on the teaching of
Geometry are analysed. I have extracted the ideas that I consider more appropriate to
establish the starting point of the proposals that are subsequently collected. Apart from
that, the actual teaching models that are being used in the schools from La Rioja, are
taken into account. Because of the elaboration of a survey that answered several
teachers, I have could done a global idea of it.
The last target of this paper is to make a bibliographic revision of some teaching
models and to design a group of activities which answers to a methodology
characterized by the active learning of the students, trying to make them grow their
interest and motivation in this area of Mathematics.
Key words: Geometry, Mathematics, manipulative, participative, Van Hiele, teaching
model, Primary Education, learning.
Ángel del Río San Martín
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INDICE
1.- Introducción………………………………………………………………………….7
2.- Contenidos de la Geometría en el currículo de Primaria …………………………....9
2.1.- Diferencias entre la LOE y la LOMCE en Geometría………..…………...9
3.- Marco Teórico.……………………………………………………………………...11
3.1.- Orígenes de la Geometría…………………………………………………11
3.2.- Teorías de Enseñanza- Aprendizaje. Influencia en la enseñanza de la Geometría……………………………………………………………………….13
3.2.1.- Conductismo…………………………………………………….14
3.2.2.- Cognitivismo…………………………………………………….16
3.2.3.- Constructivismo…………………………………………………18
4.- Breve análisis de métodos de enseñanza de la geometría en la escuela riojana…….21
5.- Propuesta de método……………………………………………………………......25
6.- Propuesta de actividades……………………………………………………………29
7.- Conclusiones…………………………………………...…………………………...39
8.- Bibliografía………………………………….………………………………………41
8.1.- Bibliografía citada…………………...……………………………………41
8.2.- Bibliografía consultada ……………………………………...……….…...42
9.- Anexos………………………………………………………………………………45
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1.- INTRODUCCIÓN
El presente documento acerca de los recursos y herramientas para el estudio de
la geometría en el tercer ciclo de Educación Primaria constituye mi trabajo fin de grado
del Grado en Educación Primaria.
La elección de este tema se debe a que me parece que es posible la mejora en los
modos de enseñar geometría en Educación Primaria. He observado que, en general, los
niños, quizás debido a los métodos de enseñanza, tienen a las matemáticas como la
asignatura más odiada.
Me he centrado en el tercer ciclo de Educación Primaria porque los niños de 11
o 12 años ya tienen un nivel madurativo suficiente para comprender nociones más
complejas. Como expuso Piaget, el niño de esta edad se encuentra entre el final del
periodo de operaciones concretas y el comienzo del periodo de operaciones formales,
por lo que está capacitado para poder realizar generalizaciones y relacionar situaciones
abstractas con concretas, y es capaz de realizar razonamientos deductivos, obteniendo
de esta forma conclusiones particulares de algo más general.
En este trabajo pretendo aportar una serie de actividades y métodos en los que el
trabajo manipulativo, cooperativo y la participación activa del niño, sean las claves del
proceso de enseñanza-aprendizaje. En mis propuestas seguiré el esquema de niveles de
Van Hiele, en los que el propio alumno va avanzando en su aprendizaje y contaré con
recursos, tanto manipulativos como digitales.
En cuanto a la estructuración del trabajo se constituye de un primer bloque
donde se analizan las dos últimas leyes educativas para conocer los contenidos que
ambas establecen. Un segundo bloque de conocimiento de la historia de la geometría y
en el que se hace un repaso de las teorías de psicología de la educación más
características y las formas de enseñanza tanto a nivel general como de este contenido a
lo largo de la historia. Se finaliza con la propuesta de un método de enseñanza que
considero adecuado para el mejor entendimiento de los contenidos geométricos. El
tercer bloque analiza las impresiones de varios docentes riojanos sobre los contenidos
de geometría y los métodos de enseñanza que utilizan, para conocer el estado de la
escuela actual. Por último se plantea un método propio de enseñanza de estos
contenidos y se proponen varias actividades y herramientas para desarrollar con los
discentes.
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2.- CONTENIDOS DE LA GEOMETRÍA EN EL CURRÍCULO DE PRIMARIA
A partir del Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el
currículo básico de la Educación Primaria (en concreto en la disposición final primera
sobre el calendario de implantación de la nueva ley LOMCE), las modificaciones
introducidas en el currículo en Educación Primaria se han implantado para los cursos
primero, tercero y quinto en el curso escolar 2014-2015, y para los cursos segundo,
cuarto y sexto en el curso escolar 2015-2016, por lo que durante el actual año
académico han seguido adscritos a la anterior ley educativa, la LOE. Por lo tanto, en el
actual curso han convivido en la escuela las dos leyes. Este es el motivo que me lleva a
contemplar los currículos de ambas leyes.
Tras comparar los contenidos de geometría establecidos tanto en la LOE (Anexo
1) como en la LOMCE (Anexo 2) de este tercer ciclo, he observado varias similitudes y
diferencias.
2.1.- Diferencias entre la LOE y la LOMCE en Geometría
Atendiendo a los aspectos más destacados entre los decretos de ambas leyes
establecidos para la Comunidad Autónoma de la Rioja, se puede señalar la mayor
concreción en cuanto a los contenidos de la LOMCE. Dentro del área de matemáticas,
la LOE hacía una división por ciclos y, al mismo tiempo, por bloques de contenidos y
en la LOMCE los contenidos se detallan en cada curso y se sigue manteniendo la
distinción por bloques de contenidos. De esta forma, considero que facilita el
entendimiento de la ley y la adecuación de cada curso a unos contenidos prefijados de
antemano.
Otra gran diferencia es que en la LOE se precisan una serie de objetivos
generales para toda la Educación Primaria y dentro de cada ciclo se detallan contenidos
y criterios de evaluación. En cambio, en la LOMCE desaparecen los objetivos y se
detallan contenidos, criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables que
están interrelacionados entre todos ellos facilitando su comprensión.
A nivel organizativo otra diferencia palpable es la división en cuatro bloques de
contenidos en la LOE y en cinco en la LOMCE. Sin embargo, esta diferencia apenas
implica variaciones, ya que los contenidos tratados dentro de cada uno son semejantes,
por lo que en ambas leyes se busca que se alcancen unos mínimos análogos. Además, la
LOMCE indica que el primer bloquen debe impregnar a los demás.
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Centrándonos en el bloque cuatro de la LOE y el bloque quinto de la LOMCE, la
Geometría, en la primera ley encontramos una división en tres apartados fundamentales
a los que da una mayor importancia y la LOMCE no hace ningún tipo de diferenciación
y solo realiza una secuenciación de todos ellos sin dar especial énfasis a ninguno.
En los contenidos que tratan sobre la localización y situación en el plano y en el
espacio, los ángulos o las escalas apenas encontramos diferencias; sin embargo la
LOMCE no hace referencia a la utilización de instrumentos de dibujo y programas para
construir y producir formas geométricas, como sí hacía la anterior ley, la LOE.
Considero que esta ausencia es negativa y no fomenta el uso de material manipulativo
ni el aprendizaje por descubrimiento dentro del aula de Educación Primaria
contribuyendo a que las clases pierdan su carácter activo y participativo.
En el segundo gran apartado referido a las formas planas y espaciales, se aprecia
cómo no hay diferencias en cuanto a los contenidos tratados en ambas leyes. Puede
observarse cómo en la LOMCE se hace una separación en estos contenidos, en el quinto
curso solo trata la mitad de ellos y en sexto curso trata el resto. A pesar de esta similitud
de conocimientos se vuelve a prescindir de un contenido más manipulativo y
participativo referido a la construcción de figuras planas y cuerpos geométricos a través
de otras por composición y descomposición.
Por último, en cuanto a las regularidades y simetrías, en la LOMCE únicamente
se trata este contenido de manera general; basándose en un reconocimiento de estas en
ambos cursos. En contraposición, en la LOE se le da mayor importancia a este aspecto y
precisa en interés y el trazado de figuras simétricas, ampliaciones y reducciones.
Asimismo, se busca el interés por presentar trabajos claros y ordenados, una búsqueda
de soluciones ante situaciones de incertidumbre y una confianza en sus propias
posibilidades, es decir, un desarrollo de su autoconcepto y su autoestima.
Como conclusión considero que estas diferencias entre ambas leyes aportan
aspectos tanto como positivos como negativos. Como punto positivo considero que la
división de apartados que hace la LOMCE es más claro y presenta todos los apartados
de manera interrelacionada y no como puntos aislados que el lector tiene que asimilar.
Como punto negativo, se prescinde de los contenidos referentes a la participación del
alumnado y de contenidos actitudinales o procedimentales que busquen el desarrollo no
solo cognitivo de los discentes.
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3.- MARCO TEÓRICO
3.1. Orígenes de la Geometría
Desde la antigüedad, el hombre gracias a las observaciones simples de las
diferentes formas físicas y de la comparación de las mismas, ha tenido consideraciones
geométricas. Por ejemplo, las ondas producidas al tirar una piedra al agua, la periferia
del sol o la luna conducen al concepto de círculo y la simple visión de los hombres a la
de simetría. Por ello, sus inicios podrían denominarse geometría subconsciente, ya que
muchas de estas observaciones en la naturaleza condujeron a la noción de distancia, de
curvas, de superficie, de solidos o de otros términos más complejos como la simetría o
las formas cónicas.
En tiempos prehelénicos, la geometría era esencialmente empírica. No se
precisaba la necesidad de una demostración lógica para dar por válido un resultado y la
geometría era una colección de procedimientos empíricos que se aceptaban como
válidos.
No se conoce cuando empezó a considerarse a la geometría una ciencia, sin
embargo, Herodoto en uno de sus pasajes apunta que sus orígenes están en el valle del
Nilo de Egipto. De hecho, el término significa “medida de la tierra” y se utilizaba para
concretar los límites de las tierras privadas de los agricultores, que habían sido
inundadas por las crecidas del Nilo.
Haciendo referencia a los registros más antiguos que se conocen destacan las
tablas inscritas de arcilla cocida encontradas en Mesopotamia (3000 a.C.) o diferentes
objetos como el reloj de sol o unos papiros con textos matemáticos que datan de
aproximadamente entre el 1850 y 1650 a.C. encontrados en Egipto. Dentro de la cultura
faraónica o egipcia y en base a la construcción de sus templos, pirámides y tumbas, se
observa el dominio de fundamentos geométricos y el conocimiento de principios
matemáticos. En la misma época, en India o en China se cree que se desarrollaron de
forma análoga pero no se conoce con certeza, ya que escribieron sobre esteras de
cortezas de árbol o bambú. También, se han descubierto en Escocia piedras esféricas
esculpidas en el 2500 a.C. de diferentes formas poliédricas. Sin embargo, en estas
culturas no se encuentran demostraciones sino descripciones detalladas de
procedimientos aplicados a casos particulares.
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Los griegos descubren la necesidad del razonamiento lógico para deducir la verdad
“científica”. Muchos filósofos buscaron concluir los hechos geométricos no solo de
manera empírica, por lo que comenzaron su estudio buscando una prueba lógica e
indiscutible que demostrase estas ideas iniciales. Se cree que el primero en intentar
formalizar progresivamente una cadena de razonamientos matemáticos en las que las
demostraciones dependían unas de otras fue Hipócrates de Chíos. Nada se preestablecía
de antemano, a excepción de una serie definiciones y suposiciones, que son verdades
evidentes fundamentales que no precisan justificación.
Se atribuye a Tales de Mileto (640-546 a. C) la paternidad de la geometría, aunque
no se conservan sus escritos. Se le atribuyen importantes contribuciones, como por
ejemplo medir la altura de la gran pirámide de Keops, para ello, esperó a que el Sol se
posicionase de manera que su sombra fuese igual a la altura.
La mentalidad deductiva supuso una nueva manera de pensar, convirtiéndose en el
estudio abstracto de generalidades. Según Miguel Peña (2000), los griegos en general y
Tales en particular, transformaron los conocimientos particulares no sistematizados ni
aproximados elaborados por egipcios y babilónicos, en una disciplina rigurosa basada
en la lógica.
Más adelante, Euclides (325 a.C- 265 a.C), del que apenas se conoce sobre su
vida pero se apunta a que estudió en la escuela platónica de Atenas, en el 300 a. C
escribió un tratado que permanece como el más reconocido de las matemáticas, “Los
Elementos”. En él expuso una secuencia lógica coherente de 465 proposiciones.
Este libro se desarrolla por axiomática material debido a que los argumentos se
llevan a cabo según el plan anterior y su proceso matemático se sistematiza según este
patrón. Se considera como el primer gran tratado de la historia del pensamiento y
organización matemático y, además, ha sido la gran referencia en matemáticas durante
siglos.
Actualmente, otros libros de texto lo han relegado ya que cuentan con una
materia más concordante con la época introduciendo cambios e incorporando nuevos
tópicos.
Los elementos comienza dando una serie de conceptos o definiciones de punto,
recta, superficie o ángulo, continúa enunciando cinco postulados y, a continuación, otras
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cinco reglas básicas que serán las válidas en los razonamientos posteriores. Los
postulados son los siguientes:
- Se puede trazar una recta de un punto a otro punto cualquiera
- Se puede prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
- Se puede describir una circunferencia con cualquier centro y cualquier radio.
- Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
- Por un punto exterior a una recta pasa sólo una recta paralela a ella.
Y las reglas lógicas son los siguientes:
- Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
- Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
- Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales
- Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
- Y el todo es mayor que la parte
A partir de aquí, todos los otros términos se definen por medio de los básicos y todos
los otros principios se deducen lógicamente de los axiomas, aplicando las reglas, y se
llaman teoremas.
Otro de los grandes matemáticos a los que podemos referenciar fue Arquímedes
(287 a.C. – 212 a.C.). Destaca debido a que sus creaciones son originales y no basadas
en sus predecesores. Dentro del trabajo de Arquímedes y, en base a nuestro ámbito de
estudio, destacan sus tres obras dedicadas a la geometría plana y sus dos trabajos sobre
geometría tridimensional.
Otro gran maestro en matemáticas fue Apolonio (262 a.C.- 200 a.C.) y su
principal aportación se debe a su trabajo llamado Secciones Cónicas en el que hace una
investigación profunda de estas curvas conteniendo aproximadamente 400
proposiciones.
Por todo esto, destaca la importancia de la geometría de los griegos antiguos
constituyéndose como el manantial de este ámbito.
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3.2.- Teorías de Enseñanza- Aprendizaje. Influencia en la enseñanza de la
Geometría
Antes de detallar la metodología a utilizar con los niños del tercer bloque
hacemos un breve repaso de algunas de las teorías psicológicas que han afectado
significativamente a la enseñanza en Educación Primaria. El objetivo es conocer lo que,
en mi opinión, son los aspectos positivos y negativos de cada uno de ellos para intentar
pergeñar una forma innovadora y activa que recoja algún aspecto de cada una de ellas.
3.2.1.- Conductismo en la enseñanza y en la Geometría
En este modelo el alumno permanece con un organismo pasivo y al margen de
su propio proceso de enseñanza-aprendizaje (E-A), ya que es el profesor el que se
encarga de transmitir los conocimientos y habilidades a los niños. Los alumnos se
limitan a escuchar al profesor y hacer una serie de ejercicios relativos al temario, es
decir, actuar de manera mecánica sin cuestionarse acerca de las enseñanzas que
adquieren. El profesor tiene las clases programadas de antemano y sus clases requieren
de práctica y experiencia.
El alumno reacciona a los estímulos y su aprendizaje se basa en una relación
entre el estímulo y la respuesta, por lo que no se incluye, en un inicio, referencia a
variables internas, mentales o individuales. “El aprendizaje es un cambio relativamente
duradero en los mecanismos neurales de la conducta que resulta de la experiencia con
eventos ambientales específicamente relacionados con esa conducta.” (Domjan, 2002).
Dentro de esta teoría psicológica de enseñanza, se pueden distinguir tres teorías
que influyen en mayor o menor medida dentro de nuestro ámbito de estudio:
Condicionamiento clásico, pauloviano o respondiente: iniciado por Paulov
(1847-1936), se basa en un aprendizaje asociativo, en el que se establece una relación
entre un estímulo condicionado y otro neutro siendo capaz el segundo de provocar una
respuesta tras varios ensayos. No se aprenden nuevas conductas sino que se asocia la
respuesta existente a un nuevo estímulo. Se produce así la asociación implícita de varios
hechos que tienden a acontecer juntos (Reber, 1993, en Pozo, 1996). Sin embargo, esta
generalización o asociación puede llevarnos a errores ya que no es empírico ni
demostrable, por lo que apenas es usado en el contexto educativo.
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Condicionamiento instrumental: Propuesto por Thorndike y llamado también
“condicionamiento operante” (Skinner, 1953) que ha tenido gran impacto en el ámbito
educativo a partir de los años setenta del siglo pasado. Se basa en el siguiente principio:
el hombre establece una correspondencia funcional con su entorno y necesita una triple
relación de contingencias que está conformada por las unidades de análisis del
comportamiento, es decir estímulos, respuestas y consecuencias, por lo que el
aprendizaje va más allá de una mera respuesta.
Este tipo de aprendizaje enfatiza el control de los sucesos negativos o positivos,
aprendiendo conductas que los evitan o consiguen. Estas conductas pueden ser tanto
verbales como motoras.
Trianes, Ríos y Jiménez (1998, p.341) afirman que el profesor debe ser
consecuente con estas conductas, emitiendo un refuerzo al discente que puede ser de
dos tipos, positivo/negativo. Los primeros se presentan después de la respuesta y
aumentan la frecuencia, intensidad o duración para que esta respuesta sea emitida en
futuras ocasiones. En cambio, los negativos corrigen nuestra conducta porque al hacerla
se pone fin a esa estimulación aversiva que queremos evitar y se elimina o desaparece
después de que se ejecute la respuesta.
Bajo mi punto de vista, este modelo de enseñanza tampoco favorece una
participación activa del alumno; el profesor tiene un papel destacado en la clase
basando sus sesiones en una mera explicación de contenidos, por lo que no hay
intercambio comunicativo con los discentes. A pesar de ello, este método supone un
avance respecto al anterior ya que con el uso de refuerzos ante las conductas de los
niños puede mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje, aunque debido al carácter
mecánico de las clases la completa predisposición de los niños ante las propuestas se
presenta complicada.
Aprendizaje Social, aprendizaje vicario o por observación: Esta corriente tiene
su origen en el conductismo, pero difiere en gran medida de la concepción tradicional,
ya que se encuentra a caballo entre ésta y el constructivismo. Bandura, psicólogo de
tendencia conductual y cognitiva que postuló la teoría del aprendizaje social, y otros
teóricos del aprendizaje social conciben el aprendizaje como la adquisición de
conocimiento mediante el procesamiento cognitivo de la información, es decir, su idea
evoluciona hacia supuestos más cognitivos. Para ellos los factores biológicos y
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heredados tienen una importancia relativa y los determinantes sociales adquieren valor
predominante; la conducta se produce específicamente en cada situación y gran parte de
su aprendizaje es vicario, debido a que no participa en la actividad sino que observa a
otros y decide evitarlo o imitarlo. Según indican Trianes, Ríos y Jiménez (1998, p.365),
en la enseñanza este aprendizaje se utiliza para exteriorizar las estrategias mentales con
el fin de resolver un problema convirtiéndolo en un modelo de pensamiento para el
niño. Sin embargo, para que sea un desarrollo con éxito es preciso la mediación de
procesos cognitivos como la atención, retención o motivación. Creo que no tener en
mente estas claves ha podido llevar al fracaso escolar de los últimos años, ya que se han
descuidado estos procesos y no se desarrollaban las capacidades más allá del plano
intelectual.
Muchos profesores enseñan de manera sistemática sin tener en cuenta
características individuales de los discentes. Asimismo, esta metodología conduce a la
adquisición parcial o superficial de los contenidos, que supone que se desarrolle un
aprendizaje muy variable entre los distintos planos de conocimiento.
En el campo de la geometría, donde se precisa de un alto grado de abstracción
por parte del niño, la enseñanza que se basa en estos modelos complica el entendimiento
de los alumnos, ya que, en mi opinión, es imprescindible la participación y la
manipulación para conocer el significado de lo estudiado. A modo de ejemplo, si el
docente explica de manera oral y secuencial la diferencia entre polígono y poliedro, el
alumno no va poder adquirir el conocimiento sin el uso de figuras o recursos didácticos
que le permitirá observarlo y manipularlo. Además, el profesor tiene todo programado
de antemano y por ello, no puede partir de lo que el alumno sabe para avanzar de
manera paulatina a conocimientos más complejos ni se puede resolver problemas
convencionales ni tampoco se adapta a las necesidades de los alumnos. “A los alumnos
a quienes se introduce con excesiva premura en la verbalización de situaciones no
exploradas en el nivel perceptivo y activo, no podrán alcanzar un diálogo intelectual, ya
que caerán en el realismo que sostiene el símbolo” (Gattegno: 1967).
3.2.2.- Cognitivismo en la enseñanza y en la geometría
Este modelo psicológico surge tras el conductismo, por lo hay algunos matices
similares y muchos autores que han pasado de una a otra postura. De esta forma, entre
dos teorías no hay una línea divisoria clara sino que se encuentran influenciados. Para
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los cognitivistas los cambios que observamos en las conductas y habilidades de los
niños tienen lugar como resultado de cambios en su conocimiento y su capacidad
intelectual, por lo que al recibir un estímulo, se realizan una serie de procesos
cognitivos antes de elaborar una respuesta. El aprendizaje no se centra sólo en lo que los
niños obtienen y en la consecución de unos resultados, sino en lo que saben y cómo lo
adquieren, ya que el conocimiento supone varias acciones complejas para transformar la
información sensorial. Según aportan Trianes y Ríos (1998, p.377) el aprendizaje es un
“proceso de construcción del conocimiento”, que depende del conocimiento anterior y
está ajustado a la situación en la que se lleva a cabo.
Cada niño tiene una forma distinta de procesar la información, es un sujeto
activo que adquiere, progresa y reorganiza estructuras cognitivas más potentes y
complejas, que afecta a la calidad de ejecución de sus respuestas. El profesor por su
parte crea situaciones para relacionar nuevos y anteriores conocimientos actuando de
guía hasta que el alumno actúe de manera independiente. De esta forma, se deja a un
lado un modelo autoritario y se tendrá en cuenta la forma en la que se imparte la
información dando al alumno pautas para adquirir el conocimiento.
Dentro del marco del cognitivismo, destacamos la teoría del procesamiento de la
información, en la que esta se organiza cuando pasa a través del sistema; la teoría de
Gagné y Briggs (1974), en la que se adquieren aprendizajes de tareas inferiores para
avanzar a otras superiores; por último, el conexionismo, que considera que el
procesamiento de la información se hace de forma distribuida y en paralelo, mediante
una serie de unidades muy simples que interactúan mediante conexiones que las
asocian.
Como crítica a esta teoría, se observa su limitación a un modelo lineal y
acumulativo donde se van adquiriendo progresivamente estructuras más complejas, por
lo que no se preocupa por las irregularidades en el desarrollo del discente ni en sus
dificultades en la adquisición de nuevos conocimientos.
En el campo de las matemáticas, y en la geometría en particular, se considera
que las estructuras psicológicas del niño se reducen a estructuras lógico-matemáticas.
Además, para alcanzar sus conocimientos el niño trabaja solo y apenas se le da
importancia a la interacción con sus compañeros.
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Uno de los matices de este método y que me gustaría destacar como aspecto
positivo es que se enseña por medio de resolución de problemas y no con una repetición
de ejercicios que tienen un modelo automatizado para imitar. Esta forma de resolución
me parece que se adapta más al mundo real y no difiere en tanta medida de la realidad
como sí lo hacía el anterior enfoque.
Aunque con matices, que pueden atribuirse a otros modelos psicológicos,
podemos destacar a Piaget como autor de este modelo, que consideraba que el
aprendizaje es un proceso donde el alumno se desarrolla mediante la exploración y el
descubrimiento. El desarrollo del niño se basa en su adaptación partiendo de unos
esquemas mentales para construir sus conocimientos.
3.2.3.- Constructivismo en la enseñanza y en la geometría
El constructivismo amplía y modifica el cognitivismo, ya que considera que una
persona es una construcción propia resultado de la interacción entre el ambiente y las
disposiciones internas de la misma.
Tal y como ya se indicaba en el cognitivismo, el discente es un sujeto activo y
constructivo de su conocimiento y, además, cada uno conoce el mundo desde diferentes
perspectivas llevando a producir diferentes representaciones de una misma realidad.
Chadwick (2001), por su parte, apunta que el punto clave del constructivismo no está en
el resultado del aprendizaje sino en el proceso de adquisición en el que el alumno
enlaza, extiende, restaura y, en definitiva, construye conocimiento desde la experiencia
y la información obtenida. El aprendizaje en este modelo no busca hacer una copia de la
realidad sino ayudar a que el ser humano la construya a partir de sus procesos mentales
adquiriendo conocimientos nuevos, que después puedan ser aplicables a nuevas
situaciones.
Un autor influyente en el constructivismo fue Ausubel que, tal y como expresa
Trianes y Ríos (1998, p.385), basa su idea en un aprendizaje significativo en el que el
nuevo contenido se relaciona sustancialmente con la estructura cognitiva del sujeto que
aprende, modificándola. Ausubel se opone a la repetición mecánica de cualquier aspecto
matemático sin comprender su significado y considera básica la apropiación efectiva de
los instrumentos necesarios para su formación.
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Considero que este distanciamiento de la mecanización del aprendizaje favorece
la adquisición de nuevos conocimientos activamente y la retención de los mismos en la
memoria. Otra característica a la que le daba importancia es al aprendizaje receptivo,
destacando el descubrimiento por parte del discente.
Sin embargo, esta adquisición no es uniforme en todos los niños y precisa la
función del profesor que guía estos aprendizajes. Según indicaba Howard Gardner
(1993) con su teoría de las inteligencias múltiples, la inteligencia está compuesta por
ocho tipos de inteligencias que dominan en mayor o menor medida en cada discente,
por lo que hay que conocer a cada uno de ellos para poder adaptarse a su ritmo de
manera significativa.
El maestro tiene una función de moderador y participante en el proceso de
enseñanza-aprendizaje pero debe conocer los intereses individuales de cada uno de sus
alumnos. Asimismo, el docente da la oportunidad de construir conocimientos y
habilidades gradualmente a través de la experiencia dejando al alumno explorar a su
manera y ritmo, descubriendo, experimentando y jugando. En el campo de las
matemáticas se emplean mayores recursos consiguiendo un alto nivel de motivación y
autonomía por parte del alumnado. Al mismo tiempo, para favorecer este
descubrimiento, el docente debe organizar, secuenciar y presentar los contenidos de una
forma clara y ordenada que, sumada a la motivación con la que el alumno debe contar,
favorece la consecución de los objetivos propuestos.
Otro autor constructivista fue Bruner (1915) que buscaba la consecución por
parte del alumno de una estructura general de lo que va a aprender. Basándose en su
capacidad intelectual y en sus conocimientos previos, conseguidos a causa de una
secuenciación adecuada. Bruner propone un currículum en espiral, retomando
contenidos anteriores. En el campo de la geometría, Bruner es partidario de que los
niños busquen, investiguen, exploren y manipulen para llegar a la comprensión de
conceptos y sean capaces de resolver problemas.
Considero esta postura de aprendizaje por descubrimiento como muy fructífera
para que el niño sea el propio artífice de su conocimiento. Igualmente, tal y como
apuntan Gonzalez- Perez y Criado (2003), creo que el aprendizaje debe iniciarse por un
modo de representación enactivo, en el que se prima la acción del discente, para llegar
a un modo icónico y posteriormente a uno simbólico.
Ángel del Río San Martín
20
Sin embargo, como aspecto negativo de esta postura, y en sintonía con lo que
apuntan Pérez-López y Juan-Vera (2010), me parece que el aprendizaje se realiza al
margen del contexto social, ya que aunque concede importancia a la cultura y la
interacción social, no especifica cómo actúa con el desarrollo cognitivo y el aprendizaje.
Vigotsky (1896-1934), consideraba que el conocimiento es un producto social,
que se produce por la interacción del niño con otros sujetos. En esta teoría
constructivista social se consideran tres niveles de conocimiento (Zona de Desarrollo
Real (ZDR), Zona de Desarrollo Próximo y Zona de Desarrollo Potencial). Por ejemplo,
en la enseñanza de nuevos conocimientos matemáticos, se parte de la ZDR que son las
habilidades que el niño domina y, avanzando por la Zona de Desarrollo Próximo, donde
no puede realizarlo si no es con la ayuda de alguien que le proporcione pistas o
instrucciones, llega a la Zona de Desarrollo Potencial que es el momento en el que se
está a punto de aprender algo nuevo, en este caso el contenido matemático.
En contraposición con Bruner, que defendía la idea de un aprendizaje
secuenciado y organizado, Vigotsky otorga un valor determinante a las relaciones del
niño con otros, haciendo que no trabaje como un ente aislado.
Estimo muy desmedida y alejada de la realidad la idea de Vigotski de que el
conocimiento es un producto social, ya que, en mi opinión, el desarrollo cognitivo se ve
favorecido con la presencia de amigos o mediadores que generan conflictos para
producir un cambio de nuestras creencias, pero no es algo absolutamente
imprescindible.
Sin embargo, considero muy aprovechable el papel que Vigotski da a la
discusión como método de resolución de problemas, pues ayuda a fomentar habilidades
lingüísticas y a alcanzar una madurez social en los niños. Según indican Joyce, Weil y
Calhoun (2002) los métodos cooperativos facilitan el aprendizaje en todas edades y
áreas, mejorando la autoestima, la habilidad social y la solidaridad.
Ángel del Río San Martín
21
4.- BREVE ANÁLISIS DE MÉTODOS DE ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
EN LA ESCUELA RIOJANA
Para hacerme una idea acerca de la concepción sobre la enseñanza de la
geometría y sobre los métodos empleados por los distintos docentes de Matemáticas
en el tercer ciclo de Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de La Rioja, he
elaborado una encuesta (Anexo 3) que plantea cuestiones relacionadas con este campo
y que cumplimentaron profesores de colegios pertenecientes a diferentes barrios de
Logroño, con características socio-económica dispares, y de dos colegios de pueblos
importantes de La Rioja. Entre quienes cumplimentaron la encuesta, hay profesores de
colegios públicos y privados y con muchos o pocos años de experiencia docente. Los
resultados de la encuesta pueden verse en el Anexo 4.
La encuesta tenía dos partes bien diferenciadas, la primera contenía tres
preguntas referidas a los contenidos en este ciclo y la segunda, otras tres respecto a los
métodos de enseñanza.
En la primera parte, se preguntaba a los profesores acerca de su opinión sobre la
adecuación de los contenidos de geometría en el tercer ciclo. La mitad de ellos los
consideraban acordes con las características cognitivas y madurativas del niño a esa
edad; otros, sin embargo, consideraban que eran contenidos bastante difíciles para los
niños o estaban mal estructurados y dificultaban su adquisición. Me gustaría destacar
la aportación de alguno de ellos que indican que amplían estos contenidos en la
asignatura de Educación Artística.
Otra de las preguntas se refería a su gusto por los contenidos establecidos en el
currículo. Al 65% de ellos les gustaban ya que son un reflejo de la vida cotidiana y se
acercan en gran medida a experiencias cotidianas que los niños pueden observar; sin
embargo, a algunos profesores les disgustan o son indiferentes para ellos. Creo que
esto dificulta su actividad docente y, en mi opinión, deben intentar presentárselos a los
niños de una forma innovadora y motivadora.
La última pregunta referida a los contenidos establecidos, aludía a la variación
de los mismos en los últimos años. A esta respuesta más de la mitad contestaban que
los contenidos han permanecido estables. Los profesores con pocos años de
experiencia únicamente contemplaban las variaciones de producidas en la última
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22
reforma y los dos más experimentados respondían que había cambios pero sin
concretar en qué momento se han producido.
Además de estas aportaciones de los docentes, me gustaría destacar la idea de
Fernando Fouz (1994) que señala que la Geometría no se trata como contenido
principal y se encuentra al final del libro, con lo que a veces se explica muy
rápidamente, aunque a los profesores les atraigan estos contenidos.
Por todo esto, a modo de conclusión de esta primera parte, me parecen muy
fructíferas las ideas recogidas que apoyan su estudio en otras áreas, como en Plástica y
que sería conveniente dedicarle más horas de las que están establecidas de antemano.
Igualmente, considero muy beneficioso un aprendizaje más exhaustivo de este
contenido que ofrece muchas posibilidades espaciales y de conexión con otras
realidades a los niños.
Una vez recogidas estas opiniones acerca de los contenidos y centrándonos en la
segunda parte del cuestionario, todos los docentes consideran que el empleo de
materiales didácticos es muy adecuado y que, de hecho, se utilizan de manera
generalizada en las aulas. Sin embargo, muchos desconocen las posibilidades que
ofrecen materiales tangibles o las opciones ofrecidas en la web a través de diferentes
aplicaciones. Por ello, la mayoría de ellos se limitan al uso de figuras geométricas que
se puedan manipular con el objetivo de pasar a una explicación simbólica. Otros utilizan
los recursos multimedia propios de las editoriales o de páginas que ofrecen alternativas
pero se limitan a este simbolismo descrito. Un pequeño porcentaje de ellos utiliza
recursos como los recortables, el tangram o el geoplano que se aproximan a este modelo
de enseñanza al que quiero acercarme con este documento.
Otra de las preguntas que se refería a la evolución en los materiales. Muchos no
los han variado, otros han incluido recursos digitales y otro grupo considera adecuado
actualizarse para responder a las demandas de los alumnos pero apenas aportan
soluciones para paliar este déficit.
En la última pregunta, referida a los métodos empleados por los docentes en sus
explicaciones, obtuve respuestas muy dispares. Los profesores que tenían pocos años de
experiencia respondieron que las variaciones en la forma de enseñanza habían sido
mínimas o no se habían producido. Sin embargo, los profesores con más años de
docencia, respondieron en sintonía con las aportaciones dadas anteriormente e indicaban
Ángel del Río San Martín
23
que actualmente partían de una manipulación y las clases eran un marco donde se
desarrollaba la creatividad, la práctica y un aprendizaje autónomo.
De forma generalizada, consideraban que los cambios más influyentes se han
producido en el plano digital con el uso de aplicaciones y recursos multimedia.
Como conclusión, cabría destacar que muchos profesores siguen estancados en
modelos tradicionales de enseñanza, ya sea por un desconocimiento de nuevas
metodologías, por una falta de interés en desarrollar propuestas más innovadoras y
enriquecedoras o porque consideran que las que llevan a cabo ya son suficientes. Por
ello, el siguiente apartado busca proporcionar y mostrar nuevos recursos y herramientas
que ayuden a los docentes a variar o complementar sus enseñanzas sobre geometría.
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Ángel del Río San Martín
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5.- PROPUESTA DE MÉTODO
Después de hacer este estudio de las diferentes corrientes y metodologías de
enseñanza en la escuela de Educación Primaria, de acuerdo con Salas Cánovas (2008)
considero muy beneficioso iniciar las explicaciones de geometría con objetos
tridimensionales de los que se tiene una experiencia visual previa, para después avanzar
a analizar sus componentes, no como se hace tradicionalmente siguiendo un orden
progresivo en los conceptos estudiados (partiendo de la noción de punto, pasando por la
de recta, plano, espacio…) que resulta muy abstracto. Procuraré dar importancia a los
juegos y al aprendizaje por descubrimiento, para no potenciar únicamente aspectos
cognitivos sino favorecer también la comunicación, la creatividad o la espontaneidad.
Creo que apenas se le ha dado importancia a una educación interdisciplinar, es
decir, a una enseñanza en el que todos los contenidos estén relacionados y todas las
áreas se complementen. En mi opinión, es fundamental para que los niños tengan una
mejor predisposición ante esos contenidos tan odiados y rechazados como son los
contenidos geométricos. Por ejemplo, en el área de plástica los niños pueden comenzar
por realizar dibujos geométricos que podrán analizar con mayor motivación al tratarse
de algo propio y sentirse identificados con ello. De esta forma, a través de los sentidos y
de este análisis los niños adquirirán de manera indirecta alguna de esas nociones
geométricas que consideraban tan complejas.
El modelo de E-A que pretendo utilizar tendrá en cuenta los niveles de Van
Hiele propuestos en su libro “Structure and Insight”. Según él, para aprender geometría
los alumnos pasan por unos niveles (reconocimiento, análisis, clasificación, deducción
formal y rigor), más o menos rápidamente, capacitándoles para aplicarlas a nuevos
objetos.
En sintonía con la observación de Fuoz (2004), que da importancia también al
lenguaje usado o dominio del mismo, los estudiantes van a progresar cuando el nivel de
mejora del lenguaje matemático sea acorde a su nivel de aprendizaje. Fouz también
concede importancia a la significatividad de los contenidos, asimilando solo lo que
puede ser razonado de manera continua avanzando gradualmente y remplazando los
esquemas de pensamiento por otros más sencillos y prácticos.
Recordando brevemente estos niveles, parten de una visualización o
reconocimiento global de los conceptos, en el que no se concretan ni componentes ni
Ángel del Río San Martín
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propiedades. A partir de aquí, los niños perciben o analizan los elementos aunque sin
establecer relaciones entre ellos, generalizando los resultados de pocos ejemplos; no
realizan clasificaciones a partir de sus propiedades sino que solo comprenden las figuras
disjuntas. En el tercer nivel se inician las relaciones entre las propiedades llevando al
aprendiz a poder entender el significado de las definiciones matemáticas, a efectuar
clasificaciones lógicas, a comprender la necesidad de demostrar las afirmaciones y
puedan hacer demostraciones informales y, por último, a comprender y efectuar
implicaciones simples sin la experiencia de ordenar la secuencia para llegar a una
demostración formal.
Una vez alcanzado este nivel, el alumno, tal y como expresan Jaime y Gutiérrez
(1994), adquiere la capacidad de razonamiento lógico formal y en el último nivel puede
manejar y comparar los diferentes sistemas axiomáticos. Sin embargo, a estos últimos
dos últimos niveles apenas se les dará importancia debido a que los estudiantes podrían
conseguirlos en etapas posteriores de la educación y a un alumno de Educación Primaria
le resultará imposible alcanzarlos. En cualquiera de los campos de las Matemáticas hay
que iniciar desde el primer nivel y continuar de manera ordenada por los siguientes. De
esta forma, en el tercer ciclo de Educación Primaria todos partirán desde el mismo nivel
inicial, debido a que durante los cursos anteriores apenas se ven nociones geométricas.
El profesor tendrá la función de organizar el proceso de enseñanza-aprendizaje, las
actividades y los materiales para que los discentes puedan avanzar de nivel.
Con el método propuesto, buscaré los objetivos que plantea Fouz, F (1994) 1:
- Conectar al individuo con el mundo exterior, dándole información sobre las formas
y figuras, identificando sus relaciones y abstrayendo sus propiedades.
- Potenciar la formación de las personas mediante el ejercicio y el desarrollo de los
razonamientos inductivo y deductivo.
- Desarrollar y estimular el lenguaje para expresar ideas propias o adquiridas,
estimulando el pensamiento propio desarrollando su creatividad aportando nuevas
ideas.
- Resolver gran cantidad de problemas lo más abiertos posibles, en los que sea
necesario construir, dibujar, bosquejar, visualizar… usando el lápiz, papel,
calculadoras o el ordenador. 1 Objetivos extraídos de: Fouz, Fernando (1994). Reflexiones en torno a la didáctica de la geometría. Aula
de innovación matemática, 22,11-16.
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- Conectar la Geometría con otras áreas de las Matemáticas u otras disciplinas
técnicas.
- Valorar la importancia de la Geometría como elementos de conexión con el mundo
que nos rodea, su aportación al desarrollo de áreas científicas y tecnológicas, el
arte, la arquitectura, etc.
Aparte de todos estos objetivos propuestos por Fouz, considero importante el
siguiente:
- Fomentar el trabajo en equipo obteniendo conclusiones geométricas fruto de las
aportaciones tanto propias como de otros compañeros. Tomar una actitud de
respeto y tolerancia hacia otras posturas.
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6.- PROPUESTA DE ACTIVIDADES
A modo de ejemplo, en este apartado propongo una serie de actividades
enmarcadas en un proyecto que tiene por objetivo el conocimiento de las culturas
egipcia y mesopotámica, por lo que las figuras, arquitecturas, pirámides y otros
elementos de estas civilizaciones pueden servirnos como eje vertebral. En este proyecto
participan todas las áreas y suponemos que el colegio en el que se desarrolla el
proyecto, cuenta con los medios adecuados para su desarrollo. Se presentan las
actividades de quinto curso pero fácilmente podrían ser modificadas o ampliadas para
desarrollarlo con los discentes de sexto curso.
Se supone que los niños que inician este proyecto tienen nociones sobre los
elementos básicos de las figuras geométricas, es decir, conocen el concepto de punto,
recta o ángulo y son capaces de diferenciar entre figuras planas y cuerpos geométricos.
Actividad 1:
Para comenzar se muestra en el proyector diferentes elementos de estas
civilizaciones y, de manera grupal, tienen que indicar de qué figura se trata y aportar
conocimientos previos sobre ellas a modo de lluvia de ideas. Con esta actividad el
objetivo que se persigue es que los niños adquieran conocimientos históricos y
geométricos sobre estas civilizaciones y expresen sus ideas para verse participes en su
proceso de E-A. Por ejemplo, con las tablillas de arcilla mesopotámicas se explicará el
sistema sexagesimal y con la figura estrellada de Egipto se iniciará el concepto de
polígono regular.
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Una vez finalizado este reconocimiento, los alumnos se colocarán por parejas y
se les repartirá un cuerpo geométrico a cada grupo para que entre ambos extraigan
unas conclusiones de sus peculiaridades. Tras intercambiar sus impresiones durante
tres o cuatro minutos, rotarán las figuras al siguiente grupo hasta que hayan podido
manipular todas ellas. El objetivo de esta actividad es que busquen parecidos y
semejanzas de estas figuras con las proyectadas anteriormente.
Ambas propuestas pueden ser adecuadas para ponerse en práctica durante una
sesión completa de 60 minutos al iniciar dicho bloque de contenidos y como método
de introducción al tema. Sin embargo, creo que esta segunda propuesta puede
desarrollarse en varias sesiones durante el proyecto para percibir una mejora en sus
conocimientos y fomentar sus habilidades orales y sociales mediante el diálogo con
otros alumnos.
En la actividad también se buscará que los estudiantes se fijen en la forma de sus
caras y deberán relacionar las áreas con el volumen.
Ángel del Río San Martín
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Actividad 2:
En esta actividad se preguntará a los niños de manera grupal cuál de las
siguientes figuras es un cuadrado y ellos explicarán el motivo de su elección. El
objetivo buscado es que los niños conozcan las diferencias entre cuadrado, rectángulo o
rombo atendiendo a sus ángulos interiores, a la medida de sus lados y de sus diagonales.
En cuanto al objetivo interdisciplinar que se busca es que los niños dialoguen sobre las
ideas y las apreciaciones que pueden observarse en las figuras.
De esta forma, se plantea como ejercicio introductorio a la explicación de los
diferentes paralelogramos y se entregará, de manera individual, un folio donde estarán
impresas y tras recortarlas, podrán manipularlas para ver sus diferencias.
A partir de estos cuatro cuadriláteros, los estudiantes deberán utilizar los
cuadriláteros necesarios para formar un prisma de base
cuadrada. El objetivo que se busca es que los niños
manipulen con estas figuras planas que serán utilizadas como
las caras de un prisma. En esta actividad los niños tienen que
usar sólo algunas de estas figuras y de manera repetida las
que sean necesarias, por lo que tendrán que ser ellos mismos
los que copien los cuadriláteros que sean precisos.
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Actividad 3:
Esta actividad, a diferencia de las otras propuestas, no está relacionada con la
cultura egipcia, pero ofrece muchas posibilidades tanto para el docente como para los
alumnos, por lo que considero importante su realización.
Para llevar a cabo esta actividad es necesaria la utilización del programa digital
GeoGebra, que permite el trazado de diferentes construcciones geométricas y otras
muchas funciones. Dependiendo del número de ordenadores disponibles en el centro, se
trabajará individualmente o por parejas. Para el manejo de este programa y la
realización de las propuestas, son necesarias al menos dos sesiones introductorias.
Los ejercicios propuestos son los siguientes:
- Construye polígonos regulares de 3, 6 y 9 lados. ¿Qué ocurre si el número de lados
es muy alto? ¿Qué figura obtendremos?
- Traza un cuadrado de lado igual a tres unidades utilizando únicamente las
funciones de segmento de longitud dada, la función ángulo dada su amplitud y la
función recta perpendicular.
- A partir de la siguiente figura, traza todos los
cuadrados que puedan quedar contenidos dentro de
todos los puntos propuestos. ¿Cuántos cuadrados
has obtenido? Compara tus resultados con los de tus
compañeros.
El objetivo buscado con estas actividades es que los niños, digitalmente, manejen
distintos polígonos regulares tras una explicación previa. Por lo que, podría ponerse en
práctica sobre la cuarta sesión del proyecto, cuando tienen ya adquiridas una serie de
nociones básicas acerca de los términos que van a usarse.
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Actividad 4:
Para realizar la siguiente actividad, se
necesitará un tangram para cada trío de alumnos,
que se colocarán alrededor de una mesa. Los niños
deberán ordenar las diferentes piezas del tangram
para obtener una figura donde la imagen que
contiene quede ordenada tal y como se muestra en
la foto inferior.
Lo que se busca con esta actividad es que el niño se inicie en el manejo del
tangram y, a modo de rompecabezas, pueda apreciar y ordenar las partes de una imagen
final que obtendrán como resultado. Además, una vez obtenida la figura, relacionarán la
pirámide ilustrada con las características de dicho cuerpo geométrico.
Una vez finalizada esta tarea, lo alumnos deberán
dar la vuelta a las piezas para obtener un tangram
convencional, como el que puede observarse a la derecha.
Con estas piezas deberán obtener las siguientes figuras de manera libre, sin
seguir un orden en la consecución de las mismas. De esta forma, con ayuda de su grupo,
podrán verse partícipes en sus propios aprendizajes desarrollando un pensamiento
reflexivo mientras combinan y manipulan figuras planas.
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Para finalizar con el uso de este recurso, deben construir una figura utilizando
estas piezas y tras dibujar la silueta en un folio, deberán entregárselo a otro grupo para
que intente resolverlo. El objetivo buscado es que los niños desarrollen su creatividad y
que descubran la figura que tenga mayor área, ya que en función de las piezas utilizadas
va a variar y para darse cuenta de que con diferentes aspectos hay figuras que pueden
tener la misma área.
El momento más adecuado para llevarse a cabo es al finalizar los aprendizajes de
figuras planas, durante una sesión de 60 minutos. Se dará mayor carga temporal a la
última propuesta, ya que engloba los aprendizajes anteriores.
Actividad 5:
La actividad propuesta busca que el discente sea capaz de analizar y distinguir
diferentes elementos geométricos dentro de un conjunto, por lo que se plantea dentro de
este segundo nivel propuesto por Van Hiele, el de análisis.
La duración total puede ser de unos 15 minutos durante cualquier momento que
el docente considere oportuno a lo largo del proyecto, ya que no implica ningún tipo de
conocimiento superior. El ejercicio consiste en que los alumnos de manera individual
deberán encontrar en la siguiente imagen diferentes elementos geométricos:
Cilindro Rectas
perpendiculares
Triangulo
Tronco de
cono
Rectángulo
Semicircunferencia
Rectas
paralelas
Arco y corona
circular
Cuadrado
Ángel del Río San Martín
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Actividad 6:
Para realizar estas actividades el niño necesita un conocimiento de las
propiedades de las diferentes figuras. El objetivo que se persigue es un manejo de las
mismas para conocer sus ángulos interiores y el valor de la suma de todos ellos. Esta
actividad la considero conveniente para el inicio del temario durante la mitad de la
sesión, unos 30 minutos, para que los niños puedan analizar y saquen conclusiones de
sus aprendizajes.
El discente deberá determinar cuál es el valor del ángulo que falta en las
siguientes figuras, que esta coloreado de verde:
Actividad 7:
El objetivo es que los niños aprendan las propiedades y definiciones diversas
figuras partiendo de un ejemplo. Es decir, en base a un razonamiento inductivo, los
niños pueden llegar a una generalización para los demás casos.
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Actividad 8:
Para realizar esta actividad se precisa el uso del geoplano, que es un material
didáctico compuesto por una plataforma que se ha cuadriculado y en cada vértice hay
un clavo para sujetar diferentes gomas y formar figuras. Al ser un material sencillo no
hace falta presentación. Los alumnos estarán distribuidos en grupos de tres para que
puedan comparar sus opiniones.
La actividad pertenece al tercer nivel propuesto por Van Hiele y se alcanza en
los últimos momentos del curso, cuando el alumno ya ha asimilado y manejado una
serie de nociones sobre el ámbito. Lo que se pretende es establezcan relaciones entre
distintas propiedades de una figura, como puede ser entre sus ángulos y sus lados.
- Construye un cuadrilátero que tenga sus ángulos opuestos iguales dos a dos,
¿cómo serán sus lados?
- Construye un triángulo rectángulo con dos de sus lados iguales, ¿Cuánto medirán
sus tres ángulos?
- Construye un polígono convexo de 4 lados y a través de la triangulación desde un
vértice, ¿podrías calcular la suma de sus ángulos interiores? Haz el mismo proceso
con polígonos de 5,6 y 7 lados.
Establece una generalización que sea válida para polígonos de cualquier número
de lados.
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Siguiendo los objetivos de la anterior propuesta, los alumnos deberán realizar
esta actividad de manera individual en la que tendrán que utilizar las propiedades de una
figura y relacionarlas con otra adjunta.
Como se puede observar, en estas últimas actividades no se trabaja la cultura
egipcia y mesopotámica debido a que implican niveles superiores. Se presupone que ya
habrán adquirido las nociones históricas y culturales básicas sobre ello.
Los niños tendrán que calcular los ángulos interiores del siguiente paralelogramo
dibujado de color verde:
Actividad 92:
Adentrándonos en este nivel de análisis de diferentes figuras y objetos, se busca
que el discente perciba las propiedades de las distintas figuras por medio de la
experimentación y observación. Para ello, a modo de ejemplo, se trata de proponer a los
docentes algunas cuestiones de elección múltiple:
El conjunto de 10 o 12 preguntas de este estilo puede desarrollarse como prueba
de evaluación al final del este pequeños apartado del proyecto para ver los avances de
los niños. En cuanto al tiempo de duración total vendrá limitado por el número de
2 Esta actividad ha sido extraída del artículo: Fouz, Fernando (2006). Test geométrico aplicando el
modelo de Van Hiele. Sigma: Revista de matemáticas, 28. Disponible:
http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43-
573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_28/5_test_geometrico.pdf .
Asimismo, algunas de estas son obtenidas del test de Salman Usinskin que se compone de 25 preguntas y
tiene preguntas referidas a los 5 niveles propuestos por Van Hiele.
Ángel del Río San Martín
38
preguntas pero no ha de superar los 60 minutos, ya que si no descendería la
concentración de los estudiantes. Algunas de estas preguntas son las siguientes:
1.- ¿Cuál de las siguientes respuestas, referidas a la figura de la derecha, NO ES
CORRECTA?
a. Es un paralelogramo.
b. Es un rombo.
c. Es un cuadrado.
d. Es un cuadrilátero.
e. No puede ser todo lo anterior a la vez.
2.- La figura muestra una sección hexagonal de un cubo ¿qué respuesta de las siguientes ES FALSA?
a. Los triángulos sobre las caras son isósceles.
b. Cada cara del cubo contiene un solo lado del hexágono.
c. La figura es imposible, en la realidad se trata de una ilusión falsa.
d. El hexágono es regular.
e. Las dos partes en que se divide el cubo son idénticas.
3.- Tenemos cuatro rectas en el plano: “m”, “n”, “p” y “q”. Si “m” es paralela a “n” que,
a su vez, lo es de “p”, mientras que “q” es perpendicular a “n”. ¿Cuál de las siguientes
respuestas es CORRECTA?
a. “q” también debe ser perpendicular a “m” y “p”.
b. En algún caso puede que no se cumpla el apartado anterior.
c. “p” y “q” son paralelas.
d. Podemos encontrar una recta “s” que sea paralela a “n” y no perpendicular a “q”.
En Anexo 5 pueden encontrarse otros ejemplos del mismo formato que los
enunciados y el Anexo 6 se proponen varios enlaces con recursos digitales.
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7.- CONCLUSIONES
Una vez realizado este análisis de los diferentes aspectos de los que se compone
el presente trabajo, hemos podido extraer una serie de conclusiones acerca de este
ámbito.
En primer lugar, tras la implantación de la LOMCE los contenidos de la
geometría se han modificado y no se hacen referencias al uso y a la manipulación de
ningún tipo de herramientas que facilite la comprensión de esos contenidos tan
simbólicos.
En segundo lugar, a pesar de que los profesores innovan en sus clases, se limitan
al uso de material digital o medios convencionales, ya que es lo más sencillo que tienen
a su alcance.
En tercer lugar, los niños no se encuentran motivados ante estos contenidos
dificultando así sus aprendizajes.
En cuarto lugar, considero que puede que siguiendo una serie de niveles, como
los propuestos por Van Hiele, se reduzca este problema.
Por último, el modelo propuesto utiliza material manipulativo y se adapta a las
características individuales de cada niño para conseguir un éxito en el proceso de E-A.
Ángel del Río San Martín
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Ángel del Río San Martín
41
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Decreto 24/2014, de 13 de junio, por el que se establece el currículo de la Educación
Primaria en la Comunidad Autónoma de La Rioja (BOR de 16/06/2014).
Ertmer, P.; Newby, T. (1993). Conductismo, Cognitivismo y Constructivismo: Una
Comparación de los Aspectos Críticos desde la Perspectiva del Diseño de la
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Eves. H. (1969). Estudio de las geometrías. México: UTEHA.
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(Trad. México: Trillas, 1976).
Gardner, H. (1993). La mente no escolarizada. Cómo piensan los niños y cómo
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Jiménez Gestal, C. Apuntes de la asignatura, Matemáticas y didáctica de las
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Curso 2014-2015
Perales, F.Javier (1992). Desarrollo cognitivo y modelo constructivista en la enseñanza-
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Ramos, S. (2011). El cognitivismo en la educación. Recuperado de:
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Rendón, A. (2002). Geometría paso a paso. Madrid: Tebar.
Rivas, M. T.; Extremiana, J. I.; Hernández, L. J. (2001). Poliedros. En L. Español y J.L.
Varona (Eds.), Margarita Mathematica en memoria de José Javier (Chicho)
Guadalupe Hernández (pp. 139-166) Universidad de la Rioja.
Ángel del Río San Martín
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Coruña, 5, 50-55.
Ángel del Río San Martín
9.- ANEXOS
Anexo 1: CONTENIDOS DE LA LOE
Los contenidos vistos en el Decreto 4/2011, de 28 de enero, en el Bloque 3:
Geometría del área de Matemáticas, para el tercer ciclo de Educación Primaria son los
siguientes:
Bloque 3. Geometría
- La situación en el plano y en el espacio.
* Posiciones relativas de rectas y circunferencias.
* Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice
* Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos por
medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros...
* La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas.
* Utilización de instrumentos de dibujo y programas informáticos para la
construcción y exploración de formas geométricas.
- Formas planas y espaciales.
* Figuras planas: elementos, relaciones y clasificación.
* Clasificación de triángulos atendiendo a sus lados y sus ángulos.
* Relaciones entre lados y entre ángulos de un triángulo.
* Clasificación de cuadriláteros atendiendo al paralelismo de sus lados. Clasificación
de los paralelepípedos.
* Concavidad y convexidad de figuras planas.
* Identificación y denominación de polígonos atendiendo al número de lados.
* Perímetro y área.
* La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro, radio, diámetro, cuerda,
arco, tangente y sector circular.
* Cuerpos geométricos: elementos, relaciones y clasificación.
* Poliedros. Elementos básicos: vértices, caras y aristas. Tipos de poliedros.
* Cuerpos redondos: cono, cilindro y esfera.
* Formación de figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras por
composición y descomposición.
- Regularidades y simetrías.
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* Reconocimiento de regularidades y, en particular, de las simetrías de tipo axial y de
tipo especular.
* Trazado de una figura plana simétrica de otra respecto de un eje.
* Introducción a la semejanza: ampliaciones y reducciones.
* Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones ante situaciones de
incertidumbre relacionadas con la organización y utilización del espacio. Confianza
en las propias posibilidades para utilizar las construcciones geométricas y los objetos
y las relaciones espaciales para resolver problemas en situaciones reales.
* Interés por la presentación clara y ordenada de los trabajos geométricos.
Anexo 2: LOS CORRESPONDIENTES CONTENIDOS DE LA LOMCE
Con la implantación de la nueva ley educativa, LOMCE, y en concreto gracias al
establecimiento del decreto 24/2014 de 13 de junio, por el que se establece el currículo
de la Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de La Rioja, se pueden extraer
los siguientes contenidos referidos a geometría para los alumnos de quinto y sexto curso
de Educación Primaria:
Los contenidos del cuarto bloque, referente a la geometría, que establece el
boletín oficial de La Rioja para quinto curso son los siguientes:
- La situación en el plano y en el espacio
- Posiciones relativas de rectas y circunferencias
- Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice
- Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos.
- La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas.
- Formas planas y espaciales: figuras planas: elementos, relaciones y clasificación.
- Clasificación de triángulos atendiendo a sus lados y sus ángulos.
- Clasificación de cuadriláteros atendiendo al paralelismo de sus lados. Clasificación
de paralelepípedos.
- Concavidad y convexidad de figuras planas.
- Identificación y denominación de polígonos atendiendo al número de lados
- Perímetro y área.
- La circunferencia y el círculo. Elementos básicos: centro, radio, diámetro, cuerda,
arco, tangente y sector circular.
Ángel del Río San Martín
- Regularidades y simetrías: Reconocimiento de regularidades y, en particular, de las
simetrías de tipo axial y de tipo especular.
Los contenidos del cuarto bloque, referente a la geometría, que establece el
boletín oficial de La Rioja para sexto curso son los siguientes:
- Sistema de coordenadas cartesianas.
- Descripción de posiciones y movimientos
- La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas.
- Formas espaciales: elementos, relaciones y clasificación.
- Cuerpos geométricos: elementos, relaciones y clasificación.
- Poliedros. Elementos básicos: vértices, caras y aristas. Tipos de poliedros.
- Cuerpos redondos: cono, cilindro y esfera
- Cálculo de áreas y volúmenes de: prisma, pirámide, cilindro y cono.
- Regularidades y simetrías.
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Anexo 3: MODELO DE ENCUESTA ELABORADA
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Anexo 4: LOCALIZACIÓN DE LOS COLEGIOS
EN LOGROÑO
Como se observa en la fotografía, los colegios están
distribuidos por los diferentes puntos de la ciudad de Logroño.
Anexo 4: RESPUESTAS A LA ENTREVISTA
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Anexo 4: RESPUESTAS EXTRAIDAS DE LOS CUESTIONARIOS
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Anexo 5: OTROS EJEMPLOS DE ACTIVIDADES
- Si disponemos de escuadra y cartabón, para trazar paralelas y perpendiculares
¿podemos desde el centro de un hexágono regular trazar ángulos de 30º, 45º,60º, 90º,
120º, 135º 150º y 180º?
a. Sólo los múltiplos de 60º.
b. Sí, en todos los casos.
c. Todos excepto 45º y 135º.
d. No porque necesitamos además un compás.
e. Si no lo inscribimos en una circunferencia será imposible.
- Si trazamos la diagonal de un cuadrado… ¿qué afirmación NO ES CIERTA?
a. Lo divido en dos triángulos iguales.
b. Lo divido en dos triángulos isósceles.
c. Lo divido en dos triángulos rectángulos.
d. Lo divido en dos triángulos de igual área.
e. Alguna de las anteriores respuestas tiene que ser falsa.
- En la figura hemos trazado desde “A” los dos segmentos tangentes a la circunferencia.
¿Qué propiedades son verdaderas?
a. Los ángulos “OCA” y “OBA” son rectos.
b. Los segmentos “AC” y “AB” miden lo mismo.
c. Si movemos “A” sobre la recta que pasa por “A”
y por “O”, no varía la posición de “C” y “B”.
d. Los cuatro puntos A, B, C y O pertenecen a una
misma circunferencia.
Ángel del Río San Martín
- Si trazamos la diagonal de un rectángulo cualquiera… ¿qué afirmación NO ES
CIERTA?
a. Lo dividimos en dos triángulos iguales.
b. Lo dividimos en dos triángulos isósceles.
c. Lo dividimos en dos triángulos rectángulos.
d. Lo dividimos en dos triángulos de igual área.
e. Una de las anteriores respuestas es falsa.
Ángel del Río San Martín
Anexo 6: RECURSOS DIGITALES.
Arranz, J.M. (2004). Geometría activa. Recuperado de:
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/index.htm
García, J. Didactmatic primaria. http://www.didactmaticprimaria.com/
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2009/problematic/menuppal.
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http://www.mundoprimaria.com/juegos-matematicas/juegos-actividades-figuras-
geometricas-6o-primaria
Ruiz, A. (2007). JueduLand. Recuperado de: http://roble.pntic.mec.es/arum0010/
