Clasificación de las relaciones

según sus

propiedades

Introducción:En esta unidad aprenderemos a utilizar los grafos y

a clasificar sus relaciones…

A

E

B

C

D

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Índice Introducción Grafos Vértices Aristas Propiedad Reflexiva Propiedad no Reflexiva Propiedad Irreflexiva Propiedad Simétrica Propiedad Asimétrica Relación transitiva Relación de Equivalencia Ejemplo de las relaciones

GRAFOS

Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas.

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Vértices Los vértices son los dos elementos que forman un

grafo. Como ocurre con el resto de las ramas de las matemáticas, a la Teoría de Grafos no le interesa saber qué son los vértices.

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Aristas

Son las líneas con las que se unen los vértices de un grafo, los vértices a y b son los extremos.

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Propiedad ReflexivaSi tenemos un conjunto “A” y una relación “R” sobre el mismo, diremos que “R” es reflexiva si para cada elemento de “A” el par ordenado (X,X) es un elemento de R.

A= {1,2,3}R={(1,1),(2,2),(3,3)}

.

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Si la relación es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación..

Matriz de relación

Esta matriz se caracteriza por tener sus elementos en la diagonal principal.

A= {1,2,3}R={(1,1),(2,2),(3,3)}

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Propiedad no reflexiva

Si ala diagonal le pertenecen solo algunos elementos de la diagonal y otros no, se le

denomina no reflexiva

A={1,2,3,4}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,3)}

Si a la diagonal le falta un solo elemento De la relación se vuelve no reflexiva.

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Matriz de Relación

En este caso con que un elemento de la relación que se encuentre fuera de la diagonal principal se considera como no reflexiva.

A={1,2,3,4}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,3)}

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Propiedad irreflexiva

Si ningún elemento de la diagonal pertenece a la relación, recibe el nombre de irreflexiva.

A={2,3}R={(2,3),(3,1)

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Matiz de relación

En este caso se considera irreflexiva si ninguno de los elementos de la relación pertenece a la diagonal principal.

A={2,3}R={(2,3),(3,1)

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Propiedad simétricaDado un conjunto “A” y una relación “R” sobre “A”,

diremos que “R” es simétrica si y solo si. Para cualquier par ordenado de R, el par obtenido

permutando sus componentes también pertenece a “R”.

A={1,2,3,4}R={(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)}

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Matriz de relación

En este caso debe existir la diagonal principal y para cada elemento que se encuentre fuera de la diagonal debe existir otro (paralelo al mismo).

A={1,2,3,4}R={(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)}

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Propiedad Transitiva Dado un conjunto “A” y una relación “R” sobre

“A”,, diremos que “R” es transitiva si y solo si, para todo par de elementos (x, y) de la relación, se verifica que (x, z) también pertenece a la relación.

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Relación de equivalencia

Una relación sobre un conjunto si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva “A”, se llama relación de equivalencia.

A={1,2,3,4,5}R={(1,1),(1,2),(1,5),(2,1),(2,2),(2,5),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,5)}

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se dice que para cada par (a, b) que pertenece a R, el par (b, a) no pertenece.

Ejemplo:

A={1,2,3,4}

R={(1,1), (1,2), (3,2), (3,3)}

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

a

b

f

d

La relación asimétrica

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Ejemplo real sobre las relaciones mencionadas anteriormente

Una Persona “x” que sale de su casa (la casa se encuentra en otay constituyentes)y va a la escuela (cetis 156), después regresa

a su casa a comer, y después de comer sale de la casa y se va a su trabajo(burguer

king de plaza otay)

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Ir ejemplo

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2

1

3

A=1.2.3R={(1,2)(2,1)(1,3)

Matriz: 0 1 1

1 0 0

0 0 0

1 2 3

1

2

3

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Irreflexiva

Equipo: The Avengers

Rodríguez Gómez Christian 12211966

Giovanni Padilla Solís 12211498

José Chagala Jiménez 12211507

Bryan Ontiveros Valenzuela 12211523

Daniel Mora Saldaña 12211524

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FIN