8/16/2019 Rectas y Circunferencias

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RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

En esta clase continuaremos con la geometría analítica introduciendo los conceptos

de rectas y circunferencias, usando el concepto de distancia introducidas en la

clase anterior.

RECTAS

Sean(1,1) A =

  y(3,3) B  =

, los

puntos( , ) P x y=

  tal que seencuentran a la misma distancia de A

 y B

 deben verificar 

2 2 2 2( 1) ( 1) ( 3) ( 3) x y x y- + - = - + -.

Lo cual luego de simplificar queda como

4 0 x y+ - =

Dicho conjunto de puntos es llamado recta.

Usaremos frecuentemente la notacinl  para representar una recta.

!. La ecuacin general de la rectal  es

0ax by c+ + =, donde

, ,a b c son constantes.

"ropiedades

Seal  una recta no vertical. "ara cualquier

 P ,

Q 

l  diferentes, se cumple

( , ) pend P Q m= es constante

Dicho valor

m

 es llamado  pendiente de la recta

l 

.

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#. La ecuacin punto $ pendiente de la rectal  pasando por el punto

0 0( , ) P x y=

 y

de pendientem

 es%

0 0( ) y y m x x- = -

&. La ecuacin intercepto $ pendiente de la rectal  con

 y$intercepto

b y pendiente

m es%

 y mx b= +

'omo podemos observar las rectas verticales no tienen pendiente, pero si tienen x -

intercepto por lo cual su ecuacin es% x c=

, siendoc

el x -

intercepto.

Ejemplo 144. Dada la recta l  de ecuación general 1 0 x y- + =

, podemos

ver que pasa por los puntos(1, 2) P  =

 y(0,1)Q  =

 siendo 1 su y -

intercepto.Luego la pendiente de la recta es $!. Por lo tanto

!. La ecuación punto-pendiente es2 1( 1) y x- =- -

.

#. La ecuacin intercepto$pendiente es1 y x=- +

.

Dos rectas1

l 

  y2l 

 se dice que son  paralelos, denotadas por1 2l l P

, cuando soniguales o no se intersectan. La siguiente propiedad nos permite caracteri(ar a lasrectas paralelas.

"ropiedades

Dos rectas son paralelas si y slo si tienen la misma pendiente.

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Ejemplo 145. Si las rectas1 : 5 3 0l ax y+ - =

 y2 : 4 10 6 0l x y- + =

 son paralelas,

significa que tienen la misma pendiente. )sí la pendiente de1

l 

 es5

a-

 y la de2l 

 es

4

10. "or tanto%

4

5 10

a- =

Deduciendo que2a =-

Dos rectas

1l 

 y

2l 

 diremos que son perpendiculares, denotadas por

1 2l l 

, cuandoel *ngulo entre ellas es recto.

El siguiente resultado nos caracteri(a a las rectas perpendiculares.