RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS … · soluciones omÑ – nivel 3 1 recopilaciÓn de...

SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3

1

RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE

OMÑ

TERCER NIVEL

INSTANCIAS:

INTERCOLEGIAL – ZONAL – REGIONAL – PROVINCIAL -

NACIONAL

ARIADNA ARFINI

OSCAR FABIÁN OVANDO


2


3

1. El triángulo CDE y el rectángulo ABCE tienen igual altura.

El Área del polígono ABCDE es 72 cm2.

Si AB=9,6 cm.

¿Cuál es la longitud de la altura del triángulo?

SOLUCIÓN

área (ABCDE) = 72cm2

AB = 96cm = b

DF =?

(b . h ) + 1

2 (b . h ) = 72cm2

3

2 (b . h ) =

3

2 . 9,6cm . h = 72cm2

h = 72

9,6 cm = 5cm

h = DF = 5cm

2. Mariano compra un diario todos los días y una revista deportiva todos los domingos; paga por el

total a fin de mes.

En un mes de 30 días en el que hubo cuatro domingos pagó $71.

El diario cuesta $1,50 de lunes a sábado y $2,50 los domingos.

Sobre el precio de venta, el dueño del quiosco tiene una ganancia del 20% por los diarios y del 30%

por las revistas.

¿Cuánto pagan ese mes con las compras de Mariano?

SOLUCIÓN

Lunes a Sábado −→ 26d x $1,5 = $39

Domingos −→ 4d x $ 2,5 = $10

Pago de diarios−→ $39 + $10 = $49


4

Pago total - Pago diarios = Pago revistas

Pago total −→ $71

Pago diarios −→ $49

Pago revistas −→ $ 22

ganancia por diarios −→ 20% −→ 1

100. ($49 . 20) = $9,8

ganancia por diarios −→ 20% −→ 1

100. ($22 . 20) = $6,6

ganancia total = ganancia diarios + ganancias revistas = $16,4

3. ¿Cuántos cuadriláteros (polígonos de 4 lados) hay en la figura?

SOLUCIÓN

a −→ (1, 2)

b −→ (4,5)

c −→ (8, 9)

d −→ (11, 12)

(a). (3) , (b) , (6), (7), (c), (10), (d), (a,3,b,6,7,c,10,d) , (a,3,b,6), (7, c, 10, d). (a, 7) , (3, c) , (b, 10) , (6,d),

(a,3,7,c), (b,6,10,d), (a,3), (b, 6), (7,c), (10,d), (1,3), (4,6), (3,5), (7,9), (8, 10), (10, 12), (2,7), (3,8),

(5,10), (6,11), (1,2,3 5), (1,3,5), (1,3,4,5), (1,3,4,5,6), (7,8,9,10), (7,9,8,10,12), (8,9,10), (8,9,10,12),

(8,10,12), (9,8,10,11,12), (8,10,12), (8,10,11,12), (1,3,5,8,10,12), (b,10), (c,3), (a,b,3)

4. Lucía fue a la feria del libro. Pagó $5 de entrada. Compró varios libros y un diccionario. Los libros

costaban $84; al agregar el diccionario, el total superaba los $100. Por compras superiores a $100 se

hace un descuento del 15% y, además, se devuelve el importe de la entrada. Lucía pagó con un

billete de $100 y uno de $20. Le devolvieron $14,50. ¿Cuál era el precio de venta del diccionario?

SOLUCIÓN

entrada −→ $ 5

libros −→ $ 84

libros + diccionario > $100

descuento = 15% + entrada

billetes ($100 + $20) −→ $120

devolvieron −→ $14,50

pagó −→$105,50


5

entrada devuelta −→ $5

libros + diccionarios −→ $110,50 (con descuento)

$110,50 > $100 −→ hubo un descuento del 15%, entonces se pagó el 86% del precio real.

85% −→ $ 119,50

100% −→x = $ 100 .110,50

5 = $ 130

libro + diccionario −→ $130

$84 + d = $130 =⇒ d = $130 - $84 =⇒ d = $46

5. Marcela olvidó las cuatro cifras del código de su tarjeta. Recuerda que su código no tiene cifras

repetidas, que las tres primeras cifras están, en algún orden en su número de documento y que la

cuarta cifra no está en su número de documento.

El número de documento de Marcela es 27127887.

¿Cuántos son los posibles números del código de la tarjeta de Marcela?

SOLUCIÓN

DNI = 27127887 −→ 2718

Por casa número posible, la unidad podría ser 0, 3, 4, 5, 6, 9

127812701273 172𝑎

128𝑎 182𝑎 178𝑎

187𝑎

1274 271𝑎127𝑎 1275 721𝑎

1276 821𝑎

217𝑎 271𝑎 281𝑎712𝑎 718𝑎 781𝑎821𝑎 817𝑎 871𝑎

278𝑎 287𝑎782𝑎 728𝑎872𝑎 827𝑎

1279

7. Un fabricante de jabones vende cada paquete a $57,60.

Un paquete contiene una docena de cajas y cada caja contiene 4 jabones. Si un comprador pide más

de 100 paquetes, el fabricante hace un descuento del 5% sobre el total. Ayer recibió un pedido de

6000 jabones.

¿Cuánto deberá pagar el comprador por este pedido?

SOLUCIÓN

1 paq −→ $57,60

1 paq −→ 12 cajas

1 caja −→ 4 jabones

1 paq −→ 12 x 4 jabones = 48 jabones

Si compra 100 paq −→ desc = 5%


6

6000 jab = 1500 cajas = 125 paq

Si 1 paq −→ $ 57,60

125 paq −→ $57,60 x 125

125 paq −→ $ 7200

100% −→ $7200

5% −→ $ 7200 .5

100 = $360

Debe pagar $7200 - $360 = $6840

6. El rectángulo ABCD está formado por tres cuadrados de 1m2 de área.

E es punto medio de BC

F es punto medio de AD

¿Cuál es el área de la figura rayada?

SOLUCIÓN

BE = EC

AF = FD

área (ABCD) = 3m2

área ((1)+(2)+(3)+(4)) = AD x DC = (AF + FD) x DC = 2AF x DC = 3m2

área (ABCD) = 4 . 1

4 FD x DC

área (DPC) = 4 . 1

2 CD x PQ

área ((5)+ (6)) = CD x PQ

Área no rayada = 2FD x DC = DC (FD + PQ) = 1m (1,5m + 0,75m) = 2,25m2


7

área rayada = 3m2 - 2,25m2 = 0,75m2

8. ABCD es un trapecio isósceles.

BCEF es un cuadrado de 36m2 de área.

Si el área del trapecio es el triple del área de BCEF, ¿cuánto mide el segmento AD?

SOLUCIÓN

BC = CE = EF = FB

área (ADCB) = 3 área ( BCEF)

área (ADCB) = 3 . 36cm2 = 108cm2

área (ADCB) = (AD + CB) . 𝐵𝐹

2 = 108cm2

como BF = BC = 6cm

(AD + 6cm) . 6cm = 2. 108cm2 = 216cm2

(AD + 6cm) = 216

6 cm = 36cm

9. El Sr. Pérez compró un departamento por $54.000. Pagó el 40% al contado y el resto en 80 cuotas

iguales. Por la suma financiada se le hizo un recargo del 75%. ¿Cuántas cuotas tenía pagas el Sr. Pérez

el día en que su deuda era de $11.340?

SOLUCIÓN

precio −→ $54000

contado −→ 40%

resto −→ 40% en 80 cuotas

recargo sobre el 60% −→ 75%

¿Cuántas cuotas tenía pagas?

100% −→ $54000

60 % −→ $54000 . 60

100

60% −→ 32400

recarga del 75% sobre $32400

100% −→ $32400


8

75 % −→ $32400 . 75

100

75% −→ $24300

debe pagar $32400 + $24300 = $56700

80 cuotas −→ $56700

1 cuota −→ $56700

80

1 cuota −→ $708,75

deuda = $11340 (es lo que falta pagar) pagado −→ $56700 - $11340 = $45360

$708,75 −→ 1 cuota

$45360 −→ x = 45360

708,75

x = 64

cuotas pagas −→ 64

10. Si se reemplaza cada por un dígito, ¿cuántos números de siete cifras que sean múltiplos de 9

se pueden obtener?

Explica por qué.

SOLUCIÓN

múltiplos de 9

A + B +C = 8

A + B + C = 17

A + B + C = 26

ABC = 8

008 107 224017 116 233026 125 242

341 521350 530404 602

035 134 251044 143 260053 152 305

413 611422 620431 701

062 161 314071 206 323008 215 332

440 710503 800512

ABC = 17


9

089 386 593098 395 629178 449 638

746 863755 872764 881

188 458 647197 467 656269 476 665

773 890782 908791 917

278 539 674287 548 683296 557 692

809 926818 935827 944

359 566 719368 575 728377 584 737

836 953845 962854 971

890 908

ABC = 26

899 989 998

11. El rectángulo ABCD tiene 128 cm2 de área.

AB = 2 AD

AE = EB

DC = 4 FC

¿Cuál es el área del cuadrilátero AECF?

SOLUCIÓN

área (ABCD) = 128cm2

AB = 2AD

¿área (AECF)?

AE = EB

DC = 4FC

área (ABCD) = AB x AD = 2 AD x AD = 2 (AD)2 = 128cm2

(AD)2 = 64cm2

AD = BC = 8cm

AB = 2AD = 2 8cm

AB = 16cm

AE = EB = 1

2 AB = 8cm

área(3) = 1

2 (8cm)2 = 32cm2

DC = 4FC


10

DC = DF + FC

DC = AB = 16cm

FC = 1

4 DC =

1

4 .16cm = 4cm

AD = 8cm

DC = DF + FC −→ 16cm = DF + 4cm =⇒ DF = 12cm

área(1) = 1

2 (DF x AD) =

1

2 (12cm x 8cm) = 48cm2

área(1) + área(3) = 48cm2 + 32cm2 = 80cm2

área (AECF) = 128cm2 - 80cm2 = 48cm2

12. El Sr. Pérez compró 4 juguetes: un avión, un bote, un coche y una grúa para regalar a sus tres

nietos: Pedro, Tomás y Martín. Desea repartir los 4 juguetes y no quiere que ningún nieto se quede

sin juguetes.

¿De cuántas maneras distintas puede regalarlos?

SOLUCIÓN

𝐴 𝑎𝑣𝑖ó𝑛𝐵 𝑏𝑜𝑡𝑒𝐶 𝑐𝑜𝑐ℎ𝑒

𝑃 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜𝑇 𝑇𝑜𝑚á𝑠𝑀 𝑀𝑎𝑟𝑡í𝑛

𝐺 𝑔𝑟ú𝑎

Queda así

𝐴𝐵𝐶𝐺 𝑃𝑃𝑇𝑀 𝑃𝑃𝑀𝑇𝐴𝐵𝐶𝐺 𝑇𝑇𝑀𝑃 𝑇𝑇𝑃𝑀𝐴𝐵𝐶𝐺 𝑀𝑀𝑃𝑇 𝑀𝑀𝑇𝑃

𝑃𝑇𝑃𝑀𝑇𝑀𝑇𝑃𝑀𝑃𝑀𝑇

𝑃𝑀𝑇𝑃 𝑃𝑇𝑀𝑃 𝑃𝑀𝑃𝑇𝑇𝑃𝑇𝑀 𝑇𝑀𝑃𝑇 𝑇𝑃𝑀𝑇𝑀𝑇𝑀𝑃 𝑀𝑃𝑇𝑀 𝑀𝑇𝑃𝑀

13. Don José, el ferretero, por cada 40 tornillos que compra encuentra 4 defectuosos y los devuelve.

Por cada 100 tornillos que vende regala 5.

Si vendió 1200 tornillos y no le quedó ninguno, ¿cuántos tornillos había comprado Don José?

SOLUCIÓN

40 tornillos −→ {4 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 → 𝑑𝑒𝑣𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒

36 𝑏𝑢𝑒𝑛𝑜𝑠 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎

100t −→ 100%

36t −→ 90%

vende el 90% de lo que compra

100t −→ 5t

36t −→ 1200𝑡 .5

100 = 60t

vende + regala = 1200t + 60t = 1260t −→(90% de la compra)


11

90% −→ 1260t

100% −→ x = 1200𝑡 .100

90 = 1400t

compró 1400 t.

14. En la figura BC = 2 AB; el ABE es un triángulo isósceles de 72 cm2 de Área y BCDE es un

rectángulo.

Calcula el Área del cuadrilátero ABDE.

SOLUCIÓN

BC = 2AB

área (ABE) = 72cm −→ isósceles

BCDE rectángulo

AB = BE

área (triángulo) = 1

2 (AB x BE) =

1

2 (AB)2 = 72cm2

(AB)2 = 144cm2 −→ AB = 12cm

BC = 2AB = 2 . 12cm = 24cm

AC = AB + BC = 12cm + 24cm = 36cm

área (ABCDE) = (AC + ED) . 𝐵𝐸

2= (36cm + 24cm) .

12

2𝑐𝑚 = 360 cm2

área (ABCDE) = 360cm2

15. Con los dígitos 0 – 1 – 2 - 8, se arman números de cuatro cifras, repetidas o no, que son divisibles

por 4.

¿Cuántos de estos números se pueden armar?

SOLUCIÓN


12

La cantidad total de números es 7 x 4 x 4 x 3 = 336 números distintos.

15. ABCG es un rectángulo de 72 cm de perímetro.

HE es la altura del triángulo DEF.

AB = 3BC , FD = AB y HE = 2BC

¿Cuál es el área de la figura de vértices ABCDEFG?

SOLUCIÓN

per (ABCG) = 72cm

DEF −→ triángulo

HE −→ altura del triángulo DEF

AB = 3BC

FD = AB

HE = 2BC

BC = AG

¿área (ABCDEF)?

AB = 3BC =⇒ per (ABCG) = 2 (BC + 3BC) = 72cm = 2 . 4BC = 8BC

72 cm = 8BC =⇒ BC = 9cm = AG

HE = 2BC = 2 . 9cm = 18cm


13

HE = 18cm

FD = AB = 3BC = 3 . 9cm = 27cm =⇒ FD = 27cm

área (rectángulo) = 243cm2

área (triángulo) = AB . BC = 37cm . 9cm = 243cm2

área (figura) = área (triángulo) + área (rectángulo) = 243cm2 + 243cm2 = 486cm2

17. Un local que hace fotocopias cobra, por cada una: $ 0,10 si se piden menos de 100 fotocopias; $

0,07 si se piden entre 100 y 199 fotocopias y $ 0,05 si se piden 200 fotocopias o más.

Esta mañana, entraron 4 clientes que pagaron, en total $ 45.

El primero pidió 65 fotocopias, el segundo pidió el doble que el primero y el tercero pidió el doble

que el segundo.

¿Cuántas fotocopias hizo el cuarto cliente?

SOLUCIÓN

$0,10 si

$0,07 si

$0,07 si

4clientes $45

A 65 fotocopias 65 fotocopias

B 2x65 fotocopias −→ 130 fotocopias

C 2.x130 fotocopias −→ 260 fotocopias

D ? fotocopias

65 x $0,10 + 130 x $0,07 + 260 x $0,05 = $6,5 + $9,10 + $13 = $28,60

Total - A - B - C = $45 - $28,60 = $16,40

Si C sacó 260 fotocopias y gastó $13, entonces D debe haber hecho más de 200 fotocopias.

D gastó $16,40

$0,05 −→ 1 fotocopia

$16,40 −→ x = $16,40

0,05 = 328 fotocopias

18. En la confitería, los sandwiches cuestan $ 54 el ciento.

Un kilo de bombones más un kilo de masas cuesta como 50 sandwiches.

Un kilo de bombones cuesta como un kilo y cuarto de masas.

Susana fue a la confitería con un número entero de pesos.

Después de comprar 75 sandwiches, lo que le quedó le alcanzaba para comprar 1 kilo de bombones

pero no le alcanzaba para comprar 1 kilo y medio de masas.


14

¿Cuánto dinero llevaba Susana?

Da todas las respuestas posibles.

SOLUCIÓN

100s −→ $54

1kgb + 1kgm −→ $54

2 = $27

Susana compró 75 + 1kgb

100s −→ $54

75s −→ x = $ 54 .100

75 = $72

1 kgb = 5

4 kgm

1kgm + 5

4 kgm =

9

4 kgm −→$27

1kgm −→ $12

3

2 kgm −→ $18

75s−→ $72

75s + 1kgm + 1kgb −→ $99

75s + 5

2 kgm + 1kgb −→ $117

19. En el pentágono ABCDE se trazan las diagonales AD y CE que se cortan perpendicularmente en el

punto O, de modo que:

EO = 9 cm

DO = 12 cm

ABCO es un cuadrado y el triángulo CDE tiene 150 cm2de área.

¿Cuál es el Área del pentágono ABCDE?

SOLUCIÓN

¿área (ABCDE) = ?

EO = 9 cm

DO = 12 cm

ABCD cuadrado


15

área (CDE) = 150cm2

área (CDE) = 1

2 [(EO + OC) . DO] =

1

2 [(9cm + OC) . 12cm] = 150cm2

300cm2 = 108cm2 + OC . 120cm =⇒ 192cm2 = OC . 12cm =⇒ OC = 16cm

AB = BC = OA = OC

área (AOC) = 1

2 (EO + AO) =

1

2 (9cm . 16cm) = 72cm2

área (ABCD) = AB . BC = (16cm)2 = 256cm2

área (ABCDE) = 150cm2 + 72cm2 + 256cm2 = 478cm2

20. Pepito tiene 7 alambres de longitud 1cm y 7 alambres de longitud 2cm.

Usando todos o algunos de estos alambres, arma y desarma rectángulos que no son cuadrados.

¿Cuántos rectángulos de distinto tamaño puede armar?

Indica la longitud de sus lados.

SOLUCIÓN

2 (1+2) 2 (3+1) 2 (4+1) 2 (5+1) 2 (6+1) 2 (7+1) 2

(8+1)

2 (3+2) 2 (4+2) 2 (5+2) 2 (6+2) 2 (7+2)

2 (4+3) 2 (5+3) 2 (6+3)

2 (5+4) 2 (6+4)

Se forman 17 casos distintos.

21. La Sra. García guarda las monedas de 25 centavos en un frasco verde y las monedas de 10

centavos en un frasco rojo.

El último día del año, en el frasco verde había $250 y en el frasco rojo $ 40.

Ese día decidió regalarle a Juan 3 de cada 100 monedas de 25 centavos y 5 de cada 100 monedas de

10 centavos.

¿Cuántos pesos le regaló a Juan?

SOLUCIÓN

$0,25 −→ v −→ $ 2,50

$0,10 −→ r −→ $ 40

i) 3 de cada 100 monedas de $0,25

ii) 5 de cada 100 monedas de $0,10

¿Cuánto recibió Juan?

i $0,25 −→ 1mv


16

i $0,20 −→ x = 1000mv

ii $0,10 −→ 1mr

ii $40,00 −→ x = 400mr

i 100mv −→ 3mv

i 1000mv −→ x = 30mv

ii 100mr −→ 5mr

ii 400mr −→ x = 20mr

Juan recibió 30 mr + 20 mr

i 1mv −→ $0,25

i 30mv −→ x = $0,25 x 30mv = $7,5

ii 1mr −→ $0,10

ii 20mr −→ x = $0,10 x 20mr = $2,00

30mr + 20mr = $7,50 + $2,00 = $9,50

22. El rectángulo AEFG tiene 180 cm de perímetro.

AB = BC = CD = DE = EF

El área del triángulo BHD es 2

9 del área del triángulo BEF.

Cuál es el Área del triángulo FHG?

SOLUCIÓN

per (AEFG) = 180cm2

AB = CD = BC = DE = EF

área(BHD) = 2

9 área (BEF)

AE = GF = AB + BC + CD + DE = 4AB

AB = EF

per (AEFG) = 2 (4AB + AB) = 2 . 5AB = 10AB

180cm = 10AB =⇒ AB = 18cm

área (BHD) = 1

2 (BD. CH) =

1

2. 2AB . CH


17

área (BHD) = 18cm . CH

área (BEF) = 1

2 (3AB . EF) =

1

2 . 3 (AB)2 =

3

2 . (18cm)2 =

= área (BHD) = 18cm . CH = 2

9 . 486 cm2 ⇒ CH =

2

9 .

486

18 cm = 6cm

EF = AB = CH + HT ⇒ HT = AB - CH

HT = 18cm - 6cm = 12cm

área (FHG) = 1

2 (AE . HT) =

1

2 . 4AB . HT =

área (FHG) = 2AB . HT = 2 . 18cm . 12cm = área (FHG) = 432cm2

23. Juan escribe una lista de todos los números de 3 cifras distintas que puede formar con los dígitos

2 - 3 - 4 - 7.

Pablo escribe una lista de todos los números de 2 cifras distintas que puede formar con los dígitos 2 -

3 - 4 - 7.

Aldo elige un par de números: uno de la lista de Juan, uno de la lista de Pablo y los suma.

De cuántas maneras puede elegir Aldo el par de números para que la suma sea múltiplo de 5?

SOLUCIÓN

JUAN

234 247 324243 274 423342 427 432

472 237 347724 273 374742 327 473

372 437723 734742 743

PABLO

23 24 2732 42 72

34 37 4743 73 74

24. Elimino de la lista los números terminados en 4

Las maneras en que Pablo puede elegir son:

A los números que terminan en 2 o en 7 los puedo combinar con los que terminan en 3.

A los números terminados en 2 no los puedo combinar con los terminados en 7

Si hacemos un esquema de árbol, nos queda:

Entre paréntesis marco la cantidad de número que terminan en esa cifra.


18

Hay 72 casos posibles de combinar esos números.

24. Una hormiguita recorre cada hora una distancia igual a 2

3 de lo recorrido la hora anterior.

Si en tres horas recorrió 76 cm, ¿cuántos cm recorrió durante la primera hora?

SOLUCIÓN

x + 2

3 x +

2

3 .

2

3 x =76cm

𝑥

9 (9 + 6 + 4) = 76cm ⇒

19𝑥

9 = 76cm ⇒ x =

9 .76

19 = 36cm

25. En la figura: ABCD es un trapecio de base mayor de 12 cm, FBCG es un cuadrado de 25 cm2 de

área, E es punto medio de AB y 3CD = 2AB.

¿Cuál es el área del cuadrilátero EFGD?

SOLUCIÓN

AB = 12cm

AE = EB = 6cm

AE + EB = AB

área (FBCG) = 25cm2 =⇒ BC = 5cm

FG = FB = BC = CG = 5cm

3CD = 2AB = 2 . 12cm =⇒CD = 8cm

¿área (EFGD)?


2 AE . FG =

1

2 . 6cm . 5cm = 15cm2


19

área (cuadrado) = 25cm2

área (trapecio) = 1

2 (AB + DC ) . BC =

1

2 .(12cm + 8cm) . 5cm = 50cm2

área (EFGD) = 50cm2 - 15cm2 - 25cm2 = 10cm2

26. En un tablero formado por 2 filas de 3 casillas cada una, Juan quiere colocar 2 fichas cuadradas y

2 fichas circulares, de modo que en cada casilla no haya más de 1 ficha. ¿De cuántas maneras puede

hacerlo?

SOLUCIÓN

1 2 3

4 5 6

2 fichas cuadradas

2 fichas redondas

V −→vacía

C −→circular

R −→redondas

VV CCRR V RCCV R V RV CRC

V CRV CR V CRRV C V CV CRR

V RCV RC V CRCV R V RV RCC

V RCRV C V CCRV R V CV RRC

V CCRRV V RCRV C V RV CCR

V CRCRV V CCV RR V V CRCR

V CRRCV V RRV CC V V CRRC

V RCRCV V CRV RC V V RCRC

V RCCRV V RCV CR V V RCCR

V CRCRV V CV RCR V V CRCR

Hasta aquí mantuve una casilla vacía y cambió las otras.

En este caso era la primera. Procediendo de manera semejante con las otras columnas obtengo:

(2º y 3”), (2º y 4º), (2º y 5º), (2º y 6º), (3º y 4º), (3º y 5º), (3º y 6º), (4º y 5º), (4º y 6º) y (5º y 6º)

30. En el club el 40% de los socios son varones.

Entre los varones, el 35% son mayores de 25 años.

Hay 224 socios varones mayores de 25 años.


20

¿Cuántas mujeres son socias del club?

SOLUCIÓN

40% −→ varones club −→ 40%

varones −→ 35% > 25 años

224 varones > 25 años

x mujeres

Para los varones: 100 v −→ 35 mayores x −→ 224 mayores

x = 224 .100

35 v = 640 v

Para el club:

40% −→ 640 socios

100% −→ x = 640 .100

40 s = 1600 socios

1600 socios - 640 varones = 960 mujeres

31. En un rectángulo ABCD se marcaron M punto medio del lado AB y N punto medio del lado BC.

Si MB = 2 BN, el triángulo MBN tiene 36 cm2 de área, cuál es el Área del polígono AMNCD?

SOLUCIÓN

BN = NC

AM = MB = 2BN

área (MBN) = 36cm2

¿área (AMNCD)?

MB = 2BN =⇒ área (MBN) = 1

2 MB . BN =

1

2 . MB .

𝑀𝐵

2 =

1

4 . (MB)2 = 36cm2

(MB)2 = 4 . 36cm2 = 144 cm2 =⇒ MB = 12cm

MB = AM = 12cm =⇒ AB = CD = 24cm

BN = 𝑀𝐵

2 =

12

2 cm = 6cm =⇒ BC = 12cm

área (ABCD) = BC x AB = 12cm x 24cm = 288cm2

área (AMNCD) = área (ABCD) - área ( MBN) = 288cm2 - 36cm2 = 252cm2


21

32. Delfina tiene que elegir sus horarios para las clases de natación. Quiere ir dos veces por semana,

nunca dos días seguidos, un día a la mañana y otro a la tarde, una hora cada vez. Hay clases de

natación de lunes a sábado a las 9, a las 10 y a las 11 y por la tarde, de lunes a viernes, a las 17 y a las

18. ¿De cuántas maneras distintas puede Delfina armar sus horarios de la semana?

SOLUCIÓN

(LU, MI), (LU, JU), (LU, VI), (LU, SA)

(MA, JU), (MA, VI), (MA, SA)

(MI, VI), (MI, SA)

(JU, SA)

Hay 10 maneras diferentes de contar los días. Veamos los horarios:

9 17

18

10 17

18

11

17

18

Son 6 horarios distintos.

Hay 6 x 10 = 60 maneras diferentes de contar los horarios

33. La ciudad Oeste tiene 35 000 habitantes.

De cada 100 habitantes, 24 tienen estudios universitarios completos.

De la población que tiene estudios universitarios completos, las dos quintas partes son mujeres.

¿Cuántas mujeres tienen estudios universitarios completos en ciudad Oeste?

SOLUCIÓN

total −→ 3500 habitantes cada 100 habitantes −→ 24 universitarios

35000 habitantes −→ x universitarios

x = 35000 .24

100 universitarios = 8400 universitarios

De los 8400 universitarios −→ 2

5 mujeres

1 −→ 8400

2

5 −→ x =

2

5 . 8400 = 3400 mujeres universitarias

34. El cuadrado ABCD tiene 96 cm de perímetro.

MB = 2AM


22

QA = 3 DQ

N y P son puntos medios de los lados.

¿Cuál es el área de AMNPQ?

SOLUCIÓN

ABCD cuadrado

per (ABCD) = 96cm

AB = 96

4 cm = 24cm

AB = 24cm

AB = BC = CD = DA

MB = 2AM

MB + AM = 2AM + AM = 3AM = 24cm =⇒ AM = 8cm

MB = 2AM = 2 . 8cm = 16cm

QA = 3DQ

QA + DQ = 3DQ + DQ = 4DQ = 24cm =⇒ DQ = 6cm

QA = 3DQ = 3 . 6cm = 18cm

Área (AMNPQ) = área (ABCD) - área (MBN) - área (PCN) - área (MBN)

DP = PC = 24cm

CN = NB = 12cm

área (MBN) = 1

2 MB . BN =

1

2 . 16cm . 12cm = 96cm2

área (PDQ) = 1

2 PD . DQ =

1

2 . 24cm . 6cm = 72cm2

área (PCN) = 1

2 PC . CN =

1

2 . 24cm . 12cm = 144cm2

área (ABCD) = (24cm)2 = 576cm2

área (AMNPQ) = 576cm2 - 72cm2- 144cm2 - 96cm2 = 264cm2

35. En el certamen interescolar hay 3 niveles.

En total participaron 1972 chicos.


23

Cada escuela envía hasta 5 representantes por nivel.

¿Cuál es el menor número de escuelas que puede haber participado en ese interescolar?

Explica por qué.

SOLUCIÓN

3 niveles

total −→ 1972 chicos

hasta 5 representantes por nivel por escuela

1972 chicos en 3 niveles, queda:

657 657 658

657 = 655 chicos + 2 chicos = 131 escuelas + 1 escuela



El menor número de escuelas que puede haber participado es 132

36. Los 4

7 de los pasajeros de un tren turístico son extranjeros.

Hay 72 pasajeros argentinos.

Los extranjeros ocupan las 3

8 partes de los asientos del tren.

¿Cuántos asientos tiene el tren?

SOLUCIÓN

72 pasajeros argentinos

4

7 de los pasajeros son extranjeros

los extranjeros ocupan las 3

8 partes de los asientos

¿cuántos asientos hay?

7

7 −→ tren

7

7 -

4

7 =

3

7 = 72 pasajeros

el tren tiene 7

3 . 72 pasajeros

El tren tenía 256 asientos


24

37. En una pared rectangular de 12 m de ancho se coloca un portón cuadrado, dejando 3 m a la

izquierda y el doble a la derecha. La superficie de pared que queda alrededor del portón es 39 m2.

¿Cuál es la altura de la pared?

SOLUCIÓN

AB = 12m

AM = 3m

NB = 6m

MN = MP = 3m

área ( AMPQNBCD) = 39m2

¿AD =?

área (portón) −→ MN x MP = 9m2

área (pared) −→ 39m2+ 9m2= 48m2

AM + MN + PQ = 3m + 3m + 6m = 12m

área ( ABCD) = AB x BC =⇒ BC = .𝑎𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷)

𝐴𝐵 =

48

12 m = 4m

BC = 4m

38. En el quiosco venden paquetes de caramelos de distintas clases.

Los de fruta cuestan $2 cada uno, los de chocolate $4 y los de miel $3.

Ana quiere comprar de las tres clases y quiere gastar $ 30.

¿Cuántos paquetes de cada clase puede comprar?

Indica todas las posibilidades.

SOLUCIÓN

caramelos de fruta −→ $2

caramelos de chocolate −→$4

caramelos de miel −→ $3

Total −→ $30

f 1 1c 1 4m 8 3

2 2 32 5 36 4 4

4 4 51 4 26 2 4


25

39. En la librería, cada cuaderno cuesta $6 y cada lápiz, $ 2.

Por una promoción, descuentan la sexta parte del total del gasto.

Susana compró 2 docenas de lápices y algunos cuadernos y pagó $ 180.

¿Cuántos cuadernos había comprado?

SOLUCIÓN

cuaderno −→ $6

lápiz −→ $2

Por promoción descuentan 1

6 del total del grado

Compró 2 docenas de lápices y cuadernos con descuento pagó $180

¿Cuantos cuadernos compró?

sin descuento −→ total compra = 1

6 + total pago

5

6 total compra = $180

total compra = 6

5 . $180 = $216

24 lápices + x cuadernos = $216 24 . $2 + x . $6 = $216

x cuadernos = $216 - $48 = $168

1 cuaderno −→ $6

x cuadernos −→ $168

x = 168

6 cuadernos = 28 cuadernos

40. En el rectángulo ABCD de 80 cm2 de área, se marcan:

E punto medio de CD y F tenía B de modo que AF = 3 FB.

Cuál es el área del triángulo FBE?

SOLUCIÓN

Sea G tal que se forme el cuadrado AGED

Área (ABCD) = 80cm2

DE = EC

AF = 3FB


26

¿área (FBE)?

(AF + FB) . BC = 80cm2

(3FB + FB) . BC = 80cm2

4FB . BC = 80cm2=⇒ FB . BC = 20cm2

GF = FB ∧ GE = BC =⇒ área (FBE)

área (ECB) - área (ABCD) - área (EGF) = 1

2 EG . GF = 10cm2

área (EFB) = 40cm2 - 20cm2 - 10cm2 = 10cm2

41. Vale escribe un número de tres cifras.

Después intercambia la cifra de las centenas con la cifra de las unidades y escribe este nuevo

número.

Si suma los dos números que escribió obtiene un número de tres cifras iguales.

¿Cuál fue el primer número que escribió Vale?

Da todas las posibilidades.

SOLUCIÓN

a + c = 2b

a ≤ 7

a ≥ 1

abc abc abc abc abc abc

111 147 246 345 531 741

123 222 321 432 543

135 234 333 444 642

Hay 16 números posibles.

42. En básquet se pueden anotar 3 puntos (triple), 2 puntos (doble) o 1 punto (tiro libre) cada vez

que se encesta en el aro. En un partido, un equipo obtuvo 86 puntos y habían encestado 40 veces. Si

se sabe que obtuvo 12 triples, ¿cuántos dobles y cuántos tiros libres encestaron?

SOLUCIÓN

3, 2, 1 puntos por encestado encestaron

40 veces −→ 86 puntos

12 triples ¿cuántos dobles y triples?


27

12 triples −→ 36 puntos

doble + triples −→ (86 - 36) puntos = 50 puntos

encestaron 40 veces

40 tiros - 12 tiros = 28 tiros

s + d = 28

s + 2d = 50

s = 28 - d = 50 - 2d

2d - d = 50 – 28

d = 22 =⇒ s = 6

Hubo 22 dobles y 6 simples

43. El cuadrado ABCD tiene 168 cm de perímetro. En cada vértice se recortó un cuadradito de 7 cm

de lado. ¿Cuál es el Área del rectángulo STPM?

SOLUCIÓN

per (ABCD) = 168cm

AB = BC = CD = DA = 42cm

TP = BC - BT - PC = 42cm - 7cm - 7cm = 28cm

AB = 42cm

área (SMTP) = AB x TP = 42cm . 28cm = 1176cm2

43. Se quieren distribuir 25 caramelos iguales en tres frascos: uno rojo, uno azul y uno verde, de

modo que el frasco azul tenga por lo menos 2 caramelos más que el rojo y el frasco verde tenga más

del doble de los caramelos que tiene el azul. ¿De cuántas maneras se puede hacer? Indica cuáles son.

SOLUCIÓN

A = R + 2

V > 2ª

R + A1 + 32 + 4

+++

V = 25

21 = 2519 = 25


28

3 + 54 + 6

++

17 = 2515 = 25

45. Tres amigos van a almorzar todos los días al mismo lugar. Eligen siempre el menú A o el B. El

lunes, dos piden el menú A y uno el menú B, gastan $ 111 en total. El martes, uno pide el menú A y

dos piden el menú B, gasta0n en total $3 menos que el lunes. ¿Cuánto cuesta cada menú?

SOLUCIÓN

A + B = $111

A + 2B = $108 −→ A = $108 - 2B

2 ($108 - 2B) + B = $111

$216 - 4B + B = $111

$105 - 3B = 0 =⇒ $105 = 3B =⇒ B = $35

46. Camila mira, todos los días, tres programas de televisión de una hora de duración cada uno.

El programa A se emite a las 18 horas, a las 20 horas y a las 22 horas.

El programa B se emite a las 18 horas, a las 19 horas y a las 22 horas.

El programa C se emite a las 19 horas, a las 21 horas y a las 22 horas.

Cada día quiere ver los tres programas completos.

¿De cuántas maneras distintas puede elegir los horarios en que mira los tres programas cada día?

Indica en qué horario mira cada programa.

SOLUCIÓN

18𝐴 20 𝐵

22

18 1919 𝐶 2122 22

𝐴18 𝐵19 𝐶21𝐴18 𝐵19 𝐶22𝐴18 𝐵22 𝐶19

𝐴20 𝐵18 𝐶19𝐴20 𝐵18 𝐶21𝐴20 𝐵18 𝐶22

𝐴20 𝐵19 𝐶21𝐴20 𝐵19 𝐶22𝐴20 𝐵22 𝐶19

𝐴20 𝐵22 𝐶21

𝐴22 𝐵18 𝐶19𝐴22 𝐵18 𝐶19𝐴22 𝐵19 𝐶21


29

47. Aldo y Bruno tenían cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos semanas de

vacaciones.

Aldo gastó 1

3 la primera semana,

1

2 la segunda y el resto lo ahorró.

Bruno gastó 1/4 la primera semana pero ahorró el doble de lo que ahorró Aldo.

Si Bruno ahorró $156. ¿Cuántos pesos gastó Bruno la segunda semana?

SOLUCIÓN

Como Aldo y Bruno tienen inicialmente la misma cantidad de dinero, expresamos:

A = B

A −→ 1

3 x +

1

2 x + RA

B −→ 1

4 x + S + RB

R A = 1

2 RB = $

156

2 =$78

𝑥

3 +

𝑥

2 + $78 =

𝑥

4+ S + $156

1

12 (4x + 6x -3x) = $78 + S =⇒ 7x = ($78 + S) .12

A) 𝑥

3 +

𝑥

2 =

1

6 (2x + 3x) =

5

6 x −→ ahorró

𝑥

6 = $78 −→ x = $78 . 6 = $468

Reemplazando valores:

B) $468 - $156 −→ gastó $312

semana 1 −→ gastó 1

4 . $468 = $117

semana 2 −→ gastó $312 - $117 = $195

En la semana 2 Bruno gastó $195.

$468 −→ total

$195 −→ x = 195

468 total =

5

12 total

Bruno gastó (1

4 +

5

12) total =

1

12 (3 + 5) total =

8

12 total =

2

3 total

48. Con los dígitos 0-1-2-3-4-5-6 y 7 se forman números cuyas cifras suman 9.

¿Cuántos de esos números que sean menores que 5000 y no tengan cifras repetidas se pueden

formar?

Explica por qué.

SOLUCIÓN

9 90

27 207 270


30

36 306 360

54 504 540

72 702 720

63 603 630

45 405 450

135 315 531 513 153 351

162 126 261 216 621 612

324 234 243 342 423 432

1026 1052

1206 1260

1350 1305

1530 1503

1620 1602

1035 1053 3501 3510

2043 2034

2160 2106

2340 2304

2430 2403

2610 2601

3042 3024 2061 2016

3150 3105 3015 3051

3240 3204

3420 3402

4032 4023

4230 4203

4320 4302


31

Casos posibles = 2 + 18 + 34 + 8 = 80

49. El área del triángulo ABF es el 10% del área del trapecio isósceles ADEF.

El rectángulo BCEF tiene 144 cm2 de área y CD = CE.

¿Cuál es la longitud de AD?

SOLUCIÓN

área (ABF) = 1

10 área ( ADEF)

área (BCEF) = 144cm2

CD = CE

¿AD?

área (CDE) = 1

2 CD . CE =

1

2 CD . CD =

1

10 .

1

2 CE (AD +BC)

área ADEF) = 1

2 CE . (AD + FE) =

1

2 CE . (AD + BC)

área (ADEF) = 2 . área (CDE) + área (BCEF) = 2 . CD . CE + 144cm2

área (ADEF) = 144cm2 + 2

10 área (ABF) =⇒

8

10 área (ADEF) = 144cm2 =⇒ área (ADEF) =

1440

8 cm2 =

180cm2

área (ABF) = 1

2 (180cm2- 144cm2) = 18cm2

1

2 (AB . BF) = 18cm2 =⇒ AB . BF = 36cm2=⇒ AB = BF = CD = 6cm

BC . BF = 144cm2 =⇒ BC = 144

6 cm = 24cm

AD = AB + BC + CD = 6cm + 24cm + 6cm = 36cm

50. En la escuela hay 360 alumnos.

El 10% de los alumnos usa anteojos.

De los que no usan anteojos, la cuarta parte practica natación.

¿Cuántos alumnos no usan anteojos y no practican natación?

SOLUCIÓN

T = 360 alumnos

10% −→ anteojos


32

Del 90%, 1

4 −→ natación

Si 10% −→ a =⇒ 90% −→ no usa a

100% −→ 360 a

90% −→ x = 1

100 (360a. 90) = 324 a

Ahora bien:

Si 1

4 practica natación −→

3

4 no hace nada

100% −→ 324 a

3

4 −→ x -

3

4 . 324 a = 234 a

51. Con los dígitos 9 - 7 - 6 - 5 y 0, ¿cuántos múltiplos de 5 menores que 10000 se pueden armar?

Explica por qué.

SOLUCIÓN

5

50 60 65 70 75 90 95

970 975 960 965 950 905

760 750 790 765 795 705

670 650 690 675 695 605

570 560

590 -

6970 6975 6950 6905 6750 6790 6795 6705

7960 7965 7950 7905 7650 7690 7695 7605

9760 9750 9765 9705 9670 9650 9675 9605

6570 - - - - - - -

9570 7560 9560 6590 7590 - - -

En total hay 59 maneras.

52. Juan escribe una lista de 5000 dígitos.

El primer tramo de la lista es 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 8 9 0 y después repite este tramo desde

el principio al fin.


33

Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 1997?

Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 1998?

Explica por qué.

SOLUCIÓN

5000 dígitos

¿cifra del lugar nro. 1997?

¿cifra del lugar nro. 1998?

lista −→ 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 8 9 0

1997

20 = 97 y restan 17

1997 = 99 . 20 + 17

la cifra 17 es 0 −→ 1997

la cifra 18 es 8 −→ 1998

53. Ani y Beti tenían algunos ahorros.

Este mes cada una gastó una parte.

Ani gastó 2

3 de sus ahorros y le quedaron $36.

Beti gastó 3

4 de sus ahorros.

Si el mes pasado tenían entre las dos $280, cuántos pesos le quedaron a Beti?

SOLUCIÓN

A - 3

2 A = $36

B −→ 3

4 B −→ quedó

1

4 B

Si TA + TB = $280

¿B quedó?

A = $36 −→ A = 3 . $36 =⇒ TA = $108

TA + TB = $280 =⇒ TB = $280 - $ 108 = $172

Le quedó a B −→ 1

4 TB =

1

4 . $172 = $43

A Beti le quedaron $43

54. Un rectángulo ABCD tiene 96 cm de per metro y AB = 3 BC.

En cada vértice se recortó, como muestra la figura, un triángulo rectángulo isósceles de 2 cm de

cateto.

¿Cuál es el área de la figura rayada?


34

SOLUCIÓN

per (ABCD) = 96cm

AB = 3BC

cateto del triángulo = 2cm

¿área figura sombreada?

per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 96cm

per (ABCD) = 2 (3BC + BC) = 96cm

per (ABCD) = 2 . 4BC = 96cm =⇒BC = 96

8 cm = 12cm

BC = 12cm

AB = 3BC = 3 . 12cm = 36cm

área (ABCD) = AB . CD = 36cm . 12cm = 432cm2

Si los catetos del triángulo son AF Y AE queda formado el triángulo AFE


2 AF . AE =

1

2 . 2cm . 2cm = 2cm2

área (4 triángulos) = 4 . 2cm2 = 8cm2

área sombreada = área (ABCD) - 4 . área (AFE) = 432cm2 - 8cm2 = 424cm2

55. El lunes se vendieron el 30% de los paquetes de galletitas que había en el depósito.

El martes se vendió la cuarta parte de lo que quedaba.

Aún quedan 945 paquetes.

¿Cuántos paquetes había al comienzo?

SOLUCIÓN

Lunes −→ 30% −→ queda 70%

Martes −→ 1

4 . 70% −→ quedan 945 paquetes de galletitas

Total −→ x

3

4 .

70

100 x = 945 paquetes =⇒ x =

945 .100 .4

3 .70 = 1800 paquetes

56. Con los dígitos 1 - 2 - 3 - 4 y 6 , Juan escribe sólo los números de cuatro cifras distintas en los

cuales el número formado por las dos últimas cifras (decenas y unidades) es divisible por el dígito

que ocupa el lugar de las centenas.


35

¿Cuántos números distintos puede escribir Juan?

Ejemplo: Juan escribe 6123 porque 23 es divisible por 1.

Juan no escribe 6423 porque 23 no es divisible por 4.

SOLUCIÓN

Las combinaciones con estos números son:

1234 2134 1246 2164 6123 1236 3124 4123 4126 6124 2136 3126

1243 2143 1264 2146 6132 1263 3142 4132 4162 6142 2163 3162

1324 2314 1426 2416 6231 1326 3214 4312 4612 6214 2316 3216

1342 2341 1462 2461 6213 1362 3241 4321 4621 6241 2361 3261

1423 2413 1624 2614 6312 1632 3412 4213 4216 6412 2613 3612

1432 2431 1642 2641 6321 1623 3421 4231 4261 6421 2631 3621

1346 3146 4136 6413 2346 3246 4623 6432

1364 3164 4163 6431 2364 3264 4632 6423

1463 3461 4316 6134 2436 3426 4236 6324

1436 3416 4361 6143 2464 3462 4263 6342

1634 3614 4631 6314 2643 3624 4326 6234

1643 3641 4613 6341 2634 3642 4362 6243

Ahora bien, las que nos pide el problema son:

1234 2134 1246 2164 6123 1236 3124 4123 4126 6124 2136 3126

1324 2143 1264 2146 6132 - 3142 4132 4162 6142 2163 3162

1342 - 1624 2416 6312 - 3214 4312 4612 6214 - 3216

1432 - 1642 - 6321 - 3412 4321 4216 6412 - 3612

1436 3146 4136 6134 2436 3246 4236 6432

- 3164 4163 6143 - 3264 - 6324

- 3416 - - - 3624 - 6342

- - - - - 3642 - 6234

57. En el cuadrado ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en el punto O.

Sobre las prolongaciones de las diagonales se marcan los puntos E, F, G y H de modo que OE = OF =

OG = OH.

El área del triángulo BOC es de 72 cm2 y OB = 3

4 OF.


36

¿Cuál es el área de la figura de vértices AFBGCHDE?

SOLUCIÓN

OE = OF = O = OH

área (BOC) 72cm2

OB = 3

4 OF

OB = OC = OD

área (BOC) = 1

2 (BO . OC) = 72cm2

BO . OC = 2 . 72cm2 = 144cm2 √

BO = √144 cm = 12cm

OB = OF =⇒ OF = 4

3 OB =

4

3 . 12cm = 16cm

OG = OF = 16cm

área (AFBGCHDE) = 4 área (BOG) = 4

2 (OB . OG) =

4

2 (12cm . 16cm) = 384cm2

58. En una escuela, las dos terceras partes del alumnado son varones y hay 136 alumnas (mujeres).

Un cuarto del alumnado tiene computadora, un sexto de los alumnos con computadora son varones.

¿Cuántas alumnas (mujeres) no tienen computadora?

¿Qué fracción del total del alumnado representan?

SOLUCIÓN

2

3 A −→ V y 138M y A y

1

4 A con C y

1

6 A con C −→V

¿ x M sin C ?

1

3A = 136M =⇒ A = 3 . 136M =⇒ A = 408a


37

408a = 136M + 272V

1

4 A =

1

4 . 408a = 102a

C −→ 102a

1

6 C −→ V −→ VC =

1

6 . 102a = 17a

Hay 17 V con C y 85 M con C.

136m −→ Total de mujeres

85m −→ mujeres con C

51m −→ mujeres sin C

408a−→ 1 51a −→ x

x = 51

408 =

1

8

Las mujeres sin computadora son 1

8 del alumnado.

59. El cuadrado ABCD tiene 144 cm2 de área.

BC = 3 PC, CD = 4 DQ y AD = 5 AR.

¿Cuál es el Área del triángulo PQR?

SOLUCIÓN

Área (ABCD) = 144cm2

BC = 3PC

CD = 4DQ

AD = 5AR

AB = 12cm

BC = BP + PC =⇒ 3PC = BP + PC =⇒ 2PC = BP

AB . BC = 144cm2 =⇒ AB = BC = CD = DA = 12cm

BC = 3PC =⇒ 12cm = 3PC =⇒ PC = 4cm

PB = BC - CP = 12cm - 4cm = 8cm


38

PB = 8cm

CD = 12cm = DQ + QC

CD = 4DQ =⇒ 12cm = 4DQ =⇒ DQ = 3cm

CD = DQ + QC =⇒ 12cm = 3cm + QC =⇒ QC = 9cm

AD = 5AR = 12cm

AR = 12

5 cm = 2,4cm

DR = AD - AR = 12cm - 2,4cm = 9,6cm =⇒ DR = 9,6cm

área (PCQ) = 1

2 (PC . CQ) =

1

2 4cm . 9cm = 18cm2

área (RDQ) = 1

2 (RD . DQ) =

1

2 . 9,6cm . 3cm = 14,4cm2

área (ABPR) = 1

2 (BP + AR) . AB =

1

2 (8cm + 2,4cm) . 12cm = 62,4cm2

área sombreada = área (ABCD) - área (PCQ) - área (RDQ) - área (ABPR)

área sombreada = 144cm2 - 18cm2 - 14,4cm2 - 62,4cm2 = 49,2cm2

60. Luis tiene un nuevo trabajo.

Debe trabajar: 14 horas por semana, de lunes a viernes, y por día, no menos de 2 horas y siempre un

número entero de horas. ¿De cuántas maneras distintas puede repartir sus horas de trabajo durante

la semana?

SOLUCIÓN

N L M M J V N L M M J V N L M M J V

1 2 2 2 2 6 11 2 5 3 2 2 21 2 5 2 3 2

2 2 2 2 6 2 12 3 5 2 2 2 22 2 3 2 2 5

3 2 2 6 2 2 13 5 3 2 2 2 23 2 5 2 2 3

4 2 6 1 1 2 14 3 2 5 2 2 24 2 2 3 2 5

5 6 2 2 2 2 15 5 2 3 2 2 25 2 2 5 2 3

6 2 2 2 3 5 16 3 2 2 5 2 26 2 2 3 3 4

7 2 2 2 5 3 17 5 2 2 3 2 27 2 3 3 4 2

8 2 2 3 5 2 18 3 2 2 2 5 28 2 3 2 4 3

9 2 2 5 3 2 19 5 2 2 2 3 29 2 3 3 2 4

10 2 3 5 2 2 20 2 3 2 5 2 30 2 3 2 3 4

N L M M J V N L M M J V

31 2 2 2 2 2 41 4 4 2 2 2

32 2 2 4 3 3 42 4 2 4 2 2

33 2 4 2 3 3 43 4 2 2 4 2

34 2 4 3 2 3 44 4 2 2 2 4

35 2 4 3 3 2 45 2 4 4 2 2

36 2 3 3 3 3 46 2 4 2 4 2

37 3 2 3 3 3 47 2 4 2 2 4

38 3 3 2 3 3 48 2 2 4 4 2


39

39 3 3 2 2 3 49 2 2 4 2 4

40 3 3 3 3 2 50 2 2 2 4 4

61. N = 369125.

Con los dígitos de N, ¿cuántos números sin cifras repetidas, comprendidos entre 1000 y 9000, que

son múltiplos de 3, se pueden armar?

SOLUCIÓN

1236 1239 1263 1269 1293 1296 - -

1326 1329 1362 1392 1359 1395 1365 1356

1536 1539 1563 1569 1593 1593 - -

1623 1629 1632 1692 1653 1635 - -

1935 1953 1965 1956 1926 1962 1932 1923

2136 2139 2163 2169 2193 2196 - -

2391 2319 2316 2361 - - - -

2613 2631 2691 2619 - - - -

2913 2916 2961 2931 - - - -

3219 3291 3216 3261 - - - -

3591 3519 3526 3561 - - - -

3612 3621 3615 3651 - - - -

3126 3162 3129 3192 3156 3165 3195 3159

3921 3912 3915 3951 - - - -

5136 5139 5163 5169 5196 5193 - -

5791 5719 5716 5761 - - - -

5613 5631 5619 5691 - - - -

5931 5913 5916 5961 - - - -

6123 6129 6132 6192 6153 6135 6156 6159 6165 6195

6213 6231 6291 6219 - - - - - -

6312 6321 6315 6351 - - - - - -

6513 6531 6519 6591 - - - - - -

6912 6915 6921 6951 - - - - - -

En total hay 120 casos posibles.

62. El triángulo ABC es rectángulo en A.


40

Los puntos P, R, S y T pertenecen a los lados del triángulo ABC.

BP = CT, APRS es un cuadrado de 144 cm2de área.

ABR es un triángulo de 126 cm2de área.

ART es un triángulo de 114cm2 de área.

¿Cuál es el área del triángulo ABC?

SOLUCIÓN

ABC triángulo rectángulo.

APRS cuadrado ∧ área (APRS) = 144cm2

BP = CT

AP = PR = RS = SA = 12cm

área (ART) = 114cm2

área (ABR) = 1

2 (AB . PR) =

1

2 (AB . 12cm) = 126cm2 =⇒ AB =

1

12𝑐𝑚 (2 . 126cm2) = 21cm

área (ART) = 1

2 (AT . SR) =

1

2 (AT . AP) = 114cm2 =⇒ AT =

1

12𝑐𝑚 (2 . 144cm2) = 19cm

AC = AT + TC = 19cm + BP = 19cm + (AB - AP)

AC = 19cm + (21cm - 12cm) = 28cm

área (ABC) = 1

2 AB . AC =

1

2 . 21cm . 28cm = 294cm2

63. En el almacén: 1/2 kg de aceitunas verdes y 3/4 kg de aceitunas negras cuestan $0,50 más que

3/4 kg de aceitunas verdes y 1/2 kg de aceitunas negras.

Si un kilo de aceitunas negras cuesta un 50% más que un kilo de aceitunas verdes, ¿cuánto se paga

por 1/2 kg de aceitunas verdes y 3/4 kg de aceitunas negras?

SOLUCIÓN

(1

2 V +

3

4 N) - (

3

4 V +

º

2 N) = $0,50

1N = 3

2 V

¿1

2 V +

3

4 N?


41

(1

2 V +

3

4 .

3

2 V) - (

3

4 V +

1

2 .

3

2 V) = $0,50

(1

2 V +

9

8 V) - (

3

4 V +

3

4 V) = $0,50

1

2 V +

9

8 V -

3

4 V -

3

4 V = $0,50

1

8 (4V + 9 V - 6V - 6V) = $0, 50 =⇒ 1V = $4

1N = 3

2 V =⇒ 1N =

3

2 . $4 = $6

1

2 V +

3

4 N =

1

2 . $4 +

3

4 . $6 = $2 + $

9

2 =

1

2 .($4 + $9) = $6,50

1

2 V +

3

4 N = $6,50

64. El servicio de taxis cobra una suma fija por viaje y cierta cantidad por cada kilómetro recorrido.

Ana pagó $ 5,10 por un viaje de 3 km.

Pedro pagó $ 8,60 por un viaje de 8 km.

¿Cuánto cobra por kilómetro?

¿Cuánto pagará Laura por un viaje de 12 km?

SOLUCIÓN

F −→ suma fija

A −→ $5,10 −→ 3km

P −→ $8,60 −→ 8km

F + 3x = $5,10 =⇒ F = $5,10 - 3x

F + 8x = $8,60 =⇒ F = $8,60 - 8x

$5,10 - 3x = $8,60 - 8x

8x - 3x = $8,60 - $5,10

5x = $3,50 =⇒ x =$ 3,50

5 = $ 0,70

F = $5,10 - 3 . $0,70

F = $5,10 - $2,10 = $3,00

65. El trapecio ADEF se partió en un rectángulo y dos triángulos rectángulos iguales, como muestra la

figura. El triángulo CDE tiene 78 cm2 de área,

CE = 13 cm y AD = 4 EF.

¿Cuál es el área del trapecio ADEF?


42

SOLUCIÓN

¿área (ADEF)?

ABF = CDE

área (CDE) = 78cm2

CE = FB = 13cm

AD = 4EF

1

2 CD . CE = 78cm2

CD . CE = 2 . 78cm2 =⇒ CD . 13cm = 2 . 78cm2 =⇒ CD = 2 .78

13cm= 12cm

CD = AB = 12cm

AD = AB + BC + CD = 12cm + BC + 12cm

AD = BC + 24cm

4EF = 4BC = AD

4BC = BC + 24cm =⇒ 3BC = 24cm =⇒ BC = 8cm

AD = 24cm + 8cm = 32cm

EF = BC = 8cm

CE = 13cm

área (ADEF) = 1

2 (AD + EF) . CE =

1

2 ( 32cm + 8cm) . 13cm = 260cm2

66. La combinación para abrir la cerradura de la caja fuerte es un número de seis cifras.

Las cifras están ordenadas de mayor a menor, son todas distintas y ninguna es cero.

¿Cuál puede ser el número de la combinación?


SOLUCIÓN

654321 765431 765432 876541

754321 865431 865432 976541

854321 965431 965432 -

954321 - - 987432


43

- 976543 987543 987431

876543 976542 987542 987321

876542 986543 987541 -

- 986542 - 974321

986543 986541 984321 -

986542 - - -

986541 985432 976592 -

986532 985431 976531 -

986531 - 975432 -

- - 975431 -


67. Un comerciante compró un rollo de tela a $36 el metro.

Al lavarla perdió un cuarto de su longitud.

Después de lavada, la vendió a $60 el metro.

Por la venta de todo el rollo ganó $576.

¿Cuántos metros de tela tenía el rollo que compró?

SOLUCIÓN

1m −→ $36

al lavarla −→ quedó 3

4 m

después de lavarla −→ $60 el metro

ganancia del rollo −→ $576

gastó $36 por xm−→la magnitud de x es m

ganará −→ 3

4 x . $60 −→ venta

venta - gasto = 3

4 x . $60 - $36x = 9x

venta - gastóo = 9x = $576 =⇒ x = 576

9 m = 64m

El rollo original tenía 64m.

68. En el trapecio ABCD, la base AD mide 42cm.

La diagonales AC y BD se cortan en el punto O.

El triángulo AOD tiene 294 cm2 de área.

El triángulo BOC tiene 96 cm2 de área y la altura que corresponde al lado BC mide 8cm.


44

¿Cuál es el área del trapecio ABCD?

SOLUCIÓN

AD = 42cm

BC = 8cm

área (AOD) = 294cm2

área (BOC) = 96cm2

¿área (ABCD)?

Sean P punto medio de AD y Q punto medio de CB.

Las rectas AC y CD se cortan en el punto O

área (AOD) = 1

2 (AD . OP) = 294cm2

OP = 1

42 𝑐𝑚 . (2 . 294cm) = 14cm

área (BOC) = 1

2 (BC . OQ) = 96cm2

OQ = 1

8 𝑐𝑚 . (2 . 96cm) = 24cm

área (ABCD) = 1

2 (AD + BC) . (OP + OQ)

área (ABCD) = 1

2 (42cm + 8cm) . (14cm + 24cm) =

1

2 . 50cm . 38cm = 950cm2

69. El diccionario de Lucía tiene 969 páginas.

En las páginas pares hay 7 dibujos.

En las páginas impares hay 5 dibujos.

En las páginas cuyo número es múltiplo de 3, los dibujos son en colores; en las otras páginas, los

dibujos son en blanco y negro.

¿Cuántos dibujos en colores hay en el diccionario de Lucía?

SOLUCIÓN

969 pág

pág pares −→ 7d

pág impares −→ 5d

pág con número múltiplo de 3 −→ dibujos en colores


45

otras −→ dibujos en blanco y negro

pág pares −→ 484 pág −→ 7d

pág impares −→ 485 pág −→ 5d

hay 969

3 pág en colores = 323 pág en colores de las cuales 161 son pares y 162 son impares.

dibujos en colores −→ (161p. 7d) + (162i. 5d) = 1172d + 810d = 1937d

70. Por las casillas I y II del peaje sólo pasan autos, que pagan $ 2 y camiones, que pagan $ 3.

Ayer, por la casilla II pasaron el doble de autos y la mitad de camiones que los que pasaron por la

casilla I.

Ayer, en la casilla I se recaudaron $ 84 y en la casilla II, $ 3 más que en la I.

¿Cuántos autos y cuántos camiones pasaron ayer por la casilla II?

SOLUCIÓN

casillas I y II −→ autos : $2 ∧ camiones: $3

pasan (2A + C ) más por II que por I

I −→ $ 84

II −→ $ 87

A + C = $84

2A + 1

2 C = $87

De aquí: A = $84 - C

2 . ($84 - C) + 1

2 C = $87

$81 = 3

2 C ⇒

2

3 . $81 = $54

A = $84 - C = $84 - $54 = $3á

$2 −→ 1A

$30 −→ x = 1

$2 . $30. 1A = 15A

$3 −→ 1C

$54 −→ y = 1

$2 . $54. 1C = 18C

71. ABCD es un paralelogramo.

DH es perpendicular a AB.

AH = HD HB = 37 cm

El triángulo AHD tiene 338 cm2 de área.

¿Cuál es el área del paralelogramo ABCD?


46

SOLUCIÓN

AH = HD

HB = 37cm

área (AHD) = 338cm2

¿área (ABCD)?

(AH . HD) = 338cm2

(AH)2= 2 . 338cm2 = 676cm2 =⇒ AH = √676 cm = 26cm

AB = AH + HB = 26cm + 37cm

AB = CD = 63cm

HD = 26cm

área (ABCD) = AB . HD = 63cm . 26cm = 1638cm2

72. Con los dígitos: 1 – 4 – 0 – 6 – 7 - 9, ¿cuántos números múltiplos de 3, mayores que 1000 y

menores que 2005 se pueden formar?

SOLUCIÓN

18 números sin repeticion:

1047 1407 1647 1740 1974

1074 1470 1674 1704 1947

- 1479 - 1749 -

- 1476 - 1794 -

- 1467 - 1746 -

- 1497 - 1764 -

72 números con repeticion:

1014 1401 1614 1701 1914 1101

1017 1404 1617 1704 1917 1104

1044 1407 1644 1707 1944 1107

1047 1410 1647 1710 1947 1110

1071 1416 1671 1716 1971 1116

1074 1419 1674 1719 1974 1119


47

- 1440 - 1740 - 1140

- 1446 - 1746 - 1146

- 1449 - 1749 - 1149

- 1461 - 1761 - 1161

- 1464 - 1764 - 1164

- 1467 - 1767 - 1167

- 1470 - 1770 - 1170

- 1476 - 1776 - 1176

- 1479 - 1779 - 1179

- 1491 - 1791 - 1191

- 1494 - 1794 - 1194

- 1497 - 1797 - 1197

73. En el gimnasio hay 210 personas. La mitad de las mujeres y la tercera parte de los varones hacen

bicicleta.

Si hay 85 bicicletas ocupadas, ¿cuántas mujeres y cuántos varones hay en el gimnasio?

SOLUCIÓN

g −→ 210p ∧ 85b

1

2 m +

1

3 v = 85

m + v = 210

De aquí:

m = 210 - v

1

2 (210 – v) +

1

3 v = 85 ⇒ 105 .

1

2 v +

1

3 v = 85

105 – 85 = (1

2 -

1

3 ) v ⇒ 20 =

1

6 (3 – 2) v

Entonces queda:

m = 90 ∧ v = 120

74. La figura, de 306 cm2 de área, está partida en un cuadrado, un rectángulo y un triángulo.

El área del triángulo DEF es las tres octavas partes del área del cuadrado ABCG.

El área del rectángulo CDFG es el doble del área del triángulo DEF.

Cuánto miden los lados del rectángulo ABDF?


48

SOLUCIÓN

área (DEF) = 3

8 área (ABCG)

área ( CDFG) = 2 . área ( DEF)

área ( ABEF) = 306cm2

área ( DEF) = 8

3 área ( DEF) + 2 . área ( DEF) = 306cm2

17

3 área (DEF) = 306cm2 =⇒ área ( DEF) =

1

17 (3 . 306cm2) = 54cm2

área ( ABCG) = 8

3 área ( DEF)

área ( ABCG) = 8

3. 54cm2 = 144cm2 ⇒ AB = √144cm = 12cm

área ( CDFG) = 2 . área ( DEF) = 2 . 54cm2 = 108cm2

CD . CG = 108cm2

CG = AB = 12cm

CD . 12cm = 108cm2 =⇒ CD = 108

12 cm = 9cm

área ( DEF) = 1

2 (FD . DE) = 54cm2

FD = AB

DE = 2

𝐹𝐷 área ( DEF) =

2

12 𝑐𝑚 . 54cm2 = 9cm

BD = BC + CD = 12cm + 9cm = 21cm

(AB , AF) = (12cm , 21cm)

75. Con los dígitos 1 – 2 - 3 – 5 - 6 - 7 se arman números menores que 10000, sin cifras repetidas, que

son múltiplos de 4 y de 3. ¿Cuáles y cuántos son?

SOLUCIÓN

12 132 312 732 612

36 156 372 756 672

72 216 516 - -


49

- 276 276 - -

15 casos posibles

1236 1356 1572 1632 1752

- - 1536 - -

2136 2316 - - 2736

- 2376 - - -

10 casos posibles

6132 7236 3516

3156 6732 6372

5172 7632 6312

5712 7536 5376

5136 5736

3216 3672 -

7512 7356 -

7152 3756 -

5316 7512 -

- 3276 -

25 casos posibles


76. Flora compró caramelos para que Federico, Tomás e Inés se los repartieran en partes iguales.

Federico sacó su parte y no avisó.

Cuando Tomás fue a buscar sus caramelos, creyendo que esos eran todo los caramelos que había

comprado Flora, tomó su parte y tampoco avisó.

Finalmente Inés se llevó la tercera parte de los que quedaban.

Cuando Inés se fue, quedaron 48. ¿Cuántos caramelos había comprado Flora?

SOLUCIÓN

FL compró 1 entero

Quería repartir así:

F −→ 1

3 ∧ T −→

1

3 ∧ I −→

1

3

1

3 x −→ F


50

1

3 .

2

3 x −→ T

1

3 .

2

3 .

2

3 x −→ I

restan 48 caramelos

x - 1

3 x -

2

9 x -

4

27 x = 48c

x . (1- 1

3 -

2

9 -

4

27 ) = 48c ⇒

𝑥

27 . ( 27 - 9 - 6 - 4) = 48c

8

27 x = 48c =⇒ x =

1

8 . (48c . 27) = 162c

Entonces el reparto quedó así:

F −→ 54c

T −→ 36c

I −→ 24c

77. En la figura: ABHG es un cuadrado y BCDH y ACEF son rectángulos.

área de BCDH = 1

3 área de ABHG.

Perímetro de BCDH = 56 cm.

área de FGH = 1

5 área de BCDH.

Perímetro de ABHF = 86,99 cm.

¿Cuál es el área y cuál es el per metro del DEFH?

SOLUCIÓN

per (BCDH) = 56cm

BC + BH = 28cm

Sea AB = BH.

área ( BCDH) = 1

3 área ( ABHG)

BC . BH = 1

3 AB . BH

(28cm - BH ) . BH = 1

3 (BH)2

28cm . BH - (BH)2= 1

3 (BH)2


51

4

3 (BH)2 - 28cm . (BH)2= 0

BH . (4

3 BH - 28cm) = 0

4

3 BH = 28cm =⇒ BH =

3

4 . 28cm = 21cm

(BH)2 = BC . BH . 3 =⇒ BC = 1

3 BH = 7cm

FG + FH = 86,99cm - BC - 2BH - BC = 86,99cm - 3. 7cm - 2 . 21cm = 23,99cm

1

2 (FG . GH) =

1

5 área (BCDH)

FG . 3BC = 2

5 BC . BH

FG = 2

5 .

7 𝑐𝑚 .21 𝑐𝑚

3 .7 𝑐𝑚 =

14

5 cm

FH = 23,99cm - 14

5 cm = 21,19cm

DE = FG

DH = BC

EF = 4BC

per (DEFH) = FG + 4BC + FH + BC = FG + 5BC + FH

per (DEFH) = 14

5 cm - 5 . 7cm + 21,19cm = 58,99cm

área (DEFH) = 1

2 (BC + AB + BC) . FG

área (DEFH) = 1

2 (21cm + 2 . 7cm) . cm = 49cm2

78. Pedro está leyendo un libro que tiene entre 300 y 600 páginas.

Si lee 6 páginas por día, el último día le quedarán para leer 3.

Si lee 7 páginas por día, el último día le quedarán para leer 5.

¿Cuántas páginas puede tener el libro que está leyendo Pedro?


SOLUCIÓN

300 < x < 600

Debemos hallar un x que cumpla las siguientes condiciones:

6n + 3 = x =⇒ x es múltiplo de 3 (impar)

7m + 5 = x

Veamos los números que cumplen la primera condición:

303 309 315 321 327 333 339 345 351 357


52

363 369 375 381 387 393 399 405 411 417

423 429 435 441 447 453 459 465 471 477

483 489 495 501 507 513 519 525 531 537

543 549 555 561 567 573 579 585 591 597

De estos números veamos los que cumplen con la segunda condición:

327 369 411 453 495 537 579

79. En la liquidación de temporada se ofrecen paquetes A y B.

Cada paquete A contiene una remera y se ofrece a $ 20.

Cada paquete B contiene dos remeras y se ofrece a $ 35.

Por todos los paquetes se obtuvieron $5600.

En total se vendieron 312 remeras.

¿Cuántos paquetes de cada oferta se vendieron?

SOLUCIÓN

1R −→ $2

2R −→ $35

x + 2y = 312

20x + 35y = $5600

4x + 7y = $1120

Si x = 312 - 2y , reemplazo:

4 ($312 - 2y ) + 7y = $1120

$1248 - 8y + 7y = $1120

$1248 - $1120 = y =⇒ y = 128

80. En el rectángulo ABCD de 84 cm de perímetro, BC = 2 AB.

Sobre AB se dibujan un cuadrado de 100 cm2 de área y un triángulo.

Sobre CD se dibujan un cuadrado de 36 cm2 de área y un triángulo.

¿Cuál es el área de la región sombreada?


53

SOLUCIÓN

per (ABCD) = 84cm

DA = DB = 2AB

área (MBNP) = 100cm2

área (SRQD) = 36cm2

CD = AB

¿área sombreada?

per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = AB + 2AB + AB + 2AB = 84cm

per (ABCD) = 6AB = 84cm =⇒ AB = 84

6 cm = 14cm

AB = CD = 14cm

DA = BC = 28cm

AB = AM + MB

BC = BN + NC

DC = DQ + QC

área (MBN) = MB . BN = (MB)2 = 100cm2 =⇒ MB = BN = NP = PM = 10cm

área (AMP) = 1

2 (AM . MP) =

1

2 [ (AB - MB) . MP ] =

1

2 (14cm - 10cm) . 10cm =

1

2 4cm . 10cm = 20cm2

área (SRDQ) = DR . RQ = (DQ)2 = 36cm2=⇒ DQ = RQ = RS = DS = 6cm

DC = DQ + QC =⇒ 14cm = 6cm + QC =⇒ QC = 14cm - 6cm = 8cm

área (QRC) = 1

2 (QC . QR) =

1

2 8cm . 6cm = 24cm2

área sombreada = área (ABCD) - área (RQC) - área (MBNP) - área (AMP) =

= 14cm . 28cm - 36cm2 - 24cm2 - 100cm2 - 20cm2 = 212cm2

81. Cecilia escribió un número de cinco cifras que es múltiplo de 6.


54

Tres cifras se le borraron, quedaron un 8 en el lugar de las decenas y un 2 como primera cifra.

Entre las cifras que se le borraron recuerda que sólo una era cero.

¿Qué números pudo haber escrito Cecilia? ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN

número múltiplo de 6 alguna cifra es 0 tiene que ser par tiene que ser múltiplo de 3

2 − − 8 −

Son los siguientes:

20184 21084 23580 25680 24180

20586 25086 25380 26580 21480

20784 27084 21780 27480 -

- - 27180 24780 -

Son 16 casos posibles.

82. En la figura, ABCF es un cuadrado y CDEF es un rectángulo.

El área de la figura es 216 cm2.

Perímetro de CDEF = 3 AB.

¿Cuál es la longitud de AF?

¿Cuál es el área de CDEF?

SOLUCIÓN

ABCF cuadrado =⇒ AB = BC = CF = AF

área (ABDE) = 216cm2

¿área (CDEF)?

per (CDEF) = 3AB

¿AF?

per (CDEF) = 2 . (CD + DE) = 3AB

2CD = AB

CD = EF


55

área (ABDE) = AB . (BC + CD) = 2CD . (BC + CD)

área (ABDE) = área (ABDE) = 2CD . (BC + CD) = 216cm2

área (ABDE) =AB . (AB + 1

2 AB) =

3

2 (AB)2

AB = √2 .216

3 cm = √144 cm = 12cm

per ( figura) = 2AB + 2 (AB + 1

2 AB)

per (figura) = 2AB + 2 . 3

2 AB = 5AB = 5 . 12cm = 60cm

AB = BC = AF = 12cm

área (CDEF) = (CD . DE) = 1

2 AB . AB = 6cm . 12cm = 72cm2

83. Ana, Bibi, Ceci, Edu y Juan tienen entradas para el teatro.

Los asientos están todos en la misma fila y son consecutivos.

¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse si las tres mujeres nunca quieren estar en tres

asientos consecutivos?

SOLUCIÓN

A, B, C, E, J

A, B, C no pueden estar juntos

A B C E J

A B C J E

A C B E J

A C B J E

B C A E J

B C A J E

B A C E J

B A C J E

C B A E J

C B A J E

C A B E J

C A B J E

Pueden estar sentadas de 12 maneras distintas.

84. El abuelo de Edu tiene entre 200 y 300 libros en su biblioteca.


56

Un quinto son libros en inglés, un séptimo son libros en francés, la cuarta parte son libros en italiano

y el resto son libros en castellano.

¿Cuántos libros tiene el abuelo en su biblioteca?

¿Cuántos en castellano?

SOLUCIÓN

200 < x < 300

1

5 −→ in

1

7 −→ f

1

4 −→ it

1

5 +

1

7 +

1

4 −→

1

140 (28 + 20 + 35) =

83

140

En cast −→ 1 - 83

140 =

57

140

x es múltiplo de 140 / 200 < x < 300

∴ x = 280

1

5 . 280 l = 56l -→ in

1

7 . 280 l = 40l −→ f

1

4 . 280 l = 70l −→ it

57

140 . 280 l = 114 l −→ cast

85. En la figura, de 126 cm de per metro, ABFG y BCDE son rectángulos.

AB = 2 BC; AG = 2 AB y E es punto medio de BF.

Calcula el área de la figura sombreada. (FABDE)

Los puntos son A, B, C, D, E, F, G tomados desde el vértice izquierdo inferior

SOLUCIÓN


57

per ( ABCDEFG) = 126cm

ABFG ∧ BCDE −→ rectángulos

AB = 2BC

AG = 2AB

E −→ punto medio de BF

¿área (ABDEF)?

AB + BC + CD + EF + FG + AG = AB + 𝐴𝐵

2 + AB +

𝐴𝐵

2 + AB + AB + 2AB = 126cm

7AB = 126cm =⇒ AB = 126

7 cm = 18cm

área figura = área (ABF) + área (BDE) = 1

2 (AB . BF) +

1

2 (DE . BE)

BF = AG = 2AB

DE = BC = 𝐴𝐵

2

BE = EF = AB

área figura = 1

2 (AB . 2AB) +

1

2 (

𝐴𝐵

2 . AB) = (AB)2+

1

4 (AB)2=

5

4 (AB)2

Si AB = 12cm =⇒ área figura = 5

4 (AB) 2=

5

4 . 144cm2 = 180cm2

86. Un virus atacó la memoria de una computadora.

El primer día borró la mitad de la memoria.

El segundo día borró la mitad de lo que quedaba.

El tercer día borró la mitad de lo que quedaba.

Al final del tercer día quedaron sin borrar 512 unidades de memoria.

¿Cuántas unidades de memoria tenía la computadora antes de ser atacada por el virus?

SOLUCIÓN

día 1 −→ 1

2 T

día 2 −→ 1

2 (

1

2T)

día 3 −→ 1

2 [

1

2 (

1

2T)]

quedan −→ 512 um

¿T?

T - 1

2 T -

1

4 T -

1

8 T = 512

1

8 (8T - 4T - 2T - T) = 512 =) ⇒ T = 512 . 8 = 4096 um


58

87. ¿Cuántos números de cuatro cifras, múltiplos de 6, tales que la suma de la cifra de las unidades y

la cifra de las decenas sea 11, se pueden armar?

¿Cuáles son?

nros múltiplos de 6

d + u = 11 um+ c −→ 1 , 4 , 7 , 10 , 13

SOLUCIÓN

1039 1338 1638 1938 2238 2538 3838 3138 3438 3738 4038 4338 4638 4938

1056 1356 1656 1956 2256 2556 2856 3156 3456 3756 4056 4356 4656 4956

1074 1374 1674 1974 2274 2574 2874 3174 3474 3774 4074 4374 4674 4974

1092 1392 1692 1992 2292 2592 2892 3192 3492 3792 4092 4392 4692 4992

5238 5538 5838 6138 6438 6738 7038 7338 7638 7938 8238 8538 8838 9138

5456 5556 5856 6156 6456 6756 7056 7356 7656 7956 8256 8556 8856 8956

5274 5574 5874 6174 6474 6774 7074 7374 7674 7974 8274 8574 8874 9174

5292 5592 5892 6192 6492 6792 7092 7392 7692 7992 8292 8592 8892 9192

9438 9738

9456 9756

9474 9774

9492 9792

Hay 120 casos posibles.

88. De la bolsa de caramelos, Camila se llevó la tercera parte y después Agustina se llevó un cuarto

de lo que quedaba.

En la bolsa quedaron 132 caramelos.

¿Cuántos caramelos había al principio?

SOLUCIÓN

1

3 caramelos −→ C −→ 88 caramelos

1

4 .

2

3 caramelos −→ A −→ 44 caramelos

TOTAL −→ x

RESTO −→ 132 caramelos

1

3 +

1

4 .

2

3 =

1

6 (2 + 1) =

3

6 =

1

2

A + C comieron la mitad de la bolsa, entonces:

x = 2 . 132 caramelos = 264 caramelos

89. En la figura:

ABCD es un rectángulo de 108 cm de perímetro.


59

BC = 1

2 AB

AQ = BM = MN = NC

DP = PC

¿Cuál es el área del AMNPQ?

SOLUCIÓN

per (ABCD) = 108cm

BC = 1

2 AB

AQ = BM = NM = NC DP = PC

per (ABCD) = 2AB + 2BC = 2AB + AB = 3AB = 108cm =⇒ AB = 108

3 cm = 36cm

AQ = BM = MN = CN = 𝐵𝐶

3 =

𝐴𝐵

6

DQ = BC - BM = 𝐴𝐵

2 -

𝐴𝐵

6 =

1

6 (3AB - AB) =

2

6 AB =

1

3 AB

área sombreada = área (ABCD) - área (DPQ) - área (CNP) - área (ABM)

área sombreada = AB . BC - 1

2 (DP . DQ) -

1

2 (CN . CP) -

1

2 (AB . BM) =

= AB . 𝐴𝐵

2 -

1

2 (

𝐴𝐵

2 .

𝐴𝐵

6 ) -

1

2 (

𝐴𝐵

6 .

𝐴𝐵

2 ) -

1

2 (AB .

𝐴𝐵

6 ) =

1

2 (AB)2 -

1

24 (AB)2 -

1

12 (AB)2 =

1

3 (AB)2=

= (AB)2 ( 1

2 -

1

24 -

1

12 =

1

3) =

1

24 (AB)2 (12 – 2 – 2) =

1

3 (AB)2

Si AB = 36cm ⇒ 1

3 (AB)2 =

1

3 (36cm)2 = 432cm2

90. Vale dibuja un edificio; en la planta baja no tiene ventanas y en los otros 2 pisos tiene 4 ventanas

en cada piso.

Después elige 4 ventanas y las pinta de azul.

¿De cuántas maneras distintas pudo haber elegido Vale las 4 ventanas que pintó de azul?

Muéstralas.

SOLUCIÓN

1 2 3 4

5 6 7 8

Se pueden hacer las siguientes combinaciones:


60

1234 1257 1357 1478 2357 2478 3478

1235 1258 1358 1567 2358 2567 3567

1236 1267 1367 1568 2367 2568 3568

1237 1268 1368 1578 2368 2578 3578

1238 1278 1378 1678 2478 2678 3468

1245 1345 1456 2345 2456 3456 4567

1246 1346 1457 2346 2457 3457 4568

1247 1347 1458 2347 2458 3458 4578

1248 1348 1467 2348 2467 3467 4678

1256 1356 1468 2356 2468 3468 5678

Hay 70 posibilidades.

91. Con cubos de madera todos iguales Cristian armó esta torre de 864 cm2 de área total.

Con todos los cubos que Cristian usó se llena una caja de 16 cm de largo y 8 cm de ancho.

Cuál es la altura de esa caja?

SOLUCION

16 cubos =⇒ área total = 864cm2

¿ altura de la caja = ?

7 caras + 16 caras + 16caras + 8caras + 7caras = 54caras = area total

54 caras = 864cm2 =⇒ 1 cara = 864

54 cm2 = 16cm2

∴ cada cara mide 4cm


61

16 cubos =⇒ 8 arriba ∧ 8 abajo =⇒ h = 8cm

92. Luis pasa sus vacaciones en Playa Linda y su amigo Matías en Playa Hermosa, distantes entre s 20

km.

Planearon encontrarse una mañana.

Los dos salieron a las 9 hs, Luis caminaba a 5 km/h y Matías a 7 km/h.

¿A qué hora y a qué distancia de Playa Linda se encontraron?

SOLUCION

ti = 9hs

L −→ 5𝑘𝑚

ℎ

M −→ 7𝑘𝑚

ℎ

5t +7t = 20km =⇒ 12t = 20km =⇒ t = 20

12 h = 1h 40min

L −→ 5

3 ℎ . 5

𝑘𝑚

ℎ =

25

3 km

M −→ 5

3 ℎ . 7

𝑘𝑚

ℎ =

35

3 km

ti + tr = tf ⇒ 9hs + 5

3 h = 10h 40 min

Se encontraron a las 10h 40min a 25

3 km de playa linda.

93. En un triángulo equilátero ABC se marcan los puntos medios de los lados:

M en AB,

N en BC

P en AC.

Se trazan todos los segmentos que tienen por extremos los puntos A, B, C, M, N y P.

¿Cuántos triángulos hay en esta figura?

Explica como los contaste.

SOLUCION

1 10 1; 3 7; 8; 10 3; 4; 7; 8; 9; 10

2 11 2; 4 3; 7; 8 1; 3; 5; 6; 7; 8

3 12 5; 7 4; 9; 11 2; 4; 9; 10; 11; 12

4 1; 2 6; 8 1; 3; 7; 8 1; 2; 3; 4; 5; 7

5 3; 4 9; 11 2; 4; 9; 11 6; 8; 9; 10; 11; 12

6 5; 6 10; 12 3; 4; 5; 7 1; 2; 3; 4; 9; 11

7 7; 8 3; 4; 7 6; 8; 9; 11 5; 6; 7; 8; 11; 12

8 9; 10 8; 9; 10 3; 4; 9; 11 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12

9 11; 12 3; 4; 9 7; 8; 11; 12


62

44 casos.

94. Mezclando jugos de naranja, kiwi y pomelo se preparan los jugos A, B y C que se envasan en

botellones de 5 litros.

Para 5 litros del jugo A se necesitan: 1 litro de jugo de naranja, 2 de jugo de kiwi y 2 de jugo de

pomelo.

Para 5 litros del jugo B se necesitan: 2 litros de jugo de naranja, 1 de jugo de kiwi y 2 de jugo de

pomelo.

Para 5 litros del jugo C se necesitan: 2 litros de jugo de naranja, 2 de jugo de kiwi y 1 de jugo de

pomelo.

Con 80 litros de jugo de naranja, 55 litros de jugo de kiwi y 70 litros de jugo de pomelo, ¿cuántos

botellones de 5 litros de cada clase de jugo se pueden preparar?

SOLUCIÓN

N , K , P −→ A , B , C −→ 5l

5lA −→ 1lN + 2lK + 2lP

5lB −→ 2lN + 1lK + 2lP

5lC −→ 2lN + 2lK + 1lP

80lN , 55lK , 70lP −→ ¿botellones de 5l?

𝐴 + 2𝐵

2𝐴 + 𝐵2𝐴 + 2𝐵

+ 2𝐶 =+ 2𝐶 =+ 𝐶 =

80𝑙55𝑙70𝑙

∆ = |1 2 22 1 22 2 1

| = 5

∆𝐴 = |80 2 255 1 270 2 1

| = 10 ⇒ A = ∆𝐴

∆ =

10

5 = 2

∆𝐵 = |1 80 22 55 22 70 1

| = 135 ⇒ B = ∆𝐵

∆ =

135

5 = 27

∆𝐶 = |1 2 802 1 552 2 70

| = 60 ⇒ C = ∆𝐶

∆ =

60

5 =12

95. Los puntos de la figura están en una cuadrícula.

Cada cuadradito de la cuadrícula tiene 1cm de lado.

Se quiere dibujar un triángulos con vértices en los puntos de la cuadrícula que tenga 1/2 cm2 de área.

¿Cuántas posibilidades distintas hay? Explica por qué.


63

SOLUCION

1,2 5,6 9,10 13,14

1,3 5,7 9,11 13,15

2,4 6,8 10,12 14,16

3,4 7,8

Así queda:

11,12 15,16

ABD = 1,2 BCE = 5,6 BEG = 9,10 EFH = 13,14

ADE = 1,3 BEF = 5,7 DGH = 9,11 EHI = 13,15

ABE = 2,4 BCF = 6,8 DEH = 10,12 EFI = 14,16

BDE = 3,4 CEF = 7,8 EGH = 11,12 FHI = 15,16

96. En la figura: ACDE es un rectángulo,

ABOF es un cuadrado,

CO = CD,

AC = 51cm,

área de BCO = 270cm2, los lados AB y BC tienen longitudes enteras.

¿Cuál es el perímetro y cuál es el área del cuadrilátero ACOF?

¿Cuál el área del cuadrilátero BCDO?

SOLUCION

AB + BC = 51 cm

AB = BO 1

2 (BO . BC ) = 270cm2

BC = 51cm - AB

B0 (51cm - BO) = 540cn2

- (BO)2 + 51cm . (BO) - 540cm2 = 0


64

BO = 51+√512−4.540

−2 = 36

BO = 51− √512−4.540

−2 = 15

CO = √362 + 152 = √1296 + 225 = √1521 = 39

per (ACOF) = AC + CO + OF + FA = 51cm + 39cm + 15cm + 15cm = 120cm

area (ACOF) = 1

2 (AC + FO) . BO =

1

2 (51cm + 15cm) . 15cm = 495cm2

area (BCDO) = 1

2 (CD + BC) . BC =

1

2 (39cm + 15cm) . 36cm = 972cm2

97. El arco CD es una semicircunferencia de 7 cm de diámetro.

El paralelogramo ABCD tiene 84cm2 de área.

Si se traza la recta que pasa por C y es perpendicular a AB, esa recta corta al segmento AB en su

punto medio.

¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?

SOLUCION

CD = 7cm

E ∈ BA

EA = BE

area (ABCD) = AB . CD = 84cm2

area semicirculo CD = 𝜋

4 (CD)2

L = . D ⇒ 1

2 L =

7

2 𝜋 cm

CD = 84

7 cm = 12cm

BC = √(7

2 𝑐𝑚)2 + (12𝑐𝑚)2 = √

49

4 𝑐𝑚2 + 144𝑐𝑚2 = √

625

4𝑐𝑚2 =

25

2 cm

Per fig = 2 . 25

2 cm + 7cm +

7

2 . 𝜋 cm = 25cm + 7 (1 +

𝜋

2) cm

98. En una cuadrícula de 5 filas y 3 columnas se quieren pintar de azul 6 cuadraditos de modo que, en

cada columna haya exactamente 2 pintados y en cada fila haya al menos uno pintado.


65

¿De cuántas maneras puede hacerse?

SOLUCION

Llamo α a las combinaciones que puedo hacer con los elementos de la columna 1 tomando 2

elementos:

AD AG AJ AM DG

𝛼 →

DJ DM GJ GM JM

De la misma manera trabajo con los elementos de la columna 2 y queda:

BE BH BK BN EH 𝛽 →

EK EN HK HN KN

Con 𝛾 obtengo lo mismo de la columna 3

CF CI CL CO FI 𝛾 →

FL FO IL IO LO

Si los agrupo, queda:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝛼 AD AG AJ AM DG DJ DM GJ GM JM

𝛽 BE BH BK BN EH EK EN HK HN KN

𝛾 CF CI CL CO FI FL FO IL IO LO

No puedo elegir dos columnas y dos filas iguales a la vez.

Ejemplo −→ α1 β1

Si por ejemplo tomamos α1 β2 los podemos combinar con los γ distintos de 1 y 2

A α1 lo combino con β2....,10 (as obtengo 90 casos).

Si procedo de igual manera con todas las variables, obtengo 90 . 3 = 270 combinaciones.

A cada una le corresponde 8 variantes de su grupo opuesto.

En total obtengo 270 . 8 = 2160 combinaciones.

99. Agustín, Bruno, Carlos, Diego, Ezequiel y Federico son coleccionistas de cuadros y dos de ellos son

hermanos.


66

Un día fueron juntos a una exposición y compraron de la siguiente manera: Agustín compró 1 cuadro,

Bruno compró 2, Carlos 3, Diego 4, Ezequiel 5 y Federico 6.

Los dos hermanos pagaron igual cantidad de dinero por cada uno de los cuadros que compraron.

Los demás del grupo pagaron el doble por cada cuadro de los que pagaron los hermanos.

En total pagaron $100000.

El precio de cada cuadro era un número entero de pesos.

¿Quiénes son hermanos?

Explica por qué.

SOLUCION

A − B − C − D − E − F

A + 2B + 3C + 4D + 5E + 6F

x + y = 21 =⇒ y = 21 - x

xz + y . 2z = 100000

xz + (21 - x) . 2z = 100000

xz - 4xz + 42z = 100000

42z - xz = 100000

(42 - x) . z = 100000

Casos posibles:

Elijo el caso (x , z) = (10 , 3125) porque un hermano tenía 6 cuadros y el otro 4.

O sea los hermanos son D y F.

Cada uno pagó $3125 por cuadro ,

Los otros cuadros valían 2 . $3125 = $6250

100. En el Súper, Esteban compra pescado fresco, lácteos y productos congelados.

Esteban calcula que en productos congelados gasta el doble que en lácteos y que en total debe pagar

$271.

Cuando llega a la caja sólo le cobran $249,15 porque hay un descuento del 5 % en lácteos y un

descuento del 15 % en pescado fresco.

Sin los descuentos, ¿cuánto pagaría por el pescado fresco y cuánto por los lácteos?


67

SOLUCION

x −→ pescado fresco

y −→ lácteos

z −→ pescado congelado

total −→ $271

z = 2y

Planteamos los siguientes sistemas de ecuaciones equivalentes:

𝑥 + 𝑦0,85𝑥 + 0,95𝑦

+ 𝑧 =+ 𝑧 =

271

249,15

semejante a:

𝑥 + 𝑦17

20𝑥 +

19

20𝑦

+ 2𝑦 =+ 2𝑦 =

271

249,15

y a:

17𝑥 + 59𝑦𝑥 + 3𝑦

= 4983= 271

Calculando determinantes:

∆ = |17 591 3

| = -8

∆𝑥 = |4983 59271 3

| = -1040 ⇒ x = ∆𝑥

∆ =

−1040

−8 = 130

∆𝑦 = |17 49831 271

| = -376 ⇒ x = ∆𝑦

∆ =

−376

−8 = 47

z = 2y = 2 , 47 = 94

(x , y , z) = (130 , 47 , 94)

101. Juan sumó 99 números impares consecutivos y obtuvo como resultado 12375.

¿Cuál es el mayor de los números que sumó Juan?

Por ejemplo: 5 y 7 son dos impares consecutivos; 37; 39; 41 y 43 son cuatro impares consecutivos.

SOLUCION

total = 12375 −→ 99 impares consecutivos


68

nro. central = 12375

99 = 125

nro. mayor = 125 + 2 * 49 = 223

102. Un comerciante compró tres artículos por un total de $ 440 y después los vendió y obtuvo una ganancia

del 30 %.

Uno de los artículos le dio una ganancia del 20 %, otro una ganancia del 25 % y el tercero una ganancia

del 50 %. Lo que pagó por el artículo que le dio menor porcentaje de ganancia es igual a la suma de los

precios de venta de los otros dos artículos.

¿Cuánto pagó el comerciante por cada uno de los tres artículos?

SOLUCION

A + B + C = $440

G = 30 % . $440 = $132

A −→ 20 %

B −→ 25 %

C −→ 50 %

A = 5

4 B +

3

2 C

6

5 A +

5

4 B +

3

2 C = $572

6

5 (

5

4 B +

3

2 C) +

5

4 B +

3

2 C = $572

3

2 B +

9

5 C +

5

4 B +

3

2 C = $572

(3

2 +

5

4 ) B + (

9

5 +

3

2 )C = $572

11

4 B +

33

10 C = 572 ⇒

55𝐵+66𝐶

20 = $572

5B + 6C = $1040

Por otro lado:

A + B + C = $440 5

4 B +

3

2 C +B + C = $440

9

4 B +

5

2 C = $440 ⇒ 9B + 10C = $1760

Si agrupo las dos ecuaciones, me queda:

9𝐵 + 10𝐶5𝐵 + 6𝐶

= $1760= $1040

∆ = |9 105 6

| = 4

∆𝐵 = |1760 101040 6

| = 160 ⇒ B = ∆𝐵

∆ =

160

4 = 40


69

∆𝐶 = |9 17605 1040

| = 9360 ⇒ 𝐶 = ∆𝐶

∆ =

9360

4 = 140

A = 5

4 B +

3

2 C =

5

4 . 40 +

3

2 . 140 = 50 + 210 = 260

(A , B , C ) = ($260 , $40 , $140)

103. En la farmacia compro remedios y artículos de perfumería.

Por los remedios hacen el 60 % de descuento.

Por los artículos de perfumería hacen el 20 % de descuento.

Con el descuento pago, en total, $52,60.

Sin el descuento deber a pagar, en total, $105.

¿Cuál es el precio de los remedios sin descuento?

SOLUCION

R −→ 60 % desc.

P −→ 20 % desc.

0,8P + 0,4R = $52,60

𝑃 + 𝑅 = $1054

5 𝑃 +

2

5 𝑅 = $52,60

⌉ ⇒ 4

5 ( $105 - R ) +

2

5 R = $52,60

P = $105 - R

$84 - 4

5 R +

2

5 R = $52,60

$84 - $52,60 = 3

5 R ⇒ R =

5

2 . $31,40 = $78,50

P = $105 - $78,50 = $26,50

104. Usando algunos (o todos) los dígitos de la lista: 4 - 5 - 6 - 7 - 9 una o más veces, hay que armar dos

números de tres cifras de modo que cada número no tenga cifras repetidas y la suma de los dos

números sea múltiplo de 9.

¿Cuántas soluciones se pueden armar?

Explica por qué.

Observación: No importe el orden en que se suman los números.

SOLUCION

A B C D E F G H I J K L

456 457 459 465 467 469 475 476 479 495 496 497

546 547 549 564 567 569 574 576 579 594 596 597

645 647 649 654 657 659 674 675 679 694 695 697

745 746 749 754 756 759 764 765 769 794 795 796

945 946 947 954 956 957 964 965 967 974 975 976


70

Agrupo a los múltiplos de 9 (si los sumo de a dos obtengo 1

2 . 12 . 11 casos distintos)

Elijo a los otros múltiplos de 3 y formo dos grupos:

A −→ los que suman 15 −→ 456 465 546 564 645 654

B −→ los que suman 21 −→ 579 597 759 795 957 975

A cada uno del grupo A lo puedo sumar con uno del grupo B y obtengo 62= 36 sumas.

A los demás los reagrupo de acuerdo a la sumatoria de sus dígitos:

16 −→ 457 475 547 574 745 754 −→ 6 casos

17 −→ 467 476 647 674 746 764 −→ 6 casos

19 −→ 469 496 649 694 946 964 −→ 6 casos

20 −→ 479 497 569 596 659 695 −→ 12 casos

749 794 947 956 965 974

22 −→ 679 697 769 796 967 976 −→ 6 casos

A los del grupo 16 los puedo sumar con los del grupo 20 y obtengo 12 . 6 = 72 sumas.

A los del grupo 17 los sumo con los del grupo 19 y obtengo 62 = 36 sumas.

Descarto a los que suman 22

En total puedo obtener:

66 casos + 36 casos + 72 casos + 36 casos = 210 sumas.

105. Cinco chicas y cinco chicos van a un baile.

En el grupo, dos de las chicas (que no son hermanas) van, cada una, con sus dos hermanos varones.

Para el primer baile, que es un tango, ninguna de las chicas puede formar pareja con ninguno de sus

hermanos.

De cuántas maneras se pueden armar las cinco parejas para el primer baile? SOLUCIO

5 chicas −→ (AAC,..., A5)

5 chicos −→ (O1,... , O5)

A1,A2 hermanas de O1,O2

Posibles parejas:

(A1,O2), (A1,O3), (A1,O4), (A1,O5)

(A2,O1), (A2,O3), (A2,O4), (A2,O5)

(A3,O1), (A3,O2), (A3,O3), ( A3, O4), (A3,O5)

(A4,O1), (A4,O2), (A4,O3), ( A4, O4), (A4,O5)

(A5,O1), (A5,O2), (A5,O3), ( A5, O4), (A5,O5)

A1−→ 4 parejas


71

A2−→ 4 parejas

A3−→5 parejas

A4−→5 parejas

A5−→5 parejas

En total se forman 23 parejas

106. El triángulo ABC es rectángulo en A.

Con diámetro sobre cada lado se dibuja un semicírculo.

El semicírculo dibujado sobre la hipotenusa tiene área de 1250 𝜋 cm2

El semicírculo dibujado sobre el cateto AC tiene área de 800 𝜋 cm2

¿Cuál es el área del triángulo ABC?

SOLUCION

S = 1

2 𝜋 r2 ⇒ r = √

25

𝜋

2r = BC ⇒ 1

2 BC = √2 . 1250 cm = 50cm ⇒ BC = 100cm

1

2 AC = √2 . 800 cm = 40cm ⇒ AC = 80cm

1

2 AB = √(50𝑐𝑚)2 − (40𝑐𝑚)2 = √2500𝑐𝑚2 − 1600𝑐𝑚2 = √900𝑐𝑚2 = = 30cm ⇒ AB = 60cm

area x = 1

2 𝜋r2 =

1

2 𝜋(30cm)2 = 450𝜋 cm2

area (ABC) = 1

2 (AB . AC) =

1

2 (60cm . 40cm) =1200cm2

107. El año pasado, el número de alumnos del turno mañana era una vez y media el número de

alumnos del turno tarde.

Este año, el total de alumnos aumentó un 20 %, del cual la décima parte corresponde al turno tarde.

¿En qué porcentaje aumentó el número de alumnos del turno mañana?

SOLUCION

TM = 3

2 TT

TE = TM + TT = 3

2 TT + TT =

5

2 TT

TE → 20% → (1 +1

5 ) TE =

6

5 TE

TT → 2% → (1 +1

50 ) TE =

51

50 TT

TM = 6

5 TE -

51

50 TT =

1

50 (60 TE – 51 TT) =

9

50 TE = 18% TE

TM + TT = 100 %

TM = 3

2 TT

3

2 TT + TT =

5

2 TT = 100% ⇒ TT = 40% ⇒ TM = 60%

Con respecto al año anterior:


72

60% + (9

10 . 20% ) = 78% - TM

40% + (1

10 . 20% ) = 42% - TT

En referencia al año actual:

120 % : 100 % :: 42 % : x

x = 100 .42

120 % = 35% → TT bajó 5%

120 % : 100 % :: 78 % : x

x = 100 .78

120 % = 65% → TM subió 5%

108. Martín fue a cobrar un cheque al banco.

En el cheque la cantidad de centavos era el triple de la cantidad de pesos.

El cajero se equivocó al pagarle el cheque.

Le pagó en pesos la cantidad que debía darle en centavos y en centavos lo que debía darle en pesos.

Martín tomó el dinero, gastó $ 14,25 y entonces se dio cuenta de que ahora tenía el doble de lo que

el cajero deber a haberle dado por el cheque.

¿De cuánto era el cheque?

SOLUCION

cheque −→ 3x + x cent

3x + 1

100 x - $14,25 = 2x +

6

100 x

3x + x - (2x + x ) = $14,25

3x + 1

100 x = $14,25 =⇒ x = $

1425

95 = $15

109. Utilizando todos o algunos de los dígitos 0 1 3 4 6 7 se quieren armar números que tengan todas

sus cifras distintas, sean múltiplos de 4 y múltiplos de 3.

¿Cuántos de esos números se pueden armar?

Explica cómo los contaste.

SOLUCION

36 60 360

1704 4716 1740 1764 1476

7104 7416 7140 7164 4176

10476 40176 14076 41076

40716 47016 70416 74016

10764 70164 17064 71064

76104 71604 67104 61704 16704 17604

73104 71304 37104 31704 13704 17304


73

34716 37416 43716 47316 73416 74316

14736 17436 41736 47136 71436 74136

73140 71340 37140 31740 13740 17340

76140 71640 67140 61740 16740 17640

13764 17364 31764 37164 71364 73164

13476 14376 31476 34176 41376 43176

637140 367140 736140 763140 673140 3766140

437160 347160 734160 743160 473160 374160

617340 167340 716340 761340 671340 176340

417360 147360 714360 741360 471360 174160

713460 731460 371460 173460 317460 137460

317640 137640 713640 731640 371640 173640

316740 136740 613740 631740 361740 163740

314760 134760 413760 431760 341760 143760

713604 173604 731604 137604 317604 371604

716304 176304 761304 167304 617304 671304

367104 376104 637104 673104 763104 736104

136704 163704 316704 361704 613704 631704

437016 417036 137064 134076

473016 471036 173064 143076

374016 147036 317064 314076

347016 174036 371064 341076

734016 714036 713064 413076

743016 741036 731064 431076

470316 740136 730164 410376

740316 470136 370164 140376

370416 170436 170364 430176

730416 710436 710364 340176

340716 410736 310764 130476

430716 140736 130764 310476

407316 407136 307164 103476

704316 704136 703164 301476

307416 107436 701364 304176

703416 701436 107364 401376

304716 104736 301764 104376


74

403716 401736 103764 403176

casos posibles = (nros < 1000) + (nros de 4 cifras) + (nros de 5 cifras) + (nros de 6 cifras) + (nros de 6

cifras) + (nros de 6 cifras) = 3 + 10 + 60 + 48 + 24 + 24 + 24 + 24 = 217 nros

En los nros de 6 cifras contamos:

el 0 como u −→ 48 en total

el 0 como d −→ 24 en total

el 0 como c −→24 en total

el 0 como um −→ 24 en total

el 0 como dm −→ 24 en total

110. La sala del teatro tiene 240 asientos.

En la función del domingo todosólos asientos estaban ocupados.

Las entradas cuestan $12 para mayores y $8 para menores, los invitados no pagan.

Por venta de entradas para la función del domingo ingresaron $2640.

¿Cuántos mayores, cuántos menores y cuántos invitados hubo?

Da todas las posibilidades

SOLUCION

t = 240a

ma −→ $12

me −→ $8

i −→ gratis 12𝑥 + 8𝑦

𝑥 + 𝑦3𝑥 + 2𝑦

=

+𝑧 ==

$2640$240$660

𝑧 = 240 − 𝑥 − 𝑦

Los casos posibles son:

x y z

180 60 0

220 0 20

200 30 10

210 15 15

190 45 5

111. Se venden 140 naranjas, una parte ganando el 30 % y el resto perdiendo el 20 %.

Si al nal no se gana ni se pierde, ¿cuántas naranjas se vendieron con ganancia?


75

SOLUCION

140 n −→ +30 % −→ x

140 n −→ -20 % −→ y

x + y = 140n 13

10 x +

8

10 y = 140n

x + y = 13

10 x +

8

10 y

3

10 x -

2

10 y = 0 =⇒ 3x - 2y = 0 =⇒ x =

2

3 y

𝑥 + 𝑦3𝑥 − 2𝑦

= 140= 0

∆ = |1 13 −2

| = -5

∆𝑥 = |140 1

0 −2| = -280 ⇒ x =

∆𝑥

∆ =

−280

−5 = 56

∆𝑦 = |1 1403 0

| = -420 ⇒ x = ∆𝑦

∆ =

−420

−5 = 84

(x , y) = (56 , 84)

112. Una línea aérea ofrece la siguiente promoción para jóvenes y ancianos.

El precio del pasaje se reduce a la mitad para los menores de 25 años y a la tercera parte para los

mayores de 65 años.

En el primer vuelo sólo se ocupan las dos terceras partes del avión.

Se venden 280 pasajes; se recaudan $ 153.125.

En el segundo vuelo viajan el doble de ancianos y la misma cantidad de jóvenes y de adultos que en el

primer vuelo; ocupan las tres cuartas partes del avión.

En el tercer vuelo viajan el doble de adultos del primer vuelo y la misma cantidad de jóvenes y de

ancianos que en el primer vuelo; en el avión no quedan asientos vacíos.

¿Cuántos pasajeros de cada clase hubo en el primer vuelo?

¿Cuál es el precio de un pasaje de tarifa normal?

SOLUCION

me −→ 50 % tarifa −→ x

ma −→ 1

3 tarifa −→ y


76

ad −→ tarifa normal −→ z

280p −→ 2

3 t

xp −→ t =⇒ x = 3

2 . 280p = 420p

280p recaudaron $153125

𝑥 + 𝑦𝑥 + 2𝑦𝑥 + 𝑦

+ 𝑧 =+ 𝑧 =+ 2𝑧 =

280315420

∆ = |1 1 11 2 11 1 2

| = 1

∆𝑥 = |280 1 1315 2 1420 1 2

| = 105 ⇒ x = ∆𝑥

∆ =

105

1 = 105

∆𝑦 = |1 280 11 315 11 420 2

| = 35 ⇒ y = ∆𝑦

∆ =

35

1 = 35

∆𝑧 = |1 1 2801 2 3151 1 420

| = 140 ⇒ z = ∆𝑧

∆ =

140

1 =140

105 . 𝑡

2 + 35 .

𝑡

3 + 140 t = 35 (

3

2 t +

𝑡

3 + 4t) = $153125

t (3

2 +

1

3 + 4) = $ 4375

𝑡

6 (9 + 2 + 24) =

35

6 t = $4375 ⇒ t =

6

35 . $4375 = $750

tad = $750

tma = $250

tme = $375

113. Dos jarras idénticas se llenan con café y leche.

En la primera jarra hay 3/5 partes de leche, el resto es café.

En la segunda jarra hay 3/4 partes de leche, el resto es café.

De la primera jarra se consume la tercera parte y se completa con la mezcla de la segunda jarra.

¿Cuál es ahora el porcentaje de café en la primera jarra?

SOLUCION

jarra 1 →( 3

5 leche +

2

5 café ) -

1

3


77

jarra 2 →( 3

4 leche +

1

4 café )

En la jarra 1 queda:

2

3 .

3

5 leche +

2

3 .

2

5 café =

2

5 leche +

4

15 café

Paso 1

3 de la segunda jarra a la primera y queda:

(2

6 +

3

4 -

1

3 ) leche + (

4

15 +

1

4 -

1

3 ) café =

13

20 leche +

7

20 café

20

20 → 100%

7

20 → x =

100% .7

2020

20

= 35%

Ahora el porcentaje de café de la primera jarra es el 35 %.

114. Un fabricante de agua saborizada produce una de sabor naranja que contiene 5 % de jugo de

naranja.

Una nueva reglamentación exige que toda agua saborizada tenga el 10 % de jugo de fruta.

El fabricante tiene 900 litros de agua sabor naranja ya preparados, ¿cuánto jugo de naranja tiene que

agregarle para cumplir con la nueva reglamentación?

SOLUCION

5 % −→ 900l

100 % −→ 900l

5 % −→ x =⇒ x = 1

100% . (900l . 5 %) = 45l

900 l −→ 45ln −→ 855 la

Con la nueva composición:

900l −→ 90ln −→ 810la

810 la −→ 90 ln

855 la −→ x = 1

85𝑙 (855 la . 90ln) = 95 ln

necesito −→ x = 95 ln

tengo −→ 45 ln

me faltan −→ 50 ln

115. Un automovilista va de A hasta B, distantes 240 km, a velocidad constante.

Al regreso hace la cuarta parte del camino a la misma velocidad que llevaba a la ida y en el resto del

camino, reduce su velocidad a la mitad.

Si en el viaje de regreso tarda 4 horas y 40 minutos, a cuántos kilómetros por hora iba a la ida?

SOLUCION

Si v = cte =⇒ e = v . t =⇒ v = 𝑒

𝑡


78

regreso −→ 4hs 40 min

60km −→ v =⇒ 60km = v . t1

180 km → 𝑣

2 ⇒ 180 km =

𝑣

2 . t2

t1 + t2 = 4hs 40 min = 280 min v. t1 = 1

3 (

𝑣

2 . t2) ⇒ 3vt1 =

𝑣

2 t2 ⇒ t2 = 6t1

t1 + 6t1 = 7t1 = 280 min =⇒ t1 = 40 min

60km −→ 40 min

x km −→ 60 min =⇒ x = 1

40 𝑚𝑖𝑛 .60km . 60 min = 90km

v = 90 𝑘𝑚

ℎ

116. Se quieren pintar los 6 triángulos en que está partida la figura utilizando los 3 colores: azul, rojo y

verde de modo que los triángulos que tienen un lado común no sean del mismo color.

Indica de qué maneras puede hacerse. ¿Cuántas son?

SOLUCION

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

R R A A V R A A V V R A V V R R A V

R R A A R R A A V V A A V V R R V V

R V A A V R A R V V R A V A R R A V

R V A A R R A R V V A A V A R R V V

R R A V R R A A V R A A V V R A V V

R R A V A R A A V R V A V V R A R V

R V A V A R A R V R V A V A R A V V

R V A V R R A R V R A A V A R A R V

R R V A V R A A R V R A V V A R A V

R R V A A R A A R V V A V V A R R V

R A V A A R A V R V V A V R A R A V

R A V A V R A V R V R A V R A R R V

R A V V A R A V R R V A V R A A R V

R A V V R R A V R R A A V R A A V V

R R V V A R A A R R V A V V A A R V

R R V V R A A R R A A V V A A V V

117. En la escuela, en séptimo grado hay 7 chicos menos que en sexto.

Este lunes, el 30 % del total de los chicos de quinto, sexto y séptimo, estuvieron con gripe.


79

Hubo 33 enfermos en total.

Estuvieron enfermos el 40 % de los chicos de quinto, el 25 % de los chicos de sexto; en séptimo grado

hubo 3 enfermos menos que en sexto.

¿Cuántos chicos hay en cada grado?

SOLUCION

5º −→ 40 %

6º −→ 25 %

5º −→ 6º

- 3a

30 % −→ 33a

100 % −→ x = 33 𝑎 .100

30 = 110a

a + b + c = 110a

Estuvieron enfermos: 2

5 a +

1

4 b + (

1

4 b – 3) = 33

c = b - 7

Queda:

a + 2b = 117

4a + 5b = 360

Resolviendo:

∆ = |1 24 5

| = -3

∆𝑎 = |117 2360 5

| = -135 ⇒ a = ∆𝑎

∆ =

−135

−3 = 45

∆𝑏 = |1 1174 360

| = - 108 ⇒ b = ∆𝑏

∆ =

−108

−3 = 36

c = b - 7 = 36 - 7 = 29

(a , b , c) = (45 , 36 , 29)

RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS … · soluciones omÑ – nivel 3 1 recopilaciÓn de...

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