Realimentacion Trabajo Colaborativo 1

8/17/2019 Realimentacion Trabajo Colaborativo 1

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Temática: introducción a las ecuaciones diferencialesEstablezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cadaecuación:

A.

= 0.

No es lineal, pues el término

le

impide serlo. El orden es uno

B. y′′ y = 0. Es lineal, pues los coeficientes de y′′ yde y dependen de x (de hecho, de ma-nera constante). Su orden es dos.

C. 5 = Es lineal, pues los coeficientes de y′′, y′ y de y dependen de x (de hecho de ma-

nera constante). Su orden es dos.

D. 4 = 0. Es necesario llevarla a la forma están-dar, es decir, a = , para esto di-vidimos todo por .

4 = 0 4 =

Es lineal, pues los coeficientes de y′ yde y dependen de x. Su orden es uno.

E. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

01

)(2

2

x x

y y

dx

dy

= = −, por tanto / = − = Sustituyendo en la ecuación diferencial tenemos

1 = 0


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1 (1)

1 (1)

1 = 0

1

1

1

1

= 0

0 = 0

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de varia-bles separables:

= 1

= 1 Integrando a ambos lados:

= 1 Para la integral del lado derecho, podemos usar la sustitución elemental

= 1 =

Sustituyendo:

1 = =

3 = 1

3 Por tanto, la ecuación

∫ = ∫ 1 Nos queda

= + B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala

=

Llevamos la ecuación a la forma:

, , = 0 Es decir,

2 6 = 0 De donde,

, = 2


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, = 6 Calculamos las derivadas parciales = 1

= 1

Como = 1 ≠ 1 = , se tiene que la ecuación diferencial NO es exacta.

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor inte-

grante

=

La forma general de una ecuación lineal es: =

Donde = 2 y = Por tanto el factor integrante tendrá la forma = ∫ = ∫ = ∫ = = Como la ecuación es lineal, SIEMPRE se puede escribir como:

. = . o lo que es igual [∫ . ] = ∫ . Para nuestro caso: [

. ] = . Integrando con respecto a

. = 1 Para la integral del lado derecho, podemos usar la sustitución

=

= 2

2 =

= 2 = 12 =

2 =

2

Regresando sobre la ecuación 1


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. = Nos queda,

. =

2

Despejando =

2

= 12 −

D. Resuelva la ecuación diferencial

=

Esta es una ecuación homogénea.

Para ver esto último consideremos que , = donde debemoscomprobar que , es una ecuación homogénea de grado cero.Es decir, debemos reemplazar y , y factorizar (si es posi-ble).

, = , Entonces

, =

=

= ,

Como la ecuación es homogénea la sustitución

= La convertirá en una ecuación de variables separables.

= ; = Derivando con respecto a =

Reemplazando en la ecuación =

Nos queda

= 1

= 1

Que es de variables separables (en las variables )


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Separando variables

= Integrando

= 2 = = 2 2 = 2

Volviendo sobre la variable original:

= , nos queda

= 2

= 2 ó

= ±√ 2 Dado que es una constante también podemos escribirla como: = (tan solo para simplificar un poco más la expresión anterior)

= ±√ 2 = ±√ 2

= ±√

= ±√ (Empleando la propiedad delos logaritmos sobre la suma).

= ±√ E. Resuelva la ecuación diferencial

= Sujeta a =

Dividiendo por = Que es una ecuación de BernoulliLa forma general es:

=


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Donde

= , = , y = de donde = 2 La forma específica de la ecuación de Bernoulli es:

1 = 1 1

Haciendo:

= − Entonces = − = − Sustituyendo los valores en la ecuación (1):

1 2 (4) = 1 2

= Es una ecuación lineal en las variables , Recordando que una ecuación lineal tiene la forma

= (2)Por tanto el factor integrante tendrá la forma = ∫ = ∫ − =− ∫ = − = = − La ecuación (2) se puede escribir como:

. = . , o lo que es igual [∫ . ] = ∫ . Para nuestro caso:

−. = −.

−. = − Integrando con respecto a

−. = − −. = −. =

Despejando : = − − =

Regresando sobre la variable original

= − = 1


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1 =

= 1

Finalmente, aplicando condiciones iniciales 1 = 1 1 = 1111

= 1 Por tanto la solución particular es:

= 1

Segunda actividad:

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/sque vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enerode 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana

y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1 m3/s.Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada.Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contami-

nantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

: Cantidad de contaminante en cualquier instante de tiempo (en ): Rapidez con la que entra el contaminante al lago (en : Rapidez con la que sale el contaminante al lago (en

=

Como tan solo dos veces al día se vierten contaminantes al lago (de 4 a 6 de lamañana y de 4 a 6 de la tarde), esto quiere decir que el contaminante entra bajo la

relación de 4 = (4 ℎ) (

36001ℎ )

1 = 14400


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= 1000

(86400

)

1000×10 =

86410000

= 0,0864

La ecuación diferencial que modela la situación es:

= = 14400 0,0864

0,0864 = 14400 Que es una ecuación lineal, sujeta a 0 = 0 Resolviendo la ecuación:

El factor integrante tendrá la forma = ∫ = ∫ , = , Como la ecuación es lineal la podemos escribir como:

. = . o lo que es igual [∫ . ] = ∫ . Para nuestro caso: , . = , .14400 Integrando con respecto a

, . = , .14400dt , . = 14400 ,

, . = 14400,0,0864 Despejando :

= 14400, ,0,0864

,

= (144000,0864) −, = 166666,6 −,

Aplicando las condiciones iniciales

0 = 0, tenemos:

0 = 166666,6 = 166666,6 Por tanto,

= 166666,6166666,6−,


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Para = 1 1 = 166666,6166666,6−,

= 13795,44 Para

= 30 1

= 166666,6166666,6−,× = 154188,24 Para = 365 1 ñ

= 166666,6166666,6−,× = 166666,6

Grafica (eje x: días, eje y: )

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