ANALISIS NUMERICO

En la actualidad las computadoras, calculadoras y mtodos numricos proporcionan al usuario la capacidad de resolver complejos problemas matemticos sin la utilizacin de mtodos rudimentarios o de teoremas de difcil comprensin. El Anlisis Numrico es la tcnica mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas, es por ello que la computacin es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos. Los mtodos numricos han tenido gran influencia en el desarrollo tecnolgico mundial, ya que su alcance va desde el clculo de dosis de medicinas hasta la ingeniera aeroespacial. Hoy en da las computadoras nos permiten dar solucin a complicadas situaciones sin la necesidad de esforzarnos demasiado. Dentro del anlisis numrico o mtodo numrico existen diferentes tipos de nmeros o elementos que nos permitirn la resolucin de los problemas planteados: Numero Maquina: Es un sistema numrico que consta de dos nmeros cero (0) y uno (1) de base 2. Tambien es llamado definicin binaria. Esto tiene que ver con la lgica primaria de las computadoras digitales y para la representacin de diversas situaciones por ejemplo: Encendido= 1 y Apagado= 0. Numero Maquina Decimal: "Son aquellos nmeros cuya representacin viene dada de la siguiente forma: 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1 d1 9, 1 dk 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k";

ANALISIS NUMERICO

INTERPOLACIO

N

En el subcampo matemtico del anlisis numrico, se denomina interpolacin a la obtencin de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniera y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto nmero de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una funcin que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolacin es la aproximacin de una funcin complicada por una ms simple. Si tenemos una funcin cuyo clculo resulta costoso, podemos partir de un cierto nmero de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una funcin ms simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la funcin obtenida que si evaluamos la funcin original, si bien dependiendo de las caractersticas del problema y del mtodo de interpolacin usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una funcin f que verifique a la que se denomina funcin interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolacin que se utilizan con frecuencia son la interpolacin lineal, la interpolacin polinmica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolacin por medio de spline o la interpolacin polinmica de Hermite.

TIPOS

Interpolacin De Hermite Aqu buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La funcin Hn(x) queda determinada en forma nica por estas condiciones y su clculo requiere de la solucin de n sistemas lineales de tamao 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolacin de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

Interpolacin Usando Splines Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolacin. Se ha observado que en aplicaciones grficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una funcin, haciendo que los grficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la funcin f en los datos . 4. s(x) es continua en el intervalo.

Polinomio Interpolante De Lagrange Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i j. Este Polinomio Pn es la frmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta frmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolacin, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algn criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

TIPOS

Interpolacin Lineal Uno de los mtodos de interpolacin ms sencillos es el lineal. En general, en la interpolacin lineal se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente frmula:

Y = Ya + (X Xa) * (Xb Xa / Yb Ya) La interpolacin lineal es rpida y sencilla, pero no muy precisa.

Error de truncamiento: se debe a las aproximaciones utilizadas en la frmula matemtica del modelo (la serie de Taylor es el medio ms importante que se emplea para obtener modelos numricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los trminos de una serie). Error de redondeo: El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numrico de mquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada nmero (real) se reemplaza por el nmero de mquina ms cercano. Esto significa que todos los nmeros en un intervalo local estn representados por un solo nmero en el sistema numrico de punto flotante.