RAZONAMIENTO MATEMATICO

COLEGIO PERUANO CHINO “JUAN XXIII”________________________________________________________________________________________________________________________

Tema 11

MULTIPLICACIÓN

ARITMÉTICA 1ro Secundaria

DEFINICIÓN:

Es una operación binaria en el cual a cada par de números naturales (a, b) le hace corresponder un sólo valor “p” del conjunto de los números naturales, el cual se le denomina producto, donde:

a x b = Pa = multiplicando b = multiplicador P = Productoa y b: factores.

Ejemplo 1: De acuerdo a la definición:

Convencionalmente lo expresarías así:

2 x 5 = 104 x 8 = 32

11 x 7 = 77a x b = P

Ejemplo 2: Factores : producto

Ejemplo 3: Hallar el valor del producto de 426 x 43

Se ordena así (verticalmente)

Multiplicando 426 (x)multiplicador 43

1278 3x 426 1704 4 x 426

18318 Producto

Donde:

426 x 3 = 1278 Primer Producto Parcial426 x 4 = 1704 Segundo Producto Parcial.

En general si se tiene el producto: func{overline abcd ` ` ` ` ` x ` ` ` ` ` overline nmp}

multiplicando func{overline {a ` ` ` ` ` b ` ` ` ` ` c ` ` ` ` ` d} ` ` ` ` ` x}

- 1 -

C.P.F.”SAN ROMAN”multiplicador func{ overline {n ` ` ` ` ` m ` ` ` ` ` p}}

p x func{overline abcd} 1° Producto Parcial

m x func{overline abcd} 2° Producto Parcial

n x func{overline abcd} 3° Producto Parcial

Producto

PROPIEDADES:

Conmutativaa x b x c = c x b x a

Existencia del elementos neutro multiplicativoa x X = a X = 1

Asociativaa x b x c = (a x b) x ca x b x c = a x (b x c)

Existencia del elemento inverso multiplicativo:

a x X = 1 X = a-1

Distributivaa x (b + c) = (a x b) + (a x c)a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

MonotoníaSi a > b a = b

c > d c > da x c > b x d a x c > b x d

LEY DE LA CLAUSERA EN LOS Si a y b ( a x b)

Observaciones:

01. La multiplicación de números impares da como resultado un número impar.Sea I: # impar Luego

02. La multiplicación de números pares da como resultado un número par.Sea P: # par Luego

03. En una multiplicación, basta que uno de los factores sea un número par, entonces el resultado es un número par. Luego:

x x x P x ............. x = P

04. Si un número termina en 5 se multiplica por un número impar termina en 5; pero si dicho número se multiplica por un número par termina en cero. Es decir:

........5 x I = .........5

........5 x P = ........0

05. Si un número natural se multiplica por una potencia de 10, el producto será dicho número natural seguido por tantos ceros como cifras ceros indique la potencia. Es decir:

COLEGIO PARROQUIAL FRANCISCANO “SAN ROMAN”

I x I x I x ........... x I = I

P x P x P x .......... x P = P

- 2 -


Se N

N x 10K = func{overline {N000000.....0000}}

K veces

Ejemplo: 4

< 52 x 104 = 520 000 overline func{abc} x 102 = func{overline {abc00}}< 1 246 x 1 000 = 1246 000 43 x 1020 =

4300.....00

20 veces

06. Si se multiplica un número natural por un número formado por puros nueves; el producto que se obtiene es la diferencia entre el número natural seguido de tantos “ceros” como indique la cantidad de nueves y dicho número. Es decir:

N x 999 ...... 999 = overline {func N00 ..... 000} - N

K nueves K ceros

Ejemplo: 5Efectuar 538 x 9999

Resolución:De la observación:

538 x 9 999 = 5 380 000 - 538 = 5 379 462

Ejemplo: 6Efectuar 1 436 x 999 999

Resolución:De la observación:

1 436 x 999 999 = 1 436 000 000 - 1 436 = 1435 998 564

Ejemplo 7:Hallar: 865 x 999

Resolución: 865 000 - 865 864 135

07. Si a un número natural se le agrega “k” ceros a su derecha este queda aumentado en 999 .... 999 veces dicho número. Es decir.

K cifrasINICIO COLOCAMOS CEROS A LA DERECHA AUMENTA EN

N K = 1overline {func N0}

9N


99N


999N

ACTIVIDADACTIVIDAD

- 3 -

C.P.F.”SAN ROMAN”

01. Complete el siguiente cuadro indicando que propiedad se está aplicando:

Operación indicada Propiedad

64 x 691 = 691 x 64

9 x (5 + 7) = 9 x 5 + 9 x 7

19 x 1 = 19

12 x 9 x 15 = (12 x 9) x 15

4 x ( 11 - 3) = 4 x 11 - 4 x 3

02. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. El elemento Neutro multiplicativo es el 0 ( )II. El elemento inverso multiplicativo de 2 es 2-1 ( )III. El producto: 26474 x 104 termina en 4 ceros. ( )IV. El producto: 12 x 12 x 12 x 12 termina en 6. ( )

A) FVVV B) VVVV C) FVFVD) FVVF E) VVFF

03. En que cifra termina el siguiente producto.P = 4 568 x 3 742 x 1 296 x 4 535

A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 0

04. En que cifra termina el producto “P”P = 1 101 x 103 x 105 x 107 x 109 x 111 x 113

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

05. En que cifra termina el producto “P”P = (3 + 1) (32 + 1) (33 + 1) (34 + 1) (35 + 1) ...(320 + 1)

A) 2 B) 5 C) 0 D) 6 E) 1

06. Si:

x

5

Hallar + +

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

07. Reconstruir:* * (x)

9 * 4 3Indicar la suma de las cifras que falta (cada asterisco representa una cifra no necesariamente iguales)

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

08. Al multiplicar:9 876 x 999 999 se obtiene un producto cuya suma de cifras es:

A) 27 B) 36 C) 45 D) 54 E) 63

09. Si uno de los factores de una multiplicación se triplica y el otro se duplica. ¿Cómo queda afectado el producto?A) Queda multiplicado por 12.B) Queda multiplicado por 5C) Aumenta 6 vecesD) Aumenta 5 vecesE) Queda multiplicado por 23


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10. El producto de 2 números es 208. Si al multiplicando se le aumenta 2 unidades, el producto aumenta en 32. Hallar el multiplicador:

A) 15 B) 16 C) 18 D) 8 E) 12

11. El producto de 2 números es 1 548 si al multiplicador se le disminuye 5 unidades el producto disminuye 180. Hallar el multiplicador.

A) 36 B) 42 C) 38 D) 43 E) 47

12. Al multiplicar 2 número se obtiene 644, si a uno de los factores se le aumenta 6 unidades este producto aumenta en 42. Indicar el valor de este factor.

A) 7 B) 9 C) 21 D) 92 E) 101

13. Al multiplicar 2 números se obtiene 240 si uno de ellos disminuye en 3 unidades, su producto disminuye en 48. Hallar la suma de dichos números.

A) 31 B) 30 C) 29 D) 28 E) 27

14. Al agregar un cero a la derecha de un número este que da aumentado en 756. Hallar dicho número.

A) 72 B) 74 C) 84 D) 12 E) 46

15. Al agregar tres ceros a la derecha de un número, este queda aumentado en 15 948. Hallar dicho número.

A) 24 B) 26 C) 22 D) 16 E) 14

16. Hallar a + b + c, luego de reconstruir:func{overline {a ` ` ` ` b ` ` ` ` c}} x

7 * 4 3 8

A) 12 B) 13 C) 14 D) 17 E) 16

17. La cifra de las centenas del resultado es:2 * * (x)

2 7 * * * ** * * * * 1 8

A) 5 B) 7 C) 3 D) 4 E) 9

18. Calcular: a + b + c si:func{overline {a ` ` ` ` b ` ` ` ` c}} X 423 = ....064

A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 17

19. En una multiplicación si al multiplicador se le aumenta 6 unidades el producto aumenta en 84; ahora si al multiplicando se le disminuye 3 unidades el producto disminuye en 36 unidades. Hallar el producto original.

- 5 -


A) 624 B) 520 C) 312 D) 712 E) 168

20. Al multiplicar un número de 3 cifras por 325 se obtuvo como suma de sus productos parciales 1 800. Hallar el numero.

A) 180 B) 900 C) 360 D) 540 E) 720


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PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. En que cifra termina el producto.

P = 3 x 5 x 7 x 9 x ..... x 1 001

A) 0 B) 1 C) 7 D) 5 E) 0

02. 4 3 (x)

6 7

Dar como respuesta + +

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

03. Hallar la suma de las cifras del resultado de multiplicar:980 764 x 99 999

A) 36 B) 54 C) 45 D) 29 E) 63

04. ¿Cuál es el número que al aumentarle un cero a la derecha este aumenta en 333 unidades?Dar como respuesta la suma de sus cifras:

A) 12 B) 15 C) 16 D) 10 E) 11

05. El producto de dos números es 304 si el multiplicador aumenta en 15 unidades el producto aumenta en 285. Hallar el multiplicador .

A) 19 B) 16 C) 18 D) 17 E) 15


- 7 -

06. Al multiplicar dos números se obtiene “P”, si al multiplicado le aumenta 7 unidades el producto aumenta en 91. Hallar el multiplicador.

A) 17 B) 31 C) 13 D) 11 E) 9

07. Si:func{overline {a ` ` ` ` b ` ` ` ` c}} x

7 * 1 9 2

Hallar “a + b + c”

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

08. Hallar “a” si:375 x

func{overline a1} = 15 375

A) 4 B) 2 C) 5 D) 3 E) 6

09. Un número de 3 cifras que multiplicado por 8 da un producto que termina en 007. Está comprendido entre.

A) 400 y 500 B) 650 y 700 C) 100 y 150

D) 400 y 450 E) 200 y 250

10. Al multiplicar un número por 62 se comete el error de colocar los productos parciales uno debajo del otro sin dejar un lugar vacío a la derecha obteniendose como resultado 1 015. Calcular el producto correcto.

A) 7 540 B) 640 C) 7 140

D) 6 540 E) 7 850


- 8 -

Tema 12

DIVISIÓN ENTERA

DEFINICIÓN: Dados 2 números “D” (dividendo) y “d” (divisor), se llama cociente; y se denota de las siguientes formas:

D : dDd

D/d d 0

a un número entero “q” si existe y es único, tal que D = d x qCLASIFICACIÓN:Ahora bien como la “división” no cumple la ley de la clausura (en los enteros), es decir si el dividendo “D” es entero y el divisor “d” es entero no necesariamente “q” es entero, por tal motivo clasificaremos a la división como exacta e inexacta.

Exacta: Es cuando el cociente es un número entero.

func{D over d} = q D =

Ejemplo 40 |8 40 = 8x5 5

Inexacta: Ocurre cuando dicho cociente no es entero la división inexacta a su vez puede ser:

Por defecto: Por exceso:


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PROPIEDAD DE LA DIVISIÓN INEXACTA.

El residuo ya sea por defecto o exceso siempre es un número entero positivo mayor que cero.

r Z+

r’ Z+

El residuo ya sea por defecto o exceso siempre es mayor que cero pero menor que el divisor (siendo d Z+)

0 < r < d0 < r’ < d

El residuo mínimo es la unidad y el residuo máximo es el valor del divisor (siendo d z+) menos uno

rmínimo = 1rmáximo = d-1

La suma del residuo por defecto y por exceso es igual al divisor (d Z+)

r + r’ = d

Si al dividendo y al divisor se le multiplica por un número entero positivo k y se vuelve a dividir entonces el cociente no se altera, pero el nuevo residuo es igual al residuo inicial multiplicado por dicho factor “k”. Esto se cumple en la división por defecto o exceso, además el divisor sea: Z - {0}

División inicialD |d r q

Luego: Dk y dkDk |dk

rk qSiendo r Z+

Obs:1. En los problemas de división inexacta en el cual no especifican si es por defecto o exceso debemos suponer que es por defecto

(por convención).2. En forma general

no se cumple necesariamente que el residuo “r” < d- sino más bien: . Así tendríamos que

En este caso tampoco se verifica que necesariamente.

3. En los problemas de aplicación asumiremos que estamos en el caso en la cual el divisor es un entero positivo, pero en los problemas teóricos debemos tener cuidado con el campo numérico mencionado.

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Utilizando las propiedades de la división inexacta, completar el cuadro:

DividendoD

divisord

cociente por defectoq

cociente por excesoq + 1

residuo por defecto r

residuo por excesor’

15 8 4

10 5 3

20 8 13

12 6 7


d Z - {0}0 < r < |d|r + r’ = |d|

r máximo = |d| -1

Cociente por exceso = q +1

- 10 -


9 8 3

20 3 2

421 40

16 r máximo = 8

21 rmáximo = 4

91 13 7

02. En una división entera inexacta el dividendo es 1361 y el divisor es 31. Hallar la suma de las cifras del residuo.A) 7 B) 8 C) 9 D)

10 E) 11

03. En la división entera inexacta, se cumple que:- El divisor es 20- El cociente es 10- El residuo es máximo.Hallar el dividendo.A) 209 B) 211 C) 213 D) 219 E) 221

04. (UNI-70) La diferencia de dos números es 64 y la división del mayor entre el menor da como cociente 3 y residuo 18 ¿Cuál es el mayor?A) 87 B) 32 C) 79 D) 49 E) 85

05. (UNI-73) La suma de dos números es 574, el cociente de su división e 23 y el residuo es el más grande posible. Hallar el menor de dichos números.A) 549 B) 553 C) 561 D) 536 E) 551

06. La suma de dos números A y B es 269, el cociente de su división es 13 y el residuo de su división es máximo. Hallar el mayor de dichos números.A) 260 B) 251 C) 246 D) 252 E) 258

07. En una división por defecto y exceso se cumple que el residuo por defecto y exceso son 4 y 8 respectivamente el cociente por exceso es 10. Hallar la suma de las cifras del dividendo.A) 3 B) 9 C) 7 D) 11 E) 15

08. En una división inexacta la diferencia de los residuos es 36, si el residuo por defecto es el triple del residuo por exceso, el divisor es el doble del cociente. Hallar la suma de las cifras del dividendo.A) 36 B) 24 C) 18 D) 27 E) 9

09. Al dividir “A” entre “B” por defecto y por exceso se obtiene como residuo 7 y 18 respectivamente. Hallar A si los cocientes obtenidos suman 35.A) 423 B) 425 C) 432 D) 435 E) 442


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10. Al dividir un número N entre 25 se obtiene un residuo que es igual al cuádruple del cociente. Hallar el mayor valor que toma “N”.A) 58 B) 87 C) 116 D)

145 E) 174

11. ¿Cuántos números cumplen con la condición que al ser divididos entre 50 al residuo que se obtiene es el cuadrado del cociente?A) 5 B) 6 C) 7 D)

8 E) 9

12. En una división el residuo, es máximo y el cociente es el triple del divisor. Calcular el dividendo sabiendo que es dos cifras y el mayor posible.A) 59 B) 69 C) 79 D)

30 E) 99

13. El valor de x + a + b es:

7x 95 func{overline ab}

72 func{overline {x08}}

195

192

x

A) 3 B) 2 C) 4 D) 11 E) 13

14. Reconstruir y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo:

7

2

1

3

A) 14 B) 10 C) 12 D) 11 E) 13

15. Al dividir 272 entre “n” se obtiene un residuo igual a 32. Hallar cuántos valores toma “n” y dar como respuesta la suma de dichos valores.A) 428 B) 548 C) 478 D)

348 E) 588

PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. (UNI-75) La suma de dos números es 74 y su cociente 9, dando de residuo 4 ¿Cuál es el número menor?

A) 8 B) 9 C) 5 D) 7 E) 6

02. (UNI-70) El dividendo de una cierta división es 1 031. Si el cociente y el residuo son iguales, y el dividendo es el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor?A) 71 B) 56 C) 49 D) 41 E) 46

03. (UNI-70) La suma de tres números es 24 el cociente de dos de ellos es 3 y la suma de éstos dividido entre el tercero es igual a 5: el tercer número es:A) 7 B) 5 C) 3 D) 1 E) 4


C.P.F.”SAN ROMAN”04. (UNI-71) La suma de dos números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división es el más

grande posible. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos números?A) 574 B) 573 C) 575 D) 572 E) 571

05. Reconstruir8 * | * * * 1* 3 * 8Dar como respuesta el cocienteA) 21 B) 11 C) 31 D)

41 E) 71


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Tema 13

DIVISIBILIDAD I

DIVISIBILIDAD:Un número entero es divisible entre otro entero positivo cuando al dividir el primero entre el segundo el residuo es igual a cero. Ejemplo:

72 es divisible entre 8

- 42 es divisible entre 7

0 es divisible entre 13

- 15 -

MULTIPLICIDADUn número entero es múltiplo de otro entero positivo cuando es el resultado de multiplicar este entero por otro entero cualquiera.

45 es múltiplo de 9

- 36 es múltiplo de 12

0 es múltiplo de 7

NOTA:En la Aritmética elemental se cumple:A es divisible entre B A es múltiplo de BNOTACIÓN:

Si A es múltiplo de B

B = módulo

A = func{{{overline B} from { ` } to }}A = func{B from { ` } to }A = mB

A = Bk (K Z)

Ejercicios:18 = ________________ -18 = ___________________ 0 = ___________________

30 = ________________ -35 = ___________________ 0 = ___________________

Consideraciones:1. El cero es múltiplo o divisible entre todos los números enteros positivos.2. Todo número entero positivo es múltiplo o divisible por si mismo y la unidad.

A = func{A from { ` } to } A = 1 from { ` } to Si A no es múltiplo de B

A func{B from { ` } to }

A |B A = Bq + r

A = func{B from { ` } to } + rr q

A |B A = B(q + 1) - r’

A =func{B from { ` } to } - rr’ q + 1

Donde se cumple

Ejemplos Por defecto Por exceso

72 no es múltiplo de 7

91 no es múltiplo de 11

Ejercicios:

A) Completar:func{9 from { ` } to } + 3 = ___________________

func{8 from { ` } to } - 5 = __________________func{13 from { ` } to } + 6 = ___________________

func{11 from { ` } to } + 7 = __________________func{7 from { ` } to } - 1 = __________________func{5 from { ` } to } - 1 = ___________________

b) Los múltiplos de 7 son:

r + r’ = B

- 16 -

C.P.F.”SAN ROMAN”{......; -21; -14; -7; 0; 7; 14; 21 ; ....}

En general sería 7k (k Z)

c) Los múltiplos de 13 son:

{.......; -39; -26; -13; 0; 13; 26; 39; ..........}

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?A) -36 =

func{9 from { ` } to } B) 0 = func{13 from { ` } to } C) 26 = func{7 from { ` } to } + 6

D) 18 = func{11 from { ` } to } - 3 E) 12 = func{12 from { ` } to }02. Indicar el valor ..... de las siguientes proposiciones:

I. El cero es divisible entre todos los números.II. Los múltiplos de un número son incalculables.III. Todos los números son divisibles entre cero.IV. La unidad es divisor de todos los números.A) FVVV B) FVFV C) VVFVD) VVVV E) N.A.

03. Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada proposición:I. Todo número entero positivo es divisible por si mismo.II. El “cero” es divisible por todo número entero.III. La suma de 3 números enteros positivos siempre divisible entre 6.IV. La expresión:

1 + 2 + 3 + .... + 10.es múltiplo de 11

A) VFFV B) VVFV C) VVVVD) VVVF E) VVFF

04. Dadas la proposiciones:I. El conjunto de los divisores de un número es infinito.II. Todo número natural es múltiplo de si mismo.III. El residuo de dividir.

E = 1 x 2 x 3 x 4 x ..... x 10 entre 7 es cero.¿Cuáles son verdaderas?A) Solo II B) Solo III C) II y ID) II y III E) Todas

05. Hallar el número de elementos de cada conjunto:A = {x / 5 < x < 30; x =

func{6 from { ` } to }}B = {x / 15 x < 75; x =

func{5 from { ` } to }}C = {x / - 20 < x < 20; x =

func{8 from { ` } to } }A) 4; 14 y 8 B) 5; 12 y 5 C) 4; 12 y 5D) 6; 12 y 4 E) 5; -12 y 5

06. En la secuencia

{15; 16; 17; 18; .....; 2 500}

¿Cuántos son múltiplos de 11?A) 223 B) 224 C) 225 D) 226 E) 227


- 17 -

C.P.F.”SAN ROMAN”07. ¿Cuántos números comprendidos entre 131 y 682 son múltiplos de 13?

A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45

08. ¿Cuántos números de 2 cifras son func{7 from { ` } to }?

A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19

09. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles entre 19?

A) 44 B) 45 C) 46 D) 47 E) 48

10. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 6 y 8 simultáneamente?

A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39

11. ¿Cuántos números comprendidos entre 200 y 800 on múltiplos de 4 y 5 simultáneamente?

A) 27 B) 28 C) 29 D) 30 E) 31

12. En la serie consecutiva:{1; 2; 3; 4; .........; 900}Calcular:¿Cuántos son m9? ¿Cuántos son m6?¿Cuántos son m9 y m6? ¿Cuántos son m6 pero no m9?

A) 150; 100; 50 y 100 B) 100; 150; 100 y 50C) 100; 150; 50 y 100 C) 150; 150; 50 y 100E) 100; 150; 50 y 50

13. ¿Cuántos múltiplos de 17 hay en la secuencia?1; 2; 3; 4; .................. 400?

A) 19 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

14. Si a; b y c son dígitos además:3a =

func{7 from { ` } to } + 1 4b = func{5 from { ` } to } + 1

2c =9 from { ` } to + 3

Hallar: a - b - c (máximo)

A) 120 B) 180 C) 270 D) 210 E) 150

15. Hallar el residuo de dividir “E” entre 9.E = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 256

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


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PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. Del 1 al 200 ¿Cuántos son múltiplos de 11?

A) 19 B) 20 C) 13 D) 21 E) 22

02. En la siguiente sucesión de números ¿Cuántos son múltiplos de 6?2; 4; 6; 8; 10; ............; 64

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

03. Dividir:

A) Representar 55 como 3 from { ` } to

.....................................B) Representar 124 como

11 from { ` } to

.....................................

C) Representar 87 como 4 from { ` } to

.....................................

C.P.F.”SAN ROMAN”D) Representar 164 como

5 from { ` } to

....................................E) Representar 817 como

19 from { ` } to

....................................

04. Entre 120 y 300 hay “x” múltiplos de 7.Hallar “x”

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

05. ¿Cuántos números de 3 cifras con múltiplos de 11 pero no son pares?

A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43



Tema 14

DIVISIBILIDAD II

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES:I. Operaciones aritméticas respecto a múltiplos de un mismo módulo.

Adición : func{n from { ` } to } + func{n from { ` } to } = func{n from { ` } to }

14 + 21 = 357 from { ` } to + 7 from { ` } to = 7 from { ` } to

Sustracción func{n from { ` } to } - func{n from { ` } to } = func{n from { ` } to }

28 - 16 = 124 from { ` } to + 4 from { ` } to = 4 from { ` } to

Multiplicación func{n from { ` } to } . func{n from { ` } to } = func{n from { ` } to }

9 x 6 = 543 from { ` } to + 3 from { ` } to = 3 from { ` } to

Potenciación: func{n from { ` } to }k =

func{n from { ` } to }(K Z+)

54 = 625{5 from { ` } to }sup 4 =

5 from { ` } to

Además: k. func{n from { ` } to } = func{n from { ` } to }

(K Z)

12 x 5 = 6012 x

5 from { ` } to = 5 from { ` } to


- 21 -


OBS.

(func{n from { ` } to } + a) (func{n from { ` } to } + b) (func{n from { ` } to } + c) = func{n from { ` } to } + (a) (b) (c)

(7 from { ` } to + 4) (7 from { ` } to + 3) = 7 from { ` } to + 12 = 7 from { ` } to + (11 from { ` } to + 3) (11 from { ` } to - 15) = 11 from { ` } to - 15 = 11 from { ` } to -

Ejercicios:

(9 from { ` } to + 6) (9 from { ` } to - 4) (9 from { ` } to - 1) = _____________________

(13 from { ` } to - 4) (13 from { ` } to - 2) = _____________________

(5 from { ` } to - 1) (5 from { ` } to - 2) (5 from { ` } to - 3) = _____________________

(8 from { ` } to + 3) (8 from { ` } to + 5) (8 from { ` } to - 2) = _____________________

II. Si A es múltiplo de B, entonces A será múltiplo de todos los divisores de B. Ejemplo:

Si: N = 45 from { ` } to N = 1 from { ` } to N = 3 from { ` } to N = 5 from { ` } to N = 9 from { ` } to N = 15 from { ` } to N = 45 from { ` } to Si: N = 20 from { ` } to N = 1 from { ` } to N = 2 from { ` } to N = 4 from { ` } to N = 5 from { ` } to N = 10 from { ` } to N = 20 from { ` } to Si: N = 45 from { ` } to N = ___ N = ___ N = ___ N = ___ N = ___ N =

___

III. Si un número “N” al dividirlo entre a, b, c y d origina un mismo módulo (r) entonces dicho número “N” será múltiplo del MCM de a, b, c y d más el residuo “r”. Es decir:


- 22 -

C.P.F.”SAN ROMAN”N = func{a from { ` } to } + r N = func{b from { ` } to } + r N = func{c from { ` } to } + r N = func{d from { ` } to } + r

N = func{{overline {MCM (a,b,c,d)}} from { ` } to +r }

Ejemplos:

N = func{4 from { ` } to } N = func{5 from { ` } to } N =func{{overline {MCM (4,5,6)}} from { ` } to } =func{60 from { ` } to } = 60K (K z+) N = func{6 from { ` } to }

M = func{8 from { ` } to } + 3M = func{12 from { ` } to } + 3

M =func{{overline {MCM (8,12)}} from { ` } to } + 3 = func{24 from { ` } to } + 3 = 24K + 3 (K z+)

N = func{5 from { ` } to } - 3 N = func{7 from { ` } to } - 3 N = func{9 from { ` } to } - 3

IV. Si un número “A” acepta “enésima” parte entera, entonces será múltiplo de “n”. E decir .......

Sea A Z+ luego si 1 over func n. A = # Entero A = func{n from { ` } to }

V. Principio de Arquímedes: Si un cierto módulo divide al producto de 2 números enteros no nulos y no tienen factores comunes con uno de ellos (aparte de la unidad) entonces divide al otro número. Ejemplos:

Siendo 7N = func{9 from { ` } to } Como 7 func{9 from { ` } to } N = func{9 from { ` } to }

Siendo 11func overline ab = func{7 from { ` } to } Como 11 func{7 from { ` } to } func overline ab = func{7 from { ` } to }

Siendo 15M = func{21 from { ` } to } (15 y 21 tienen en común el 3)

5M = func{7 from { ` } to } Como 5 func{7 from { ` } to } M = func{7 from { ` } to }

Siendo 20P = func{45 from { ` } to } (20 y 45 tiene en común 5)

4P = func{9 from { ` } to } Como 4 func{9 from { ` } to } P = func{9 from { ` } to }


- 23 -


Siendo 11A = func{8 from { ` } to } Como .................... A

= ......................

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Completa:func{7 from { ` } to } +

func{7 from { ` } to } -func{7 from { ` } to }4 =

func{11 from { ` } to } +func{11 from { ` } to } x func{11 from { ` } to } x func{11 from { ` } to } =

func{7 from { ` } to } + 28 = func{11 from { ` } to } + 44 = func{9 from { ` } to } + 50 = func{7 from { ` } to } + 44 = func{10 from { ` } to } + 72 =

02. Hallar el residuo de dividir:(

func{11 from { ` } to } + 4) (func{11 from { ` } to } + 5) entre 11

A) 7 B) 8 C) 9 D) 6E) 5

03. Hallar el residuo de dividir:91 x 92 x 93 x 94 entre nueveA) 4 B) 5 C) 6 D) 7

E) 8

04. Un número de 3 cifras iguales siempre será múltiplo de:A) 11 B) 9 C) 5 D)

37 E) 7

05. Un número de la forma: func{overline {a(3a)(2a)}}, siempre será divisible entre:

A) 11 y 8 B) 11 y 9 C) 4 y 3

D) 8 y 9 E) 6 y 9

06. En un salón de clases, si el número de alumnos se agrupan por cuartetos, por quintetos o por sextetos, siempre dan grupos exactos. ¿Cuántos alumnos son si es un número mayor que 80 pero menor que 130?

A) 120 B) 124 C) 112

D) 90 E) 11007. Hallar el menor número, tal que si se divide entre 10; 20 ó 16 se obtiene en los 3 casos un resto igual a 7.

A) 487 B) 447 C) 242D) 243 E) 247

08. Hallar el menor número tal que si se divide entre 7; 8 o 9 se obtiene en los 3 casos un resto igual a 5. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número.

A) 5 B) 14 C) 23D) 25 E) 12

09. Un profesor observa la cantidad de tizas que tiene, y se da cuenta que si agrupa de 5 en 5 sobran 2 tizas, y si agrupa de 6 en 6 también sobran 2 tizas. Calcular la cantidad de tizas que hay, si se encuentra entre 50 y 80.

A) 52 B) 56 C) 62D) 72 E) 77

10. A una convención de profesionales asistieron 400 personas entre americanos y europeos. De los europeos 3/14 son ingenieros y los 7/15 son abogados, ¿Cuántos americanos asistieron a dicha convención?


- 24 -


A) 180 B) 190 C) 175D) 160 E) 150


- 25 -

C.P.F.”SAN ROMAN”11. De total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. Si el

número de damas es un número de tres cifras menor que 150. ¿Cuántos no son morenas ni tienen ojos azules?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 28 E) 35

12. En el colegio “San Ignacio” hay 690 alumnos. De los hombres:5/8 Postulan a Ingeniería de sistemas3/11 Postulan a Medicina2/5 Postulan a Derecho ¿Cuántas mujeres hay en el colegio?

A) 240 B) 260 C) 440 D) 250

E) 330

13. Si 15 x func overline ab = func{21 from { ` } to }. Hallar ¿Cuántos valores toma func overline ab si es menor de 50?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7E) 8

14. Si func {overline {2x}} sub {(8)} +func {overline {x2}} sub {(8)} = 8 from { ` } to

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8E) 9

15. Si:func overline {aa1} = func{17 from { ` } to }. Hallar “a”

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4E) 5

PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. Un número de la forma func {overline {aaa}} sub {(7)} siempre sera múltiplo de:

A) 6 B) 7 C) 11 D) 19 E) 9

02. Hallar el residuo de dividir (func{17 from { ` } to } + 4) (func{17 from { ` } to } + 2) entre 17.

A) 1 B) 4 C) 8 D) 9 E) 10

03. En un “CLUB DE ADOLESCENTES”, si a la cantidad de personas se les agrupa de 5 en 5, de 8 en 8 o de 12 en 12 siempre dan grupos exactos. Hallar (a + b), si el número de adolescentes es

func overline {4ab}.

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 6


- 26 -

04. A una convención a la que asistieron entre 600 y 700 personas, se observa que el número de varones representa los 3/5 del total, las personas que usan anteojos representan 2/7 del total y las personas que no están casadas representan el 5/9 deltotal. ¿Cuántas mujeres asistieron?

A) 240 B) 252 C) 250

D) 256 E) 260

05. Si func {overline {513x}} sub {(8)} +func {overline {12x5}} sub {(8)} = func{8 from { ` } to }. Hallar “x”.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

- 27 -

Tema 15

DIVISIBILIDAD III

DIVISIBILIDAD POR:

CRITERIO

2Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.

Si: func{overline {abcde}} = 2 from{ `} to func overline e = # par

4

un número es divisible por cuatro cuando el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de cuatro.Adicionalmente se cumple que la última cifra más el doble de la penúltima es múltiplo de 4.

si func{overline {abcde}} = 4 from{ `} to

func overline de = 4 from{ `} to o2d + e = 4 from{ `} to

8

Un número es divisible por 8 cuando el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8Adicionalmente se cumple que la última cifra más el doble de la penúltima más el cuádruple de la antepenúltima es múltiplo de 8.

Si func{overline {abcde}} = 8 from{ `} to

func overline cde = 8 from{ `} to o4c + + 2d + e = 8 from{ `} to

5Un número es divisible por 5 cuando termina en 5 o 0. Si:

func{overline {abcde}} = 5 from{ `} to func overline e = 0 ó 5

25

Un número es divisible por 25 cuando el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25.


func overline de =125 from{ `} to func overline de =00, 25, 50, 75

125

Un número es divisible por 125 cuando el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 125.


func overline cde =25 from{ `} to func overline cde =000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875

3

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Si: func{overline {abcde}} = 3 from{ `} to

a + b + c + d = 3 from{ `} to

9

Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Si: func{overline {abcde}} = 9 from{ `} to

a + b + c + d = 9 from{ `} to

11

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia que hay entre la suma de las cifras de lugar impar y la suma de las cifras de lugar par es múltiplo de 11.

Si:

= 11 from{ `} to entonces (f + d + b) - (e + c + a) = 11 from{ `} to

7

Un número es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras de la derecha hacia la izquierda por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2; ........ y luego realizar la suma debe resultar divisible entre 7.

Si:

= 7 from{ `} to -2a - 3b - c + 2d + 3e + f = 7 from{ `} to

Aplicaciones:

I. Calcular los residuos de dividir un número entre 2; 4; 8; 5; 25; 125; 3; 9 ó 7, sin necesidad de realizar la división, unicamente se aplica su “criterio” respectivo:

EJERCICIOS:1. Hallar el residuo de dividir 123 456 777 entre 42. ¿Qué residuo se obtienen al dividir 444 444 44444 entre 25?3. Luego de dividir 222 666 555 111 entre 9, se obtiene un residuo igual a:4. Dividir 8762901 entre 11 y calcular resto.

II. Calcular el valor de una o más variables, cuando un cierto número es divisible entre un cierto módulo.EJERCICIOS:1. Calcular “n” si

func {overline {2n45}} ` ` = ` ` 3 from { ` } to 4. Calcular “n” si

func {overline {b245}} ` ` = ` ` 11 from { ` } to 2. Calcular “n” si

func {overline {xx42}} ` ` = ` ` 9 from { ` } to 5. Calcular “n” si

func {overline {628bc}} ` ` = ` ` 125 from { ` } to 3. Calcular “n” si

func {overline {abbc}} ` ` = ` ` 5 from { ` } to


OBS:

N = 2 from{ `} to

N = 5 from{ `} to

Si: N = 6 from{ `} to

Si: N = 45 from{ `} to

N = 3 from{ `} to

N = 9 from{ `} to

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Calcular el resto de dividir:

74322222......22 entre 9100 veces

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4

02. Calcular el resto de dividir:

93333.......33 101 veces

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

03. Si a la derecha del número 74 se colocan 120 cifras “dos” se obtienen un numeral que al dividirlo entre 8 nos da un residuo igual a:

A) 2 B) 4 C) 6 D) 0 E) 5

04. Si:

func{overline ab} = 8 from { ` } to func{overline ba} = 5 from { ` } to

Hallar a + b

A) 6 B) 8 C)m 9 D) 10 E) 11

05. Determinar el valor de “a” por que el siguiente numeral sea múltiplo de 9:N =

func{overline {37a2a4}}

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

06. Si func{overline {4x}} es divisible por 3, hallar la suma de todos los valores de “x”.

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 907. Si func{overline {9x}} es divisible por 5 y func{overline {x47}} es divisible por 9. Hallar “y - x”

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3E) 4

08. Si el número func{overline {52x6}} es divisible entre 4 y el número func{overline {x7}} es divisible por 3, hallar el valor de x2.

A) 1 B) 9 C) 25 D) 49 E) 81

09. Si :func{overline {7a4a3}} = 7 from { ` } to

func{overline {ababa}} = 11 from { ` } to . Hallar a . b

A) 15 B) 20 C) 10 D) 12 E) 7

10. Si:func{overline {bab4a3b}} = 45 from { ` } to Hallar “a . b” siendo estos dígitos diferentes de cero.

A) 14 B) 12 C) 15 D) 35 E) 45

11. Si:func{overline {y426x}} = 72 from { ` } to Hallar “x + y”

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7E) 8

12. Si: func{overline {aa25b}} = 56 from { ` } to Hallar “a + b” si a > 4.

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 12

13. ¿Cuántos de los siguientes números son múltiplos de 6?

I. 211006 A) NingunoII. 300003 B) 1III. 225114 C) 2IV. 100008 D) 3

E) 4



14. Si el número func{overline {7a36b}}es divisible entre 5 y 11 simultáneamente. Hallar “a y b”

A) a = 3; b = 7 B) a = 4; b = 0 C) a = 3; b = 0

D) a = 4; b = 5 E) a = 5; b = 1

15. Si: func{overline {1x6yz}} = 375 from { ` } to . Hallar el mayor valor que toma “x”.

A) 1 B) 6 C) 4 D) 7E) 8

PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. Si el número func{overline {47a2}} es divisible por 5 y el número func{overline {4m2m6}} es divisible entre 11; hallar “a + m”.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

02. Si: func{overline {7a4a3}} es múltiplo de 7. Hallar “a”.

A) 8 B) 1 D) 4 D) 5 E) N.A

03. ¿Cuál es el resto de dividir “A x B” entre 5, si A = 4848.......48 B =84 8484....84?

200 veces 300 cifras

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


04. Hallar “a + b” si a < b y además: func{overline {babababab}} ` ` = ` ` 15 from { ` } to .

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12

05. Si:func{overline {xy57x}} ` ` = ` ` 56 from { ` } to Hallar “y”

A) 0 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

- 33 -

Tema 16

NÚMEROS PRIMOS I

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS:CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS:(De acuerdo a la cantidad de divisores que posee)

NÚMERO DIVISORES # NÚMERO DE DIVISORES

12345678910111213141516

11, 21, 31, 2, 41, 51, 2, 3, 61, 71, 2, 4, 81, 3, 91, 2, 5, 101, 111, 2, 3, 4, 6, 121, 131, 2, 7, 141, 3, 5, 151, 2, 4, 8, 16

1223242434262445

Obs:- El 1 tiene un sólo divisor- 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...... tiene 2 divisores.- 4, 6, 8, 9,10 ,12, ...... tiene más de 2 divisoresLuego los Z+ se clasifican en 2 conjuntos de números:

a. Números Simples:a.1 La Unidad: Aquel número entero

positivo que tiene tan solo un divisor.

a.2 Los números primos absolutos: Son todos aquellos números enteros positivos que tienen únicamente dos divisores.{2, 3, 5, 7, 11, 13, .......}

b. Números Compuestos:Son todos aquellos números enteros positivos que tienen más de 2 divisores.

{4, 6, 8, 9,10, 12, 14, ........}

Nota: Todos los compuestos tienen por lo menos un divisor primo.

Obs:1. El conjunto de los números primos es infinito y todavía no se encuentra formulada para determinar todos los números

primos.2. El único número primo par es el 2.3. Los únicos consecutivos que son primos es el 2 y el 3.4. Todo número primo mayor que 2 es de la forma:

4 from{ `} to + 1 ó 4 from{ `} to - 1 Ejemplos:

Número primo Forma

3 4 from{ `} to - 15 4 from{ `} to + 17 4 from{ `} to - 111 4 from{ `} to - 113 4 from{ `} to + 1

5. Todo número primo mayor que 3 es de la forma: 6 from{ `} to + 1 ó

- 34 -

6 from{ `} to - 1 Ejemplos:

Número primo Forma5 6 from{ `} to - 17 6 from{ `} to + 111 6 from{ `} to - 113 6 from{ `} to + 1

Método para calcular si un número es primo:

1. Se calcula la raíz cuadrada del número, se toma la parte entera de dicha raíz.2. Se indican todos los primos menores o iguales a la raíz cuadrara aproximada.3. Se determina si el número es o no divisible entre cada uno de los números primos indicados en el paso anterior.

- 35 -


4. Si dicho número no es divisible entre los número primos indicados entonces dicho número es primo en caso de ser divisible al menos por uno de los números primos indicados, entonces será # compuesto.

EJEMPLOS¿163 es número primo?

Paso 1: sqrt 163 ` ` = ` ` 12, ........

Paso 2: {2, 3, 5, 7, 11}Paso 3:

¿221 es # primo?Paso 1:

sqrt 221 ` ` = ` ` 14, ........

221 ` ` ` 2 from { ` } to ` ` ` 2 from

{ ` } to 221 ` ` ` 3 from { ` } to ` ` ` 3 from

{ ` } to 221 ` ` ` 5 from { ` } to

163 ` ` ` 5 from

{ ` } to 21122 1

` ` ` 7 from { ` } to ` ` ` 7 from { ` } to 221

` ` ` 11 from { ` } to ` ` ` 11 from { ` } to 221

` ` ` 13 from { ` } to = 13 x 17163 es # primo

221 es # compuesto

NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SÍ (P.E.S.I.)

Dos o más números son primos relativos (o primos entre sí), si tienen como único divisor común a la unidad.

NÚMEROSDIVISORES DE ADIVISORES DE B

CONCLUSIÓN

8 y 5Divisores de 8: 1; 2; 4 y 8

Divisores de 15; 1; 3; 5 y 158 y 15 son “P.E.S.I”

12; 16 y 35

Divisores de 12: ........................

Divisores de 16: ........................

Divisores de 35: .......................

12; 16 y 35 ................................

49 y 28Divisores de 49: ........................

Divisores de 28: ........................49 y 28 ................................

PROPIEDADES:

1. Dos o más números consecutivos siempre son “PESI”: Ejemplo: 21; 22; 23 son “PESI”.2. Dos o más impares consecutivos siempre son “PESI” Ejemplo: 43; 45; 47 son “PESI”


- 36 -

3. Si se tiene un conjunto de números en la cual se tiene un número primo, entonces todo el conjunto de números es primo. Ejemplo: 31; 24 y 36 son “PESI”

Primo

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. ¿Cuántos números primos están comprendidos entre 30 y 50?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

02. Diga ud. ¿Cuál de los siguientes números no es primo?A) 12(5) B) 21(5) C) 32(2) D) 43(5) E) 52(5)

03. ¿Cuántos números compuestos hay entre 23 y 40?A) 12 B) 14 C) 11 D) 13 E) 15

04. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).I. Los números primos son infinitos.II. El único número par primo es el 2III. Todos los números impares son primosIV. Los números primos tienen más de 2 divisores

A) VFVF B) VVFF C) FFVV D) VFFV E) FVVF

05. Si: a, b y c son números primos tales que a > b > c:Además:

a + b + c = 30Hallar el mayor valor de a - bA) 2 B) 13 C) 18 D) 16 E) 6

06. ¿Cuántos números primos se pueden escribir en el sistema ternario?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

07. ¿Cuántos números de 2 cifras que terminan en 1 son primos absolutos?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

08. ¿Cuántos de los siguientes números son primos:101 73 91 49 43 69

A) 3 B) 4 C) 5 F) 6 E) 2

09. Indique la relación correcta:I. 175 II. 139 III. 121a. Es número primo.b. Número que tiene sólo 3 divisoresc. La diferencia de sus factores primos es 2A) IIIc, IIb, Ia B) Ia, IIb, IIIc C) IIIa, Ib, IIcD) IIa, IIIb, Ic E) IIIa, IIb, Ic

- 37 -

C.P.F.”SAN ROMAN”10. ¿Cuántas parejas de números son “PESI”

12 y 21 36 y 49

91 y 77 13 y 40

21 y 22 91 y 93

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4E) 5

11. ¿Cuántos números menores que 20 son primos relativos con 20?A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

E) 10

12. Si a y b son “primos entre si” ¿Cuántas parejas de números (a, b) cumplen:a + b = 28

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8E) 5

13. Indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:I. (2N - 1) y (2N + 1) siempre serán primos

entre sí N Z+.II. Si un número es

6 from { ` } to + 1 entonces es número primo.III. El número 93 es número primo.IV. La suma de 2 números primos siempre es

par.A) FVFV B) VVVV C) VVVF D) VFFF E) FFFF

14. Hallar el residuo de dividir el producto de los primeros 20 números primos entre 30 y .....A) cero B) 2 C) 4 D) 6

E) 1

15. ¿Cuántas proposiciones son correctas?

- Si un número primo tiene una cantidad impar de divisores entonces es cuadrado perfecto.

- El cero es un número compuesto.- 101 es un número primo.- 31 y 13 son “PESI”- El 1 no es número primo ni compuesto.- 5 es número primo simple.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4E) 5

PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. (UNI-82I) Diga Ud. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 7?

13 (7 ); 31 (7 ); 61 (7 ); 25 (7 )

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

02. ¿Cuántos números primos hay entre 6 y 16?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

03. SI el numeral func{overline {2x}} es un número compuesto ¿Cuántos valores puede tomar x”

A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 8


C.P.F.”SAN ROMAN”04. Escribe dentro del paréntesis una “P” si el número es primo o una “C” si el número es compuesto, en los siguientes

números.A) 151 ( ) B) 183 ( )

C) 119 ( )

D) 199 ( ) E) 184 ( )F)

521 ( )

05. ¿Cuántos números de 2 cifras que terminan en tres son primos?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7E) 3


Tema 17

NÚMEROS PRIMOS II

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA“Todo entero positivo diferente de 1 se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes naturales. Esta descomposición es única y se llama “descomposición canónica”, es decir, sea N +:

donde: a, b, c, d, ... son números primosp, q, r, s, .... +.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

360180

90451551

222335

1 155

Luego: 360 = 23 x 32 x 5 Luego: 1 155 =

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

Dado un número N -, empleando la descomposición canónica podemos escribir:N = ap bq cr ds ...

A. El número de divisores del número N está dado por:

DN = (p + 1) (q + 1) (s + 1) ....

Número (N) Desc. de N Número de divisores

280 23 x 5 x 7 D280 = (3+1) (1+1) (1+1) = 16

60

675

275

480

- 40 -


B. La suma de los divisores del número N está dado por:

SD = func{left ({a sup {p+1}-1} over {a - 1}right) ` ` left ({b sup {q+1}-1} over {b - 1}right) ` ` left ({c sup {r+1}-1} over {c - 1}right) ` ` left ({d sup {s+1}-1} over {d - 1}right)}

Número N

Desc. de N SD

80 24 x 5

SD = func{left ({2 sup 5-1} over {2 -

1}right) ` ` left ({5 sup 2-1} over {5 - 1}right)} = 186

270

100

C) Suma de las inversas de los divisores:

func{S sub {ID} ` ` ` = ` ` ` S sub D over N}

D) Producto de los divisores de N

func{P sub D ` ` ` = ` ` ` sqrt N sup D sub N}

OBSERVACIÓN IMPORTANTE

DN = Dcompuestos N + Dsimples N

Ejercicios:

¿Cuántos divisores compuestos tiene 200?

200 = 23 x 52 D200 = (3 + 1) ( 2 + 1) = 12Además se tiene Dsimples = 3 {1; 2; 5}

Finalmente: Dcompuestos = 12 - 3 = 9

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Al descomponer canónicamente 1 800 se sostiene 2x 3y 5z. Hallar x + y + zA) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

02. ¿Cuántos divisores tiene 1 800?

A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 48

03. ¿Cuántos divisores simples tiene 840?

A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 7

04. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 360?

A) 24 B) 21 C) 20 D) 22 E) 1805. La suma de todos los divisores de 360 es igual a:

A) 1 080 B) 1 170 C) 910 D) 1 008 E) 1 240

06. Determinar “n” si el número:6 x 4n .... tiene 20 divisores:


- 41 -


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6E)

10

07. Determinar “x” si el número:10 x 9x. tiene 44 divisores:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7E) 8

08. Hallar el valor de “a” si el número:16 x 15a tiene 245 divisores:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7E) 8

09. Dado N = ab x (a + 1)a+1 (a + 4)c

Descomposición canónica

el cual tiene 140 divisores.Hallar: a + b + c

A) 10 B) 12 C) 14 D) 13 E) 9

10. Calcular el valor “n”. Si el número: 200..............0, tiene: “n” ceros

42 divisoresA) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3

11. Hallar cuántos ceros se debe colocar a la derecha del 9 para que el número tenga 432 divisores.

A) 6 B) 8 C) 11 D) 10 E) 15

12. Para el número:N = 24 x 72 x 33.

Calcular:* ¿Cuántos divisor son

21 from { ` } to ?* ¿Cuántos divisor son

8 from { ` } to ?* ¿Cuántos divisor son

42 from { ` } to ?

A) 24; 30 y 24 B) 30, 36 y 24 C) 24; 48 y 24D) 30; 48 y 24 E) N.A.


- 42 -

C.P.F.”SAN ROMAN”13. Para el número 44 100 calcular:

* ¿Cuántos divisores son pares?* ¿Cuántos divisores son impares?

A) 54 y 27 B) 60 y 30C) 40 y 41

D) 45 y 36 E) 63 y 18

14. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. La suma de los divisores de 40 es 90.II. La suma de las inversas de los divisores

de 100 es 217.III. El producto de los divisores de 90 es 9012

A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV E) FVF

15. ¿Cuántos rectángulos cuyos lados medidos en cm. son enteras y tienen un área de 2 400 cm2?.

A) 20 B) 36 C) 24 D) 18 E) N.A.

PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. ¿Cuántos divisores menos tiene el número 240 que el número 720?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

02. Determinar el valor de “n” sabiendo que 40 n tiene 65 divisores.

A) 5 B) 6 C) 3 D) 2 E) 4

03. Si: A = 10a . 52 . 11 tiene 70 divisores, calcular el valor de “a”.

A) 3 B) 2 C) 4 D) 1 E) 5


- 43 -

C.P.F.”SAN ROMAN”04. Si el número:

7000..........000

“n” cerostiene 288 divisores.

A) 9 B) 10 C) 4 D) 12 E) 8

05. Indicar cuántas proposiciones son verdaderas:

I. 360 tiene 20 divisores compuestos..( )

II. 308 tiene 4 divisores simples......... ( )

III. 36 tiene 6 divisores pares ............ ( )IV. 162 tiene más divisores que 48...... (

)

A) todas B) 3C)

2D) 1 E) ninguna



Tema 18

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)


DEFINICIÓN:El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Notación:El máximo común divisor de a, b, c y d se denota por MCD (a; b; c; d).

Ejemplos:Divisores de 12: D12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12}Divisores de 18: D18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18}Divisores comunes:

D12 D18 = {1; 2; 3; 6}El mayor es 6, luego el MCD (12, 18) = 6

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

01. Por descomposición simultánea: Se escriben los números naturales MCD se desea encontrar, uno a continuación del otro. Se dividen dichos números por el menor factor primo común a todos ellos; los cocientes que se obtienen se dividen por otro factor primo común a todos ellos y así sucesivamente hasta que los cocientes resultantes sean primos entre si. El MCD es el producto de los primos comunes.

Ejemplos:Hallar el MCD de los números {180; 126; 90}

180 126

90 63

30 21

10 7

233

MCD

MCD (180; 126; 90) = 2 x 3 x 3 = 18

Hallar el MCD de los números {168; 308; 252}

168 308

MCD (138; 308; 252) = .........................

02. Por descomposición en factores primos: Para aplicar este método los números deben estar descompuestos “CANÓNICAMENTE”; luego el MCD de dichos números está dado por el producto de sus factores primos comunes elevados a menor exponente.

Ejemplos:

Hallar el M.C.D. de A, B y C.

A = 24 x 3 x 5B = 23 x 32 x 53

C = 22 x 34 x 7Luego MCD (A,B,C) = 22 x 3 = 12

Hallar el MCD de M, N y P

M = 24 x 33 x 5 x 72

N = 33 x 7 x 112

P = 22 x 35 x 72 x 13Luego:M.C.D.(M, N, P) = ............................

MÉTODO DEL ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONES SUCESIVAS

Se emplea para el cálculo del M.C.D únicamente para 2 números A y B.

Método:Calcular el M.C.D. de A y B siendo A mayor que B, luego se ordena así:

Cocientes


- 46 -


A B

Residuos

Ejemplos:

Hallar el MCD de 279 y 217

279 217

Hallar MCD de 1 507 y 959

1 509 959

PROPIEDADES DEL MCD

1. El MCD de dos números primos relativos es la unidad. 4 y 15 son P.E.S., entonces MCF (4; 15) = 1

2. El MCD de dos números divisibles entre sí es el menor de ellos.MCD (9; 18) = 9 porque 18 = 9 from { ` } to

3. Todo divisor común de dos o más números es divisor de su MCD.3 es divisor del MCD (9; 18).

4. Los cocientes obtenidos al dividir dos números entre su MCD son primos entre sí:Sea: d. MCD (A; B) luego:func {A over d ` ` = ` ` p ` ` ` ` A ` `= ` `dp}func {B over d ` ` = ` ` q ` ` ` ` B ` `= ` `dq}Donde “p y q” son “P.E.S.I”

5. MCD (kA; kB) = k MCM (A; B)Ejemplo: Sean los números 52 800 y 43 200.MCD (52 800; 43 200) = 100 MCD (528; 432)

= 100(48)= 4 800

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Calcular el M.C.D. de 504 y 924.A) 42 B) 56 C) 84 D) 72 E) 168

02. Hallar el M.C.D. de A y BA = 24 x 56 x 7 B = 22 x 59 x 112

A) 5 000 B) 1 250 C) 2 500 D) 4 000 E) 1500

03. Calcular el M.C.D de 852 y 660 por el algoritmo de Euclides. Dar como respuesta la suma de los residuos obtenidos.A) 286 B) 143 C) 208 D) 143 E) 312

04. Al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes 3; 2; 1 y 2. Dar el menor; si el MCD de estos fue 11.A) 120 B) 95 C) 88 D) 75 E) 65

05. Para 2 números A y B se sabe:! Su MCD es 8.! Los cocientes sucesivos han sido 3; 1; 1 y 7. Hallar la suma de cifras de A (A > B)

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12


- 47 -

06. Se quiere dividir un terreno en parcelas cuadrados y lo más grande posibles. ¿Cuál será la medida del lado de cada parcela si el terreno tiene 192 metros de largo y 144 metros de ancho:A) 40m B) 28m C) 48m D) 36m E) 24m

07. Del problema anterior. ¿Cuántas parcelas se han obtenido?A) 12 B) 15 C) 16 D) 10 E) 18

08. Se tienen 3 bidones de aceite en litros:

Se deseas envasar en el menor número de recipientes todos del mismo volumen, de tal manera que no sobre aceite. ¿Cuántos recipientes serán necesarios?A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16


- 48 -

09. Se tienen 3 cajas de galletas sueltas con 288; 360 y 408 unidades; desea venderse en paquetes pequeños de igual cantidad que estén contenidas exactamente en cada una de las cajas. ¿Cuál es el menor número de paquetes que se obtienen sin desperdiciar galletas.A) 24 B) 32 C) 44 D)

47 E) 50

10. Si el M.C.D. de 8 y func{ overline {ab5}} es N-80. Hallar la suma de cifras de N.

A) faltan datos B) 1 C) 9D) 13 E) 81

11. Si A = 5B. Además el MCF (A, B) = 16. Hallar la suma de cifras de “B”.A) faltan datos B) 6 C) 7D) 8 E) 16

12. Si el MCD (7!; 4!)) es: func{ overline {ab}}. Hallar “a + b”

Nota: n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ..... x nA) 6 B) 8 C) 15 D) 9

E) 16

13. La suma de 2 números A y B es 30. Si el MCD de ellos es 6. Hallar el mayor de dichos números.A) 12 B) 18 C) 24 D) 8

E) 16

14. Siendo A > B y además A + B = 120; MCD(A, B) = 15. Hallar el valor de A y dar como respuesta la suma de sus cifras.A) 15 B) 13 C) 12 D)

18 E) 20

15. ¿Cuántos divisores comunes tienen 432 y 792?A) 20 B) 8 C) 12 D)

16 E) 9

PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. El MCD de dos números es 4 y los cocientes sucesivos obtenidos en las divisiones sucesivas que se

han realizado para encontrarlos han sido 4; 3; 2 y 2. Hallar el mayor de dichos números.A) 364 B) 384 C) 344 D) 304 E) 360

02. Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210; 300 y 420 l de capacidad en envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite.A) 30 B) 51 C) 31 D) 41 E) 27

03. La suma de 2 números es 60 si el MCD de ellos es 6. Hallar el mayor de los números. (una de las soluciones)A) 42 B) 49 C) 21 D) 18 E) 35

- 49 -

04. Si:MCD (n!; 3!) =

func{overline a}. Hallar “a” si n > 3.

A) 4 B) 3 C) 6 D) 9 E) 12

05. ¿Cuántos divisores comunes generan:100! y 4°?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 24

- 50 -


Tema 19

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

DEFINICIÓN:El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes positivos de dichos números.

Notación:El mínimo común múltiplo de a, b, c y d se denota por MCM (a; b; c; d).

Ejemplos:Múltiplos de 2: M2 = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; ......}Múltiplos de 3: M3 = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; .....}Múltiplos comunes:

M2 M3 = {6; 12; 18; .....}El menor es 6, luego el MCM (2, 3) = 6

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

01. Por descomposición simultánea: Para el cálculo del M.C.M de 2 o más números por este método se sigue el mismo proceso como si se quisiera calcular el MCD, con la diferencia que se sigue dividiendo los resultados hasta que todos sean iguales a uno. El MCM es el producto de todos los factores.

Ejemplos:Hallar el MCD de los números {180; 126; 90}

8020040

20

10

2

1

1

1

2225235

MCM

MCM (80; 120; 200) = 1 200

Hallar el MCD de los números {12; 54; 90}

1290

MCD (12; 54; 90) = ............................

02. Por descomposición en factores primos: El MCM está dado por el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes.


- 51 -

Ejemplos:

Hallar el M.C.D. de A, B y C.A = 22

x 33

x 5B = 2 x 32

x 11C = 2 x 32

x 52

Luego MCD (A,B,C) = 22 x 3 = 12

Hallar el MCD de M, N y P

M = 2 x 5 x 72

N = 34 x 5 x 7P = 22 x 35 x 72 x 13Luego:M.C.D.(M, N, P) = ............................

PROPIEDADES DEL MCD

1. El MCD de dos números primos relativos es igual al producto de dichos números. 6 y 25 son P.E.S., entonces MCM (6; 25) = 150

2. El MCD de dos números divisibles entre sí es el mayor de ellos.MCD (6; 36) = 36 porque 36 = 6 from { ` } to

- 52 -

3. MCM(kA;kB) = kMCM (A; B)Ejemplo: Sean los números 600 y 700.MCM (600; 700) = 100 MCM (6; 7)

= 100 (42)= 4 200

4. Para 2 números positivos a y b se cumple:MCD (a;b) x MCM (a;b) = abEs decir:

d x m = abSiendo:

d = MCD (a,b)m = MCM (a, b)

5. De una propiedad anterior se sabe que:n = dp b = dq(siendo p y q “PESI)Reemplazando en la propiedad anteriord . n = d. p . d . qm = dpq

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. ¿Cuál es el menor número que contiene a 21; 35 y 56?A) 420 B) 840 C) 1 260 D) 210 E) 960

02. ¿Cuál es el valor de “n” si el M.C.M. de A y B es 432?A = 2n x 3 ; B = 2n+1 x 33

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

03. ¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18cm2 para construir un cuadrado?A) 133 B) 306 C) 144 D)

135E)

153

04. Tres hijos que viven en diferentes ciudades van a visitar a su madre cada 3 días, 5 días y 7 días, respectivamente. ¿Cuántos días deberán transcurrir para que los 3 hermanos se vuelvan a encontrar por tercera vez?

A) 210 días B) 245 días C) 105 díasD) 315 días E) 270 días

05. Son las siguientes:

Si un albañil desea techar una vivienda que tiene forma cuadrada. ¿Cuántos ladrillos como mínimo debe utilizar?

A) 5 B) 6 C) 60 D) 4 E) 10

06. Arturo y Aristerio dan vueltas en bicicleta en una parque: Si han partido juntos a las 7 a.m, y Arturo da una vuelta cada 5 minutos y Aristerio cada 8 minutos. ¿A qué hora se volverán a encontrar?

A) 20h 50min B) 6h 50min C) 8h 35minD) 7h 40min E) 17h 40min

07. En una cuadra de 200m se colocan postes cada 20m y tachos recolectores de basura cada 8m. ¿Cuántas veces y un tacho, si se comienza en una esquina con un poste y un tacho?

A) 7 B) 6 C) 4 D) 9 E) 8

- 53 -

C.P.F.”SAN ROMAN”08. Hallar “a” si: MCM (func{overline {a1}; ` ` ` overline {a3}}) = 143

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4E) 5

09. Si el cociente de dos números es 6 y el MCM de dichos números es 72. Hallar el menor de dichos números.A) 9 B) 12 C) 36 D) 8

E) 18

10. Si: MCM (6!; 4!) = func {overline abc}. Hallar a + b + c

A) 3 B) 4 C) 8 D) 9E)

12

11. Para 2 números A y B se cumple:MCM (A, B) = 6MCM (A, B) = 36

Hallar el producto de dichos números.

A) 108 B) 216 C) 432 D) 144E)

196

12. Para 2 números A y B se cumple:MCD (A, B). MCM (A, B) = 1 620A = 45

Hallar la suma de cifras de B.

A) 18 B) 12 C) 9 D) 15 E) 21

13. Para dos números A y B se cumple:MCM (A, B) = 320A - B = 24

Hallar “ A + B”

A) 80 B) 52 C) 104 D) 150

E) 320

14. Si el producto de 2 números enteros es 245 y su MCM es 5 veces su MCD. Hallar la diferencias de dichos números.A) 12 B) 16 C) 21 D)

30 E) 28

15. Indicar la verdad (V) o falsedad de las proposiciones:I. MCM (n; n+1) = 1 II.

MCM (func{overline {a1}; ` ` ` overline {a3}}) = 1

III. MCM (7p, 11p) = 77 IV. MCM (1; N) = N

V. MCM (func{overline {a1}; ` ` ` overline {a3}}) = 11

A) VVFVV B) VFVVFC) VVVVV

D) VFFVV E) VFFVF

P A R A T U C U A D E R N OP A R A T U C U A D E R N O01. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de A y B si A = 43 . 27 . 49; B = 32 . 34 . 7

A) 100 B) 105 C) 108 D) 115 E) 120

02. Sean A y B números primos entre si, tal que:MCM(A, B) =

func{A sup 2 over 3 + {{3B} sup 2 over 4}}Entonces podemos afirmar:A) A = B B) A es par C) A + B = 10D) A < B E) A + B = # primo


C.P.F.”SAN ROMAN”03. Siendo número natural se cumple:

MCM (2N + 1; 2N - 1) = 483 Entonces “N” es un número:A) Par B) mayor que 20 C) menor que 10D) cuadrado perfecto E) primo


04. Se tiene 9 000 jabones cuyas medidas son 2cm, 6cm y 5cm. Se desea empacarlos en cajas para su distribución. Determinar cuántas cajas cúbicas como mínimo se obtendrían, sabiendo que dichas cajas deben ser compactas.

A) 8 B) 11 C) 20 D) 30 E) 100

05. Adolfo tiene un gran número de ladrillos que miden 2cm x 6cm x 1cm quiere usar algunos de ellos para formar un cubo. ¿Cuál es el menor número de bloques que necesita?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 36 E) 144

- 56 -

Tema 20

REPASO

01. En una multiplicación se observa que si al multiplicador y al multiplicador se le disminuye 6 unidades el producto aumentó en 48. Hallar la diferencia de dichos términos.

A) 14 B) 24 C) 21 D) 42 E) 36

02. Si se divide 72 entre “n” se obtiene q (q 1) y un residuo igual a 12. Hallar el menor valor posible de “n”.A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 30

03. Si: func{overline aba} = 7 from { ` } to func{overline bab} = 9 from { ` } to . Hallar “a.b”

A) 12 B) 14 C) 10 D) 6 E) 8

04. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 8!?

A) 96 B) 94 C) 93 D) 92 E) 91

05. Dado a descomposición canónica del número “N” el cual tiene 100 divisores. Hallar “a + b”

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

06. Un terreno rectangular tiene dimensiones 180m y 234m, y se desea dividirlo en lotes cuadrados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada lote y cuántos lotes se obtendrán: si la longitud del lado es la mayor posible?

A) 18m y 75 lotes B) 9m y 130 lotesC) 6m y 195 lotes D) 18m y 65 lotesE) 12m y 65 lotes

07. El número de manzanas que hay en una cesta es mayor que 100 y menor que 50. Si se cuenta de diez en diez, de doce en doce y de quince en quince, siempre sobran 3. ¿Cuántas manzanas hay en la cesta?

A) 147 B) 123 C) 63 D) 133 E) 120

08. Se tienen tres grupos de 140; 168 y 224 lapiceros. Cada grupo debe colocarse en cajas que contengan igual cantidad de lapiceros. ¿Cuántos lapiceros debe contener cada caja, si se debe ser la mayor cantidad posible? ¿Cuántas cajas serán necesarias?

A) 28 lap. y 19 cajas B) 14 lap. y 38 cajasC) 14 lap. y 19 cajas D) 21 lap. y 36 cajasE) 28 lap. y 38 cajas

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09. Lucho toma la pastilla “A” cada 6 horas, la pastilla “B” cada 4 horas y la pastilla “C” cada 5 horas. Si el miércoles a las 8 am tomó las tres pastillas: ¿a que hora y que día volverá a tomar las tres pastillas juntas?A) 8pm - jueves B) 10pm - viernesC) 8pm - viernes D) 10pm - sábadoE) 8am - sábado

10. Al dividir 189 entre “n” se obtiene un residuo igual a 9 ¿Cuántos valores toma “n”?A) 18 B) 15 C) 13 D)

11 E) 12

11. La suma de 2 números naturales es 299; si se divide el mayor entre el menor se obtiene un residuo que es máximo y un cociente igual a 13: Hallar cuántos divisores tiene el menor de dichos números.A) 20 B) 16 C) 12 D) 8

E) 6

12. En una división entera inexacta:- El divisor es (

7 from { ` } to + 1)- El cociente es (

7 from { ` } to + 4)- El residuo es máximo.

Hallar el menor valor que toma el dividendo.A) 32 B) 25 C) 39 D)

46 E) 53

13. ¿Cuántos pares de números A y B (A > B) cumplen con la condición que su MCD es 9 y la suma de dichos números es 180.A) 8 B) 7 C) 6 D) 4

E) 3

14. ¿Cuántos númerales de la sucesión:1; 2; 3; 4; ..............; 60

son 4 from { ` } to y 6 from { ` } to pero no son 5 from { ` } to ?

A) 50 B) 60 C) 90 D) 40 E) 24

15. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.- El residuo máximo siempre es el valor del divisor

menos uno. - El número 91 es primo.- El MCD(2x+1; 2x-1) = 1; siendo (x )- El producto de 100 primeros naturales y

consecutivos siempre es múltiplo de 12.

A) VFVFF B) FFVVVC) FFVVF

D) VVVVV E) VFVVF


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PARA TU CUADERNOPARA TU CUADERNO01. En una conferencia asistieron 623 personalidades observándose que:

* Dos séptimos de los extranjeros no son profesionales.* Tres octavos de los extranjeros no son casados.* Un noveno de los extranjeros son mujeres

¿Cuántos peruanos asistieron?

A) 101 B) 203 C) 124 D) 199 E) 196

02. ¿Cuántos ceros debo colocar a la derecha del número 11; para que el número casi formado tenga 72 divisores?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8


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03. Si el M.C.M. de (N+1) y N es 552 entonces “N” es un número:

A) primoB) parC) que tiene 8 divisoresD) cuadrado perfectoE) impar menor que 20

04. Calcular el menor número de 4 cifras diferentes que sea múltiplo de 9. Dar como respuesta el

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RAZONAMIENTO MATEMATICO

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