Razón de Oro
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26/5/2015 Razndeoro
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/razonoro.html 1/4
Razndeoro
Larazndeoro(elsmboloeslaletragriega"phi"delaizquierda)esunnmeroespecialquevaleaproximadamente1,618
Aparecemuchasvecesengeometra,arte,arquitecturayotrasreas.
La idea
Sidividesunalneaendospartesdemaneraque:
lapartelargadivididaentrelacorta
esigualque
eltotaldivididoentrelapartelarga
entoncestieneslarazndeoro.
AdivinndolaSlohayunvalorquehacequea/bseaiguala(a+b)/a.Probemosunpocoaversipodemosdescubrirlo:
Probamosa=7yb=3,entoncesa+b=10: 7/3=2,333...,Pero10/7=1,429...,asquenofunciona Probamosahoraa=6yb=4,entoncesa+b=10: 6/4=1,5,pero10/6=1,666...,mscercaperotodavano! Probemosa=6,18yb=3,82,entoncesa+b=10:
6,18/3,82=1,6178...,y10/6,18=1,6181...,estamosmuycerca!
Dehechoelvalorexactoes:
1,61803398874989484820...(continasinrepetirse)
Lascifrassiguensinrepetirse.Dehechosesabequelarazndeoroesunnmeroirracional,ytehablarsobreesomsadelante.
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CalcularloPuedescalcularlotmismoempezandoporcualquiernmeroysiguiendoestospasos:
A)divide1entretunmero(1/nmero)B)suma1C)eseestunuevonmero,empiezaotravezdesdeA
Conunacalculadora,slopulsa"1/x","+","1","=",unayotravez.Yoempeccon2ysaquesto:
Nmero 1/nmero Suma12 1/2=0,5 0,5+1=1,5
1,5 1/1,5=0,666... 0,666...+1=1,666...1,666... 1/1,666...=0,6 0,6+1=1,6
1,6 1/1,6=0,625 0,625+1=1,6251,625 1/1,625=0,6154... 0,6154...+1=1,6154...
1,6154...
Sevaacercandomsyms!
Perollevaramuchotiempoacercarnosdeverdad,haymejoresmanerasysepuedencalcularmuyrpidamentemilesdecifras.
Dibujarlo
Hayunamaneradedibujarunrectnguloconlarazndeoro:
Dibujauncuadrado(delado"1")PonunpuntoenlamitaddeunladoDibujaunalneadesdeesepuntoaunaesquinacontraria(medir5/2)Giraesalneahastaquevayaenladireccindelladodelcuadrado
Entoncespuedesextenderelcuadradoaunrectnguloconlarazndeoro.
La frmulaMirandoelrectnguloqueacabamosdedibujar,puedesverquetieneunafrmulasencilla.Siunladomide1,elotroladomide:
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Larazcuadradade5esaproximadamente2,236068,asquelarazndeoroesaproximadamente(1+2,236068)/2=3,236068/2=1,618034.Esunamaneramuyfcildecalcularlocuandolonecesites.
Belleza
Muchosartistasyarquitectoscreenquelarazndeorodalasformsmsagradablesybellas.
Esterectngulosehahechousandolarazndeoro,pareceuntpicomarcodeuncuadro,no?
Muchosedificiosyobrasdearteusanlarazndeoro,
comoelPartennenGrecia.
Sucesin de FibonacciAqutienesunasorpresa.SitomasdosnmerosdeFibonacciconsecutivos,suproporcinestmuycercadelarazndeoro.Dehecho,cuantomsgrandeseanlosnmerosdeFibonacci,mscercadelvalorexacto.
Probemosalgunos:
A B B/A2 3 1,53 5 1,666666666...5 8 1,68 13 1,625
... ... ...144 233 1,618055556...233 377 1,618025751...... ... ...
El ms irracional...
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26/5/2015 Razndeoro
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Larazndeoroeselnmeromsirracional.Esteeselporqu...
Unadelaspropiedadesespecialesdelarazndeoroesquesepuedeescribirentrminosdesmismo,as:
(connmeros:1,61803...=1+1/1,61803...) Estosepuedeexpandirenunafraccinquenoseacabanunca(llamada"fraccincontinua"):
Osea,encajaperfectamenteentrefraccionessimples.
Otrosnmerosirracionalesestnbastantecercadenmerosracionales(porejemploPi=3,141592654...estcercade22/7=3,1428571...)
Otros nombresLarazndeorotambinsellamaseccinarea,mediadeoro,nmerodeoro,proporcindivina,seccindivina,proporinarea...
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