LUGAR DE LAS RAICES R. Automatica

Reglas para construir el lugar de lasraices

1.- Se obtiene la ecuacion caracterıstica 1 +G(s)H(s) = 0

1 +k(s + z1)(s + z2) : : : (s + z

m)

(s + p1)(s + p2) : : : (s + pm)

Se ubican los polos y ceros de lazo abierto

✓ Ceros de lazo abierto = ceros G(s)H(s)

✓ Ceros de lazo cerrado = ceros de G(s) y polos de H(s)Lugar de las raices simetrico respecto al eje real

2.- Se hallan los puntos de inicio y fin del lugar de las raices yse determinan la cantidad de ramas.

✓ k = 0 polos de lazo abierto✓ numero de ramas = numero raices de ec. caracterıstica✓ ramas de polos a ceros, y a infinito las n-m restantes

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3.- Determinar el lugar de las raices sobre el eje real. Se eligepunto de prueba si el numero de polos y ceros a la decha.de ese punto es impar ese punto pertence al lugar de lasraices.

4.- Se determinan las asintotas del lugar de las raices

Angulo de asintotas = �180(2k + 1)n�m

n= cantidad de polos finitos de G(s)H(s)m= cantidad de ceros finitos de G(s)H(s)

Punto de interseccion con eje real:

�a = �(p1 + p2 + : : : p

n) � (z1 + z2 + : : : z

n)

n�m

5.- Puntos de ruptura de llegada y de partida

B(s) + kA(s) = 0

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dk

ds= �

�

B(s)A(s) �B(S)�

A(s)

A2(s)= 0

6.- Angulos de partida (llegada) del lugar de las raices desdelos polos complejos o ceros complejos.

Angulo de partida desde polo complejo = 180 - (P angulosdesde otros polos) + (P angulos desdes ceros)

Angulo de partida desde cero complejo = 180 - (P angulosdesde otros ceros) + (P angulos desdes polos)

7.- Puntos donde el lugar de las raices cruza el eje imaginario

Dos formas:

✘ Criterio de Routh

✘ Haciendo s=jw e igualando a cero parte real e imagianriay resolviendo para w y k.

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8.- La ganancia en cualquier punto del lugar de las raices

K =Producto de las distancias entre el pto. s y los polosProducto entre las distancias del pto. s y los ceros

9.- Determinar el lugar de las raices en una zona amplia deleje jw y el origen

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