República Bolivariana de Venezuela

I.U.T Antonio José de Sucre

Barquisimeto, Edo - Lara

RAFAEL CAMACARO

25.147.710

INFORME

FORMAS

INDETERMINADAS

Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0.

Cuando x se acerca a

0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso,

sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la

operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando

informalmente) 0/0 puede ser 0,   o incluso 1 y, de hecho, es posible construir

otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es

que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador

como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar

ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma

indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden

aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del

emparedado, entre otros.

Ejemplos:

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli, es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que

se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo   o .

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en

(a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es

igual a L. Por lo tanto,

 Hallar el límite:

  Este límite en principio toma la forma indeterminada  / , y lo resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:

OBSERVACIÓN: No es necesario pasar el límite a la indeterminación 0/0 antes de aplicar la regla de L'Hôpital. Si bien  (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a.

  En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0× , aparecen en límites de productos de funciones f(x) ×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, lag(x), tiende a . En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:

Y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital.

  Hallar el límite:

Este límite tiene la forma 0× , por lo tanto, operamos como hemos dicho:

Habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya derivada es: - 1/(seno)², esto es:

  Otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de L'Hôpital es la forma  - , que aparece en límites de una resta, es decir, cuando tenemos(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen + . Para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:

Y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus inversas será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar la regla de L'Hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una expresión que incluya un cociente,