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Matemática – Prof. Rafael

Conjuntos

01. (UDESC 2004) Considere os conjuntos A = {x ∈ N / 41 ≤−x } e

B = {x ∈ Z / 32 >+x }. O conjunto C = BA ∩ é:

a) {2, 3, 4, 5} b) {6, 7} c) {..., -8, -7, -6} d) { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e) {0, 1}

02. (ACAFE 2000) Sejam os conjuntos de números

inteiros, A = {x ∈ Ζ / x2 - 3x + 2 = 0} B = {x ∈Ζ / |x - 1| < 3}. O número de elementos

do conjunto (B - A) será:

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

03. (ACAFE 1999) Dados os conjuntos abaixo, o número de elementos do conjunto (A∪B) − C, é:

A = { x | x é número natural par menor que 10} B = { x | x é múltiplo natural de 3 e menor que

18} C = { x | x é divisor natural de 18}

a) 9 b) 6 c) 5 d) 4 e) 8

04. (UFSC) Numa escola de 1030 alunos, foi feita uma pesquisa. Cada aluno poderia optar por até duas áreas de estudo. A tabela indica o resultado. O número de alunos que optaram somente pela área y, é:

Área Optantes x 598 y 600 z 582 X e y 250 Y e z 300 X e z 200

05. (ACAFE−2004) Analise os conjuntos apresentados e as proposições abaixo:

A = {x ∈ Z / (2x + 6) . (x − 2) . (x − 1) = 0} B = {x ∈ IR / x2 − 3x + 2 ≤ 0}

I. A ∩ B = {1, 2} II. A ∪ B = {−3, 1, 2} III. B ⊂ A IV. B − A = ]1, 2[

São CORRETAS: a) II − IV b) I − II − III c) II − III d) I − IV e) I − III

06. (ACAFE 2001) Dados os conjuntos

A = {x ∈ Z / 5−x < 4} e B = { x ∈ Z / 14 ≥−x } a soma dos elementos do conjunto A ∩ B é igual a:

a) 41 b) 31 c) 23 d) 18 e) 30

07. (ACAFE 2005) Analise as afirmações a seguir:

I. Um conjunto A possui 256 subconjuntos, então ele possui 6 elementos.

II. Um conjunto A possui 3 elementos, B possui 2 elementos e C possui 5 elementos. O máximo de elementos de )( CBA ∪∩ é 3.

III. n o número de elementos de um conjunto, então

)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪ IV. Os conjuntos A, com 28 elementos, e o

conjunto B, com 32 elementos, são subconjuntos de U com 49 elementos, dos quais 4 não pertencem a )( BA ∪ . O número de elementos do complementar de )( BA ∩ , em relação a U é 34.

Todas as afirmações corretas estão em:

a) II – III – IV b) I - II – III c) I – III – IV d) II - IV e) III - IV


08. (UDESC−2005) A solução da inequação

2)1( −x > 3 é:

a) x ≤ −2 ou x ≥ 4 b) x > 4 c) x > 0 d) −2 < x < 4 e) x < −2 ou x > 4

09. (ACAFE 2003) Dos 540 alunos inscritos em

uma academia, 200 fazem musculação, 250 natação e o restante, de 240, fazem outras modalidades de esportes. Assinale a alternativa correta:

a) O número de alunos que fazem apenas musculação é 100.

b) O número de alunos que fazem apenas natação é 50.

c) 450 alunos fazem natação ou musculação. d) 150 alunos fazem natação e musculação. e) 300 fazem apenas uma modalidade de

esporte. 10. (UDESC-1999) Num concurso público, para

admissão de professores da rede municipal de uma determinada cidade, estão inscritos 1.900 candidatos, dos quais 250 são graduados em Pedagogia, 180 são graduados em História e 1.520 candidatos não possuem graduação nem em Pedagogia e nem em História. Determine:

a. Quantos candidatos são graduados somente em Pedagogia;

b. Quantos candidatos possuem as duas graduações (Pedagogia e História).

11. (ACAFE 2003) Uma prova com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Após a correção, constatou-se que 10 alunos acertaram as duas questões, 25 alunos acertaram a primeira questão e 20 alunos acertaram a segunda questão. O número de alunos que erraram as duas questões é:

a) 5

b) 15 c) 10 d) 20 e) 30

12. (UFSC-1999) Determine a soma dos números

associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. Se A = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}, então, A é

equivalente a {x2 / x ∈ N e 1 < x < 7}

02. Sejam A e B dois conjuntos finitos disjuntos. Então n(A ∪ B) = n(A) + n(B), onde n(X) representa o número de elementos de um conjunto X.

13. (UFSC-1998) Sejam A e B dois conjuntos,

onde (A ∪ B) possui 134 elementos e (A ∩ B) possui 49 elementos. Se A possui 15 elementos a mais do que B, então o número de elementos de A é...

14. (UFSC−2003) Assinale no cartão-resposta a

soma das CORRETAS:

01. O conjunto dos números racionais é suficiente para medir (com exatidão) todo e qualquer comprimento.

02. Se x é um número inteiro diferente de zero, a existência do inverso multiplicativo de x só é garantido no conjunto dos números reais e no conjunto dos nºs complexos.

04. Os números 2 e π (e outros irracionais) só estão relacionados a coisas abstratas e “distantes” da nossa realidade.

15. (UFSC−2004) Assinale no cartão-resposta a

soma das CORRETAS:

01. Um subconjunto A dos números reais será denominado intervalo quando a implicação “(a, b ∈ A e a < x < b) ⇒ (x ∈ A)” for verdadeira.

02. Se a < b são dois números racionais existem sempre x racional e y irracional com a < x < b e a < y < b.


Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - A B C 50 D B A E D

1 200; 50

A 02 99 00 03

Funções 01. (ACAFE 2000) Dada a função

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+

<<≥−

=

1,131,2

3,73)(

2 xsexxse

xsexxf

Então, o valor de f(-2) + f(2) + f(4) é:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 12 e) 6

02. (UFSC 1999) Sejam f e g funções de R em

R definidas por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.

Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. A reta que representa a função f intercepta o

eixo das ordenadas em (0,3). 02. f é uma função crescente. 04. -1 e +1 são os zeros da função g. 08. Im(g) = {y ∈ R / y ≥ -1}. 16. A função inversa da f é definida por

f -1(x) = -x + 3. 32. O valor de g(f(1)) é 3. 64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).

03. (UFSC 2001) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. O domínio da função ƒ:D→ lR, D ⊂ lR,

definida por ƒ(x) = 6

1032

−−−

xxx é

D = {x ∈ lR ⎜ x ≤ – 2 ou x ≥ 5} – {6}.

02. A função inversa da função g(x)=3 x 1 2x

−−

é definida por

-1g (x) = 2x 1 3x

−− .

04. Sejam h e k, duas funções, dadas por

h(x) = 2x – 1 e k(x) = 3x + 2. Então h(k(1)) é igual a 9.

08. A função ƒ: lR → lR definida por ƒ(x) = x + 2, é uma função decrescente.

16. A função g: lR → lR definida por g(x)= x2+1, é uma função par.

32. O conjunto imagem da função h: lR → lR, definida por h(x) = ⎢x2 – 4x + 3 ⎢ é

Im(h) = {y ∈ lR ⎜ y ≥ – 1}.

04. (ACAFE 2004) O gráfico a seguir representa o

gasto mensal que uma empreiteira tem com os encargos sociais de seus funcionários, em milhares de reais. Sabendo que o número x de funcionários oscila de 10 a 30, o gasto y que a empreiteira terá num mês, em reais, com 23 funcionários, será:

05. (ACAFE 2005) Uma empreiteira, para construir

uma ciclovia, cobra uma taxa fixa e outra que varia de acordo com o número de quilômetros a ser construído. O gráfico abaixo representa o custo da obra em função do número de quilômetros a ser construído. Sabendo que a ciclovia terá 10 km de extensão, o custo total da obra, em milhares de reais, será:


06. (ACAFE 2004) Sobre as funções: f(x) = |x|,

g(x) = x2 - 1 e h(x) = 1 - x, definidas de R em R, é correto afirmar que:

a) f(x) e h(x) são ímpares. b) g(x) e h(x) são injetoras. c) f(x) e g(x) são pares. d) f(x) e h(x) são sobrejetoras. e) O mínimo valor de g(x) é 1 e de f(x) é zero.

07. (ACAFE 2004) Sobre o gráfico da função,

definida por f(x) = -x² + 4x – 5, de lR em lR, a alternativa correta é:

a) Todo ponto pertencente ao gráfico possui ordenada negativa

b) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e vértice V(2,1)

c) O ponto (0, 5) pertence ao gráfico d) A parábola tangencia o eixo Ox e) Todo ponto da parábola pertence ao primeiro

ou segundo quadrante. 08. (ACAFE 2004) Um supermercado fez campanha

publicitária para vender o estoque de determinado produto. Suponha que x dias após o término da campanha as vendas diárias foram calculadas segundo a função y = - x2 + 10x + 75. Conforme o gráfico abaixo, as vendas se reduziram a zero depois de: a) 15 dias b) 10 dias c) 25 dias d) 75 dias e) 50 dias

09. (ACAFE 2003) O lucro (L) de uma empresa é

dado por L = -5x2 + 60x - 100, em que X representa a quantidade vendida de um certo produto.

O lucro máximo, em milhões de reais, que essa empresa pode obter é:

a) 150 b) 60 c) 120 d) 180 e) 80

10. (UDESC 2005) A soma dos valores de a e b na função f(x) = ax + b, para que se tenha f(1) = 7 e f(0) = 5, é:

a) 7 b) 6 c) 4 d) 8 e) -1

11. (UDESC 2005) Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a receita financeira dada pela função R(x) = 2x² + 20x – 30 e o custo de produção dada pela função C(x) = 3x² - 12x + 30, em que a variável x representa o número de componentes fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela receita financeira menos o custo de produção, o número de componentes que deve ser fabricado e vendido para que o lucro seja máximo é:

a) 32 b) 96 c) 230 d) 16 e) 30

12. (UDESC 2004) Analise as afirmações a seguir:

I A função quadrática f(x) = ax² + bx + c não admite raízes reais. Sendo a > 0, seu valor mínimo será um número negativo. II Sendo f(x) = ax + 2 e f 1− (-1) = 3, pode-se afirmar que f(x) é decrescente.

Estão corretas:

a) I e II b) apenas I c) apenas II d) nda

13. (UDESC 2004) Dada a função f no gráfico da

figura abaixo, analise as afirmações:

I f possui uma única raiz II f é crescente em todo o seu domínio III A lei da função é y = x/2 + 1 IV f(0) = -2 V A lei da função é y = - 2x + 1.

y

x

75


A alternativa que contém todas as afirmações corretas é:

14. (ACAFE 2003) Os fisiologistas afirmam que,

para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos, por minuto, varia em função da temperatura ambiente t(em graus Celsius), segundo a função: N(t) = 0,1 t2 – 4t + 90. O número mínimo de batimentos por minuto e a temperatura em que ocorre, respectivamente, são:

a) 50 e 40º b) 50 e 20º c) 80 e 20º d) 60 e 30º e) 60 e 40º

15. (ACAFE 2003) O gráfico abaixo representa uma

função quadrática: y = ax² + bx + c. Os valores de a, b e c, respectivamente, são:

16. (ACAFE 2001). Uma função f de variável real

satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2)=3, podemos concluir que f(3) é igual a:

a) 9 b) 3/2 c) 6 d) 9/2 e) 5

17. (ACAFE 2002) Sejam as funções f(x) = 2x2x

−+

definida para todo x real, e x ≠ 2 e g(x) = 3x + 2 definida para todo x real, então:

a) O domínio da função f(g(x)) é D = ℜ - {-2}. b) O valor de 2/9))3(f(g = . c) A função inversa de g(x) é definida por

32)(1 −

=− xxg .

d) A reta que representa a função g(x) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 2/3)

e) A função f(x) assume valores estritamente positivos somente para x > 2.

18. (UFSC 2000) Sejam as funções f(x) = 1x

1x

−

+

definida para todo x real e x ≠ 1 e g(x) = 2x + 3 definida para todo x real. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. )(1 xfx

f −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ para todo x ∈ R – {0,1}.

02. O domínio da função fοg (f composta com g) é D(fog) = R – {-1}.

04. O valor de g(f(2)) é igual a 3

4 .

08. A função inversa da g é definida por

2

3 x (x)g 1 −

=− .

16. A reta que representa a função g intercepta

o eixo das abscissas em ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

23 .

32. A função f assume valores estritamente positivos para x < – 1 ou x > 1.

19. (UFSC 2002) Determine a soma das verdadeiras:

01. Dadas as funções f : [0, +∞)→R e g : R → R, definidas por f(x) = x e g(x) = x2, então o domínio da composta (go f )(x) = g(f (x)) = ( )xg = ( )2

x = x, é D(go f ) = [0, +∞).


02. Se f : A → B é uma função injetora e o

conjunto A possui uma infinidade de elementos, então B (necessariamente) possui uma infinidade de elementos.

04. A função g(x) = 2

x 2, (x > 0) fornece a

área do triângulo formado pelo gráfico da função f (x) = x, o eixo das abscissas e a reta vertical que passa pelo ponto (x, 0).

20. (UFSC−2005) Verifique a seguir os casos em que f e g são iguais (tem o mesmo domínio real) e assinale as proposições CORRETAS:

01. f(x) = 2x e g(x) = x

02. f(x) = 2x e g(x) = | x |

04. f(x) = xx e g(x) =

x1

08. f(x) = ( )2x e g(x) = x

16. f(x) = 1−x

x e g(x) = 1−x

x

21. (UFSC−2005) Tem-se uma folha de cartolina com

forma retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e deseja-se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir x, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível?

Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta.

22. (UFSC 2006) Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e

f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.

23. (UFSC 2006) Se f(x) = 3x + a e a função inversa de f

é 13

)( +=xxg , então o valor de a é :

24. (UDESC 2006) Fez-se um projeto para cercar com

tela uma quadra de esportes retangular, aproveitando um muro paralelo a essa quadra, conforme representa a figura.

A quantidade de tela disponível é 220m. Sabendo que a área a ser cercada é dada por A = x.y, o valor numérico da área máxima cercada é:

a) 6100m²

b) 6000m²

c) 6050m²

d) 12200m²

e) 10050m²

25. (ACAFE−2004) Dadas as funções reais f(x)=2x − 6 e g(x) = ax + b, se f[g(x)] = 12x + 8, o valor de a + b é:

a) 10 b) 13 c) 12 d) 20 e) 8

26. (UFSC 2007) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Dentre todos os retângulos com 40m de perímetro, o de maior área é aquele com lado de 20m e área de 400m2.

02. Uma cidade é servida por três empresas de telefonia. A empresa X cobra, por mês, uma


Gráfico do primeiro menino

deslocamento

tempo

assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A empresa Z não cobra assinatura mensal para até 50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1,20. Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais vantajosa para o cliente do que as outras duas.

04. Em certa fábrica, durante o horário de trabalho, o custo de fabricação de x unidades é de 500xxC(x) 2 ++= reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de produção, são fabricadas

15tx(t) = unidades. O gasto na produção, ao final da segunda hora, é de R$ 1.430,00.

08. Certa substância radioativa que se desintegra uniformemente ao longo do tempo tem sua quantidade ainda não desintegrada, após " t "

anos, dada por 20t

0 .2MM(t)−

= onde 0M representa a quantidade inicial dessa substância. A porcentagem da quantidade ainda não desintegrada após 40 anos em relação à quantidade inicial 0M é de, aproximadamente, 50%.

16. O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro pagou de impostos (em reais per capita) nos anos indicados. Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que no ano 2000 houve um aumento de 20% no gasto com impostos, em relação a 1995.

27. (UFSC 2007) Verifique se a proposição é verdadeira ou falsa.

01. Três meninos participaram de uma corrida. O desempenho de cada um deles está representado nos gráficos abaixo:

Observando-se os gráficos pode-se constatar que o primeiro menino fez o trajeto sempre com a mesma velocidade. O segundo menino, depois de percorrer certa distância, parou e prosseguiu a corrida com a mesma velocidade que ele tinha. O terceiro menino partiu com uma velocidade pequena e em certo momento aumentou esta velocidade.

28. (UDESC/2008) O conjunto solução da inequação 0322 ≤−− xx é:

a) { }31/ <<−∈ xRx b) { }31/ ≤<−∈ xRx c) { }31/ >−<∈ xouxRx d) { }31/ ≥−≤∈ xouxRx e) { }31/ ≤≤−<∈ xxRx

Gráfico do terceiro menino

deslocamento

tempo

Gráfico do segundo menino

deslocamento

tempo

3.269

2.594

2.006 2.082 2.042

4.160

R$ 1.000

R$ 1.500

R$ 2.000

R$ 2.500

R$ 3.000

R$ 3.500

R$ 4.000

R$ 4.500

1980 1985 1990 1995 2000 2005


29. (UDESC/2008) A soma dos valores de x , que formam o conjunto solução da equação 1225 =+x , é: a) 3 b) 0 c) -1 d) 2 e) – 3 30. (UDESC/ 2008) Um poupador depositou na caderneta de poupança a quantia de R$ 100 000,00, no dia primeiro de março. Sabendo que a taxa de remuneração é constante e igual a um por cento ao mês, e que o resultado final obtido é dado pela

fórmula tiPV ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1001 em que P é o valor inicial

depositado, i é a taxa de remuneração e t é o tempo, então o valor V , após 5 meses, é:

a) 5

100101

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

b) 5

10101

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

c) 5

610101

d) 5

1001,1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

e) 5101 31 (UFSC/2008) Assinale a(s) proposição (ões) CORRETA(S).

01. Um vendedor recebe, ao final de cada mês, além do salário-base de R$ 400,00, uma comissão percentual sobre o total de vendas que realizou no mês. No gráfico abaixo estão registrados o total de vendas realizadas pelo vendedor e o salário total recebido por ele.

Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se afirmar que a comissão do vendedor é de 20% sobre o total de vendas que realizou no mês.

02. Uma decoradora comprou 240 rosas para colocar nas mesas de um salão. Na hora da festa, havia 4 mesas a mais do que o planejado. Por isso, ela precisou tirar 2 rosas de cada mesa para que todas ficassem com a mesma quantidade. O número de mesas que a decoradora havia planejado decorar era 12. 04. Bento vai para a escola. Depois de algum tempo caminhando, lembra-se da sua carteira de estudante e pára para procurá-la nos bolsos e na mochila. Percebe que esqueceu a carteira em casa e corre de volta para pegá-la. O gráfico abaixo corresponde a essa situação vivenciada por Bento.

32. (UFSC/2008) Os praguicidas, também

denominados pesticidas, defensivos agrícolas ou agrotóxicos, são substâncias que, aplicadas à lavoura, permitem matar seres que podem prejudicá-la. No entanto, esses produtos apresentam desvantagens pois, devido a sua grande estabilidade no meio ambiente, sua velocidade de decomposição natural é muito lenta. Muitos insetos se tornaram resistentes a esses produtos e grandes quantidades foram utilizadas para combater um número cada vez maior de espécies. Suponha que em um laboratório foi pesquisada a eficiência do DDT (dicloro-difenil-tricloroetano) no combate a uma determinada população de insetos.

O gráfico abaixo representa a população de insetos em função do tempo t, em dias, durante o período da experiência.

Tempo

Posição

0

•

• •

• •

2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

6000 12000 18000

• •

Total de vendas em reais

Total de salários em reais


Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A função que descreve a relação entre a po pulação de insetos e o tempo é

100030ttf(t) 2 ++−= . 02. O número inicial da população de insetos é de

1200 insetos. 04. A população de insetos cresce somente até o

décimo dia. 08. No vigésimo dia de experiência a população de

insetos é igual à população inicial. 16. A população de insetos foi exterminada em 50 dias. 33. (UFSC/2008) Questão Discursiva. Instruções: 1. Confira o número do(a) candidato(a), o local, o

setor, o grupo e a ordem indicados na folha oficial da questão discursiva, a qual não deverá ser assinada.

2. Leia atentamente a questão.

3. Escreva com letra legível, use linguagem clara e utilize a norma culta da língua portuguesa.

4. Use caneta com tinta preta ou azul para transcrever seu texto do rascunho para a folha oficial da questão discursiva.

5. Redija sua resposta utilizando até 15 (quinze) linhas.

6. Não serão corrigidas respostas escritas a lápis, nem respostas na folha de rascunho.

Como funciona a panela de pressão?

Dona Maria, uma exímia cozinheira, ficou intrigada ao sair de uma das aulas de Ciências sobre o funcionamento da panela de pressão, a qual utiliza diariamente em sua casa. Na primeira pesquisa efetuada em um site na Internet, ela encontrou o seguinte fragmento:

A panela de pressão foi inventada pelo físico francês Denis Papin, que

publicou em 1861 uma descrição do equipamento, denominando-o digestor. Numa reunião de cientistas da Royal Society, Papin demonstrou que o seu invento era capaz de reduzir ossos a

gelatina comestível. Disponível em: <http://br.geocities.com/saladefisica7/funciona/panela.htm> Acesso em: 22 out. 2007 Alunos do ensino médio, no intuito de ajudar Dona Maria, enviaram os gráficos (I), (II), (III) e (IV) que representam o comportamento da temperatura de ebulição da água (Te) em função da pressão máxima de vapor de água (Pmax) no interior de quatro panelas de pressão (A, B, C e D), com pressões máximas diferentes PA, PB, PC e PD, respectivamente. ( I ) Te

0 PA PB PC PD PMAX

( II ) Te

0 PA PB PC PD PMAX

f(t

1500

1400

1300

1200

1100

1000

900

800

700

600

500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t•

•

•


(III) Te

0 PA PB PC PD PMAX

(IV) Te

0 PA PB PC PD PMAX

Escolha o gráfico acima que melhor representa o comportamento da temperatura de ebulição da água (Te) em função da pressão máxima do vapor de água (Pmax), indique-o na sua resposta, faça uma análise matemática da relação entre as variáveis referidas, explicando o princípio de funcionamento da panela de pressão. Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - D 61 23 A B C A A E

1 A D C C B D D C 59 07

2 06 11 05 03 C B 06 F E B

3 B 01 17

Seqüências Numéricas

01. (UFSC-2000) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01 A razão da P.A. em que a1 = − 8 e a20 = 30 é r = 2.

02 A soma dos termos da P.A. (5, 8, ..., 41) é 299.

04 O primeiro termo da P.G. em que a3 = 3 e

a7 = 16

3 é 12.

08 A soma dos termos da P.G. é 10. .


01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 02. O valor de x que satisfaz a equação (x + 1)

+ (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155 é x = 1.

04. O oitavo termo da P.G. ( 2 , 2, ...) é a8 = 16.

08. A soma dos termos da P.G. (31 ,

92 ,

274 , ...) é

igual a 1 03. (ACAFE-2004) Num programa de condicionamento físico um atleta corre sempre 300 metros a mais do que correu no dia anterior. Sabe-se que no segundo dia ele correu um quilometro. Então no décimo dia ele correrá:

a) 3700 metros

b) 3100 metros

c) 4000 metros

d) 3400 metros

e) 2800 metros

04. (ACAFE-SC) Obtém-se uma P.A. colocando-se 15 números entre 1 e 129. O valor do décimo segundo termo desta P.A. é:

a) 126 b) 56 c) 23 d) 89 e) 177

..., , 45,

255


5. (ACAFE 2004) Num programa de

condicionamento físico um atleta corre sempre 300 metros a mais do que correu no dia anterior. Sabe-se que no segundo dia ele correu um quilômetro. Então, no décimo dia, ele correrá:

a) 3700 metros b) 3100 metros c) 3400 metros d) 4000 metros e) 2800 metros

06. (UFSC-1999) Sabendo que a seqüência

(1 - 3x, x - 2, 2x + 1) é uma P.A. e que a seqüência (4y, 2y - 1, y + 1) é uma P.G., determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. O valor de x é 2. 02. O valor de y é 8

1 .

04. A soma dos termos da P.A. é zero.

08. 2

3− é a razão da P.G.

16. A P.A. é crescente. 07. (UFSC-1998) Se a, b, c são termos

consecutivos de uma P.A. de razão 5 e (a + 2), b, (c – 1) são termos consecutivos de uma P.G., então o valor de a + b + c é:

08. (UFSC-2002) Assinale a(s) proposição(ões)

CORRETA(S).

01. O 10o termo da seqüência, cujo termo geral é an = 4n + 7, é a10 = 33.

02. Entre 20 e 1200 existem 169 múltiplos de 7.

04. Se três números DISTINTOS formam uma progressão aritmética, então eles não formam uma progressão geométrica.

08. Uma seqüência de quadrados é construída a partir de um quadrado arbitrário dado, tomando-se para vértices de cada quadrado, a partir do segundo, os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Então, as áreas desses quadrados formam uma progressão

geométrica de razão q = 21 .

09. (ACAFE 2004) Sobre Progressão Aritmética, propriedades e generalidades, analise as afirmações a seguir:

I. Existem 81 múltiplos de 11 entre 100 e 1000.

II. Sabendo que 1, (3 + x) e (17 – 4x) são termos consecutivos de uma PA, o valor de x é 2.

III. O quarto termo da PA (a – b, 5a - 2b, ) é 4a = 13a - 4b IV. Dada a PA (82, 76, 70, ...), o número 22

ocupa a 11ª posição.

É (são) correta(s):

a) somente II e III b) I – II – III – IV c) Somente I e IV d) Apenas III e) Apenas II

10. (UFSC-2003) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Se os raios de uma seqüência de círculos formam uma P.G. de razão q, então suas áreas também formam uma P.G. de razão q.

02.Uma empresa, que teve no mês de novembro de 2002 uma receita de 300 mil reais e uma despesa de 350 mil reais, tem perspectiva de aumentar mensalmente sua receita segundo

uma P.G. de razão 5

6 e prevê que a despesa

mensal crescerá segundo uma P.A. de razão igual a 55 mil. Neste caso, o primeiro mês em que a receita será maior do que a despesa é fevereiro de 2003.

04. Suponha que um jovem ao completar 16 anos pesava 60kg e ao completar 17 anos pesava 64kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo

uma progressão geométrica de razão 2

1 ,

então ele nunca atingirá 68kg. 08. Uma P.A. e uma P.G., ambas crescentes,

têm o primeiro e o terceiro termos respectivamente iguais. Sabendo que o segundo termo da P.A. é 5 e o segundo termo da P.G. é 4, a soma dos 10 primeiros termos da P.A. é 155.


11. (UFSC-2004) Sejam (an) uma progressão geométrica

e (bn) uma progressão aritmética cuja razão é 3

10da

razão da progressão geométrica (an). Sabendo que a1 = b1 = 2 e que a2 = b7 calcule a soma b1 + b2 + ... + b7.

12. (UDESC 2005) Três números formam uma progressão aritmética de razão 7. Subtraindo-se uma unidade do primeiros termo, vinte unidades do segundo termo e trinta e uma unidades do terceiro termo, a seqüência resultante é uma progressão geométrica de razão:

a) -3 b) 1 c) 3

d) 31

−

e) 31

13. (UDESC 2004) Um biólogo, ao estudar uma cultura bacteriológica, constatou que cada uma delas, ao atingir determinado tamanho, se dividia em nove bactérias. Supondo que em uma cultura há

43.2 dessas bactérias e que cada uma delas se divide em nove, dando origem à primeira geração, e que cada bactéria dessa geração se divide em nove, dando origem à segunda geração, e assim por diante, ter-se-á 223.2 bactérias na:

a) 9ª geração b) 18ª geração c) 6ª geração d) 17ª geração e) 10ª geração

14. (ACAFE 2003) Uma certa epidemia, causada por vírus, atingiu uma cidade. No primeiro dias foram registrados 60 casos, no segundo dia 180 novos casos, no terceiro, 540 e nos dias subseqüentes o número de novos casos se manteve na mesma progressão.

A estimativa para ocorrência de 14.580 novos casos se dará no:

a) 8º dia b) 5º dia c) 7º dia d) 6º dia e) 10º dia

15. (ACAFE 2003) O vazamento em um tanque de água provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia. Como o orifício responsável pela perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi dobrando a cada dia, o número total de litros de água perdidos, até o 10º dia, foi de:

a) 2046 b) 1024 c) 1023 d) 2048 e) 512

16. (ACAFE 2002) Em um jardim há um canteiro em forma de um trapézio, onde serão plantadas 260 mudas de uma folhagem. Na primeira fila ficam 15 mudas, na segunda 20, na terceira 25, e assim sucessivamente. O número de filas necessárias para se plantar todas as mudas é:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 12 e) 13

17. (ACAFE 2002) Analise as proposições abaixo e

assinale V para as verdadeiras e F para as falsas.

( ) A seqüência (2, 6, 10, 14, ...) é uma PG. ( ) O milésimo termo da seqüência

(3, 7, 11, 15, ...) é 3999. ( ) Se n é um número inteiro positivo, então 2,

8/3, 40/9 e 80/9 são os quatro primeiros termos da seqüência, cujo termo geral é ( )

n

n3

!2+ .

A seqüência correta, de cima para baixo, está na alternativa:

a) F – V – F b) F – F – V c) F – V – V d) V – V – F e) V – V – V


18. (ACAFE 2001) Considerando as relações

16064 =+ aa e 128097 =+ aa , a seqüência numérica ( ,...,,, 4321 aaaa ) é uma:

a) Progressão Geométrica cuja soma dos termos é 1280.

b) Progressão Aritmética de razão 2. c) Progressão Geométrica cujo 1º termo é 8 d) Progressão Aritmética cujo 1º termo é 4 e) Progressão Geométrica de razão 2.

19. (ACAFE 2001) Uma galeria de arte deseja

arrecadar fundos para uma creche. O número de pessoas que a visitam varia de acordo com uma progressão geométrica (PG), de razão 2. No 1º dia, 2 pessoas visitaram a exposição. Se, de cada pessoa é cobrado um ingresso de R$ 3,00, o número mínimo de dias que a exposição deve permanecer aberta, a fim de que o total arrecadado atinja o valor de R$ 6.138,00 é:

a) 8 b) 9 c) 6 d) 10 e) 12

20. (UFSC 2005) Assinale a(s) proposição(ões)

correta(s):

01. O vigésimo termo da progressão aritmética (x, x+10, x², ...) com x < 0 é 186

02. A soma dos n primeiros números naturais ímpares é n² + 1.

04. O termo 1024

1 encontra-se na décima

segunda posição na progressão ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,...

21,1,2 .

08. Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA crescente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG crescente, então x.y = 12

16. O valor de x na igualdade

12...93

=+++xxx , na qual o primeiro

membro é a soma dos termos de uma PG infinita, é 10.

21. (UFSC 2007) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Uma avenida em linha reta possui 20 placas de sinalização igualmente espaçadas. A dis-tância entre a sétima e a décima placa é 1.200 metros. A distância entre a primeira e a última placa é 7.600 metros.

02. Se três números inteiros positivos não-nulos formam uma progressão aritmética, e a soma deles é igual a 36, então o valor máximo que o maior desses números pode ter é 24.

04. Uma cliente levará 12 meses para saldar uma dívida de R$ 6.400,00 com uma loja de mó-veis, pagando R$ 500,00 no primeiro mês, R$ 550,00 no segundo mês, R$ 600,00 no terceiro mês e assim por diante.

08. Se o preço de uma cesta básica é, hoje, R$ 98,00 e esse valor diminui 2% a cada mês que passa em relação ao valor do mês anterior, então daqui a nove meses o preço da cesta básica será de 10100.(0,98) reais.

16. No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local onde o corpo de Jacques Saunière é encontrado, alguns números estão escritos no chão. Estes números fazem parte da Seqüência de Fibonacci, que é uma seqüência infinita de números em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos que imediatamente o antecedem. Assim, o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... é o número 79.

22. (UDESC/2008) O primeiro termo de uma

progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é: a) 2 b) 10 c) 5

d) 4 e) 6


23. (UDESC/ 2008) A soma dos quatro primeiros ter

mos da seqüência ⎩⎨⎧

≥+=

=

− 2,2

2

1

1

nsenaa

a

nn

é:

a) 45 b) 36 c) 61 d) 22 e) 40

24. (UFSC/2008) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A tabela abaixo mostra a relação entre a

posição de uma figura e a quantidade de elementos que ela possui:

Posição 1 2 3 4 5 Número de elementos 4 7 10 13 16

Com base nos dados fornecidos pela tabela, pode-se afirmar que na centésima posição haverá uma figura com 301 elementos.

02. Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética de razão dois. Se o perímetro do triângulo é de 57 cm, então o comprimento do maior lado é 19 cm.

04. Certa substância radioativa tem tempo de meia-vida de 20 minutos, isto é, o tempo gasto para consumo de metade da massa radioativa dessa substância. Se após 2 horas a massa desta substância radioativa é de 2 g, então a massa inicial da amostra era de 64 g.

08. Um relógio anuncia as horas batendo de uma a doze badaladas e a cada meia hora bate uma badalada. O número de badaladas que esse relógio dá em um dia é 179.

16. Na seqüência de triângulos eqüiláteros, representada nas figuras a seguir, cada novo triângulo eqüilátero tem seus vértices nos pontos médios dos lados do triângulo eqüilátero que o antecede. Se a área do primeiro triângulo eqüilátero é A e supondo que essa seqüência continue indefinidamente, então a soma de todas

as áreas dos triângulos assim obtidas é 4

5A .

32. A soma das raízes da equação x3 – 12x2 + 44x – 48 = 0, sabendo-se que estão em progressão aritmética, é 12.

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - 15 15 D D C 31 36 14 B

1 14 77 E A D A B C E D

2 13 09 A E 24

Análise Combinatória 01. (UDESC 2005) O número de anagramas de

quatro letras, começando com a letra G, que pode ser formado com a palavra PORTUGAL é:

a) 70 b) 1680 c) 210

d) 40320 e) 35 02. (ACAFE 2003) Anagramas são palavras

formadas com as mesmas letras da palavra dada. Tais palavras podem não ter significado na linguagem comum. Considere as afirmações abaixo, com relação ao número de anagramas da palavra FELIZ.

I. 48 começam com vogais II. 24 mantêm as letras L e I juntas, nessa

ordem. III. 18 começam com consoantes e terminam

com vogais.

A alternativa que contém todas as afirmações corretas é:

a) Apenas III b) I – II – III c) II – III d) I – III e) I – II


03. (ACAFE-2003) Um estudante tem 5 lápis de

cores diferentes. O número de maneiras que ele poderá pintar, em um mapa, os estados da região sul do Brasil (Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul), cada um de uma cor diferente, é:

a) 10 b) 120 c) 60 d) 20 e) 30

04. (UFSC- 2003) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A solução da equação (x + 3)! + (x + 2)! = 8 . (x + 1)! é 0 (zero).

02. A solução da equação Ax, 3 = 4 . Ax, 2 é 6. 08. O número de anagramas que podemos formar

com as letras da palavra BRASIL, que começam com B e terminam com L, é 24.

16. Um time de futebol de salão é formado por 5 jogadores. Dispondo de 8 jogadores, podemos formar 64 times de futebol de salão.

05. (UDESC-2004) Um professor de matemática

elaborou 4 questões de geometria plana, 6 questões de geometria espacial e 5 de analise combinatória para montar uma prova de recuperação, com 10 questões. O número de provas que ele pode montar com 3 questões de geometria plana, 5 questões de geometria espacial e 2 de analise combinatória é:

a) 288 b) 144 c) 240 d) 120 e) 60

06. (UFSC-2002) Marque a(s) proposição(ões)

CORRETA(S). 01. A equação x,2A = 2

xA = 12 não possui solução.

02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas.

04. Seja A um subconjunto do plano com 20 pontos. Se não existirem três pontos colineares em A, então existem 1140 triângulos (distintos) cujos vértices são pontos de A.

07. (UFSC-1998) Possuo 6 camisas (uma é vermelha) e 5 calças (uma é preta). O número de grupos de 4 camisas e 3 calças que poderei formar, se em cada grupo quero que apareça a camisa vermelha e a calça preta, é:

08. (UFSC-1999) Numa circunferência são tomados

8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é:

09. (UDESC 2004) Na sala de visitas de uma

residência o teto foi rebaixado com gesso e foram colocadas 10 lâmpadas de cores diferentes. Por medida de economia, são acesas de 6 a 8 dessas lâmpadas simultaneamente. O número de maneiras que as lâmpadas podem ser acesas é:

a) 210 b) 330 c) 66 d) 255 e) 375

10. (ACAFE 2003) Sobre uma reta r se marcam 7

pontos e sobre uma outra reta s, paralela a r, se marcam 4 pontos. O número de triângulos que se pode obter, unindo 3 quaisquer desses pontos, é:

a) 304 b) 152 c) 165 d) 330 e) 126

11. (ACAFE 2002) De quantas maneiras 4 bolinhas

vermelhas e 3 bolinhas verdes podem ser colocadas enfileiradas num recipiente com argila ?

a) 35 b) 7! c) 144 d) 20 e) 12


12. (ACAFE 2001) Num grupo de 10 pessoas, 8 são

brasileiros e 2 estrangeiros. O número de grupos de 4 pessoas que podemos formar, com um estrangeiro em cada um deles, é:

a) 140 b) 210 c) 112 d) 70 e) 84

13. (UFSC 2001) Num camping existem 2 barracas

disponíveis. O número de modos como se pode alojar 6 turistas, ficando 3 em cada uma é:

14. (UFSC 2000) Determine a soma dos números

associados às proposições verdadeiras.

01. Simplificando 35

46

AA

obtemos 6.

02. Podemos formar 720 anagramas com ou sem significado, com as letras da palavra ESCOLA.

04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30.

08. Se 010 23 =− −xxx CA , então x é igual a 7.

15. (UFSC 2006) Verifique se a proposição é

verdadeira ou falsa.

Um grupo formado por 4 rapazes e uma senhorita vai visitar uma exposição de arte. Um dos rapazes é um perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da sala de exposições sem que a senhorita já o tenha feito. Considerando que a entrada é de uma pessoa por vez, então haverá 72 diferentes possibilidades para a ordem de entrada do grupo.


CORRETA(S).

01. Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma das retas determina-das pelos seus vértices, a probabilidade de que a reta passe pelo centro

do hexágono é 81 .

02. Se cinco atletas disputam uma prova de corrida de 800 metros, então o número de resultados possíveis para os dois primeiros lugares, sem que haja empates, é 10.

04. Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de serviços e decidi-ram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos seus nomes, por exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é 12.

08. Quando sete pessoas se encontram e todas se cumprimentam, o número de apertos de mão possível, sem que os cumprimentos se repitam, é 42.

16. Numa lanchonete há cinco tipos de sucos: laranja, abacaxi, acerola, limão e morango. Eles são servidos em copos de três tamanhos: pequeno, médio e grande. Não é permitido misturar sabores. O número de maneiras possíveis de se pedir um suco é 15.

17. (UDESC/2008) Suponha que um campeonato

com 16 equipes seja disputado em turno único, isto é, quaisquer duas equipes jogam entre si apenas uma vez; o número total de jogos do campeonato é:

a) 120 b) 240 c) 160 d) 360 e) 16

18. (UFSC/2008) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Observe a figura abaixo. Girando a flecha, a

probabilidade de ela parar na cor branca é 121

.

Para o cálculo da probabilidade suponha que a flecha não pare sobre as linhas que são fronteiras comuns.


RS SC

PR SP

02. Uma moeda e um dado são lançados ao mesmo tempo. A probabilidade de se obter uma “cara” e um número menor que 4 é de 25%.

04.Para acessar um site da internet, o internauta deve

realizar duas operações: digitar uma senha composta por quatro algarismos distintos e, se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras. O número máximo de tentativas necessárias para acessar o site é 5960.

08.Uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI)

será formada por cinco parlamentares indicados pelos três partidos A, B e C, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. O partido A tem 10 parlamentares e deve indicar 2 membros, o partido B tem 8 parlamentares e deve indicar 2 membros, e o partido C tem 4 parlamentares e deve indicar 1 membro. O número de CPIs diferentes que podem ser formadas é 5040.

16. O número de maneiras diferentes de colorir os

quatro estados identificados no mapa abaixo usando as cores verde, vermelho, amarelo e azul, de modo que cada estado tenha uma cor diferente e que Santa Catarina só possa ser pintada de verde ou vermelho, é 24.

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - C E C 11 C 6 60 28 E

1 E A C 20 11 F 20 A 17

Matrizes 01. (UDESC 2005) Considerando as matrizes A, B e

M, todas quadradas e de mesma ordem, a propriedade aplicada na igualdade A(B + M) = AB + AM é:B

a) associativa. b) distributiva. c) comutativa. d) associativa e distributiva. e) associativa e comutativa.

02. (UDESC 2005) Sendo A uma matriz de ordem

3x3, cujos elementos são dados pela função

⎩⎨⎧

≠+=−

=jiseji

jiseiiaij ,2

,, a soma dos elementos da

diagonal principal é:E

a) 5 b) 6 c) -6 d) 4 e) 0

03. (UDESC 2005) Seja a matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1121

A ; logo,

o primeiro elemento da primeira linha da matriz 1−A é:

a) 3 b) 1 c) 2 d) -2 e) -1

04. (UDESC 2005) A soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz transposta da matriz

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠+=

=+==

jisejiajiseia

Aij

ijx 2

12

22 é:C

a) 17 b) 15 c) 16 d) 12 e) 18


05. (UDESC 2005) Dada a matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

121212221

A ,

então a soma dos elementos da primeira linha da matriz tA é:E

a) -1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

06. (UDESC 2006) Considerando as matrizes A =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1

1x

x, I = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

e O = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

, a soma dos

valores numéricos de x para os quais a igualdade A² - 2A - 3I = O é verificada, é: A

a) x = 0 b) x = 2 c) x = 1 d) x = -2 e) x = -1

07. (UDESC 2004) Sendo a matriz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+−

143096

2

2

xxxx

igual à matriz identidade de

ordem 2, o valor de 2.x é:D

a) -4 b) 6 c) 4 d) 8 e) -8

08. (ACAFE 2001) Dadas as matrizes jibcomBijacomA ijxijx −=−= 7443 ,, e C

= A . B, o valor de elemento 23C da matriz é:C

a) 2 b) 0 c) 4 d) -2 e) 1

09. (UFSC-1998) Sejam A = (aij)4x3 e B = (bij)3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B = C, então o elemento C32 da matriz C, é: 94

10. (UFSC-1999) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. A . B só é possível quando A e B forem matrizes de mesma ordem.

02. (At)t. A-1 = I 04. Se A é uma matriz de ordem n x m e B é

de ordem m x k, então A + B é uma matriz de ordem n x k.

11. (UFSC-2001) Considere as matrizes:

A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

441221111

, B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3-2-1-321000

, C = (-1).A e

determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).07

01. (A.B)t = Bt.At , onde At significa a matriz transposta de A.

02. A + C é a matriz nula de ordem 3. 04. A.C = C.A .

12. (UFSC-2003) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.

02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.

04. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.



correta(s):

01. A matriz a = (a ij ) 31x , tal que a ij = i – 3j é A = [-2 -5 -8]

02. A soma dos elementos da inversa da matriz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011

é igual a 2.

04. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A t = -A, sendo A t a transposta da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a

matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001000100

é anti-simétrica.

08. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ – R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

619

,20

116,53,

213

xx

14. (UFSC 2006) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):

01. Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula.

02. Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5x7 e 7x5. Se R = M.P, então a matriz R² tem 625 elementos.

04. Chamamos "traço de L" e anotamos tr(L) a soma dos elementos da digonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(L t )

15. (Extra) O valor de x + y +z + t na equação

matricial ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 45

56.

2113

tzyx

é:A

a) 5 b) 3 c) -2 d) 0 e) -4

16. (UDESC/ 2008) Sejam X e Y matrizes de ordem

dois por dois tais que ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

12

43YX

e ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

116

21YX

,

logo, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 17. (UFSC/2008)

Considere as matrizes: A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

0z1

01y

1x0

,

B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

x1

0y

11

e C = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

z2

36

27

, onde x, y e z

variam no conjunto dos números reais. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Para z = 0 existe uma matriz X, cuja soma dos

elementos é 7, tal que C . X = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

20

69-

64

.

02. A matriz A admite inversa se e somente se yz ≠ −1.

04. A matriz transposta de B é Bt = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

10x

1y1.

08. Se A.B = C, então x + y + z = 5. Gabarito - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - B E E C E A D C 94

1 02 07 00 10 04 A E 03


Determinantes 01. (UDESC 2005/1) O grau do polinômio que

expressa o determinante da matriz é:

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 4

02. (UDESC 2005/2) Considerando as funções

dadas por g(x) = det ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

11221

0x

xx e

f(x) = det ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

0211110

411x

x, o valor da abscissa do

ponto de interseção dos gráfico de f e g é: a) x = -3 b) x = 18 c) x = -6 d) x = 6 e) x = 3

03. (UFSC-1999) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. det (A + B) = det A + det B. 02. Se A é uma matriz de ordem n, então det

(kA) = knA, k ∈ R. 04. (UFSC-2003) Assinale no cartão-

resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. O número de elementos de uma

matriz quadrada de ordem 12 é 48. 02. Somente podemos multiplicar matrizes de

mesma ordem.

04. A soma das raízes da equação x44xx4xxx

= 0

é 8. 08. Uma matriz quadrada pode ter diversas

matrizes inversas. 05. (UFSC-2004) Assinale no cartão-resposta a

soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A matriz

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0213

1845

1524

0321

não possui inversa.

02. A solução da equação = 0 é x =

1

06. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):

01. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5.B. Nestas condições pode afirmar que det(A) = 5.det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.

02. Se k = (k ij ) é uma matriz quadrada de ordem

2 dada por k ij = 2 ji+2 para ji < e k ij =

12 +i para ji ≥ , então K é uma matriz inversível.

07. (UFSC 1997) A solução da equação

xx

x

314232

−−− = 175 é:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=11

21

xxx

xxA

213

4 2

14 2

x


08. (UFSC 1996) Considere as matrizes

A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−11

0

11

1 e B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡543210

e n = det(A.B).

Calcule 7 n .

09. (UFSC 1995) Sendo a matriz dada por

A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

2244073100850010

, calcule o det(A).

10. (Extra) O valor de x na equação

001

42131

=+−−

xxx é:

a) 0 b) 2 c) -3 d) 5 e) -1

11. (Extra) O determinante da matriz

A⎪⎩

⎪⎨⎧

<−=

≥+==

jisejia

jisejia

ij

ijx ,

,2222 é:

a) 30 b) 42 c) -20 d) 22 e) 0

12. (Extra)O valor inteiro de x que satisfaz a

equação 6231

52501

132=

xx é:

a) 3 b) -4 c) 8 d) 5 e) -1

13. (Extra) A maior raiz da equação

14332

54=

−−

− xxx

xx

, é:

a) -2 b) 4 c) 10 d) 8 e) 0

14. (Extra) A solução da equação

023

123=

−−+ xx

é :

a) um número natural b) um número inteiro c) um racional não inteiro d) um irracional e) nula

15. (Extra) Se 121296321

−=zyx

, então 321432zyx

vale:

a) -4 b) -4/3 c) 4/3 d) 4 e) 12

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - A D 02 04 03 02 19 01 70

1 B D A B C D

Sistemas

01. (UFSC-2000) Considere o sistema S1:

⎩⎨⎧

=−−=+

06203

yxyx

determine a soma dos

números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. O par ordenado (−15,5) é uma solução do sistema S1.

02. O sistema S1 é possível e determinado.


04. A solução do sistema S1 é uma reta que não

passa pela origem.

08. O sistema 2

2 6 010 30 0x y

Sx y

+ =⎧= ⎨− − =⎩

é

equivalente ao sistema S1.

02. (UFSC-2001) Considere as matrizes:

A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

441221111

, B = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3-2-1-321000

, C = (-1).A e

verifique se a proposição é verdadeira ou falsa.

01. O sistema homogêneo, cuja matriz dos coeficientes é a matriz A, é determinado.

03. (UFSC-2002) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Dada uma matriz A, de ordem m×n, e uma matriz B de ordem n×p, a matriz produto A B existe e é de ordem m×p.

02. A terna (2, 1, 0) é uma solução do sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=++=−−=++

142z2y6x7zy3x

32zy2x43z2yx

04. Se um sistema de equações possui mais equações do que incógnitas, então ele é incompatível (impossível).

08. Três pessoas foram a uma lanchonete. A primeira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 1 (um) pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou 1 (um) guaraná e comeu 2 (dois) pastéis e pagou R$ 5,00. A terceira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 2 (dois) pastéis e pagou R$ 7,00. Então, pelo menos, uma das pessoas não pagou o preço correto.

04. (UFSC-2003) Verifique se a proposição é verdadeira ou falsa.

01. O sistema ⎩⎨⎧

=+

=−

0yx

02y3x é indeterminado.

05. (UFSC-2004) Verifique se as proposições são verdadeiras ou falsas.

( ) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele.

( ) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00.

Mês

Unidades de x vendidas

Unidades de y vendidas

Unidades de z vendidas

Faturamento bruto

1 1 5 3 R$ 35.000,00

2 4 1 2 R$ 15.000,00

3 5 6 5 R$ 50.000,00

06. (UFSC 2005) Verifique se a proposição é

verdadeira ou falsa.

01. O par ordenado (x,y) = (5,2) é a única

solução do sistema ⎩⎨⎧

=+=+

276392

yxyx

07. (ACAFE 2005) Analise o sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−−

−=++

02312

22 2

kzyxnzyx

nzyx.

Os valores de K e n para que o sistema seja homogêneo e admita somente a solução trivial (0, 0, 0), respectivamente, são:

a) k = -2 e n = -1 b) k ≠ -2 e n = 1 c) k = 2 e n = -1 d) k ≠ 0 e n = 0 e) k ≠ 2 e n = 1

.


08. (ACAFE 2003) Numa madeireira estão

empilhadas 75 tábuas, umas de 2 cm de espessura e outras de 3cm. A pilha tem 1,80m de altura. Com base nessas informações, é correto afirmar que:

a) O número de tábuas de 2cm é o dobro do número de tábuas de 3cm.

b) A altura da pilha que se pode obter somente com tábuas de 2cm é 90cm.

c) A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é 30.

d) A altura da pilha obtida somente com tábua de 3cm é 60cm.

e) Os números que representam as quantidades de tábuas de cada espessura são múltiplos de 10.

09. (Extra) O sistema ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=++=++

23154

23

yxzyx

mzyx será

possível para:

a) m = -1 b) m = 1 c) m ≠ 3 d) m ≠ 0 e) qualquer que seja m

10. (Extra) Quanto às soluções do sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++

=++

23965264

132

zyxzyx

zyx, podemos afirmar que:

a) possui solução única b) possui uma infinidade de soluções c) não possui solução d) possui exatamente duas soluções e) possui exatamente três soluções.

11. (UFSC 2007) Pedro, Luiz, André e João

possuem, juntos, 90 CDs. Se tirarmos a metade dos CDs de Pedro, dobrarmos o número de CDs de Luiz, tirarmos 2 CDs de André e aumentarmos em 2 o número de CDs de João, eles ficarão com a mesma quantidade de CDs. Determine o número inicial de CDs de André.

12. (UFSC/2008) A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”, que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pelos cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas.

PREÇO BOM – ELETRODOMÉSTICOS Se comprar um Forno de Microondas e um Refrigerador, você só pagará R$ 1.490,00.

Se comprar um Refrigerador e um Fogão, você só pagará R$ 1.750,00.

Se comprar um Fogão e um Forno de Microondas, você só pagará R$ 840,00.

Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta.

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - 09 F 11 F FF F C B C

1 B 22 29

Binômio de Newton

01. (UDESC 2005/2) O sexto termo do binômio

10

3⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yx é:

a) 46

24370 yx d) 37

72940 yx

b) 55

2728 yx e) 5 82 yx

c) 64

2770 yx

02. (UFSC 2003) No desenvolvimento do binômio ( )612x − , o termo independente de x é 1.

03. (UFSC 2002) O 4o termo é o termo médio do

desenvolvimento do binômio 8

m5b

10m

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + .


04. (UDESC-2004) Encontre o termo independente

de x, no desenvolvimento de 6

2

1xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

05. (UDESC 2006) O desenvolvimento da expressão

( )21327 ++ toma a forma ba +3 ; então o

valor numérico de a + b é:

a) 49 b) 19 c) 57 d) 60 e) 8

06. O quarto termo no desenvolvimento do binômio (x – 1) 7 é:

a) 25 x 4 b) - 25 x 4 c) -35 x 4 d) 12 x 4 e) -5 x 4

07. O coeficiente do termo que contém x 5 no desenvolvimento do binômio (x + 2) 7 é:

a) 84 b) 72 c) 63 d) 90 e) 56

08. O quarto termo no desenvolvimento do binômio 4

22 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx é:

a) – 4x 4 b) 16x 5 c) – 4x 4− d) 64 e) 12x 4

09. O termo médio no desenvolvimento do binômio (x – 3) 6 é:

a) – 540x 3 b) – 3240x 3 c) 3240x 3 d) 540x 3 e) 540x 4

10. O termo independente de x no desenvolvimento

de 15

2

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx é:

a) 1 b) – 3003 c) -30 d) 1225 e) - 425

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - B V F 15 C C A C A

1 B

Trigonometria 01. (ACAFE 2005/2) Analise as afirmações a seguir:

I. Para que se tenha simultaneamente cosx = k + 2 e sen x = 21 k− , o valor de k deve ser -1.

II. cos 4

21π = sen 4π

III. sec 840º = - cossec 30º IV. Os valores de ∈α [0º, 360º] para os quais sec

α = 2 são 60º e 300º.


a) III – IV b) II – III c) I – II – III d) I – II – IV e) I – III – IV

02. (ACAFE 2002) Analise as proposições abaixo e

complete com V ou F:

( ) A medida, em radianos, de um arco de 1800 é π rad.

( ) A menor determinação positiva de um arco de 10200 é 3000.

( ) Os valores de m, de modo que a expressão senx = 2m − 7 exista estão no intervalo [3,4].


03. (UDESC 2005/2) A expressão trigonométrica

dada por x

tgxsenxxcos

.cos + é uma identidade

trigonométrica como o termo: a) cotg²x b) cotgx c) sec²x d) cosec²x e) tg²x

04. (ACAFE 1998) Considerando as proposições abaixo, a alternativa FALSA é:

a) A medida, em radianos, de um arco de 135º é 3π/4.

b) Simplificando a expressão xcos.xcotgx.sec

xsenx.tgx.cossec

obtemos tg2x. c) sen x = sen (π - x). d) A função tg x é decrescente em todo o seu

domínio e) O conjunto solução da equação cosx = 1/2

para 0 ≤ x < 2 π, é {π/3, 5π/3}. 05. (UDESC−2005) Assinale as afirmações abaixo e

escreva V para verdadeira e F para falsa:

( ) A solução da equação sen 2x = 1 é {x ∈ R / x =

4π + kπ, com k ∈ Z}.

( ) Se sen x . cos x < 0, então x ∈ 2º ou x ∈ 4º quadrante.

( ) A solução da equação cos x = −21 , com 0

≤ x < 2π é ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

34,

32 ππ .

( ) Sendo k um número real, cos x = k − 1 existe para qualquer valor de k ∈ [−2, 0].

A seqüência CORRETA, de cima para baixo, é:

a) V – V – V – F b) F – V – V – F c) V – F – V – V d) V – V – F – F e) F – F – F – V f)

06. (UDESC 2005/2) Se senx = 53 e

20 π

≤≤ x , o

valor numérico da expressão ))((cos2 tgxxy = é:

a) 25/12 b) 3/5 c) 12/25 d) 5/3 e) 4/3

07. (UFSC 1999) Sabendo que cosec x = 45 e x é

do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9 . (sec2x + tg2x) é:

08. (ACAFE 2000) O conjunto solução da equação

tg2x - tgx = 0, para 0 ≤x < 2π, é:

a) { 0, π/4, π, 5π/4} b) {π/4, 3π/4} c) {π, π/4, 7π/4} d) {0, π/4, 3π/4, 7π/4}

e) {7π/4} 09. (UFSC 2000) Determine a soma dos números

associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. A medida em radianos de um arco de 225° é

611π rad.

02. A menor determinação positiva de um arco de 1000° é 280°.

04. Os valores de m, de modo que a expressão sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].

08. sen x > cos x para −44ππ

≤≤ x .

16. Se tg x = 4

3 e π < x < 2

3π , então o valor de

sen x – cos x é igual a 5

1 .

32. Se sen x > 0, então cosec x < 0. 64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2

para 0 ≤ x ≤ é x = 6π ou x =

65π .


associados à(s) proposição(ões) verdadeiras:

01. senx + cosx = 1, para todo x real 02. Se π

π<< x

2, então tgx < 0 e secx < 0.


y

x

1

-1 0 2- π

2π

23π

43π π• • • • • • • • • • •

N M

P Q

60º

sen x

cos x

04. Se senx = 3

2 e x é um arco do 1o quadrante,

então cosx = 3

5 .

08. cos(x + π) = −cosx, para todo x real. 16. sen(−x) = senx, para todo x real. 32. Se π

π<<<

21 xx

2, então cosx1 > cosx2.


I. sen(−x) = senx, para todo x real; II. cos(π + x) = −cosx, para todo x real; III. sen(π − x) = senx, para todo x real; IV. cos(2π − x) = −cosx, para todo x real.

A alternativa que contém todas as afirmações corretas, enunciadas acima, é:

a) II – III b) I –II –III c) I – IV d) I – III – IV e) II – III – IV

12. (UFSC 2001) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. O domínio da função ƒ(x) = tg (x – 6π ) é

D = {x ∈ lR ⎜ x ≠ 3

2π + kΠ, k ∈ Z}.

02. O período da função g(x) = 2sen3x é 3

2π .

04. O número de raízes da equação cos3x = 3

2,

compreendidas entre [0, 2π] é 4.

08. O gráfico abaixo representa a função sen2x.

13. (ACAFE−2005) Analise o ciclo trigonométrico a seguir e determine o perímetro do retângulo MBPQ, em unidades de comprimento.

A alternativa CORRETA é:

a) 1 + 2 3 b) 2(1 + 3 ) c) 1 + 3 d) 2 + 3

e) 1 + 23


I. sen 50º = - sen 310º II. O valor real de x, em graus, que satisfaz a

equação sen² x + 4senx + 3 = 0, para III. π<< x0 é 90º. IV. Sendo senx = k – 1, então 20 ≤≤ x .

V. Sendo A = πππ

ππ2cos4/.2/cos

2/.022/+

+sen

sensensen , então

A = 1.

É (são) correta(s) a(s) afirmação(ões):

a) II – III b) I – II c) apenas III d) II – III – IV e) I – III − IV

15. (UFSC 2002- Modificada) Some as verdadeiras:

01. Sendo sen x = a – 1 e cos x = 2a − , o valor de a é 2.

02. 2

2

xcosxx + =

xcosx1+

04. No intervalo [0,3π], o número de soluções da equação sen 2x = 2 cosx é 7.


08. O valor, em graus, do arco x , 0 ≤ x ≤ π / 2

na equação 1 – cos2x + senx = 0 é 30. 16. (UDESC 2006) A expressão trigonométrica dada

por sen ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − x2

25π é uma identidade

trigonométrica como o termo:

a) cos2x b) –cos2x c) sen2x d) –sen2x e) sen² 2x + cos² 2x

17. (UFSC 2003) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. sen x ≤ x para todo x ∈ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2 0,π .

02. sen x + cos x ≥ 1 para todo x ∈ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2 0,π .

04. Para qualquer arco x pertencente à interseção dos domínios das funções trigonométricas vale a igualdade

xsecxcotg

xcosec 22

2

= .

08. Os gráficos das funções f1(x) = sen x e f2(x) = 5sen x se interceptam numa infinidade de pontos.

16. Os gráficos das funções g1(x) = cos x e g2(x) = 3 + cos x não possuem ponto em comum.

32. Os gráficos das funções h1(x) = sen x e h2(x) = sen (x+1) se interceptam numa infinidade de pontos.

18. (UFSC 2004) Assinale no cartão-resposta a


01. O valor de sen 2

9π é 1.

02. Para todo arco x para o qual as

expressões tgx

x+1

cos e xx cossen

1+

podem ser

calculadas, elas fornecem o mesmo valor.

04. Para todo arco x vale sen2x + cos2x = 1 e |senx|+|cosx|≥1 e pode ocorrer senx+cosx =0.

08. A imagem da função y = 3 cos x é o

intervalo [−3, 3]. 16. A solução da equação sen x = tg x é

constituída dos arcos x para os quais sen x = 0 ou cos x = 1.


CORRETA(S):

01. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a 3m de uma parede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede e esta sombra tem 17 m de altura. Se a altura do poste é de 20 m, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é de 45º.

02. Se sen(a) = 31 , então sen (25π + a) – sem

(88 π - a) = 32

04. Os gráficos das funções f(x) = sen(4x) e

g(x) = 43

2 π+−

x têm exatamente 3 pontos

em comum, para x no intervalo de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2,0 π .

08. Para ser verdadeira a desigualdade tg(x) . sec(x) < 0, x deve estar localizado no segundo ou no quarto quadrante.


20. (UFSC−2005) Sejam a e b os ângulos centrais

associados, respectivamente, aos arcos AN e Am na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura 2, a seguir. Determine o valor de y = 15x4, sabendo que a + b = 2

π . Assinale no cartão-resposta o resultado encontrado.

N M

21. (UFSC−2007) Assinale a(s) proposição(ões)

CORRETA(S).

01. Se 2πx0 <≤ , então as raízes da equação 1xsenxcos 22 −=− são { }π 0 e .

02. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função f, de ℜ em ℜ , dada por

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

4x2senf(x) .

4π 8π

22. (UDESC/ 2008) Sendo x um arco do segundo

quadrante tal que 73

=xsen , o valor de xtg é:

a) 31010

b) 20103

c) 5

32−

d) 20103

−

e) 31010

−

23. (UDESC/2008) Se °20tg = a , o valor de

°°+°

200340160

tgtgtg é:

a) 2 b) -a c) 0 d) a e) -2 24. (UFSC/2008) As marés são fenômenos

periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula

h(t) = 8 + 4sen ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ t12π , em que t é o tempo

medido em horas. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m.

02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h.

04. O período de variação da altura da maré é de 24 h.

08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que o navio flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 horas.

Figura 2

x

•

OQOP +

QMPN −

AO Q P

1=OA

Figura 1

2

-2

y

x


Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - E VVV C D A C 41 A 86

1 46 A 03 B E 05 A 64 29 05

2 60 08 D E 12

Exponencial e Logaritmo

01. (UDESC 2004.2) Sobre as raízes da equação exponencial 2 542 +− xx = 2, pode-se afirmar:

a) não são inteiras b) são reais e distintas c) são reais e iguais d) não são reais e) são negativas. 02. (ACAFE 2003) Supondo-se que a população de

uma certa cidade seja estimada para daqui a x anos, em f(x) = x

1202

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. 600 habitantes.

Estima-se que, durante o 3o ano, essa população:

a) se manterá constante. b) aumentará em 75 habitantes. c) aumentará em 150 habitantes. d) diminuirá de 75 habitantes. e) diminuirá de 150 habitantes.

03. (Acafe 2004.1) Analise as proposições abaixo e

assinale V para as verdadeiras e F para as falsas, nas quais n é um número inteiro positivo.

( ) A expressão nn nn .2+ é equivalente a 1+nn . ( ) A expressão nn −− + 222 é sempre menor que 2.

( ) 243 4,0− = 91 .

( ) (25 2 . 81) 41

= 15

A seqüência correta, de cima para baixo é:

a) F – V – V – F b) V – V – F – F c) V – V – V – V d) F – F – F – F e) V – F – V – V

04. (UDESC 2005.2) O conjunto solução da

desigualdade 122 2

21ln

21ln

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

xx

é o

intervalo:

a) S = {x ∈ lR / -1 < x < 3} b) S = {x ∈ lR / -1 ≤ x ≤ 3} c) S = {x ∈ lR / x < -1 ou 3 < x} d) S = {x ∈ lR / -3 < x < 1} e) S = {x ∈ lR / 1 < x < 3} 05. (UDESC 2004.2 – Modificada) Se log 2 = a,

então log 0,04 vale:

a) 2(a-1) b) 2ª c) a + 1 d) 1 e) a 06. (Acafe 2005.2) Considere o gráfico referente à

função definida por f(x) = a + log b x.

O valor de f(81) + f( 3 ) é: 07. (ACAFE 2000) O número real que satisfaz a

equação: log25 log2(x - 4) = 1/2 é:

a) irracional b) primo c) quadrado perfeito d) negativo e) múltiplo de 5


08. (ACAFE 2000) Sendo dadas as funções: f(x) = log3x, g(x) = log0,25x e h(x) = g(f(x)), o

valor de h(81) é:

a) 2 b) 4 c) c)1/4 d) –4 e) –1

09. (ACAFE 2001) Os valores de x que satisfazem a

equação logx (ax + b) = 2 são 3 e 4. Nessas condições, os respectivos valores de a e b são:

a) –7 e 12 b) 5 e –5 c) 2 e –3 d) –2 e 3 e) 7 e –12

10. (Acafe 2002.2 – Modificada) Das proposições abaixo, a alternativa incorreta é:

a) Se a, b e c são números reais positivos e

M = cb

a3

2

, então

log M = 2log a – 3 log b – 1/2log c. b) O valor do log 5,0 32 é igual a -5. c) Se f(x) = log 3 x, g(x) = log 25,0 x e

h(x) = g(f(x)), o valor de h(81) é -1. d) O número, cujo logaritmo no sistema de base

3 9 vale 0,75 é 3. e) O número real que satisfaz a equação

log 25 log 2 (x – 4) = 1/2 é um quadrado perfeito.

11. (ACAFE 2003) Sobre os gráficos das funções y = 3x e y = log3x, pode-se afirmar que:

a) ambos passam pelo ponto (1, 0). b) são simétricos em relação ao eixo y. c) são simétricos em relação à reta y = x. d) ambos passam pelo ponto (0, 1). e) são simétricos em relação à reta y = -x.

12. (ACAFE 2003) Sejam as funções f e g definidas

de ℜ em ℜ por f(x) = ax e g(x) = loga(2x2 - 3x + 2), com a > 0 e a ≠ 1. O valor de f[g(-2)] é:

a) -4 b) 4 c) 16 d) 12 e) 2

13. (ACAFE 2004) Sabendo que log2 = a e log3 = b, analise as proposições a seguir. ( l ) log8 = a3 ( lll ) log 2 = a/2 ( ll ) log15 = 1 + b - a ( lV ) log0,003 = -3b

Estão corretas, somente:

a) l - ll - lV b) ll - lll c) ll - lll - lV d) l – ll e) lll - lV



01. O valor do log0,2532 é igual a – 2

5 .

02. Se a, b e c são números reais positivos e

x=cb

a2

3 , então log x=3log a–2log b–

2

1 logc.

04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c diferentes de um, então tem-se

alog

blogblog

c

ca

=

08. O valor de x que satisfaz à equação 4x–2x=56 é x = 3.

16.

15. (UFSC 2001) Se ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

819

log2 logy logx y-x , então o

valor de x + y é:

.

3

2,32

− 1,7

3 2

− >


16. (UFSC 2000) Assinale no cartão-resposta a soma

dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. O conjunto solução da equação log )( 2

3 xx − = log 23 é {-1, 2}. 02. O conjunto solução da inequação exponencial

115xx

71

71

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

é {x∈ lR / –5 ≤ x ≤ 0}.

17. (UDESC 2005.2) Se log a b = 3, log a c = 4 e

logcb

a = x, pode-se afirmar que:

a) a = cb

b) a = bc

c) a = bc

−

d) a = cb

−

e) a = 1


01. O conjunto solução da inequação log (x2 − 9) ≥log (3−x) é S=(−∞, −4]∪ [3, +∞).

02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.

04. A equação 2xx ee = não possui solução

inteira. 08. Considere as funções f(x) = ax e g(x) =

logax. Para a > 1, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescente e g crescente.

16. log 360 = 3 . log 2 + 2 . log 3 + log 5. 32. Se log N = − 3,412 então log N = − 6,824.



01. Se numa área urbana o número de pessoas

atingidas por certa doença (não controlada)

aumenta 50% a cada mês, então a função

n(t) = N .t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

3 fornece o número

(aproximado) de pessoas afetadas pela

doença, t meses após o instante em que

havia N pessoas doentes nessa área.

02. Admita que a função n(t) = N . 2t forneça o número aproximado de pessoas atingidas por uma epidemia (não controlada) onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que N pessoas são acometidas pela doença. Então é correto afirmar que, num aglomerado urbano com 10.000 habitantes, não ocorrendo aumento populacional, 8 meses após existirem 50 pessoas doentes é provável que toda a população estará doente, caso nada seja feito para debelar o mal.


01. A inequação tem solução

S = R

02. O gráfico da função g(x) = ln x2 é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

21. (UFSC−2005) Qualquer que seja o número real

x, ele obedece à relação n ≤ x < n + 1, sendo n um úmero inteiro. Diz-se que n é a parte inteira de x e é denotado por E(x) = n.

A partir dessa definição de E, calcular y na expressão:

2

9

1

3

1 2 −

⎟⎠

⎞ ⎜⎝

⎛>⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ x x


y = ( ) ( )( )2

87

log22994 1275

EE

xxE

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

22. (UDESC−2005) Complete com V ou F:

( ) Se log 2 = a, então, log 0,04 vale 2(a − 1). ( ) A equação exponencial 22 542

=+− xx não possui raízes inteiras.

23. (UFSC 2006 - Modificada) Determine a soma das

corretas:

01. 644444

3

33

=+−

−

−+

xx

xx

para todo x real

02. Se 16 x = 9 e log 23 = y, então xy = 21

.

24. (UDESC 2006.2) Se log x8 + log x28 = 35

, o valor de

x é:

a) 4

b) 8

c) 16

d) -4

e) 2

25. (UDESC 2006.2) O valor de x que torna a expressão log 2

21 )5( −x = -2 verdadeira é:

a) 5

b) 16

c) 9

d) -9

e) 6

26. (UDESC/2008) Se 3log =ba e 4log =cab , então calog é: a) 12 b) 16 c) 24 d) 8 e) 6

27. (UFSC/2008) Em Química, o pH é definido

por: pH = log [ ]⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+H

1 , onde [H+] é a

concentração de hidrogênio em mol por litro de solução. Para uma solução de ácido clorídrico cuja concentração hidrogeniônica é 2 × 10-4 molL-1, o pH é igual a ...

Multiplique seu resultado por 10 Considere: log 2 = 0,30.

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - C B E A A D C E E

1 D C C B 31 06 03 B 16 03

2 02 74 VF 02 A C B 43

Geometria Espacial 01. (UFSC-1999) Usando um pedaço retangular de

papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é:

02. (UFSC 2005) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABCD tem os lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio AFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm³) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.


03. (UFSC-2001) Num paralelepípedo retângulo, as

medidas das arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:

04. (UFSC-2002) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 376m2 e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo.

05. (UFSC-1997) Um tanque, em forma de

paralelepípedo, tem por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:

06. (UFSC-1996) Na figura abaixo, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 2)+ cm. Calcule o volume do cubo em cm3.

07. (ACAFE 2005) Numa piscina, em forma de

paralelepípedo retângulo, de 50m de comprimento e 25m de largura, o nível da água está na marca de 2m. Retirando-se 500m³ de água, o seu nível baixará:

a) 20cm b) 40cm c) 80cm d) 50cm e) 60cm

08. (UDESC 2005) Um tanque retangular reto, cujas

dimensões são iguais a x, 2x e 4xπ , está completamente cheio de água. Dentro dele caiu uma esfera, cujo raio é igual a metade de sua menor dimensão; logo, a quantidade de água que sobrou no tanque, em unidades de volume (uv), é:

a) uvx6

47 3π

b) uvx6

49 3π

c) uvx6

43 3π

d) uvx6

53 3π

e) uvx6

37 3π

09. (ACAFE 2004) Uma piscina de forma

retangular, de 50m de comprimento por 25m de largura, está com água até 1m de altura. Para melhorar a qualidade da água, serão misturados 500ml de um produto químico para cada 1000 litros de água. A quantidade desse produto, em litros, que será usada na piscina, é:

a) 1250 b) 62,5 c) 125 d) 250 e) 625

10. (UFSC-2003) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é:


11. (ACAFE 2004) A figura abaixo mostra a

planificação de um sólido. O volume desse sólido é de:

12. (UDESC 2006) O volume de uma pirâmide reta, cuja base é a face de um cubo de aresta 12cm, é igual a um nono do volume desse cubo. A altura da pirâmide é:


13. (UFSC 2006) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m² de área. A 4m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m² de área. Qual a altura da pirâmide?

14. (ACAFE 2003) Um tubo de vidro em forma de

cilindro reto, está cheio de água até a borda. O diâmetro interno do cilindro é 3cm. Inclinando-se paulatinamente, despeja-se a água nele contida até que atinja a marca que dista da borda 12/π . O volume de água despejada é:

15. (ACAFE 2002) Num recipiente de forma cilíndrica, com água, mergulhou-se uma bola que fez o nível da água elevar-se em 9cm. Sabendo-se que o recipiente tem 16cm de raio, a área da superfície da bola, em cm², é:

a) 48π b) 288π c) 144π d) 96π e) 576π

16. (ACAFE 2000) Um recipiente cilíndrico, de 48cm de altura e 12cm de raio da base, está completamente cheio de líquido. O conteúdo deste cilindro deve ser distribuído em outros potes cilíndricos, menores, com altura igual a 1/2 e raio da base igual a 1/3 do recipiente anterior. O número de potes necessários para distribuir todo o líquido é:

a) 36 b) 48 c) 18 d) 24 e) 72

17. (ACAFE 2000) O diâmetro mínimo de um tronco de árvore, para que dele se possa fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam 20cm, é: a) 20 2 cm b) 40cm c) 30cm d) 10cm e) 80cm

18. (ACAFE 2001) Um cone circular reto tem 12m de altura e 4m de raio da base. A intersecção deste cone com um plano paralelo à base, determina uma secção de π m² de área. O volume do cone determinado por esta secção, em m³, é:

a) π

b) 3π

c) 4π


d) 12π

e) 6π

19. (UFSC 2004) A geratriz de um cone eqüilátero mede 32 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, multiplique o resultado por 3 .

20. (UFSC 1998) Um condomínio tem uma caixa d’água no formato de um tronco de cone circular reto, conforme a figura. Se a caixa d’água está completamente cheia e o condomínio gasta 17 mil litros de água por dia, por quantos dias completos ela abastece o condomínio, considerando que não chegue mais água na caixa?

4,5m 3m 2m

21. (UDESC 2005) As medidas de duas

circunferências concêntricas são r = 9 e R = 15. Seja P um plano tangente à esfera menor, então o raio da secção circular obtida pela interseção do plano P com a esfera maior é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) 15

22. (UDESC 2004) Duas esferas de ferro estão sobre

uma mesa encostadas uma na outra (tangentes exteriormente). As esferas tocam (tangenciam) a mesa nos pontos P e Q. Se o raios de uma delas é 16cm e a área da superfície esférica da outra é 324π cm², então, a distância PQ é:


23. (ACAFE 2000) Uma esfera de raio 20,5cm foi seccionada por um plano distante 20cm do seu centro, conforme figura abaixo. A área, em centímetros quadrados, da secção obtida, é:

24. (UFSC-2000)O volume, em cm3, de um cubo

circunscrito a uma esfera de 16π cm2 de superfície é:

25. O volume de uma esfera é 35003

cmπ . Nesta

esfera está inscrito um cone circular reto de geratriz 30cm . Calcular a medida h da altura do cone.

26. (UDESC) Se um cone circular reto, de altura 20cm,tem área lateral igual ao dobro da área da base, o seu volume (em cm2) é:

a)80003π

b) 4003π

c) 4009π

d) 80009π

e) 20003π


27. (UDESC) Um quadrado de um metro de lado

faz uma rotação completa em torno de um de seus lados. O volume do sólido de revolução gerado é: a) 3cmπ

b) 3

2cmπ

c) 3

3cmπ

d) 32 cmπ e) 34 cmπ

28. (ACAFE) O volume de um cone circular reto é

de 327 dmπ e altura é de 9 dm. O raio da base é:

a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm

29. Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Quando exposta ao sol, uma barra de metal com 30m de comprimento aumenta em 1% o seu comprimento. Logo, essa barra de metal quando exposta ao sol passa a medir 30,03m.

02. Uma parede de 4m2 pode ser revestida completamente com 50 azulejos de 20cm por 40cm.

04. Quando se duplica o raio da base de um cone, (mantendo fixa a altura), o seu volume fica quadruplicado, e quando se duplica a sua altura (mantendo fixo o raio da base), o seu volume fica duplicado.

08). Se uma esfera com volume igual a 288π cm3 está inscrita num cilindro eqüilátero, então a altura do cilindro é 12cm.

30. Uma esfera de raio 10 cm é interceptada por um plano que dista 6 cm de seu centro. A intersecção é um círculo cuja circunferência mede:

a) 8π b) 12π c) 16 π d) 18 π e) 24 π

31. (UFSC-2007) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. Considere 1L e 2L , duas latas de forma cilíndrica, de massa de tomate, de mesma marca. A lata 1L possui o dobro da altura da lata 2L , mas seu diâmetro é a metade do diâmetro de 2L . Se 1L custa R$ 1,80 e 2L R$ 2,80, então a lata mais econômica é 2L .

02. A figura abaixo está representando uma pirâmide inscrita num cubo. Se o volume da pirâ-mide é de 72m3, então a aresta do cubo é igual a 9m.

04. O octaedro regular é um poliedro que tem 8

arestas. 32. (UDESC/2008) O volume do prisma reto de altura h = 2 cm , cuja base é o quadrilátero de vértices A(1, 2), B(- 2,3) , C( 0,6) e D( 5, 2) , é: a) 57 cm 3 b) 72 cm 3 c) 26 cm 3 d) 24 cm 3 e) 36 cm 3 33. (UDESC/2008) A altura de um prisma reto de base quadrada, cuja aresta mede 10 cm, é h = 4 cm . Se o prisma está completamente cheio de água, e dentro dele for colocada uma esfera com raio de 4 cm , então a quantidade de água derramada é:

a) 3

3256400 cmππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

b) 3

3256 cmπ

c) 3

3256400 cm⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π


d) 3

3128400 cm⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π

e) 3

3128 cmπ

34. (UFSC/2008) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A lenda do altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo, conta a história da duplicação do volume desse altar, exigida pelo oráculo da cidade de Delfos para acabar com a peste que assolava Atenas. Para cumprir a ordem, basta fazer como os habitantes de Atenas: dobrar as medidas dos lados do altar.

02. Um cone, cuja superfície lateral é construída com um semicírculo de raio r, é semelhante a outro cone cuja superfície lateral é formada por um quarto de círculo de mesmo raio r.

04. Se uma esfera está inscrita num cubo de 4 cm de aresta, então a área da superfície esférica é igual a 16π cm2.

08. Um paralelepípedo reto, de base retangular, tem uma de suas arestas da base medindo 3 cm a mais do que a altura do sólido, e a outra aresta da base mede 5 cm a mais do que essa altura. Se o volume do sólido é de 144 cm3, então sua altura mede 2 cm.

16. Se um poliedro convexo tem 4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares, então esse poliedro tem 7 vértices.

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - 64 72 02 48 06 64 B A E

1 35 C D 06 E E C A A 09

2 01 C D B 64 03 D A E 14

3 C 01 A E 20

Geometria Plana 01. (UFSC-2003) Assinale no cartão-resposta a


01. Os catetos de um triângulo retângulo medem 30cm e 50cm. Pelo ponto do menor cateto, que dista 6cm do vértice do ângulo reto, traça-se uma reta paralela à hipotenusa. O menor dos segmentos determinados por essa reta no outro cateto mede 10cm.

02. Uma rampa plana com 10m de comprimento faz um ângulo de 15o com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe inteiramente a rampa eleva-se verticalmente 9,66m. Dados: sen 15o = 0,259; cos 15o = 0,966 e tg 15o = 0,268.

04. Num triângulo isósceles com 24cm de altura

e 36cm de base, cada um dos lados iguais

mede 60cm.

08. Dois triângulos são semelhantes quando têm os lados correspondentes proporcionais.

02. (ACAFE- 2004) A base de um triângulo mede

72cm e sua altura, em cm, é h. Se a base for aumentada em 48cm e a altura em 32cm, obtém-se um novo triângulo, cuja área é o triplo da área do primeiro. O valor da altura h, em cm, é:

a) 12 b) 64 c) 80 d) 20 e) 40

03. (ACAFE- 2002) O triângulo ABC da figura a seguir é isósceles , com AB BC≅ . A medida do ângulo MBA ˆ é:


04. (ACAFE-2004) Uma pessoa, caminhando em

direção a uma torre, vê o seu ponto mais alto sob um ângulo de 30º. Caminhando mais 20m na mesma direção, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Desprezando a altura da pessoa, é correto afirmar que a altura da torre é:

a) 20 3 m b) 10m c) 20m d) 30m e) 10 3 m

05. (UFSC-2000) Determine a soma dos números


01. Os ângulos internos de um triângulo são proporcionais a 2, 3 e 4 respectivamente. A medida do maior deles é 80°.

02. O perímetro de um paralelogramo de lados x e 2x é igual a 60 cm. A medida de seus lados são 20 cm e 40 cm.

04. O polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados é o pentágono.

08. A altura relativa à hipotenusa, de um triângulo retângulo de catetos 12 cm e 16 cm, mede 20cm.

16. A medida de um ângulo inscrito, relativo a uma circunferência, é metade da medida do arco correspondente.

06. (UDESC-2006) A área de um triângulo qualquer é igual ao semi-produto das medidas de dois lados quaisquer pelo seno do ângulo formado por eles. O valor da área do triângulo isósceles é máximo quando o ângulo α , for igual a:

a) 2π

b) 23π

c) 4π

d) 6π

e) 2π

−

07. (UFSC-1992) Calcule em metros quadrados a área limitada pela figura plana:

08. (ACAFE- 2005) Analise as afirmações abaixo:

I. Dois terrenos retangulares são semelhantes e a razão entre os seus lados é 2/5. Se o terreno maior tem 50m de frente e seu perímetro mede 400m, então as dimensões do terreno menor são 20m por 60m.

II. Uma rampa lisa com 50m de comprimento faz um ângulo de 20º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se, verticalmente do solo, 47m.

(Dados: sen 20º = 0,34 / cos 20º=0,94 / tg 20º=0,36)

III. A altura de uma árvore que projeta uma sombra de 10m no mesmo instante em que uma pessoa de 1,6m de altura projeta uma sombra de 2,5m é de 6,4m.

É(são) correta(s) a(s) afirmação(ões):

a) I – III b) I – II – III c) apenas I d) apenas II e) apenas III

09. (ACAFE- 2004) Analise as afirmações a seguir:

I. As bases de um trapézio medem 25cm e 18cm e a altura é 14cm. A medida da altura do menor triângulo que se obtém, prolongando-se os lados não paralelos até se encontrarem, é 36cm.

II. A uma distância de 50m, uma torre é vista sob um ângulo de elevação em relação ao


plano horizontal de 20º. A altura da torre é de 18m. (Dados: sen 20º = 0,34 / cos 20º=0,94 / tg 20º=0,36)

III. Um pedaço de arame de 60cm de comprimento é dobrado convenientemente na forma de um triângulo retângulo. Se a hipotenusa desse triângulo mede 26cm, o comprimento dos outros dois lados medem 20cm e 14cm.

É(são) correta(s):

a) II – III b) I – II – III c) apenas I d) apenas III e) I – II

10. (ACAFE-2003) Analise as afirmações abaixo:

I. Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.

II. Em todo triângulo, cada lado é maior que a diferença dos outros dois e menor ou igual a soma dos outros dois.

III. Os ângulos α e β são suplementares. Se α é igual a 2/3 de β , então β mede 108º.

IV. O número de diagonais de um polígono regular, cujo ângulo interno mede 150º, é 54.

Estão corretas:

a) II – III – IV b) I – II – III c) I – III – IV d) II – IV e) I – IV

11. (UDESC- 2004) A área, em m², do quadrado

ABCD, da figura a seguir, é: 12. (UDESC-2004) Um fabricante de embalagem

recebeu uma encomenda de caixa e precisa calcular a área de uma delas para comprar o papelão necessário à sua confecção. As quatro

faces da caixa são trapézios isósceles, com as dimensões indicadas no desenho abaixo, e as bases (tampa e fundo) são quadrados. A área de cada caixa é:

13. (ACAFE-2005) O lado do quadrado ABCD

abaixo, mede 8cm. Sendo M o ponto médio do

lado BC, ___DE = 5cm e EG//AD, então a área do

trapézio ADEG, em cm², vale: 14. (ACFE- 2005) Uma folha de papel de forma

retangular é dobrada ao meio no comprimento e na largura e resulta num retângulo com 28cm de perímetro. No entanto, dobrada em três partes iguais no comprimento e ao meio na largura, resulta num retângulo com 22cm de perímetro. A diferença entre o comprimento e a largura da folha, em centímetros, é:

a) 12 b) 6 c) 10 d) 8 e) 14

15. (ACAFE-2005) Um cliente encomendou uma lâmina de vidro em forma de paralelogramo, com perímetro de 50cm, devendo um dos lados ter 5cm de diferença em relação ao outro e com menor ângulo interno igual a 15º. Para fazer o


orçamento, o vidraceiro precisa calcular a área dessa lâmina de vidro. A área da lâmina, em cm², é:

a) 26 b) 39 c) 40,5 d) 144 e) 96

16. (ACAFE-2003) Com uma corda de 20 metros

contorna-se um canteiro em forma de trapézio isósceles, cuja base maior é o dobro da menor e os lados oblíquos têm medidas iguais à base menor. Se com essa mesma corda se contorna um retângulo com uma das dimensões igual a da base menor do trapézio, pode-se afirmar que a razão entre a área do trapézio e a área do retângulo é;

a) 2/3 b) 3 c) 3 /2 d) 1/2 e) 4

17. (ACAFE- 2003) Um triângulo ABC está inscrito

em uma circunferência de 10cm de raio, onde A e B são extremidades de um diâmetro. Se a

corda ____AC mede 12cm, então a área do

triângulo ABC, em cm², vale:

a) 96 b) 240 c) 48 d) 24 e) 12 3

18. (ACAFE-2002) No trapézio a seguir, o perímetro, em unidades de comprimento, mede:


01. Se duplicarmos o lado de um quadrado, então sua área também duplicará.

02. Por três pontos quaisquer dados passa uma só reta.

04. A razão entre dois ângulos suplementares é

igual a 54 . O complemento do menor é 10o.

08. Com os três segmentos de comprimentos iguais a 9cm, 13cm e 23cm é possível formar um triângulo.

16. Se o raio de uma circunferência aumenta de 1m, então o comprimento da circunferência também aumenta de 1m.

32. Três pontos distintos são sempre coplanares.

20. (ACAFE-2002) A figura a seguir descreve de

que forma uma pessoa se desloca, caminhando. Partindo de A, ela avança sempre da mesma maneira, caminhando 140m e girando 45º para a esquerda. Depois de algum tempo, essa pessoa retorna ao ponto A, fechando a trajetória. Se, em média, ela dá 12 passos a cada 10m, o número de passos que ela deu em toda a trajetória foi:


21. (UFSC-2001) A figura abaixo representa um

campo de beisebol.

Sabe-se que: 1) AB = AC = 99 m; 2) AD = 3 m;

3) HI = 6

DF ;

4) o arremessador fica no círculo localizado no centro do quadrado. Se a área hachurada mede 1458◊ m2, então a medida, em METROS, do raio do círculo onde fica o arremessador é:

22. (UFSC-1998) O triângulo ABC está inscrito

em uma circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é:

23. (UFSC-1993) Um arco circular de arame tem 2cm de raio. Esse arco é cortado, e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco, formado pelo arame, determina na polia?

24. (UFSC-1996) Na figura abaixo O é o centro da circunferência, o ângulo OÂB mede 50º, e o ângulo OBC mede 15º . Determine a medida,em graus, do ângulo OÂC.

25. (UFSC-2006) Considere um hexágono

eqüiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 20cm, 13cm, 15cm e 23cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do hexágono.

26. (UFSC-2007) Assinale a(s) proposição(ões)

CORRETA(S).

01. Se a área de um terreno triangular é 90.000 vezes maior que a área da maquete desse


A B

C

I

II

II

terreno e se os lados do triângulo da maquete medem 4cm, 5cm e 6cm, então o perímetro do terreno é de 45m.

02. Observe a figura abaixo. Se o lado do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência mede 36 cm, então o lado do quadrado circunscrito à circunferência mede 6cm.

04. Observe a figura abaixo. Se os diâmetros dos semicírculos estão sobre os lados do triângulo retângulo ABC, então

IIIÁreaIIÁreaIÁrea += . 27. (UDESC/2008) Cada aresta a, de um quadrado

em que a 0 sofreu um acréscimo x maior do que zero, após o acréscimo resultou um novo quadrado de área 49 cm2. Assinale a alternativa correta.

a) 0 ≤ x b) 0 ≤ x ≤ 7 c) 0 < x < 7 d) x ≤ 7 e) 0 ≤ x < 7

28. (UFSC/2008) Marque V para verdadeira, e F para falsa.

( )Observe o quadrado de lado 10 cm da figura abaixo. A área da parte colorida será sempre a metade da área do quadrado, independentemente do valor escolhido para x.

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - 09 E A E 21 A 18 A E

1 C B C B D B C A D 36

2 B 05 12 80 25 99 05 C F

Polinômios 01. ACAFE 1998) Dados os polinômios:

p(x) = 5 - 2x + 3x2 , q(x) = 7 + x + x2 - x3 e r(x) = 1- 3x + x4.

O valor de p(x) + r (x) - q(x) para x = 2 é:

a) 5 b) 13 c) 11 d) 24 e) 19

02. (ACAFE 2002) Assinale V para as proposições verdadeiras e F para as falsas:

( ) Se P(x) = 5x3 - 3x + 2, então P(-1) = 0. ( ) O polinômio P(x) = x4 - 1 é divisível por

Q(x) = x - 1. ( ) Se 3x2 + ax2 + bx + 4 ≡ 5x2 + 8x + 4, então

a + b = 10 ( ) O polinômio P(x) = 0x3 + 4x2 - 3x + 7 é de

grau 3. A seqüência correta, de cima para baixo, está na alternativa:

a) V – V – V – V b) V – V – F – F c) V – V – V – F d) F – F – V – F e) F – F – F – F

x

x


03. (UDESC 2005.2) Os valores reais de n, para os

quais a equação 2x 2 + 4x – n = 0, têm raízes reais e distintas, são:

a) somente n = -2 b) n > -2 c) n < -2 d) n < -2 e) n > -2 04. (UDESC 2005) O resto da divisão do polinômio

P(x) = x4 − 5x2 + 5x + 6 pelo binômio Q(x) = x − 2 é:

a) 12 b) 8 c) −7 d) −6 e) 0

05. (UFSC 2002) Marque a(s) proposição(ões)

CORRETA(S).

01. O número real 1 (um) é uma das raízes do polinômio

p(x) = 2x4 – 5x3 + 5x2 –5x –3. 02. Se o polinômio x3 + ax2 + bx + 3 admite

três raízes reais distintas, então uma das possibilidades é que elas sejam 1, –1 e 3.

04. O polinômio x3 + 3x – 2 possui (pelo menos) uma raiz real.

08. O polinômio f (x) = x3 + mx – 5 é divisível por x – 3 quando m é igual a 4.

06. (UDESC 2005) O grau do polinômio que expressa o determinante da matriz A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1 12

1

xxx

xx é:

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 4

07. (ACAFE 2004) Considerando o polinômio

P(x) = 1+2x + 3x2 + ... + 49x48 + 50x49, analise as proposições abaixo:

I. P(1) = 1275 II. P(−1) = 25 III. P(0) = 0

IV. A soma dos coeficientes dos termos de grau ímpar é 650.


a) I − II − IV b) I − II c) I − IV d) III − IV e) II − III

08. (ACAFE 1999) O valor de m, tal que o resto da

divisão do polinômio P(x) = 4x3 + mx2 - 3x + 4 por (x-3), seja igual a -5, é:

a) 4 b) –12 c) 11 d) –6 e) 0

09. (UFSC 1998) A soma das raízes da equação 4x3 – 20x2 + 23x – 7 = 0 é: 10. (UFSC 2002) Assinale a(s) proposição(ões)

CORRETA(S), sendo que x e y representam números reais arbitrários.

01. 34x

x+

= 41 +

3x

02. 2

23 + = 3 2 + 1

04. 3)4)(x(x127xx2 ++=+− 08. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

11. (UFSC 2003) Assinale no cartão-resposta a soma

dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A equação polinomial x3 − 2x2 − 4x + 1 = 0 possui as raízes a, b e c. Logo, a soma a2 + b2 + c2 é igual a 12.

02. O resto da divisão do polinômio x6 − x4 + x2 por x + 2 é 52.


04. Dado o polinômio p(x) =

x4+8x3+23x2+28x+12 é correto afirmar que −2 é raiz de multiplicidade 3 para p(x).

08. Para que o polinômio p(x) = (a + b) x2 + (a − b + c) x + (b + 2c − 6) seja identicamente nulo, o valor de c é 4.



01. O polinômio 2x3 + 5x2 − x − 6 é divisível por x − 1 e também por 2x + 3.

02. O polinômio p(x) = x3 + x2 + 4x + 4 não

pode ser escrito como um produto de polinômios de grau 1 com coeficientes reais.

13. (UDESC 2005.2) O resto da divisão do

polinômio P(x) = 2x 3 - 12x 2 + 11x – 1 pelo binômio D(x) = (x – 5) é:

a) 4 b) 2 c) x – 1 d) 2x e) -4

14. (ACAFE 2005.1) Sobre as raízes do Polinômio

P(x) = x 4 - x 3 + x 2 - x, a alternativa correta é:

a) O número 1 é raiz dupla da equação. b) Todas são números reais. c) Apenas uma raiz é complexa. d) Duas delas são números imaginários puros. e) A somas delas é -1.

15. (ACAFE 2005.2) Sobre equações algébricas e coeficientes reais, analise as afirmações a seguir:

I. Toda equação polinomial da forma ax³ + bx² + cx + d = 0 com a ≠ 0, possui, necessariamente, uma raiz real.

II. Qualquer raiz racional da equação x³ + 5x² - 5x – 25 = 0 é inteira.

III. O menor grau da equação polinomial que admite as raízes 2, 1 + i e i− é 3.

IV. A equação x³ + ax² + bx + a = 0 admite o número complexo 2 - i como raiz complexa da equação, então o número 1 também é raiz dessa equação.


a) I – II – IV b) I – II – III – IV c) II – III – IV d) II – III e) III - IV

16. (ACAFE 2003.1) Considere as proposições abaixo:

I. Uma equação polinomial de coeficientes reais, que tem 2 e i− como raízes simples e 3 i como raiz dupla, é do 4º grau.

II. O número de raízes complexas, não reais, de uma equação algébrica de coeficientes reais é sempre ímpar.

III. Se uma equação polinomial de coeficientes reais tem grau ímpar, então ela admite pelo menos uma raiz real.

IV. Se x 4 - x 3 - 11x 2 - x – 12 = 0 tem i− como uma de suas raízes, então as outras raízes são i , -3 e 4.

A alternativa que contém todas as afirmações corretas, enunciadas acima, é:

a) II – III – IV b) I – III – IV c) I – II – III d) III - IV e) I – II – IV

17. (ACAFE 2001.2) Os valores de m e n , para que

o polinômio P(x) = x³ + mx² + nx – 2 seja divisível por x² - 1, respectivamente, são:

a) 2 e -1 b) -2 e 1 c) -2 e -1 d) 4 e 1 e) -4 e 1

18. (UDESC 2005) Sobre todas as raízes da equação

x3 − x2 + 4x − 4 = 0, afirma-se que essa equação possui:

a) uma raiz real e uma complexa. b) duas raízes reais e uma complexa. c) apenas raízes complexas. d) apenas raízes reais. e) uma raiz real e duas complexas.


19. (UFSC 2000) Um polinômio P(x) dividido por (x+1)

dá resto 3 e por (x – 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1).(x – 2) é da forma ax + b, com a, b ∈ℜ . O valor numérico da expressão a + b é:

20. (UFSC 2001) Se o polinômio 2x3 – ax2 + bx + 2

é divisível por 2x2 + 5x – 2, então o valor de a – b é:

21. (UFSC 2007) As dimensões, em metros, de um

paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio 6456x14xx 23 −+− . Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo.

Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - E C E A 06 A C B 05

1 08 03 03 A D A D A E 05

2 04 64

Geometria Analítica 01. (UFSC-1998) Um ponto material móvel

42 , 23tP t⎛ ⎞− + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ desloca-se no plano cartesiano

e suas coordenadas variam em função do tempo ( 0)t t ≥ . A distância percorrida pelo ponto

material móvel entre o ponto A para 0t = e o ponto B para 6t = , é:

02. (ACAFE 2004) Temos, no sistema de

coordenadas cartesianas, três pontos A(3,1), B(4,-4) e C(-2,2). Os pontos A, B e C determinam, sobre o plano cartesiano, um(a):

a) triângulo isósceles e não retângulo b) triângulo eqüilátero c) triângulo retângulo e não isósceles. d) triângulo retângulo e isósceles. e) reta.

03. (UFSC-1999) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A = (4, 1), B = (1, 1),

C = (4, 5) e a reta r representada pela equação x + y - 2 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. O ponto médio do lado BC é o ponto M de coordenadas ( 2

5 , 3). 02. A distância do ponto C à origem do sistema

de coordenadas cartesianas é de 6 unidades. 04. A equação da reta que passa pelos pontos A

e B é y - 1 = 0. 08. A reta s de equação -5x + 5y - 13 = 0 e a

reta r são perpendiculares. 16. O ponto A pertence à reta r

04. (ACAFE 2001) A diagonal de um quadrado

ABCD tem por extremos os pontos A(-1,3) e C(1,5). A equação da reta que contém a outra diagonal é:

a) x + y + 4 = 0 b) x – y + 4 = 0 c) x – y – 4 = 0 d) x + y – 4 = 0 e) x + y = 0 05. (ACAFE 2002) Sobre as retas de equação

2y+3x– 9 =0 e 2x + 3y – 1 = 0, pode-se afirmar que:

a) interceptam-se num ponto localizado sobre o eixo das ordenadas.

b) são paralelas. c) interceptam-se num ponto localizado sobre o

eixo das abscissas. d) são perpendiculares entre si. e) interceptam-se num ponto localizado no 4º

quadrante. 06. (UDESC 2005) A soma das coordenadas do

ponto de interseção das retas de equações 2x – 5y + 4 = 0 e 2x + 3y – 12 = 0 é:

a) 3 b) -5 c) 2 d) 5 e) -3


07. (UFSC-2002) Dados os pontos A(1, –1), B(–1,

3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. Depois, passe o resultado para o cartão-resposta.

08. (UFSC-2000) De acordo com o gráfico abaixo,

assinale a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0. 02. A reta s e a reta r são perpendiculares. 04. As retas r e s se interceptam no ponto de

abscissa 5

4 .

08. A distância da origem do sistema de

coordenadas cartesianas à reta r é de 2

2

unidades. 16. A área da região do plano limitada pelas

retas r, s e pelo eixo das abscissas é igual a

10

3 unidades área.

09. (ACAFE 2002) Analise as proposições abaixo,

de acordo com o gráfico apresentado.

I. As retas r e s são perpendiculares. II. As retas r e s se interceptam no ponto (1/5,

8/5). III. A distância da origem do sistema de

coordenadas cartesianas à reta r é de 2 unidades.

IV. A equação da reta s é x – 2y + 3 = 0.

A alternativa que contém todas as afirmações que estão corretas, é:

10. (ACAFE 2004) Dados, num sistema de

coordenadas cartesianas, o ponto A(2,1) e a reta r de equação x – y + 1 = 0, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas.

( ) A equação da reta s, que passa pelo ponto A e é paralela à reta r, é x – y – 1 = 0.

( ) O ponto de intersecção da reta r com o eixo x tem coordenadas (-1,0).

( ) A reta r e a reta t de equação x + y + 3 = 0 são concorrentes no ponto P(-2,1).

( ) A projeção ortogonal do ponto A sobre a reta r é o ponto B(-1,-2).

A seqüência correta, de cima para baixo, é:

a) V – F – V – V b) V – V – V – F c) F – V – F – F d) V – V – F – F e) V – F – V – F

11. (UDESC 2006) A soma dos valores de k e s, para os quais as retas de equações y = x + 3k e

y + 2x – 6s = 0 se interceptam no ponto P(0,3), é:

a) -3/2 b) 3/2 c) 3 d) 2 e) Não existem valores de k e s tais que o ponto

de interseção entre as retas seja P(0,3).

12. (UDESC 2005) A área do triângulo formado

pelas retas y = 4x– 8, y = 7–x e o eixo das abscissas é:

a) 20ua b) 10ua c) 12ua d) 24ua e) 40ua

x

s

y

0

1

−2

•

•

•• •

3

1

r


13. (ACAFE 2001) A área, em unidades de área, do

quadrilátero de vértices A(0,0), B(3,1), C(5,3) e D(0,3), é:

a) 9,5 b) 19 c) 15 d) 7,5 e) 11,5

14. (ACAFE 2005) Os pontos A(2,1), B(4,5) e

C(x,y) são os vértices de um triângulo retângulo. A reta que passa pelos pontos A e B é a reta suporte da hipotenusa e a reta x – 3y + 1 = 0 é a reta suporte do cateto adjacente ao ângulo A. O valor da área do triângulo ABC, em unidades de área, é:

a) 20 b) 10 c) 1 d) 10 e) 5

15. (ACAFE 2003) A reta 3x – 4y + 12 = 0

intercepta os eixos coordenados em dois pontos formando, com a origem do sistema cartesiano, um triângulo retângulo. Pode-se afirmar que a hipotenusa desse triângulo é um número:

a) múltiplo de 3 b) irracional c) par d) primo e) divisível por 7

16. (UDESC 2004) Na figura abaixo o quadrado ABCD, de 4 2 cm de lado, tem os vértices A e D situados respectivamente, sobre os eixos coordenados x e y. A reta que contém o lado AB do quadrado tem a equação indicada na alternativa:

17. (ACAFE 2005) O gráfico da função f(x) = -x² + 4x – 3 intercepta o eixo OX nos pontos A e B. Determine a área do triângulo ABC onde C é o vértice da parábola. A alternativa correta é:

a) 1ua b) 3ua c) 2ua d) 4ua e) 6ua 18. (UDESC 2005) Sejam A(0,0), B(2b,0) e C(b,h)

vértices de um triângulo no plano cartesiano. Seja r a reta perpendicular ao lado AC do triângulo, passando pelo ponto M(b,0). Sabendo que a reta r intercepta o eixo y no ponto P( 2,0 b), a altura h do triângulo é:

a) 22b b) b2

c) b22

d) b² e) 2b² 19. (UFSC 2006) Determine a soma das corretas: 03

01. Os gráficos das equações x² + y² = 9 e x² - 3 = 0 se interceptam em 04 pontos no plano cartesiano.

02. Se aumentarmos em 4cm o comprimento de uma

circunferência, seu raio aumentará π24

c.


I. A equação (x + 1)² + y² = 9 representa uma circunferência de centro C(-1,0) e raio r = 3.

II. No plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto C(1,0) e raio r = 1 intercepta os eixos coordenados em quatro pontos

III. O ponto A(7,-10) pertence à circunferência de centro C(1,-2). Portanto, o raio dessa circunferência é r = 10.

É(são) correta(s) a(s) afirmação(ões):

a) II – III b) I – III c) I – II – III d) apenas II e) apenas III




01. x2 + y2 − 2x + 6y + 1 = 0 é a equação da

circunferência de raio r = 3 que é concêntrica com a circunferência x2 + y2 + 2x − 6y + 9 = 0.

02. O coeficiente angular da reta que passa pelos

pontos A(3, 2) e B(−3, −1) é 2

1.

04. O ponto P(3, 4) é um ponto da circunferência de equação x2 + y2 − x + 4y − 3 = 0.

08. As retas r: 2x − 3y + 5 = 0 e s: 4x − 6y − 1 = 0 são perpendiculares.

16. Sabe-se que o ponto P(p, 2) é eqüidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). A abscissa do ponto P é 1.

22. (UFSC 1999) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 - 2x - 2y - 6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o

raio da circunferência C são (1, 1) e 2 2 , respectivamente.

02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 8π.

04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar que C e r são secantes.

08. A circunferência de centro no ponto (0, 0) e raio 2 é tangente externamente à circunferência C.

16. Com relação à posição do ponto P(2, 3) e C, pode-se afirmar que o ponto P é exterior à C.

23. (UFSC 2001) Dados, num sistema de

coordenadas cartesianas, o ponto P de coordenadas (1, 2), a reta s de equação x + y – 1 = 0 e a circunferência C de equação x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. A menor distância do ponto P à circunferência C é de 3 unidades de comprimento.

02. A equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta s é x + y – 3 = 0.

04. Com relação à posição de C e s, pode-se afirmar que C e s são tangentes.

08. A área do triângulo, cujos vértices são o ponto P, o centro da circunferência C e o ponto Q de coordenadas (1, – 2), é de 6 unidades de área.

24. (UDESC 2004) Analise as afirmações abaixo,

considerando a figura que representa uma circunferência λ de centro C(1,3) e raio r = 5, escrevendo V para verdadeira e F para falsa.

( ) O ponto P(4,7) pertence à circunferência λ .

( ) Os pontos de intersecção de λ com o eixo x são M(5,0) e N(-3,0).

( ) O ponto Q(3,8) é interior à circunferência λ .

( ) O ponto de λ que possui ordenada máximo é A(1,8).

( ) A equação da circunferência λ é (x + 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

A seqüência correta, de cima para baixo, é:

25. (ACAFE 2004) A figura abaixo representa um

sistema de coordenadas cartesianas, onde são traçadas a circunferência λ e a reta r.

Analise as afirmações abaixo, de acordo com a figura:

I. A equação da circunferência λ é (x − 3)2 + (y + 3)2 = 9. II. A equação da reta r é y = x − 3.


III. O comprimento da circunferência é 9πμc. IV. O comprimento da corda determinada pela

intersecção de r é λ é 6μc


a) I – IV b) I – II – III c) III – IV d) II – III - IV e) I – II

26. (UFSC-2004) Considere a circunferência

C: ( ) ( ) 1634 22 =−+− yx e a reta

r: 4x + 3y − 10 = 0.

Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. r ∩ C = ∅.

02. O centro de C é o ponto (3, 4).

04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) ponto.

08. A distância da reta r ao centro de C é menor

do que 4.

16. A função y dada pela equação da reta r é decrescente.

27. (UDESC 2005) O raio de uma circunferência de

centro C(3,4) tangente ao eixo do x é:

a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

28. (ACAFE 2003) A reta 3x + 4y – 5 = 0 é

tangente à circunferência, de equação (x – 4)² + (y – 2)² = r². O comprimento desta circunferência, em unidades de comprimento, é:

a) 3π b) 9π c) 6π d) 2π e) π

29. (ACAFE 2005) A praça de uma cidade está representada na figura abaixo. As duas circunferências têm raios iguais e centros nos pontos M(2,0) e N(8,8), respectivamente. Os pontos A, B e C são pontos de tangência e a equação da reta AB é 4x – 3y + 2 = 0. O comprimento da praça, em unidades de comprimento, é:

a) 30 b) 22,4 c) 32,4 d) 36 e) 36,4

30. (UDESC 2006) A soma dos raios de três

circunferências que se tangenciam duas a duas, conforme mostra a figura, em que os centros são vértices de um triângulo cujos lados medem 3cm, 4cm e 5cm, é:

a) 12 b) 6 c) 9 d) 8 e) 10

31. (UFSC-2007) A figura abaixo representa parte

do mapa de uma cidade, em que o ponto 0 é o centro e os pontos A, B e C são pontos turísticos (considere 1 unidade linear do plano cartesiano correspondendo a 1km).

Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

y

A(0, 3) C(7,

2)

B(1, 0)

0 x


01. Se o prefeito da cidade deseja colocar um

novo terminal de ônibus que fique eqüidistante dos pontos A, B e C, então sua localização deve ser o ponto T de

coordenadas ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25,

27 .

02. A equação da reta que representa a estrada reta e asfaltada que liga os pontos A e C é

0217yx =++ . 04. Se o prefeito da cidade deseja construir um

trecho de estrada reto, o mais curto possível, unindo o ponto B com a estrada reta e asfaltada que já liga os pontos A e C, então o comprimento mínimo desse trecho será de 2km.

08. O prefeito da cidade pretende, ainda, colocar um microônibus para conduzir os turistas por uma linha circular que passa pelos pontos A, B e C; a equação da circunferência que representa esta linha circular é

065y7xyx 22 =−−−+ . 16. A área da região triangular ABC, a partir dos

pontos A, B e C que formam o “Triângulo Turístico” da cidade é de 10km2.

32. (UDESC/2008) A equação que descreve a curva que passa pelos pontos A(0,3) e B(2,0) é:

a) 194

2

=+yx

b) 149

22

=+yx

c) 194

22

=+yx

d) 194

22

=−yx

e) 149

22

=−yx

33. (UDESC/2008) A soma do coeficiente angular

com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos A 1,5 e B 4,14 é: a) 4 b) -5 c) 3 d) 2 e) 5

34. (UFSC/2008) O artista holandês Mauritius Cornelis Escher, que dedicou toda a sua vida às artes gráficas, criou uma grande série de litografias impregnadas de geometrismo, figurativismo e ornamentalidade. Traduziu visualmente e de modo sugestivo problemas matemáticos e geométricos em seus edifícios inacabados ou em suas fabulações caracterizadas por uma relação impressionante entre superfície e espaço. Na figura dada, Verbum (Terra, Céu e Águia), julho de 1942, litografia de autoria de M. C. Escher, tem-se o hexágono regular ABCDEF com lado medindo 6 unidades de comprimento.

Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A equação da reta que contém o segmento AF é 033yx3 =−+ .

02. A área do hexágono da figura, em unidades de área, é 39 . 04. A equação da mediatriz do segmento AF é

02y x32 =− . 08. A equação da circunferência circunscrita ao hexágono da figura é 027y3612xyx 22 =+−−+ .

16. O apótema do hexágono da figura mede 2

33

unidades de comprimento.

33

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

y

•

x


Gabarito

- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - 10 A 13 D E D 04 09 A

1 D B B A E D D A C 03

2 B 18 03 09 B E 28 D C D

3 B 17 C E 34

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