Que sucede en el caso en el que las amplitudes no son iguales. w1w2 La representación esepctral....
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Mirar la posición en función del tiempo, en un punto fijo. Una oscilación 2 cos wt w Mirar la posición en función del espacio, para un tiempo fijo. Una oscilación cos(kx) 2 cos kx k Existe alguna relación entre w y k??
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Transcript of Que sucede en el caso en el que las amplitudes no son iguales. w1w2 La representación esepctral....
Mirar la posición en función del tiempo, en un
punto fijo. Una oscilación
2cos wt
w
Mirar la posición en función del espacio, para
un tiempo fijo. Una oscilación cos(kx)
2cos kx
k
Existe alguna relación entre w y k??
Modelo de juguete de una cuerda, de un polímero, del campo eléctrico, del agua. En fin, de cualquier continuo en el que sus componentes están unidas elásticamente. En este caso, solo para que la vida sea mas fácil, los nodos se mueven hacia arriba y hacia abajo.
En esta configuración, todas las fuerzas son cero. No hay tensión y la cuerda esta en equilibrio.
Se rompe el equilibrio, generando una perturbación en un punto. Pasa lo que todos sabemos, una suerte de efecto domino.
Cuanto tiempo tarda en “reaccionar” el nodo contiguo?Cuanto mayor la fuerza (k), mas aceleración, cuanto
mayor la masa (m), mas inercia. Por ende, la propagación de esta perturbación ((( la velocidad a la
que viaja la onda, veremos))) debería aumentar con k y disminuir con m.
El efecto domino no lo es tanto, los dominós no se caen (tienen inercia) y
Dos rasgos característicos mas: 1) Las masas tienen inercia
2) Las fuerzas son reciprocas (acción y reacción) tao, la perturbación de la primer masa perturba la
segunda y esta a su vez perturba la tercera (la onda que viaja), pero también la primera!. En ausencia de
fricción, este conjunto de resortes, se queda oscilando.
Pregunta: Sobre que nodos (olvidemos los del borde) hay una fuerza neta?
La fuerza ejercida sobre un nodo resulta de la suma de fuerzas de sus nodos contiguos. Cada una de estas fuerzas queda determinada por la “pendiente”,
es decir la derivada. Por ende, si la pendiente cambia (la derivada de la derivada, osea la derivada segunda) fuerzas habemus. A que corresponde
esto geométricamente.
La derivada segunda determina los puntos de curvatura (como el mínimo de un potencial armónico). Los puntos de mas curvatura, los de mas torsion, los
de mas derivada segunda - veremos porque vale la pena introducir esta noción – son donde hay mayor fuerza.
Que da la ecuación de movimiento? En el continuo, se vuelve mas fácil…
Se puede, por lo tanto, estimar, casi sin cuentas, la ecuación de onda. Esta es una ecuación nueva, que relaciona la derivada segunda (la curvatura) en
el espacio con la derivada segunda (la curvatura) en el espacio, estableciendo una física de propagación y tensión. Es una de las ecuaciones
mas ubicuas (fundamentales) de la física.
F m a
2 22
2 2
, ,u x t u x tkL
m x t
Versión “mas”correcta
2 2
2 2
, ,u x t u x tk m
x t
2v
2 22
2 2
, ,u x t u x tv
x t
( )f x vtCualquier solución de la forma
Funciona. Cualquier suma de estas soluciones también funciona. Todas
estas soluciones son ondas (hay muchas de ellas, viajeras, esféricas,
estacionarias que resultan básicamente de combinaciones
(interferencia) de estas funciones en alguna base.
Una solución de la ecuación de ondas en 1 y 2 dimensiones con
condición de borde (z=0 en la frontera). Suma de ondas viajeras
reflejadas.
2 22
2 2
, ,u x t u x tv
x t
cos( )kx wtTambién es una solución:
Siempre que
2 2 2k v w
wv
k T
La distancia recorrida en
un ciclo
El tiempo que tarda un ciclo
La velocidad es c para la luz en el vacío, LK/M para una cuerda, dP/dp para el sonido …
Mirar la posición en función del tiempo, en un
punto fijo. Una oscilación
2cos wt
w
Mirar la posición en función del espacio, para
un tiempo fijo. Una oscilación cos(kx)
2cos kx
k
Existe alguna relación entre w y k?? cos( )kx wt
wv
k T
La distancia recorrida en
un ciclo
El tiempo que tarda un ciclo
cos( )kx wtw
vk T
La distancia recorrida en
un ciclo
El tiempo que tarda un ciclo
Mismo w (el ciclo en un punto es
igual) pero k es mayor (el periodo mas
pequeño) entonces la velocidad
de propagación disminuye.
cos( )kx wtw
vk T
La distancia recorrida en
un ciclo
El tiempo que tarda un ciclo
Mismo v (el frente de onda se
propaga a la misma
velocidad) pero k es mayor (el
periodo mas pequeño)
entonces w aumenta, … o viceversa,
como gusten.
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
El espacio: Un medio donde la luz se propaga a cierta velocidad.
Una fuente de luz. Si es (como suele ser) coherente
y es (como suele ser) monocromática.El campo generado por la fuente en el espacio y en el tiempo es:
0cos( )A kx wt Entender el campo en todo el espacio puede ser difícil, en un punto del
espacio todo se vuelve mas sencillo, queda una función del tiempo y toda la información espacial (la distancia entre la fuente y el punto, la longitud de
onda de la fuente) se resume en un numero: cuanto cambia la fase.
Una región del espacio
donde observamos(la pantalla, un eje en
alguna dirección…)
d
2d
dkd
0cos( )dA wt
Noten que la geometría, el espacio y k, a quedado resumido en un cambio de fase. El campo eléctrico en el punto es igual al de la fuente con un cambio de fase que refleja el retraso.
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
0cos( )A kx wt
d
2d
dkd
La fase relativa queda determinada por la relación (el cociente) entre d y λ, en
realidad por el resto de esta división, ya que la parte entera de este cociente implica que antes de llegar, la onda a dado un numero
de ciclos completos, lo que no afecta la fase. Dicho de otra manera (verificar esto):
:d d m m
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
d1
2d
dkd
1 1 1
1 2 2
cos( )
cos( )
d
d
A wt
A wt
La suma de dos cosenos con una diferencia de
fase que queda determinada por una diferencia de fase en la fuente y una diferencia de camino.
Sumar cosenos, sabemosLa “dificultad” de un ejercicio de interferencia
suele ser un problema geométrico. De calcular ángulos y distancias.
.
1 1, A
d22 2, A
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
d1
2d
dkd
1 1 1
1 2 2
cos( )
cos( )
d
d
A wt
A wt
1 1, A
d22 2, A
1 2 1 2( ) ( ) 2i
dk d d
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
1 1, A
1 1, A
1 2 1 2( ) ( ) 2i
dk d d
2d
( )d d sen
90
( )2d sen
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
1 1, A
1 1, A
( )d d sen
( )2d sen
2 21 2 1 22 osI A A A A c
( )2 2
( )2 (2 1)
d senm Maximo
d senm Minimo
Un maximo
( )send
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
1 1, A
1 1, A
( )2 2
( )2 (2 1)
d senm Maximo
d senm Minimo
( )send
Un máximo en el centro
( )
msen
d
Aguita de colores
( )
msen
d
Aguita de colores
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
1 1, A
1 1, A
( )
( ) (2 1)
2
d senm Maximo
d sen mMinimo
( )send
( )2d sen
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
Si esta es la longitud de onda (notar que
es mas pequeña que d, entonces, encontramos, geométricamente, un
ángulo para el que los caminos entre las dos fuentes se separan justo en un ciclo.
Y si aumentamos la longitud de onda, como cambia ese ángulo?
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
Si esta es la longitud de onda (notar que
es mas pequeña que d, entonces, encontramos, geométricamente, un
ángulo para el que los caminos entre las dos fuentes se separan justo en un ciclo.
Y si aumentamos la longitud de onda, como cambia ese ángulo?
( )send
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
d
Cuando la longitud de onda es d, solo para 90 grados las distancias se
compensan. Para longitudes de ondas aun mas grandes (o de mas pequeños) no se ven otros máximos de interferencia.
( )send
En el centro los dos llegan con el mismo camino. A medida que aumenta el angulo el que sale de arriba tiene mas ventaja (i.e. un
camino mas corto). El limite de esto (la maxima ventaja es cuando el angulo es 90
grados, en cuyo caso la ventaja del de arriba es d. Si en este camino no llega a sacarle un
ciclo entero (una longitud de onda) no hay manera de sumarse en fase.
Con este artilugio de interferencia,no es posible combinar constructivamente dos
fuentes si la longitud de onda es mayor que la distancia.
( )
msen
d
Aguita de colores
d
( )
msen
d
Aguita de colores
d
( )
msen
d
Aguita de colores
d
( )
msen
d
Aguita de colores
d
Cuando d es mayor que la longitud de onda, para ningun angulo llegan a separarse en un ciclo
completo con lo que el unico maximo esta en el centro.
Interferencia aplicada:
Como emitir en la dirección que uno quiere?
Se dispone de dos fuentes que emiten luz monocromatica. Las fuentes pueden moverse y podemos ajustar su fase a voluntad. Queremos emitir en
la dirección norte sur, pero no en la dirección Este-Oeste. Que hacer?
Si están en fase, acabamos de ver, en el centro y hacia el norte la interferencia es constructiva. (mitad del problema resuelto – que esten en fase)
Para que en el eje horizontal la interferencia sea destructiva, la distancia ha de ser la mitad de la longitud de onda. (problema resuelto)
/ 2
2d
d
Para cualquier punto en este eje, la diferencia de
fase resulta:
2d
d
Que viene a ser lo mismo
SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, EXISTE ALGUNA OTRA
SOLUCION?
Agregarle una longitud de onda entera.
Esto resultara en algún cambio o será todo lo mismo.
/ 2 3 / 2
2 3 (mod 2 )d
d
Para cualquier punto en este eje, la diferencia de
fase resulta:
SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, EXISTE ALGUNA OTRA
SOLUCION?
( )sen md
A medida que d aumenta, esta ecuación tiene mas soluciones enteras (recordar que el seno vale como mucho uno) y por ende mas máximos.
SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, Y QUEREMOS TRANSMITIR EN LA
DIRECCION ESTE-OESTE. SE PUEDE?
2 2 0d
d
Para cualquier punto en este eje, la diferencia de
fase resulta:
Primer problema. Como hacer que en la dirección norte, en el centro de los dos emisores, donde el camino es necesariamente el mismo, la senal sea nula.
(desfasando las fuentes en medico ciclo. Primer mitad resuelta!)
La diferencia de camino en el eje x ha de completar el otro medio ciclo, por ende d=lambda/2
/ 2d
SUPONGAMOS QUE POR ALGUN MOTIVO LAS FUENTES HAN DE QUEDAR ALINEADAS EN EL EJE X, EXISTE ALGUNA OTRA
SOLUCION?
ULTIMO PROBLEMA… UN POCO MAS DIFICIL. COMO HACER PARA TRANSMITIR AL ESTE, PERO NO AL OESTE. O VICEVERSA.
Primer hecho, las fases han de ser distintas. Sino, para que no transmita a la izquierda no queda otra que hacer que la diferencia de camino sea media longitud de onda.
Interferencia destructiva corresponde a un desfasaje de pi, y constructiva de dos pi (o cero pi) la solucion, que el desfasaje este en el medio….
/ 4 / 4d
22 2d
d
22 2d
d
PROBLEMA… UN POCO MAS DIFICIL. COMO HACER PARA TRANSMITIR AL ESTE, PERO NO AL OESTE. O VICEVERSA.
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
VOLVAMOS AL PROBLEMA ORIGINAL. LA ANTENA QUE EMITE AL NORTE. COMO PODEMOS CONTROLAR EL ANCHO DEL MAXIMO?
Resolvimos un problema para agregar otro. El máximo es mas angosto, pero hay (como hubiésemos podido predecir), mas máximos…
Como resolverlo?
