1. ¿Que es el algebra?

El algebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos. esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica.Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala )??? (yebr) ( al-dejaber ), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

2. EXPRESIONES ALGEBRAICASUna expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. Ejemplo: Expresión algebraica Expresa el perímetro y el área de un terreno rectangular. Solución: Si suponemos que mide metros de largo e metros de ancho, tenemos que:

Perimetro Area

3. Definición de término y sus elementos

Los Términos Algebraicos son expresiones algebraicas que constan de un solo símbolo, no separados entre si por el signo (+) o (-)

Ejemplos de Terminos Algebraicos 4x - 5xy 2x²y - x³y²x

Varios Términos xy + 3x²z - 4yz Las Partes que lo Forman son:

Ejemplo: 2x²y Símbolo [ + ] Coeficiente [ 2 ] Literal [ x ] Exponente [ ² ] El Coeficiente: es el Valor que esta Multiplicando a la Literal

4. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente. Ejemplos: 2x2y3 es semejante a - 23 x2y3-3x5y es semejante a 2yx5

4xy1/2 es semejante a - 23 y1/2x4x2y no es semejante a 3xy2

Para que dos términos sean semejantes, deben ser del mismo género de suma, por ejemplo: 2 manzanas y 4 manzanas son semejantes, de hecho se pueden reducir: 2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas

De igual manera, 3x2 y 5x2 son términos semejantes, también se pueden sumar:3x2 + 5x2 = 8x2Pero 3 peras y 2 piñas, no son términos semejantes.

1) Reducción de términos semejantes: Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los mismos. Se llama reducir términos semejantes a sumarlos o restarlos según cada caso. Los términos no semejantes, no pueden sumarse ni restarse. Ejemplo:2) Reducir la siguiente expresión algebraica:2x2 + 5x + 3 - 4x2 + 2x - 7 - 8x + 2x2 - 3 =

Si observas la expresión, encontramos tres tipos de términos:1) x22) x3) Términos independientes (números solos, sin variable)

Así que sumaremos cada uno de esos términos2x2 - 4x2 + 2x2 = ( 2 - 4 + 2 )x2 = 0x2 5x + 2x - 8x = ( 5 + 2 - 8 )x = - 1x 3 - 7 - 3 = ( 3 - 7 - 3 ) = -7 Es decir: 2x2 + 5x + 3 - 4x2 + 2x - 7 - 8x + 2x2 - 3 = - x - 7

5. POLINOMIOSLos polinomios son expresines algebraicas de la forma:P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

P(x) = 5x4 − 3x3 + 2x2 + 7x + 6Los coeficientes del polinomio son los números que aparece multiplicando a la variable.Al témino sin x se le llama término independiente.

Tipos de polinomiosMonomioEs un polinomio que consta de un sólo monomio.P(x) = 2x2

BinomioEs un polinomio que consta de dos monomios.P(x) = 2x2 + 3xTrinomioEs un polinomio que consta de tres monomios.P(x) = 2x2 + 3x + 5

Polinomio de grado ceroP(x) = 2Polinomio de primer gradoP(x) = 3x + 2Polinomio de segundo gradoP(x) = 2x2 + 3x + 2Polinomio de tercer gradoP(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2Polinomio de cuarto gradoP(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2

Polinomio nuloEl polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.Polinomio homogéneoEl polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.P(x) = 2x2 + 3xyPolinomio heterogéneoLos términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.P(x) = 2x3 + 3x2 − 3 Polinomio completoUn polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3 Polinomio ordenadoUn polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomios igualesDos polinomios son iguales si verifican:1Los dos polinomios tienen el mismo grado.2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantesDos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Grado de un PolinomioEl grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO EJEMPLOPRIMER GRADO P(x) = 3x + 2SEGUNDO GRADO P(x) = 2x2+ 3x + 2TERCER GRADO P(x) = x3− 2x2+ 3x + 2

6. Operaciones con polinomiosSuma de polinomiosPara sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4xP(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x) 2Agrupamos los monomios del mismo grado.P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 33Sumamos los monomios semejantes.P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4xP(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomiosMultiplicación de un número por un polinomioEs otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 Multiplicación de un monomio por un polinomioSe multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomiosP(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4xSe multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) == 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = Se suman los monomios del mismo grado.= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

División de polinomiosResolver la división de polinomios:P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1 P(x) : Q(x)A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.x5 : x2 = x3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.8x2 : x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

7. Productos notablesSabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.Demostración:Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2

8. FACTORIZACIÓNAntes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.BinomiosDiferencia de cuadradosSuma o diferencia de cubosSuma o diferencia de potencias impares iguales

TrinomiosTrinomio cuadrado perfectoTrinomio de la forma x²+bx+cTrinomio de la forma ax²+bx+cPolinomiosFactor comúnTriángulo de Pascal como guía para factorizarCaso I - Factor comúnSacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomioFactor común por agrupación de términos

y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.Factor común polinomioPrimero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

Caso II - Factor común por agrupación de términosPara trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

Ejercicio # 2 del algebra am - bm + an - bn =(am-bm)+(an-bn) =M(a-b)+ n(a-b =(a-b)(m+n)Caso III - Trinomio Cuadrado PerfectoSe identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.Caso IV - Diferencia de cuadradosSe identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

O en una forma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónSe identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + cSe identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

Ejemplo:

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la nLa suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + cEn este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x2) :

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :

:Queda así terminada la factorización :

:Caso IX - Cubo perfecto de TetranomiosTeniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

Caso X - Divisores binómicosSu proceso consiste en los siguientes pasos.Posibles ceros

Artículo principal: Divisores binómicosEn este primer paso los posibles ceros es el cociente de la división de los divisores del término independiente[1] entre los divisores del coeficiente principal[2] y se dividen uno por uno.Nota: Para un mejor entendimiento, este método se explicara con el siguiente ejemplo.

Si el enunciado es este:

Se ve que el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede de la siguiente manera:

Donde se puede notar que como se menciono anteriormente cada divisor de arriba fue divido por el de abajo; es decir, que el uno se dividió entre uno; el dos se dividió entre uno; el tres se dividió entre uno y por último el seis se dividió entre uno.Regla de Ruffini (división algebraica)Ahora se divide por [regla de Ruffini], donde se toma como dividendo los coeficientes del enunciado y como divisor los posibles ceros y se prueba con la [regla de Ruffini] hasta que salga la división exacta (es decir de residuo cero).

Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.Dos términosAhora, nuestra respuesta consta de 2 términosPrimer términoEl -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 . eso quiere decir que nuestro primer término es x+2Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la forma x+a .Segundo términoEl segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el segundo término es x2-x-3 .Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debe descomponer.Resultado finalEl resultado final es el el siguiente:

Nota: Se debe dejar así, no se debe multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los pasos.Caso XI Triángulo de Pascal y factorizaciónConociendo el desarrollo del [Triángulo de Pascal], podemos obtener factorizaciones muy sencillas.

Así por ejemplo, tenemos:Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

El principio es muy similar al que genera la primera fórmula notable, o trinomio cuadrado perfecto.