INGENIERIA ELECTRONICAFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICAUNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFUNCION LOGARITO COMPLEJAEnanlisis complejo, una funcinlogaritmo complejoes una "funcin inversa" de la funcinexponencial compleja, de la misma manera que ellogaritmo naturallnxes la funcin inversa de lafuncin exponencialex. Entonces, un logaritmo dezes unnmero complejowtal queew=z.1La notacin para talweslogz. Pero debido a que todo nmero complejozdistinto de cero tiene infinitos logaritmos distintos,1hay que tener cuidado para darle a esta notacin un significado no ambiguo.Siz=reiconr>0 (forma polar), entoncesw= lnr+ies un logaritmo dez;sumndole mltiplos enteros de 2ise obtienen todos los dems.Problemas con la inversin de la funcin exponencial complejaPara que una funcin tenga unafuncin inversa, esta debe serinyectiva, esto es, distintos argumentos de la funcin han de dar lugar a distintos resultados de la misma, sin repeticin. Pero la funcin exponencial compleja no cumple esta propiedad:ew+2i=ewpara cualquierw, y la adicin deiawtiene el efecto de rotarewen el sentido contrario de las agujas del relojradianes. Pero esto es incluso peor, la lista infinita de nmeros

Que forma una secuencia de puntos equiespaciados a lo largo de la recta vertical en el plano complejo, toda ella da lugar al mismo nmero cuando se le aplica la funcin exponencial. Entonces, la funcin exponencial no tiene una funcin inversa en el sentido usual.Existen dos soluciones para este problemaUna es restringir el dominio de la funcin exponencial a una regin en la queno contenga cualesquiera dos nmeros que difieran en un mltiplo entero de 2i: esto lleva de forma natural a la definicin deramificacionesde logz, las cuales son ciertas funciones que dan un slo valor del logaritmo a cada punto de sus dominios. Esto es anlogo a la definicin desin1xen [1,1] como la funcin inversa de la restriccin desinen el intervalo [/2,/2]: hay muchos nmeros realescon sin=x, pero se escoge (de una forma ms o menos arbitraria) los0del intervalo [/2,/2].Otra forma de resolver esta indeterminacin es ver al logaritmo como una funcin cuyo dominio no es una regin delplano complejo, sino de unasuperficie de Riemannquerecubreel plano complejo (sin el cero) de una forma infinito-a-1.Las ramificaciones tienen la ventaja de que pueden ser evaluadas en nmeros complejos. Por otro lado, la funcin sobre la superficie de Riemann tiene la elegancia de contenertodaslas ramas de logzy no requiere la eleccin de una ramificacin en particular para su definicin.

Definicin del valor principalPara cada nmero complejozno nulo, elvalor principalde Logzes el logaritmo cuyaparte imaginariacae en el intervalo (,]. La expresin Log0 no est bien definida, pues no existe ningn nmero complejowque satisfagaew=0.Hay otras posibles maneras de definir el valor principal.Para definir una frmula para Logz, se empieza con la representacin dezenforma polar,z=rei. Dadoz, la forma polar no es nica debido a la posibilidad de sumar un mltiplo entero de 2a, pero puedehacersenica bajo el requisito de quecaiga en el intervalo (,]; estese denomina valor principal del argumento, y normalmente se escribe comoArgz. Entonces, el valor principal del logaritmo1puede escribirse como

Por ejemplo, Log(-3i)=ln3i/2.Otra manera de definir a Logzes como el inverso de la funcin exponencial compleja definida sobre una regin restringida del plano complejo, como en la seccin previa. La banda horizontalSde nmeros complejosw=reitales que