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Patricio Cendoya HernándezIngeniero Civil (U. de C.). Dr. Ingenierode Caminos, Canales y Puertos (U.P.C.).

Departamento de Ingeniería Civil,Facultad de Ingeniería, Universidad de

Concepción, Concepción, Chile.

Francisco Riquelme CepedaIngeniero Civil (U. de C.). Becario de

Investigación. Departamento de Mecáni-ca de los Medios Continuos y Teoría deEstructuras, Escuela de Ingenieros de

Caminos, Canales y Puertos de Madrid.Universidad Politécnica de Madrid,

España.

RESUMEN

En este artículo se presenta y aplica alcaso particular de torsión elástica una téc-nica numérica que no necesita de la gene-ración de mallas para resolver problemasde la mecánica computacional denomina-da el método de los puntos finitos (MPF).Este método se basa en combinar aproxi-maciones de mínimos cuadrados ponde-rados locales con el método de colaciónpuntual para evaluar las ecuaciones inte-grales que gobiernan al problema (Oñateet al., 1996). Se presenta un resumen de laformulación matemática básica del mismoy se desarrolla su aplicación computacio-nal al problema de torsión elástica de unabarra prismática de sección cuadrada con-siderando diferentes discretizaciones depuntos finitos (grillas). Finalmente se en-tregan las principales conclusiones obte-nidas a partir de la solución numérica delproblema analizado mediante la utiliza-ción del MPF.

1 INTRODUCCION

Dentro de los métodos numéricos másutilizados para la solución de problemasde contorno se encuentra el Método de losElementos Finitos (MEF), el que ha sidoutilizado con éxito en la aproximaciónnumérica de una gran cantidad de fenó-menos físicos presentes en diversas disci-plinas científicas.

En el MEF, se realiza una división deldominio en subdominios de tamaño finitono intersectantes entre sí (elementos). Den-tro de cada uno de ellos se define unaaproximación del tipo polinomial de la

variable o variables de estado que definenal problema en cuestión. El proceso desubdivisión del dominio espacial, tempo-ral o de ambos en el caso de problemasdependientes del tiempo da lugar a lo quese denomina malla de elementos finitos.Dependiendo de la geometría espacial deldominio de interés o del grado de aproxi-mación que se desee para la variable deestado dentro del dominio de aproxima-ción (elemento), el proceso de generaciónde la malla puede llegar a ser muy lento yde un alto costo computacional, llegandomuchas veces a ser más lento que la solu-ción numérica. En el caso particular deproblemas no lineales, la definicióngeométrica de la malla puede verse altera-da durante el proceso de análisis (por ejem-plo por colapso de nodos), siendo necesa-rio generar nuevas mallas (remallado) paraobtener una solución razonable con losconsiguientes costos asociados.

En este contexto y en el transcurso delos últimos años, se han desarrollado téc-nicas numéricas que no requieren de la ge-neración de mallas. Estas técnicas deno-minadas “métodos sin malla” han dadoun nuevo impulso al estudio de problemasde complejos de alto costo computacionaly han abierto una nueva puerta de investi-gación científica en el campo de los méto-dos numéricos.

Los primeros indicios de métodos sinmalla se encuentran en la década del 70,con el Smoth Particle Hydrodynamics(SPH), dado a conocer por Lucy L.B.(Lucy, 1997). Junto con él, surge elGeneralized Finite Difference (GFD)(Belytschko et al., 1994), que pretendía

APLICACION DEL METODO DE LOS PUNTOS FINITOSA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE TORSIÓN ELAS-TICA EN BARRAS PRISMATICAS RECTANGULARES

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aprovechar las características de las diferencias finitas, peroindependizándolas de grillas conformes, que hasta el momentoeran indispensables para su aplicación. Enlazado con SPH naceel Reproducing Kernel Particle Method (RKPM) (Belytschko etal., 1996), el cual propone correcciones a las funciones de formade SPH que, permiten mejorar la precisión en zonas cercanas alos contornos.

En 1992, Nayroles (Nayroles et al., 1992) comienza una nuevalínea de investigación basada en la técnica de Moving LeastSquare (MLS), proponiendo el método denominado DiffuseElement Method (DEM), que pretendió ser una generalizacióndel Método de los Elementos Finitos (FEM), sin embargo, lasnumerosas simplificaciones hechas por el autor hicieron surgirmuchas criticas al respecto, aunque sus ventajas frente a FEMhicieron que se siguiera investigando al respecto.

Producto de sucesivas mejoras hechas al DEM (Belytschkoet al., 1996), surge el Element Free Galerkin Method (EFGM),que solucionó los inconvenientes en el cálculo de las derivadas,aunque la forma de hacerlo incrementó notoriamente el costocomputacional de la técnica. Dentro de la misma línea de inves-tigación, Duarte (Duarte et al., 1996) hace un importante aporte alos fundamentos de las aproximaciones MLS, al reconocer a lasfunciones de forma generadas de esta manera como un caso par-ticular de la Partición de la Unidad. A partir de estos trabajossurgieron el método de hp Clouds y el Partition of Unity ElementMethod (PUFEM).

Atluri (Atluri et al., 2000), da lugar a dos nuevas familias demétodos, el primero es el Meshless Local Petrov-Galerkin(MLPG) que utiliza MLS y el Local Boundarie Integral Equations(LBIE), que permite evaluar integrales fácilmente, pues éstas sonevaluadas en círculos en 2D y esferas en 3D.

El Método de los Puntos Finitos (FPM) surge a partir de lapropuesta de Oñate (Oñate et al , 1996), el que desarrolla lascondiciones básicas que una aproximación numérica debe cum-plir para ser considerada una técnica sin malla. Estas condicio-nes son que las incógnitas y sus derivadas deben poder ser repre-sentadas en términos de las coordenadas de un conjunto de pun-tos pertenecientes al dominio de análisis y, en caso de ser necesa-ria la evaluación de integrales, esta debería ser realizada inde-pendientemente del procedimiento de interpolación.

2 EL METODO DE LOS PUNTOS FINITOS

En este método, la solución numérica se obtiene operandodirectamente sobre la ecuación diferencial y las condiciones decontorno que definen al problema en forma semejante al métodode las diferencias finitas. Sobre el dominio de interés, se definela posición espacial arbitraria de un numero finito de puntos nointersectantes entre sí, en torno a cada punto se definen nubes depuntos (clouds) que conforman el dominio de aproximación parala variable de estado en dicho punto, ver figura 1. Este punto(nodo) se denomina estrella y el resto de los puntos contenidos

en la nube se llaman nodos vecinos, ver figura 2. Se aprecia queun mismo nodo puede ser estrella o vecino dependiendo de lanube que se considere. Se prefiere la utilización de nubes circu-lares o discos en el caso de dominios bidimensionales y de esfe-ras en tres dimensiones (Oñate et al., 1996).

Figura 1. Definición de dominios locales (nubes) en unadiscretización del continuo con puntos finitos.

Figura 2. Dominio de aproximación o nube Ω. Nodo estrella i ynodos vecinos j.

Considerando las exigencias de las ecuaciones diferencialesgobernantes del problema a resolver y la calidad deseada en laaproximación de las variables de estado, dentro de cada dominiode interpolación (nube) se define una base de aproximación yuna función de ponderación que tienen validez únicamente den-tro de ella. El rol de esta función es la de ponderar la importanciadel valor de las variables de estado en los nodos vecinos respectoal valor de las variables en el nodo estrella. La utilización de estafunción y cómo se defina es fundamental, pues de ella dependenalgunas propiedades de estabilidad y convergencia del método.

Finalmente, mediante una colocación puntual sobre cada puntode la discretización espacial se genera un sistema de ecuacioneslineales, en donde cada ecuación representa el planteamiento delas condiciones de balance en el punto de colocación. La solu-ción del sistema de ecuaciones permite conocer el valor nodal dela o de las variables de estado en los puntos de colocación, obte-niéndose una aproximación discreta a la solución del problema.

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3 FORMULACION MATEMATICA BASICA

Sea Ω el dominio de aproximación (nube) de una funciónu(x) y sea s

j con j=1,2Λ,n una colección de n puntos con coorde-

nadas xj = (x

j , y

j)T ∈ Ω

i. La función incógnita u(x) puede aproxi-

marse dentro de Ωi por:

ˆm

u(x) ≅ u(x) = ∑ pk(x) · α

k = p(x)T · α (1)

k=1

En donde:

p(x) = [p1(x) p

2(x) Λ p

m(x)]T (2)

Son los elementos de la base de aproximación y pueden per-tenecer a cualquier familia, por la simplicidad que otorgan lasfunciones polinómicas se prefiere su utilización. Para un domi-nio bidimensional de aproximación Ω

i (ver figura 2) bases com-

pletas de primer y segundo orden se definen de acuerdo con eltriángulo de Pascal (Riquelme, 2003):

(x-xi) (y-y

i)

p(x)T = [ 1 –––––– –––––– ] para (3) m=3d

maxd

max

(x-xi) (y-y

i) (x-x

i)·(y-y

i) (x-x

i) (y-y

i)

p(x)T = [1 –––– –––– ––––––––– –––– ––––] para (4) m=6d

maxd

max2 d

max2 d

maxd

max2

Y α es un vector que contiene a las constantes αk

α = [α1 α

2 ... α

m]T (5)

La función u(x) puede ahora colocarse en los n puntos quepertenecen a Ω

i generando:

(6)

En donde uhj = u(x

j) son los valores incógnitas buscados de la

función u(x) en el punto j y ûj = û(x

j) son los valores aproxima-

dos. En el MEF el número de puntos de interpolación se escogeigual al número de puntos de la base, de manera que m=n. Resul-tando

α = C-1 · uh (7)

El cual, al reemplazarlo en ecuación (1), produce:

ˆn

u ≅ u = pT · C-1·uh = NT · uh = ∑ Nij · uh

j(8)

j=1

En donde Nij son las funciones de forma del nodo j del elemento

i y tiene una serie de propiedades ampliamente conocidas en elMEF.

Si m>n, C ya no es una matriz cuadrada y la aproximaciónno puede ajustarse a todos los valores uh

j. Este problema puede

resolverse minimizando la suma de las distancias al cuadrado delerror en cada punto ponderado con una función ϕ(x

j) como:

n

ˆJ = ∑ ϕ (xj) · (uh

j - u

j)2 (9)

j=1

Se debe notar que para una función de ponderación ϕ (x)=1se reproduce el método de mínimos cuadrados estándar (LSQ).

La forma más común de definir las funciones de peso es ha-ciendo que esta tome un valor unidad en la proximidad del puntoi (denominado nodo estrella) donde se calcula la función o susderivadas y que sea decreciente al alejarse de éste, hasta hacersecero fuera del dominio de aproximación Ω

i.

En este artículo se adopta como función de peso (Riquelme,2003):

(10)

La cual depende de la distancia dj = ||x

j - x

i|| entre el nodo

estrella y el vecino, dmaxi

es la distancia máxima en el interior deΩ

i (ver figura 2) y k

r =3.5 es el denominado el factor de apunta-

miento que define la forma de la función.

Igualando a cero las derivadas parciales de (9) con respecto alos elementos de α, se obtiene:

α = [CT · W · C]-1 · [CT · W]· uh (11)

Definiendo:

–C-1 = [CT · W · C]-1 · [CT · W] (12)

Se llega ha:

–α = C-1 · uh (13)

En donde, W define a la matriz que contiene a los valores dela función de peso evaluada en cada uno de los puntos del domi-nio de aproximación Ω

i.

(14)

4

Reemplazando en la ecuación (1) se llega a:

– n

u ≅ û = pT · C-1 · uh = NT · uh = ∑ Nij · uh

j(15)

j=1

En donde, las nuevas funciones de forma N2j del nodo j, se

definen por

m

– –Ni

j(x) = ∑ p

k(x) · c-1

kj (x) = pT (x) · C-1 (16)

K=1

Se debe tener presente que de acuerdo con el carácter de mí-nimos cuadrados de la aproximación

u(xj) ≈ û (x

j) ≠ uh

j(17)

es decir, los valores locales de la función de aproximación nocoinciden con los valores incógnita en cada punto.

4 OBTENCION DE LAS ECUACIONES DE LADISCRETIZACION

Consideremos un problema gobernado por una ecuación di-ferencial y sus respectivas condiciones de contorno de Neumanny de Direchlet sobre :

A[u(x)] - b(x) = 0 en ΩB[u(x)] - t(x) = 0 en Γ

t(18)

u(x) - up = 0 en Γ

u

En las expresiones anteriores A y B son operadores diferen-ciales, u(x) es la incógnita del problema y b(x) y t(x) representanfuerzas externas o fuentes actuando sobre el dominio Ω y sobreel contorno Γ

t. Finalmente u

p representa al vector de desplaza-

mientos forzados o prescritos sobre el contorno Γu.

El procedimiento más general para resolver numéricamenteeste sistema de ecuaciones diferenciales es mediante la utiliza-ción del método de los residuos ponderados (MRP), en el cual lafunción incógnita u(x) se aproxima por una función de aproxi-mación û(x). La ecuación diferencial de gobierno (18) se trans-forma en una expresión integral equivalente multiplicando lasexpresiones diferenciales A y B por funciones de peso e inte-grando sobre el dominio de definición de cada ecuación.

La elección de las diferentes funciones de peso en la expre-sión del MRP da lugar a diferentes formas de las ecuaciones de ladiscretización. Utilizando el método de colocación puntual, elcual consiste en fijar n puntos en el intervalo de definición delproblema y adoptar como función de peso la función Delta deDirac, se llega a un sistema de ecuaciones

A[û(xi)] - b(x

i) = 0 en Ω

B[û(xi)] - t(xi) = 0 en Γ

t(19)

û(xi) - u

p = 0 en Γ

u

La aproximación de la función û(x) se realiza de acuerdo a laecuación (16) y esto conduce a un sistema de ecuaciones linea-les de la forma:

K · uh = f (20)

En donde el vector uh contiene a las incógnitas del problema,f es un vector que contiene las contribuciones de los términos defuerza b(x) y t(x) y de los desplazamientos prescritos y la matrizu

p se denomina matriz de rigidez.

5 APLICACION AL PROBLEMA DE TORSION

A continuación se presenta la aplicación del MPF al proble-ma de torsión de barras elásticas prismáticas de sección rectan-gular. Para ello considérese, una barra de material elástico y li-neal sometida a un momento torsor M

T constante alrededor del

eje del elemento. La sección transversal es cuadrada de área A yde superficie S, ver figura 3.

De acuerdo a las hipótesis de Saint Venant (Timoshenko etal., 1970) las componentes del campo de desplazamientos, sepueden escribir como:

ux ≡ u = -β · y · z (21)

uy ≡ v = β · z · x (22)

uz ≡ w = β · φ (x, y) (23)

En donde β es el ángulo de torsión por unidad de longitud y φse denomina función de alabeo y es una característica de la geo-metría de la sección .

Las componentes no nulas del campo de deformaciones seexpresan como:

∂w ∂u ∂φ2∈

xz = ––– + ––– = β (––– - y) (24)

∂x ∂z ∂x

∂w ∂v ∂φ2∈

yz = ––– + ––– = β (––– - x) (25)

∂y ∂z ∂y

Aplicando las ecuaciones constitutivas de la elasticidad li-neal, se obtienen las componentes no nulas del tensor de tensio-nes:

∂φτ

xz = Gβ(––– - y) (26)

∂x

5

∂φτ

yz = Gβ(––– - x) (27)

∂y

Aplicando las condiciones de equilibrio, considerando queno existen fuerzas por unidad de volumen y que el tensor de ten-siones tiene únicamente dos componentes se llega a:

∂τzx

∂τzy–––– + –––– = 0 (28)

∂x ∂y

Sustituyendo las ecuaciones (26) y (27) en (28) se obtiene laecuación de equilibrio interno del sistema en términos de la fun-ción de alabeo.

∇ 2φ = 0 en A (29)

Además, se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio su-perficial definidas por el vector de tracciones:

tz = τ

zx· n

x + t

zy · n

y = 0 en S (30)

reemplazando (26) y (27) en (30) se obtiene la ecuación (31) endonde n = (n

x , n

y)T corresponde al vector normal a la superficie

de la barra.

∂φ ∂φ(––– - y) · n

x + (––– + x) · n

y = 0 en S (31)

∂x ∂y

Adicionalmente, el ángulo de torsión β se define por:

MTβ = –––– (32)

D

Con:

∂φ ∂φD = G∫

A(x2 + y2 + ––– - y –––) dA (33)

∂y ∂x

la rigidez torsional de la barra.

El problema de torsión de una barra prismática de secciónrectangular también puede ser expresado en función de la fun-ción de tensión Ω, realizando el siguiente cambio de variables:

Φ = ψ - 1/2(x2 + y2) (34)

Luego el problema de torsión, se puede replantear como:

∇ 2Φ = -2 en A(35)

Φ = 0 en S

Cuya solución analítica se conoce (Reismann, 1991) y estádefinida por:

a2 8a2 ∞ (-1)n cosh(λny)

Φ = ––– - x2 - –––– ∑ –––––––– ––––––––– cos (λnx) (36)

4 π3n=0 (2n+1)3 cosh(λ

na/2)

6 FORMULACION DEL MPF EN TORSION ELASTI-CA

La función de aproximación definida en ecuación (15), paraeste caso se transforma en:

ˆ –Φ(x

i) = p(x

i)T · C-1 (x

i) · Φh (x

i) (37)

Con las funciones de forma definidas en la ecuación (16),por:

m –Nij (x) = ∑ p

k (x) · c-1

jk (x

i) (38)

k=1

Reemplazando en la función de aproximación, se tiene:

ˆn –Φ(x

i) = ∑ c-1

1k (x

i) · Φh

j (x

i) (39)

j=1

Las derivadas cartesianas de esta función considerando la basecompleta de segundo orden de (4), son:

ˆ 1 n –Φ,x(x

i) = ––––– ∑ c-1

2j (x

i) · Φh

j (x

i) (40)

dmaxi

j=1

ˆ 2 n –Φ,xx

(xi) = ––––– ∑ c-1

3j (x

i) · Φh

j (x

i) (41)

dmaxi

2j=1

ˆ 1 n –Φ,xy

(xi) = ––––– ∑ c-1

4j (x

i) · Φh

j (x

i) (42)

dmaxi

2j=1

ˆ 1 n –Φ,y(x

i) = ––––– ∑ c-1

5j (x

i) · Φh

j (x

i) (43)

dmaxi

j=1

ˆ 2 n –Φ,yy

(xi) = ––––– ∑ c-1

6j (x

i) · Φh

j (x

i) (44)

dmaxi

2j=1

Figura 3. Barra prismática sometida a un momento torsor

6

En donde el subíndice i y la dependencia de la matriz C y elvector uh al punto estrella x

i hacen énfasis en el hecho de que la

aproximación es local y válida en torno del punto de colocación,correspondiente al nodo estrella x

i.

Al reemplazar las expresiones de las derivadas parciales en laecuación de gobierno del problema de torsión, se obtiene:

En el interior del dominio y entorno al nodo estrella xi :

∇ 2Φ = -2

= Φ,xx

+ Φ,yy

(45)

2 n – –= –––––– ∑ (c-13j (x

i) + c-1

6j (x

i)) · Φh

j = -2

dmaxi

j=1

Con j variando de uno al numero n de puntos contenidos enel dominio de aproximación Φ

i.En forma compacta para el nodo

i, se tiene:

kij · Φh

j = ƒ

i (46)

En donde:

2 – –kij = –––––– (c-1

3j (x

i) + c-1

6j (x

i)) (47)

dmaxi

2

ƒi = -2

Para puntos ubicados en la frontera del dominio, se debe sa-tisfacer que:

Φ = 0n

–= ∑ c-11j (x

i) · Φh

j = 0 (48)

j=1

Con lo que para estos puntos (xi ∈ Γ

u ≡ S) se obtiene:

–kij = c-1

1j (x

i)

(49)

ƒi = 0

El planteamiento anterior genera un sistema de ecuacioneslineales de orden igual al número de puntos finitos definidos parael dominio Ω y cuya solución entrega los valores incógnitos de lafunción de tensión Φ. Un aspecto fundamental en la calidad de lasolución numérica dice relación con la cantidad y distribución delos puntos finitos incluidos en la aproximación local dentro decada nube Ω

i . Cabe señalar que dado que la base completa es de

segundo grado, el tamaño de la nube debe asegurar que a lo me-nos contenga seis puntos, sin embargo esto no asegura la obten-ción de una buena solución numérica. Estudios desarrollados por

Riquelme (Riquelme, 2003), Oñate ( Oñate et al., 1996) sobregrillas estructuradas permiten concluir que en nubes circulares elradio óptimo de la nube debe está en torno de 2 a 2.5 veces ladistancia entre nodos, con este criterio se asegura la inclusión dea lo menos 3 nodos por eje en cada nube, ver figura 4.

Figura 4. Nubes de radio igual a dos veces la distancia h entrenodos.

7 RESULTADOS MEDIANTE MPF

A continuación se presentan los resultados obtenidos para lasolución numérica del problema de torsión de una barra prismá-tica de sección cuadrada de lado 2. En la figura 5, se presentandos grillas estructuradas de 16 y 529 puntos utilizadas en lamodelación mediante el MPF.

Figura 5. Grillas de puntos finitos. (a) de 16 puntos y (b) de 529puntos

En la figura 6, se presenta un análisis de la convergencia de lafunción de tensión en el nodo central de la sección y su compa-ración con la solución teórica (Reissmann, 1991) considerandodistintas densidades de grillas.

En la figura7, se presenta la distribución de la función de ten-sión sobre la sección transversal para la discretización de 529puntos con nubes que contienen a lo menos 9 puntos.

7

Figura 7. Representación grafica de la función de tensión consi-derando una discretización de 529 puntos finitos.

Finalmente en la figura 8, se presenta la distribución de lafunción de alabeo de la sección cuadrilátera, considerando unadiscretización de 529 nodos con nubes que contienen a lo menos9 puntos.

Figura 8. Representación gráfica de la función de alabeo consi-derando una discretización de 529 puntos finitos.

Mas ejemplos sobre la aplicación del método de los puntosfinitos a problemas de las elasticidad lineal tanto en condicionesde carga estática como dinámica se pueden encontrar en el traba-jo de Riquelme (Riquelme, 2003)

Figura 6. Convergencia de la solución numérica para grillas estructuradas de 16, 25,49, 121 y 529 puntos finitos

8

8 CONCLUSIONES

Las bondades de la utilización del MPF se traducen en que laaproximación es independiente de la construcción de una mallainicial, actividad que por lo general va asociada a operaciones dealto costo computacional, crecientes en la medida de la comple-jidad y magnitud del problema a modelar. Los buenos resultadosobtenidos tanto en la frontera como en interior del dominio, in-cluso con densidades bajas de puntos lo transforman en un méto-do eficiente y competitivo en comparación con el MEF para elcaso de problemas de la elasticidad lineal, tal como el estudiadoen el presente artículo.

Desde el punto de vista algorítmico, si bien es cierto, la ma-triz de rigidez por nube en general resulta ser no simétrica (pues-to que n>m) a nivel global se obtienen sistema de ecuacionescuadrados que desde el punto de vista de la solución numéricapresentan igual costo computacional que en el caso de utilizar elMEF. Cabe señalar que en el presente estudio se considero úni-camente la utilización de grillas estructuras, sin embargo la utili-zación de grillas arbitrarias no presenta mayores dificultades cuan-do se emplean bases adimensionales. Finalmente se debe señalarque para el problema de torsión elástica se obtienen buenos re-sultados utilizando bases cuadráticas y nubes de radio 2.5h.

La aplicación del método a problemas de mayor orden talcomo el de flexión de placas y análisis no lineal de estructuras esparte de actuales investigaciones que se llevan dentro del Depar-tamento de Ingeniería Civil de nuestra Universidad.

9 REFERENCIAS

Atluri S., Zhu T. (2000). New concepts in meshless methods.Int. J. Num. Meth. Eng. 47(1-3):537-556.

Belytschko T., Kroungauz Y., Organ D., Fleming M., Krysl P.(1996). Meshless methods: An overview and recentdevelopments. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 139:3-47.

Duarte C., Oden J. (1996). An h-p adaptative method using clouds.Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 139: 237-262.

Lancaster P., Salkauskas K. (2001). Surfaces generated by movingleast-squares methods. Int. J. Numer. Meth. Engrg. 51:1089-1100.

Liszka T., Orkisz J. (1980). The finite difference method atarbitrary iregular gridsand its application in applied mechanics.Comput. Struct. 11:83-95.

Liu W., Jun S., Zhang Y. (1995). Reroducing kernel particlemethod. Int. J. Num. Meth. Fluids. 20:1081-1106.

Liu W., Li S., Belystschko T. (1997). Movingleast-squaresreproducing kernels methods. (I) Methodology andconvergence. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 143: 113-154.

Löhner R., Sacco C., Oñate E., Idelsohn S. (2002). A finite pointmethod for compressile flow. Int. J. Numer. Meth. Engrg.53:1765-1779.

Lucy L. (1997). A numerical approach to the testing of the fissionhypothesis. The Astronomical Journal, 82(12): 1013-1024.

Nayroles B., Touzot G., Villon P. (1992). Generalizing the finiteelement method: diffuse approximation and difuse elements.Comput. Mech. 10:307-318.

Oñate E., Idelsohn S., Zienkewicz O., Taylor R. (1996). A finitepoint method in computational mechanics. Applications toconvective transport and fluid flow. Int. J. Num. Meth. Eng.39:3839-3866.

Oñate E., Idelsohn S., Zienkewicz O., Sacco C. (1996). Astabilized finite point method for analysis of fluid mechanicsproblems. Comput Methods Appl. Mech. Engrg. 139:315-346.

Oñate E., Perrazo F., Miquel J. (2001). A finite point method forelasticity problems. Computers and Structures. 79:2151-2163.

Press W., Flannery B., Teukolsky S., Vetterling W. (1992).Numerical Recipes in Fortran. The Art of ScientificComputing. Cambridge University Press. New York.

Riquelme C., Francisco (2003). El Método de los Puntos Finitosen Problemas de Elastodinámica. Memoria de Titulo Depar-tamento de Ingeniería Civil, Universidad de Concepción.

Reismann H., Pawlik P. (1991). Elasticity. Theory andapplications. John Wiley & Sons. New York.

Swegle J., Hicks D., Attaway S. (1995). Smothed particlehydrodinamics stability analisys. J. Comput. Phys. 116:123-134.

Timoshenko S., Goodier J. (1970). Theory of elasticity. Mc GrawHill. New York.

Xiong Z., Liu, X., Song K., Lu M. (2001). Least-squarescollocation meshless method. Int. J. Numer. Meth. Engng.51:1089-1100.