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PSICODIDACTICA DEL NUMERO NATURAL

Y

LAS' DIFICULTADES EN SU APRENDIZAJE

PONENTE: JACINTO CALVO MARTOS

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CuRG0 iWk PROFESCUS DE EnuCION PREESCOLAR -1-CURSO PARA PROFESORES RE EOUCACION PREESCOLAR -2-

Detengámonos brevemente en cada uno de ellos:

Factores madurativos previos para la enseñanza-aprendizajedal número.

Ea el fracaso actual de la EGB tienen un peso bastanteconsiderable dos áreas fundamentales: Lengua española y

Matemáticas.

A estas dos áreas se dedica una gran cantidad de horas ennuestro sistema escolar, acompañadas de un gran esfuerzo yenergía por parte de los pr Fesores y de los propios alumnos, quemuchas veces no se ven come usadas con los resultados obtenidos.

¿Qué ocurre?, ¿hemos iniciado correctamente el aprendizaje?,¿hemos sido conscientes de la situación inicial de cada niño?,¿hemos respetado su evolución particular?, ¿utilizamos lametodología más apropida?

Normalmente, el Ciclo Medio es la etapa donde en la prácticatotalidad de•los casos se ponen - de manifiesto todos los erroresde enseñanza - aprendizaje acumulados durante los dos ciclosanteriores. Errores que tienen un mayor peso especifico en lasdos áreas señaladas anteriormente, por dos razones:

a) El caracter instrumental de ambasb) Su caracter acumulativo

Los origenes de este rendimiento anormal en el Ciclo Mediohabría que buscarlos en :

I.- Una insuficiente preparación del niño en los factoresmadurativos básicos.

2.- Una selección no apropiada de la metodología deenseñanza - aprendizaje.

Los factores madurativos comunes a Lengua y Matemáticas son:

. Dominio suficiente del lenguaje oral: Función simbólica

. Desarrollo sensoperceptivo y sensomotriz

. Esquema corporal y laturalidad.

. Desarrollo de las nociones espacio - temporal

. Conservación y reversibilidad

. Operaciones lógicas: Clasificaciones, inclusionesjerarquizadas, seriaciones, ordenaciones.

— LUISA RUIZ ,HIGUERAS -0TO.DIDACTICA DE U MAIII(ATICA —

1.- DOMINIO SUFICIENTE DEL LENGUAJE ORAL :FUNCION SIMBOLICA

El lenguaje juega un importante papel en el desarrollo delpensamiento del niño. Junto con la aparición del lenguaje, eluniverso de los simbolos se abre al niño. Sustituyendo lentamentea la acción, el lenguaje va adiestrando al niño a pasar del planode la percepción a un plano mucho más abstracto. En el aprendi-zaje del cálculo, se trata de comprender y de manejar un nuevoorden de simbolos, de moverse en la abstracción. Los númerostienen un nombre y el cálculo se formula hablando. Es necesarioque el niño aplique correctamente los nombres adquiridos a lascantidades conservadas y asigne los términos convenientes a lasoperaciones que efectúe. Es pues, imprescindible poseer un ciertonivel lingüístico antes de abordar el cálculo.

"El lenguaje es la expresión de la estructura afectivay mental del niño: supone un cierto nivel dedesarrollo, una cierta riqueza de vida interior, uncierto impulso de iniciativa y aventura"[Henri Delacroix, L'enfant et le langagej

"Lo que se concibe bien se expresa claramente.Y las palabras para decirlo se hallan sobradamente"

Es principalmente esta precisión del pensamiento y dellenguaje la que falla en la mayoría de los niños. Hallamos ennumerosasa ocasiones una "ambigüedad del pensamiento" a todos losniveles: a nivel de la palabra, de la frase y del discurso. Parahablar es necesario comprender. La construcción de la frase y deldiscurso supone la comprensión de las relaciones entre laspalabras que la componen.

La función simbólica definida por Wailon es: "el poder dehallar a un objeto su representación y a esta representación unsigno"

La importancia de la función simbólica para la lecto -escritura radica en el caracter convencional que tienen tanto ellenguaje oral como el lenguaje escrito, teniendo en cuenta que ellenguaje escrito supone un doble proceso de función simbólica conrespecto al lenguaje oral.

Primer estadio de simbolización: lenguaje oral

Carbol] Segundo estadio de simbolización: lenguaje escrito

lectura: árbol

> [árbol]

escritura: arbol

[arbol] <

— LUISA RUII HIGUERAS --OTGAIDACTICA DE Lo KITEMATICA —

La simbolización matemáticalos erios anteriores:

supone un grado más respecto de

fi > (árbol] -> árbol > x

> [casa] -> casa > y

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CURSO PARA PROFESORES DE EDUCACION PREESCOLAR -4-CURSO PARA PROFESORES DF EDOCACION PREESCOLAR -3-

Las Matemáticas, como sistema simbólico por excelencia,serian absolutamente incomprensibles para un niño, al que no sele halla posibilitado el acceso normal al simbolismo.

Es frecuente que muchos adolescentes al aplicar lasmatemáticas sin comprenderlas, tienen el sentimiento profundo deque no tienen ningún sentido para él. No ven en ellas un sistemade significacion completa.

Por tanto, si esta función simbólica no se domina, seimposibilita la lectura comprensiva y en consecuencia lacomprensión del lenguaje matemático.

El insuficiente desarrollo de este aspecto llevará ligadauna actitud negativa ante la matemática y la lengua.

Las etapas por las que debe trancurrir la enseñanza de lafunción simbólica podrían ser:

1Q.- Paso del lenguaje gestual al lenguaje oral y viceversa

1.a.- Interpretación y realización de signos aislados.

1.b.- Interpretación y realización de cadenas o seriesde signos relacionados temporalmente.

2º.- Paso del lenguaje escrito al lenguaje oral yviceversa.

2.a.- Lectura y dictado de dibujos

2.b.- Codificación y decodificación de simbolosmotivados:

. aislados

. secuenciados (pictogramas)

2.c.- Codificación y decodificación de simbolosinmotivados o ebstractos (signos):

. aislados

. secuenciados

— LUISA ROI: MUERAS --DTO.DIDACTICA DE LA MATEMÁTICA ---

2.- DESARROLLO PERCEPTIVO Y PSICOMOTRIZ

Dentro del desarrollo sensoperceptivo y sensomotriz, no;intesesan los siguientes aspectos:

. madurez visomotora

. madurez audiomotora

. coordinación audiovisomotora

. percepción haptica o estereognósica

2.1.- Un buen entrenamiento perceptivo visual permite alniño, partiendo de la observación y el análisis de las formasconcretas, tridimensionales primero, y de las geométricasdespués, llegar a la percepción correcta de los grafismos (letrasy números) y de las colecciones (

Todos estos ejemplos, nos llevan, de alguna forma, a una serie dediscriminaciones que operativizan el concepto de percepciónvisual, tales como:

. igual - diferente

. grande - pequeño

. grande - mediano - pequeño

. alto - bajo

. ancho - estrechoderecho - inclinado

. igual posición que...

. colores

. reconocer y emparejar figurara y objetos simétricos

. misma altura que..

. discriminación de formas geométricas elementales:- entre objetos geométricos- entre objetos reales

. discriminación visual entre correspondenciasespaciales.

Los ejercicios de coordinación visomotora podrian consistiren:

- ejercicios de picado con punzón.- trazado completo de figuras- trazado de caminos.

2.2.- Madurez audiomotora

— LUISA RUIZ HIGUERAS --DTO.DIDACTICA DE U, MATEMÁTICA —

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PAPA PROFESORES DE EDUCAMON PREESCOLAR -5- CURSO PARA PROFESORES DE EDUCICION PREESCOLAR -6-

Un buen entrenamiento audiomotormadurará al niño en ladiscriminación correcta de 'os fonemas y en su posteriorpronunciación.

Un niño inmaduro auditivamente tendrá en un primer momentoproblemas en cuanto a la comprensión de palabras con fonemassimilares

dos - doce / nueve - mueve / seis - siete / beso - peso / humo -uno / vaso - paso /

Algunos tipos de actividad s serian:

- reconocimiento de animare a través de sus sonidos- reconocimiento de objetos a través de sus sonidos- reconocimineto de fenómenos naturales a través de sus

sonidos- reconocimiebnto de fonemas:

. aislados

. agrupados- reconocimiento de personas por la voz- reconocimiento de intrunentos musicales:

. aislados

. agrupados o mezclados

Para el desarrollo de la motricidad auditiva se aconsejanaquellos ejercicios en los que existen una asociación de sonidoscon respuesta motora. Por ejemplo:

- Imitar con palmeo la intesidad de los acordes de un piano- Ritmo acelerado, lento.

2.3.- Coordinación audiovisomotora

Definidos anteriormente los aspectos visomotores y

audiomotores, proponemos a continuación una serie de actividadesque favorecen el desarrollo coordinado y simultáneo de talesaspectos madurativos; son los dictados rítmicos y trzados denarraciones.

2.4.- Percepción háptica o estereognósica

Esta exploración trata del reconocimiento de formasgeométricas y objetos reales a través de la exploración táctil.

— LUISA RUII , KIGUERAS --DTO.DIDACTICR DE LA MATEMÁTICA ---

Su objetivo es traducir las sensaciones cinetésicai, a imágenesmentales. Favorece también la interiorización en el niño de ideasespaciales topológicas, tales como:

- proximida o lejanía- contorno- abierto - cerrado- continuidad

que sirven para ir discriminando a través del tacto:

- formas abiertas- formas cerradas- ideas de "rectitud" y "curvatura"- distancias- ideas de verticalidad - horizontalidad.- etc.

La percepción háptica, al margen de desarrollar las primerasideas espaciales topológicas, favorece el dominio motriz de manosy dedos y el conocimiento de las formas geométricas elementales.

Para el desarrollo de la pecepción háptica se han detrabajar dos tipos de objetos:

- objetos reales- formas geoméricas

La discriminación de objetos reales puede llavaerse a cabodesde los tres anos. Normalmente se trata de conocer un objetopor exploración táctil y dar su nombre ante una colección visiblede los mismos. Es evidente que los problemas con los que seenfrenta el niño son el traslado de us percepciones táctiles avisuales.

En otro momento se puede pedir que dibujen el objeto, com loque se establece la relación:

Imagen visualPercepción táctil ----> Imagen mental > Acción motriz

Para la distinción de formas geométricas se debe trabajarcon formas:

a) Simples: circulo, elipse, rectángulo, rombo, triángulo,cruz,..

b) Complejas: estrellas, semicírculos, semicirculos conmuescas, svástica, cruces de Lorena.,etc.

c) Asimétricas: trapezoides, triángulos escalenos,...

d) Formas con propiedades puramente topológicas: superfi-cies con agujeros, anillos cerrados, anillos abiertos,anillos engarzados,etc.

— LUISA RUIZ HIGUERAS --DTO.DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA ---

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3.-ESQUEMA CORPORAL Y LATERAU.DAD

Es la representación mental del propio cuerpo. Es decir, elconocimiento interno que tiene el individuo de su anatomía anivel de reconocimiento y localización.

El desarrollo de la coordinación, la adaptación einteracción armoniosa de las partes del cuerpo, es el objetivomás importante para el desarrollo del pensamiento motor dál niño.

El niño, para poder manejar su medio eficazmente, debe sabercoordinar no solo los dos lacios de su cuerpo, sino también laparte superior e inferior del mismo.

El cuerpo humano es un organismo bilateral que puedesubdividirse en cuadrantes (superior derecho, inferior derecho,inferior izquierdo, superior izquierdo). Cuando los cuadrantesfuncionan con movimientos y en momentos apropiados, decimos queel cuerpo está coordinado. La integración intelectual de todosestos cuadrantes nos da el conocimiento interno de un esquemaespacial corporal.

Existen tres ejes principales internos del cuerpo: elvertical, el horizontal y el transversal. Estos ejes controlandiferentes movimientos del cuerpo: de un lado a otro, haciadentro y hacia fuera, en sentido de las agujas del reloj y ensentido inverso.

Solo cuando el niño ha ya reconocido intuitivamente estosejes corporales podrá usarlos como ejes de referencia para todaslas coordenadas espaciales. Si el niño no posee este conocimientointernalizado de los ejes corporales tendrá dificultades enentender y aplicar los conceptos básicos relacionados con lascoordenadas espaciales. Trabajar eficientemente con conceptostridimensionales y trnasformaciones espaciales, depende de lainternalización del esquema •spacial corporal. Estos conceptosson fundamentales en Matemáticas.

En particular, la lateralidad (la relacion de los dos ladosdel cuerpo entro el y con el cuerpo en general) es de vitalimportancia para preciar la relación del cuerpo con los otrosobjetos en el espacio. Es también la base para el aprendizaje dela direccionalidad de las letras, números y palabras queinvolucran configuraciones, como, por ejemplo, "b" y "d"; "13" y"31"; y "los" y "sol", etc.

Algunas actividades para la consecución del dominio delesquema corporal son:

- Juegos con el cuerpo: arrastrarse, gatear, caminarsiguiendo ritmos, rodar, golpear pelotas, realizarcirculos bimanuales en la pizarra,etc

— LUISA RUIZ HIGUERAS --DTO.DIDACT;CA DE LA MATEMÁTICA ---

CURSO PARA PROFESORES DE EDUCACION PREESCOLAR -8-

- Juegos con elementos tridimensionales

- Puzzles y rompecabezas

- Ejercicios con movimiento para la identificación de lasdistintas partes del cuerpo.

- Ejercicios de imitación de actitudes

- Ejercicios con movimientos cruzados para identificarpartes del lado opuesto.

4.- ESTRUCTURACION ESPACIO - TEMPORAL.

4.1.- Estructuración espacial.

Podemos describir la estructuración espacial como elconjunto de relaciones que se establecen entre el individuo y elmundo que le rodea.

Si hacemos referencia a los objetivos de exploración delespacio para niños de edad preescolar:

- Situarse en el espacio con relación a objetos, edificios,otros compañeros, etc.

- Reconocer posiciones de objetos respecto de él mismo y deotros objetos.

El dominio del espacio comienza, como dijimos anteriormente,con la fijación en el propio cuerpo de unos ejes espaciales, ycontinúa con el dominio de las coordenadas espaciales ajenas anuestro cuerpo. Es decir, en principio, el individuo tendrá unavisión absoluta de las relaciones espaciales (ilusiónegocéntrica) y de una forma gradual se produce un proceso derelativización de las mismas.

La inmadurez espacial repercutirá en :

- la ejecución correcta de las operaciones- reconocimiento y dibujo de figuras geométricas- reconocimiento de la métrica del plano: distancias,

ángulos,..- verticalidad, horizontalidad- composición y descomposición de cuerpos geométricos- orientaciones a través de movimientos: giros, simetrias,

traslaciones.

Proponemos realizar actividades donde se trabajen lasdiscriminaciones espaciales básicas:

— LUISA RUIZ HIGUERAS ---010.01DACTICA DE LA MATEMATICA

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CURSO PARE PROFESORES DE EDUCAC1OR PREESCOLAR -9- CURSO PARA PROFESORES DE EDUCÜIDN PREESCOLAR

- 1 0-

. exterior - interior / fuera - dentro

. cerca - lejos

. delante - detrás

. encima - debajo / arriba - abajo

. izquierda - derecha

. derecho - inclinado

. abierto - cerrado

. primero - último

. más cerca que...

. más lejos que....

. a la misma distancia que...

. igual posición que...

. entre / en medio

. misma altura que....

. más alto que ....

. menos alto que....

4.2.- Estructuración temporal.

Vivimos en el tiempo y estructuramos el tiempo.

¿Tiene el niño conciencia de la duración del tiempotranscurrido y sabe analizar una sucesión temporal?

Debemos partir de una observación respecto al concepto detiempo:

- el tiempo subjetivo- el tiempo objetivo

El conocimiento inicial que el niño tiene del tiempo nacetodo él de su propia experiencia, teniendo por lo tanto una grancarga de afectividad. De ahí uu subjetividad. Es evidente, que enun adulto se da también esa faceta de subjetividad, pero con unadiferencia, que siempre tiene la posibilidad de objetivar eltiempo en cualquier momento.

Existen dos operaciones temporales:

- operaciones temporales de orden- operaciones temporales de duración

Las operaciones de orden consisten en seriar losacontecimientos según su orden de sucesión temporal. A veces losniños tienen dificultades para diferenciar el orden temporal delespacial. (Cuando decimos "¿Quien se detuvo antes que el otro?",el término "antes" puede tener significado en el espacio o en eltiempo).

Las operaciones temporales de duración nos llevan aconsiderar el concepto de tiempo métrico. El tiempo métrico es ala vez ordinal y cardinal.

Vamos a examinar diversos elementos del aprendizaje del

— LUISA RUITNIGUERAS --OTO.DIDACTICA DE LA MATEMÁTICA ---

cálculo:

- la noción de número- las operaciones- la resolución de problemas

e intetaremos demostrar como interviene la noción de tiempo encada uno de ellos.

La adquisición de la noción de número supone la comprensiónde tres puntos:

. el número no es una cosa, sino la propiedad de un conjuntode cosas.

. la conservación de cantidades supone la conservación delnúmero.

. la serie numérica se explica mediante la idea de sucesióny la ordenación de conjuntos.

Este último punto, el orden serial, se apoya sobre el ordentemporal: "antes habla uno, luego yo añado otro, tengo ahora dos,luego añado otro, tengo ahora tres,..."

La operación, en tanto que descripción de hechos precisos,Consiste en representar simbólicamente (por medio de unarepresentación espacial de izquierda a derecha) estados yacciones sucediendose en el tiempo.

Es necesario considerar dos etapas en el estudio de lasoperaciones:

Primera etapa: El niño debe aprender a analizar y verbalizaruna sucesión de hechos que transcurren en el tiempo.

Segunda etapa: Seguidamente se introduce la traducción sim-bólica y se pasa lentamente a la abstracción por elimi-nación del soporte concreto.

estado inicial

acción estado final

3 + 4 7

Es muy importante descomponer el tiempo en estados y

acciones sucesivas, ya que para poder comprender las operaciones,el niño debe disociar correctamente las acciones de los estadosque le siguen, o bien, que le preceden. Podemos pues afirmar, queuna buena .organización espacio - temporal es necesaria paracomprender el sentido de las operaciones. La correctadiferenciación del "antes" y el "después" es fundamental antes deaprender la operación.

Respecto al tercer apartado, la resolución de problemas,

— LUISA OPEUERAS -OTO.DIDACTICA DE LA WATikAtIDÁ —

CORSO PARA PROFESORES CE EDUCICION PREESCGLIR -1 1-

implica la acción coordinada de la función instrumental y de lafunción operacional, es decir, el manejo de las operacionesnuméricas y del razonamiento.

Cuando un niño se enfrenta con el enunciado de un problema,debe hacer el inventario de los distintos datos, debe seriar lostérminos del enunciado. Después dbe representarse la realidadcorrespondiente a dichos datcs.

El niño que tiene dificultades de' Organización temporaltropezará igualmente con obstáculos, ya que los términos de unenunciado no se encadenan siempre de forma directa (es decir elorden de la lectura no corresponde al orden temporal). Así, porejemplo:

"Yo tenia algunas canicas. He recibido x. Ahora tengo y.

¿Cuántas tenia antes?"

Podemos proponer algunas actividades que pueden facilitar eldesarrollo de la formación de conceptos temporales:

a) Desarrollo de un vocabulario inicial:

. dia - noche

. mañana - tarde - noche

. hoy - mañana

. pronto - tarde

. ahora - antes - dapués

. empieza - acaba

. etc...

b) Estudiar el dia a través de la secuenciación de suspropias actividades

c) Seriaciones temporales

. ordenar acciones

. ordenar ciclos naturales

. trabajar estado - acción (antes - después - ahora)con objetos reales y con objetos simbolizados.Simbolizar posteriormente también la acción.

5.- CONSERVACION Y REVERSIBILIDAD

"Descubrir el fallo que impide la construcción de unrazonamiento lógico, saber delimitar la dificultad y empeñarsecon ahínco en buscar la solución... Para conseguirlo es precisoasegurarse de que cada etapa del razonamiento se ha consolidadopara no dejar nada oscuro en la mente" [8orel)

¿Qué es la conservación? Es afirmar que la cantidad seconserva igual a si misma. Esto supone que se ha comparado lacantidad en dos situaciones diferentes.

— LUISA RUIZ HIGUERAS --DIO.DIGACTICA DE LA MATEMÁTICA ---

CURSO PIRA PROFESORES DE EDUCAC101 PREESCOLAR -12-

El niño de preescolar piensa que dos cantidades igualespueden dejar de serlo si se modifica la forma aparente de algunade ellas.

Puesto que la conservación y la comparacion van ligadas,será pues necesario realizar numerosos ejercicios de comparaciónpara llegar a la noción de conservación.

Es necesario poner al niño en contacto con materialesseparados y continuos, de manera que realice experiencias sobrela cantidad y su conservación.

Los niños atraviesan hasta la conservación tres etapas:

- no conservación en todas las situaciones

- transición o conservación bajo determinadas circunstancias

- conservación

Cuando el niño admite la conservación, sobre los 7 añosaproximadamente, su pensamiento es reversible. Estacaracteristica es imprescindible para la verdadera comprensión.Sin pensamiento reversible no se podrá acceder al pensamientomatemático.

Fijemonos en el siguiente problema: Pedro gana 10 canicas.Ahora tiene 32. ¿Cuántas canicas tenia antes?

Para que un niño resuelva este problema es necesario que'dehaga la acción de "ganar - añadir", y entender que deshacer esaacción supone la acción de "quitar". Sin pensamiento reversible,esto no es posible.

6.- CLASIFICACIONES Y SERIACIONES

"El número se construye a partir de procesos declasificación y ordenación" (Piaget)

Este paralelismo entre la evolución del número y lasclasificaciones y ordenaciones, justifican la interdependenciaque existe entre ellos para que el niño adquiera autonomía en lacomprensión del número.

La construcción del número sigue un camino paralelo aldesarrollo lógico. El periodo prenumérico se corresponde con elnivel prelógico. Las relaciones de inclusión, las inclusionesjerarquizadas, las clasificaciones, las Seriacíones y

ordenaciones, sirven como base, psicológicamente hablando, parael desarrollo de los conceptos numéricos.

5.1.- Las clasificaciones

---- LUISA RUIZ HIGUERAS --OTO.DIDACTICA DE LA MATEMÁTICA ---

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CURSO FuRA PROFESORES DE EDUCACIOR PREESCOLAR -13--

La clasificación es un instrumento intelectual que permiteal individuo organizar mentalamente el mundo que le rodea. Paraclasificar, es necesario abstrare de los objetos determinadosatributos esenciales que los definen. Es un instrumento deconocimiento porque obliga a analizar las propiedades de losobjetos y, por tanto, a ampliar su conocimiento, relacionandoloscon otros semejantes y estableciendo asi, sus parecidos o susdiferencias.

La clase, por ser generalmente indefinida, no se construyesolo por percepciones; se llega al concepto de clase a través deabstracciones y generalizaciones, así como por operacionesaditivas que determinan extensiones e inclusiones. Esta•construcción se produce en el niRo o de forma gradual. Poco a pocose va independizando de la realidad y construye esquemasabstractos.

Toda clasificación implica una "cuantificación". Cuandohablamos de rosas excluimos un número de cosas pertenecientes atodo aquello que no sea una rosa. Sin embargo, con respecto a laclase de rosas, podemos hacer las siguientes afirmaciones:"Algunas flores no son rosas", "No todas las flores son rosas","Todas las rosas son flores", etc. El criterio que nos permitehacer tales afirmaciones sin necesidad de una evidencia externa,es la seguridad lógica que deriva de nuestra comprensión de loque un sistema de clasificación implica.

Un niño llegará a hacer una verdadera clgAificación cuandosea capaz de :

- definir una clase por las cualidades comunes de suselementos y por sus diferencias con los individuos deotra clase del mismo rango.

- realizar agrupamientos en términos de relaciones deinclusión y de pertencia, es decir, reunir las clasesdel mismo rango en la clase inmediata que las engloba.Esto implica el conocimiento de los cuantificadores:todos, algunos, ninguno,...

Las actividades más apropiadas para el trabajo sistemáticode las clasificaciones serán:

* en un primer momento:

. discriminación de propiedades

. formación de conjuntos según atributos dados

. búsqueda de la propiedad caracteristica de unconjunto.

. formación de conjuntos según decisión libre

. juegos de asociaciones

* en un segundo momento:

— LUISA RUIZ-HIGUERAS --UTO.DIDACTiCA DE LA MATEMÁTICA ---

CURSO PARA PROFESORES DE EDUCACIOW PREESCOLAR -14-

. clasificaciones atendiendo a criterio perceptivos

. clasificaciones de alimentos, animales, etc.

. clasificaciones con material estructurado (bloqueslógicos, trimat, cuatrimat)

. clasificaciones con criterios cuantitativos (tantoscomo)

5.2.- Las seriaciones.

Si por medio de la clasificación el niño ha de ser capaz deagrupar los objetos en función de sus semejanzas, por medio dela seriación deberá consolidar la capacidad de comparar objetos yde ordenarlos en función de sus diferencias.

Los niños comienzan con seriaciones cualitativas para llegarprogresivamente a las cuantitativas como actividad que empalmacon el periodo numérico.

Piaget observó en sus experiencias un desarrollo paralelo dela clasificación y la seriación, aunque la primera sea másfavorecida por el lenguaje y la segunda por la percepeción.

Para resolver correctamente los problemas de oredenación espreciso que en la mente del niño se encuentren necesariamente lasestructuras psicológicas siguientes:

a) Reversibilidad de pensamiento o habilidad para ordenar endos direcciones, hacia delante y hacia atrás..

b) Transitividad: siA<ByB<C ===>A< C

c) Las relaciones duales de todo elemento con referencia asu posición en la serie - "es más largoque el anterior y más corto que elsiguiente" -

Las actividades más apropiadas para el trabajo sistemáticode las seriaciones y ordenaciones son:

* en una primera fase:

- se utilizarán criterios cualitativos:

. confeción de serpientes de colores

. frisos

. secuenciación de imágenes gráficas

. etc.

* en una segunda fase:

- se utilizarán criterios cuantitativos:

. ordenar longitudes (con dos, tres, cinco, o máselementos)

— LUISA RUIZ HIGUERAS --110.010ÁCTICA DE LA MATEMÁTICA —

CURSO PARA PROFESORES DF EDUCACIOM PREESCOLAR -15-

. ordenar superficies de forma constante) pero tamañovariable.

. etc.

Es muy conveniente acostumbrar a los niños a pasar de lacolocación horizontal de los elementos de un conjunto ordenado ala vertical, para que asimilen que el orden es independiente dela posición espacial que ocupen los objetos. Una vez conseguidaesta transferencia seria conveniente basar • a las distintascolocaciones siguientes:

— LUISA RUIZ HIGUERAS --DIO.DIDACTICA DE LA MATEMATICA

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motivadores y funcionales, obviando el mecanicismo y los clásicos problemasmodelos. En todo momento se trata de colocar al alumno ante situaciones proble-Itáticas que no tengan soluciones prefijadas o caminos únicos para su solución,:ultivar la divergencia y prepararle para las distintas situaciones cuantificadoras queá realidad circundante le plantea.

En el capitulo del agradecimiento quiero reconocer la excelente colaboraciónde dos amigos, sin cuya ayuda pdhiblemente esta obra no hubiera uistó lo luz. Aranctsco CORREA RICO, excelente maestro de motemóticas, que tuvo lo cienciala paciencia de ordenar y dar estructura a los desordenados folios que el autor

•_= entregó, y al pintor-pedagogo o pedagogo-pintor, no lo tengo muy claro,Augusto THASSIO, que ilustró con tanto tacto pedagógico lo presente obra.

El autor

CAPÍTULO 1PRINCIPIOS PSICODIDÁCTICOS BÁSICOS EN EL APRENDI/AJIDEL NÚMERO Y DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS I3ÁSI('A S

Entendemos que una psicodidáctica de las matemáticas ha de consttel propio sujeto del aprendizaje sobre datos reales (el profesor ha de cm:olen gil

como un diseñador del proceso enseñanza-aprendizaje, un artífice del me.li'escolar que propicie el aprendizaje del alumno). La matemática es un Aren deexpresión cuantitativa de la realidad social y físico-natural traducible, en su caso,a términos simbólicos. Lo que se ha de enseñar al alumno o, mejor expresado, loque éste ha de aprender, son formas de expresar matemáticamente, en principio,su entorno inmediato. Ha de aparecer como un nuevo lenguaje que conlleveimplícitamente un nuevo modo de pensar.

Los aportes científicos (PIAGET, DIENES, MIALARET, FREINET, etc.), al Iluminarla práctica diaria, nos han llevado a un planteamiento que obviase, en granmanera, el enfoque mecánico y condicionarte (pavloviano, a veces) de la práctl•ca didáctica actual, tratando de imprimirle una línea constructiva, divergente ysignificativa que estimule en el alumno el gusto por el aprendizaje de las matemá-ticas, respetando, desde un principio, el carácter de éstas «como manipulacióncuantitativa de la realidad», que, como ya se ha Indicado, el aspecto simbólico esel último tramo de su aprendizaje que no, en todos los casos, tiene necesariamenteque producirse. A este respecto, es archiconocido el manejo matemático, lacapacidad lógico-matemática que exhiben ciertas personas que no conocen, nisiquiera, las operaciones básicas fundamendles; son los que calculan «de cabeza•o los que, como vulgarmente se dice, utilizan «la cuenta de la vieja». •

En la toma de contacto del alumno con su realidad circundante, se pretendeque adquiera un conocimiento de las cosas, de sus formas, de sus cualidades yun descubrimiento de lo esencial, tanto cuanto sea posible, mediante un métodode descubrimiento que le impulse a averiguar hechos, observar, experimentar,interpretar hechos, aplicar sus conocimientos a nuevas situaciones y problemas.Se trata de Implantar una metodología que huya de los extremas del mecanicis-roo, o mecanización ciega, y de los métodos de presentación de estructuras

13

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perceptivo-íiisuales. Hay que evitar, pues, la exclusividad, tanto de los procedi-mientos puramente verbales o formales, como de los exclusivamente Intuitivos,que, en frase de PIAGET, son •el verbalismo de la Imagen., método más refinadoy elegante que el verbalismo tradicional. La operación, según este autor, es irre-ductible a las formas perceptivas o Imaginadas y que, como consecuencia muydirecta, los métodos pedagógicos Intuitivos siguen siendo de rango muy inferior alos métodos operativos o activos. 'Aprender haélendo• deberá ser una constantemetodológica aderezada, en todo caso, con •la resolución de situaciones proble-máticas..

A la hora de la praxis didáctica, se trata de ceñirse a la'pedagogía operatoriaplagetiana y a los principios didácticos básicos que nos señala DIENES:

— Principio dinámico. .— Principio de la constructividad.— Principio de la variabilidad perceptiva.— Principio de la variabilidad matemática. ,Asimismo, se pretende ser coherente con la Ley Blogenétka de HAECKEL

(preconiza que la evolución de los conocimientos matemáticos ha de producirse,en paralelo, con la misma evolución científica, desde las primeras ideas que tuvoel hombre hasta las ideas claves, qué integran las matemáticas actuales comocuerpo científico organizado). Conviene remontarse al Neolítico y observar alpastor cuantificando, calculando (calculus " ' guijarro, piedrecita), y su tránsito ne-:esarlo por las distintas fases que atravesaría el número: manlpulotiva, figurativa,'squernática y simbólica (verbal o gráfica). No se puede olvidar que lo último, en' 1 tiempo, es el numeral y su trato matemático, y por tanto, debe ser la última eta-)a en el proceso didáctico. Esta idea didáctica es claramente extensible al campole la teoría de los conjuntos, o al de las magnitudes, en los que hay que obviar,'n principio, el uso excesivo del vocabulario novedoso y una utilización exclusivale medidas convencionales estandarizadas.' De fas Ideas expresadas anteriormente, se van a explicitar una serie de princi-

alos metodológicos que nos servirán de orientación general en el proceso denseñanza-aprendizaje de las matemáticas:

A) El contexto problemático debe ser la etapa Inicial del proceso deaprendizaje. Es motivador, sincrético y constituye una propuestade acción.

En un principio está, o debe estar, la situación problemática referida a situa-:iones habituales, y después, las estrategias de solución. En un primer período, la-)roblernática debe estar basada en la vida real del alumno. El hacer la materiaaplicada con supuestos de la vida real, aunque lo que se pretenda sea sólo de-nostar que lo que se estudia tenga 'una practicidad, una utilidad evidente. Elprendizaje de.cualquler concepto matemático debe siempre venir apoyado porctividades basadas en la vida real del entorno que rodea al alumno, para evitar

el rechazo que presupone lo desconocido. La situación problemática supone undesequilibrio, que motiva al individuo a salir del mismo, al crearle una tensión,una inquietud. Esta tensión lo motiva a restablecer el equilibrio, a buscar la solu-ción..En la concepción plagetiana nos encontramos con los procesos de asimila-ción, acomodación y equilibración o adaptación. Se trata, pues, de un aprenói-iaje genuino: incorporar una nueva conducta (asimilación) o modificar algunaPreexistente (acomodación) para responder a una determinada situación genera-dora de un desequilibrio o tensión.

La situación problemática aparece de una manera global, confusa, de unaforma sincrética, sin ningún análisis o relación entre sus partes. Todo esto obligaal alumno a plantearse una serie de estrategias, que conllevarán a un aprendizajeo, más exactamente, a un autoaprendizaje activo y significativo, desde un primermomento. El alumno no será, pues, un elemento pasivo, consumidor, sin más,de las enseñanzas y conocimientos que se 'le transmiten.

B) El proceso didáctico debe Ir de lo concreto a lo abstracto.

Según PIAGET, la operación no es más que una acción que se internaliza, unaacción interiorizada. En la evolución de la inteligencia infantil las acciones (reunir,separar, repartir, etc.) aparecen antes que las operaciones mentales. Es necesariooperar mucho sensoflomotrizmente, antes de operar con símbolos, ya que éstosno son más que la interiorización de acciones reales. Para PIAGET, el conocimientomatemático es una abstracción a partir de las acciones sobre los objetos, los cualesno Tienen más que el papel de servir de soportes de la acción. El conocimientomatemáticó es distinto del físico, que reside en los objetos (color, peso, dureza,etcétera) y del social, que es convencional. Para el aprendizaje de las matemáti-cas, el material concreto no es otra cosa que un medio de comunicación másaccesible al niño que la palabra.

Según BRUNER, el proceso de aprendizaje de los conceptos matemáticos atra-viesa tres etapas: •

a) Etapa activa: El niño piensa en términos de acción. Sus métodos, pararesolver un problema, tienen todas las limitaciones de la manipulación de loconcreto.

b) Etapa representativa o figurativa: A través de la manipulación deimágenes.

c) Etapa simbólica: Aparece el pensamiento matemático, la auténticacapacidad de abstracción.

C) El profesor ha de ser un disellador de situaciones de aprendizajeque lleven al alumno al autodescubrimiento.

La tarea del profesor es crear las situaciones y estímulos precisos para que seproduzca el autoaprendizaje. Decía PASCAL: «Uno se convence mejor por las

4

15

IMA410101101giottottill-LLLWALLIAIM,MottlawLitaLiamoLLLIALLLLLL

razones que ha encontrado que no por aquellas que se le ocurrieron a otros.» Lapedagogía tratará de crear situaciones estructuradas que lleven al alumno, de unamanera acelerada, al descubrimiento de las distintas fases por las que ha atrave-sado el conocimiento matemático a través de la historia.

No se trata de suministrar conocimientos fosilizados, sino de crear una mane-ra de pensar. Una de las grandes aportaciones plagetianas . esla de que el apren-dizaje no se produce de manera pasiva, que no az una copia pasiva de los estímu-los que llegan del exterior. No hay que considerar el alumno como «una tabularasa». El aprendizaje se produce, pues, como resultado de una construcción acti-va en la que el alumno selecciona y analiza a diferentes niveles de complejidad;es un producto interactivo entre él y su medio. Se trata de que se produzca unaprendizaje operatorio, por el que el niño pueda construir, realmente, sus cono-cimientos y en el que el papel del profesor sea el de, respetando la evoluciónpsicogenétIca del alumno, diseñar las situaciones más adecuadas, para que (me-diante la' búsqueda de soluciones, su discusión y contraste; equivocándose,Inventando, eligiendo distintos caminos) se pueda conseguir la auténtica cons-trucción del conocimiento.

D) Los principios de variabilidad perceptiva, variabilidad dinámica yaecuencialltación deben orientar la presentación de contenidosy actividades.

Para abstraer una estructura matemática, llegar a la captación de un concep-to, debemos encontrarla en una variedad de estructuras diferentes y, así, poderpercibir sus características meramente estructurales. Formar unos conceptos queno se dejen confundir por la apariencia cambiante 4e. kl.p .cqsas y que sepa, encada situación, descubrir lo básico, lo que subyace conceptualmente. Asimismo,hay que evitar el tedio de las situaciones presentadas, siempre, de la mismamanera.

Cada concepto matemático envuelve variables esenciales que deben hacerse•vaciar», si se quiere alcanzar la completa generalidad del concepto. La aplica-ción asegura una generalización eficiente. Un número, io, más variable posible deexperiencias para un mismo concepto, permitirá al niño generalizar. De estamanera se facilitará la aplicación a casos particulares.

Se debe respetar el orden psicogenético, indicado por el desarrollo evolutivodel niño, y el orden científico, señalado por la estructura matemática. A estosefectos, afirma PIAGET: 1 «SI el edificio de las matemáticas reposa sobre las estruc-turas que corresponden a las estructuras dela inteligencia, es necesario basar ladidáctica de las matemáticas en la organización progresiva de esas estructurasoperatorias.»

•1 PIAGET, J., y otros: La enseñan de las ~hemáticas. Agugar. Madrid, 1971. pág. 27.

u

Los trabajos de PIAGET sobre las etapas que sigue el nli5o en la aparición de

las nociones básicas del pensamiento matemático (conservación de cantidad,correspondencia, seriación, etc.) nos han de servir de pauta a la hora de estable-cer un aprendizaje operativo, un aprendizaje acorde con las posibilidades de

construcción de los diferentes contenidos matemáticos.

E) El profesor deberá crear situaciones de aprendizaje que estimulenel conocimiento divergente.

Siempre que. se pueda, hay que presentar el edificio matemático no comoalgo acabado, sino como algo en construcción. Es preciso evitar las situacionescondicionantes que cultiven exclusivamente el pensamiento convergente. Siem-

pre será más eficaz hacer aprender a urí muchacho cuántos grupos distintos puedehacer con OCHO BOLAS que cuántas bolas son un grupo de CINCO y otro deTRES. La primera actividad permite distintas soluciones, mientras que la segundasólo le posibilita una única respuesta que, por otra parte, puede ser esencialmente

memorística:

El profesor debe respetar, no coartando, las distintas estrategias en la soluciónde los problemas (el alumno podrá resolver los problemas de distintas maneras,siempre que los demás lo puedan comprender). No debe Imponer una técnicaoperatoria. Cada alumno, en principio, debe tener la suya propia adaptada a suvisión de las cosas. No debemos imponer una técnica por el hecho de que es laque todo el mundo utiliza y es la más conocida y rápida. Esta imposición es causade muchos bloqueos. El predominio de la mecanización de las técnicas dificultaráel cálculo mental, que puede operar por caminos mucho más divergentes.

17

1343, LULLL L 1 L,141,»WykS40111111111111111111

Para el desarrbllo del pensamiento matemático, es muy conveniente el con-traste de los distintos puntos de vista, soluciones. o estrategias, que puedan apor-tar los distintos miembros de la clase. El profesor ha de diseñar situaciones deaprendizaje donde se soliciten mecanismos de Interacción social, de cooperación(cooperar - operar en común) entre los alumnos, para el aprendizaje y resolu-ción de situaciones matemáticas. Los intercambios que se producen contribuyena uná mejor comprensión de las nociones que se trabajan. Las modalidades de laenseñanza mutua y el trabajo en grupo son técnicas organizativas de gran eficacia.

Es importante que el profesor evite el reforzar la respuesta correcta, comocorregir la incorrecta. Se debe, sin embargo, estimular el intercambio de ideas entrelos alumnos. El desacuerdo con otros compañeros puede llevar a reestructurar, areconsiderar sus propias ideas. La confrontación entre compañeros es Indispen-sable para el desarrollo del pensar matemático.

El profesor procurará crear un ambiente social y material que, a través de losdistintos Juegos de grupos, estimule la creatividad y la autonomía de los alumnos.En los Juegos de grupo, los niños son rnhactIVQS y, críticos, y aprenden a depen-der de ellos mismos para saber si su razonamiento es, o no, correcto.

En fin, hay que llevar a los alumnos a la convicción de que el edificio mate-mático ha sido una creación humana, estimulándoles a que se cree en ellos unadisposición para descubrir e inventar técnicas frente a dificultades nuevas e impre-vistas. El aprendizaje de las matemáticas, en ningún caso, debe aparecer como una«creencia» sobreimpuesta, sino como algo susceptible de construcción propia.

18

CAPÍTULO IILOS FUNDAMENTOS DEL NÚMERO EN PREESCOLAR.

SU TRATAMIENTO PSICODIDÁCTICO

I. IDEAS LÓGICAS QUE SUBYACENEN EL CONCEPTO DEL NÚMERO

El niño que acude al aula de preescolar, puede dar la sensación de que cono-ce el número porque recita ordenadamente los nombres de los mismos. En efec-to, el lenguaje que aprende todos los días, al azar, le familiariza con el nombre delos números antes de conocer su sentido, su valor, etc. Al estar bombardeadopor los nombres de los números, le sucede lo inverso que a los pueblos primiti-vos, donde el número nace como necesidad técnica (la ganadería, la agricultura,la construcción, el calendario, etc.). Más que auténticamente contar, el niño«canta» ordenadamente. Actúa por un proceso de estímulo condicionado: el nú-mero 4 (el numeral) le sirve de estímulo evocador del 5, y así sucesivamente. Esun condicionamiento automático. Así cuando se le obliga a contar a partir de unnumeral que no sea el 1; por ejemplo, a partir del 5, el alumno repite, aunquesea subvocalmente, toda la serle anterior: 1, 2, 3...

El preescolar cuenta objetos saltando sobre ellos, o contando algunos más deuna vez. No experimenta la necesidad lógica de colocar los objetos en orden parano dar saltos, o no contarlos más de un vez. Utiliza los nombres de los númerosmás rápido, o más lento, que el dedo que señala los objetos dispuestos en unafila; se saltan objetos, o cuentan algunos más de una vez. Si después de habercontado un grupo de objetos (por ejemplo, cinco objetos), se le pregunta dóndeestán los cinco objetos, no se refieren al grupo, sino al último que mencionó. Estoindica que, para el niño, en este periodo, las palabras que indicare los números(los numerales) actúan como si fueran nombres de personas. Está ausente la rela-

ción de Inclusión Jerdrquica que supone que el 1 está Incluido mentalmente en el2, el 2 en el 3, el 3 en el 4 y así sucesivamente.

PIAGET demuestra que el origen del concepto de número está relacionadocon el desarrollo de la lógica. Antes del desarrollo del concepto numérico, el pen-

19

•

sárniento infantil es llamado prelógico. En la concepción plagetiana, la matemáticaes una extensión de la lógica misma.

Existen, pues, una serie de nociones prenumédcas, de Ideas lógicas que sub-yacen en la concepción del número, sin las que el aprendizaje de éste es algomecánico y carente de sentido. PIAGET, en su obra Génesis del número, nosmuestra que existe una organización mental previa al cálculo, y, si las Ideas lógi-cas que constituyen dicha organización faltan, es inútaproseguir, ya que carecende los conocimientos básicos para la construcción del número. Estas Ideas lógicasvienen a ser como los prerrequisitos mínimos para afrontar con éxito la didácticadel número. Estas nociones lógicas, que te hallan en la base de la construccióndel concepto de número, son las siguientes:

a) La conservación de la cantidad.b) La correspondencia término a término.c) La seriación.d) La Inclusión de la parte en el todo.

a)Izzilak_consentacl6n de la rantldevi implica la capacidad de perci-bir que una cantidad , no varía, cualesquiera que sean las modificaciones que seIntroduzcan en su configuración total. La carencia de esta noción es propia delpensamiento preoperatorlo, Intultiv.o o constelacional. Esta noción se desarrollaen la etapa lógico-concreta -plagetiana, coincidiendo, normalmente, con elcomienzo de la educación básica.

La noción de conservación de cantidad atraviesa, en la etapa preoperatoria(2 a 7 .8 años), tres momentos diferenciados:

1, De génesis (antes de los 5 años). El pensamiento es rígido ysujeto a la percepción directa.

2. De transición o elaboración (5 a 6 años). Comienza a apare-cer, pero no se generaliza.

3. De logro o adquisición (a partir de los 6 años). La noción deconservación es plena. •

PIAGET realizó una serle de pruebas, valiéndose de una metodología clínica yexperimental, para poner de manifiesto estas etapas, tanto en cantidades conti-nuas (no contables: arcilla, plastilina, etc.), cómo discontinuas (contables:abalorios, fichas, botones, etc.).

Vamos a describir algunas de las experiencias realizadas por el propio PIAGET:

1. A cada niño se le presentaron dos vasijas de la misma forma y tamañoque contentan cantidades iguales de líquido coloreado. A continuación se vertióel contenido de una de ellas en:

o) Dos vasijas similares, pero más pequeñas.6) Varias del mismo tipo.c) Una vasija' alta, pero estrecha.d) Una ancha, pero baja.

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En cada caso se preguntó a cada !Mg si la cantidad de líquido era aún lamisma que en la vasija que no se habla vaciado (gráfico 1).

PIAGET descubrió que en una primera etapa (4 a 5 años), los niños daban porsentado que la cantidad de líquido era ahora diferente; bien mayor, porque elnivel . de la vasija era más alto o porque había más vasijas con líquido; bienmenor, porque el nivel de la vasija era más bajo. La cantidad aumentaba o dismi-nuía, según el aspecto de la nueva apariencia que llamara la atención del niño.Había una especie de centracibil, bien en lo alto, bien en To anchó; esto suponeincapacidad de coordinación entre las dos variables, lo ancho y lo alto; no se utili-za el argumento lógico de la compensación: «Lo que tiene más de ancho, lo

tiene menos de alto o viceversa.»En una segunda etapa (5 años y medio a 6 años), los niños manifestaban una

conducta de transición en la que oscilaban, indecisos, entre las aparienciasvisuales 'y la idea de constancia que comenzaba a surgir en sus mentes. Así, po-día considerarse que la cantidad de líquido era todavía la misma cuando se Vertía

en dos vasos más pequeños; pero que era mayor cuando se vertía en tres. O que

•permanecía Idéntica, si la nueva vasija presentaba una diferencia pequeña de

nivel o diámetro; pero no si la diferencia era mayor.En la tercera etapa (a partir de los 6 años), los niños dan directamente las res-

puestas correctas, ya sea por referencia a la relación ancho-alto, ya sea señalan-do que la cantidad no ha sido cambiada: «Sólo ha sido trasvasada.« El alumno enesta fase es capaz de utilizar los argumentos de identidad, compensación yreversibilidad. La reversibilidad supone •desandar lo andado mentalmente«,•ser capaz de volver al punto de partida, encontrándolo idéntico a sí mismo•. En

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1.

2.

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el caso clí los líquidos, poder devolver, mentalmente, al vaso inicial el líquidovertido en los demás vasos, sin que la cantidad haya cambiado•. Se puede ex-presar con el gráfico 2.

2. Un segundo experimentó fue el que realizó PIAGET con una cantidad dis-continua o contable, con abalorios. Obseiv6 un resultado semejante al trabajocon los líquidos. Los niños, en una primera etapa, opinaban que la cantidad deabalorios que se introducía en una vasija dependía de que ésta fuera más alta omás ancha, según el aspecto en que se centrara. Esto ocurría, Incluso, en los ca-sos en los gire el niño había colocado en su vasija un abalorio, por cada uno queel experimentador había colocado en la suya. En una segunda etapa, se producíala Indecisión semejante a la de los líquidos. En la tercera etapa, los niños respon-dían con exactitud y seguridad a todas las sugerencias y contrasugerenclas que seles hacía amparados en los argumentos lógicos, ya citados, de identidad, com-pensación y reversibilidad (gráfico 3).

22

es el medio más directo de com-probar la equivalencia entre conjuntos. Tiende a afianzar y cimentar tanto lacardinalidad, como la ordinalidad del número. Por ejemplo, la cardinalidad delnumeral cuatro significa que sus elementos se corresponden, término a término,con los elementos de todos los conjuntos, cuyo cardinal es cuatro, con cuatroelementos. Asimismo, la ordinalidad aparece cuando, en la comparación de con-juntos, sobra o falta algún elemento, es decir, que los conjuntos son asimétricos.Mediante la correspondencia término a término, se puede llevar al alumno a laspropiedades simétrica, transitiva y reflexiva.

En la aparición de la correspondencia de elementos, PIAGET establece tres es-tadios sucesivos:

Primero: Comparación global y ausencia de correspondencia.Segundo: Correspondencia. término a término, sin equivalencia

duradera.Tercero: Correspondencia, término a término, con equivalencia

duradera.Para comprobar la noción de correspondencia, se pueden realizar las siguien-

tes pruebas:21.° Se coloca una fila de fichas , de un color, sobre la mesa y se pide al niño

que tome, de una bolsa de bolas de otro color, tantas como hay en la fila o hilera(no hay por qué expresarlo en el numeral correspondiente, sino por el corres-pondiente cuantlficador: las mismas, igual, tantas... como, etc.).

Se observan dos tipos de resultados:

O 0000001• 0 000 o 00

(Forma otra fila igual de larga, qué coincida en sus extremos,sin atender el número de fichas)

O 000:00 o• 0 . 9 0 ' 0 o o

(Forma una hilera idéntica, en correspondencia una a una)••

2.° SI el sujeto ha aportado la solución 2, se prosigue la experiencia paraverificar si la equivalencia es duradera. Para ello, se modifica una de las hileras,dejando la otra sin modificar:

2 DUGAS, y otros: Trastornos en el aprendizaje del aculo. Edit. Fontanda. Barcelona, 1972,pAgs. 133 y ss.

23

1

•

• 11 I • • • 11 •

2,

3.

0000 0 O

O 0 0 0 0 0

O 0 0 0 0 0

00 000 O

O 00.0 Oo

o o 0o

nal. El número se construye en la medida en que los elementos de la sede sonconcebidos, a la vez, corno «equivalentes y no equivalentes.; equivalentes, esdecir, pudiendo ser agrupados en una misma clase, caracterizada por un númerocardinal; no equivalentes, es decir, pudiendo ser seriados, siendo cada términode la serle semejante a los demás y diferente por el lugar que ocupe en dicha se-rle. Las operaciones de cardinación y ordenación están ligadas en la mente delniño de manera inseparable. El hecho , de que un elemento sea 8.° en una serie(ordinal) presupone que existe un grupo de 7 elementos que le anteceden (cardi-nal). La posibilidad de considerar que una cantidad es simultáneamente superiora una primera, e Inferior a una segunda, corresponde a una etapa importante deldesarrollo de la 16gIca. 3 Para PIAGET, la noción de número nace «por igualaciónde las diferencias•. La sucesión numérica, su valor respectivo y su rango se fijanpor seriaci6n. PIAGET distingue tres etapas en la seriación de objetos, según su

tamaño:

4. O O 0 0 • 0

Conforme se va cambiando la disposición de la segunda hilera, se le va pre-guntando, al niño, si persiste la misma cantidad: SI posee la noción de corres-pondencia, es decir, que el número no depende de la longitud de las hileras sinotambién del tamaño y el número de intervalos que separan los objetos, no se de-jará influir por la disposición constelaclonal de las fichas (filas más largas, máscortas, en montón, etc.). Cuando carece de esta noción, el número aparece anteél como expansible (mayor o menor), según el espacio que ocupe.

Se supone que esta noción de correspondencia sería el primer recurso lógico-matemático que utilizaría el hombre primitivo. Para calcülar el número de cabezasde ganado que poseía, las colocaría en correspondencia con otros objetos máscontrolables y manejables. Parece ser que esta correspondencia del número deanimales que poseía, la establecía con giiljarr. os.' De ahí, el nombre deCálculo – Calculus (guijarro, piedrecita). Por cada oveja que salía de su redilcolocaría una piedra, controlando, asimismo, el regreso al redil. De esta manerase percataría si volvían igual, más o menos de las que habían salido. Era, pues,un recurso manipulativo, no simbólico. Se estaba, pues, en la prehistoria del nú-mero. Aún hoy, es un recurso utilizado en personas o culturas que no manejan elsimbolismo numérico y las operaciones aritméticas.

c) luuanto a leprIAr. A" (según PIAGET), la construcción delnúmero se efectúa en estrecha relación con las nociones de seriación y el de in-clusión de clase:. La serld6n presupone las nociones de •más pequeño. y•más grande•, indispensable.s • para la concepción del número cardinal y dePordi-

, Y/ •

24 25

Primera: Seriación global, sin sucesión regular de detalle.Segunda: Sedación intuitiva, con titubeos en su construcción y difi-

cultades para intercalar elementos nuevos en la serie construida, la cualforma un bloque rígido.

Tercera: Seriación operacional, debida a una coordinación sistemáti-

ca de las relaciones en juego. Cada elemento halla, sin dificultad, una po-sición tal que resulte, a la vez, más grande que los precedentes y más

pequeño quedos siguientes.

PIAGET realizó una serle de experiencias que demostraron que, para el niño,presentaba la misma dificultad ordenar una hilera simple de objetos de distintotamaño que ordenarlos en correspondencia con otra serle (creciente o decrecien-te), cuyos elementos tuvieran alguna relación afín con los de la primera serie.Cuando se es capaz de realizar las coordinaciones mentales que exige una seria-ción simple, se es, asimismo, suficiente para realizar otra sedación que se corres-ponda con la primera. Lo inverso es, también, cierto.

Para probar la capacidad de realizar sedaciones simples, se puede utilizarlápices de distinta longitud, amontonados de cualquier manera: • •

3 DUGAS y otros: Trastornos en el aprendizaje del cálculo, pág. 33 y siguientes.

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A continuación se Indica al Sujeto que lo ordene del más largo al más corto oviceversa.

En una primera fase o etapa, los niños saben, por lo general, sacar el lápizmás corto del montón, el más pequeño; pero si se les pide que separen o cojan elmás largo, el más grande, separan o cogen «uno grande•.

A continuación los coloca en una serle; pero, teniendo en cuenta sólo elextremo, la punta de los lápices, sin tener en consideración el otro extremo. Aúnno interviene la noción de longitud da cada lápiz y, podo tanto, no aparece lanecesidad lógica de comparar cada bastón con los que quedan por ordenar.

En una segunda fase, aunque difícilmente, el niño realiza una serie crecienteo decreciente. Pero si se le -da un nuevo lápiz, de longitud Intermedia, entre unpar de la serie, el niña es incapaz de insertarlo en el sitio que le corresponde, den-tro de la serle dada o construida por él. La inserción del nuevo lápiz le resultarámás dificil que la construcción de la serie entera, ya que, en ésta, es ayudado porla percepción. La colocación del nuevo elemento supone una operación mentalen la que debe entrar, necesariamente, una relación de simultaneidad: el lápizdebe ser colocado a continuación del grupo que es menor que el nuevo lápiz,pero, a su vez, antes del grupo que es mayor.

En una tercera etapa, el niño adquiere la capacidad de ordenación simple ytambién inserta, adecuadamente, un elemento o varios elementos en una serieordenada. Sus métodos son la utilización correcta (operativas) de las nociones•más pequeño•, «menos pequeño., •más grande•, •menos grande•.

En cuanto a una prueba para comprobar los serles correspondientes, se pre-sentan un conjunto de hombres, de distinta estatura, con bastones de distintalongitud. Se le Indica al niño que ordene los elementos presentados en dos hile-ras, de manera que cada hombre, según su estatura, tenga su bastón correspon-diente según su longitud (a hombre más alto bastón más largo). En esta prueba,se pueden plantear distintas cuestiones y situaciones al niño, tales como seriarpor separado (los hombres y los bastones), realizar la correspondencia seriada delos hombres con los bastones, desordenar y recomponer una serle, juntar o sepa-rar los elementos de una serie, etc. En las distintas actuaciones de los sujetos, sepondrá de manifiesto las mismas etapas o fases que en la noción de conservaciónde cantidad, correspondencia o seriación simple.

d) La noción de la Inclusión de la nade en el todo se vincula con el

aspecto cardinal del número. La cardinación es un aspecto de fa clasificación, de-termina la extensión de una clase, es decir, contesta a la pregunta ¿cuántos?

El número lleva implícito la suma de subclases: «la aditividad de las partes queconstituyen el todo•. Además de contribuir a la comprensión del concepto decardinal, es útil para el concepto de ordinal, aspectos ambos indisociables' de lanoción de número («síntesis de la cardinalidad y la ordinalldad•). Para una com-prensión del sistema numérico, el niño debe ser capaz de considerar intelectual-mente, de manera simultánea, los cardinales y los ordinales. El número «5. es elsímbolo de una colección, grupo o conjunto que representa a una clase, y, tam-bién, puede representar un orden o una posición dentro de una serie. La com-prensión real de los números pasa, necesariamente, por estos dos sistemas.Cuando se poseen, el camino hacia las operaciones aritméticas queda abierto.

Cuando-al niño se le presenta un número de objetas, sólo puede cuantificarel conjunto numéricamente, si puede establecer, entre los Objetos, una única

26 27

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Iré. 1MM.

relación, sintetizando el orden y la Inclusióñ jerárquica, o inclusión de la parte enel lodo.

Según KAKI,' da tarea de inclusión de clases tiene como objetivo determinarla capacidad del niño para coordinar los aspectos cuantitativos y cualitativos deuna clase y una subclase. Por ejemplo, el niño que dice .que hay más perros queanimales no está coordinando los aspectos cuantitativos y cualitativos de la clase(animales) y una subclase (perros). La Inclusión de clases es semejante a la es-

,tructura jerárquica del número, pero diferente•.PIAGET nos muestra la existencia de tres etapas en la adquisición de este con-

cepto lógico:

Primera: Entre 4 y 5 años no la posee.Segunda: Entre 5 y 6 años las respuestas son contradictorias.Tercera: Su adquisición de 6 a 61/2 años.

Como modelos de pruebas piagetianas, para comprobar la posesión o no deesta nociZn, se describen los siguientes:

1) Se les presenta a los niños una hilera de perlas de madera, ocho de colormarrón y dos de color blanco. Se les formula la siguiente pregunta: ¿Qué haymás, perlas marrones o perlas de madera?

A pesar de que a los niños se les ha aclarado suficientemente que tanto lasperlas de un color como de otro son de madera, las respuestas de los que tienenedades comprendidas entre 4 y 5 años y medio es la que sigue: •Hay más perlasmarrones..

SI se les cambia la pregunta: ¿Con qué perlas hartas un collar más largo, conlas marrones o con las de madera?, la respuesta sigue siendo la misma.

Los niños oyen una pregunta que es distinta a la que se les ha planteado, yaque una vez que han dividido el todo (perlas de madera) en dos partes (perlasmarrones y perlas blancas), lo único sobre lo que pueden pensar es en las dospartes. Para ellos, el todo no existe en ese momento. Pueden pensar en el todo,pero no cuando están pensando en las partes. Para comparar el todo con laspartes, el nIñojlene que realizar dos acciones mentales contrapuestas simultánea-mente: dividir el todo en dos partes y volver a juntar las partes en el todo. Carecede la reversibilidad de oponer dos acciones mentales en „forma simultánea.

Cuando la prueba se realiza con niños de 5 a 6 años y medio, las respuestasson contradictorias (aseguran y luego dudan frente a cualquier argumentación ocontrasugerencia del adulto). A partir de los 6 años y medio, las respuestas ad-quieren seguridad y se complementan con las explicaciones correspondientes:n Hay más bolas de madera que bolas marrones, porque las bolas marrones y lasPlaneas son de: madera..

Pruebas parecidas a la anteriormente expuesta se pueden realizar con unaI KAmtt, C., y DEVRIES, R.: La leona de Piaget y la educación preescolar. Edit. Pablo del Río.

Madrid, 1981.

colección de flores (muchas amapolas y algunas margaritas) y preguntarles: ¿Quéhay, más flores o amapolas? O bien, entregándoles seis perros y dos caballos enminiatura. Se le pide al niño que muestre «todos los animales., •todos losperros. y «todos los caballos«. Después se le plantea la pregunta: ¿Qué hay más,perros o animales?

Sólo si el niño posee esta noción de inclusión clara, se va a poder enfrentar.operativamente con la noción de subconjunto, como parte integrante del conjunto.Va a poder entender que el número ocho no es el nombre del objeto octavo deuna serle, sino el cardinal de un conjunto que Incluye a los cardinales de conjun-tos de siete y un•elemento, de seis y dos elementos, de cinco y tres elementos, decuatro y cuatro elementos, etc.

II. ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN PARA EL DESARROLLODE LAS NOCIONES LÓGICAS ESTUDIADAS

Según PIAGET, los conceptos lógicos expresados más arriba anteceden a losnuméricos, y éstos no pueden producirse utilizando símbolos matemáticos, ver-balizaciones, procesos mecánicos o materiales estructurados rígidamente. Losniños llegan a manipular cosas, pero no saben de las cosas mismas. Habría, pues,que facilitarles materiales que pudieran incluirse en diferentes colecciones, conarreglo a distintos criterios; los niños tendrían que coordinar serles de objetos,establecer todo tipo de relaciones entre toda clase de objetos, acontecimientos yacciones; comparar colecciones de objetos más que contar, incluir subclases ensus clases correspondientes, etc.

Las situaciones experimentales concretas de PIAGET, tal . como seexpuestas en sus obras sobre la conservación de cantidades, seriaciones, corres-.pondenclas, etc., encierran numerosas sugerencias. Todas ellas son concretas ysignificativas para el niño: abalorios con los que deberá formar collares, flores yfloreros, botellas y 'vasos, huevos y hudveras, caramelos que deberán repartir,cuentas de distintos colores, bastones que colocaráen un cierto orden, etc., ser-virán para plantear situaciones experimentales, donde el profesor, mediante pre-guntas que aporten indicios, sugerencias y contrasugerencias, explicaciones exi-gidas a los niños sobre sus respuestas, etc„ puede contribuir a un 'verdaderoaprestamiento numérico. Las pruebas se presentarán lo suficientemente 'vivascomo para que los niños se Identifiquen con los problemas que ellas suscitan. Esla única forma en que puede lograrse tina transición satisfactoria a la auténticapreparación para comprender el concepto sie núrhero, ya que, según bastantesestudios experimentales, existe la posibilidad de favorecer y, por consiguiente, deapresurar el desarrollo cognitiv,o del sujeto. Hay que rechazar una interpretaciónestrictamente maduraclonista del desarrollo, y subrayar las aportaciones delmedio, de la actuación psicodidáctica, en.nuestro caso. .

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A

Primera fase:

__ aura 014~ L."=" 7-71:777-7 " ---.7117 174172

A continuación se describen uha serie de ejercicios que pueden servir paradetectar el nivel de adquisición de los alumnos de las nociones prenuméricas y, almismo tiempo, estimular y acelerar la formación y desarrollo de las mismas.

Conviene que se realicen actividades muy 'variadas y con material diverso,comenzando, obviamente, con material susceptible de ser manipulado y dejandola realización de fichas gráficas y material simbólico para la última fase.

Se procurará que los niños lleguen a la interiorización de Betas nociones me-diante sus propios descubrimientos y experimentación, y favoreciendo la discu-sión y el intercambio de puntos de'vista con los compañeros. En todo caso, elprofesor deberá guiar las actividades mediante las preguntas y propuestas deacciones que considere adecuadas, siguiendo le Ifnéa'metodológica que, para eldiagnóstico de estas nociones, utilizara el mismo PIAGET.

a) Conseruacián de cantidades (continuas y discontinuas)•

1. Se toman dos datas de igual color y tamaño. El niño comprueba y admitela igualdad. A continuación se realiza, con una de las cintas, un lazo. Se le pregun-ta: ¿Qué cinta es más larga, la del lazo o la recta? ¿Por qué?

Primera fase: El niño admite la igualdad.

Segunda fase: Se modifica su presentación a la'vista del muchacho.Tercera fase: Se le pregunta sobre cuál es más larga. Se le piden

todas las explicaciones posibles.

Para una mejor explotación didáctica de la actividad, se puéde destruir el lazoy volver a la situación inicial para que el alumno se percate, una y otra vez, delproceso físico y, así, ayudarle a una interiorización de la reversibilidad de la ac-:In. Conviene que estas acdones las realicen los propios alumnos y las'dlscutann pequeños grupos.

2. Se presentan dos grupos de cinco palillos y se plantean las mismas fasesque en el ejercicio 1. En este caso, por tratarse de una cantidad discontinua, la

pregunta sería: ¿Dónde hay más palillos?

Segunda fase:

Nota: Esta prueba permite muchas variantes: colocar los palillos Juntos, en línea vertical, enlínea horizontal, en línea quebrada, etc.

3. En dos cubiletes se introduce el mismo número de lápices. Se le pide alniño que, de uno de ellos, saque los lápices y los ponga en fila.

V7

4. Se le facilitan al niño un montón de canicas y dos botes de cristal transpa-rente, iguales. El niño irá introduciendo una canica en cada bote, con su mano lz-nuierda y derecha, respectivamente. A continuación se vaciará uno de los botes,bien en un plato, en una vasija distinta en forma y tamaño, en varias vasijas máspequeñas; etc.

10 31

wi•wwwwiliviliktovutdblaolii•LLLYLLLIALIAALLLIALLY.LIALLLIALLIALLL

5. Dos galletas Iguales. Una de ellas se partirá en trozos.6. Presentada a los sujetos, o realizadas por éstos, dos bolas de plasiilina

Iguales, elaborar con una de ellas distintas figuras: salchichas, monedas, objetosdiversos, etc.

7. El niño llenará dos botellas, iguales, de agua coloreada. Más tarde, ve! te-rá el líquido de una de ellas en:

a) Un recipiente bajo y ancho.b) Alto y estrecho.c) Distintos recipientes más pequeños que la botella.d) Etcétera.

8. Se presentan dos flores con igual número de pétalos. Luego, se deshojauna de ellas.

9. Presentar dos vasos de Igual cantidad de arena. Uno de ellos se vacía enel suelo.

104. Dos trozos de tiza Iguales. Una se divide en varias partes.11. Dos cajas de queso en porciones. Una de las cajas se esparce sobre la

mesa.12. Se construyen dos collares con las mismas perlas, mediante un procedi-

miento que el niño pueda comprobar la identidad. A continuación, uno de loscollares se deshace y se forman distintas distribuciones con las perlas.

b) Correspondencias

1. Al son de la música, siete niños y siete niñas bailan en parejas. Cuandotermina la canción, las parejas, en fila y unos frente a otros, se saludan (se esta-blece la equivalencia). A continuación los niños siguen en fila y las niñas bailanalrededor. Se pregunta: ¿Hay más niños o niñas?

2. Dado un armero de sillas Igual al de niños, se establece la equivalencia(cada niño se sienta en su silla). Formamos con los niños un círculo y con las sillasuna fila. Preguntamos: ¿Habrá ahora una silla para cada niño?

3. Se presentan al niño siete flores de plástico .y siete macetas. Se colocacada flor en una maceta, a la vista de los alumnos, o bien, estos mismos hacen unramillete con las flores y se amontonan las macetas. Se pregunta: ¿Qué hay más,macetas o flores?

4. Dados tres montones (cucharas, tenedores y platos). Se apartan un grupode platos. Se pide, a continuación', que los alumnos coloquen la misma cantidadde cucharas y tenedores que la de platos. • . •

5. Se pueden realizar láminas del tipo siguiente:

a) Seis dibujos de niños y seis camisas de tamaños diferentes. Se lespide que recorten los dibujos de los niños y de las camisas y que a cada di-bujo de niños se le coloque una camisa, , atendiendo el tamaño.

b) 'ídem eñrre flores y floreros.

6. Relaciona tamaño de alumnos con mesas y sillas (une con flechas).

c) Seriociones

1. Ordenar seis pelotas y cubos en orden creciente o decreciente. Luego,

Introducir dada pelota en su cubo correspondiente.

2. Que se ordenen seis niños, de menor a mayor. Que, asimismo, ordenenseis bastones de tatniña diferente. Que cada uno elija el bastón que le corrbspon-

da. A continuación, la ficha:

t.;.. 7 ....I, : ...........1,

11t

,...

33

41, 111_,, 5 Ly1 LkI L 11113111,14141a,„111,Aki 414

3. Siete niños se colocan en fila, según sus estaturas (en orden creciente). Aun toque de silbato, o palmada, otras tantas niñas buscarán su pareja y se coloca-rán al lado del niño que les corresponda según su talla.

4. Dado un conjunto de seis círculos, cinco de ellos se ordenan por tamaño.Se les pide, a los alumnos, que inserten el sobrante donde le corresponda.

5. El mismo ejercicio anterior con tres tipos de objetok(triángulos, círculos ycuadrados).

6. Dados dos conjuntos (círculos y triángulos, recortados en cartón) de ta-maños diferentes, colocar cada círculo en el triángulo que le corresponda, segúntamaño.

7. Dada una serle de elementos, seriados por longitud (reglas, porejemplo), ubicar, incorrectamente, uno en la serie. Que el alumno se percate y loinserte en el lugar adecuado.

d) f Inclusiones de los portes en el todo

1. Con una cuerda se realiza un círculo en la clase. Entran bastantes niñosen el círculo. A continuación, se formulan las preguntas siguientes:

a) ¿Qué hay más, niños dentro del círculo ó fuera del mismo?b) ¿Qué hay más, niños deliro del círculo o niños en la clase?

2. Presentar al niño una lámina con nueve flores: tres cerradas y seis abier-tas. Se les formulan las siguientes preguntas:

a) ¿Qué hay más, flores cerradas o flores abiertas?b) ¿Qué hay más, flores abiertas o flores?

3. Se le presentan al niño tres naranjas y seis manzanas. Le preguntamos alniño si las naranjas y las manzanas son frutas. Si contesta positivamente, le pre-guntamos:

a) ¿Qué hay más, naranjas o manzanas?b) ¿Qué hay más, manzanas o frutas?

4. Presentamos diez flores de plástico de color amarillo y cinco de colorazul. Preguntamos de qué están hechas. A continuación se le pregunta:

o) ¿Qué hay más, flores amarillas o azules?b) ¿Qué hay más, flores de plástico o flores amarillas?

5. Presentamos una lámina con un número mayor de perros que de gatos.Se pregunta si los perros y gatos son animales. Admitido esto, se pregunta:

a) ¿Qué hay más, perros á gatos?b) ¿Qué hay más, perros o animales?

6. En una caja de cartón hay doce muñecas y cinco pelotas. Continuamosde la misma manera que los ejercicios anteriores, referido ahora a la clase dejuguetes.

34

III. LOS CUANTIFICADORES: SU TRATAMIENTO DIDÁCTICO

Sirñultáneamenle con las restantes actividades prenuméricas, hay clue ejercitaral alumno en el dominio de los llamados cuantificadores, ya que su utilizaciónes imprescindible para un lenguaje mínimamente matemático. Los cuantificado.res son palabras o unidades léxicas que distinguen cantidades globales. Envuel-ven la idea de número sin precisión, de manera implícita. Cuantifican la realidadde una manera poco precisa: «uno», «ninguno•, «algunos•, etc., son ejemplosde cuantificadores. Como puede observarse, designan cantidades no numéricas.

Las actividades con cuantificadores tienen por 'finalidad Ir extrayendo, pormedio de su manejo, esquemas de naturaleza cuantitativa previos y, por supues-to, menos delimitantes que el concepto de número y preparatorios para su com-prensión.

Por orden de aparición y dominio, y sin ánimo de exhaustividad, los cuantifi-cadores a ejercitar deberían ser:

«muchos•, •pocos•, «todos», «ninguno•, «uno•, «alguno», .¿varios»,«más grande», «más pequeño», •igual», «lo mismo que», «tanto como»,«más que», «menos que», «casi todo».

Asimismo, los'verbos de acción: alcanzar, sobrar, faltar y la palabra dife-rencia guardan estrecha relación con los cuantificadores mencionados y con lasdistintas nociones prenuméricas, y, por consiguiente, es necesario que se ejerciten.

En la didáctica de los cuantificadores es preciso seguir las fases,'varlas'vecesmencionadas, de utilizar, en principio, material concreto y manipulativo, y, comoetapa final, el material figurativo y simbólico.

Los cuantificadores deben ser trabajados en forma conjunta y recíproca, nuncaaisladamente. Los cuantificadores son, en cierto modo, relaciones asimétricas: slun 'vaso tiene mucha agua, es porque otro'vaso o ese mismo'vaso, antes, teníaIpoca agua. Se trata de que el alumno capte estas relaciones.

A continuación se ofrece un modelo de actividades de un grupo de cuantifi-• cadores que pueden set* de paradigma para el desarrollo de los restantes. Elmodelo puede ser adecuado para alumnos de preescolar (5 a 6 años).

1. Objetivo: comprensión y utilización de los cuantificadores:

«más•, «menos•; «Igual», «tanto», «pocos•, «muchos»

Estos cuantificadores están relacionados, estrechamente, con las nocioneslógicas de: conservación, correspondencia e inclusión.

35

L•101,t•t0144 .toi•LIlvtlitiopoltiotivtiottlottiolollitotttip to tto ttLIts t ‘LLLII I I 1-ft-7

2. Situaciones de aprendizaje:

a) Con el propio cuerpo:

—En un cono, los niños sentados en silencio y con los ojoscenados, el profesor dice: Vamos a tocarnos los ojos; ahora, vamosa tocarnos la boca: ¿Qué tenemos, más ojos o bocas?

—Asimismo, se hará con las manos y los pies, las orejas y laspiernas, los dedos de la mano y los dedos de los pies, las uñas y losdedos, las cejas y los ojos, etc.....–...._

b) Con los demás compañeros:—Formar dos filas iguales, una de niños y otra de niñas. Se

cogen de la mano cada niña con cada niño. Se pregunta: ¿Qué haymás, niños o niñas? A continuación se sueltan de la mano y las ni-ñas se separan formando una fila más larga. Seguidamente se pre-gunta: ¿Y, ahora, qué hay más, niños o niñas? Se'vuelven a cogerde la mano y, de nuevo, se les formula la pregunta anterior.

—Con dos grupos de alumnos, un grupo que dé muchos saltosy el otro, a continuación,. dé pocos saltos.

—La profesora da tres saltos y los alumnos, divididos en tresgrupos, deberán: el primer grupo, dar más saltos que su profesora;el segundo grupo, menos saltos, y, el tercer grupo, los mismos sal-tos, Igual que la profesora.

—!dem del ejercicio anterior, con palmadas.—Los alumnos de los tres grupos formados deberán dar

«más•, «menos• o «Iguales» saltos qué palmadas dé la profesora.

c) En relación con los objetos:—Se toma una pareja de alumiibl:' Se reparten lápices, cro-

mos, bolas,49.51tregan ,kunoimaor:número de:Objétós que

otros? coo. A rilirációnWil tilné^:ínUchosb

poc tiene pocos? ¿Quién tiene muchos? ¿Quién tienemás? ¿Quién tiene menos? Seguidamente, se le indica, al alumnoque tiene menos, que 'vaya cogiendo Objetos de un montón hasta•que tenga •igiaal* o «tantos como• su Compañero. También se lepuede Indicar al compañero que tiene mayor número de objetos,que 'vaya entregando, «uno a uno•, al que tiene menos, hasta quetengan los dos •Igual•; o que, el que tenía más, tenga «menos que»su compañero, etc.

— Dado un montón de objetos, indicarles un alumno que le dépoco a un compañero y mucho a otro; que le dé Igual a los dos

36

compañeros; que le cié más a Juan que a Pedro, o a la Inversa: quelos reparta de tal manera que tengan tanto Pedro corno Juan.

— Dados dos aros o dos cuerdas, formando dos círculos, colo-car en uno de los aros o círculos un número cualquiera de objetos.A continuación, pedir a los alumnos que coloquen, en el otro, unnúmero de objetos «mayor», «menor» o.iigual» que en el primero.

d) A nivel verbal puro:

• Se trata de que los alumnos respondan a estímulos puramente'verbales.

— SI Juan tiene una caja de cerillas llena de monedas y Pedrouna caja de zapatos, también llena de monedas: ¿Quién tiene másmonedas? ¿Quién tiene menos? ¿Tiene Juan tantas como Pedro?¿Tienen iguales?, etc.

— Eran dos amigos, Pedro y Juan. Juan estaba calvo: ¿Teníamuchos pelos Juan? ¿Tenía pocos? ¿Quién tenía más pelos? ¿Quiéntenía menos pelos?, etc.

e) A nivel gráfico:

Que realicen las siguientes fichas.— Dados dos árboles, que dibujen, en uno, «muchos• frutos, y,

en otro, «pocos•. (Ficha núm. 1.)— Dados dos círculos o diagramas, dibujar en uno «muchos»

triángulos y, en otro, «pocos•. (Ficha núm. 2.)—Dados dos círculos o diagramas, en uno de los cuales hay un

número de objetos, dibuja «tantos» círculos como objetos hay en elotro. (Ficha núm. 3.)

— Pinta, de rojo, el tren que tiene «más» 'vagones. (Ficha

núm. 4.) • • .— Dibuja frutas en el frutero que tiene menos, hasta que haya

«tantas conici»j .en el otro. (Ficha núm. 5.) -—Pinta en la bolsa'vacía «menos• caramelos que hay en la otra

bolsa. (Ficha núm. 6.).• — Colorear las peceras que tengan «tantos» peces «como• el

modelo. (Ficha núm. 7.)— Colorear donde haya •pocos» pájaros. (Ficha núm. 8.)—Colorea, recorta y pega muchas o pocas flores, según corres-

ponda a la estación dibujada. (Fichas núms. 9 y 10.)— Colorear las jaulas que tengan «Igual• número •de pájaros.

(Ficha núm. 11.)— Colorea, recorta y pega en una cesta «tantas• flores «como•

en la otra. (Fichas núms. 12 y 13.)37

"'" TIL 7-7 177,1' •--•

4. Ervalor de un numeral es Ja suma de los productos representados por losdígitos del numeral.

Representamos, con ejemplos concretos, las reglas anteriores en distintasbases de numeración:

BASE DECIMAL

tt nkho af.s

(40>m)

3

3 if (diez

BASE BINARIA

Ciertos estudios experimentales ? han puesto de manifiesto el paralelismo queexiste entre la construcción por parte del sujeto Individual del sistema de nu-meración posicional y el propio proceso histórico de su aparición. Se dice, enel artículo citado: «La apropiación del sistema de numeración posicionalsupone un proceso de construcción por parte del individuo que presenta, enalgunos casos, grandes similitudes con el proceso histórico de la construcción.»Continúa diciendo: «Un principio general válido es que la acción debe preceder aIn formatitect6n. Cuanto más acida el tufo, (lo fbrtna Intoligants, sobra la reali-dad, más posibilidad tendrá de reflexión y de reorganizar en un plazo superior loque ha conseguido en el de la acción. No provocar, prematuramente, la formali-zación recurriendo a un sistema tan complejo como nuestro posicional.• Es con-veniente, pues, que en nuestra didáctica respetemos, de alguna manera, estospasos esenciales que, tanto una evolución histórica como una construcción indi-vidual nos muestran. «La utilización mecánica, y no comprensiva, del sistema denumeración será la causa de los fracasos repetidos que los alumnos experimentanen la resolución de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación ydivisión).»

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40 2 3 0400 : 2,0.0

Gituro bC PM. 1)( lb) rtf o tCUATA* DOS VAN> III. PSICOPEDAGOGÍA DE LOS NÚMEROS NATURALES

(Zxs) DEL O AL 9 .

401(dos

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5 01;ek,

Para un trabajo metodológico eficaz, es preciso que se respeten una serle deprincipios didácticos y desarrollar una serie de actividades que resultan de la évolu-cIón histórica del nacimiento del número y sus propiedades esenciales, o nocioneslógicas, que subyacen a éste (inclusión jerárquica de clase, conseivación, corres-pondencia, seriación). Los principios y actividades consistirán, sintéticamente, enlo siguiente:BASE CUATERNARIA

1.° Una presentación lo más lúdica y natural posible (principio dinámico).

t." DEDiecuelr

G Al, *o DIcoA TM,

«UPO DC 2.° Reppetó,f1111kfases manipulativa o psicomotriz, gráfica (figurativa• y esquemática) y dirittiMica. El símbolo numérico (el numeral y el signo gráfico)es lo último que debe aparecer en el aprendizaje del número. •(ex 2/ 1

3.° Principios de 'variabilidad perceptiva y de 'variabilidad .matemática, yaexplicados anteriormente.

4.° Realizar todas las actividades posibles de composición-descompo-sición. Se trata de cultivar tanto el aspecto convergente como divergente, en elproceso «analítico-sintético• de la construcción de los números naturales.

7 •La construcción del sistema de numeración • Individual». Revista Infancia y-aprendizaje,núm. 19/20, pág. 75.

38

2.7 (d4*

57

DESCOMPOSICIÓNo r O ASPECTO

0 7 0 ANALÍTICO/

0 1, 0DIVERGENTE

wwwwwwwwwwwww Willbfi bI ROWWWWW1010.010WWWW .Wirbo 10 Ir ir Go 1# loirtirlirlylirSolioli#101101•110•61M, Nal- -- 11— — fi=

u, WWW

8.° Realizar actividades del tipo siguiente:

— Dado un conjunto . o su representación cardinal, formgr o escribiruno mayor y otro menor.

— Dados dos conjuntos o sus representaciones cardinales correspon-dientes, uno mayor y otro menor, igualarlos, redistribuyéndolos corive-nientemente.

Ejemplo:

3 1, s.

COMPOSICIÓN d9 3 /ASPECTOSINTÉTICO/CONVERGENTE

5.° Realizar todas las actividades posibles de sedaciones crecientes-decrecientes. Actividades de «contar» y «descontar».

SERIACIÓN CRECIENTE(contar dos a dos)

SERIACIÓN DECRECIENTE(descontar uno a uno).

6.° No olvidar que, a un— conjunto (cardinal) dado, se puede llegar poracumulación o integración a un conjunto (cardinal) menor, y, también, pordisminución de otro menor. Por las actividades, pues, de «poner» y «quitar».

(Añadir, acumular

(Disminuiro poner)

o quitar)

7.° Los ejercicios de composición-descomposición y de sedacionescrecientes•decrecientes, debidamente contextuallzados, se deben relacionar;desde un primer momento, con las operaciones aritméticas de «suma-resta»,•suma-multiplicación•, cresta-división». Estos ejercidos, aparte de constituir uncálculo mental eficiente, són un aprestamiento básico para. el aprendizaje de lasoperaciones aritméticas.

58

—Ídem anterior, hacer al menor mayor y al mayor menor.— Dar el anterior y el posterior de un número cualquiera y que hallen

éste.Ejemplo:1. ¿Qué número está entre el 6 y el 8?2. Dibuja un conjunto de bolas qué tenga más que A (O 0 0 0 0 0)

y menos que B (0 0 0 0 0 0 0 0).— Dadas una serie de láminas en las que se representen distintos

números de objetos, separar las que tienen más objetos que una dada.Separar las que tienen menos.

— Dada una serie de conjuntos o cardinales correspondientes, insertarnuevos' números o series en la serle.

Ejemplo:1. Coloca los números 5 y 7 en la serie siguiente:

— Dada una serie de conjuntos o cardinales de conjuntos, ordenarlosde mayor a menor, iikviceversa.

9.° El graftsmo simbólico, última etapa del aprendizaje de los númerosnaturales, debe recoger las siguientes actividades:

1. a Invención, simbolización propia.2. 4 Elección de Símbolos comunes a nivel de clase.3. a Simbología • convencional.

59

45-4k. Y-A _ bk. -1521:1L-_ ---11W

1,11,111,11»wwwww. y ww,

14. • Discriminación perceptivo-visual.5.' Etealkad6n de movimiento psicomotriz, de base, adecuado.6. • Lectura y copla.7.' Dictado numérico: golpes rítmicos, presentación de objetos, pre-

sentación de láminas con distintos números de objetos, etc., pueden seractividades que automaticen la lectura y escritura de los numerales del•cero» hasta la (decena.. •

En el aprendizaje de los numerales hasta la decena, la pVesentación del nu-meral •cero» (0) debe ser de los 'últimos. A través de cualquier cardinal, con suconjunto correspondiente, se puede llegar al «0» (conjunto 'vacío, ninguno nnada), mediante la acción de disminuir o descontar. El •0• es ausencia denúmero, ausencia de cantidad. Para el alumno es una abstracción suplementaria,pues, al contrario de las otras cifras, indica que no hay nada. Hay, pues, queconocer y comprender, antes, números que Indiquen existencia de objetos.

Ejemplo:a) Llegar al (0• a partir de los conjuntos:

b) Procedimiento operativo.Utilizando una bandeja con un número cualquiera de ,objetos, ir reti-

rando uno a uno, contabílizando'veíbalmente lo que'va xp.ledlnáo, hastallegar a no tener ninguno, utilizando el grafismo y nombre correspondien-te (•cero n•

id

A continuación se desarrolla la programación de actividades,para el aprend1-:aje del número cinco, que puede setvir de paradigma para la pticodiááctica deos restantes números hasta la decena.

61

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INTROdUCC I ÓN

Se comenzará con el aprendizaje del número cinco con la canción •cincolobitos llene la loba», que se cantará con la mano dominante abierta, con todoslos dedos separados y haciendo giros sobre la muñeca.

ACTIVIDADES

a) Fose monipuiailua:

— Hacer anillos de plastilina para Introducir uno en cada uno de los dedos deuna mano.

— Tomar un dedal (de un montón dado) para cada uno de los dedos de unamano yrcolocárselos.

— Hacer uñas de plastilina para cada uno de los dedos de una mano.— Colocarse un guante y observar que cada dedo del guante coincide con

uno de la mano.— Poner en una caja tantos bolígrafos como dedos hay en una mano.— Sacar de una caja tantos lápices como dedos tiene una mano.— ídem con sacapuntas.— Hacer coincidir cada lápiz con un sacapuntas.— Dados cinco bolígrafos, ,que retiren de un mont6n dado de capuchones

tantos como bolígrafos dados.— La clase se agrupará en grupos de alumnos como dedos de una mano.— El profesor daré cinco palmadas y los alumnos las repetirán.— Presentados cinco objetos, hacer que el alumno ponga sobre la mesa tan-

tos objetos como se presentan en el modelo.— Dado un modelo, que los alumnos ensarten grupos de cinco bolas, de dis-

tintos colores, formando un collar.— Dado un mont6n de objetos, que el alumno los reparta a un grupo de

compañeros (tres o cuatro como máximo), dándoles tantos como dedos tiene enuna mano.

— Dados cinco objetos y distintos recipientes (bolsas, círculos, etc.), qué elalumno los reparta de todas las formas posibles:

a) De uno en uno. • •6) De dos en dos.c) De tres en tres.d) De cuatro en cuatro.e) 1) Se trata de descomponer de todas las maneras-posibles.

62

— Dados recipientes, con distintos números de bolas en número inferior acinco, que el alumno tome dos, tres, cuatro, etc., recipientes cuya totalidad seaIgual a cinco. Se trata de componer de todas las maneras posibles.

— Dado un grupo de objetos mayor que los dedos de una mano (cinco), quelos alumnos retiren todos los que sobran, que dejen sólo cinco.

— Dado un grupo de objetos menor que cinco, que el alumno agregue losque faltan.

— Dados dos conjuntos de objetos (uno de •seis» y otro de •cuatro» objetos),que el alumno forme un conjunto mayor que cuatro y menor que seis.

b) Fose gráfica:

— Dada una lámina de •cinco» objetos, el alumno frente a un montón (deobjetos dados) hará grupos iguales al de la lámina.

— Dado el dibujo de una mano:

a) Pintar un anillo en cada dedo.b) Repasar los bordes dé los dedos con un rotulador.c) Picar los bordes de los dedos con un punzón.d) Recortar los dedos por el picado que se ha hecho anteriormente.

— Realizar las fichas siguientes:Fichas núms. 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 y 24.

c) Fase simbólico-gráfica:

— Tomamos una de las láminas (fichas) anteriores (por ejemplo, la querepresenta la mano) y se le dirá al alumno que, por cada dedo, trace una líneavertical hasta »llegar al cuarto 1111. Al llegar al quinto se le dirá que atraviese lascuáltro líneas anteriores con una línea oblicua-1HE

— Ordenar estas cinco líneas, valiéndose de palillos, de la siguiente forma:

de esta manera lo introducimos en la fase del grafismo simbólico.— Ejercicios de discriminación perceptivo-visual. (Ficha núm. 26.)— Otros ejercicios en las fichas núms. 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35,

36, 37, 38, 39 y 40.

63

-ffla Twen

FICHA NÚM. 1

It_y? IV Will yr Yr wr

FICHA NÚM. 2

Milla en un conjunto «muchos» triángulos y en el olio «pocos».

%0 'CP %O WO TO' 110 WO WO I, jO bo %o %o Yo %o Aw Ir ir a, to lo lw lw ly 10,

r10 lw tw tw lw Sw tw 11. I, I, I, I, I, I, I, I, &Lit&

—1412, --"Wr "`"*Itz """trk-- ""!

Pinla en un círculo en blanco « tantos» círculos FICHA NÚM

como iriányulr.. !: 11 Jy en el otro.

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Now _rtir Pl..' I. wwn <— 11; 1211.

itA NÚM. S FIGIIA N

Itritzts en el frutero que llene 'menos,'r que haya »tantas corno» en ei otro,

11111;1 (n1 la Itt risa I• „,1",..„ ca l a il wlos que hay en la otra bolsa.

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FICI IA NÚM. FICHA NÚM. 1(

)lorea, recorta y pega « ,111,11as» o «pocas» flores, según corresponda, con laestación te i icsentada en la ficha siguiente.

:71at/ 7 i di) , \ 1'111 11

1161'.4

¡Él 1111111.§

/ffirmolly.,.‘,nquirdoo

Yo ai ir rir Ir Ir 11# %. 10 lar 'holar lar lo lar lo l• lar lar lar L iwkar t. i. t• talio IP1101 --1/119 ..""lke "."11= "Ink- m""k

z

I I '1: Filas que tengan «igual» número cle pájaros.

Colorea y recen ta

FICHA NÚM. 1:

! a , ;. en una cesta de la ficha siguiente,“ c ∎ uno» en la otra.

" flo~ljr:z:--wroly• , imemew wirsus,

11r;12 MI 1Mb ir213=`sul~gi

4.5X~=1Us` ‘~itV

Vi; 61'..7;07, kW. 7dZigatinall,11~1

Icce_ —,4=1 littL

tar cachi hinnador de un color distinto y el capuchónnertenece de su mismo color.

st.ir 59-°4r,,Y —10"--11110--)• . . . .

Hacer bolitas de papel (le rini ,.,,lores distintos. Pegarlas en cada uno de lo_

lápices y pinta ' el ,-incil L e • (pie le corresponde del mismo color.

Pintar a cada niño sú mesa y su silla del mismo color. Luego, unir mediante uncamino. cada niño con su silla y con su mesa.

Rchlea con una línea grupos que contengan «tantos» objetos «como» el modelo.

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Quitar un elemento cada vez.

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Dibuja en el cuadro tantos objetos comote indica el cardinal del cuadro.

Poner en el cuadro el cardinal que representaa los elementos que están en el conjunto.

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Completar hasta que todos 1(),:conjuntos tengan «5» element,.

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FICI IA NÚM. 35

, ijar corresponda. Coloren «tantas» flores «como» !•W!". rayadas de las eliquelas.

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• 1 : . itny dibujados (11 este cuadrad()?

Pin!. tanihién dentro (lel enadrado¿c .-dimos hay ahora?

los siguientes ejercicios de descontpw •

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FICI IA NUM. 36

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.L:la el segundo conjunto para que tenga los nn.que el primero, ¿Cuántos objetos has (libui.

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•

PSICOPEDAGOGIA DE LA Ducl 1,,••

1A CENTENA Y EL MILLARobjetos. COMu ct:‹-triraclos (111P tslfin vacíos, (lecine, entre InÇ 1.!.,1•,,• objetos ,.1

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?n el segundo cuadrado? dominio <le la incltisi(ii de clases, iones y 111 015 estturtitn;,,,

t'ilre los dos? ,espai.ii, temporales» consolidadas (antes-desptir , s, derecha-izquierda, etc.).•H el mismo número de objetos entre estos dos cuadrados que en el tercero? l'ara el aprendizaje de las decenas (grupos do diez o agrupaciones de diez)

hay que ejercitarse previamente en la capacidad de agrupar conjuntos o coleccio-nesde objetos en subgrupos de dos, tres, cuatro... diez elementos.

una primera fase, estos agrupamientos se !talán de manera rnanipulativa,coiúobjetos concretos (palillos, cerillas, bolas, etc.); más tarde, gráfica (figurativay esquemática), y, por último, con los símbolos gráficos.

Las actividades que se podrían realizar en las distintas fases serían las si

guientes:

a) Fase manipula:loa:

— Con grupos de alumnos de la clase, que se reparten, cogidos de la mano,en grupos de dos, de tres, de cuatro, etc. Que cuenten los grupos formados ycuenten los que les sobran (unidades que les sobran). Ejemplo: cinco grupos decuatro y sobran dos; dos grupos de diez y sobran tres, etc.

-. Utilizando las manos, que indiquen cuántas manos de objetos (grupos decinco objetos) hay en una colección dada.

- ídem anterior, utilizando los dedos de las manos («manos completas» o«manos llenas» y «dedos»). Ejemplo: ¿Cuántos niños hay en la clase? Los alum-nos contestan: «tres manos llenas» o «tres manos completas» y «cuatro dedos».

• — Dibujando un diagrama en el salón de la clase, que se introduzcan dentro:

a) Más de diez alumnos.b) Menos de • diez alumnos.c) Que salgan del diagrama los que sobran (los que hay más de diez).d) Que entren hasta completar diez.

b) Fasease gráfica:

— Encierra los siguientes objetos en grupos de dos, tres, cuatro. cinco... diezobjetos. (Presentar una lámina con un número cualquiera de objetos.) Se trata dequé los alumnos respondan: seis grupos de dos y sobra una; cinco grupos de tresy S'.' ';.'r dos. etc.

- ídem con las láminas de círculos, triángulos, etc