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PRUEBAS DE HIPTESIS DE UNA POBLACIN P. Reyes/Sept. 2007

PRUEBAS DE HIPTESIS

DE UNA POBLACIONP. Reyes

Septiembre 2007

CONTENIDO

1. Introduccin

2. Pruebas de hiptesis para una poblacin

3. Prueba de hiptesis estadstica

4. Ejemplos de frmulas para calcular los estadsticos de prueba5. Ejemplos de pruebas de hiptesis de una poblacin

6. Ejercicios adicionales

Pruebas de hiptesis de una poblacin 1. Introduccin

La inferencia estadstica es el proceso mediante el cual se utiliza la informacin de los datos de una muestra para extraer conclusiones acerca de la poblacin de la que se seleccion la muestra. Las tcnicas de inferencia estadstica se dividen en dos reas principales: Estimacin de intervalos de confianza y Pruebas de hiptesis.

En cada prueba estadstica, se comparan algunos valores observados contra algunos esperados u otro valor observado comparando estimaciones de parmetros (media, desviacin estndar, varianza). Estas estimaciones de los verdaderos parmetros son obtenidos usando una muestra de datos y calculando los estadsticos.

La capacidad para detectar una diferencia entre lo que es observado y lo que es esperado depende del desarrollo de la muestra de datos. Incrementando el tamao de la muestra mejora la estimacin y la confianza en las conclusiones estadsticas.

Al realizar pruebas de hiptesis, se parte de que un valor supuesto (hipottico) es el parmetro poblacional. Despus de recolectar una muestra aleatoria, se compara el estadstico muestral, as como la media (x), con el parmetro hipottico, se compara con una supuesta media poblacional (). Despus se acepta o se rechaza el valor hipottico, segn proceda. Se rechaza el valor hipottico slo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.

Se trata de probar una afirmacin sobre parmetros de la poblacin (media (; varianza 2 o proporcin () en base a datos de estadsticos de una muestra (X media, s2 o p respectivamente):

Por ejemplo, probar las afirmaciones en los parmetros se usan los estadsticos:

En una poblacin

La media poblacional (( = 12;

estadstico Zc

La varianza poblacional( 2 = 12; estadstico (c2 La proporcin poblacional ( = 0.3 estadstico Zc

En dos poblaciones

Las medias poblacionales son iguales ( (1 = ((2 o ((1 - ((2 = 0; estadstico Zc o Tc

Las varianzas poblacionales(son iguales 12 = 22 o 12 - 22 = 0; estadstico Fc

Las proporciones poblacionales son iguales (1 = (2 o (1 - (2 = 0 estadstico Zc

La prueba de hiptesis tiene varias etapas:

Etapa 1.- Planear la hiptesis nula y la hiptesis alternativa. La hiptesis nula (H0) es el valor hipottico del parmetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.

Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hiptesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipottico que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 0.05 o menos.

Etapa 3.- Elegir el estadstico de prueba. El estadstico de prueba puede ser el estadstico muestral (el estimador no segado del parmetro que se prueba) o una versin transformada de ese estadstico muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipottico de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribucin normal, entonces es comn que se transforme la media en un valor Z el cual, a su vez, sirve como estadstica de prueba.

Etapa 4.- Establecer el valor o valores crticos del estadstico de prueba. Habiendo especificado la hiptesis nula, el nivel de significancia y el estadstico de prueba que se van a utilizar, se procede a establecer el o los valores crticos del estadstico de prueba. Puede haber uno o ms de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos o colas.

Etapa 5.- Determinar el valor real del estadstico de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipottico de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crtico que se establece es un valor de Z, entonces se transforma la media muestral en un valor de Z.

Etapa 6.- Tomar la decisin. Se compara el valor observado del estadstico muestral con el valor (o valores) crticos del estadstico de prueba. Despus no se rechaza o se rechaza la hiptesis nula. Si se rechaza sta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisin tendr efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estndar de desempeo o cul de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.

La distribucin apropiada de la prueba estadstica se divide en dos regiones: una regin de rechazo y una de no rechazo. Si estadstico de prueba cae en esta ltima regin no se puede rechazar la hiptesis nula y se llega a la conclusin de que el proceso funciona correctamente.

Al tomar la decisin con respecto a la hiptesis nula, se debe determinar el valor crtico en la distribucin estadstica que divide la regin del rechazo (en la cual la hiptesis nula no se puede rechazar) de la regin de rechazo. A hora bien el valor crtico depende del tamao de la regin de rechazo.

Pasos de la prueba de hiptesis:1. Definir el Problema ( Problema Prctico).2. Sealar los Objetivos ( Problema Estadstico).3. Determinar tipo de datos: Atributo o Variable.

4. Si son datos Variables: Hacer Prueba de Normalidad.

5. Establecer las Hiptesis: Hiptesis Nula (Ho con signo igual), o la Hiptesis Alterna (Ha con signo de mayor o menor).

6. Seleccionar el nivel de Alfa (normalmente 0.05 o 5%).

7. Establecer el tamao de la muestra, .8. Desarrollar el Plan de Muestreo.

9. Seleccionar Muestras y Obtener Datos.

10. Decidir la prueba estadstica apropiada y calcular el estadstico de prueba (Z, t, X2 o F) a partir de los datos.

11. Obtener el estadstico correspondiente de tablas o Excel.

12. Determinar la probabilidad de que el estadstico de prueba calculado ocurra al azar.

13. Comparar el estadstico calculado con el de tablas y ver si cae en la regin de rechazo o ver si la probabilidad es menor a alfa, rechace Ho y acepte Ha. En caso contrario no rechace Ho. 14. Con los resultados interprete una conclusin estadstica para la solucin prctica.2. Pruebas de hiptesis para una poblacin

Se trata de probar una afirmacin sobre parmetros de la poblacin (media (; varianza 2 o proporcin () en base a datos de estadsticos de una muestra (X media, s2 o p respectivamente):Elementos de LA prueba: Prueba Estadstica: Procedimiento para decidir aceptar o rechazar hiptesis. Hiptesis: Es una afirmacin acerca de una o ms poblaciones.

Hiptesis Nula (Ho): Usualmente es una afirmacin representando una situacin status quo. Generalmente deseamos rechazar la hiptesis nula.

Es la hiptesis o afirmacin a ser probada

Puede ser por ejemplo ( =, , o ( a constante Slo puede ser rechazada o no rechazada Hiptesis Alterna (Ha): Es lo que aceptamos si podemos rechazar la hiptesis nula. Ha es lo que queremos probar.

Es la hiptesis que se acepta como verdadera cuando se rechaza Ho, es su complemento

Puede ser por ejemplo 7 para prueba de dos colas < 7 para prueba de cola izquierda

> 7 para prueba de cola derecha

Estadstico de prueba: Calculado con datos de la muestra.

Regin de Rechazo: Indica los valores de la prueba estadstica para que podamos rechazar la Hiptesis nula (Ho). Esta regin esta basada en un riesgo a deseado, normalmente 0.05 o 5%. Estadstico de prueba(Z, t, X2 o F): Para probar la hiptesis nula se calcula un estadstico de prueba con la informacin de la muestra el cual se compara a un valor crtico apropiado. De esta forma se toma una decisin sobre rechazar o no rechazar la Ho. Error tipo I (alfa = nivel de significancia, normal=0.05): Se comete al rechazar la Ho cuando en realidad es verdadera. Tambin se denomina riesgo del productor

Error tipo II (beta): Se comete cuando no se rechaza la hiptesis nula siendo en realidad falsa. Es el riesgo del consumidor

Las pruebas de hiptesis pueden ser de dos colas, de cola derecha o de cola izquierda, a continuacin se esquematizan cada una de ellas.

3. Prueba de hiptesis Estadstica Hiptesis nula Ho, complemento de la Hiptesis alterna: Es la hiptesis o afirmacin a ser probada

Puede ser por ejemplo ( =, (, o ( a 5

Slo puede ser rechazada o no rechazada

Hiptesis alterna Ha, complemento de la hiptesis nula: Es la hiptesis que se acepta como verdadera cuando se rechaza Ho, es su complemento Si el signo de la hiptesis alterna es ( entonces se trata de una prueba de dos colas; si es > de cola derecha y si es < de cola izquierda. Puede ser por ejemplo ( ( 5 para prueba de dos colas

( < 5 para prueba de cola izquierda

( > 5 para prueba de cola derecha

Pasos de la prueba de hiptesis: Se plantea inicialmente la Ha si en el problema se muestra la afirmacin de ser menor o mayor a un valor establecido histrico.

Se plantea inicialmente la Ho si en el problema se muestra la afirmacin igual (es, histricamente ha sido); mayor o igual (cuando menos) o menor o igual (a lo ms) a un valor establecido histrico.

No importa cual se plantee primero, siempre la conclusin se hace contra la Ho (se rechaza o no se rechaza)

El intervalo de confianza es el intervalo donde se estima que se encuentre el parmetro de la poblacin (media (; varianza 2 o proporcin () para un cierto nivel de confianza o de significancia.Estadstico de prueba

Para probar la hiptesis nula se calcula un estadstico de prueba con la informacin de la muestra el cual se compara a un valor crtico apropiado. De esta forma se toma una decisin sobre rechazar o no rechazar la Ho

Error tipo I (alfa = nivel de significancia, es comn = 0.05 ). Alfa = 1- Nivel de confianza Se comete al rechazar la Ho cuando en realidad es verdadera. Tambin se denomina riesgo del productor. Error tipo II (beta )

Se comete cuando no se rechaza la hiptesis nula siendo en realidad falsa. Es el riesgo del consumidor

Pruebas de Hiptesis de dos colas:

Si la Ho: ( = que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se reparte en ambos extremos de la distribucin. Por ejemplo si Ha: ( 10 se tiene: Ho: a = b

Ha: a ( b

Pruebas de Hiptesis de cola derecha:Si la Ho: ( (, que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se coloca en el extremo derecho de la distribucin. Por ejemplo si Ho ( ( 10 y Ha: ( >10 se tiene una prueba de cola derecha:

Ho: a ( b

Ha: a > b

Pruebas de Hiptesis cola izquierda:

Si la Ho: ( ( que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se coloca en el extremo izquierdo de la distribucin. Por ejemplo si Ho ( ( 10 y Ha: ( < 10 se tiene una prueba de cola izquierda:Ho: a ( b

Ha: a < b

Pasos para realizar una prueba de hiptesisProbar la hiptesis de igualdad de una media ( para n > 30

1) Establecer las hiptesis e identificar el nivel de significancia alfa o 1- Nivel de confianza (NC)Ho: (((( Ha: ((((2) Calcular el estadstico de prueba Zc o Tc con frmula

3) Determinar el estadstico de tablas Zt o Tc de Excel para una cierta alfa o 1-NC4) Establecer la regin de rechazo con Zt y ver si cae ah Zc

Las regiones de rechazo prueba de 2 colas: -Z(/2 y Z(/2 5) Determinar el Intervalo de confianza para la media y ver si incluye a la media de la hiptesis, si no rechazar Ho

6) Determinar el valor P correspondiente a Zc y comparar contra Alfa/2, si es menor rechazar Ho4. Frmulas para calcular los estadsticos de prueba Frmulas para Intervalos de confianza de parmetros de una poblacina) Intervalo de confianza para estimar ( con muestras grandes (n >= 30 ) y cuando ya se cuenta con historial, o sea que ( es conocida:

Si la ( no se conoce entonces se usa S de la muestra en su lugar

b) Intervalo de confianza para estimar ( con muestras pequeas (n < 30; grados de libertad = gl. = n 1):

c) Intervalo de confianza para estimar ( proporcin poblacional:

d) Tamao de muestra para estimar ( en funcin del error :

e) Tamao de muestra para estimar ( en funcin del error , en el peor caso ( = 0.5:

Frmulas para calcular los estadsticos utilizados en las pruebas de Hiptesis de una pob.f) Estadstico Zc muestras grandes (n >= 30 ) y cuando la ( es conocida (ya se tiene historial):

f) Si no se conoce la ( entonces se reemplaza por la S de la muestra.

g) Estadstico tc para muestras pequeas (n < 30) y la ( es desconocida:

h) Estadstico Zc para proporciones y muestras grandes (n >= 30):

Ejemplos de cada uno de los casos

a) Estadstico Zc muestras grandes (n >= 30 ) o cuando la ( es conocida (ya se tiene historial):

Estadstico de tablas Zalfa o Zalfa/2 en Excel =DISTR.NORM.ESTAND.INV(alfa o alfa/2)

Estadstico de tablas Zalfa o Zalfa/2 en Minitab >Calc >Probability distributions> Normal:

Inverse Cummulative prob; Mean = 0; Std. Dev. = 0; Input constant = Alfa o alfa/2Intervalo de confianza para estimar ( con muestras grandes (n >= 30) o cuando ya se cuenta con historial, o sea que ( es conocida:

Si no se conoce la ( entonces se reemplaza por la S de la muestra.

El valor p de probabilidad correspondiente al estadstico Zc se determina como sigue:

P value en Excel =DISTR.NORM.ESTAND(Zc)

P value en Minitab >Calc >Probability distributions> Normal:

Cummulative prob; Mean = 0; Std. Dev. = 0; Input constant = ZcPrueba de hiptesis en Minitab:

>Stat >Basic statistics > 1-Sample Z

Utilizar Sample in columns o Summarized data

Sample size 49Mean 11.5 Standar deviation 1.1

Test Mean 12

Graphs Seleccionar ! Individual value plot

Confidence level 90%

Alternative not equal

OK

Resultados:

One-Sample Z

Test of mu = 12 vs not = 12

The assumed standard deviation = 1.1

N Mean SE Mean 90% CI Z P49 11.5000 0.1571 (11.2415, 11.7585) -3.18 0.001Criterios de rechazo de Ho:

Si Zc cae en la zona de rechazo

El valor de la Hiptesis no se encuentra en el Intervalo de confianza

El valor P es menor que el valor de alfa (prueba de una cola) o de alfa/2 (dos colas).

b) Estadstico tc para muestras pequeas (n < 30) y la ( es desconocida:

Estadstico de tablas Talfa o Talfa/2 en Excel =DISTR.T.INV(2*alfa o alfa, grados de libertad n-1)

Estadstico de tablas Talfa o Talfa/2 en Minitab >Calc >Probability distributions> :

Inverse Cummulative prob; Degrees of freedom = n-1; Input constant = Alfa o alfa/2

Intervalo de confianza para estimar ( con muestras pequeas (n < 30; grados de libertad (gl.) = n 1):

El valor p de probabilidad correspondiente al estadstico Tc se determina como sigue:

P value en Excel =DISTR.T(Tc, grados de libertad, 1 o 2 colas)

P value en Minitab >Calc >Probability distributions> T:

Cummulative prob; Degrees of freedom = n-1; Input constant = Tc

Prueba de hiptesis en Minitab:

>Stat >Basic statistics > 1-Sample t

Utilizar Sample in columns o Summarized data

Sample size 10Mean 11277 Standar deviation 3772Test Mean 12000

Graphs Seleccionar ! Individual value plot

Confidence level 95%

Alternative not equal

OK

Resultados:

One-Sample T

Test of mu = 12000 vs not = 12000

N Mean StDev SE Mean 95% CI T P

10 11277.0 3772.0 1192.8 (8578.7, 13975.3) -0.61 0.559Criterios de rechazo de Ho:

Si Tc cae en la zona de rechazo

El valor de la Hiptesis no se encuentra en el Intervalo de confianza

El valor P es menor que el valor de alfa (prueba de una cola) o de alfa/2 (dos colas).

c) Estadstico Zc para proporciones y muestras grandes (n >= 30):

Estadstico de tablas Zalfa o Zalfa/2 en Excel =DISTR.NORM.ESTAND.INV(alfa o alfa/2)

Estadstico de tablas Zalfa o Zalfa/2 en Minitab >Calc >Probability distributions> Normal:

Inverse Cummulative prob; Mean = 0; Std. Dev. = 0; Input constant = Alfa o alfa/2

Intervalo de confianza para estimar ( proporcin poblacional:

El valor p de probabilidad correspondiente al estadstico Zc se determina como sigue:

P value en Excel =DISTR.NORM.ESTAND(Zc)

P value en Minitab >Calc >Probability distributions> Normal:

Cummulative prob; Mean = 0; Std. Dev. = 0; Input constant = Zc

Prueba de hiptesis en Minitab

>Stat >Basic statistics > 1- Proportion

Summarized data

Number of trial 500Number of events 225

Graphs Seleccionar ! Individual value plot

Confidence level 98%Test proportion 0.40 Alternative Less than

! Use test and interval based on normal distribution

OK

Resultados

Test and CI for One Proportion

Test of p = 0.4 vs p < 0.4

98%

Upper

Sample X N Sample p Bound Z-Value P-Value

1 225 500 0.450000 0.495693 2.28 0.989Criterios de rechazo de Ho:

Si Zc cae en la zona de rechazo

El valor de la Hiptesis no se encuentra en el Intervalo de confianza

El valor P es menor que el valor de alfa (prueba de una cola) o de alfa/2 (dos colas).

d) Clculo del estadstico con base en Chi cuadrada para prueba de una varianza.Ho: =

Ho: (

El estad

Donde:

la varianza de la hiptesisN = nmero de datos de la muestraS2 = varianza de los datos de la muestrae) Tamao de muestra para estimar ( en funcin del error :

f) Tamao de muestra para estimar ( en funcin del error , en el peor caso ( = 0.5:

5. Ejemplos de pruebas de hiptesis de una poblacinEjemplos de Prueba de hiptesis EstadsticaPaso 1. Para una muestra grande (n >30) probar la hiptesis de una media . Establecer alfa.

Ho:

Ha:

Paso 2. Calcular el estadstico de prueba

Paso 3. Establecer la regin de rechazo, para prueba de 2 colas:

Paso 4. Si el valor del estadstico de prueba cae en la regin de rechazo rechazaremos Ho de otra manera no podemos rechazar Ho.

Paso 5. Calcular el intervalo de confianza IC para un nivel de confianza de 1-alfa, si la media de la hiptesis se encuentra dentro del intervalo, no rechazar Ho y viceversa.

Paso 6. Calcular el valor de Probabilidad P para el estadstico calculado a partir de la muestra Zc o Tc por medio de:

Para Zc: P = distr.norm.estand.inv(-Zc)

Para Tc: P = distr.t.inv(Tc, grados de libertad, 1 o 2 colas)

Para Chi2: P = Prueba.chi.inv(Chi c, grados de libertad)

Si el valor de P es menor o igual a alfa se rechaza Ho y se acepta Ha (en el caso de dos colas el valor de P total es del doble del calculado).

Prueba Z de 2 colas

Problema 1

Los enanos de Blanca Nieves le informan que excavan 12 toneladas promedio por semana. Nieves recolecta datos de 49 semanas y obtiene X=11.5, s= 1.1 a un nivel de significancia =10%. Los Enanos estn en lo cierto.

Solucin

1) Planteamiento de hiptesis

Ho: =12

Ha: 12

2) Determinar estadstico de la prueba Z

Zc= 11.5 12/ (1.1 / 49) = -0.5/ 0.157 = -3.185

3) Determinar el valor de Zt de acuerdo al valor de alfa

10% / 2 = 0.05

Z de tablas 0.05 = -1.64

4) Interpretacin y conclusiones

Dado que Zc=-3.185 es menor que Zt=-1.64 la Ho se rechaza a un nivel alfa del 10%.

Los enanos no excavan 12 toneladas al da5) Intervalo de confianza

IC = Media +-Zalfa/2* S/ raiz(n)

IC = 11.5+- 1.64* 1.1/raiz(49) = (11.242, 11.75)

La media de la hiptesis no se encuentra en el intervalo de confianza, se rechaza Ho.

6) Valor P del estadstico de prueba

P =distr.norm.estand(Zc) =distr.norm.estand(-3.18) = 0.00073

Como el valor P es menor a alfa/2 entonces se rechaza Ho

Prueba Z para una proporcin

Problema 8

Midwest planea comercializar un producto slo si por lo menos el 40% del pblico lo prefiere. En una muestra de 500 personas encuentra que 225 lo prefieren. A un nivel alfa de 2%, Midwest debe comercializar el producto?

Solucin

1) Planteamiento de hiptesis

Ho: 0.40

Ha: 0.18

2) Determinar estadstico de la prueba Z

p = (0.18)(1-0.18) / 120 = 0.035

p= 24/120 = 0.2

Zc= 0.2-0.18/ 0.035) = 0.02/ 0.035 = 0.571

3) Determinar el valor de Z en tablas de acuerdo al valor de alfa de 0.05%

Z de tablas para 0.05 = 1.64

4) Interpretacin y conclusiones

Dado que Zc=0.571 es menor que Zt=1.64 la Ho no se rechaza a un nivel de confianza del 5%.

La proporcin de aviones con falla es del 0.185) Intervalo de confianza

p = 24/120 = 0.2

Sp = raiz (p(1-p)/n)) = raz(0.2(0.8)/120) = 0.0365

IC = p +- Zalfa/2 * Sp

IC = 0.2 +- 1.64*0.0365 = (0.1402, 0.2598)

La media de la hiptesis se encuentra en el intervalo de confianza, NO se rechaza Ho.

6) Valor P del estadstico de prueba

P =distr.norm.estand (Zc) =distr.norm.estand (-0.571) = 0.284

Como el valor P es mayor a alfa/2 entonces NO se rechaza Ho, la proporcin es 0.18.Prueba de hiptesis para una varianza

Problema 10

Se trata de probar si la varianza poblacional de las rentas en las ciudades es de 30.

Los datos de la renta para diferentes ciudades es la siguiente:

CiudadRenta

A47

B50

C53

D45

E40

F43

G39

H37

La varianza de los datos en Excel es: = Var( datos de rentas ) = 31.0714286

Paso 1. (2 = (02

(2 ( (02Ho: Varianza = 30

Ha: Varianza ( 30

Paso 2. Estadstico de Prueba Chi cuadrado calculado Chic:

Donde:

(02 = Varianza de Ho = 30;

N = nmero de datos = 8;

Varianza de datos S2= 31.0714286

(c2 = (8-1)*31.0714286 / 30 = 7.25Paso 3. Estadstico correspondiente a alfa ( =0.05 (por tanto (/2 = 0.025).

De tablas o con Excel por ser una prueba de dos colas:

(2(/2, n-1 = prueba.chi.inv(0.025, 8-1) = 16.0127643(2 (1-(/2), n-1 = prueba.chi.inv(0.975, 8-1) = 1.68986919

Paso 4. Se observa si el (2c cae en la zona de rechazo, como en este caso no es as, no hay evidencia suficiente para rechazar Ho, y se considera que la varianza si es de 30.

Paso 5. Calculando el valor P correspondiente a la Chi calculada ((2c se tiene:

P = distr.Chi((2c, n-1) = distr.chi(7.25, 7) = 0.4033

Como el valor P correspondiente a X2c es mayor que Alfa/2, no se rechaza la Ho

Paso 6. Calculando ahora el intervalo de confianza para la varianza poblacional se tiene:

Sustituyendo valores se tiene: (13.58291398, 128.7081872)

Como el 30 de la Ho se encuentra en el intervalo de confianza, no se rechaza Ho indicando que la varianza no es diferente de 70.

6. Ejercicios adicionales:

12. Los tiempos que toma el registro de las rdenes en un negocio son los siguientes:

1.91.72.82.42.62.52.83.21.62.5

a) Probar a un Nivel de Confianza del 90% si el tiempo es mayor a 1.98.

b) Probar a un alfa de 0.02 si la desviacin estndar es mayor a 0.6.

13. Se quiere probar la afirmacin de que la distancia viajada por pelotas de golf es de 250 yardas a un 95% de confianza.Se toma una muestra de 36 distancias

269300268278282263301295288278276286296265271279

284260275282260266270293272285293281269291274277

299263264273

14. Las Ganancias por accin son de 3 dlares para un 95% de confianza, probar esta afirmacin..

Una muestra de datos arroj los resultados siguientes:

1.922.163.633.164.023.142.22.343.052.38

15. Un estudio encontr que 40% de los usuarios de Internet recibieron ms de 10 mensajes diarios. Si de 420 usuarios 188 recibieron estos mensajes, a un nivel de 5% Cul es la conclusin?

16. Un estudio indic que el 64% de los consumidores de supermercado creen en las marcas propias. El fabricante de una salsa de tomate pregunt a 100 compradores donde 52 prefieren marca propia,probar si el porcentaje de preferencias es menor al 64%, para un 5% de nivel de significancia.

17. Un restaurante planea una oferta especial si ms del 15% de los clientes compra vasos de diseo especialcon personajes de caricaturas. En una prueba 88 de 500 clientes compraron vasos. A un 0.01 de nivel de significancia, Cul es su recomendacin?

18. Las rentas diarias de automoviles en Dlares de ocho ciudades se muestra a continuacin:

CiudadABCDEFGH

Renta4750534540433937

A un 5% se comprueba la hiptesis de que la varianza de la poblacin es de 30?19. Se midi la temperatura de fusin de un aceite vegetal hidrogenado en n=16 muestras y se encontr una media de 94.32. Si la temperatura de fusin sigue una distribucin normal con sigma = 1.20.

a) Probar a un 95% de nivel de confianza de que la media se ha mantenido en 95.

20. La duracin promedio de cierto foco es de 750 horas. El cliente cambiara de marca slo que se demuestre que de manera concluyente que la vida de los focos es menor que la anunciada. Se elige una muestra aleatoria de 20 focos, se determina su duracin y se obtiene una vida media de 738.44 con una desviacin estndar de 38.20.

a) Cul sera la conclusin a un 95% de nivel de confianza?

21. Despus de ciertas horas de trabajo se determin el desgaste de flechas en 0.0001 para cada una de las n=8 mquinas que tienen plomo y cobre como material de soporte, y se obtuvo como resultado que la media fue de 3.72 con desviacin estndar de 1.25.

a) Se desea probar si el desgaste es mayor a 3.5 a un 95% de nivel de confianza.

22. Las lecturas de radiacin de Radn tomadas en 12 lugares fueron como sigue:

105.6, 90.9, 91.2, 96.9, 96.5, 91.3, 100.1, 105, 99.6, 107.7, 103.3 y 92.4.

a) A un alfa de 5%, indican las lecturas que difieren de 100?.

23. Se prueban 100 bateras de Ni-H para celdas de prueba y se determina que 14 de ellas se ampoyan en sus placas fallando. Para un 5% de nivel de significancia.

a) Proporciona lo anterior una evidencia de que ms del 10% de las bateras fallan?24. Para un cierto servicio los tiempos de respuesta son de 3 horas, probar la afirmacin para un 98% de nivel de confianza.

Una muestra de datos arroj los resultados siguientes:

1.92

2.16

3.63

3.16

4.02

3.14

2.2

2.34

3.05

2.38

25. Las horas tomadas para mantenimiento son las siguientes. Probar a un 5% si el tiempo es > 2 Hrs.

Tiempos

1.9

1.7

2.8

2.4

2.6

2.5

2.8

3.2

1.6

2.5

26. Un estudio encontr que 40% de los usuarios de Internet recibieron ms de 10 mensajes diarios

Si de 420 usuarios 188 recibieron estos mensajes, a un nivel de 5% Cal es la conclusin?

27. Un estudio indic que el 64% de los consumidores de supermercado creen en las marcas propias. El fabricante de una salsa de tomate pregunt a 100 compradores donde 52 prefieren marca propia,

probar si el porcentaje de preferencias es menor al 64%, para un 5% de nivel de significancia.

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