prueba_onem_2015_faseI

Sociedad Matematica Peruana

XII Olimpiada Nacional Escolar de Matematica (ONEM 2015)

Primera Fase - Nivel 1

19 de junio de 2015

- La prueba tiene una duracion maxima de 2 horas.

- No esta permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.

- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizartus calculos.

- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con laprueba. En caso de empate se tomara en cuenta la hora de entrega.

- Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que esta prohi-bido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el da 28 de junio.A partir del 29 de junio las pruebas estaran publicadas en la pagina web delMinisterio de Educacion.

MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS

1. Un colegio va a organizar un paseo para sus 242 alumnos, para lo cual debe contratar algunosbuses. Si cada bus tiene una capacidad de 45 pasajeros, cuantos buses debe contratar comomnimo?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2. La siguiente tabla muestra las temperaturas promedio de cinco ciudades durante cuatro dasconsecutivos:

lunes martes miercoles jueves

Puno 9 7 6 9

Iquitos 32 34 33 32

Chimbote 21 22 23 24

Cusco 10 12 10 14

Lima 14 13 16 17

Que ciudad tuvo el mayor aumento de temperatura de un da al siguiente?

Puno B) Iquitos C) Chimbote D) Cusco E) Lima

3. Sobre la mesa haba 6 tarjetas marcadas con los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ada cogio dostarjetas, Brenda cogio otras dos tarjetas y finalmente Celia se quedo con las dos tarjetas quequedaron. El producto de los numeros de Ada es 6 y la suma de los numeros de Brenda es10. Cual es el producto de los numeros de Celia?

A) 5 B) 4 C) 2 D) 8 E) 6

1



4. Bruno tiene una maquina que le costo 10000 soles y Cesar tiene una maquina que le costo6700 soles. Cada ano la maquina de Bruno pierde 500 soles de su valor y cada ano la maquinade Cesar pierde 200 soles de su valor. Dentro de cuantos anos las maquinas tendran el mismovalor?A) 13 B) 7 C) 8 D) 14 E) 11

5. Determine el menor entero positivo de cuatro dgitos que es multiplo de 6 y ademas tiene suscuatro dgitos distintos. De como respuesta el dgito de las unidades de dicho numero.

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

6. Hay un camino recto que une los pueblos de Moropampa, Soropampa y Coropampa, pero nonecesariamente estan en ese orden. Un caminante que pasaba por Coropampa vio un letreroque deca:

Lo malo es que el letrero no deca en que direccion estaba cada pueblo. Despues de caminarvarios kilometros llego a Soropampa y ah se entero que Moropampa esta a mas de 25 km dedistancia. Cual es la distancia entre Moropampa y Soropampa?

A) 55 km B) 30 km C) 35 km D) 45 km E) 50 km

7. Mario le dice a Tomas que piense un numero. Luego, le dice a Tomas que sume 3 a su numero,despues, que multiplique el resultado por 2, despues, que le reste 10 al resultado y, finalmente,que divida el ultimo resultado entre 2. Para terminar, Mario le pide a Tomas que le diga larespuesta final. Que operacion debe hacer Mario con esta respuesta final para obtener elnumero que Tomas penso al inicio?

A) Restar 2.B) Sumar 4.C) Multiplicar por 3.D) Dividir entre 3.E) Sumar 2.

8. SeaM el menor entero positivo que es multiplo de cada elemento del conjunto {11, 12, 13, . . . , 99}.Entonces M no es multiplo de

A) 106 B) 105 C) 104 D) 103 E) 102

2



9. Cada da de la proxima semana, desde lunes a domingo, el senor Perez va a usar una camisablanca, celeste o azul. El senor Perez nunca usa el mismo color de camisa dos das seguidos.De cuantas formas diferentes puede escoger los colores de sus camisas si el da viernes siempreusa camisa azul?

Aclaracion: No es necesario que el senor Perez use los tres colores de camisa.

A) 32 B) 64 C) 128 D) 96 E) 72

10. Paul, Raul y Saul son tres amigos de edades diferentes. Se sabe que exactamente una de lassiguientes proposiciones es verdadera:

Raul es el mayor.

Paul no es el mayor.

Saul no es el menor.

Ordene a los amigos de mayor a menor:

A) Raul, Paul, SaulB) Paul, Raul, SaulC) Saul, Paul, RaulD) Saul, Raul, PaulE) Paul, Saul, Raul

11. El da 5 de cierto mes fue miercoles y el da 5 del siguiente mes tambien fue miercoles, cualesson estos meses?

A) Enero y febrero B) Febrero y marzo C) Marzo y abrilD) Junio y julio. E) Setiembre y octubre.

12. Un cuadrado grande es dividido en dos cuadrados pequenos (ubicados en la parte inferior)y tres rectangulos de igual permetro (ubicados en la parte superior), como se muestra en lafigura:

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaJohn Cuya

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

1.

2.

3.

1

Si el permetro de cada rectangulo es 28 cm, halle el permetro del cuadrado grande.

A) 72 cm B) 52 cm C) 64 cm D) 48 cm E) 16 cm

13. Si a, b, c son dgitos distintos, ninguno de ellos igual a 0, determine cuantos valores distintospuede tomar la siguiente suma:

abc+ bca+ cab.

A) 24 B) 27 C) 21 D) 19 E) 15

3



14. En cada crculo de la siguiente figura se escribe un numero entero positivo de tal modo que lasuma de los tres numeros ubicados en los vertices de cualquier triangulo pequeno es siempreigual a 5.



1.

2.

3.

1

Halle el mayor valor que puede tomar la suma de todos los numeros.

A) 13 B) 15 C) 7 D) 11 E) 9

15. El maximo comun divisor de los numeros abc y 240 es 15. Cuantos valores distintos puedetomar a+ b+ c?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

16. Ricardo piensa en un numero par de dos dgitos y le dice a Julian que la suma de estosdgitos es N . Para cuantos valores de N , la informacion brindada permite que Julian sepacon seguridad cual es el numero que Ricardo penso?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

17. En la figura se muestran crculos unidos por segmentos. Cada crculo debe ser pintado deun color. Determine cuantos colores se necesita como mnimo si queremos que se cumpla lasiguiente propiedad: si A,B,C son tres crculos consecutivos cualesquiera, entonces A y Ctienen colores distintos.



1.

2.

3.

1

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4



18. Para cada entero positivo n, sea S(n) la suma de los dgitos de n y sea P (n) el producto delos dgitos de n. Cuantos enteros positivos n cumplen que S(n) P (n) = 2015 ?A) 999 B) 400 C) 399 D) 403 E) 575

19. En la figura se muestra un rectangulo de 3 cm de ancho y 4cm de largo. En su permetro sehan marcado 14 puntos igualmente espaciados. De cuantas formas se puede escoger dos deesos puntos de modo tal que el segmento que los une divide al rectangulo en dos partes cuyasareas estan en la relacion de 1 a 3 ?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12

20. Al inicio, una ficha esta en la casilla central de un tablero de 101 101. En cada paso la fichase mueve a cualquiera de sus cuatro casillas vecinas. En cuantas posiciones diferentes puedeestar la ficha luego de exactamente 60 pasos?

Aclaracion: Dos casillas son vecinas si comparten un lado.

A) 3657 B) 6921 C) 3501 D) 3721 E) 3600

GRACIAS POR TU PARTICIPACION

5




19 de junio de 2015







1. Si P,E,R,U son dgitos tales que PE RU = 2015, calcule el valor de P + E + R + U .A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

2. En una carrera participan cinco amigos Aldo, Beto, Carlos, Daniel y Eduardo. Se sabe queAldo llego a la meta antes que Beto, Carlos llego antes que Daniel y Daniel llego antes queEduardo y que Aldo. Si Beto no llego en ultimo lugar, cual de los amigos llego en tercerlugar?

A) Aldo B) Beto C) Carlos D) Daniel E) Eduardo

3. Sean a, b,m, n numeros reales positivos tales que a+ b = 2mn y m+ n = 3ab. Halle el valorde la expresion (

1

a+

1

b

)(

1

m+

1

n

).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

4. El numero 0,2015 esta entre . . .

A)1

2y 1 B)

1

3y

1

2C)

1

4y

1

3D)

1

5y

1

4E)

1

6y

1

5

1



5. En el grafico se indica la cantidad de das festivos que tiene cierta ciudad entre los meses demarzo y junio. Halle la cantidad de das festivos que tiene dicha ciudad en el mes de junio.



1. problema 5

marzo abril mayo junio

3n 8n+ 52n

3n 5

2. problema 8

x

80

A

B C

L1

L2

3. problema 11

1

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

6. Roberto hace 5 anos tena la mitad de la edad actual que tiene Sandro, su hermano mayor.Si dentro de 5 anos la edad de Sandro sera un cuadrado perfecto menor que 40, determine laedad actual de Roberto.

Aclaracion: Un cuadrado perfecto es un numero de la forma k2, donde k es un numero entero.

A) 7 B)15 C) 4 D) 12 E) 20

7. Un grupo de trabajadores puede realizar una obra en 100 das. Otro grupo de trabajadorespuede realizar la misma obra en 150 das. Se decide contratar a ambos grupos, los cualestrabajaran la misma cantidad de das, pero por separado (en los primeros das trabajaran elprimer grupo y en los ultimos das, el segundo grupo). Cuantos das tardaran en completarla obra?

A) 120 B) 125 C) 130 D) 135 E) 140

8. En el siguiente grafico, ABC es un triangulo equilatero y las rectas L1 y L2 son perpendicu-lares. Determine el valor de x.



1. problema 5


3n 8n+ 52n

3n 5

2. problema 8

x

80

A

B C

L1

L2

3. problema 11

1

A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60

2



9. Un entero positivo es llamado cuatrero si cumple las siguientes condiciones a la vez:

Cada uno de sus dgitos pertenece al conjunto {1, 2, 3, 4},Cualesquiera tres dgitos ubicados en posiciones seguidas son distintos entre s.

Por ejemplo, 12314 y 23412 son cuatreros. Cuantos numeros cuatreros de cinco dgitos (in-cluyendo a los del ejemplo) hay en total?

A) 32 B) 48 C) 64 D) 72 E) 96

10. Sean m y n enteros positivos tales que m + n = 2015, m es multiplo de 3 y n es multiplo de7. Halle el resto de dividir 3m + 7n entre 21.

A) 9 B) 6 C) 2 D) 11 E) 18

11. Cual de los siguientes numeros es el mayor?

A) 2100 B) 480 C) 660 D) 840 E) 1020

12. Cual es el menor entero positivo que se puede escribir como la suma de 2, 3, 4, o 5 numerosprimos distintos?

A) 28 B) 30 C) 26 D) 38 E) 20

13. Un cuadrado grande esta dividido en cuatro rectangulos y un cuadrado pequeno, como muestrala figura:



1. problema 5


3n 8n+ 52n

3n 5

2. problema 8

x

80

A

B C

L1

L2

3. problema 11

1

Si los permetros de los cuatro rectangulos son (en algun orden) 10 cm, 15 cm, 18 cm y 23cm, determine el permetro del cuadrado grande.

A) 25 cm B) 28 cm C) 33 cm D) 38 cm E) 41 cm

3



14. Anita va a lanzar tres veces un dado sobre la mesa, cual es la probabilidad de que la sumade los numeros que va a obtener sea multiplo de 3?

A)1

2B)

1

3C)

1

6D)

2

3E)

1

4

15. Determine el valor de

2000

(1 1

22

)(1 1

32

)(1 1

42

) (

1 11002

).

A) 1010 B) 1000 C) 1200 D) 505 E) 1111

16. En una reunion hay ocho mujeres. Se sabe que una de ellas es amiga de todas las demas,cinco tienen dos amigas en la reunion, una tiene una amiga en la reunion y la ultima tiene xamigas en la reunion. Halle la suma de todos los valores que puede tomar x.

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

17. Decimos que un numero de cuatro dgitos distintos abcd es luminoso si 5a + b = 5c + d.

Por ejemplo, 2015 es luminoso ya que todos sus dgitos son distintos y 5 2 + 0 = 5 1 + 5.Cual es el menor numero luminoso? De como respuesta la suma de sus dgitos.

A) 13 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

18. Halle el coeficiente de x2 al expandir el producto

(1 + x)(1 + 3x)(1 + 5x)(1 + 7x) (1 + 19x).

A) 3690 B) 4335 C) 5655 D) 6310 E) 6975

19. Sea P un punto en el interior de un triangulo ABC tal que AP = PC, ABP = 20,PBC = 30 y PCB = 70. Determine el valor de PAB.A) 50 B) 35 C) 40 D) 20 E) 30

4



20. Se tiene un tablero de 6 6, como se muestra en la figura:



1. problema 20

2. problema 20, tablero de 6 x 6

1

Algunas casillas se van a pintar de negro de tal forma que no haya tres casillas negras consecu-tivas en horizontal, vertical o diagonal, es decir, no debe haber tres casillas negras dispuestasde alguna de las siguientes formas:



1. problema 20


1

Cuantas casillas negras puede haber como maximo?

A) 18 B) 20 C) 17 D) 19 E) 16


5




19 de junio de 2015







1. Andrea, Berta, Claudia y Diana tienen cuadernos en sus mochilas. Una de ellas tiene uncuaderno, otra tiene dos, otra tienes tres y la ultima tiene cuatro cuadernos en su mochila.Andrea, Diana y Berta tienen 7 cuadernos en total. Claudia y Diana tienen 5 cuadernos entotal. Si Berta tiene mas cuadernos que Andrea, cuantos cuadernos tienen Claudia y Bertaen total?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2. Los numeros a, b, c, d, 2b son los primeros cinco terminos de una progresion aritmetica.

Si a 6= 0, calcule el valor de a+ bc+ d

.

A)1

2B)

2

3C)

3

5D)

5

9E)

7

9

3. En un triangulo rectangulo ABC, recto en C, denotamos = BAC y = CBA.Si sen = cos 23, calcule el valor de

tan( 7)tan( + 7)

.

A) 2 B) 1 C) 3 D)

3 E) 6

4. Los numeros de dos dgitos ab y ba cumplen que ab 2 es multiplo de 7 y ba 1 es multiplode 9, determine el valor de a+ b.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

1



5. La mediana de una cantidad impar de numeros se determina de la siguiente forma: se ordenalos numeros de menor a mayor, y la mediana se define como el numero que aparece en laposicion central. Por ejemplo, la mediana de los numeros 2, 5, 2, 1, 4 es 2 porque al ordenardichos numeros de menor a mayor obtenemos 1, 2, 2, 4, 5 y el 2 es el que esta en la posicioncentral.

Determine cuantos valores diferentes puede tomar la mediana de los nueve numeros:

1, 11, 12, 5, 8, 13, 5, 5, n,

donde n es un entero positivo.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

6. Carlos tiene dos cubos tales que la arista de uno de ellos es mayor que la arista del otro en2 cm. Al calcular sus superficies totales, se dio cuenta que la diferencia de estas es 96 cm2.Determine la diferencia de los volumenes de los cubos de Carlos.

A) 26 cm3 B) 56 cm3 C) 98 cm3 D) 152 cm3 E) 218 cm3

7. Determine cuantos enteros positivos n cumplen la siguiente desigualdad:

n

20+

20

n< 3 +

1

3.

A) 59 B) 53 C) 56 D) 42 E) 49

8. En el cuadrilatero ABCD se cumple que ADB = DCB = 90, BD = 9, DC = 3 yAD = 5

2. Calcule la longitud de la diagonal AC.



1.

A

B C

D

P

2.A

B

C

D

3. tablero de 5 x 5 por si te animas a cambiar la de tableros

1

A) 4

7 B) 7

2 C) 8 D) 3

11 E) 9

9. Hay 100 personas haciendo una fila para entrar a un concierto. En cualquier grupo de 7personas consecutivas hay siempre 5 mujeres. Si en total hay 30 hombres en la fila, cuantasmujeres hay entre las 10 personas del medio?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

2



10. A,B,C son vertices (no necesariamente consecutivos) de un polgono regular de n lados tales

que ABC = 80

7. Determine el valor de n sabiendo que 200 < n < 300.

Aclaracion: Un polgono regular es un polgono que tiene todos su lados iguales y todos susangulos interiores de igual medida.

A) 240 B) 250 C) 252 D) 266 E) 280

11. El juego de Batalla Naval se juega sobre un tablero de 5 5, los barcos se representan porrectangulos y cada rectangulo esta formado por cuadraditos del tablero. Ana y Beto juegana Batalla Naval. Beto coloco sus 4 barcos que son rectangulos de 1 2, 1 3, 1 4 y 1 5sobre el tablero de 5 5 (los barcos pueden estar en vertical u horizontal pero no puedentener casillas en comun). Ana no puede ver el tablero, ella solo puede indicar en que casillasse van a realizar disparos. Luego de hacer los siguientes 5 disparos, Ana no derribo ningunbarco de Beto:



1. problema 9


1

Cuantos disparos mas debe hacer Ana como mnimo para derribar con seguridad todos losbarcos de Beto?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

12. Exteriormente al cuadrado ABCD se construye el triangulo rectangulo APD (recto en P ),tal que AP < PD y el area del triangulo BPC es al area del cuadrado ABCD como 5 es a8. Calcule la medida de ADP .



1.

A

B C

D

P

2.A

B

C

D

3. tablero de 5 x 5 por si te animas a cambiar la de tableros

1

A) 22.5 B) 30 C) 15 D) 24 E) 18

3



13. Sea x un angulo agudo tal que cos2 x (1 + senx cosx) = 1. Calcule el valor decosx

(1 senx)2 cosx

(1 + senx)2.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8

14. El entero positivo N cumple las siguientes dos propiedades:

El maximo comun divisor de N y 280 es 20.

N tiene exactamente 15 divisores positivos (incluyendo a 1 y N).

Determine la suma de los dgitos de N .

A) 2 B) 3 C) 7 D) 4 E) 1

15. Una permutacion es una forma de ordenar los elementos de una secuencia. Por ejemplo,(2, 1, 6, 5) es una permutacion de (1, 2, 5, 6).

Sea (a, b, c, d, e) una permutacion de (1, 2, 3, 4, 5), cual es el mayor valor que puede tomar elproducto (a b)(b c)(c d)(d e)?A) 18 B) 24 C) 36 D) 48 E) 72

16. Decimos que un numero de cuatro dgitos distintos abcd es luminoso si 5a+ b = 5c+ d. Porejemplo 2015 es luminoso ya que todos sus dgitos son distintos y 5 2 + 0 = 5 1 + 5. Cuales el mayor valor que puede tomar la suma de los dgitos de un numero luminoso?

A) 20 B) 22 C)24 D) 26 E) 28

17. Se pintan de rojo 10 puntos de una circunferencia. Martn traza una cuerda que une dospuntos rojos y Nicolas traza una cuerda que une dos puntos rojos distintos a los de Martn.Cual es la probabilidad de que estas dos cuerdas se corten?

A)1

6B)

3

4C)

1

2D)

2

3E)

1

3

18. En un triangulo rectangulo ABC, recto en B, se ubica un punto interior T y se trazanlos segmentos TP , TQ y TR que tienen igual longitud y son perpendiculares a los ladosdel triangulo (P en AB, Q en BC y R en AC). En cada uno de los cuadrilateros TQBP ,TPAR y TRCQ se inscribe una circunferencia (tangente a los cuatro lados del cuadrilaterocorrespondiente) cuyos radios son 6, 9 y x, respectivamente. Halle el valor de x.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

4



19. Se tiene un tablero de 44 como el mostrado. En cada casilla del tablero se escribe un numeroentero de tal modo que en cada fila y en cada columna haya al menos dos numeros iguales.Cual es la mayor cantidad de numeros distintos que puede haber en el tablero?



1. problema 9


1

A) 8 B) 10 C) 9 D) 12 E) 11

20. Sean x, y, z reales positivos tales que

x2y + y2 = 2z,

y2z + z2 = 3x,

z2x+ x2 = 4y.

Calcule el valor de xyz.

A) 1 B) 2 C)3

2D) 3 E)

3

4


5

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