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5/25/2018 pruebadehiptesis-110627203017-phpapp01

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PRUEBA DE HIPTESIS LVARO VALENCIA OROZCO

PRUEBA DE HIPTESIS

La estadstica inferencial es el proceso de usar la informacin de una muestra para describirel estado de una poblacin. Sin embargo es frecuente que usemos la informacin de unamuestra para probar un reclamo o conjetura sobre la poblacin. El reclamo o conjetura serefiere a una hiptesis. El proceso que corrobora si la informacin de una muestra sostiene

o refuta el reclamo se llama prueba de hiptesis.HIPTESIS Y NIVELES DE SIGNIFICANCIA

En la prueba de hiptesis se pone a prueba un reclamo hecho sobra la naturaleza de unapoblacin a base de la informacin de una muestra. El reclamo se llama hiptesis estadstica.

Hiptesis Estadstica: Una hiptesis estadstica es un reclamo hecho sobre lanaturaleza de una poblacin.

Por ejemplo, la premisa formulada por un productor de bateras para autos de que su bateradura en promedio 48 meses, es una hiptesis estadstica porque el manufacturero noinspecciona la vida de cada batera que l produce.

Si surgieran quejas de parte de los clientes, entonces se pone a prueba el reclamo del

manufacturero. La hiptesis estadstica sometida a prueba se llama la hiptesis nula, y sedenota como H0.

COMO ESTABLECER LA HIPTESIS NULA Y LAALTERNA

Hiptesis Nula (H0): premisa, reclamo, o conjetura que se pronuncia sobre la naturalezade una o varias poblaciones.

Por ejemplo, para probar o desaprobar el reclamo pronunciado por el productor de baterasdebemos probar la hiptesis estadstica de que 48. Por lo tanto, la hiptesis nula es:

H0: 48.

Luego se procede a tomar una muestra aleatoria de bateras y medir su vida media. Si lainformacin obtenida de la muestra no apoya el reclamo en la hiptesis nula (H0), entoncesotra cosa es cierta. La premisa alterna a la hiptesis nula se llama hiptesis alterna y se

representa por H1.

Hiptesis Alterna: Una premisa que es cierta cuando la hiptesis nula es falsa.

Por ejemplo, para el productor de bateras

H0: 48 y

H1: < 48

Para probar si la hiptesis nula es cierta, se toma una muestra aleatoria y se calcula lainformacin, como el promedio, la proporcin, etc. Esta informacin muestral se llamaestadstica de prueba.

Estadstica de Prueba: Una estadstica de prueba se basa en la informacin de la muestracomo la media o la proporcin.

ERROR TIPO 1Y ERROR TIPO 2

A base de la informacin de una muestra nosotros podemos cometer dos tipos de errores ennuestra decisin.

1. Podemos rechazar un H0que es cierto.


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2. Podemos aceptar un H0que es falso.

El primero se llama error Tipo 1

Error Tipo 1: Cuando rechazamos una Hiptesis Nula que es cierta cometemos error tipo 1.

Y el segundo error se llama error Tipo 2.Error Tipo 2: Cuando aceptamos una Hiptesis Nula que es falsa cometemos error tipo 2.

NIVEL DE SIGNIFICANCIA ( )

Para ser muy cuidadosos en no cometer el error tipo 1, debemos especificar la probabilidadde rechazar H0, denotada por . A sta se le llama nivel de significancia.

Nivel de Significancia: La probabilidad ( ms alta de rechazar H0cuando H0es ciertose llama nivel de significancia.

Comentario: Para mantener la probabilidad de cometer el error tipo 1 baja, debemos

escoger un valor pequeo de .

Usando un valor preasignado de se construye una regin de rechazoo regin crticaenla curva normal estndar o en la curva tque indica si debemos rechazar H0.

Regin Crtica o de Rechazo: Una regin crtica o de rechazo es una parte de la curvadezo de la curva t donde se rechaza H0.

La regin puede ser de una cola o de dos dependiendo de la hiptesis alterna.

Ejemplos Para H1: > valor aceptado, la regin de rechazo est dada por:

(cola derecha, z t)

Para H1: < valor aceptado, la regin de rechazo est dada por:

(cola izquierda, z t)

Para H1 : valor aceptado, la regin de rechazo es de dos colas y est dada

por:

(2-colas, z t)

Ejemplo 1: Determine si la regin de rechazo es de la cola derecha, de la cola izquierda o dedos colas.

a. H0: = 15, H1: 15, =.05

b. H0:p 0.7, H1:p> 0.7, =.02

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Solucin: La forma de la regin de rechazo est determinada por la hiptesis alterna.

a. H1: 15 significa que la regin est en ambas colas.

b. H1:p> 7 significa que la regin est en la cola derecha.

Ejemplo 2: En el Ejemplo 1a, presumamos que la regin de rechazo es parte de la curvanormal estndar. Complete el dibujo de la regin crtica para los valoressiguientes:

a. = .05

Solucin:a. Del ejemplo 1(a), tenemos:

Ejemplo 3: En el ejemplo 1a, presumamos que la regin de rechazo es parte de la curva t.Complete el dibujo de la regin de rechazo para:

a. = .05 y = 14Solucin:

a. Del ejemplo 1(a), = .05, y = 14, tenemos:

Ejemplo 4: Establezca las hiptesis nula y alterna.

a. Las millas por galn (mpg) promedio de un nuevo modelo de automvil es32.

b. Ms del 65% de los empleados de un colegio aportan a Fondos Unidos.

c. En promedio, los empleados de cierta compaa viven a no ms de 15 millasde la misma.

.05/2 .05/2

.02

.05/2=0.025 .05/2=0.025De la tabla de la distribucin normal,la P(Z z) =.025 corresponde a unvalor Z= -1.96. Por simetra laP Z>z =.025 corres onde a Z= 1.96.1.96-1.96

.05/2=0.025 .05/2=0.025De la tabla de la distribucin t, laP(T

t) =.025 corresponde a un valort= -2.086. Por simetra laP T>t =.025 corres onde a t= 2.086.2.086-2.086


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d. Al menos un 60% de la poblacin adulta de una comunidad votar en lasprximas elecciones Presidenciales.

e. El peso promedio de un pollo para asar es de al menos cuatro libras.

Solucin:a. H0: = 32 b. H0:p .65 c. H0: 15

H1: 32 H1:p .65 H1: > 15

d. H0:p .6 e. H0: 4

H1:p< .6 H1: < 4

EJERCICIOS

En los ejercicios (1-6) determine si la regin de rechazo para la hiptesis nula est en la colaizquierda, en la cola derecha, o ambas colas. Para el nivel de significancia dibuje la reginde rechazo.

1. H0

: 11; H1

: > 11 2. H0

5.8; H1

: < 5.8

3. H0:p= 0.4; H1:p 0.4 4. H0: = 110; H1: 110

5. H0:p 0.3; H1:p< 0.3 6. H0:p 0.8; H1:p< 0.8

En los ejercicios (7 - 18) complete la regin de rechazo (encuentre el valor de z y t).

7. a) z, si = .05 b)t, si = .025 y = 9

8. a) z, si = .01 b) t, si = .05 y = 13

9. a)z, si = .02 b)t, si = .01 y = 5

10. a)z, si = .025 b)t, si = .01 y = 9

11. a)z, si = .05 b) t, si =.05 y = 10/2 /2


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12. a)z, si = .01 b) t, si =0.1 y = 7

En los ejercicios (13 - 18) establezca las hiptesis nula y alterna.

13. Los automviles estacionados en el estacionamiento de periodo prolongado delaeropuerto internacional de Bogot permanecen un promedio de 2.5 das.

14. Una nueva marca de llantas radiales dura en promedio ms de 48,000 millas.15. El balance promedio de una cuenta de cheques en el First State Bank es de al menos

$150 dlares.

16. Se reclama que al menos el 60% de las compras realizadas en cierta tienda pordepartamentos son artculos de especiales.

17. Se reclama que el 20% de los graduados de cierto colegio privado solicitan admisin aescuelas de medicina.

18. Un dentista reclama que el 5% de sus pacientes sufren enfermedades en las encas.

PRUEBA DE HIPTESIS PARA UNA MUESTRA

INTRODUCCIONDentro del estudio de la inferencia estadstica, se describe como se puede tomar una muestraaleatoria y a partir de esta muestra estimar el valor de un parmetro poblacional en la cual se puedeemplear el mtodo de muestreo y el teorema del valor central lo que permite explicar cmo a partir

de una muestra se puede inferir algo acerca de una poblacin, lo cual nos lleva a definir y elaboraruna distribucin de muestreo de medias muestrales que nos permite explicar el teorema del lmitecentral y utilizar este teorema para encontrar las probabilidades de obtener las distintas mediasmaestrales de una poblacin.Pero es necesario tener conocimiento de ciertos datos de la poblacin como la media, la desviacinestndar o la forma de la poblacin, pero a veces no se dispone de esta informacin.En este caso es necesario hacer una estimacin puntual que es un valor que se usa para estimar unvalor poblacional. Pero una estimacin puntual es un solo valor y se requiere un intervalo de valoresa esto se denomina intervalo de confianza y se espera que dentro de este intervalo se encuentre elparmetro poblacional buscado. Tambin se utiliza una estimacin mediante un intervalo, el cual esun rango de valores en el que se espera se encuentre el parmetro poblacionalEn nuestro caso se desarrolla un procedimiento para probar la validez de una aseveracin acerca deun parmetro poblacional este mtodo es denominado Prueba de hiptesis para una muestra.

HIPOTESIS Y PRUEBA DE HIPOTESISTenemos que empezar por definir que es una hiptesis y que es prueba de hiptesis.Hiptesis es una aseveracin de una poblacin elaborado con el propsito de poner a prueba, paraverificar si la afirmacin es razonable se usan datos.En el anlisis estadstico se hace una aseveracin, es decir, se plantea una hiptesis, despus se hacenlas pruebas para verificar la aseveracin o para determinar que no es verdadera.Por tanto, la prueba de hiptesis es un procedimiento basado en la evidencia muestral y la teora deprobabilidad; se emplea para determinar si la hiptesis es una afirmacin razonable.

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Prueba de una hiptesis: se realiza mediante un procedimiento sistemtico de cinco paso:

Siguiendo este procedimiento sistemtico, al llegar al paso cinco se puede o no rechazar la hiptesis,pero debemos de tener cuidado con esta determinacin ya que en la consideracin de estadstica noproporciona evidencia de que algo sea verdadero. Esta prueba aporta una clase de prueba ms all deuna duda razonable. Analizaremos cada paso en detalle

Objetivo de la prueba de hiptesis.El propsito de la prueba de hiptesis no es cuestionar el valor calculado del estadstico (muestral),sino hacer

un juicio con respecto a la diferencia entre estadstico de muestra y un valor planteado delparmetro.

Procedimiento sistemtico para una prueba de hiptesis de una muestraPaso 1: Plantear la hiptesis nula Ho y la hiptesis alternativa H1.Cualquier investigacin estadstica implica la existencia de hiptesis o afirmaciones acerca de laspoblaciones que se estudian.La hiptesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parmetro de poblacin, no a unaestadstica de muestra. La letra H significa hiptesis y el subndice cero no hay diferencia. Por logeneral hay un "no" en la hiptesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptarHo.La hiptesis nula es una afirmacin que no se rechaza a menos que los datos maestralesproporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hiptesis nula siempre

contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parmetro.La hiptesis alternativa (H1) es cualquier hiptesis que difiera de la hiptesis nula. Es una afirmacinque se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hiptesis nula esfalsa. Se le conoce tambin como la hiptesis de investigacin. El planteamiento de la hiptesisalternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parmetro.

Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera. Se le denotamediante la letra griega , tambin es denominada como nivel de riesgo, este trmino es ms

adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hiptesis nula, cuando en realidad es verdadera.Este nivel esta bajo el control de la persona que realiza la prueba.Si suponemos que la hiptesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significacin indicar la

probabilidad de no aceptarla, es decir, estnfuera

de rea de aceptacin. Elnivel de confianza

(1-), indica la probabilidad de aceptar la hiptesis planteada, cuando es verdadera en la poblacin.


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La distribucin de muestreo de la estadstica de prueba se divide en dos regiones, una regin derechazo (conocida como regin crtica) y una regin de no rechazo (aceptacin). Si la estadstica deprueba cae dentro de la regin de aceptacin, no se puede rechazar la hiptesis nula.La regin de rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la estadstica de prueba queno tienen posibilidad de presentarse si la hiptesis nula es verdadera. Por otro lado, estos valores noson tan improbables de presentarse si la hiptesis nula es falsa. El valor crtico separa la regin de norechazo de la de rechazo.

Tipos de erroresCualquiera sea la decisin tomada a partir de una prueba de hiptesis, ya sea de aceptacin de la Ho ode la H1, puede incurrirse en error:Un error tipo I se presenta si la hiptesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y deba seraceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la letraalfa Un error tipo II, se denota con la letra griega se presenta si la hiptesis nula es aceptada cuando dehecho es falsa y deba ser rechazada.En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisin equivocada.En la siguiente tabla se muestran las decisiones que pueden tomar el investigador y lasconsecuencias posibles.

Tabla 1. Consecuencias de las Decisiones en Pruebas de Hiptesis.

Decisiones PosiblesSituaciones Posibles

La hiptesis nula es verdadera La hiptesis nula es falsaAceptar la Hiptesis Nula Se acepta correctamente Error tipo II

Rechazar la Hiptesis Nula Error tipo I Se rechaza correctamente

Para que cualquier ensayo de hiptesis sea bueno, debe disearse de forma que minimice los erroresde decisin. En la prctica un tipo de error puede tener ms importancia que el otro, y as se tiene aconseguir poner una limitacin al error de mayor importancia. La nica forma de reducir ambos

tipos de errores es incrementar el tamao de la muestra, lo cual puede ser o no ser posible.La probabilidad de cometer un error de tipo II denotada con la letra griega beta , depende de ladiferencia entre los valores supuesto y real del parmetro de la poblacin. Como es ms fcilencontrar diferencias grandes, si la diferencia entre la estadstica de muestra y el correspondienteparmetro de poblacin es grande, la probabilidad de cometer un error de tipo II, probablemente seapequea.El estudio y las conclusiones que obtengamos para una poblacin cualquiera, se habrn apoyadoexclusivamente en el anlisis de una parte de sta. De la probabilidad con la que estemos dispuestos


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a asumir estos errores, depender, por ejemplo, el tamao de la muestra requerida. Lascontrastaciones se apoyan en que los datos de partida siguen una distribucin normalExiste una relacin inversa entre la magnitud de los errores y :conforme a aumenta, disminuye.Esto obliga a establecer con cuidado el valor de a para las pruebas estadsticas. Lo ideal seraestablecer y . En la prctica se establece el nivel y para disminuir el Error se incrementa elnmero de observaciones en la muestra, pues as se acortan los limites de confianza respecto a la

hiptesis planteada .La meta de las pruebas estadsticas es rechazar la hiptesis planteada. En otraspalabras, es deseable aumentar cuando sta es verdadera, o sea, incrementar lo que se llama poderde la prueba (1- ) La aceptacin de la hiptesis planteada debe interpretarse como que lainformacin aleatoria de la muestra disponible no permite detectar la falsedad de esta hiptesis.

Paso 3: Clculo del valor estadstico de pruebaValor determinado a partir de la informacin muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza lahiptesis nula., existen muchos estadsticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadsticosz y t. La eleccin de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman, si las muestrasson de la prueba son iguales a 30 o ms se utiliza el estadstico z, en caso contrario se utiliza elestadstico t.

Tipos de prueba

a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hiptesis planteada se formula con la igualdadEjemploH0 : = 200H1 : 200

b) Pruebas unilateral o de un extremo: lahiptesis planteada se formula con o H0 : 200 H0 : 200H1 : < 200 H1 : > 200

En las pruebas de hiptesis para la media (), cuando se conoce la desviacin estndar ()poblacional, o cuando el valor de la muestra es grande (30 o ms), el valor estadstico de prueba es zy se determina a partir de:


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El valor estadstico z, para muestra grande y desviacin estndar poblacional desconocida sedetermina por la ecuacin:

En la prueba para una media poblacional con muestra pequea y desviacin estndar poblacionaldesconocida se utiliza el valor estadstico t.

Paso Formular la regla de decisinSE establece las condiciones especficas en la que se rechaza la hiptesis nula y las condiciones enque no se rechaza la hiptesis nula. La regin de rechazo define la ubicacin de todos los valores queson tan grandes o tan pequeos, que la probabilidad de que se presenten bajo la suposicin de que lahiptesis nula es verdadera, es muy remota

Distribucin muestral del valor estadstico z, con prueba de una cola a la derechaValor critico: Es el punto de divisin entre la regin en la que se rechaza la hiptesis nula y la reginen la que no se rechaza la hiptesis nula.

Paso 5: Tomar una decisin.En este ltimo paso de la prueba de hiptesis, se calcula el estadstico de prueba, se compara con elvalor crtico y se toma la decisin de rechazar o no la hiptesis nula. Tenga presente que en unaprueba de hiptesis solo se puede tomar una de dos decisiones: aceptar o rechazar la hiptesis nula.Debe subrayarse que siempre existe la posibilidad de rechazar la hiptesis nula cuando no deberahaberse rechazado (error tipo I). Tambin existe la posibilidad de que la hiptesis nula se aceptecuando debera haberse rechazado (error de tipo II).

Ejemplo en la cual se indica el procedimiento para la prueba de hiptesis

El jefe de la Biblioteca Especializada de la Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnica de la UNACmanifiesta que el nmero promedio de lectores por da es de 350. Para confirmar o no este supuestose controla la cantidad de lectores que utilizaron la biblioteca durante 30 das. Se considera el nivelde significancia de 0.05Datos:


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Da Usuarios Da Usuarios Da Usuario1 356 11 305 21 4292 427 12 413 22 3763 387 13 391 23 328

510 14 380 24 411

5 288 15 382 25 3976 290 16 389 26 3657 320 17 405 27 4058 350 18 293 28 3699 403 19 276 29 42910 329 20 417 30 364

Solucin: Se trata de un problema con una media poblacional: muestra grande y desviacin estndarpoblacional desconocida.

Paso 01: Seleccionamos la hiptesis nula y la hiptesis alternativaHo: 350Ha: 350

Paso 02: Nivel de confianza o significancia 95%0.05

Paso 03: Calculamos o determinamos el valor estadstico de pruebaDe los datos determinamos: que el estadstico de prueba es t, debido a que el numero de muestras esigual a 30, conocemos la media de la poblacin, pero la desviacin estndar de la poblacin esdesconocida, en este caso determinamos la desviacin estndar de la muestra y la utilizamos en laformula reemplazando a la desviacin estndar de la poblacin.

Calculamos la desviacin estndar muestral y la media de la muestra empleando Excel, lo cual semuestra en el cuadro que sigue.

Columna1

Media 372.8Error tpico 9.56951578Mediana 381Moda 405Desviacin estndar 52.4143965Varianza de la muestra 2747.26897Curtosis 0.36687081Coeficiente de asimetra 0.04706877

Rango 234Mnimo 276Mximo 510Suma 11184Cuenta 30Nivel de confianza(95.0%) 19.571868


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38.26.9

8.22

304.52

3508.372

ns

xZ

Paso 04: Formulacin de la regla de decisin.La regla de decisin la formulamos teniendo en cuenta que esta es una prueba de dos colas, la mitad

de 0.05, es decir 0.025, est en cada cola. el rea en la que no se rechaza Ho est entre las dos colas, espor consiguiente 0.95. El valor critico para 0.05 da un valor de Zc = 1.96.Por consiguiente la regla de decisin: es rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesis alternativa,si el valor Z calculado no queda en la regin comprendida entre -1.96 y +1.96, esto es

96.196.1

Z . En caso contrario no se rechaza la hiptesis nula si Z queda entre -1.96 y +1.96.Paso 05: Toma de decisin.En este ltimo paso comparamos el estadstico de prueba calculado en el paso 3 que es Z = 2.38 y locomparamos con el valor critico de Zc = 1.96. Como el estadstico de prueba calculado cae a laderecha del valor critico de Z, se rechaza Ho. Por tanto no se confirma el supuesto del Jefe de laBiblioteca.

Conclusiones:Se rechaza la hiptesis nula (Ho), se acepta la hiptesis alterna (H1) a un nivel de significancia de = 0.05. La prueba result ser significativa.La evidencia estadstica no permite aceptar la aceptar la hiptesis nula.

CLCULO E INTERPRETACIN DE VALORES DE P

El valor depes una medida de probabilidad. En concreto, se trata de la probabilidad de que la mediamuestral sea como mnimo tan extrema (tan alta o tan baja) como la obtenida en realidad, siempreque el valor hipottico de sea cierto. El valor de p mide la probabilidad de que, si la mediapoblacional no es igual al valor hipottico, los resultados muestrales sean al menos tan extremoscomo los realmente obtenidos en la muestra. Es decir, siempre con la condicin de que la hiptesisnula sea cierta, el valor depmide la probabilidad de que los resultados muestrales sean:

1. Al menos tan altos o2. Al menos tan bajos como los hallados en la muestra.

Algo ms importante quiz es que el valor de p es el valor ms pequeo de al cual se puederechazar la hiptesis nula.

El siguiente ejemplo ilustra el modo de calcular estos valores dep.

La mayor cadena de venta al por menor, WAL- MART, cifra en 15 millones de dlares sus ventas portienda.

A. Si se elige al azar una muestra de 120 tiendas y se hallan unas ventas promedio de 15.39millones de dlares, con una desviacin tpica de 2.9 millones de dlares, ser que seencuentra respaldada la hiptesis de que =15 millones de dlares al nivel de significacin del 10%?.

Ho: =15

H1:


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Ho: =15 Z = -1.65 Z = 1.65

Recuerde que el Z crtico, Z( , se obtiene en la tabla del apndice II (reas bajo la curvanormal), y que para nuestro ejemplo corresponde a un rea de 0,45 y por tanto Z = -1.65 yZ = 1.65

120

9.2*65.115cx

56.141cx

44.152cx

REGLA DE DECISIN: No rechazar la hiptesis nula si 44.1556.14

X y rechazar la

hiptesis nula si 56.14X o 44.15X

CONCLUSIN: No rechazar la hiptesis nula ya que se encuentra respaldada a ese nivel designificancia

B. Calcular el valor depasociado con estos datos.47.1

120

9.2

1539.15testZ

Al buscar en el apndice II encontramos que para Z = 1.47 se obtiene un rea de 0.4292Por tanto el valor depser: 1416.02*)4292.05.0(p

Y esto significa que la hiptesis nula ser rechazada a niveles de significancia

superiores al 14.16%

ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II EN UN CONTRASTE DE HIPTESIS

Si rechazamos una hiptesis cuando debiera ser aceptada, cometemos un error de tipo I, mientrasque si la aceptamos debiendo ser rechazada diremos que hemos cometido un error de tipo II.Minimizar los errores no es una cuestin sencilla, un tipo suele ser ms grave que otro y los intentosde disminuir uno suelen producir el aumento del otro. La nica forma de disminuir ambos a la vez esaumentar el tamao de la muestra.

Regin de rechazoRegin de rechazo

Regin de no rechazo


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La probabilidad de cometer un error de tipo I es el nivel de significacin , la probabilidad decometer un error de tipo II depende del verdadero valor de y del tamao de la muestra.Los errores tipo I y tipo II estn relacionados. Una disminucin en la probabilidad de uno por logeneral tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro.El tamao de la regin crtica, y por tanto la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre sepuede reducir al ajustar el o los valores crticos.

Un aumento en el tamao muestral nreducir y de forma simultnea.Si la hiptesis nula es falsa, es un mximo cuando el valor real del parmetro se aproxima alhipottico. Entre ms grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipottico, ser menor

El rechazo de una hiptesis nula cuando es cierta se denomina error de tipo I, y su probabilidad (quees tambin el nivel de significancia) se simboliza como .

El hecho de quepsea muy bajo no califica el acontecimiento como imposible. Simplemente que tienepoca probabilidad de ocurrir al azar. A la probabilidad de cometer error tipo I se la denominanivel de significacin Habitualmente el investigador fija a priori el nivel de significacin crticopara rechazar Ho (

). Si P es menor que , se rechaza. En caso contrario, se acepta Ho.

El hecho de aceptar una hiptesis nula cuando es falsa se denomina error de tipo II, y su probabilidadse simboliza como . La probabilidad de cometer un tipo de error puede reducirse slo si deseamosincrementar la probabilidad de cometer el otro tipo de error. Con el propsito de obtener una baja,

tendremos que tolerar una alta. Los responsables de la toma de decisiones deciden el nivel designificancia adecuado, al examinar los costos o desventajas vinculadas con ambos tipos de errores.

Una vez especificado el valor de el de queda fijado para cualquier tamao de muestradeterminado. El valor de o probabilidad de cometer un error de tipo II, depende del valorverdadero de . Si, por ejemplo, vale 100, existir un determinado valor para .Pero si es enrealidad 110, existe un valor de diferente.

La pregunta se convierte entonces en sta: sila hiptesis nula es falsa, cul es la probabilidad de norechazarla y por consiguiente cometer un error de tipo II?.Vemoslo con un ejemplo:Para el ejemplo anterior si es en realidad 14.8 millones, cul es la probabilidad de cometer un errorde tipo II?

)44.1516.14()(

xPIItipoerrorP

Hallamos Z para cada uno de estos valores extremos

42.2

120

9.2

8.1444.15Z

que corresponde a un rea de 0.4922 (Apndice II, tabla de la distribucin normal)


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91.0

120

9.2

8.1456.14Z

que corresponde a un rea de 0.3186 (Apndice II, tabla de la distribucin normal)

Por tanto 8108.03186.04922.0)( IItipoerrorP o 81.08%

Ejercicios

1. La mayor cadena de venta al por menor, WAL- MART, cifra en 15 millones de dlares susventas por tienda. Si se elige al azar una muestra de 120 tiendas y se hallan unas ventaspromedio de 15.39 millones de dlares, con una desviacin tpica de 2.9 millones de dlares,ser que se encuentra respaldada la hiptesis de que =15 millones de dlares al nivel designificacin del 10%?.

2. Resuelva el ejercicio anterior, si la estimacin de ventas se ha expresado as: los ingresosno superan los 15 millones de dlares por tienda

3. Una revista especializada deca que la gente tardaba 34 horas de promedio en aprender unnuevo programa informtico. Est respaldada esta afirmacin al nivel del 10% si 35personas emplearan una media de 40.58 horas, con una desviacin tpica de 19.7 horas?

4. Un convenio trabajadores- direccin exige una produccin media diaria de 50 unidades. Unamuestra de 150 das revela una media de 47.3 con una desviacin tpica de 5.7 unidades.Poner =5% y determinar si se cumple esta clausula del contrato.

5. Se utiliza una mquina para llenar latas de 18 onzas. Si la mquina funciona mal, tiene queser reajustada. Se elige una muestra de 500 latas, que dan una media de 18.9 onzas con unadesviacin tpica de 4.7 onzas. Para un nivel de significancia del 5% determine si se debereajustar la mquina.


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6. En un artculo se debata la creciente tendencia a que los empleados demanden a susempresas por incumplimiento de sus promesas en relacin con algunos beneficios sanitariosy conclua que el juicio medio se entablaba por 115000 dlares, Si 42 juicios dieron unamedia de 114412 dlares con una desviacin tpica de 14000 dlares, determine si estrespaldada la hiptesis al nivel del 7%.

7.

Un medicamento en estudio tiene que reducir en 13 puntos la presin sangunea enpacientes cardacos antes de ser aceptado para uso general. En una prueba sobre 51pacientes se redujo la presin en 12.2 puntos en promedio con una desviacin tpica de 2.3puntos. Al nivel del 1% se debe aprobar este medicamento?

8. Los miembros de un club estn desencantados por la decisin del dueo de un campo deftbol al limitar las reservas a un tiempo inaceptable. Afirman que cada partido dura enpromedio 2 horas. De 27 partidos recientes, se hall una media de 1.82 horas con unadesviacin tpica de 0.32 horas. El dueo del campo est dispuesto a retirar el lmite detiempo si los miembros del club tiene la razn. A un nivel del 2%, cul ser la decisin?

9. Determine el nivel de significancia ms pequeo para el cual se puede rechazar la hiptesisnula en los ejercicios anteriores.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION

Frecuentemente se desea estimar la proporcin de elementos que tienen una caractersticadeterminada, en tal caso, las observaciones son de naturaleza cualitativa. Cuando se analizainformacin cualitativa y se est interesado en verificar un supuesto acerca de la proporcinpoblacional de elementos que tienen determinada caracterstica, es til trabajar con laprueba de hiptesis para la proporcin.

As por ejemplo; un poltico puede estar interesado en conocer si ha habido un aumento en laproporcin (porcentaje) de votantes que lo favorecen en las prximas elecciones; unproductor de cereales puede querer conocer si ha ocurrido o no una baja en la proporcin de

clientes que prefieren su marca de cereal; un hospital desea confirmar el reclamo de unmanufacturero de medicamentos quien afirma que ste cura al 80% de los usuarios. Estosejemplos son algunas de las situaciones donde nos interesa probar alguna afirmacinreferente a una proporcin. El procedimiento para probar una proporcin en una poblacinnormal es casi igual al usado para las medias.

La informacin que suele disponerse para la estimacin de una porcin real o verdadera

(porcentaje o probabilidad) es una proporcin muestraln

x, donde xes el nmero de veces

que ha ocurrido un evento en n ensayos. Por ejemplo, si en una muestra aleatoria de 600compras realizadas en una tienda y 300 se realizan con tarjeta de crdito, entonces

50.0600

300

n

xse puede utilizar esa cifra como estimacin de punto de la proporcin real

de compras realizadas en ese negocio que se abonaron a tarjetas de crdito. De la mismaforma muchas compaas podran estimar las proporciones de muchas transacciones. Lahiptesis alterna puede ser una de las alternativas usuales unilateral o bilateral tales

como: 000 ....,, ppopppp .


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El proceso de prueba de hiptesis para la proporcin poblacionalpes muy similar al de . Un

valor Zc calculado a partir de la muestra se compara con un valor crtico de Z dados en las

tablas. Zc se obtiene as:

n

qp

ppZc

.

. O tambin se puede utilizar:npq

npxZc

Cmo probar una proporcin?

Podemos usar cualquiera de los siguientes mtodos:1. Mtodo de la regin de rechazo (Mtodo 1) 2. Mtodo del valor P (Mtodo 2)

A.MTODO DE LA REGIN DE RECHAZO (MTODO 1)

Digamos quepoes la proporcin aceptada o reclamada.

Paso 1 Establezca las hiptesis. Ho: p=po

H1: p>po p po) (H1:p< po) (H1:p po)

Paso 3 Calcule el valorzpara la proporcin muestraln

xp usando la frmula

Z =p

pp 0 ,n

ppp

)1( 00

Paso 4 Dibuje este valor dezen el diagrama de la regin de rechazo (Paso 2).

Paso 5 Si el valorz cae dentro de la regin de rechazo (sombreada), entonces rechaceHo. Si cae fuera de la regin sombreada, entonces no rechace Ho.

Paso 6 Escriba la conclusin de la prueba.

Ejemplo 1: Prueba la hiptesis H0:po= 0.4

H1:p

0.4

suponga que p = 0.45, n= 200, y = .01

z -z

/2/2

-z z


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Solucin:

Paso 1 H0:po= 0.4

H1:p 0.4

Paso 2 Usando = .01, el diagrama de la regin de rechazo es:

Paso 3 Calculando el valorzpara la proporcin muestral p = 0.45, obtenemos:

0346.0200

)4.01(4.0p

Z = 45.10346.0

4.045.0

Paso 4 Dibujandoz= 1.45 en el diagrama de la regin de rechazo (Paso 2) obtenemos:

Paso 5 Como el valorzest fuera de la regin de rechazo (sombreada), por lo tanto norechazamos Ho.

Paso 6 La proporcin en la poblacin es 0.4.

B.MTODO DEL VALOR P(MTODO 2)

Dejemos quep0sea la proporcin aceptada o reclamada.

Paso 1 Establezca las hiptesis: H0: p=p0

H1: p>p0

p


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(H1:p>po) (H1:p


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registros de la Alcalda de Cumana revela que de los permisos de mudanzaautorizados 153 fueron para Maracaibo, pruebe la hiptesis nula p= 0.30 contra lahiptesis alternativap< 30 con un nivel de significancia del 1 %.

SOLUCIN: Para calcular la proporcin p lo primero que se ha de hacer es determinar laproporcin, luego se plantea una hiptesis unilateral con un nivel de significancia al 1%.

.153,.33.2,..70.0,..30.0,..255.0600

153,..600 xZqppn

Hiptesis:

30.0:

30.0:

1

0

pH

pH

Regla de decisin o Regin crtica: Se rechaza la Hiptesis nula si: ZZc es

decir, 33.2cZ .

Aplicando formula se tiene:

41.20187.0

045.0

00035.0

045.0

600

7.03.0

300.0255.0

.

cc Zx

n

qp

ppZ

O tambin Aplicando:

41.2225,11

27

126

180153

)70.0)(30.0(600

)30.0(600153

npq

npxZc

Conclusin: Como cZ es menor que Z , es decir, 33.241.2cZ , se rechaza30.0:0 pH con un nivel de significancia de 0.01. Esto se puede observar en la grafica

D en donde 41.2cZ cae fuera del rea de aceptacin, por lo tanto, se cumple que

30.0:1 pH , es decir, menos del 30 % de las familias que salen de Cumana, se mudan a

Maracaibo.

Se recomienda al estudiante que aplique el mtodo del valor p para solucionar el ejercicio.

2. Se sabe que el 10 % de los fumadores prefieren la marca de cigarrillo Malboro.Despus de una campaa publicitaria del cigarrillo Malboro, se entrevistaron a 200

fumadores para determinar la eficiencia de la campaa publicitaria. El resultado dela muestra realizada detecto un total de 26 personas que fumaban Malboro.Pueden considerarse que esos datos presentan evidencia suficiente para indicarque hubo un aumento en la aceptacin del cigarrillo Malboro. Obtenga lasconclusiones del planteamiento desarrollando un contraste de hiptesis con un nivelde significancia del 5 %.

SOLUCIN:Para resolver el problema se plantea una hiptesis alternativa unilateral por la

derecha. Por tabla se sabe que al 5 % por la derecha 645,1Z .


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Datos: 200,..13.0200

26......90.0,..10.0 npqp

.

Hiptesis:

10.0:10.0:

1

0pHpH

Regla de decisin o Regin crtica: Se rechaza la Hiptesis nula si ZZc

, es decir,

645,1cZ .


41.102127.0

03.0

00045.0

03.0

200

9.01.0

10.013.0

.

cc Zx

n

qp

ppZ

Conclusin: Como cZ es menor que Z , es decir, 96.141.1cZ , se acepta

10.0:0 pH con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica A

en donde 41.1cZ cae dentro del rea de aceptacin, por lo tanto, el 10 % de los

fumadores prefieren Malboro, lo que indica que la campaa publicitaria no fue efectiva ya

que de haberlo sido se hubiese aceptado la hiptesis .10.0:1 pH


3. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en elsistema elctrico de vehculos. El cliente requiere que la proporcin decontroladores defectuosos no sea mayor de 0.05, y que el fabricante demuestre estascaractersticas del proceso de fabricacin con este nivel de calidad, con un nivel designificancia del 5 %. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoriade 200 dispositivos y encuentra que 4 de ellos son defectuosos. El fabricante puededemostrar al cliente la calidad exigida? Saque sus conclusiones.

SOLUCIN:para resolver el problema hay que plantear una hiptesis alternativa unilateralde una cola por la izquierda es decir, p< 0.05 y para ello se busca en la tabla el valor de

645,1....,.. ZesqueZ .

Datos: .200,02.02004,95.0,05.0 npqp

Hiptesis:

05.0:

05.0:

1

0

pH

pH

Regla de decisin o Regin crtica: Se rechaza la Hiptesis nula si ZZc ,es

decir, 645,1cZ .


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95.10154.0

03.0

0002375.0

03.0

200

95.005.0

05.002.0

.

cc Zx

n

qp

ppZ

Conclusin: Como cZ es menor que Z , es decir, 645,195.1cZ , se rechaza

05.0:0 pH con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica A

en donde 95.1cZ cae fuera del rea de aceptacin, por lo tanto, 05.0:1 pH se

acepta y se concluye que la proporcin de artculos defectuosos es menor del 5 %, comoquera el cliente.


4. Se ha afirmado que por lo menos el 60 % de los alumnos de primero y segundosemestre de un Tecnolgico prefieren estudiar a partir de las dos de la madrugada.Si 4 de una muestra de alumnos de primero y segundo semestre de n =14 tomadas alazar, afirman estudiar a partir de las dos de la madrugada, pruebe con un nivel designificancia del 5 % si se debe aceptar la hiptesis nula p0.60 contra la hiptesisalternativa p


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EJERCICIOS

En los ejercicios (1-5) use el mtodo de la regin de rechazo para probar la hiptesis.

1. H0: 0.6H

1:p 0.6, x= 0.65, n= 100, y = 0.01

2. H0:p= 0.29H1:p 0.29, x= 0.26, n= 90, y = 0.01

3. H0:p= 0.36H1:p< 0.36, x= 0.34, n= 630, y = 0.05

4. Un manufacturero de juguetes Tailands reclama que solo un 10% de los osos dejuguete hechos para hablar estn defectuosos. Cuatrocientos de stos juguetes sesometieron a prueba de forma aleatoria y se encontr que 50 estaban defectuosos.Pruebe el reclamo del manufacturero con un nivel de significancia de 5%.

5. Una agencia de empleos afirma que el 80% de todas las solicitudes hechas pormujeres con hijos prefieren trabajos a tiempo parcial. En una muestra aleatoria de200 solicitantes mujeres con nios, se encontr que 110 prefirieron trabajos a tiempoparcial. Pruebe la hiptesis de la agencia con un nivel de significancia de 5%.

En los ejercicios (6 - 10) use el mtodo del valor-ppara pruebas de hiptesis.

6. H0:p= 0.2H1:p> 0.2, x= 0.245, n= 400, y = 0.01

7. H0:p= 0.55H1:p< 0.55, x= 175, n= 300, y = 0.05

8. H0:p= 0.2H1:p 0.2, x= 235, n= 1000, y = 0.02

9. Nacionalmente, un 16 % de los hogares tiene una computadora personal. En unamuestra aleatoria de 80 hogares en Baltimore, solo 13 posean una computadorapersonal. Con un nivel de significancia de 5%, pruebe si el porciento de hogares enBaltimore que tienen computadoras personales es menor que el porcentaje nacional.

10. El registrador de cierta universidad ha dicho que est dispuesto a permitir unaseccin del curso ESTAD 121 una vez a la semana si ms del 65% de los estudiantesmatriculados en el curso expresan que prefieren el curso una vez a la semana, en vezde dos veces a la semana. En una muestra aleatoria de 40 estudiantes, 26 indicaronsu preferencia de una vez a la semana. Usando un nivel de significancia de 0.01, debe


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el registrador autorizar el ofrecimiento del curso ESTAD 121 una vez?

11. El director de un supermercado piensa que el 50% de sus clientes gastan menos de 10dlares durante una visita a la tienda. Muchas de sus decisiones en materia de fijacinde precios se basa en esa hiptesis. Decide contrastar la hiptesis con una muestra de50 clientes cuyos gastos totales se indican a continuacin. Qu revelan estos datos

sobre las decisiones de fijacin de precios del director?. Utilice un nivel designificancia del 5%

18.17 8.73 21.12 10.00 4.12 0.65 8.73 17.17 8.42 18.42

7.17 4.12 17.18 5.12 27.18 11.12 2.17 11.17 7.12 4.82

2.08 8.15 6.12 5.12 2.17 3.32 6.42 17.89 9.17 5.55

4.17 5.15 2.12 12.12 8.15 4.83 12.18 11.12 2.63 11.11

18.02 17.15 9.99 18.17 3.02 10.12 8.84 8.92 21.22 17.83

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