Prueba de Hipotesis

PRUEBA DE HIPOTESIS:

Dentro del proceso de inferencia, además de la estimación puntual y la por intervalo, en muchas ocasiones es necesario hacer pruebas de hipótesis, las cuales se hacen con base en la información muestral.

En este capítulo se verá la prueba de hipótesis para la media, la proporción, la varianza, la diferencia de medias, la diferencia de proporciones, el cociente de varianzas, la prueba de independencia y la prueba de bondad de ajuste.

3.1 HIPOTESIS

Una hipótesis estadística es un supuesto acerca del valor de un parámetro de una población determinada. Este supuesto debe comprobarse con la información suministrada por una muestra aleatoria obtenida de dicha población.

Cuando se realiza una prueba de hipótesis, se plantean dos hipótesis que deben ser mutuamente excluyentes; una es la hipótesis nula que se nota como H0 y la otra es la hipótesis alternativa que se nota como H1 .

Se debe establecer un criterio o regla de decisión según la cual no se rechace la hipótesis nula o se rechace. Si se rechaza la hipótesis nula (H0 ) se acepta hipótesis alternativa (H1 ). Para establecer esta regla de decisión la distribución de probabilidad se divide en dos categorías mutuamente excluyentes: la que lleva al rechazo de H0 , es decir está en la zona de rechazo y la que lleva al no rechazo de H0 , es decir, está en la zona de no rechazo.

Debido a que se está trabajando con una muestra aleatoria, cuando se realiza una prueba de hipótesis se pueden cometer dos tipos de errores. La hipótesis nula (H0 ) es en realidad verdadera, pero debido a que los datos muestrales parecen ser inconsistentes con ella, se la rechaza (ERROR TIPO I) y la probabilidad de cometer un error tipo I se llama nivel de significancia ( ). Puesto que cuando se comete un error tipo I, seguiríamos una acción errónea, se puede definir el nivel de significancia como la probabilidad de decidirnos por H1 dado que H0 es verdadera.

Por otro lado, podemos no rechazar H0 siendo en realidad falsa, a este error se le llama ERROR TIPO II.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIANA:

El promedio aritmético poblacional es un indicador muy importante, por lo tanto, frecuentemente se desea probar si dicho promedio ha permanecido igual, ha aumentado o ha disminuído. A través de la prueba de hipótesis se determina si la media poblacional es significativamente mayor o menor que algún valor supuesto.

Hipótesis

Se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:

- Prueba de hipótesis a dos colas

H0 : = k

H1 : k

- Prueba de hipótesis a una cola superior

H0 : = k ó H0 : k

H1 : >k ó H1 : > k

- Prueba de hipótesis a una cola inferior

H0 : = k ó H0 : k

H1 : < k ó H1 : < k

En las distribuciones en el muestreo se vió que para el caso de la media, hay tres situaciones, por consiguiente la estadística de trabajo a utilizar depende de los supuestos de la población y del tamaño de la muestra.

Prueba de hipótesis para la media si la población de donde se obtiene la muestra tiene distribución normal con conocida.

La estadística de trabajo a usar corresponde a la expresión (1.6):

(3.1)

Donde: es el valor que se está suponiendo en la hipótesis nula (H0).

REGLA DE DECISION

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como: H1 : k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia ( ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la figura 3.1

Figura 3.1 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a dos colas.

y pertenecen a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de

trabajo (Zx) está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir:

- Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.2

Figura 3.2 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola superior.

pertenece a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo

(Zx) es menor que no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir,

Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1 : < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.3

Figura 3.3 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola inferior.

Z pertenece a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo (Zx) es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1. Es decir,

EJEMPLO

Un proceso manufacturero usado por una fábrica durante los últimos años da una producción media de 100 unidades por hora con una desviación estándar de 8 unidades. Se acaba de introducir en el mercado una nueva máquina para realizar ese tipo de producto. Aunque es muy cara comparada con la que está ahora en uso, si la media de producción de la nueva máquina es de más de 150 unidades por hora, su adopción daría bastantes beneficios.

Para decidir si se debiera comprar la nueva máquina, a la gerencia de la fábrica se le permite hacer un ensayo durante 35 horas, hallándose un promedio de 160 unidades por hora. Con ésta información qué decisión se debe tomar si se asume un nivel de confianza del 99 por ciento.

Solución .

Según el enunciado, solo se compra la máquina si la producción es de mas de 150 unidades por hora, por lo tanto las hipótesis son:

H0 : = 150

H1 : > 150

Para elegir la estadística de trabajo se tiene en cuenta que se conoce la varianza poblacional, por lo tanto se usa la expresión 3.1

por el planteamiento de la hipótesis alternativa se trabaja a una cola superior. En la distribución normal, con una confiabilidad del 99 por ciento el valor de Z es 2,33. como puede observarse en la figura 3.4, la estadística de trabajo está en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por lo tanto, se acepta que la producción promedio por hora es superior a las 150 unidades y asumiendo un riesgo del 1 por ciento se puede comprar la nueva máquina.

Figura 3.4 Regla de desición para una prueba de hipótesis a una cola inferior.

Prueba de hipótesis para la media si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n 30de una población con cualquier distribución.

La estadística de trabajo a usar es la expresión (1.7):

REGLA DE DECISION

Es la misma que en el caso anterior y depende en todo caso de la hipótesis alternativa.

EJEMPLO

La duración promedio de las llantas producidas por una fábrica de llantas, según experiencias registradas es de 46.050 kms. Se desea probar si el promedio poblacional ha cambiado; para tal efecto se toma una muestra aleatoria de 60 llantas y se obtiene una duración promedio de 45.050 kms. con una desviación estándar de 3.070 kms.

Solución

H 0 : = 46.050

H1 : 46.050

Teniendo en cuenta que el tamaño de la muestra es grande, como estadística de trabajo se utiliza la expresión 3.2

Por la hipótesis alternativa, la regla de decisión es a dos colas. La tabla a utilizar es la de la distribución normal. Asumiendo un nivel de confianza del 95 por ciento, los correspondientes valores de Z son -1,96 y 1,96. Como puede observarse en la figura 3.5, el valor de la estadística de trabajo está en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente, con una confiabilidad del 95 por ciento se acepta que la duración promedio de las llantas ha cambiado.

Figura 3.5 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a dos colas

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION:

Frecuentemente se desea estimar la proporción de elementos que tienen una característica determinada, en tal caso, las observaciones son de naturaleza cualitativa. Cuando se analiza información cualitativa y se está interesado en verificar un supuesto acerca de la proporción poblacional de elementos que tienen determinada característica, es útil trabajar con la prueba de hipótesis para la proporción.

HIPÓTESIS

Como en el caso de la media, se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:


H0 : = k

H1 : k


H0 : = k ó H0 : k

H1 : > k ó H1 : > k


H0 : = k ó H0 : k

H1: < k ó H1 : < k

Cuando se va a estimar una proporción el tamaño de la muestra (n) siempre debe ser mayor a 30, por lo tanto se tiene un solo caso.

La estadística de trabajo a utilizar es la expresión (1.13):

(3.5)

REGLA DE DECISION

Si se ha planteado la hipótesis alternativa como:

H1: k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia () se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución

como se aprecia en la figura 3.1

y pertenecen a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de

trabajo (Zp) está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se

rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si < Zp < no se rechaza H0 .


H1 : > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución, vease figura 3.2

pertenece a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo (Zp )

es menor que no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual

implica aceptar H1 . Es decir, si Zp < no se rechaza H0 .


H1 : < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución, vease figura 3.3

Z pertenece a una distribución normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo (Zp ) es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual

implica aceptar H1 . Es decir, si Zp > Z no se rechaza H0 .

EJEMPLO

Un fabricante afirma que por lo menos el 90 por ciento de las piezas de una maquinaria que suministra a una fábrica guardan las formas especificadas. Un exámen de 200 de esas piezas reveló que 160 de ellas no eran defectuosas. Pruebe si lo que afirma el fabricante es cierto.

Solución

H0 : 0,9

H1 : < 0,9

Para realizar una prueba de hipótesis para la proporción se utiliza la expresión 3.5

Asumiendo una confiabilidad del 95 por ciento, el valor correspondiente a Z en la distribución normal es -1,64

Como puede observarse en la figura 3.7, el valor de la estadística de trabajo se encuentra en la zona de rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente, con una confiabilidad del 95 por

ciento se concluye que la afirmación del fabricante no es cierta.

Figura 3.7 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola inferior

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIAS DE MEDIAS:

Se tienen dos poblaciones y se toman muestras aleatorias independientes de tamaños n 1 y n 2 , se puede comparar el comportamiento de dichas poblaciones a través de los promedios.

Hipótesis

Como en los casos anteriores se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:


H0 : = ó H0 : - = k

H1 : ó H1 : - k


H0 : = ó H0 : - k

H1 : > ó H1 : - > k


H0 : = ó H0 : - k

H1 : < ó H1 : - < k

La estadística de trabajo depende de las características de las poblaciones y del tamaño de las muestras.

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias, si las muestras se obtienen de poblaciones con distribución normal, con varianzas poblacionales conocidas , la estadística de trabajo es la expresión (1.10):

(3.9)

REGLA DE DECISION


H1 : > ó H1 : - > k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia ( ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la figura 3.1

y pertenecen a una distribución Normal estándar. Si el valor de la estadística de

trabajo está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H o lo cual implica aceptar H 1 . Es decir,


H1 : > ó H1 : - > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.2

pertenece a una distribución Normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo es

menor que se acepta la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H<sub>1 . Es decir,


H1 : < ó H1 : - < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.3

Z pertenece a una distribución Normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir,

EJEMPLO

Un constructor está considerando dos lugares alternativos para construir un centro comercial. Como los ingresos de los hogares de la comunidad son una consideración importante en ésta selección, desea probar que el ingreso promedio de la primera comunidad excede al promedio de la segunda comunidad en cuando menos $1.500 diarios. Con la información de un censo realizado el año anterior sabe que la desviación estándar del ingreso diario de la primera comunidad es de $1.800 y la de la segunda es de $2.400

Para una muestra aleatoria de 30 hogares de la primera comunidad, encuentra que el ingreso diario promedio es de $35.500 y con una muestra de 40 hogares de la segunda comunidad el ingreso promedio diario es de $34.600. Pruebe la hipótesis con un nivel de confianza del 95 por ciento.

Solución

Se desea probar si la diferencia entre los ingresos de la comunidad 1 y la 2 es de $1.500 o más, por lo tanto:

H0 : - 1.500

H1 : - < 1.500

El tamaño de las muestras es grande y las varianzas poblacionales son conocidas, por consiguiente la estadística de trabajo a utilizar es la expresión 3.9

Para un nivel de confianza del 95 por ciento, en la tabla de la distribución normal se tiene un valor de Z de -1,64. Como puede observarse en la figura 3.13, la estadística de trabajo se ubica en la zona de aceptación de la hipótesis nula; por lo tanto, con una confiabilidad del 95 por ciento, la diferencia entre el ingreso promedio por hogar en las dos comunidades es mayor a $1.500 diarios.


PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIAS DE PROPORCIONES:

Cuando se tienen dos poblaciones y se han tomado muestras aleatorias de tamaños n 1 y n 2, para observar una característica o cualidad, se puede comparar el comportamiento de dicha característica en las poblaciones a través de la diferencia de proporciones.

Hipótesis

Como en los casos anteriores se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:


H0 : 1 = 2 ó H0 : 1 - 2 = k

H1 : 1 2 H1 : 1 - 2 k


H0 : 1 = 2 ó H0 : 1 - 2 k

H1 : 1 > 2 H1 : 1 - 2 > k


H0 : 1 = 2 ó H0 : 1 - 2 k

H1 : 1 < 2 H1 : 1 - 2 < k

La estadística de trabajo es la expresión 1.14:

(3.14)

REGLA DE DECISION

Como en los casos anteriores depende del tipo de hipótesis que se haya planteado.


H1 : 1 2 ó H1 : p 1 - p 2 ¹ k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia ( ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la figura 3.1

y pertenecen a una distribución Normal estándar. Si el valor de la estadística de

trabajo (Zp1-p2 ) está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se

rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si < Zp1-p2 < no se rechaza H0 .


H1 : 1 > 2 ó H1 : 1 - 2 > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.2

pertenece a una distribución Normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo es

menor que no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual

implica aceptar H1 . Es decir, si Zp1-p2 < no se rechaza H0 .


H1 : 1 < 2 ó H1 : 1 - 2 < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución, como se aprecia en la figura 3.3

Z pertenece a una distribución Normal estándar. Si el valor de la estadística de trabajo (Zp1-

p2) es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H o lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si Zp1-p2 > Z no se rechaza H0 .

EJEMPLOS:

Se seleccionó una muestra aleatoria de 100 hombres y 100 mujeres de un departamento de Colombia; se halló que de los hombres 60 estaban a favor de una ley de divorcio y de las mujeres 55 estaban a favor de dicha ley. Con base en ésta información, pruebe que la proporción de hombres que favorece ésta ley es mayor que la proporción de mujeres. Asuma un nivel de confianza del 99 por ciento.

Solución

H0 : H = M

H1 : H > M

Se utiliza la expresión 3.14

Por la hipótesis alternativa se trabaja a una cola superior. En la tabla de la distribución normal con una confiabilidad del 99 por ciento, el valor de Z es 2,33. La estadística de trabajo está en la zona de no rechazo de la hipótesis nula (figura 3.19), es decir, con una seguridad del 99 por ciento se concluye que no hay diferencia en la proporción de hombres y mujeres que favorecen la ley de divorcio.

Figura 3.19 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a una cola superior

Hasta ahora se han mencionado formas de probar lo que se puede llamar hipótesis paramétricas con relación a una variable aleatoria, o sea que se ha supuesto que se conoce la ley de probabilidad y se vieron pruebas de hipótesis que declaran valores para los parámetros. En algunos casos se necesita probar si una variable o unos datos siguen determinada distribución de probabilidad, un método para hacer esta prueba es el de bondad de ajuste o chi-cuadrado.

La información debe estar presentada en un cuadro de distribución de frecuencias. Sea m el número de clases y nj el número de observaciones en cada clase (frecuencias observadas). Se trata de comparar los valores o frecuencias observadas (nj ) con las frecuencias que habría en cada grupo o clase o sea el valor esperado (ej ) si se cumple la hipótesis nula (H0 ).

Las diferencias entre lo observado y lo esperado dan las discrepancias entre la teoría y la realidad. Si no hay diferencias, la realidad coincidirá perfectamente con la teoría y por el contrario, si las diferencias son grandes indica que la realidad y la teoría no se parecen.

Los pasos a seguir son:

Hipótesis

H0 : La variable tiene distribución X con tales parámetros

H1 : La variable no tiene la distribución X

Estadistica de Trabajo

(3.15)

nj : frecuencia observada en la muestra

ej : frecuencia esperada según la distribución teórica

n: tamaño de la muestra

Nota. El número de observaciones esperadas en cada clase debe ser mayor o igual a 5, es decir, ej 5. Si esto no ocurre se unen las clases adyacentes hasta cumplir el requisito. Al unir las clases se disminuirán los grados de libertad de la chi-cuadrado.

La regla de decisión se observa en la figura 3.20.

Figura 3.20 Regla de decisión: prueba bondad de ajuste

PRUEBA DE CHI-CUDRADO O BONDAD DE AJUSTE:

relación a una variable aleatoria, o sea que se ha supuesto que se conoce la ley de probabilidad y se vieron pruebas de hipótesis que declaran valores para los parámetros. En algunos casos se necesita probar si una variable o unos datos siguen determinada distribución de probabilidad, un método para hacer esta prueba es el de bondad de ajuste o chi-cuadrado.

La información debe estar presentada en un cuadro de distribución de frecuencias. Sea m el número de clases y nj el número de observaciones en cada clase (frecuencias observadas). Se trata de comparar los valores o frecuencias observadas (nj ) con las frecuencias que habría en cada grupo o clase o sea el valor esperado (ej ) si se cumple la hipótesis nula (H0 ).

Las diferencias entre lo observado y lo esperado dan las discrepancias entre la teoría y la realidad. Si no hay diferencias, la realidad coincidirá perfectamente con la teoría y por el contrario, si las diferencias son grandes indica que la realidad y la teoría no se parecen.

Los pasos a seguir son:

Hipótesis

H0 : La variable tiene distribución X con tales parámetros

H1 : La variable no tiene la distribución X

Estadistica de Trabajo

(3.15)

nj : frecuencia observada en la muestra

ej : frecuencia esperada según la distribución teórica

n: tamaño de la muestra

Nota. El número de observaciones esperadas en cada clase debe ser mayor o igual a 5, es decir, ej 5. Si esto no ocurre se unen las clases adyacentes hasta cumplir el requisito. Al unir las clases se disminuirán los grados de libertad de la chi-cuadrado.

La regla de decisión se observa en la figura 3.20.

Figura 3.20 Regla de decisión: prueba bondad de ajuste

EJEMPLOS:

Se desea probar si la estatura de los empleados tiene distribución normal. Se toma una muestra aleatoria de 200 empleados a quienes se les pregunta su estatura en pulgadas. Los resultados obtenidos son:

ESTATURA 57,5-63,5 63,5-69,5 69,5-72,5 72,5-78,5

No. EMPLEADOS 29 75 68 28

Con base en ésta información se puede concluir que su distribución es normal?

Solución

H0 : La estatura de los empleados tiene distribución normal

H1 : La estatura de los empleados no tiene distribución normal

Para hallar la estadística de trabajo se utiliza la expresión 3.15. Para calcular la frecuencia esperada es necesario obtener la probabilidad en cada intervalo y para ésto se requiere el promedio aritmético y la desviación estándar, que se obtienen con la información suministrada por la muestra, los que respectivamente son: 68,42 y 4,4451.

ESTATURA nj pj ej =n pj

57,5 - 63,5 29 0,.1335 26,70

63,5 - 69,5 75 0,4613 92,26

69,5 - 72,5 68 0,2264 45,28

72,5 - 78,5 28 0,1788 35,76

TOTAL n = 200 1,0000 200

La estadística de trabajo es:

Con una confiabilidad del 95 por ciento, en una tabla de la distribución chi-cuadrado y un grado de libertad (número de clases: m=4, número de estimadores obtenidos a partir de la muestra: k=2, promedio y desviación estándar. Entonces m-k-1 = 1) se obtiene un valor para Z de 3,84. El valor de la estadística de trabajo está en la zona de rechazo de la hipótesis nula (Figura 3.21), por lo tanto con una confiabilidad del 95 por ciento, se acepta que la estatura de los empleados no tiene distribución normal.

Figura 3.21 Regla de decisión para una prueba de bondad de ajuste

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA VARIANZA:

Es frecuente que se desee comprobar si la variación o dispersión de una variable ha tenido alguna modificación, lo cual se hace con la prueba de hipótesis para la varianza.

Hipótesis

Se puede plantear uno de los siguientes tres tipos de hipótesis:


H0 : = k

H1 : k


H0 : = k ó H0 : k

H1 : > k ó H1 : > k


H0 : = k ó H1 : k

H1 : < k ó H1 : < k

En este caso se tienen dos situaciones, dependiendo de si se utiliza la varianza muestral sin corregir o corregida.

• Si se utiliza la varianza sin corregir ( ) la estadística de trabajo es la expresión (1.4):

(3.6)

• Si se utiliza la varianza corregida, la estadística de trabajo es la expresión (1.5):

(3.7)

REGLA DE DECISION


H1 : k se tiene una prueba de hipótesis a dos colas, por lo tanto, el nivel de significancia ( ) se divide en dos partes iguales, quedando estos valores en los extremos de la distribución como se aprecia en la figura 3.8

Figura 3.8 Regla de decisión para una prueba de hipótesis a dos colas

y pertenecen a una distribución X2 con (n-1) grado de libertad. Si el valor de la

estadística de trabajo (T) está entre y no se rechaza la hipótesis nula, en caso

contrario se rechaza H0lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si < T < no se rechaza H0.


H1 : > k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola superior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte superior de la distribución, vease figura 3.9


Z1- pertenece a una distribución X2 con (n-1) grado de libertad. Si el valor de la estadística

de trabajo (T) es menor que no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se

rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si T < no se rechaza H0 .


H1 : < k, se tiene una prueba de hipótesis a una cola inferior, quedando el nivel de significancia ( ) en la parte inferior de la distribución, vease figura 3.10


Z pertenece a una distribución X2 con (n-1) grado de libertad. Si el valor de la estadística de trabajo (T) es mayor que Z no se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza H0 lo cual implica aceptar H1 . Es decir, si T >Z no se rechaza H0.

EJEMPLO

Se supone que los diámetros de cierta marca de válvulas están distribuídos normalmente con una varianza poblacional de 0,2 pulgadas 2 , pero se cree que últimamente ha aumentado. Se toma una muestra aleatoria de válvulas a las que se les mide su diámetro, obteniéndose los siguientes resultados en pulgadas: 5,5 5,4 5,4 5,6 5,8 5,4 5,5 5,4 5,6 5,7

Con ésta información pruebe si lo que se cree es cierto.

Solución

Se cree que la varianza poblacional ha aumentado, es decir es superior a 0,2; por lo tanto:

H0 : = 0,2

H1 : > 0,2

Para realizar esta prueba de hipótesis se utiliza la expresión 3.6

Asumiendo un nivel de confianza del 95 por ciento, en la tabla de la distribución chi-cuadrado con 9 grados de libertad, se obtiene un valor para Z de 16,919. Como puede observarse en la figura 3.11, el valor de la estadística de trabajo se ubica en la zona de no rechazo de la hipótesis nula, por consiguiente con una confiabilidad del 95 por ciento se puede afirmar que la varianza poblacional no ha aumentado.


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