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Proyecto: Identicador de estados de distribuci´ onnormal por Algoritmo Genético.

Centro de Ingenieŕıa y Desarrollo IndustrialFernando Espinoza Su´ arez, email: fespinoza@cidesi.edu.mx

Resumen— El ob jetivo del proyecto es crear un identi-cador de estados el cual consiste en elaborar un algoritmogenético en el que se basa en saber la cantidad de estados ysu probabilidad de pertenencia obteniendo un valor mediode los datos, éste ayuda analizar como se comportan los da-tos de cada estado y obtener los de mayor peso para cadaestado y realizar la selecci´ on.

I. Introducci ón

El algoritmo genético es una técnica utilizada para re-solver problemas de b´usqueda y optimizaci´on, basada enel planteamiento que hizo Charles Darwin sobre la super-vivencia de los mas fuertes por medio de la selecci´ on na-tural, es decir se inspira en la evoluci´ on biológica. Paraéste método eciente de optimizaci´ on, es importante tenernumerosas ideas de soluciones y realizar combinaciones pa-ra poder seleccionar una mejor soluci´ on encontrada por elalgoritmo.

El documento est´a organizado en: el Marco te´orico en laSección II. Desarrollo y experimentaci´ on en la Sección III.La Sección IV concluye el trabajo.

II. Marco Te órico

A. Algoritmos Genéticos

El algoritmo genético [1] es una técnica utilizada para la

solución de problemas de b´usquedas y optimizaci´ on, estemétodo algorı́tmico imita precisamente este proceso crean-do soluciones para problemas actuales, evolucionando estassoluciones con el n de ir encontrando los valores ´ optimosnecesarios para el problema.

El algoritmo parte de la creaci´ on de una poblaci´onde individuos representados por cromosomas, los cualespasan por un proceso de simulaci´ on llamado evoluci ón,esta evoluci ón comienza desde una poblací on aleatoria,en cada generaci´on la selección natural ser´a la encargadade elegir a los individuos m ás aptos, al cual se aplicanmodicaciones y mutaciones con el n de ser transmitidosa otras generaciones. Estos algoritmos realizan un procesocontinuo el cual repite ciclos de evoluci´on controladossiempre por los criterios de parada denidos.

Los elementos b ásicos de un algoritmo geńetico sonlos siguientes:

Poblaci ón; Conjunto de individuos que representantodas las posibles soluciones a un problema dado. A partirdel proceso de selección natural que se aplica sobre lapoblaci ón inicial y el uso de operadores genéticos como elcruce y la selección, se originan los descendientes de unanueva generaci´on.

Gen; Es la unidad funcional de la herencia, que tienela capacidad de almacenar informaci´ on capaz de soportarmutaci´on, duplicaci ón y expresi ón.

Cromosoma; El material genético se encuentra empaque-tado en unidades discretas. Estos son los portadores de lamayor parte de este material y condicionan la organizaci´ onde la vida y los caracteres heredados por cada especie. Enlos algoritmos genéticos es un individuo o elemento de unapoblaci ón quién representa una posible soluci´ on al proble-ma planteado.

Selección; Escoge cromosomas dentro de la poblaci´ on conel n de que se reproduzcan. Durante el proceso evalu´ ati-vo, el gen es de-codicado convirtiéndose en un conjuntode par ámetros derivados del problema. La soluci´ on óptimaest á dada por la puntuaci´ on que tendr´an éstos par´ ametros.Entonces ser´a el encargado de escoger los cromosomas quese van a reproducir, quienes conformar´ an la poblaci ón dela siguiente generaci´on. Después de haberse evaluado en lanueva poblaci´on creada deber´a tener en cuenta que seantransmitidos los mejores rasgos.

Cruce; Elige un lugar e intercambia las secuencias que seencuentran antes y después de la posici´ on ubicada en el me-dio de dos cromosomas, a n de que se produzca una des-cendencia. Los miembros tomados son seleccionados alea-

toriamente, por lo que sin importar pueden formarse pa-rejas de descendientes de los mismos padres. Este hechogarantiza que un individuo con una excelente puntuaci´ onpermanezca siempre constante en la poblaci´ on.

Mutaci ón; Causa variaciones aleatorias en un cromoso-ma, las cuales contribuyen a la diversidad genética de laespecie. Una vez se establezca esta frecuencia se examinanlos bits de las diferentes cadenas s´ olo en el momento en quese produzca un nuevo descendiente, si el n´ umero generadoal azar est á por debajo de esa frecuencia, inmediatamenteel bit ser á cambiado, de lo contrario el bit seguir´ a igual.Un algoritmo genético utiliza estas operaciones con el nde encontrar la solucí on más apta.

B. K-means

El K-Means [2] es uno de los algoritmos de aprendizajeno supervisado m´as simples y conocidos para resolver elproblema de la clasicaci´on autom´atica. El procedimientoradica en clasicar un conjunto dado de datos en ciertonúmero de grupos (clusters) jados a priori (se asume kgrupos). La idea principal es denir k centroides (n´ ucleos),uno para cada grupo. Posteriormente se analiza cada in-dividuo (punto en el conjunto de datos inicial) y se asociacon el núcleo más cercano. Al asociar todos los individuosse deben re-calcular los n´ucleos y nuevamente se repite el

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procedimiento de asociar los individuos al n´ ucleo más cer-cano. Se detiene el algoritmo cuando ya no hayan cambios(los centroides no cambian). Finalmente, el algoritmo en loque se enfoca es en minimizar una funci´ on objetivo, en estecaso la distancia de los individuos a su n´ ucleo más cercano.

D.individuo =

k

i =1

N

i j D (xi , cj ) (1)

Donde xi representa al individuo i y cj al centroide j.En este caso D es una distancia, usualmente Eucĺıdea, ycomo para los datos clasicos cada una de las V variablescorresponden a un valor numérico, basta con realizar restaspara determinar la distancia de un individuo con respectoa otro:

D (x i , cj ) = V v =1

(x iv − cjv )2 = || x i − cj || (2)

Es una técnica un conjunto de datos. Es decir, dado cier-to n úmero de puntos obtenidos por muestreo se pretendeencontrar una funci´ on para el polinomio que pase por todoslos puntos para encontrar nuevos puntos.

III . M étodo propuesto

Para validar el método se propone aplicar el algoritmoen distribuci´on de datos normales en los cuales debe deidenticar la cantidad estados que se est´ an generando. Elproceso consiste en identicar la media ( µ) de cada estado

generado y su desviaci´on est ándar para realizar la identi-cación de los datos de mayor peso.

Figura 1. Estados generados para analizar.

IV. Desarrollo y Experimentaci ón

Al detectar los estados de n´ umeros aleatorios normalesy clasicarse, por medio del algoritmo genético se debede realizar la identicaci´ on de cada estado y obtener lospuntos de mayor peso con los cuales se puede obtener elcomportamiento.

La identica los estados se realiza por medio de unamatriz en la cual se obtienen los valores en X,Y y Z. La

matriz analizar A:

Am,n =

X 1 , 1 Y 1 , 2 Z 1 , 2 · · · X m,n Y m,n Z m,nX 2 , 1 Y 2 , 2 Z 1 , 2 · · · X m,n Y m,n Z m,n

......

......

...X m, 1 Y m, 2 Z m, 2 · · · X m,n Y m,n Z m,n

(3)

Donde el conjunto de X,Y y Z es la relaci´on de un puntoen mis datos de distribuci´ on normal en los cual se debe deanalizar dependiendo a la cantidad de nubes de datos y eltama˜no de ellas (mxn).

A. Identicaci´ on de cada estados.

De la matriz (3) se identican el numero de estados, eluno se representa de esta forma X 1 ,Y 1 ,Z 1 para la nube dosse nombra X 2 ,Y 2 ,Z 2 , aśı sucesivamente hasta la cantidadde nubes analiz´andose. En la nube uno se plantea encontrarla coordenada de mi punto medio, se obtiene en cada unode los ejes:

MediaX = ( Ax 1 + Bx 1 + C x 1 + ... + Nx 1)/nMediaY = ( Ay 1 + By 1 + C y 1 + ... + Ny1)/nMediaZ = ( Az 1 + B z 1 + C z 1 + ... + Nz 1)/n

(4)

Donde A,B y C son el numero de las hasta N. Se realizapara cada estado o nube y se debe de obtener las medias,se observa con ∗ de color rojo en la gura 2 las mediasidenticadas en las nubes aplicando la identicaci´ on de laecuaci ón (4).

Figura 2. Medias en las nubes de puntos.

B. Obtener la desviací on est´ andar de las nubes.

Para la desviaci´on est ándar (5) se debe obtener paracada eje X 1 por ejemplo:

σX 1 = N i =1

(x i − X̄ 1 )2

N − 1 (5)

Esto se debe de aplicar para Y 1 ,Z 1 y saber el limite delradio en X,Y,Z y trazar un circulo donde esta dentro lospuntos mas signicativos.

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ÁR: PROYECTO: IDENTIFICADOR DE ESTADOS DE DISTRIBUCI ÓN NORMAL POR ALGORITMO GEN ÉTICO. 3

Figura 3. Desviaci´ on est ándar de la nube uno.

C. Obtener los datos que est´ an dentro de la desviaci´ on est´ andar

Al tener el conocimiento de los estados su desviaci´ onest ándar de cada eje X 1 , 1 ,Y 1 , 1 ,Z 1 , 1 se aplica la clasicaci óny selección de los datos que est´an dentro de éste, se aplicala siguiente ecuaci´on para cada nube de datos identicadasanteriormente.

estado 1 =

X 1 , 1 Y 1 , 1 Z 1 , 1X 1 , 2 Y 1 , 2 Z 1 , 2

......

...X 1 ,n Y 1 ,n Z 1 ,n

(6)

Al tener la media ( µ1) del estado1 y la desviaci´onest ándar ( σ1)se aplica la clasicaci ón de los datos de ma-yor peso aplicando la ecuaci´on (2) en la parte de la restadonde se eval úa que componente identica el estado.

R1 = estado 1 (i, 1) − µ(i, 1) < = σ(i, 1) (7)

Se realiza la selección [1] donde se compara con la desvia-ción est ándar del datos no sea mayor y se van descartandolos que sean mayor a éste. Donde se observa en la gura 4la selección de los datos que est´an dentro de nuestro radio(σ1) y estado1 se analiza como un vector.

Figura 4. Obtenci´ on de datos de mayor peso.

Los puntos de color verde son aquellos los cuales sonclasicados para cada estado y se observa que los datos seencuentran dentro de la ( σ).

Figura 5. Obtenci´ on de datos de mayor peso y la media.

V. Conclusi ón

Para saber que nuestra distribuci´ on de los datos es nor-mal se verica realizando un histograma en el cual se ob-serva los datos distribuidos en la gr´ aca de forma acampa-nada llamada distribuci´ on Gaussiana donde los datos massignicativos se encuentran en 68.2 por-ciento de nuestrosdatos.

Para identicar los estados se debe de calcular la mediade cada estado en el cual se observa el comportamiento decada punto con respecto a la media y se calcula la des-viación est ándar para obtener los datos de mayor peso loscuales son el 68.2 de nuestra nube analizada y este se cal-cula como un radio para obtener solo los que est´ an dentrodel radio como se observa en la gura 3 y se obtiene sololos datos que se observa en la gura 5.

Referencias

[1] Fabio Fernandez jimenez y alex Murillo Fernandez. Clasicaci´ on Autom´ atica Simb´ olica por medio de los Algoritmos GeneticosRevista de Matem´ atica: 8 Dic 2008.

[2] Rocı́o Reyes Abril y Carlos Andrés Pardo Rodrı́guez Desarrollode una herramienta académica para el aprendizaje de algoritmosgenéticos en el entorno de matlab. (Coningenio) Agosto 2010.