Proyecto Catapulta Final

>PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRNICA ESCUELA DE ADMINISTRACION Y MERCADOTECNIA <

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Resumen En el presente trabajo se ha investigado sobre el

principio de conservacin de energa y conceptos de dinmica

con el objetivo de lograr una mejor comprensin del

funcionamiento emprico y terico de una catapulta, para lo

cual se implement un modelo de dimensiones reducidas con el

cual realizamos una serie de suposiciones.

Abstract- In the present work we have investigated the principle of

conservation of energy and concepts of dynamics in order to

achieve a better understanding of empirical and theoretical

performance of a catapult, for which a model of reduced

dimensions was implemented which perform a series of

assumptions.

I. OBJETIVOS

-Entender los trminos que se manejan en este tema para

obtener un gran aprendizaje.

-Obtener una gran apreciacin con los resultados obtenidos

en este proyecto con todos los elementos que se manejan.

Ya que estos influyen demasiados en la elaboracin de este

proyecto.

- Identificar los componentes bsicos y las precauciones

necesarias para su buen funcionamiento.

- El experimento a explicar consiste en un trebuchet que es

una especie de catapulta solo que este acta por efecto de un

contrapeso que es el que impulsa el proyectil, generando una

velocidad que le permitir recorrer una distancia

proporcional a la carga del contrapeso, a diferencia de una

catapulta que opera por torsin de cuerdas o algn otro

mecanismo menos cuantificable fsicamente; Pero para

evitar confusin le seguiremos llamando catapulta porque

finalmente cumple la misma tarea que es arrojar algn

proyectil por accin de fuerzas ejercidas por otros objetos.

-El objetivo de este informe es explicar todos los efectos

fsicos que rigen a una catapulta como es la conservacin de

energa dentro de la cual actan efectos como momento de

inercia, la velocidad angular, energa cintica y energa

potencial adems de unos conceptos bsicos de dinmica

que tambin intervienen en este proyecto.

-Habiendo conocido todos los efectos fsicos que actan en

esta catapulta, se podrn analizar y cuantificar aplicando

formulas que permitir sacar la mayor cantidad de

informacin de esta, para as predecir el lanzamiento.

II. MATERIALES

Para la construccin de la catapulta de dimensiones

reducidas se utilizaron:

- Madera de cedro con dimensiones 34 cm de ancho por 39,5

cm de alto por 50 cm de largo para la estructura de la

catapulta

- clavos y silicona lquida para el ensamblaje de cada listn

- cuerda para reforzar la unin entre listones que estarn

afectados por la accin de fuerzas mayores

- Una porcin de neumatico como recipiente del proyectil

III. INTRODUCCIN

ebido a los avances de la ciencia y la tecnologa es

probable que nos encontremos con fenmenos fsicos

que ocurran en mbitos especiales, como puede ser aquellos

que toman lugar a mucha distancia de nuestro alcance

(espacio exterior) o en lugares de dimensiones reducidas

(interior del cuerpo humano) . Dado que estamos limitados

por nuestros sentidos, en especial la vista, recurrimos a

distintas herramientas, tales como microscopios, telescopios,

etc., para presenciar dichos fenmenos fsicos, y an as el

estudio de los mismos es complicado. Por esta razn, es que

utilizamos cmaras de vdeo, que nos permiten analizar estos

hechos, sin tener que presenciarlos. La idea de este proyecto

es estudiar que fenmenos se dan lugar en un tiro parablico

efectuado con catapulta calculando la parte de estabilidad,

esttica y resistencia de materiales.

Los clculos implican el uso de dinmica bsica.

IV. MARCO TERICO

Funcionamiento:

Fig. 1 El trebuchet est listo para disparar. El peso bajar

levantando el brazo y ste a su vez tirar de la onda.

Fig. 2 El peso sigue bajando haciendo que la onda tome

altura.

Fig. 3 La onda ha tomado ya la altura suficiente para que se

separe la anilla del pivote.

Fig. 4 La onda se ha abierto disparando el proyectil.

PROYECTO CATAPULTA

Luis Felipe Muoz, Juan Jos Cortez Gonzalez, Mateo Fernandez Saavedra, Esteba Moreno

Echeverry y Juan Camilo Torres.

Programa de Ingeniera Mecatrnica, Facultad de Ingeniera Mecatrnica, Escuela De

Administracin y Mercadotecnia- Colombia.

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Tenemos una serie de medidas que debemos tener en cuenta,

segn se muestra en el siguiente plano de la trebuchet:

A = Longitud total del brazo lanzador

La distancia B debe de ser de 4 veces la distancia C.

La longitud de la honda D, debe de ser 3/4 de la longitud de

B.

La masa W (Contrapeso), debe de ser 100 veces mayor que

el peso WP, del proyectil a lanzar.

Adems el ngulo del brazo lanzador "amartillado" debe de

ser de 45.

Estas son las proporciones mnimas que tiene que cumplir

nuestro Trebuchet para que sea funcional.

Otro elemento a tener en cuenta es el ngulo del pivote, si el

ngulo es mayor (fig A), conseguimos que el proyectil llegue

ms lejos pero toma menos altura, en el caso extremo

tendremos que el ngulo es casi 0. Con esta configuracin

conseguiremos que el proyectil alcance una altura mxima

perdiendo as algo de alcance. (Fig C.)

V. MONTAJES Y EXPERIMENTO

Antes de realizar el montaje de la catapulta se tendrn en

cuenta algunas instrucciones:

1. Se calcula el momento en el brazo de la catapulta. El

momento es igual a la fuerza que acta

perpendicularmente al brazo de la catapulta

multiplicado por su distancia desde el punto del

brazo de rotacin. Si la fuerza es suministrada por

un peso, la fuerza perpendicular es igual a las veces

el peso del seno del ngulo entre el cable y el peso

del brazo catapulta.

2. Calcula el momento polar de inercia del brazo de la

catapulta. El momento polar de inercia es una

medida de la resistencia de un objeto a la rotacin.

El momento polar de inercia de un objeto genrico

es igual a la integral de cada una de sus unidades

infinitesimales de masa por el cuadrado la distancia

de cada unidad de masa desde el punto de rotacin.

La integral es una funcin basada en el clculo. Es

posible que desees aproximar el brazo de la

catapulta como una barra uniforme, en cuyo caso el

momento polar de inercia se convertira en un

tercio de la masa el brazo multiplicado por el

cuadrado de su longitud: I = (m * L ^ 2) / 3.

3. Calcula la aceleracin angular. La aceleracin

angular se obtiene fcilmente dividiendo el

momento en cualquier punto en el tiempo por el

momento polar de inercia: una M = / I.

4. Calcula las aceleraciones normales y tangenciales

sobre el proyectil. La aceleracin tangencial

describe la rapidez con la velocidad lineal del

objeto que es cada vez mayor, y es igual a la

aceleracin angular multiplicada por la longitud del

brazo. La aceleracin normal, tambin conocida

como la aceleracin centrpeta, acta

perpendicularmente a la velocidad instantnea del

objeto y es igual a la velocidad al cuadrado

dividida por la longitud del brazo: a = (v ^ 2) / L.

Puedes aproximar la velocidad en cualquier punto

en el tiempo multiplicando el tiempo que ha


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transcurrido por la aceleracin angular media y la

longitud del brazo: v = a * t * L.

5. Usa la segunda ley de Newton, la fuerza es igual a

masa multiplicada por la aceleracin, para convertir

las aceleraciones del objeto en las fuerzas inducidas

por la catapulta. Multiplica ambos componentes

tangenciales y normales de la aceleracin de la

masa del objeto para obtener las dos fuerzas.

6. Combina los dos componentes de fuerza en una sola

fuerza resultante. Debido a que las fuerzas

normales y tangenciales actan perpendiculares

entre s, puedes utilizar el teorema de Pitgoras

para calcular la magnitud de la fuerza resultante: a

^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde "a" y "b" son fuerzas

componentes y "c" es la resultante.

Lo anterior fue para la parte esttica, lo siguiente es para

resistencia de materiales el cual se analiza la madera que es

el elemento en que pensamos realizar la catapulta.

La orientacin de las fibras que componen la madera da

lugar a la anisotropa de su estructura, por lo que a la hora de

definir sus propiedades mecnicas hay que distinguir

siempre entre la direccin perpendicular y la direccin

paralela a la fibra. En este hecho radica la principal

diferencia de comportamiento frente a otros materiales

utilizados en estructuras como el acero y el hormign. Las

resistencias y mdulos de elasticidad en la direccin paralela

a la fibra son mucho ms elevados que en la direccin

perpendicular.

A modo de introduccin podemos ver que los rboles estn

diseados por la naturaleza para resistir con eficacia los

esfuerzos a los que va a estar sometido en su vida;

principalmente los esfuerzos de flexin producidos por la

accin del viento y los de compresin producidos por las

acciones gravitatorias.

Sobre la madera como material se han realizado muchos

estudios e investigaciones mediante ensayos realizados sobre

probetas pequeas libres de defectos o madera limpia, pero

la madera estructural comprende piezas de grandes

escuadras en las que aparecen numerosos defectos o

particularidades como nudos, gemas, etc. Por eso, la

tendencia actual es la de estudiar e investigar piezas de

madera comerciales o reales que permiten evaluar mejor la

presencia e influencia de dichas particularidades. En los

productos estructurales de la madera es importante tener en

cuenta que se trata de productos que han sido clasificados

para su uso estructural, y por lo tanto no se pueden utilizar o

buscar correlaciones con otro tipo de clasificaciones; por

ejemplo en la madera aserrada no se pueden utilizar o

correlacionar las clasificaciones decorativas con las

estructurales o utilizar los valores obtenidos con probetas

pequeas. Para referirse a las propiedades mecnicas en

madera estructural se suelen dar los valores caractersticos,

que se definen como aquellos que son seguros con un 95 %

de probabilidad, y son los que se emplean, por ejemplo, para

comprobar la resistencia. Los valores medios son seguros

con una probabilidad del 50 %.

A continuacin se recogen las caractersticas ms

significativas de las propiedades mecnicas de la madera

estructural.

Traccin paralela a la fibra: La resistencia a traccin

paralela a la fibra es elevada. En la madera clasificada, los

valores caractersticos oscilan entre 8 y 18 N/mm2

.Como ejemplo de piezas solicitadas a este esfuerzo se

encuentran, principalmente, los tirantes y los pendolones de

las cerchas.

Compresin paralela a la fibra: Su resistencia a

compresin paralela a la fibra es elevada, alcanzando valores

caractersticos en la madera clasificada de 16 a 23 N/mm2

.En el clculo de los elementos comprimidos se ha de

realizar la comprobacin de la inestabilidad de la pieza

(pandeo), en el que influye decisivamente el mdulo de

elasticidad. El valor relativamente bajo de este mdulo

reduce en la prctica la resistencia a la compresin en piezas

esbeltas. Esta propiedad resulta importante en una gran

cantidad de tipos de piezas, como pilares, montantes de

muros entramados, pares de cubierta, etc.

Flexin: Su resistencia a flexin es muy elevada, sobre todo

comparada con su densidad. Sus valores caractersticos para

las conferas, que se utilizan habitualmente en estructuras,

varan entre 14 y 30 N/mm2

.En madera es preciso hablar de una resistencia a la flexin,

aunque est formada por la combinacin de una traccin y

una compresin, ya que el comportamiento mecnico de

estas dos propiedades es diferente, y por tanto resulta ms

prctico referirse al efecto conjunto de ambas en el caso de

flexin.

Esta propiedad es importante en piezas tales como vigas,

viguetas de forjado, pares de cubierta, etc.

Traccin perpendicular a la fibra: Su resistencia a la

traccin perpendicular a la fibra es muy baja (del orden de

30 a 70 veces menos que en la direccin paralela). Su valor

caracterstico es de 0,3 a 0,4 N/mm2

.

En la prctica y aplicado a las estructuras, esta solicitacin

resulta crtica en piezas especiales de directriz curva (arcos,

vigas curvas, etc) o en zonas de cambio brusco de directriz

(zonas de vrtice). Estas tensiones de traccin, tambin se

pueden producir como consecuencia de la coaccin del libre

movimiento transversal de la madera en soluciones

constructivas incorrectas, que pueden ser evitadas fcilmente

con el conocimiento del material.

Compresin perpendicular a la fibra: Su resistencia a

compresin perpendicular a la fibra es muy inferior a la de la

direccin paralela. Sus valores caractersticos varan entre

4,3 y 5,7 N/mm2 , lo que representa la cuarta parte de la

resistencia en direccin paralela a la fibra. Este tipo de

esfuerzo es caracterstico de las zonas de apoyo de las vigas,

donde se concentra toda la carga en pequeas superficies

que deben ser capaces de transmitir la reaccin sin sufrir

deformaciones importantes o aplastamiento.


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Cortante: El esfuerzo cortante origina tensiones

tangenciales que actan sobre las fibras de la madera segn

diversos modos.

- tensiones tangenciales de cortadura: las fibras son cortadas

transversalmente por el esfuerzo. El fallo se produce por

aplastamiento.

- tensiones tangenciales de deslizamiento: el fallo se produce

por el deslizamiento de unas fibras con respecto a otras en la

direccin longitudinal.

- tensiones tangenciales de rodadura: el fallo se produce por

rodadura de unas fibras sobre las otras.

En las piezas sometidas a flexin y a cortante, las tensiones

que intervienen son conjuntamente las de cortadura y

deslizamiento. Sus valores caractersticos (por

deslizamiento) varan entre 1,7 y 3,0 N/mm2 en las especies

y calidades utilizadas habitualmente en la construccin.

Las tensiones tangenciales por rodadura de fibras slo se

producen en casos muy concretos, como son las uniones

encoladas entre el alma y el ala de una vigueta con seccin

en doble T. El valor de la resistencia por rodadura es del

orden del 20 al 30% de la resistencia por deslizamiento.

Mdulo de elasticidad: En la madera, debido a su

anisotropa, el mdulo de elasticidad en direccin paralela a

la fibra adopta valores diferentes segn se trate de

solicitaciones de compresin o de traccin.

En la prctica se utiliza un nico valor del mdulo de

elasticidad para la direccin paralela a la fibra. Su valor

vara entre 7.000 y 12.000 N/mm2 dependiendo de la

calidad de la madera.

En la direccin perpendicular a la fibra se toma,

anlogamente, un nico mdulo de elasticidad, cuyo valor es

30 veces inferior al paralelo a la fibra.

Mdulo de cortante: En la madera tambin existe un

mdulo de cortante ligado a los esfuerzos cortantes. Su valor

es 16 veces inferior al mdulo de elasticidad paralelo a la

fibra.

VI. PROCEDIMIENTO

Luego de reunir los materiales se construir una catapulta de

dimensiones reducidas, cuyas medidas se dan a

continuacin:

-Altura de la base al eje (a): 39,5 cm.

- Longitud del brazo ms chico (b): 12,5 cm

- Longitud del brazo ms largo (c): 50 cm

Masa del brazo completo (): 20.2 g

Masa del brazo pequeo: 3,4 g

Masa del brazo largo: 16.8 g

Masa del contrapeso (M): 1 Kg

Masa del proyectil (m): 0.52 g

FIGURA 1: diagrama de la catapulta descrita anteriormente.

En la figura 1 se observa el contrapeso de masa M que

consiste en una canasta movible en donde se introducir la

carga deseada, tambien se puede ver el proyectil de masa m

que ser lanzado. Para efectuar un lanzamiento se debe

colocar en el contrapeso la carga deseada y en el extremo del

brazo algn proyectil a lanzar, despus se debe torcer el

brazo hacia atrs, como lo muestra la figura 2, de manera

que el proyectil salga despedido con un ngulo de 45 para

maximizar el alcance. Se deja el contrapeso libre de caer y el

brazo ms largo arroja el proyectil con ese ngulo.

FIGURA 2: diagrama reducido de la posicin inicial de la

catapulta, M es la masa del contrapeso y m es la masa del

proyectil.

Cuando el brazo queda a 90 del suelo, se ha puesto un tope

en la catapulta para que el contrapeso no siga oscilando y se

detenga bruscamente, as el proyectil saldr despedido con el

mismo ngulo que se torci el brazo, en este caso es 45 en

donde se conseguir una trayectoria optima como lo muestra

la figura 3.


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FUNDAMENTO TEORICO:

Para analizar la catapulta hay que partir de la base que en su

funcionamiento ocurre conservacin de la energa, es decir

la energa potencial existente en el momento en que el

contrapeso se encuentra suspendido en el aire se

transformar en energa cintica al momento en que el

proyectil abandone la catapulta, es por eso que estamos

frente a un sistema conservativo pues la energa existente

permanece constante.

Para poder entender el funcionamiento de la catapulta,

tambien hay que analizar los efectos fsicos que en ella

actan, es por eso que antes de entrar de lleno en las

formulas fsicas que rigen a la catapulta, a continuacin

definiremos claramente cada uno de estos efectos para que

as se haga mas fcil comprender el accionar de esta

catapulta.

- Energa mecnica(Em): es la suma de la energa cintica y

la energa potencial.

Energa cintica(Ec): es la energa que posee un cuerpo de

masa m por encontrarse en movimiento con cierta velocidad.

La formula de energa cintica anteriormente escrita es para

un movimiento rectilneo uniforme, pero para el movimiento

en rotacin es:

En el caso de un objeto que gira y se desplaza

simultneamente, la energa cintica es la suma de ambas:

Energa potencial(Ep): es la energa almacenada en un

sistema, o comola medida del trabajo que un sistema puede

entregar.

Centro de masa(CM): es el punto donde se supone

concentrada toda la masa del sistema.

Momento de inercia( I ): es la magnitud que indica como

esta distribuida la masa de un slido respecto del eje de

rotacin. Esta definida como la suma de los productos entre

las masas de las partculas que componen

un sistema, y el cuadrado de la distancia de cada partcula a

un origen cualquiera, comn para todas. Representa la

inercia de un cuerpo al rotar. Se mide en kgm en el SI.

Velocidad angular: es una medida de velocidad en

rotacin, se mide en radianes por segundo o simplemente s-1

porque los radianes son adimensionales.

Ahora comenzaremos a explicar el funcionamiento de la

catapulta reconociendo cada efecto anteriormente nombrado.

Cabe sealar que hemos establecido como situacin 1 al

escenario antes del lanzamiento, como lo muestra la figura 2;

y como situacin 2 al escenario en que ocurre el

lanzamiento, como lo muestra la figura 3. Esto es porque al

momento de plantearlo en la formula, se pondr el subndice

de la situacin que corresponda.

Una vez que hemos definido cada factor que afecta nuestra

catapulta y la manera de que ser planteado en la formula,

estamos preparados para analizar el funcionamiento de la

catapulta.

Como todo este proceso del lanzamiento comienza con el

proyectil de masa m en el suelo y en reposo, se puede asumir

que la energa total o mecnica del sistema es la energa

potencial del contrapeso de masa M donde g es la

aceleracin gravitatoria:


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Adems asumimos que el centro de masa del brazo esta

aproximadamente en el pivote que es el punto en donde el

brazo esta unido a la base o mejor dicho es el eje de

rotacin, entonces su energa potencial no necesita ser

tomada en cuenta.

Al momento del lanzamiento las dos masas tienen energa

potencial, y el brazo y las dos masas tienen tambien energa

cintica. Entonces se puede concluir que la energa total del

sistema al momento del lanzamiento o situacin 2 es:

Donde I es el momento de inercia del brazo con respecto a

su centro de masa. Si es la masa del brazo:

y su velocidad angular, que es la misma para ambas masas

y es la velocidad lineal dividida en el radio, entonces:

Ahora reemplazando en la ecuacin (2) podemos eliminar

tanto como V y se obtendr una ecuacin que tiene por

incgnitas solo Em2 y v:

Asumimos la conservacin de la energa entre la posicin

inicial y la posicin final de lanzamiento por lo tanto Em1 =

Em2

Si en esta ecuacin reemplazamos con los datos de nuestra

catapulta:

Podremos obtener analticamente la velocidad con que sale

despedido el proyectil de la catapulta que es v = 49.2 m/s y

adems sabemos que el ngulo con que sale despedido el

proyectil es 45. Con estos datos es suficiente para seguir

sacando ms informacin acerca del lanzamiento, como se

podr ver a continuacin.

Vamos a analizar las ecuaciones que rigen la posicin del

proyectil en funcin del tiempo, ya que encontrado el tiempo

t se obtiene la posicin x e y del proyectil y luego se podr

obtener la velocidad final.

El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y = 0 en la

segunda ecuacin y despejando el tiempo t. Se obtiene una

formula como se muestra a continuacin:

Luego de obtener la ecuacin anterior, reemplazamos los

datos que poseemos como es la velocidad inicial del

proyectil (Vo) y el ngulo de lanzamiento (45) y as

conseguiremos el tiempo que demoro el proyectil en caer.

En este caso demor 1,5 seg. Adems podremos conocer la

distancia en funcin del tiempo con una simple ecuacin:

X( t ) = 5 m/s t ( 0 < t < 1,5 seg )


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VII. ANEXOS CALCULOS MATEMATICOS

ANALISIS RESISTENCIA DE MATERIALES.

Determinamos los puntos de equilibrio del brazo.

Para la seccin

Se halla el factor de seguridad.

Para los tornillos se realizaron los siguientes clculos.

Pero,

Para determinar el mnimo espacio que se necesita para que

soporte la estructura seria.


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ANALISIS ESTATICO.

Para el punto A

Para el punto C

Para el punto D

VIII. CONCLUSIONES

Como conclusin se puede tomar demasiados debates as

que nos reunimos y concluimos lo siguiente:

- Es importante observar y analizar los clculos de este

proyecto, y de esta manera enfocarnos a su construccin

para poder tener un buen funcionamiento de este proyecto.

- Este proyecto va a demostrar que para el anlisis

mecnico, es igualmente efectivo cualquier anlisis mientras

se realice en las condiciones correctas y con mucho cuidado

de tener en cuenta todos los detalles, como marcas y escalas

de referencia en el montaje del experimento Adems, lo que

se va a deducir es que el tiro realizado en la prctica debera

tener las mismas caractersticas que un tiro del mismo tipo

pero analizado en condiciones ideales.

- En conclusin podemos decir que lo planteado en las

ecuaciones, explican muy bien el funcionamiento de una

catapulta, ya que una vez obtenidos todos los datos se

pueden comprobar llevndolos a la practica en donde se

puede ver que el margen de error es muy pequeo y por

consiguiente se puede predecir un lanzamiento sin mayor

dificultad.

Adems queda demostrado que mientras uno conozca las

caractersticas de su catapulta y lleve los datos con mucha

exactitud, sin importar los medios que ocupe, siempre

llegar al mismo resultado.

Igualmente uno puede suponer que los datos y valores

manejados en ecuaciones son en condiciones ideales,

entonces si no hubo gran diferencia entre las condiciones

ideales de las formulas y la experimentacin, se puede

concluir que los efectos externos como el aire, la presin

atmosfrica y la temperatura, no influyen tan notoriamente

en el rendimiento del lanzamiento por lo que se pueden

considerar despreciables.

REFERENCIAS

[1] http://issuu.com/juanmenr/docs/201423-

analisisdecircuitosac-

[2] http://www.asifunciona.com/electrotecnia/ke_corriente

_alterna/ke_corriente_alterna_1.htm

[3] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccio

n/generador/generador.htm

[4] http://www.nichese.com/alterna.html

[5] http://www.webelectronica.com.ar/news27/nota07.htm

[6] http://www.monografias.com/trabajos/osciloscopio/osci

loscopio.shtml

[7] http://es.wikipedia.org/wiki/Generador_de_se%C3%B1

ales

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