INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD ZACATENCO

“PROYECCIONES HEMISFÉRICAS APLICADAS A LA

MECÁNICA DE ROCAS”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE

INGENIERO CIVIL

PRESENTA:

MIGUEL ANGEL LÓPEZ BETANZOS

ASESOR:

ING. MAGDALENO MARTÍNEZ GOVEA

MÉXICO D.F. MAYO DE 2006

“PROYECCIONES HEMISFÉRICAS APLICADAS A LA MECÁNICA DE ROCAS”

CONTENIDO INTRODUCCIÓN 1. DEFINICIONES BÁSICAS ……………………………………………………………. 2. PROYECCIONES POLAR Y ECUATORIAL ……………………………………….

2.1 Proyección Polar ………………………………………………………………… 2.2 Proyección Ecuatorial …………………………………………………………...

3. OBTENCION DE DATOS GEOLÓGICOS-ESTRUCTURALES …………………..

3.1 Introducción ……………………………………………………………………... 3.2 Recopilación de información previa al levantamiento ………………………... 3.3 Equipo y material necesario ……………………………………………………. 3.4 Símbolos …………………………………………………………………………..3.5 Uso de la brújula …………………………………………………………………

3.5.1 Declinación magnética …………………………..………………………… 3.5.2 Obtención de orientación y echado ………………………….……………..

3.6 Elementos de exploración ………………………………………………………. 3.6.1 Levantamientos geológicos superficiales …….……………………………. 3.6.2 Perforaciones ……………………………………………………………… 3.6.3 Socavones …………………...……………………………………………... 3.6.4 Afloramientos ………………………………………………………………

3.7 Presentación de la información ………………………………………………… 3.7.1 Informes técnicos …………………………….…………………………….. 3.7.2 Mapas geológicos y geotécnicos …………………………………...……… 3.7.3 Perfiles geotécnicos …………………………………..……………………. 3.7.4 Diagramas estereográficos …………..…………………………………….

4. PROCEDIMIENTOS BÁSICOS USANDO LA PROYECCIÓN HEMISFÉRICA

4.1 Introducción ……………………………………………………………………... 4.2 Trazo de una línea de orientación/echado (α/β) ………………………..……... 4.3 Trazo de un plano de dirección del echado/echado (αd/βd) ……………………4.4 Líneas en planos ………………………………………………………………….4.5 Intersección de planos …………………………………………………………... 4.6 Rotación alrededor de un eje inclinado ………………………………………...

5. ANÁLISIS DE DATOS EN BARRENOS ……………………………………………...

5.1 Introducción ……………………………………………………………………... 5.2 Construcción del lugar geométrico definido por un ángulo cónico (δ) respecto

a un eje de orientación/echado (α/β) …………………………………………… 5.2.1 Método general ……………………….…………………………………….

1

4

131421

282929303031323337373839404141414244

45464748525456

6162

6464

5.2.2 Construcción con compás ……………...…………………………………...5.3 Determinación de la orientación de una discontinuidad usando datos de dos

barrenos no paralelos …………………………………………………………… 5.3.1 Método del pequeño círculo completo …….………………………………..5.3.2 Método del pequeño círculo medio ………………………………………...

5.4 El uso de planos de referencia ………………………………………………….. 5.5 Análisis del núcleo orientado ……………………………………………………

6. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS DE ORIENTACIÓN ……………………...

6.1 Introducción ……………………………………………………………………... 6.2 Desviaciones del muestreo impuestas por una exploración lineal …………….6.3 Método de configurar curvas de nivel …………………………………………. 6.4 Análisis del agrupamiento de las normales a la discontinuidad ………………

7. ANÁLISIS DE FUERZAS ………………………………………………………………

7.1 Introducción ……………………………………………………………………... 7.2 Representación de un vector fuerza …………………………………………….7.3 Resultante de fuerzas …………………………………………………………….7.4 Descomposición de una fuerza …………………………………………………..

7.4.1 Método de álgebra vectorial …………...………………………………….. 7.4.2 Método gráfico ……………………………………………………………..

7.5 Productos escalar y vectorial …………………………………………………… 7.6 El cono de fricción ……………………………………………………………….

8. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE BLOQUES RIGIDOS CON PROYECCIÓN

HEMISFÉRICA ……………………………………………………………………….. 8.1 Introducción ……………………………………………………………………... 8.2 Factibilidad y congruencia cinemática ………………………………………… 8.3 Construcción de proyecciones hemisféricas inclinadas ………………………..

8.3.1 Métodos de construcción ………………..…………………………………. 8.3.2 Resumen y ejemplos ……………………..………………………………….

8.4 Interpretación de las proyecciones hemisféricas inclinadas ………………….. 8.4.1 Interpretación geométrica ……………………………...………………….. 8.4.2 Interpretación del comportamiento de bloques bajo condiciones generales

de carga ………………………………………...…………………………...8.4.3 Interpretación del comportamiento de bloques bajo carga gravitacional simple …………………………………………..…………………………………8.4.4 Resumen y ejemplos ………………………..……………………………….

9. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ……………………………………….. BIBLIOGRAFIA ………………………………………………………………………...

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6768697174

7778798286

969797

100105105109116117

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INTRODUCCIÓN

Desafortunadamente los suelos están hechos por la naturaleza y no por el hombre, y los productos de la naturaleza siempre son complejos…Tan pronto como pasamos del acero y el concreto a la tierra, la omnipotencia de la teoría deja de servir. El suelo natural nunca es uniforme. Sus propiedades cambian de punto a punto mientras que nuestro conocimiento de estas propiedades se limita a las pequeñas áreas donde se obtuvieron las muestras. En la mecánica de suelos la precisión de los cálculos nunca excede una cruda estimación, y la función principal de la teoría consiste en enseñarnos que y como observar en el campo. Dr. Karl von Terzaghi

CAPITULO 1

DEFINICIONES BÁSICAS

Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas. Albert Einstein

CAPITULO 2

PROYECCIONES POLAR Y ECUATORIAL

CONTENIDO

1. Proyección polar 2. Proyección ecuatorial

Vivimos en una sociedad profundamente dependiente de la ciencia y la tecnología y en la que nadie sabe nada de estos temas. Ello constituye una fórmula segura para el desastre. Carl Sagan

CAPITULO 3

OBTENCION DE DATOS GEOLÓGICO - ESTRUCTURALES

CONTENIDO

1. Introducción

2. Recopilación de información previa al levantamiento 3. Equipo y material necesario 4. Símbolos 5. Uso de la brújula 6. Elementos de exploración 7. Presentación de la información

Lo que tenemos que aprender lo aprendemos haciéndolo. Aristóteles

CAPITULO 4

PROCEDIMIENTOS BÁSICOS USANDO LA PROYECCIÓN HEMISFÉRICA

CONTENIDO

1. Introducción

2. Trazo de una línea de orientación/echado (α/β) 3. Trazo de un plano de dirección de echado/echado (αd/βd) 4. Líneas en planos 5. Intersección de planos 6. Rotación alrededor de un eje inclinado

El hombre inteligente no es el que tiene muchas ideas, sino el que sabe sacar provecho de las pocas que tiene. Anónimo

CAPITULO 5

ANÁLISIS DE DATOS EN BARRENOS

CONTENIDO

1. Introducción 2. Construcción del lugar geométrico definido por un

ángulo cónico (δ) con respecto a un eje de orientación/echado (α/β)

3. Determinación de la orientación de una discontinuidad usando datos de dos barrenos no paralelos

4. El uso de planos de referencia 5. Análisis del núcleo orientado

Los científicos exploran lo que está; los ingenieros crean lo que nunca ha existido. Theodore von Karman

CAPITULO 6

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS DE ORIENTACIÓN

CONTENIDO

1. Introducción

2. Desviaciones del muestreo impuestas por una exploración lineal

3. Método de configurar curvas de nivel 4. Análisis del agrupamiento de las normales a la

discontinuidad

No existen los límites, sólo nuestros miedos nos detienen. Yoda

CAPITULO 7

ANÁLISIS DE FUERZAS

CONTENIDO

1. Introducción 2. Representación de un vector fuerza 3. Resultante de fuerzas 4. Descomposición de una fuerza 5. Producto escalar y vectorial 6. El cono de fricción

Si un arquitecto edifica una casa y no hace bien la construcción, y la casa que ha construido se hunde y causa la muerte del dueño, debe condenarse a muerte al arquitecto. Del código de Hammurabi

CAPITULO 8

ANÁLISIS CINEMÁTICO DE BLOQUES RÍGIDOS CON PROYECCION HEMISFÉRICA

CONTENIDO

1. Introducción

2. Factibilidad y congruencia cinemática 3. Construcción de proyecciones hemisféricas inclinadas 4. Interpretación de las proyecciones hemisféricas

inclinadas

Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida. Pitágoras

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Lo último que uno sabe, es por donde empezar. He redactado esta carta más extensa de lo usual porque carezco de tiempo para escribirla más breve. Blaise Pascal

BIBLIOGRAFIA

La lectura hace al hombre completo; la conversación lo hace ágil, el escribir lo hace preciso. Francis Bacon

INTRODUCCIÓN La geotecnia es una disciplina tecnocientífica que agrupa a la geología, mecánica de suelos y mecánica de rocas relacionándolas con las obras civiles. De esta forma, la geología aplicada a la ingeniería civil es aquella parte de la geotecnia que utiliza los conocimientos geológicos en la resolución de los problemas prácticos de ingeniería. Esta área requiere del apoyo conjunto de ingenieros geólogos e ingenieros civiles en la construcción de obras. Para obtener resultados satisfactorios y para que exista una buena comunicación entre ambos, el geólogo debe tener conocimientos de mecánica de suelos, mecánica de rocas y de los fundamentos de la ingeniería civil; por su parte, el ingeniero civil y los mecanicistas de suelos y rocas deben conocer los elementos de la geología física. Para una mejor comprensión del comportamiento de una obra civil en un sitio determinado, es necesario conocer las estructuras geológicas y discontinuidades de las rocas y/o suelos donde quedará asentada la estructura. La proyección hemisférica es un método gráfico por medio del cual los datos con orientación tridimensional de rasgos planos y lineales pueden ser representados y analizados en dos dimensiones sobre una hoja de papel. Con frecuencia se hace referencia a este método como “proyección estereográfica”, que literalmente significa la proyección de un sólido o un dibujo tridimensional. Los métodos de proyección hemisférica son ampliamente usados en los estudios de mecánica de rocas para analizar las discontinuidades planas, tales como fracturas, fallas, fisuras y planos de estratificación que se presentan en diferentes orientaciones dentro de las masas rocosas. Dichos análisis no solamente pueden incluir un conjunto de datos y su presentación así como la determinación de la estabilidad de bloques de roca expuestos en frentes rocosos. Los métodos de proyección hemisférica son de gran valor en los estudios de mecánica de rocas porque muestran los datos estructurales como una representación grafica más que una abstracción numérica. El cerebro humano es sumamente hábil para comprender información grafica y es capaz de recordar métodos gráficos de construcción muy compleja. Los diagramas estereográficos tienen múltiples aplicaciones, desde la obtención de echados aparentes o verdaderos hasta la determinación de la orientación de los esfuerzos de una región, lo cual facilita la interpretación tectónica. Dentro de la geotecnia, se utiliza principalmente en la determinación de orientaciones preferenciales de familias de discontinuidades, ya que es posible reunir un gran número de observaciones dispersas en torno a un origen único, elaborando una figura de la que se pueden obtener conclusiones sobre la presencia de una estructura geológica de orientación crítica. De esta manera y de forma preliminar, se pueden anticipar las zonas con posibilidades de deslizar, para tomar las debidas precauciones. Por medio de esta técnica también es posible establecer la dirección e inclinación que deben llevar los barrenos para que atraviesen el mayor número de fallas o fracturas con la mejor incidencia y así programar mejor los trabajos de inyección del macizo rocoso o las pruebas de permeabilidad.

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Un tramo de núcleo recuperado de un barreno puede dar una gran cantidad de información sobre la masa rocosa de la que fue tomado. La calidad de esta información depende de la calidad del núcleo, que a su vez depende no solo de las propiedades del macizo rocoso sino también del equipo y los métodos empleados en la perforación y recuperación del núcleo. La finalidad básica del capítulo 5 es explicar la manera de obtener los datos relacionados con la orientación de los planos de discontinuidades, a partir de simples medidas en el núcleo del barreno. En los estudios de mecánica de rocas, en ocasiones es necesario considerar los efectos de fuerzas que actúan sobre un cuerpo dado. Los métodos de proyección hemisférica ofrecen una herramienta importante para la representación gráfica y el análisis de las propiedades de orientación de vectores. Sin embargo, es muy difícil representar y analizar magnitudes vectoriales en una proyección hemisférica. Consecuentemente para el análisis completo de cantidades vectoriales como fuerzas, los métodos de proyección hemisférica deben complementarse mediante cálculos adicionales o construcciones gráficas. Entonces la proyección hemisférica solamente se utiliza para presentar los datos de entrada y salida de forma gráfica. Por ejemplo, es muy común en estudios de mecánica de rocas que el cuerpo bajo análisis sea un bloque rígido, cuya geometría esta definida por planos de discontinuidad de orientaciones específicas. En tales casos resulta conveniente llevar a cabo un análisis geométrico preliminar cualquiera, aplicando los métodos de proyección hemisférica, pero para transferirlos o transformarlos a los métodos de álgebra vectorial para el análisis de las fuerzas asociadas. Todas las fuerzas involucradas se pueden dibujar en la proyección hemisférica para su análisis geométrico posterior en el caso que se requiera. Esta aproximación tiene la ventaja de visualizar fácilmente el estado físico real de un problema, poniendo énfasis en la relación que existe entre la geometría de la masa rocosa y las fuerzas asociadas. Una de las mayores críticas en la aplicación de las proyecciones hemisféricas, y de todos los métodos gráficos es que pueden no ser precisos. Sin embargo, se ha demostrado que haciendo las mediciones con un cuidado razonable, se pueden obtener resultados del orden de ±2° de la orientación correcta. Tal precisión es generalmente la adecuada para los estudios de mecánica de rocas, ya que las discontinuidades naturales y otros rasgos, raramente son planos a lo largo de una masa rocosa. El objetivo de esta tesis es explicar de manera sencilla el uso de las proyecciones estereográficas ya que representan una herramienta importante para en análisis de las características estructurales que controlan el comportamiento de las masas rocosas. A pesar del amplio uso de las computadoras, estos métodos gráficos siguen teniendo una gran aceptación en los estudios de mecánica de rocas ya que ofrecen una apreciación visual inmediata de un problema estructural dado y nos brindan una solución rápida con una precisión que es más que adecuada a la mayoría de las distintas aplicaciones. Se incluyen varios ejemplos resueltos que se complementan con figuras de gran tamaño para que en su caso el lector pueda comparar los resultados de sus cálculos simplemente sobreponiendo sus redes sobre la figura correspondiente.

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1. DEFINICIONES BASICAS Antes de proceder con los métodos de proyección hemisférica es necesario definir los términos que se utilizan. Los ángulos se expresarán en grados. La orientación de cualquier línea dada en un espacio tridimensional puede registrarse sin equivocación en términos de su orientación (α) y de su echado (β) y se definen como sigue: α, β Línea general o no especificada. Orientación (α) (0° ≤ α ≤ 360°) Es el azimut geográfico medido en dirección de las manecillas del reloj a partir del norte (0°) del plano vertical, conteniendo la línea dada de echado β. Por convención, la orientación se mide en la dirección del echado. Echado ó buzamiento (β) (−90° ≤ β ≤ 90°) Es el ángulo agudo medido en un plano vertical, entre la línea dada y la horizontal. Por convención, una línea dirigida con un sentido hacia abajo tiene un echado positivo y una línea con sentido hacia arriba tiene un echado negativo. αd, βdEs la línea de máxima inclinación o echado de un plano inclinado. Es la línea imaginaria en un plano no horizontal, cuyo echado excede el de todas las otras líneas en el plano. Para entender completamente esta y las definiciones posteriores, es necesario visualizar un plano compuesto por un número infinito de líneas coplanares radiando desde un punto. Una de esas líneas será la de máxima inclinación. La orientación de un plano inclinado normalmente queda registrado en términos de αd y βd, como un número de tres y dos dígitos en el formato explicado anteriormente. En tales casos αd se llama “dirección de inclinación” o “dirección del echado”; y βd “ángulo de inclinación”, “intensidad de inclinación” o simplemente “echado” del plano. La dirección del echado y el echado de un plano inclinado dado, pueden medirse en campo por medio de algún dispositivo adecuado, como son la brújula y el inclinómetro. En el capítulo 3 se explica detalladamente. La orientación de una línea dada normalmente se registra en términos de α y β como un número de tres y dos dígitos separados por una diagonal, por ejemplo 247/68. A continuación se presentan las definiciones que pueden ser encontradas en estudios de mecánica de rocas usadas para la orientación y el echado de rasgos lineales. αdi, βdi Es la línea de máximo echado para el i-ésimo plano de discontinuidad. αdf, βdf Es la línea de máximo echado de un frente rocoso.

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Figura 1.1 Definición de dirección del echado y echado

αn, βn Es la normal a un plano. Esto es, la línea imaginaria construida con ángulos rectos respecto a un plano dado (perpendicular al plano). La normal es algunas veces llamada “polo de un plano”. Es algo confuso el uso de la palabra “polo”, término que no se adoptará en este trabajo. Para un plano dado, αn= αd ±180°, 0°≤ αn ≤ 360°. Así mismo βn = 90° -βd.

αni, βni Es la normal para el i-ésimo plano de discontinuidad. αnh, βnh Es la normal al plano horizontal; es decir, la dirección vertical. αnf, βnf Es la normal a un frente rocoso. Abertura Distancia perpendicular entre las dos paredes de roca de una discontinuidad. Afloramiento Es un cuerpo de roca expuesta en la superficie de la tierra.

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Bloque Tamaño y forma de los cuerpos rocosos resultantes de la intersección de discontinuidades Cadenamiento Línea horizontal en la cual se marcan las distancias horizontales entre dos o más puntos que, dependiendo de los trabajos que se realicen se colocarán a cada 10, 5 o 1 metro a lo largo de la misma; dichas marcas pueden señalarse con pintura o clavos incrustados en la roca, con mojoneras o estacas en el suelo. Contacto Unión de dos unidades litológicas diferentes (concordante, discordante o transicional). Continuidad Longitud total de la estructura observada en el afloramiento. Declinación magnética La declinación magnética es la diferencia, en grados, entre el norte verdadero y el marcado realmente por la brújula (el norte magnético) Diaclasas Fisuras en las rocas de poca extensión, pueden ser por enfriamiento o por desecación. Discontinuidad Término generalizado que comprende cualquier plano de separación entre las rocas (fallas, fracturas, planos de estratificación, foliación y diaclasas). Discordancia Es una discontinuidad que consiste en una superficie de erosión o de no depósito, que separa rocas de mas modernas a mas antiguas. Dique Roca ígnea intrusiva consolidada, de forma tabular que corta a las estructuras regionales, que solidificó a profundidad y que no llegó a la superficie en estado de fusión. Es la estructura que aporta información de tipo estructural por lo tabular de su forma. Echado aparente Es la traza de la intersección de un plano inclinado con un plano vertical de rumbo oblicuo al primero. Echado real Inclinación de la estructura geológica con respecto al plano horizontal. Estrato Cuerpo de roca sedimentaria de forma tabular de superficie considerable y composición definida, cuyo espesor es mayor de 10 mm, que está limitado por superficies divisorias (planos de estratificación) que las separan de otros cuerpos geológicos adyacentes. Estratificación Conjunto de estratos que conforman una masa de roca sedimentaria.

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Espaciamiento Separación entre discontinuidades, o en el caso de un sistema de discontinuidades, será la separación más frecuente o modal. Espesor Distancia perpendicular que existe entre los límites de un estrato, veta, fractura, falla o dique (potencia de la capa). Estereogramas Representación gráfica con proyección esférica de los datos estructurales (orientación y echado), medidos en los afloramientos de roca; para construirlos generalmente se utilizan las redes de Schmidt o de Wulff. Estrías de deslizamiento Pequeños surcos longitudinales que se marcan en la superficie de las discontinuidades cuando se ha tenido movimiento entre los bloques de roca. Estructura Forma, tamaño y orientación de las partes del macizo rocoso (masiva, plegada, estratificada, bandeada, fluidal, vesicular). Por lo general se refiere a los grandes rasgos que se observan a simple vista en los afloramientos, para diferenciarla de la textura y estan en función del origen de la roca. Excavación Acción o proceso de remoción de suelo o roca y su transporte a otro sitio. Falla Estructura geológica donde existe rompimiento y desplazamiento entre bloques de roca; pueden tener longitud variable, desde centímetros hasta centenares de kilómetros. Familia o sistema de discontinuidades Conjunto o grupo de discontinuidades con orientación y echado paralelo entre ellas. El macizo puede clasificarse por el número de familias según la International Society of Rock Mechanics.

Tipo de macizo rocoso Número de familias I Masivo, discontinuidades ocasionales II Una familia de discontinuidades III Una familia de discontinuidades mas otras ocasionales IV Dos familias de discontinuidades V Dos familias de discontinuidades mas otras ocasionales VI Tres familias de discontinuidades VII Tres familias de discontinuidades mas otras ocasionales VIII Cuatro o mas familias de discontinuidades IX Brechoide

Foliación Orientación de los minerales presentes en las rocas metamórficas, los cuales marcan planos bien definidos en su estructura.

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Fractura Discontinuidad en el macizo rocoso que no muestra desplazamiento entre los bloques que separa; también se conoce así a la superficie de rompimiento de una roca o mineral por procesos mecánicos o por enfriamiento. Frecuencia del fracturamiento (F) Se define como el número de discontinuidades naturales cortadas en una longitud unitaria de recuperación de núcleo. Histograma Representación gráfica de datos estructurales (de fallas y fracturas) indicando su rumbo predominante. Indice de calidad de la roca (RQD) Se refiere a un porcentaje de recuperación modificada, en la cual, todas las piezas del núcleo de roca sana mayores de 10 centímetros son tomadas en cuenta como recuperación y es expresada como un porcentaje de la longitud total perforada, los fragmentos pequeños productos de discontinuidades son eliminados.

10010×

>=

perforadatotalLongitudsanarocadecmfragmentosdeSumaRQD

Si el núcleo se rompe por manejos o por procesos de perforación los fragmentos rotos deberán unirse y contarse como una sola pieza, probablemente formen la longitud requerida de 10 cm. Los materiales que presenten un grado de alteración importante (inclusive a partir del grado IV) se deben descontar, aun cuando sean piezas intactas mayores de 10 cm. Este parámetro es de suma importancia para conocer la calidad de la roca, la densidad de fracturamiento y da una valiosa ayuda para las clasificaciones geomecánicas de los macizos rocosos.

RQD % Calidad < 25 Muy mala

25 – 50 Mala 50 – 75 Regular 75 – 90 Buena

90 – 100 Excelente Tabla según Deere (1989).

Intemperismo Es el resultado de los procesos mecánicos, orgánicos y químicos en la superficie de la tierra o cercana a ella, cuando los minerales originales (primarios) se descomponen y otros minerales (secundarios) se forman modificando su color, textura, composición, dureza o forma y generalmente disminuyen las propiedades mecánicas de la roca intacta. Una clasificación del intemperismo en la roca propuesta por Fookes (Geotechnique, vol. 19, 1969) es la siguiente:

Grado Tipo Descripción I Roca fresca No aparecen signos de intemperismo

II Ligeramente intemperizado

La decoloración indica alteración del material rocoso y de las superficies de discontinuidad. Todo el conjunto rocoso esta decolorado

por intemperismo

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III Moderadamente intemperizado

Menos de la mitad del macizo rocoso aparece decompuesto y/o transformado en suelo. La roca fresca o decolorada aparece como una

estructura continua o como núcleos aislados

IV Altamente intemperizado

Mas de la mitad del macizo rocoso aparece descompuesto y/o transformado en suelo. La roca fresca o decolorada aparece como una

estructura continua o como núcleos aislados

V Completamente intemperizado

Todo el macizo rocoso aparece descompuesto y/o transformado en suelo. Se conserva la estructura original del macizo rocoso

VI Suelo Todo el macizo rocoso se ha transformado en un suelo. Se ha destruido la estructura original del macizo y la fábrica del material

Laminación Capas de rocas sedimentarias cuyo espesor es de hasta 0,3 mm. De manera que no se pueden identificar como un estrato. Levantamiento geológico Conjunto de actividades que se realiza para obtener un plano o mapa geológico con información litológica y estructural (características de las rocas) que se observa en el campo. Litología Descripción microscópica de las rocas, en especímenes de mano o en afloramientos, teniendo como base sus características de color, composición mineralógica y tamaño de los cristales. Pitch (γ) (-90° ≤ γ ≤ 90°) Es el ángulo agudo medido en algún plano, especificado entre una línea dada y el rumbo de la capa. Como en el echado, las líneas dirigidas hacia debajo de la horizontal tienen un pitch positivo; líneas dirigidas hacia arriba tienen un pitch negativo. Es importante saber, para anotar la dirección del pitch, a partir de cual extremo de la línea de rumbo se ha medido. Para este propósito es suficiente especificar el cuadrante geográfico (noreste, sureste, etc.) mas que el azimut exacto de la línea del rumbo. Pliegues Deformaciones del terreno simétricas o asimétricas, reconocibles por la disposición de los estratos que los forman. Se presentan principalmente en rocas sedimentarias o metamórficas. Recuperación (R) Es la suma total de todas las piezas recuperadas expresadas como un porcentaje de la longitud perforada que debe ser medida y registrada.

100×=perforadaLongitud

recuperadaLongitudR

Cuando los núcleos están muy fragmentados la longitud de esas porciones se estima al unir los fragmentos y medir la longitud que aparentan representar. Relación estructural Correlación de las estructuras con el macizo rocoso; se considera el arreglo geométrico (rumbo o inclinación) de las unidades litológicas con respecto a la gran masa de roca donde se encuentran.

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Reliz de falla Superficie o plano de deslizamiento de una falla, comúnmente representado por una superficie lisa y lustrosa (espejo de falla). Relleno Tipo de material que contiene una abertura (falla o fractura) en la roca, puede ser arena, arcilla, brecha de falla, calcita, cuarzo, entre otros. Resistencia Es muy importante distinguir entre la resistencia de una probeta o pieza de roca en el laboratorio y la del macizo rocoso completo, la cual esta determinada principalmente por las discontinuidades. Aquí se muestra una forma de estimar y describir la dureza de la roca en el campo y la correlación con la prueba de resistencia a la compresión simple según la International Society of Rock Mechanics.

Clase Descripción Estimación en campo de la dureza Resistencia a la

compresión simple(MPa)

R6

Roca extremadamente

dura Al golpearlo con el martillo solo saltan esquirlas > 250

R5 Roca muy dura Se requieren muchos golpes con el martillo para fracturarla 100 – 250

R4 Roca dura Se requiere mas de un golpe con el martillo para fracturarla 50 – 100

R3

Roca moderadamente

dura

No puede tallarse con la navaja. Puede fracturarse con un golpe de martillo 25 – 50

R2 Roca blanda Se talla con dificultad con una navaja. Al golpear con la punta del martillo se producen pequeñas

marcas 5.0 – 25

R1 Roca muy blanda La roca se desmenuza al golpear con la punta del martillo. Con una navaja se talla fácilmente 1.0 – 5.0

R0

Roca extremadamente

blanda Se puede marcar con la uña 0.25 – 1.0

S6 Arcilla dura Se marca con dificultad al presionar con la uña > 0.5

S5Arcilla muy

rígida Con cierta presión puede marcarse con la uña 0.25 – 0.5

S4 Arcilla rígida Se necesita una fuerte presión para hincar el dedo 0.1 – 0.25 S3 Arcilla firme Se necesita una pequeña presión para hincar el dedo 0.05 – 0.1 S2 Arcilla débil El dedo penetra fácilmente varios cm 0.025 – 0.05

S1Arcilla muy

blanda El puño penetra fácilmente varios cm < 0.025

Roca encajonante Roca preexistente a la intrusión de cuerpos ígneos. Rugosidad Tipo de superficie de un plano de discontinuidad que puede ser rugosa, ondulada o escalonada.

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Rumbo de la capa (αt) Es el azimut geográfico de una línea horizontal imaginaria en un plano inclinado dado. Por conveniencia, sólo se necesita recordar el azimut de un extremo de la línea del rumbo de la capa, por lo tanto 0°≤ αt ≤ 180°. Para un plano dado, αt= αd -90° (±180°) y αt= αn -90° (±180°), los ángulos en los paréntesis se utilizan, para asegurar que 0°≤ αt ≤ 180°. Textura Se refiere al arreglo y disposición que existe entre los granos o minerales individuales, con respecto a su tamaño, forma y grado de cristalización. La textura es una propiedad compleja que depende principalmente del origen de la roca y de las características de los granos. Es importante conocerla ya que se relaciona íntimamente con propiedades índice y mecánicas como la porosidad, permeabilidad y resistencia de las rocas. Para propósitos ingenieriles se puede describir la textura con los siguientes términos según el tipo de roca. Rocas ígneas Afanítica: Cuando los minerales no pueden determinarse u observarse a simple vista o

con ayuda de una lupa. Fanerítica: Los cristales si son observables a simple vista o con la ayuda de la lupa. Porfirítica: Se observan a simple vista fenocristales en una matriz afanítica.

Rocas sedimentarias

Clásticas: Agregados de granos o minerales de carácter fragmentario claramente visible. Los agregados tienen una amplia gama de tamaños de partículas. No clásticas: Conjunto de cristales entrelazados de origen químico u orgánico, donde los agregados pueden o no estar visibles a simple vista. Macrocristalina: granos mayores de 0.75 mm Mesocristalina: de 0.20 a 0.75 mm Microcristalina: solo visible con microscopio de 0.01 a 0.20 mm Criptocristalina o amorfa: menor de 0.01 mm

Rocas metamórficas

Foliada: Minerales visibles orientados en franjas paralelas de granos planos o alargados, se describe en función del espesor de la foliación. No foliada: Los cristales no se distinguen a simple vista y no muestran una dirección preferencial.

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2. PROYECCIONES POLAR Y ECUATORIAL 2.1 Proyección Polar El principio de todos los métodos de proyección es que la orientación de una línea en el espacio tridimensional se representa únicamente por la posición de un punto dentro de un área bidimensional llamada “área de proyección”. El proceso de convertir un rasgo de tres a dos dimensiones se llama “proyección” y este proceso es similar a crear una sombra bidimensional de un objeto tridimensional usando un proyector de luz. El área de proyección hemisférica es un círculo de un radio conveniente (R) construido sobre una hoja de papel. La posición de las 12 en punto sobre el perímetro del círculo representa la dirección del norte (azimut 0°), la posición de las 3 en punto es el este (azimut 90°), la posición de las 6 en punto es el sur (azimut 180°) y la posición de las 9 en punto es el oeste (azimut 270°). Una línea que tiene un echado de 90° se proyecta como un punto al centro del círculo; una línea con un echado cercano a 0° se proyecta como un punto cerca del perímetro, con un azimut correspondiente a su orientación. La distancia radial (r) del punto medida desde el centro del círculo es función del echado (β) de la línea que representa. La forma exacta de la relación funcional entre r y β depende del método de proyección utilizado. La base de todos los métodos de proyección es una esfera imaginaria “esfera de referencia”, de radio R, la cual se coloca de tal forma que su centro coincida con el centro del área de proyección. Una línea imaginaria, paralela a la línea dada de orientación α y echado β, se coloca de tal manera que pase a través del centro de la esfera con su orientación en el azimut correcto (Figura 2.1).

Figura 2.1 Esfera de referencia, intersectada por una línea de orientación α y echado β

La línea, si se extiende, intersecta a la esfera de referencia en dos puntos o “polos”. La posición de cualquier punto sobre la esfera de referencia indica una relación única para la orientación de la

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línea que lo produjo. Esta posición puede transferirse o proyectarse dentro de un plano conveniente. En este caso el plano de proyección es un plano horizontal que pasa a través del centro de la esfera de referencia. En los capítulos siguientes, el plano de proyección se escogerá de tal manera que sea paralelo a cualquier otro plano relevante, como puede ser el frente de una excavación. Un plano proyectado horizontalmente corta a la esfera de referencia en los hemisferios superior e inferior. El hemisferio superior no se utiliza debido a que esta asociado solamente con líneas de echado negativo y en este trabajo todos los echados se toman con valores positivos. El punto, o polo, ubicado sobre el hemisferio inferior puede proyectarse sobre el plano horizontal por diferentes métodos. Dos de los métodos se ilustran en la figura 2.2 por medio de secciones verticales, en un plano con rumbo de capa α que pase a través del hemisferio inferior de referencia y por su centro.

Figura 2.2 Secciones verticales a través del centro del hemisferio inferior de referencia a) proyección de ángulos iguales

b) proyección de áreas iguales La figura 2.2a muestra una proyección de ángulos iguales. La línea dada de orientación α y de echado hacia abajo (positivo) β intersecta al hemisferio inferior de referencia en el punto P’. La proyección se consigue dibujando una línea recta del punto P’ al punto T, que esta situado a una

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distancia R vertical sobre el centro O del hemisferio de referencia. La proyección de P’ ocurre en P donde esta línea recta pasa a través del plano de proyección. Para esta proyección la relación entre r, la distancia radial del punto P al punto O, y β esta dada por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

90tan βRr (2.1)

ó, ( )

ββ

senkkRr++

+=

1cos1 (2.2)

Donde, k = 0. La figura 2.2b muestra una proyección de áreas iguales. Como en el caso anterior, la línea dada intersecta al hemisferio inferior de referencia en el punto P’. Este punto es proyectado girándolo sobre un plano vertical a través de un arco circular centrado en el punto B, el cual esta a una distancia R verticalmente debajo del hemisferio de referencia. La proyección de P’ ocurre en P’’ donde este arco circular intersecta el plano horizontal construido a través del punto B. La distancia radial r’ del punto P’’ al punto B esta dada por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

90cos2' βRr (2.3)

Cuando β=0°, r’=2Rcos45°=R√2. Esto significa que el radio de la proyección resultante es más largo, por un factor √2, que el radio del hemisferio de referencia. El punto P’’ es, por lo tanto, transferido al punto P, en una distancia r a partir del centro del plano de proyección, dejando r = r’ / √2. Por lo tanto:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

90cos2 βRr (2.4)

El proceso de la proyección de áreas iguales es como “quitar la cáscara” del hemisferio inferior de referencia, aplastarla y luego encogerla para adaptarla a un circulo de radio R. Una aproximación de la proyección de áreas iguales puede generarse usando un método similar al descrito para la proyección de ángulos iguales. En la proyección de igual área, el punto T se localiza a la distancia R(1+√2) verticalmente sobre O. En este caso la relación entre r y β es aproximada a la ecuación 2.2 usando k=√2. Las diferentes propiedades de las proyecciones de ángulos iguales y áreas iguales se comprenden mejor si encontramos un círculo de radio R’s, centrado sobre una línea radial a través del punto P’ sobre la superficie del hemisferio inferior de referencia. Si R’s es menor que R, el círculo se denomina “pequeño círculo”. Como un círculo es generado por una forma cónica, radiando del centro del hemisferio de referencia, con un ángulo de semi-ápice:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

RsRarcsen 'δ

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medido del eje OP’ como se muestra en la figura 2.3. Esta demostrado que la proyección de ángulos iguales de este pequeño círculo es por si misma un círculo. Sin embargo, a menos que β=90°, el círculo proyectado no esta centrado sobre la proyección de ángulos iguales de P’. El radio Rs de la proyección del pequeño círculo esta dada por:

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90tan2

90tan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

δβδβ

RRs (2.5)

Donde δ < 90° + β. La ecuación 2.5 muestra que para un valor dado de δ, el radio Rs, y por lo tanto el área del pequeño círculo disminuyen cuando aumenta el echado β de la línea OP’. Esto quiere decir que para un par de líneas inclinadas con un ángulo 2δ de separación, se trazarán mas juntas cuando su echado sea mas pronunciado.

Figura 2.3 Sección vertical a través del centro de la esfera de referencia, ilustrando la proyección de un pequeño círculo

Antes de dejar la proyección de ángulos iguales vale la pena dar una explicación de este término. Las líneas OP’1 y OP’2, ubicadas en el mismo plano vertical que OP’ en la figura 2.3, forman un ángulo de 2δ en el centro del hemisferio inferior de referencia. Los puntos P’1 y P’2 se proyectan para definir los puntos P1 y P2, los cuales forman un ángulo constante δ en el punto T para todos los valores de β. Por lo tanto, para un valor dado de δ, los puntos P1 y P2 siempre formarán un ángulo igual en T, cualquiera que sea el valor de β.

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Esto muestra que la proyección de áreas iguales del pequeño círculo toma la forma de una curva de cuarto orden, excepto cuando β=90°, en este caso la proyección es un círculo con un radio:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

180cos2 δRRs

La característica más importante de la proyección de áreas iguales es que, para un valor dado de δ, el área rodeada por la proyección del pequeño círculo asociado, es constante para todos los valores de β. La proyección de áreas iguales por lo tanto, no sufre la distorsión de área que se presenta en la proyección de ángulos iguales.

Figura 2.4 Red polar de ángulos iguales

No es práctico utilizar las ecuaciones 2.1 a la 2.4 para calcular las coordenadas radiales de cada punto que se tenga que trazar. Por esta razón se han desarrollado redes circulares para facilitar el proceso de trazo. Estas redes son llamadas “proyecciones polares” o “redes polares” porque las

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líneas que contienen son similares a las líneas de longitud y latitud sobre un globo terráqueo visto a lo largo del eje polar. Las líneas de “longitud” sobre la red polar son radiales y dan el azimut de la dirección de la orientación, usualmente en intervalos de 2°. Las líneas de “latitud” son círculos concéntricos con un radio obtenido usando cualquiera de las ecuaciones 2.1, 2.2, o 2.4, dando también el echado a intervalos de 2°. La figura 2.4 muestra una red polar de ángulos iguales (Ecuación 2.1) y la figura 2.5 muestra una red polar de áreas iguales (Ecuación 2.4).

Figura 2.5 Red polar de áreas iguales

Independientemente de la distorsión antes referida, sin importar cual tipo de red se use para trazar la orientación de una línea en el espacio, es muy importante mantener consistentemente el uso de un solo tipo de proyección durante un análisis completo. Para evitar marcar la red se recomienda cubrirla con una hoja de papel transparente por lo tanto el diagrama resultante estará libre de las líneas de construcción radiales y concéntricas de la red. Por supuesto, también es posible trazar un punto representando la orientación de una línea dada, de orientación α y echado β, sin usar una red polar. Esto puede lograrse construyendo un círculo graficador de radio R con los valores

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de la orientación α marcados sobre el perímetro a intervalos convenientes. Se construye un cursor de longitud R y se gradúa con los valores de β usando cualquiera de las ecuaciones 2.1, 3.2, o 2.4. Este cursor se fija al centro del círculo graficador con un alfiler o chinche, de tal forma que el cursor pueda girar radialmente. En la figura 2.6 se muestra el diagrama de este dispositivo, el cual permite trazar puntos en forma rápida y exacta sin usar una red polar.

Figura 2.6 Uso de un cursor giratorio para trazar directamente los puntos que representan líneas de orientación/echado α/β

En los estudios de mecánica de rocas, las redes polares se utilizan para trazar las normales de las discontinuidades obtenidas con el levantamiento de los macizos rocosos. Durante dicha inspección, las orientaciones de unos 200 o 300 planos de discontinuidades habrán sido anotadas en términos de su dirección del echado y echado (αd/βd). Para ahorrar tiempo, el cálculo de las orientaciones y el echado de la normal puede hacerse a lo largo del proceso de trazo sin la necesidad de tener una red polar. Esto se puede hacer usando el dispositivo descrito anteriormente. La conversión de orientación y echado de la línea de máxima inclinación a la orientación y echado de la normal al plano se logra simplemente re-etiquetando temporalmente las graduaciones sobre el círculo graficador y en el cursor como sigue: Los valores azimutales del círculo graficador son cambiados 180°, de modo que 0° se cambia a 180°, 090° se convierta en 270°, 180° cambie a 0°, 270° cambie a 090°, etc. En otras palabras, simplemente rotamos el círculo graficador 180°. Los ángulos sobre el cursor se restan de 90°, así que 90° se convierte en 0°, 80° cambia a 10°,…, y 0° cambia a 90°. Los valores αd/βd ahora pueden graficarse directamente usando las escalas temporales. Cuando la escala temporal del círculo graficador se quita y es reemplazada por la original, cada punto representará la orientación de la normal al plano. Varios cientos de normales pueden trazarse en menos de una hora usando este método. El diagrama resultante es de gran valor puesto que da una impresión visual del origen de la discontinuidad de la masa rocosa. En muchos casos, las discontinuidades tienden a estar orientadas en grupos sub-paralelos o “juegos” también comúnmente denominados familias o sistemas; esto debido al agrupamiento de sus normales sobre la proyección. Puesto que el método de proyección por si mismo puede producir un agrupamiento aparente de normales que tienen un echado fuerte, se recomienda

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trazar las normales usando la proyección de áreas iguales (Ecuación 2.4), que elimina la distorsión de área. La identificación de grupos de discontinuidades es muy importante en los estudios de mecánica de rocas. Por lo tanto se han desarrollado varios métodos para analizar y enfatizar visualmente los grupos de normales. Estos métodos se describirán posteriormente. La proyección polar esta adaptada idóneamente para trazar puntos, pero es de poco valor para analizar la geometría tridimensional producida por planos inclinados. Con el objeto de analizar planos es necesario ser capaces de trazar el lugar geométrico de puntos que representan el número infinito de líneas en esos planos. Puesto que esto no se puede hacer fácilmente en una proyección polar, es necesario usar un tipo diferente de proyección: la proyección ecuatorial. 2.2 Proyección Ecuatorial Una proyección ecuatorial está diseñada para permitir el trazo y análisis de planos, así como de líneas de varias orientaciones. Los principios de proyección hemisférica usados en la construcción de proyecciones ecuatoriales son exactamente iguales a los descritos en la sección anterior para proyecciones polares. En particular, la proyección puede generarse con cualquiera de las dos construcciones, la de ángulos iguales o la de áreas iguales.

Figura 2.7 El gran círculo de un plano inclinado

En la figura 2.7 muestra un plano inclinado de dirección del echado/echado αd/βd, situado de tal forma que pase a través del centro O de la esfera de referencia de radio R. El círculo, producido por la intersección del plano inclinado con la esfera de referencia, también tiene un radio R y es llamado “gran círculo”. Anteriormente se indicó que los círculos con radio menor que R sobre la esfera de referencia se nombran “pequeños círculos”.

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Figura 2.8 El trazo ciclográfico de un gran círculo

La figura 2.8 muestra la mitad del gran círculo donde el plano inclinado intersecta el hemisferio inferior de referencia. Este plano inclinado puede visualizarse formado por un número infinito de líneas OP’ (γ), con una inclinación hacia abajo, radiando desde el punto O. Dos líneas especiales OP’ (0°) y OP’ (90°), son respectivamente, el rumbo de la capa y la línea de máxima inclinación del plano inclinado. Por lo tanto el gran círculo es el lugar geométrico de los puntos P’(γ). Cada uno de estos puntos puede proyectarse sobre el plano horizontal usando las construcciones de ángulos iguales o de áreas iguales descritas en la sección 2.1 y para dar el lugar geométrico de los puntos P(γ). Este lugar geométrico es llamado el “trazo ciclográfico” o, simplemente el “gran círculo” del plano inclinado. En una proyección de ángulos iguales, la traza ciclográfica del gran círculo de un plano inclinado de dirección del echado/echado αd/βd es, en efecto, parte de un arco circular de radio:

Rg = R / cos βdel cual tiene su centro a una distancia radial

rg = R tan βd

a partir del centro de la proyección medida a lo largo de una línea radial de azimut αd ± 180°. Esta construcción se muestra en la figura 2.9a.

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Figura 2.9a Construcción de ángulos iguales de grandes círculos

Figura 2.9b Construcción de ángulos iguales de pequeños círculos

Sobre una construcción de áreas iguales, el gran círculo se proyecta como parte de una curva de cuarto orden. Con cualquier método de proyección que se use, el gran círculo de cualquier plano vertical se proyecta como una línea diametral sobre la proyección (Rg = ∞), mientras que un plano horizontal se proyecta sobre el perímetro del círculo de proyección. Consideremos otra vez el plano inclinado de dirección del echado/echado (αd/βd), pero esta vez construido solamente de un número finito de líneas OP’(γ), por ejemplo OP’(0°), OP’(10°), OP’ (20°), …, OP’(80°), OP’(90°), donde γ es medido hacia abajo de los extremos de la línea del rumbo de la capa. Esto generará un número de puntos P’(γ) sobre el gran círculo, cada uno asociado con un valor particular de γ (Figura 2.10).

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Figura 2.10 Definición de un pequeño círculo

Imaginemos ahora, que el plano inclinado gira sobre la línea de rumbo de capa, a fin de que barra circularmente todo el hemisferio inferior. Cada uno de los puntos P’(γ) trazará la mitad de un pequeño círculo, a excepción del punto P’(0°) el cual no se mueve, y P’(90°) que genera un gran círculo. Cada uno de estos pequeños círculos están asociados a un valor particular de γ. Nuevamente, cada pequeño círculo puede ser considerado como un lugar geométrico de puntos, los cuales pueden proyectarse sobre el plano horizontal, usando las proyecciones de ángulos iguales o áreas iguales. En una construcción de ángulos iguales, la proyección de un pequeño círculo, generado por una línea con un ángulo de pitch γ con dirección de echado αd, es parte de un arco circular de radio

Rs = R tan γ el cual tiene su centro a una distancia radial

rs = R / cos γ a partir del centro de la proyección, medida a lo largo de una línea de azimut αd ± 90°. Esta construcción se muestra en la figura 2.9b. En una proyección de áreas iguales, el pequeño círculo se proyecta como parte de una curva de cuarto orden. La propiedad importante y útil de un pequeño círculo es que describe el cambio de orientación de una línea dada cuando ésta rota alrededor de un eje dado. Los pequeños círculos descritos arriba son especiales ya que sus ejes de rotación son horizontales. La capacidad para rotar una línea alrededor de un eje dado es de importancia considerable en los estudios de mecánica de rocas. En muchos casos no resulta práctico usar las construcciones explicadas anteriormente y en la figura 2.9, para generar las proyecciones de ángulos iguales de los grandes y pequeños círculos. Además, su construcción sobre una proyección de áreas iguales implicaría cálculos bastante largos con geometría tridimensional. Para superar este problema, han sido desarrolladas redes circulares para facilitar el procedimiento de trazo. Estas redes son llamadas “proyecciones ecuatoriales”, “redes ecuatoriales” o, algunas veces, “proyecciones meridionales”. Esto es porque las proyecciones de grandes círculos parecen las líneas de longitud (o meridianos) y las proyecciones de pequeños círculos parecen las líneas de latitud de un globo terráqueo visto desde arriba del ecuador. No es práctico construir una proyección ecuatorial que contenga los grandes círculos de todas las orientaciones. En lugar de esto, solamente son construidos los grandes círculos de planos con un rumbo de capa norte-sur, usualmente a intervalos de 2° de ángulos de echado. De forma similar, solamente son construidos aquellos pequeños círculos generados por

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varios círculos de pitch (γ) en los planos con rumbo de capa norte-sur, igualmente a intervalos de 2° de ángulo de pitch.

Figura 2.11 Red ecuatorial de ángulos iguales

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Figura 2.12 Red ecuatorial de áreas iguales

La figura 2.11 muestra la red ecuatorial de ángulos iguales y en la figura 2.12 se presenta una red ecuatorial de áreas iguales. Cada una de estas redes contiene solamente dos líneas rectas: los diámetros norte-sur y este-oeste. La primera representa el gran círculo de un plano vertical con un rumbo de capa norte-sur. La segunda esta generada por una línea con un pitch (γ) de 90° en un plano con un rumbo de capa norte-sur a medida que es rotado alrededor de su eje de rumbo de la capa. Este diámetro este-oeste es especial ya que también es el gran círculo de un plano vertical con un rumbo de capa este-oeste. Con el fin de usar de manera efectiva las redes, es recomendable trazar los grandes círculos sobre una cubierta de papel transparente. Esto permite trazar un plano de una orientación general rotando el papel hasta que el plano tenga provisionalmente su rumbo de capa sobre el diámetro norte-sur de la red. El uso en esta forma de una red ecuatorial permite llevar a cabo todas las funciones de una red polar. Nuevamente, cabe mencionar que es de poca consecuencia la selección de una red ecuatorial de ángulos o de áreas iguales siempre que se use uno u otro tipo consistentemente. Muchos especialistas prefieren el

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uso de la red de ángulos iguales, argumentando que sus arcos circulares facilitan una construcción mas precisa de los grandes y pequeños círculos, otros recomiendan la red de áreas iguales ya que su falta de distorsión de área la hace ideal para interpretar y analizar trazos de normales a la discontinuidad. Al menos que una gran parte del trabajo involucre el trazo y análisis de normales (u otras) a las discontinuidades, es aconsejable usar una red de ángulos iguales, ya que, usando la construcción de la figura 2.9 no hay seguridad en la disponibilidad de redes impresas de un radio adecuado. Esto puede ser de importancia decisiva cuando se trabaja en el campo. Todos los trabajos futuros en esta tesis se llevaran a cabo en una red ecuatorial del hemisferio inferior de ángulos iguales.

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CAPITULO 3. OBTENCION DE DATOS GEOLOGICO-ESTRUCTURALES

3.1 Introducción Las discontinuidades condicionan de una forma definitiva las propiedades y el comportamiento resistente, deformacional e hidráulico de los macizos rocosos. La resistencia al corte de las discontinuidades es el aspecto mas importante en la determinación de la resistencia de los macizos rocosos duros fracturados, y para su estimación es necesario definir las características y propiedades de los planos de discontinuidad. La descripción y caracterización de los macizos rocosos en afloramientos es una labor necesaria en todos los estudios de ingeniería geológica cuyo objetivo sea el conocimiento de las propiedades y características geotécnicas de los materiales rocosos. Estos trabajos se realizan durante las primeras etapas de las investigaciones in situ. El desarrollo de los trabajos de campo en afloramientos permite obtener información necesaria para evaluar el comportamiento geotécnico de los macizos rocosos, planificar las bases de investigación mas avanzadas e interpretar los resultados que se obtengan de las mismas. 3.2 Recopilación de información previa al levantamiento El objetivo principal de los levantamientos geológicos es inspeccionar y obtener la información que permita definir con precisión las condiciones geológicas presentes en la zona de estudio. Se tienen dos tipos de levantamientos geológicos: los superficiales y los de obras subterráneas. Los levantamientos geológicos superficiales son inspecciones de campo para identificar, clasificar y cartografiar las principales unidades geológicas existentes en el área bajo estudio y permiten reconocer características estructurales como rumbo, echado, pliegues, contactos, fallas, fracturamiento, etc. De acuerdo con la etapa de exploración en que se realicen, la obra de que se trate y la exactitud que se requiera, se dividen en levantamientos regionales y levantamientos locales. Los estudios regionales se realizan con base en mapas fotogeológicos previamente elaborados, localizando en ellos puntos de verificación. Estos sitios se escogen al considerar la accesibilidad y exposición de los materiales que permitan hacer observaciones relacionadas con las características de rocas y suelos. Las escalas que se manejan para este tipo de levantamientos varían de 1:25000 a 1:50000. Los levantamientos de carácter local se llevan a cabo en áreas de extensión reducida, para lo cual se emplea principalmente la brújula. Se utilizan escalas que van de 1:500 a 1:10000 Del estudio detallado de los afloramientos en ambos tipos de levantamientos, se contará con información relativa a orientación y echado, fracturamiento, fallas, diques y demás tipos de discontinuidades, ubicación del lugar, espaciamiento de fracturas, además de enriquecer la información con datos acerca de la mineralogía, textura y estructura de las rocas. Todas las observaciones hechas, deberán quedar asentadas detalladamente en la libreta de campo, anotando claramente los sitios donde fueron realizadas. La obtención de fotografías durante el levantamiento, complemente adecuadamente las descripciones realizadas en campo. Por su parte los levantamientos de obras subterráneas consisten en el estudio minuciosos del techo y las paredes de un socavón, galería o túnel, mediante el uso de brújula y cinta, su objetivo es obtener datos, relacionados con las unidades geológicas que estas obras atraviesan, tales como: tipo de roca, grado de alteración, estratificación, orientaciones, echados, fallas, fracturamiento, filtración de agua, mineralización.

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El levantamiento se puede complementar con fotografías de los aspectos relevantes de la excavación, o inclusive con una secuencia que registre una o ambas paredes a todo lo largo de la obra. Esto permite conservar un registro objetivo de los socavones y galerías aun cuando ya no sean accesibles para estudios posteriores. Se debe analizar la información geológica existente de la región donde se realizará el levantamiento de campo y que debe ser de acuerdo al detalle que se requiera para los trabajos por realizar. 3.3 Equipo y material necesario Primero debemos contar con un mapa o plano topográfico base, en donde se marcarán los rasgos más importantes obtenidos durante los recorridos. Las herramientas básicas para los levantamientos geológico-estructurales incluyen: tabla de madera o acrílico con broche de presión, libreta de tránsito o nivel, regla para marcar rumbos (protractor) o transportador, escalímetro, gis, lápiz, colores, lupa de bolsillo, martillo de geólogo, flexómetro de 3 o 5m de longitud y brújula. Todos estos artículos pueden llevarse adecuadamente en el cinturón y en una mochila, además de otras cosas útiles como cantimplora, cámara fotográfica, navaja, binoculares, kit de primeros auxilios, altímetro o GPS, cinta métrica de 10 o 20m, bloqueador solar e impermeable. 3.4 Símbolos Para una adecuada interpretación de los datos obtenidos de los diversos levantamientos geológicos, es necesario que los mapas o planos geotécnicos no estén sobrecargados de textos explicativos, por lo que a continuación se enlistan los símbolos que son usados en la elaboración de planos geotécnicos.

20°20°20°Rumbo y echado de

capas 25°25°25°Rumbo y echado de

juntas

Rumbo de capas verticales

Rumbo de capas horizontales

25°25°25°Rumbo y echado de capas recumbentes 26°26°26°

Diques con expresión de echado

Rumbo de juntas verticales

Rumbo de juntas horizontales

25°25°25° Rumbo y echado de planos de fractura

55°55°55°55°Rumbo y echado de

foliación

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Rumbo de planos verticales de fractura

Rumbo de planos horizontales de

fractura

Rumbo de foliación vertical

Rumbo de foliación horizontal

Domo Depresión

Contacto Contacto inferido

Entrada de socavón o túnel

Sondeo de cualquier tipo

3.5 Uso de la brújula La brújula es una herramienta muy importante en estudios de mecánica de rocas que nos ayuda a determinar las orientaciones e inclinación de líneas de falla, planos de fracturamiento y otras discontinuidades para su posterior análisis. La marca más usada es la Brunton (Figura 3.1) aunque también son comunes las Silva-Ranger (Figura 3.2) y las Freiberger (Figura 3.3); se irá explicando la operación de cada una. Cada una cuenta con los medios necesarios para medir la orientación de una línea o discontinuidad, ángulos verticales, ajustar la declinación magnética del sitio en estudio y niveles de burbuja.

Figura 3.1 Brújula tipo Brunton

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Figura 3.2 Brújula Silva-Ranger

Figura 3.3 Brújula Freiberger

3.5.1 Declinación Magnética A causa de la localización de los polos magnéticos, la aguja de una brújula apuntará al polo norte geográfico sólo en unos pocos sitios. En otros lugares, apuntará al este o al oeste del Norte. La diferencia en grados entre la dirección marcada por la aguja de la brújula y la dirección del verdadero Norte se llama variación o declinación. Por conveniencia, se ha medido la declinación en muchas partes del mundo, y se han preparado cartas que muestran los puntos conectados con declinación similar, o líneas isogónicas, consistentes en la declinación aproximada al este o al oeste para cualquier área. En tales cartas, la línea de declinación según la cual la brújula marca el verdadero Norte se denomina línea agónica. En la figura 3.4 se muestra el valor de la declinación magnética para la República Mexicana correspondiente al año 2005.

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Figura 3.4 Valor de la declinación magnética para la República Mexicana, el signo positivo indica que son Este.

Cada instrumento esta equipado con los medios necesarios para establecer la declinación magnética y casi siempre consiste en un tornillo que al girarlo podemos mover la marca de 0° dependiendo del valor de la declinación. Para realizar este ajuste hay que tener en cuenta si la declinación es Este (positiva) u Oeste (negativa). Por ejemplo, si tenemos una declinación de 15° Este hay que girar el tornillo de modo que la marca de 0° este situada sobre el valor de 15°. Y si la declinación es 15° Oeste hay que colocar la marca de 0° sobre el valor de 345° (360-15=345).

15° Declinación Este 15° Declinación Oeste

Figura 3.5 Ejemplos de ajuste de la declinación magnética 3.5.2 Obtención de orientación y echado Las brújulas se usan en estudios de mecánica de rocas para medir la orientación y echado. La orientación se refiere al azimut o rumbo de una discontinuidad con respecto al norte geográfico, de acuerdo a la escala para leer la orientación existen dos tipos de brújulas: las azimutales y las llamadas “rumberas” o de cuadrantes. En las de tipo azimutal, la orientación se mide en grados y en sentido de las manecillas del reloj a partir del norte y su valor se registra como un número que varía entre 0° y 360°.

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En las brújulas tipo “rumberas” el ángulo de orientación se mide en grados este u oeste a partir del norte o del sur, la escala de orientación cuenta con cuatro cuadrantes de 90° cada uno. Para tomar la lectura de orientación hay que ver si la aguja que indica el norte esta mas cerca del punto norte o sur y a continuación medir el ángulo que lo separa de dicho punto, algunas lecturas se observan el la figura 3.6, en la imagen de la izquierda tenemos una lectura que se lee N40E y que equivale a 320°, en la de la derecha se lee como S60W y es igual a 120°. Estas brújulas son las más usadas entre geólogos y mineros debido a que para ellos es más cómodo registrar la orientación de una discontinuidad en términos de su rumbo de capa, de ahí el nombre de la brújula, la marca que las fabrica es Brunton.

Figura 3.6 Ejemplos de valores de orientación en brújulas rumberas

Dirección del echado Para obtener la dirección del echado de un plano de discontinuidad hay que nivelar la brújula mediante el nivel de burbuja y mantener su eje perpendicular al plano. En la práctica es de gran ayuda apoyar la tapa de la brújula en el plano y después nivelarla.

Figura 3.7 Obtención de la dirección del echado con brújula tipo Brunton

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En las brújulas Brunton y Freiberger el valor de la orientación se lee una vez que la aguja que indica el norte se ha estabilizado. Para medir la orientación en la brújula Silva-Ranger hay que girar la carátula graduada hasta que la marca que indica el norte coincida con la aguja magnética, el valor de orientación será el que se encuentre en la marca de referencia. Echado El echado es el ángulo medido en grados entre una línea inclinada y la horizontal. Este valor va de 0° a 90°. Las brújulas tipo Brunton cuentan con un vernier y un nivel de burbuja para medir ángulos verticales, a este dispositivo se le llama inclinómetro y esta ubicado dentro de la brújula. Para medir el echado con estas brújulas hay que colocarlas de lado, alineando su eje con el plano de discontinuidad o paralelo a el, movemos el inclinómetro hacia arriba o abajo mediante una pequeña palanca ubicada en la parte posterior hasta que la burbuja en el nivel este centrada. El valor del echado se lee directamente usando la graduación del vernier.

Figura 3.7 Obtención del echado con brújula tipo Brunton

Para las brújulas Silva-Ranger Hay que colocarlas de la misma forma que las Brunton, esto es, de lado y con su eje paralelo al plano. El valor del echado se obtiene del valor que indica una aguja de movimiento libre que funciona como plomada sobre una escala graduada.

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Figura 3.8 Obtención del echado con brújula tipo Silva-Ranger

En las brújulas Freiberger la escala para medir ángulos verticales se encuentra ubicada en la bisagra de la tapa.

Figura 3.8 Escala graduada para medir ángulos verticales en las brújulas Freiberger

De modo que con estas brújulas el echado se obtiene simultáneamente con la orientación; simplemente colocamos la tapa apoyada al plano, nivelamos el nivel de burbuja, leemos el valor de la orientación como ya se indicó y el del echado en la escala ubicada en la bisagra.

Figura 3.9 Obtención del echado con brújula tipo Freiberger

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En la actualidad existen diversos equipos electrónicos que obtienen los valores de orientación y echado rápidamente y con una gran precisión; existen brújulas e inclinómetros digitales que se colocan sobre los planos de diversas formas y muestran los resultados de manera digital. También cuentan con memoria para guardar gran cantidad de datos así como las coordenadas donde se llevaron a cabo los levantamientos geológico-estructurales.

Figura 3.10 Instrumentos digitales para obtener valores de orientación y echado

3.6 Elementos de exploración Cada obra civil requiere conocer adecuadamente las condiciones geotécnicas del sitio en estudio mediante la observación de las características in situ de suelos y rocas, complementadas con la obtención de muestras de las mismas. Estas exploraciones pueden ser levantamientos geológicos superficiales, perforaciones de barrenos, socavones y frentes rocosos. 3.6.1 Levantamientos geológicos superficiales El objetivo principal de los levantamientos geológicos es inspeccionar y obtener la información que permita definir con precisión las condiciones geológicas presentes en la zona de estudio. Es muy útil que al inicio del levantamiento se realicen recorridos observando las características de las rocas y estructuras para familiarizarse con las diversas formaciones, sus contactos y sus estructuras internas. Estos recorridos también se realizan a lo largo de los contactos específicos para determinar los límites de cada unidad. El levantamiento geológico esta determinado por la habilidad de observación, cantidad de conocimientos geológicos, atención a detalles geométricos, precisión, cuidado y paciencia. Algunos mapas finales son mejores que otros por la atención que se puso a los detalles de la línea de trabajo. Los parámetros principales a obtener en estos levantamientos son: tipo de roca, intemperismo, estructura, textura, color, resistencia, contactos, orientación y echado. Estos datos se obtienen durante cada recorrido, a cada lugar donde se recolecten datos se le asigna un número de estación. Estos números se trazan sobre el mapa guía en sus localizaciones exactas y los datos se anotan en la libreta de tránsito con su correspondiente número de estación. Con el fin de que los números de estación no interfieran con los datos geológicos se recomienda hacer un orificio en el mapa base sobre la localización de cada estación, voltear el mapa, marcar con un círculo el orificio y escribir junto al orificio el número de estación correspondiente. Las líneas de contacto se dibujan sobre el mapa guía conforme avanza el recorrido y las distintas unidades se van coloreando de acuerdo a su distribución. Las distintas características de echados, foliaciones, estratificación y otras estructuras se anotan en la libreta de campo y algunos datos

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representativos directamente sobre el mapa. Todas las anotaciones deberán hacerse en campo y nunca en la oficina al final del día o basarse solo en datos de la libreta o la memoria. El levantamiento geológico es un método científico y el estudio cuidadoso del mapa final determinará las siguientes etapas de los estudios.

Figura 3.11 Levantamiento geológico

3.6.2 Perforaciones Después de haber realizado los estudios preliminares que definen la factibilidad geológica para la ubicación de una obra civil, es necesario efectuar perforaciones que proporcionan información sobre las características físicas del terreno y nos ayuden a solucionar problemas de interpretación donde haya dudas. Con esta información se podrán elaborar perfiles geológicos, se podrá detallar la columna estratigráfica del lugar y ayudar en la elaboración de planos geotécnicos. Las perforaciones proporcionan información acerca de la composición, espesor y extensión de cada una de las formaciones del área, la profundidad a la que se encuentra la roca sana, la profundidad del agua subterránea, permiten la realización de pruebas de permeabilidad y se obtienen muestras de núcleos de roca que proporcionan una valiosa información geotécnica en campo y en laboratorio serán sometidos a diferentes pruebas. Si se planean y ejecutan cuidadosamente las perforaciones seguidas de una descripción detallada del núcleo pueden proporcionar información precisa de parámetros como: tipo de roca, color, intemperismo, estructura, textura, cementación, resistencia, porcentaje de recuperación, índice de calidad de la roca, composición, densidad, porosidad, resistencia a la compresión, resistencia a la tensión, resistencia al corte, frecuencia de discontinuidades, orientación, espaciamiento y familias de discontinuidades. Independientemente de las características que se acaban de mencionar podemos obtener información adicional durante el proceso de perforación a partir de la velocidad de rotación y

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avance, pérdida de agua (total o parcial), nivel freático y presencia de aguas artesianas, brusco descenso de la broca, necesidad de ademar y de la naturaleza de los recortes traídos por el flujo de perforación.

Figura 3.12 Perforación de un barreno

3.6.3 Socavones Son excavaciones lo suficientemente grandes para que un hombre pueda trabajar dentro de ellas, son trabajos que por su elevado costo solo se realizan en obras civiles de gran importancia (obras subterráneas y presas). Dentro de los socavones se puede: Hacer el levantamiento de las discontinuidades: orientaciones, echados, espaciamiento, persistencia, rugosidad, abertura, relleno, filtraciones, número de familias principales, tamaño de bloques; obtener muestras para ensayos de laboratorio y realizar pruebas de campo para conocer la permeabilidad, resistencia y compresibilidad de la roca, así como el estado de esfuerzos in situ.

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Figura 3.13 Socavón de exploración

3.6.4 Afloramientos El objetivo en estos levantamientos será contar con información relativa a orientación y echado, fracturamiento, fallas, diques y demás tipos de discontinuidades, ubicación del lugar, espaciamiento de fracturas, además de enriquecer la información con datos acerca de la mineralogía, textura y estructura de las rocas.

Figura 3.14 Afloramiento de roca

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3.7 Presentación de la información La presentación de datos estructurales se lleva a cabo en un plano geológico elaborado en una base topográfica apropiada, con escala acorde con la etapa de estudio y el objetivo del mismo; el vaciado de datos se realiza representando las orientaciones y echados de las diferentes estructuras geológicas por medio de los símbolos apropiados para que reflejen claramente los resultados del análisis efectuado. Se debe tener cuidado que los planos que se editen contengan notas explicativas, cuando se considere que con ellas se puede entender mejor la información que contiene el plano. Junto con los planos se elaborará un informe, en el cual se describen los datos estructurales más importantes y los sistemas de fracturas predominantes, así como la información de tipo geotécnico contenida en tablas, cuadros y figuras. 3.7.1 Informes técnicos Todos los datos obtenidos durante la exploración geológica de un sitio, tanto en la etapa preliminar como en la detallada o durante la construcción y operación se presentarán en uno o varios informes geológicos que podrán ser de carácter general o especial. El informe de carácter general por lo regular se divide en dos partes: la primera corresponde a todos aquellos datos generales sobre la región (condiciones socioeconómicas, climáticas, ecológicas, vías de comunicación) y características del sitio en estudio. La segunda parte esta formada por una serie de comentarios y explicaciones de las exploraciones realizadas, así como los datos geológicos y geotécnicos obtenidos. Por último se presentarán las conclusiones obtenidas de la información geológica con sus correspondientes recomendaciones con el fin de detectar los principales problemas geotécnicos del lugar, y definir, si es necesario, la ubicación y el tipo de futuras exploraciones. Los testimonios de carácter especial se refieren a problemas concretos que se ponen en estudio, sin entrar en temas que fueron desarrollados en el informe de carácter general. En estas referencias especiales se deben señalar las causas del problema o las características geotécnicas del sitio explorado para de esta manera dar los lineamientos para el sondeo adicional que deba ejecutarse y que proporcione información base para la solución del problema. 3.7.2 Mapas geológicos y geotécnicos La mayoría de los mapas geológicos se realizan con propósitos generales y carecen de información cuantitativa sobre las propiedades mecánicas de suelos y rocas, cantidad y tipo de las discontinuidades, extensión de intemperismo, condiciones geohidrológicas, etc., que deben ser de mas utilidad para la construcción de obras de ingeniería civil. En este tipo de mapas se representan unidades geológicas, es decir, unidades con idéntica litología o de la misma edad. Aunque hay buenas razones geológicas para ello, una de las principales desventajas de estos mapas para su uso en geotecnia radica en que rocas de diferentes propiedades ingenieriles pueden estar agrupadas en la misma unidad, por ser de la misma litología o de la misma edad. Es evidente que se obtiene una información valiosa sobre las propiedades y el comportamiento de una roca cuando se indica su nombre geológico; sin embargo para efectos ingenieriles el nombre geológico por sí solo es insuficiente y debe acompañarse de una clasificación ingenieril. Una solución para este problema sería elaborando mapas geotécnicos, cuyas unidades se definieran de acuerdo con sus propiedades ingenieriles, o bien a otras características determinadas por la finalidad específica del mapa. En general, los límites entre unidades marcarán variaciones en esas propiedades y algunas líneas pueden coincidir aproximadamente conciertos límites geológicos. No obstante hay ciertos problemas para delimitar fronteras, cuando por ejemplo se dan cambios graduales en lagunas propiedades físicas de suelos y rocas.

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En resumen, los mapas geotécnicos son planos que contienen datos geológicos e información de utilidad práctica para un proyecto de ingeniería determinado. Un plano geotécnico debe contener, en forma general, información referente a: • Topografía y toponimia. • Litología (distribución y descripción de las unidades litológicas). • Propiedades de suelos y rocas (resistencia, compresibilidad, permeabilidad). • Espesor de suelos. • Discontinuidades (datos estructurales: fallas, fracturas, orientaciones, rumbos y echados,

plegamientos; características de ellas; diagramas estereográficos. • Hidrogeología (acuíferos, movimiento del agua, permeabilidad, calidad del agua, zonas de

filtración). • Factores geodinámicos (velocidades de erosión y sedimentación; zonas inestables por

deslizamientos, avalanchas, sismicidad). • Bancos de material. • Exploraciones existentes (registro de toda la exploración geotécnica realizada en la zona). • Riesgos geológicos (por ejemplo, probabilidad de deslizamientos o terremotos, áreas de

concentración de esfuerzos tectónicos). Los mapas geotécnicos se clasifican en función de la etapa de estudio en que son elaborados, la información que contienen, el objetivo de cada mapa y escala utilizada. Dichas escalas serán de preferencia grandes, es decir, entre 1:100 y 1:10 mil y ocasionalmente a escalas menores 1:25 mil o 1:50 mil cuando el trabajo requiere una exploración regional. Un plano geotécnico puede contener una gran cantidad de información en un solo mapa, lo cual da una idea de la complejidad de su cartografía y del ancho de márgenes que se requiere. Sin embargo, una alternativa para evitar un mapa geológico complejo, es elaborar una serie de mapas enfocados a diferentes especialidades de acuerdo con las necesidades del proyecto y la complejidad del sitio. Tales mapas serían por ejemplo: Mapas tectónicos Mapas hidrogeológicos Mapas geomorfológicos Mapas de propiedades mecánicas Mapas geofísicos Mapas de riesgo sísmico 3.7.3 Perfiles geotécnicos La información del subsuelo obtenida de las exploraciones geotécnicas puede representarse de dos formas: individual o integral.

• Perfiles geotécnicos individuales Existen cinco tipos: Perfil de un sondeo, de un socavón, de un pozo a cielo abierto, geofísico de una sección, de una trinchera. Perfil de un sondeo Es la representación gráfica de los datos y las propiedades de los núcleos recuperados de un sondeo, mediante un análisis cuidadoso de ellos en el campo y de pruebas sobre éstos desarrolladas en laboratorio. Para su elaboración se utilizan diversos patrones donde se vacían los datos obtenidos de las pruebas y observaciones de campo así como de laboratorio, con lo que se tendrá un perfil del sondeo que incluye la descripción de unidades cortadas, la descripción de las

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discontinuidades y las gráficas de valores obtenidos de las pruebas de laboratorio. En la construcción del perfil se anotarán en la columna de observaciones, todo aquello que no se encuentre claramente especificado en el mismo y represente cierta importancia para su análisis como puede ser fugas parciales o totales de agua, derrumbes de las paredes, ademe, caídas bruscas de la broca, características del material en suspensión en el agua de retorno, etc. Las escalas en estos perfiles son por lo general 1:100 y 1:200, con el fin de poder presentar claramente en ellos el mayor número de datos, sin embargo se pueden usar escalas menores. Estos perfiles son útiles en el conocimiento de las propiedades y características de las rocas y suelos del proyecto y en la elaboración de secciones geotécnicas necesarias para el análisis global de las condiciones del área estudiada. También se incluyen fotografías a color de los núcleos de roca recuperados colocados en sus cajas para observar el estado y grado de fracturamiento que presenta la roca. Perfil de socavones, pozos a cielo abierto y trincheras Son la representación gráfica en planta de todos los aspectos que se pueden observar en un socavón, en un PCA o en una trinchera. Su elaboración es simplemente el dibujo de los rasgos que aparecen tanto en el piso como en las paredes de la obra, en un desarrollo en plano de la misma y presentando la litología, grado de alteración de la roca, las discontinuidades y estructuras presentes, contactos, estratificación, echados, cavidades de disolución, etc. Las escalas que se utilizan en este tipo de representaciones son grandes, es decir de 1:100 a 1:500, a fin de conocer con mayor exactitud las características de la zona donde se desarrolla la exploración. Conviene observar la evolución de las rocas y suelos bajo la acción de la intemperie después de abierta la excavación, con objeto de valorar el grado de alterabilidad que presentan en intervalos de tiempo relativamente cortos. Perfil geofísico de una sección La utilización de los métodos geofísicos de exploración puede repercutir económicamente al reducir la magnitud de las exploraciones directas. Es preciso calibrar los resultados de estos métodos, por lo menos comparándolos con los datos obtenidos de un sondeo. La correlación así establecida entre las magnitudes medidas con estos métodos y el corte estratigráfico del sondeo permite deducir, posteriormente, los cortes geológicos. Por esta razón la representación de los resultados obtenidos de una exploración geofísica se asociará siempre a uno o varios cortes geológicos inclusive como parte de las secciones geotécnicas integradas, como un dato mas para la interpretación de las condiciones geotécnicas del sitio.

• Perfiles geotécnicos integrados (secciones geotécnicas) Es la representación de una serie integrada de perfiles geotécnicos individuales distribuidos sobre una sección de interés para el estudio, que permitirá comprender la geología de la sección. Una buena explicación del perfil integrado ayudará a conocer las relaciones estructurales, la disposición de los materiales en el subsuelo, los niveles piezométricos y será de gran utilidad para los análisis de estabilidad de laderas, excavaciones subterráneas, el estudio de la geometría de los depósitos, el volumen de materiales de relleno, el conocimiento de la dirección de flujos subterráneos y el análisis del estado de esfuerzos. La presentación de estos perfiles se puede hacer en escalas de 1:500 a 1:5 mil siempre y cuando la que se use permita observar con claridad los principales elementos estructurales y la distribución de suelos y rocas.

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3.7.4 Diagramas estereográficos Hay varias técnicas para representar la orientación de los datos geológicos entre las que destacan la roseta de fracturamiento y la geometría descriptiva, esta última tiene una limitación en cuanto al número de datos con los que se puede trabajar, ya que cuando la información sea del orden de decenas, centenas o inclusive millares de datos, la solución será sumamente complicada, difícil de visualizar y de mucho tiempo de análisis. Por el contrario, un método rápido, fácil y sin limitación de datos es la proyección estereográfica, la cual es una excelente herramienta para representar las estructuras geológicas tridimensionales en dos dimensiones. Este método se basa en las relaciones angulares entre líneas y planos como pueden ser los pliegues, fallas, fracturas, esquistosidad, foliaciones, discordancias o cualquier tipo de discontinuidades o lineamientos relacionados con trabajos geotécnicos. Otros ejemplos de líneas que pueden ser representados son los rebajes de taludes y orientación de perforaciones. Existen diferentes tipos de redes estereográficas y su empleo está determinado por la naturaleza del problema. Entre las mas comunes están la red de Wulff, la de Schmidt, la polar y la de Kalsbeek. En ocasiones basta utilizar una de ellas pero otras veces es necesario usar como complemento alguna o algunas de las otras para llegar a soluciones con un grado de exactitud satisfactorio. Los diagramas estereográficos tienen múltiples aplicaciones, desde la obtención de echados aparentes o verdaderos hasta la determinación de la orientación de los esfuerzos de una región, lo cual facilita la interpretación tectónica. Dentro de la geotecnia, se utiliza principalmente en la determinación de orientaciones preferenciales de familias de discontinuidades, ya que es posible reunir un gran número de observaciones dispersas en torno a un origen único, elaborando una figura de la que se pueden obtener conclusiones sobre la presencia de una estructura geológica de orientación crítica. De esta manera y de forma preliminar, se pueden anticipar las zonas con posibilidades de deslizar, para tomar las debidas precauciones. Por medio de esta técnica también es posible establecer la dirección e inclinación que deben llevar los barrenos para que atraviesen el mayor número de fallas o fracturas con la mejor incidencia y así programar mejor los trabajos de inyección del macizo rocoso o las pruebas de permeabilidad. Por último, toda la información estereográfica puede ser tratada por medio de programas de computadora con lo cual el ahorro de tiempo al analizar la información es todavía mayor.

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4. PROCEDIMIENTOS BÁSICOS USANDO LA PROYECCIÓN HEMISFÉRICA

4.1 Introducción Las redes de ángulos iguales o de áreas iguales, descritas en el capítulo 2, se usan para trazar líneas y planos en cualquier orientación. Se sugiere fotocopiar la red ecuatorial de ángulos iguales de la figura 2.11, y pegar la copia a una base rígida con el fin de que sea útil para trabajar todos los ejemplos y ejercicios de esta tesis. Se requiere cubrir la red con una hoja de papel transparente (albanene), presionándolo con un alfiler o chinche sobre el centro de la misma, para que le sirva de eje de rotación, como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1 Forma de utilizar la cubierta de papel transparente sobre la red

Antes de comenzar cualquier trazo, es importante marcar la ubicación del norte sobre el papel sobrepuesto (azimut 0°); normalmente se marca con la “N” mayúscula. Algunos especialistas también recomiendan copiar el perímetro de la red sobre el papel, aunque el trabajo se ve más presentable, no es estrictamente necesario. Sin embargo, si se requiere el círculo de referencia, es mejor dibujarlo por separado usando un compás. En este trabajo todo el tiempo se empleará una proyección hemisférica inferior, es decir, solo será posible trazar líneas con un echado hacia abajo (positivos) dentro de este círculo. A partir de aquí la construcción sobre la cubierta de papel se denominará la “proyección” y la rejilla de abajo se referirá como “la red”.

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4.2 Trazo de una línea de orientación /echado (α/β) Las definiciones del capítulo 1 de orientación y echado son la clave para trazar un punto representando a una línea de una orientación dada. La orientación α es el azimut del plano vertical que contiene la línea del echado β. Sobre una red ecuatorial hay dos grandes círculos representando planos verticales: los diámetros norte-sur y este-oeste de la red. Aunque cualquiera de estos diámetros puede utilizarse en el proceso de trazo, generalmente se aconseja usar solamente el diámetro este-oeste. Para utilizar este diámetro, es necesario primero rotar la cubierta de papel dibujo, hasta que la dirección de orientación de la línea que esta siendo trazada, esté temporalmente situada sobre el diámetro este-oeste. Entonces los ángulos de echado pueden contarse desde el perímetro hacia el centro de la red, a lo largo de este diámetro, usando los grandes círculos (las “líneas de longitud”) de la red como graduaciones. Los puntos en el diámetro este-oeste de la red representan las líneas de máxima inclinación del grupo de planos, como el rumbo de capa norte-sur que generan los grandes círculos sobre la red. Los círculos de echado contados a lo largo del diámetro este-oeste, son los mismos que los ángulos de inclinación de estos planos especiales. El proceso de trazo se explica a continuación usando ejemplos sencillos. Ejemplo 4.1 (Figura 4.2) Trace, sobre una proyección hemisférica inferior, el punto que representa a una línea de orientación/echado 219/68. La línea en este ejemplo tiene una orientación de 219° y un echado de 68°. El primer paso es fijar el papel dibujo sobre la red y marcar cuidadosamente el norte con una “N”. Con el norte en su posición original, el azimut 219° se marca sobre el perímetro de la proyección con una pequeña línea radial. Si se tienen que trazar varios puntos, puede ser útil rotular esta pequeña línea con el valor del azimut, como se muestra en la figura 4.2a. El papel dibujo se rota hasta que la marca del azimut quede en cualquiera de los extremos del diámetro este-oeste de la red, el ángulo del echado de 68° se cuenta entonces desde la marca del azimut sobre el perímetro hacia el centro, a lo largo de dicho diámetro para dar el punto requerido, L, como se muestra en la figura 4.2b. Por ultimo, el norte se regresa a su posición original.

Figura 4.2a Trazo de un punto indicando una orientación de 219° (Ejemplo 4.1)

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Figura 4.2b Trazo de un punto L que representa un echado de 68° (Ejemplo 4.1)

En algunos casos será necesario encontrar la orientación y el echado de la línea representada por algún punto ya trazado en la proyección. El procedimiento es inverso al descrito anteriormente. Primero se rota el papel dibujo hasta que el punto dado quede sobre el diámetro este-oeste de la red. La marca del azimut se dibuja en la intersección entre este diámetro y el perímetro de la red, asegurándose que la marca del azimut quede en el mismo radio del punto dado. El ángulo agudo entre el punto dado y el perímetro, se cuenta a lo largo del diámetro este-oeste, para dar el ángulo del echado de la línea que representa. Cuando el punto norte se regresa a su posición original, la marca del azimut da la orientación de la línea. 4.3 Trazo de un plano de dirección del echado/echado (αd/βd) El proceso de trazar el gran círculo y la normal a un plano, es la aplicación del procedimiento del trazo para una línea. El primer paso es dibujar el punto D, representando la línea de máxima inclinación del plano, como se muestra en la figura 4.3a. Esto se hace con el método descrito anteriormente, pero ahora la línea tiene una orientación αd y un echado βd. Con el punto resultante todavía sobre el diámetro este-oeste, trazamos todo el gran círculo donde se encuentra el punto (hasta el perímetro de la red); este es el gran círculo del plano dado. En muchos casos, para dar una construcción mas precisa, será necesario trazar la interpolación entre un par de grandes círculos marcados sobre la red. La manera mas fácil de trazar un gran círculo es colocando el papel dibujo, de tal forma que la mano que va a dibujar este diametralmente opuesta a la línea de máxima inclinación. Esto permite que el gran círculo se dibuje con una sola pasada de la mano, girando sobre el eje la muñeca y el codo. Normalmente es muy útil marcar con una pequeña línea los puntos donde el gran círculo intersecta el perímetro de la red, ya que esto da la dirección del rumbo de la capa del plano. La línea de máxima inclinación generalmente se marca

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con una cruz o con una “X”, como se muestra en la figura 4.3a. La orientación αn y el echado βn de la normal al plano están dados por:

αn = αd ± 180° (0° ≤ αn ≤ 360°) βn = 90° - βd

Por lo tanto la normal al plano puede trazarse de la misma manera que cualquier otra línea, empleando el método descrito anteriormente. De forma alterna, la normal puede ser trazada directamente a partir de los valores αd y βd, simplemente contando el ángulo βd a partir del centro de la proyección, a lo largo del diámetro este-oeste de la red hacia el perímetro diametralmente opuesto al azimut αd, como se muestra en la figura 4.3a. Esto asegura automáticamente que la normal se trace a 90° a partir de la línea de máxima inclinación, medida a través del diámetro este-oeste de la red.

Figura 4.3a Trazo del gran círculo y de la normal al plano usando el método general

Es una buena idea a esta altura desarrollar una notación consistente para usarla en las proyecciones. Un sistema recomendado es el que se muestra en las figuras de la 4.3 a la 4.10.

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Se observó en la sección 2.2 que, en una proyección de ángulos iguales, el gran círculo de un plano con una dirección del echado/echado (αd/βd) es parte de un arco circular, que tiene su centro a una distancia radial:

rg = R tan βd

a partir del centro de la proyección, medida a lo largo de una línea radial de azimut αd ± 180°. La comparación con la ecuación 2.1 muestra que la distancia radial rg es equivalente a una medida angular de 2βd, contada a partir del centro de la proyección. Esto significa que cuando βd es igual o menor a 45°, el centro físico del gran círculo asociado puede localizarse simplemente contando el ángulo 2βd, a partir del centro de la proyección, a lo largo de la línea radial de azimut αd ± 180°, entonces el gran circulo puede dibujarse exacta y rápidamente con un compás fijado en el radio que toma el arco circular a través de la línea de máxima inclinación del plano. Esta construcción por medio de compás se ilustra en la figura 4.3b.

Figura 4.3b Trazo del gran círculo y de la normal al plano mediante compás

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Ejemplo 4.2 (Figura 4.4) Trace el gran círculo y la normal a un plano con (dirección del echado/echado) 149/37. La línea de máxima inclinación de este ejemplo tiene una orientación de 149° y un echado de 37°. Primero se traza el punto D1 que representa esta línea, de la forma usual. Después se traza el gran círculo del plano cuando el punto todavía esté colocado sobre el diámetro este-oeste de la red. En este caso es necesario trazarlo entre el par de grandes círculos que representan planos con echados de 36° y 38°. La normal al plano tiene una orientación de 329° y un echado de 53°, y se puede trazar de la forma usual. De manera alterna, la normal puede trazarse cuando la línea de máxima inclinación este todavía sobre el diámetro este-oeste de la red, contando el ángulo del echado del plano (37°) hacia fuera, desde el centro de la red; el punto resultante se marca con N1, como en la figura 4.4. Finalmente, el norte se regresa a su posición original. En este ejemplo, el gran círculo del plano se puede trazar con un compás, como se ilustra en la figura 4.3b. El centro físico de este gran círculo se construye con un ángulo de 74° (es decir 2×37°) medidos a partir del centro de la proyección apropiada.

Figura 4.4 Trazo del gran círculo y la normal a un plano de dirección del echado/echado 149/37 (Ejemplo 4.2)

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Muchas de las operaciones mas complicadas sobre planos que se discuten mas adelante en esta tesis, se solucionan más fácilmente utilizando sus normales, y no sobre las líneas de máxima inclinación o los grandes círculos. A menudo es necesario, al término de la operación, dibujar el gran círculo de un plano, a partir del punto que representa su normal. Nuevamente, el procedimiento es el opuesto al descrito anteriormente. Primero se coloca la normal sobre el diámetro este-oeste de la red. Entonces se mide un ángulo de 90° a lo largo de este diámetro, hacia el centro de la red, para dar, sobre una proyección hemisférica inferior, la línea de máxima inclinación del plano; entonces el gran círculo puede trazarse de la forma usual. 4.4 Líneas en planos Como se comentó anteriormente, un plano puede ser considerado como si estuviera compuesto de un número infinito de líneas coplanares radiando desde un solo punto. En una proyección hemisférica inferior, el gran círculo de un plano representa el lugar geométrico de los puntos generados por tales líneas con ángulos de pitch (γ) que varían de 0° ≤ γ ≤ 90°. Cualquier punto sobre un gran círculo esta asociado a una línea, con algún ángulo de pitch γ, orientación α y echado β. Con el rumbo de capa del plano sobre el diámetro norte-sur de la red, a lo largo del gran círculo, usando los pequeños círculos (las “líneas de latitud”) sobre la red como graduaciones, note que el pitch siempre es un ángulo agudo. El ángulo del echado de cualquier línea semejante que no sea la línea de máxima inclinación del plano dado, comúnmente se llama “echado aparente” del plano. El echado aparente de un plano con dirección del echado/echado αd/βd varía desde 0°, cerca de la dirección del rumbo de la capa, a un valor muy cercano a βd, con una orientación cercana a αd. Estas ideas se ilustran mejor en los siguientes ejemplos. Ejemplo 4.3 (Figura 4.5) Un plano orientado con dirección del echado/echado 049/28, tiene un pitch de 62° medido a partir del extremo noroeste de la línea de rumbo. Encontrar la orientación y echado de dicho plano. El primer paso es trazar el gran círculo del plano 049/28 de la forma usual. El extremo noroeste de le línea del rumbo de capa de este gran círculo, esta localizado en el cuadrante noroeste de la red cuando el norte esta en su posición original. Entonces se coloca el gran círculo con línea de rumbo de capa sobre el diámetro norte-sur y el ángulo 62°, se cuenta a lo largo de él, desde el extremo noroeste, usando los pequeños círculos como graduaciones. La orientación y echado del plano es 018/24. Ejemplo 4.4 (Figura 4.6) Se sabe que dos líneas de orientación/echado 204/35 y 273/41 se encuentran en el mismo plano. i) Determinar el ángulo agudo entre las líneas. ii) ¿Cuál es la orientación del plano que contiene a las dos líneas? iii) ¿Cuál es el echado aparente de este plano en la dirección 299°? i) En este ejemplo, el primer paso es trazar los puntos que representan a las dos líneas L1 y L2, el ángulo agudo entre estas líneas es medido en el plano que las contiene. El gran círculo que representa a este plano se encuentra rotando el papel transparente hasta que los puntos L1 y L2 estén sobre un mismo gran círculo de la red, entonces trazamos este gran círculo. El ángulo entre L1 y L2 se encuentra sobre este gran círculo, estando su rumbo de capa todavía sobre el diámetro norte-sur de la red, utilizando los pequeños círculos como graduaciones. En este caso el ángulo es 53°, el ángulo obtuso entre las líneas es, por supuesto, 127° que es el suplementario de 53°. Este par de ángulos suplementarios están compuestos por un “ángulo interno”, medido directamente entre los puntos sobre el gran círculo, y un “ángulo externo”medido desde L1 hasta el perímetro y

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después desde el lado diametralmente opuesto del perímetro hasta L2. se demuestra una regla importante en la proyección hemisférica: si cuando se mida un ángulo a lo largo de un gran círculo, sea necesario cruzar el perímetro de la red, siempre se hará el reingreso en un punto diametralmente opuesto al punto de salida y la medición continúa a lo largo del mismo gran círculo.

Figura 4.5 Determinación de la orientación de una línea con un pitch de 62° en un plano de dirección del echado/echado 049/28

(Ejemplo 4.3) ii) La orientación del plano que contiene a las dos líneas, se encuentra, leyendo la orientación y echado de su línea de máxima inclinación, en este caso 248/44. iii) La dirección del azimut de 299° se marca sobre el perímetro de la proyección con el norte en su posición original. Se coloca el azimut de 299° sobre el diámetro este-oeste de la red. El punto donde este diámetro intersecta al gran círculo del plano que contiene a L1 y L2 define una sola

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línea en este plano, que tiene una orientación de 299°. El echado de esta línea es 31°, lo cual da el echado aparente del plano en esta dirección. El ángulo θ entre un par de líneas de orientación α1 y α2 y echados β1 y β2 puede, si se desea, encontrarse algebraicamente con la siguiente expresión:

cos θ = cos (α1-α2) cos β1 cos β2 + sen β1 sen β2 (4.1)

Figura 4.6 Análisis de líneas coplanares (Ejemplo 4.4)

4.5 Intersección de planos Cuando dos planos se intersectan, definen una línea, la cual por definición es común a ambos planos. La orientación, echado y el pitch en cada uno de los planos de esta línea, dependen de las orientaciones de los planos involucrados. En una proyección hemisférica, la línea de intersección entre dos planos, esta representada por un sólo punto, definido por la intersección entre sus grandes círculos. La orientación, echado y pitch de esta línea de intersección se pueden leer de la forma usual.

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Ejemplo 4.5 (Figura 4.7) El plano 1, de dirección del echado/echado 146/59, es intersectado por el plano 2 de dirección del echado/echado 266/36. Determine la orientación y echado de la línea de intersección, así como el valor del pitch en cada uno de los planos. Los grandes círculos de los planos, construidos de la manera usual, se intersectan en el punto I12. Este punto representa una línea con orientación de 219°, echado de 26°, un pitch de 31° desde el extremo suroeste del plano 1 y un pitch de 49° desde el extremo sur del plano 2. Vale la pena notar que las normales a los planos 1 y 2 (N1 y N2) se sitúan en un plano que es normal a la línea de intersección (I12). Esto significa que I12 es la normal al plano que contiene a N1 y N2 en este caso, el ángulo interno entre N1 y N2, medido en este plano, es de 81° como se muestra en la figura 4.7.

Figura 4.7 La intersección entre dos planos (Ejemplo 4.5)

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4.6 Rotación alrededor de un eje inclinado La orientación de un eje de rotación, como cualquier otra línea, puede definirse en términos de su orientación y echado. Sin embargo, también es necesario especificar la magnitud y la dirección de la rotación. Considérese, por ejemplo, un tramo de núcleo en un barreno inclinado, de orientación 305° y echado de 65°, conteniendo un plano de discontinuidad de dirección del echado/echado 145/73. Si este núcleo se rota 55° en sentido de las manecillas del reloj mirando hacia abajo del eje del barreno, ¿Cuál será la nueva orientación del plano de discontinuidad? Problemas de este tipo pueden resolverse rápidamente, y con un razonable grado de precisión, usando los pequeños círculos de la red. Estos pequeños círculos se generan cuando un plano con rumbo de capa norte-sur conteniendo una línea de pitch θ constante, rota alrededor del diámetro norte-sur de la red. El punto, que representa una línea que esta sometida a rotación alrededor del diámetro norte-sur de la red, es por lo tanto movido a lo largo del pequeño círculo sobre el que se encuentra, usando los grandes círculos como graduaciones. Una rotación en sentido de las manecillas del reloj, mirando hacia el norte a lo largo del diámetro norte-sur de la red, llevará el punto hacia el lado oeste de la red, si se emplea una proyección hemisférica inferior, una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj lo llevará hacia el lado este. Si el punto sale del perímetro de la red, volverá a entrar en una posición diametralmente opuesta al punto de salida, y continuará su movimiento a lo largo de un pequeño círculo. Un punto que abandona el perímetro a lo largo de un pequeño círculo en la mitad sur de la red, volverá a entrar y continuará a lo largo de un pequeño círculo geométricamente similar en la mitad norte de la red. En general, el eje de rotación, A, no será horizontal con una orientación norte sur, pero tendrá cierta orientación y echado α/β. Una forma de superar esta complicación es hacer que el eje A coincida temporalmente con el diámetro norte-sur de la red. Esto puede lograrse rotando el papel transparente hasta que el eje de rotación A, quede sobre el diámetro este-oeste y después moviendo el eje a lo largo de este diámetro el valor del ángulo β hasta el perímetro de la red. Esta operación es, de hecho, en si misma, una rotación alrededor de un eje auxiliar, el cual es la línea de rumbo de capa del plano cuando el eje A es la línea de máxima inclinación. El ángulo de rotación es el ángulo de echado β del eje A, la dirección de rotación es hacia la dirección de orientación α del eje A. Con el objeto de conservar las relaciones geométricas correctas en la proyección, todos los demás puntos también deben rotarse alrededor de este eje auxiliar, en la misma dirección y en la misma cantidad. En teoría, esta rotación se aplica para todos los puntos, incluyendo el centro de la red, el cual representa la dirección vertical. Por lo tanto, siguiendo con esta rotación auxiliar, la proyección es construida efectivamente en un hemisferio inclinado con un ángulo β a partir de la horizontal. El papel dibujo puede ahora rotarse a fin de que el eje A coincida con el eje norte-sur de la red. Ahora es posible rotar los puntos trazados en la red en la misma dirección y con la misma cantidad prescritas. Finalmente, es necesario invertir la rotación auxiliar con el fin de que el eje A, y todos los otros puntos, regresen a su posición correcta en la proyección hemisférica inferior. Ejemplo 4.6 (Figura 4.8) Una línea con orientación/echado inicial de 339/51 rota alrededor de un eje de orientación/echado 236/37, con una intensidad de 124° en dirección contraria a las manecillas del reloj mirando hacia abajo del eje. ¿Cuál es la orientación resultante de la línea? El primer paso es trazar los puntos que representan el eje de rotación A y la línea L1. Es útil, en esta etapa, dibujar una pequeña flecha rodeando el punto A indicando la dirección de rotación; en este caso, en sentido contrario a las manecillas del reloj mirando hacia abajo. El punto A se coloca sobre el diámetro este-oste y se mueve hasta el perímetro, con una intensidad de 37°, hasta

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el punto A’. La dirección de la flecha es regularmente movida; la posición de esta flecha que permanece sobre la proyección nos da la dirección del movimiento durante la rotación principal. El punto L1 también se rota alrededor del eje auxiliar con una intensidad de 37° y en la misma dirección que el punto A, y a lo largo del pequeño círculo hasta el punto L’1. Ahora rotamos el papel transparente para llevar a A’ hasta el punto norte de la red. El punto L’1 se puede rotar a través del ángulo prescrito, en este caso 124° moviéndolo a lo largo de un pequeño círculo en la dirección indicada por la flecha cercana a A’. Después de una rotación de 49°, el punto abandona el perímetro de la red y vuelve a entrar, en una posición diametralmente opuesta, para completar los 75° restantes de rotación hasta el punto L’1r. Ahora es necesario invertir la rotación colocando A’ de nuevo sobre el diámetro este-oeste y moviendo L’1r a lo largo de un pequeño círculo, en la dirección opuesta a la rotación auxiliar inicial, pero a través del mismo ángulo de 37°, hasta el punto L1r. la nueva orientación del punto L1, que resulta de la rotación, esta dada por el punto L1r el cual tiene una orientación de 072° y un echado de 30°. Aunque la operación completa puede parecer demasiado larga y complicada cuando se explica paso por paso, esta se puede realizar en tan solo dos o tres minutos, una vez que los principios básicos han sido captados. Los métodos explicados arriba pueden aplicarse al principio de esta sección, respecto a la rotación de un tramo de núcleo en un barreno, que contiene un plano de discontinuidad. Aunque teóricamente es posible rotar un lugar geométrico de puntos que representan el gran círculo del plano de discontinuidad, es mucho más fácil rotar en lugar de ello, la normal al plano de discontinuidad y leer la orientación del plano rotado hasta el final. Esta última construcción, dada en la figura 4.9, muestra que el plano de discontinuidad rotado tiene una dirección del echado/echado de 187/58. Si el eje de rotación A tiene un ángulo de echado grande, normalmente es más conveniente rotar este eje hacia el centro de la proyección, en lugar de hacerlo hacia el perímetro, en la rotación auxiliar. Como antes, durante esta rotación auxiliar todos los puntos se rotan con la misma magnitud, alrededor del mismo eje y en la misma dirección a lo largo de los pequeños círculos como el eje A. cuando la rotación auxiliar se ha completado, la rotación principal prescrita se logra girando el punto dado a través de un área circular, con su origen en el centro de la proyección, con la intensidad del ángulo especificado y en la dirección especificada. Finalmente, se invierte la rotación auxiliar y se lee la orientación de la línea. Esta construcción se ilustra en la figura 4.10 usando los datos del ejemplo 4.6. Este método alterno de rotación alrededor de un eje inclinado, se puede realizar usando la proyección de ángulos iguales o de áreas iguales, y es particularmente útil en casos donde el eje de rotación se inclina fuertemente y/o el ángulo de rotación es grande. En última instancia es cuestión de criterio personal el decidir cual método emplear.

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Figura 4.8 Rotación alrededor de un eje inclinado de orientación/echado 236/37 (Ejemplo 4.6)

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Figura 4.9 Rotación alrededor del eje de un barreno de orientación/echado 305/65

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Figura 4.10 Método alterno de rotación alrededor de un eje inclinado (Ejemplo 4.6)

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5. ANÁLISIS DE DATOS DE BARRENOS 5.1 Introducción Un tramo de núcleo recuperado de un barreno puede dar una gran cantidad de información sobre la masa rocosa de la que fue tomado. La calidad de esta información depende de la calidad del núcleo, que a su vez depende no solo de las propiedades del macizo rocoso sino también del equipo y los métodos empleados en la perforación y recuperación del núcleo. Los procedimientos de registro y prueba, pueden usarse para obtener información respecto a las propiedades de la roca y características de discontinuidad, no serán descritos en virtud de que están ampliamente explicados por Goodman (1976), Hoek y Brown (1980) y Brown (1985). La finalidad principal de este capítulo es explicar la manera de obtener los datos relacionados con la orientación de los planos de discontinuidades, a partir de simples medidas en el núcleo del barreno. La figura 5.1 muestra la forma elíptica producida por la intersección de una discontinuidad plana y un tramo de núcleo de un barreno de diámetro D. Las distancias medidas paralelamente al eje del barreno, desde un nivel arbitrario a-a para cada extremo del eje mayor de esta intersección elíptica, son h1 y h2, donde h1 ≤ h2. Estas distancias pueden medirse directamente a partir de un tramo de núcleo adecuado. El ángulo δ entre el eje del barreno y la normal a la discontinuidad plana esta dado por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=D

hh 12arctanδ (5.1)

Figura 5.1 Intersección entre una discontinuidad plana y un tramo de núcleo del barreno

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Si h1 = h2, entonces δ=0 y el eje del barreno es paralelo a la normal del plano de discontinuidad. Solamente en este caso la orientación de la discontinuidad esta bien definida. En general el ángulo δ será mayor que 0; esto significa que se requiere de mayor información con el objeto de definir la orientación de la discontinuidad. Este problema puede apreciarse si se supone que deseamos reorientar un tramo de núcleo, exactamente en la posición en que se encontraba dentro de la masa rocosa, antes de que el barreno fuera perforado. Sería posible realinear el tramo del núcleo de manera correcta con su eje paralelo al del barreno. Sin embargo, sin mayor información, no hay forma de reorientar correctamente el núcleo con relación a la rotación alrededor del eje del barreno. La discontinuidad normal puede, por lo tanto situarse en cualquier lugar geométrico de un cono, de ángulo de semi-ápice δ, generado por la rotación del núcleo 360° alrededor del eje del barreno, como se muestra en la figura 5.2. La información adicional requerida para reorientar el núcleo puede obtenerse de las siguientes fuentes:

(a) Un segundo barreno, inclinado respecto al primero. (b) Planos de referencia de orientación conocida. (c) Mecanismos de orientación del núcleo bajo el barreno.

Figura 5.2 Lugar geométrico cónico, dando las posibles orientaciones reales de la discontinuidad normal

Algunos mecanismos de orientación del núcleo han sido descritos por Goodman (1976) y por Hoek y Brown (1980). Por lo que, la mayor parte del resto de este capítulo será dedicado a considerar las formas de procesar datos de la primera y segunda fuentes listadas arriba.

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5.2 Construcción del lugar geométrico definido por un ángulo cónico (δ) respecto a un eje de orientación/echado (α/β) El lugar geométrico de las posibles orientaciones reales de la normal a una discontinuidad, ilustrada en la figura 5.2, puede representarse sobre una proyección hemisférica inferior. Este lugar geométrico, que de hecho es un pequeño círculo, puede construirse con un método general para proyecciones de áreas y ángulos iguales; o de manera alterna una construcción con compás mas rápida y precisa, adecuada solamente para proyecciones de ángulos iguales. 5.2.1 Método General El primer paso es trazar el punto L representando la línea de orientación/echado (α/β) sobre la cual será construido el ángulo cónico. Entonces colocamos el punto L en el gran círculo conveniente. El ángulo cónico δ se cuenta a lo largo del gran círculo, en ambas direcciones de L, para definir un par de puntos en el lugar geométrico requerido. Si, durante el conteo, es necesario cruzar el perímetro de la red, se continúa el conteo a lo largo del mismo gran círculo, desde el punto 180° diametralmente opuesto al punto de salida. El lugar geométrico requerido se construye gradualmente, colocando el punto L en un rango de diferentes grandes círculos, para generar varios pares de puntos, del ángulo requerido δ, desde L. El lugar geométrico resultante, cuando se traza sobre una proyección de ángulos iguales, es una forma circular. Sobre una proyección de áreas iguales el lugar geométrico toma la forma de una curva de cuarto orden. 5.2.2 Construcción con compás Sobre una proyección de círculos iguales, el lugar geométrico definido por un ángulo cónico δ, respecto a una línea de orientación/echado (α/β), está compuesto de un arco circular completo o incompleto con un radio Rs dado por la ecuación 2.5, la cual debe expresarse como sigue:

Rs = R(A-B)/2 (5.2) donde R es el radio de la proyección,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=2

90tan δβA ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=2

90tan δβB

y δ< 90°+β. El arco circular tiene su centro c en la orientación α; sin embargo, a menos que β=90° el punto c no coincide con el punto L, el cual representa la línea de orientación/echado (α/β), aplicando las ecuaciones 2.1 y 5.2 puede demostrase que el centro real c, del arco circular se encuentra a una distancia radial rc del centro de la proyección dada por:

rc = R(A+B)/2 (5.3) Como antes, el primer paso en la construcción del arco circular, es trazar el punto L representando la línea de orientación/echado (α/β). El punto L se coloca sobre el diámetro este-oeste de la red, y el ángulo cónico δ se cuenta a lo largo de este diámetro en ambas direcciones de L. Los dos puntos resultantes se sitúan en lados diametralmente opuestos del lugar geométrico circular, de ángulo cónico δ. El diámetro del lugar geométrico esta dado por la distancia física entre estos puntos. El centro real del lugar geométrico, el cual esta situado a la mitad entre estos puntos, puede localizarse alternativamente usando la ecuación 5.3. El lugar geométrico ahora puede construirse con un compás.

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Si el ángulo δ es mayor que β, parte del lugar geométrico se extenderá mas allá del perímetro de la proyección. En este caso, solamente será posible trazar un punto sobre el diámetro este-oeste, de un ángulo cónico δ desde L medido hacia, y quizás a través, del centro de la red. Por lo tanto será necesario usar la ecuación 5.2 para calcular el radio Rs del arco circular. La parte del arco circular que rodea el punto L, puede construirse usando un compás como se describió antes. El resto del arco circular se dibuja en el lado diametralmente opuesto de la proyección, y en virtud de que no tiene un radio Rs, se dibuja mejor usando el método general ya descrito. Ejemplo 5.1 (Figuras 5.3 y 5.4). Construya los lugares geométricos definidos por (1) un ángulo cónico de 60° respecto a un eje de orientación/echado (130/70) y (2) un ángulo cónico de 50° respecto a un eje de orientación/echado (044/10). La figura 5.3 muestra el método general para la construcción del lugar geométrico aplicado a este ejemplo. Los puntos L1 y L2, que representan los ejes de los conos requeridos, se trazan de la manera usual. Colocamos el punto L1 sobre un gran círculo conveniente y el ángulo cónico de 60° se cuenta en ambas direcciones a lo largo de este gran círculo. Este procedimiento se repite varias veces a fin de obtener suficientes puntos, que permitan hacer una razonable y exacta interpolación del lugar geométrico circular. Este mismo procedimiento se repite para el ángulo cónico de 50° medido desde L2. En algunos casos, cuando se mide desde L2, es necesario cruzar el perímetro de la red y continuar midiendo a lo largo del mismo gran círculo desde un punto diametralmente opuesto al punto de salida. Resulta oportuno notar que las dos partes separadas del lugar geométrico respecto a L2 tienen radios diferentes. La figura 5.4 muestra el método de construcción con compás aplicado a este ejemplo. Los puntos L1 y L2 se trazan igual que antes. Con L1 en el diámetro este-oeste de la red, se mide el ángulo cónico de 60° en ambas direcciones a lo largo de este diámetro obteniéndose los puntos L'1 y L''2, situados en extremos opuestos de un diámetro del lugar geométrico circular requerido. El centro físico de este lugar geométrico, c1, se sitúa en la parte media entre dichos puntos, dado un radio Rs1 de aproximadamente 54 mm. De manera alterna y con mas precisión, las ecuaciones 5.2 y 5.3 dan Rs1 y rc1 de 54.1 mm y 21.4 mm respectivamente, para una proyección de 90 mm de radio. El lugar geométrico se puede construir con un compás. En seguida, colocamos el punto L2 sobre el diámetro este-oeste de la red, y el punto L'2 se marca con una separación angular de 50° a partir de L2 medidos a lo largo de este diámetro. El punto diametralmente opuesto L''2 no se puede dibujar porque el ángulo cónico de 50° se sitúa mas allá del perímetro de la proyección. Por lo tanto, en este caso, el radio del lugar geométrico Rs2 debe obtenerse usando la ecuación 5.2. El valor resultante de 84.4 mm para la proyección de 90 mm, se mide desde L'2 a través de L2 para dar el centro físico del lugar geométrico c2, el cual de hecho se traza mas allá del perímetro de la proyección, a una distancia radial de 108.6 mm desde el centro de la proyección (Ecuación 5.3).

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Figura 5.3 Construcción de lugares geométricos circulares usando el método general (Ejemplo 5.1)

De nuevo, el lugar geométrico, en este caso, parte del cuadrante noreste de la proyección, se puede construir con un compás. El resto del lugar geométrico de L2 se traza del lado opuesto de la proyección, aun cuando parte del arco circular tiene un radio mayor que Rs2. En vista de esto, es más conveniente construir esta parte del lugar geométrico usando el método general ya explicado.

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Figura 5.4 Construcción de lugares geométricos circulares usando el método de construcción con compás (Ejemplo 5.1)

5.3 Determinación de la orientación de una discontinuidad usando datos de dos barrenos no paralelos Dos barrenos, 1 y 2, que no son paralelos, se considera que se intersectan en el mismo sistema de discontinuidades reconocibles, planas y paralelas. Las orientaciones y echados de estos barrenos se suponen conocidos, y tienen los valores αb1/βb1 y αb2/βb2 respectivamente. También se supone que el ángulo entre el eje de los barrenos y la normal al sistema de discontinuidades reconocibles se puede medir mediante muestras de núcleos de cada barreno, dando valores de δ1 y δ2 para los barrenos 1 y 2, respectivamente. Los datos de estos dos barrenos no paralelos pueden usarse para reducir el intervalo de las posibles orientaciones reales de la normal a la discontinuidad, a partir de un número infinito de valores en un solo lugar geométrico cónico, en la mayoría de los casos, solamente a dos valores.

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Los métodos comúnmente empleados para lograr esto en una proyección hemisférica son: (i) Método del pequeño círculo completo (ii) Método del pequeño circulo medio

5.3.1 Método del pequeño círculo completo Los puntos designados BH1 y BH2, que representan las orientaciones de los dos barrenos se dibujan en una proyección hemisférica inferior. El lugar geométrico definido por un ángulo cónico δ1 respecto a BH1 y el lugar geométrico definido por el ángulo cónico δ2 con relación a BH2 se construyen empleando uno de los métodos ya descritos. Es más conveniente usar una proyección de ángulos iguales ya que esto permite el empleo de la construcción con compás, que es más rápida y precisa. Los lugares geométricos se intersectarán en dos o cuatro puntos y darán por lo tanto dos o cuatro valores posibles para la orientación de la normal al sistema de discontinuidades, si los lugares geométricos no se tocan o intersectan, entonces hay un error en los datos de entrada. La información adicional requerida para decidir cual orientación es la correcta, se puede obtener en cualquiera de las tres fuentes siguientes: (i) Puede haber alguna información aproximada respecto al ángulo real de inclinación del sistema, el cual pudiera diferenciar dos alternativas de entre muchas orientaciones. (ii) Una discontinuidad particular se puede reconocer en el núcleo de ambos barrenos cuando esto ocurre, las distancias de intersección de la discontinuidad a lo largo de cada barreno se pueden usar, junto con las orientaciones de los barrenos para encontrar la orientación de la línea que une los puntos de intersección en cada barreno. En virtud de que la línea deberá situarse en el plano de discontinuidad, indicará cual de las alternativas de orientación es la correcta. (iii) Un tercer barreno que intersecta el mismo sistema de discontinuidades indicará cual orientación es la correcta, ya que el lugar geométrico de este barreno intersectará solo una de las alternativas producidas por los otros lugares geométricos. No es necesario trazar el lugar geométrico completo definido por el ángulo cónico δ3 para el tercer barreno; simplemente es necesario checar cual de las normales a la discontinuidad forma un ángulo δ3 con el tercer barreno. Ejemplo 5.2 (Figura 5.5) Los siguientes datos se obtuvieron de tres barrenos no paralelos, cada uno de los cuales intersectó el mismo conjunto distintivo de discontinuidades planas paralelas:

Barreno Orientación (grados)

Echado (grados)

Angulo entre el eje del barreno y la normal al sistema de discontinuidades

(grados) 1 2 3

049 127 223

71 20 40

59 43 67

Determinar la orientación del conjunto de discontinuidades. Los puntos BH1, BH2 y BH3 que representan las orientaciones de los tres barrenos se trazan en una proyección de ángulos iguales. Colocamos el punto BH1 sobre el diámetro este-oeste de la red y marcamos los puntos L'1 y L''2, ambos con una separación angular de 59° medidos a partir de BH1 sobre dicho diámetro. Los puntos L'1 y L''2 se encuentran en extremos opuestos de un diámetro del lugar geométrico circular definido por un ángulo cónico de 59° con respecto a BH1. Este lugar geométrico circular, que tiene su centro en el punto c1 y un radio Rs1 de 52.8 mm, puede ser construido con un compás. Ahora colocamos el punto BH2 sobre el diámetro este-oeste

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de la red y se marca el punto L'2 con una separación angular de 43° a partir de BH2 medido sobre dicho diámetro. El punto L''2, diametralmente opuesto a L'2 sobre el lugar geométrico circular respecto a BH2, no se traza ya que el ángulo cónico de 43° esta situado fuera del perímetro de la red. En vez de esto, el radio Rs2 de este lugar geométrico circular se calcula usando la ecuación 5.2, dando un valor de 54.2 mm. La parte del lugar geométrico circular alrededor de BH2, que tiene su centro a una distancia de Rs2 desde L'2, puede trazarse usando un compás. El resto de este lugar geométrico se dibuja usando el método general. Si se prefiere, los centros y radios de los lugares geométricos circulares pueden determinarse usando las ecuaciones 5.2 y 5.3, evitando así, la necesidad de dibujar cualquier punto sobre el perímetro del lugar geométrico. Los lugares geométricos circulares respecto a BH1 y BH2 se intersectan en dos puntos, N1 y N2, que dan dos posibles orientaciones de la normal al sistema de discontinuidades intersectando los barrenos. El ángulo entre BH3 y N1 es de 113° medido internamente y 67° medido externamente, los ángulos correspondientes para N2 son 38° y 142°. El ángulo agudo de 67° concuerda con el valor medido en el barreno 3 y confirma que N1 representa la orientación correcta. La orientación/echado de esta normal son 082/15, dando la dirección del echado/echado del conjunto como: 262/75. 5.3.2 Método del pequeño círculo medio Este método utiliza los pequeños círculos de la red. Estos pequeños círculos representan los lugares geométricos construidos sobre un eje horizontal norte-sur. El ángulo cónico para un pequeño círculo particular, está dado por el ángulo de pitch asociado con este pequeño círculo. Con el objeto de utilizar estos pequeños círculos es necesario hacer una rotación auxiliar con el objeto de hacer que cada barreno este temporalmente horizontal y alineado con el diámetro norte-sur de la red. Esto se logra más fácilmente colocando los dos barrenos sobre su gran círculo común y entonces rotarlos sobre la horizontal alrededor del diámetro norte-sur de la red. Este eje de rotación corresponde a la dirección del rumbo del plano que contiene los dos barrenos. Cada barreno ahora horizontal, se coloca a su vez, en el diámetro norte-sur de la red, de modo que el pequeño círculo, con un ángulo de pitch correspondiente al ángulo cónico apropiado, se puede trazar desde la red. Cada círculo pequeño está en dos mitades: una medida desde el punto norte de la red y la otra desde el punto sur. Como antes, los pequeños círculos para dos barrenos se intersectarán, para definir dos o cuatro posibles orientaciones para la normal al conjunto de discontinuidades. Sin embargo, primero es necesario, invertir la rotación auxiliar descrita anteriormente, antes de tratar de leer las posibles orientaciones del conjunto de discontinuidades. Los datos de un tercer barreno se pueden aprovechar, como se describió en la sección anterior para decidir cual de las posibles orientaciones es la correcta.

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Figura 5.5 Análisis de datos a partir de barrenos no paralelos usando el método del pequeño círculo completo (Ejemplo5.2)

La figura 5.6 ilustra el método del pequeño círculo medio usando los datos del ejemplo 5.2. Primero se hace una rotación auxiliar, con el objeto de hacer un par de los 3 barrenos BH1, BH2 y BH3 temporalmente horizontales. En este caso, se escogieron los barrenos 2 y 3, requiriéndose una rotación de 44° sobre el eje horizontal de orientación 105°. Esto da los puntos BH'2 y BH'3 sobre el perímetro de la proyección; los puntos BH"2 y BH"3 se marcan diametralmente opuestos a los puntos BH' 2 y BH'3 respectivamente. Los puntos BH'2 y BH"2 ahora se pueden colocar en el diámetro norte-sur de la red de modo que el pequeño círculo correspondiente al ángulo cónico de 43° pueda trazarse en dos mitades. Este proceso se repite para un ángulo cónico de 67° medido desde BH'3 Y BH''3. Los pequeños círculos para los barrenos 2 y 3 se intersectan en 4 puntos: de N'1 a N'4. Las orientaciones reales de éstos puntos se encuentran invirtiendo la rotación auxiliar de 44°, sobre el eje de 105°, para dar los puntos de N1 a N4. Estos 4 puntos forman ángulos agudos de 59°, 24°, 76° y 79° con BH1. Esto demuestra que N1, es la orientación correcta de la normal a la discontinuidad, dando, como antes, la dirección de echado/echado como 262/75.

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Figura 5.6 Análisis de datos a partir de barrenos no paralelos usando el método del pequeño círculo medio (Ejemplo 5.2)

5.4 El uso de planos de referencia Los métodos descritos para el análisis de datos en secciones previas dependen de la información proveniente de 2 o más barrenos. En muchas investigaciones de campo los barrenos deliberadamente se espacían ampliamente, con el fin de asegurar una muestra representativa de los diversos tipos de rocas. En tales casos, un conjunto de discontinuidades puede cambiar su orientación, o aún, desaparecer completamente, entre un barreno y el siguiente. Esto hará que los diversos métodos de análisis para barrenos, descritos anteriormente resulten inaplicables. La orientación real de una discontinuidad se puede determinar con un solo barreno, con tal de que se disponga de información adicional, que permita establecer la orientación real del núcleo. En ausencia de dispositivos para conocer la orientación del núcleo, se puede obtener dicha información adicional de planos de referencia presentes en el núcleo del barreno. Cualquier sistema de rasgos planares persistentes y reconocibles cuya orientación se conoce y es uniforme a

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través de la masa rocosa, se pueden usar como planos de referencia, siempre y cuando se pueda establecer la orientación real a partir de medidas en un barreno o en un frente rocoso. La estratificación y hendiduras pueden proporcionar excelentes planos de referencia en masas rocosas que no han sufrido plegamiento posterior. Una introducción para el empleo de los planos de referencia consiste en tomar físicamente un tramo de núcleo, alinearlo en forma correcta, paralelo al eje del barreno, y luego girarlo hasta que el plano de referencia se sitúe en su orientación real. El núcleo quedará orientado como si estuviera en la masa rocosa antes de perforar el barreno. La orientación de las diversas discontinuidades que intersectan el núcleo pueden, por consiguiente, medirse directamente utilizando un clinómetro adecuado. Este método resulta impráctico, si el tramo de núcleo es demasiado frágil debido a la presencia de discontinuidades y zonas de debilidad, o bien, si los planos de referencia están demasiado espaciados. El método alternativo, descrito abajo, se basa en medidas tomadas desde el núcleo cuando está dentro de la caja donde se guardan para su cuidado. Esto tiene la ventaja de reducir la a1teración del núcleo durante el procedimiento de registro. Los datos obtenidos del núcleo son procesados usando métodos de proyección hemisférica. Antes de proceder con la descripción de los métodos, es necesario considerar las bases geométricas para el análisis. La figura 5.7 muestra las formas elípticas generadas cuando un tramo de núcleo es intersectado por rasgos planares, cuyas normales no son paralelas al eje del barreno. El eje menor de cada elipse generada por un rasgo planar dado es siempre un diámetro del barreno, y por consiguiente es normal al eje del barreno. Este eje menor es también, por definición, normal al eje mayor de la elipse. Ambos ejes, el mayor y el menor de la elipse, son paralelos a los rasgos planares dados y por lo tanto forman un ángulo de 90° con la normal al plano. Se deduce, por lo tanto, que el eje el barreno, el eje mayor de la elipse y la normal al rasgo planar dado son coplanares debido a que cada uno es normal al eje menor de la elipse. El semi-eje mayor más distante del collarín del barreno será usado como una línea de referencia importante en el análisis que se describe más adelante. Esta línea se designará Mr para el plano de referencia y como Md para una discontinuidad plana de orientación desconocida. El ángulo, medido en un plano normal al eje del barreno, de Mr a Md, medido en el sentido de las manecillas del reloj mirando en el sentido de la perforación (de arriba hacia abajo) es θ. En la práctica, es fácil identificar donde intersecta Mr a la superficie del núcleo y transferir su posición angular a lo largo del tramo del núcleo, dibujando una línea paralela al eje del barreno. Los puntos análogos para los semiejes Mdl, Md2,… producidos por intersecciones con discontinuidades de orientación desconocida pueden ser identificados en forma similar y marcados en la superficie del núcleo. Cada ángulo θ, se puede determinar midiendo la distancia física l sobre el perímetro del núcleo desde Mr hasta Md. El ángulo θ en grados, está dado por:

θ = 360 l / π D Donde D, es el diámetro del núcleo. Los diversos ángulos δ1, δ2,… entre la normal a cada plano de discontinuidad y el eje del barreno se pueden medir aplicando el método descrito anteriormente y mostrado en la figura 5.1. Los datos de entrada restantes requeridos son la orientación y echado del barreno, αb y βb, así como la dirección del echado y echado del plano de referencia, αdr y βdr. Se supone que estas orientaciones son conocidas.

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Figura 5.7 Bases geométricas para el uso de planos de referencia en el análisis de datos de barrenos

El primer paso en el análisis consiste en trazar sobre una proyección hemisférica inferior el punto BH, que representa el eje del barreno de orientación/echado (αb/βb). El gran círculo y la normal, Nr, del plano de referencia de dirección del echado/echado (αdr/βdr) conocidos, también se trazan. El punto Mr, que representa el eje mayor de la intersección elíptica entre el núcleo del barreno y el plano de referencia, se coloca en el gran círculo del plano de referencia en un punto ubicado en el mismo plano que (ejemplo sobre el gran círculo conteniendo a) BH y Nr. El punto Mr puede ahora dibujarse. El análisis subsecuente se realiza mejor haciendo temporalmente vertical el barreno. Esta rotación auxiliar se logra colocando BH en el diámetro este-oeste de la red y entonces girándolo un ángulo de 90°-βb a lo largo de este diámetro directamente al centro de la proyección. (En casos raros donde el barreno ha sido proyectado hacia arriba, esta rotación al centro se lleva a cabo por el perímetro de la red a través del ángulo exterior 90° +βb). El punto Mr es girado en la misma dirección, sobre el mismo eje y en igual cantidad que BH, obteniéndose el punto M'r. El perímetro de la proyección representa ahora el plano normal al eje del barreno en el cual se midió el ángulo θ. Por consiguiente, el ángulo θ se puede medir en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del perímetro de la red, a partir del radio que contiene M'r para definir el radio que contiene M'd, el semieje mayor de la discontinuidad de orientación desconocida. El punto M'd se dibuja con un ángulo δ medido a lo largo de este radio, desde el perímetro de la red, como si fuera un ángulo de echado. La normal a la discontinuidad N'd, se dibuja con un ángulo de 90° desde M'd medido en el plano que contiene el eje del barreno y M'd.

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Este plano está representado por un diámetro de la red, ya que el eje del barreno está en el centro de la proyección. Ahora se puede obtener la orientación real de la discontinuidad invirtiendo la rotación auxiliar, descrita arriba, del punto N'd para dar Nd, la normal al plano de discontinuidad. Es posible analizar algunas discontinuidades en un sólo diagrama ya que todas ellas serán relacionadas al mismo plano de referencia y, por lo tanto, sufren la misma rotación auxiliar. Ejemplo 5.3 (Figura 5.8) Un tramo de núcleo de un barreno, con una orientación/echado de (153/69), es intersectado por un plano de referencia de dirección del echado/echado 247/41. Las medidas angulares tomadas de la elipse generada por la intersección de una discontinuidad plana con el núcleo dió los siguientes valores: θ = 86°, δ= 32°. Encuentre la orientación del plano de discontinuidad. El primer paso consiste en dibujar los datos disponibles: el eje del barreno BH, la normal al plano de referencia Nr y su gran círculo. El gran círculo que contiene Nr y BH se traza y su intersección con el gran círculo del plano de referencia se marca. Esta intersección, designada Mr en la figura 5.9, representa el eje mayor de la intersección elíptica entre el núcleo del barreno y el plano de referencia. La rotación auxiliar se logra colocando BH en el diámetro este-oeste y luego se mueve al centro de la red con un ángulo de 21°. El punto Mr, el cual se gira sobre el mismo eje que BH, se mueve 2l° a lo largo de un pequeño circulo al punto M'r. El ángulo θ, de 86°, se mide en el sentido de las manecillas del reloj desde el radio que contiene M’r para definir el radio que contiene M'd. Este último punto representa el eje mayor de la elipse para el plano de discontinuidad. El punto M'd se traza con un ángulo δ=32° desde el perímetro de la red, medido de la misma manera que un ángulo de echado. La normal al plano de discontinuidad, N'd, se dibuja a 90° desde M'd medido a través de un diámetro de la red. En esta etapa, no hay necesidad de dibujar el punto M'd, debido a que N'd se puede dibujar directamente, a un ángulo de 32° del eje del barreno (situado en el centro de la proyección), medido hacia afuera a partir de M'd a lo largo del diámetro de la red que contiene M'd. Finalmente el punto N'd se recupera mediante una rotación auxiliar de 21° para definir Nd, la normal del plano de discontinuidad. Esto da la dirección del echado/echado del plano como 319/52. 5.5 Análisis del núcleo orientado El método descrito anteriormente se puede usar, con pequeñas modificaciones, para procesar los datos obtenidos del núcleo una vez que ha sido orientado mediante algún dispositivo mecánico o eléctrico bajo el barreno. La forma más conveniente de aprovechar la información obtenida del dispositivo es marcar una línea de referencia, paralela al eje del barreno, a lo largo de la superficie del núcleo. La posición circunferencial de ésta marca de referencia se define por la orientación de una línea imaginaria arbitraria, Lr, construida en el plano normal al eje del barreno desde el centro del núcleo hasta la marca de referencia. En un barreno vertical, Lr correspondería a la dirección norte, en cuyo caso la marca de referencia nos daría el azimut norte en el perímetro del núcleo. En un barreno inclinado, Lr comúnmente sería la línea de máxima inclinación del plano normal al eje del barreno. En éste caso la marca de referencia representaría el "punto del fondo" del núcleo, en otras palabras la línea que trazaría una pelota que cayera libremente hacia el fondo del barreno.

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Figura 5.8 Uso de un plano de referencia en el análisis de datos de barrenos (Ejemplo 5.3)

Durante el análisis de los datos, la línea Lr puede usarse exactamente de igual modo que la línea Mr mencionada al principio. En particular, el ángulo θ se puede medir, desde la marca de referencia, definida por Lr, a Md como se ilustra en la figura 5.7. El método de análisis, que es básicamente el mismo ya descrito, se explica mejor mediante un simple ejemplo. Ejemplo 5.4 (Figura 5.9) Una muestra de un núcleo de un barreno, de orientación/echado de 293/55, tiene una marca de referencia construida en un "punto del fondo” del núcleo. Las medidas angulares tomadas de la elipse generada por la intersección de una discontinuidad plana con el núcleo arrojaron los siguientes valores: θ = 237°; δ = 49°. Encontrar la orientación del plano de discontinuidad. Como antes, primero se dibuja el eje del barreno, BH, y la línea de máxima inclinación, Lr, del plano normal al eje del barreno. La rotación auxiliar de 35° lleva a BH al centro de la proyección, mientras que el punto Lr se mueve a L'r sobre el perímetro de la proyección. El ángulo θ de 237°

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se mide en la dirección de las manecillas del reloj desde L'r para definir el radio que contiene M'd. De nuevo, M'd se dibuja con el mismo valor de δ (en este caso de 49°) desde el perímetro de la proyección y la normal al plano de discontinuidad, N'd, se traza a 90° desde M'd. Finalmente, N'd se recupera mediante una rotación auxiliar de 35° al punto Nd, el cual da la dirección del echado/echado como 027/40.

Figura 5.9 Uso de una marca de referencia en el análisis de datos de barrenos (Ejemplo 5.4)

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6. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS DE ORIENTACIÓN 6.1 Introducción La orientación de las discontinuidades en una masa rocosa se puede determinar usando los métodos explicados en los barrenos del capítulo 5 o, de manera alterna, puede medirse en un frente rocoso expuesto ya sea sobre o bajo el terreno. Generalmente lo más deseable es tomar varios cientos de medidas de orientación en cierto lugar, lo que permite el empleo del análisis estadístico. En vista de esto, es importante que el proceso del muestreo sea lo mas objetivo posible. Para un tramo de núcleo esto se puede lograr midiendo todas las discontinuidades que intersectan al núcleo. En un frente rocoso es una práctica común imponer un régimen de muestreo lineal similar, midiendo todas las discontinuidades que intersectan una línea de muestreo o línea de exploración sobre el frente rocoso. Esta línea de exploración, es comúnmente un patrón de medida fijo vertical u horizontalmente sobre el frente rocoso. Los datos de orientación de las discontinuidades, obtenidas ya sea en un barreno o en un frente rocoso, se pueden representar gráficamente en una proyección hemisférica. La manera más simple de hacer esto es trazar puntos que representen las normales a cada uno de los planos de discontinuidad medidos. Igualmente, se pueden usar símbolos de diferentes formas para representar los diversos tipos de discontinuidades (juntas, planos de estratificación, fallas, etc.) y emplear diferentes tamaños de símbolos para representar el rango de tamaño de las discontinuidades. La figura 6.1 muestra un ejemplo de una gráfica dibujada como ya se indicó. Diagramas de este tipo tienen un gran impacto visual y son de gran ayuda cuando se trata de conocer la estructura de una masa rocosa discontinua. En particular, permiten identificar grupos de discontinuidades subparalelas, o “familias”, que pueden tener gran influencia en el comportamiento de la masa rocosa. La orientación promedio o alguna otra orientación representativa, para cada familia de discontinuidades pueden usarse en análisis subsecuentes de estabilidad. Es conveniente notar que si las líneas de máxima inclinación de los planos de discontinuidad son trazadas además de sus normales, la línea promedio de máxima inclinación no será, en general, equivalente a la promedio normal. En la mayoría de los casos, es preferible trazar solamente las normales a la discontinuidad. Antes de interpretar las gráficas de la proyección hemisférica de los datos de orientación de las discontinuidades, es importante reconocer que cualquier régimen de muestreo lineal desviará el muestreo obtenido. Lo más importante de estas desviaciones es lo siguiente:

(a) La línea de muestreo tenderá a intersectar preferentemente las discontinuidades más grandes o más persistentes.

(b) La línea de muestreo tenderá a intersectar preferentemente aquellas discontinuidades cuyas normales forman un pequeño ángulo con la línea de muestreo.

Se podría argumentar que la primera desviación anotada arriba, proporciona un énfasis válido de las discontinuidades más grandes y por lo tanto más importantes desde el punto de vista estructural. La naturaleza de esta desviación ha sido explicada por Priest y Hudson (1981), quienes también sugieren la manera de cuantificar el desvío y tomarlo en cuenta en caso necesario. El segundo desvío, discutido por Terzaghi (1965) y también por Hudson y Priest (1983), tiene una influencia importante en los datos de orientación obtenidos a partir de una exploración lineal.

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Figura 6.1 Ejemplo de un trazo hemisférico inferior de discontinuidades normales

6.2 Desviaciones del muestreo impuestas por una exploración lineal Consideramos una sola familia de discontinuidades planas paralelas de dirección del echado/echado (αd/βd). Se supone que la frecuencia de las discontinuidades de éste sistema, intersectadas por una línea de muestreo que es normal al sistema, es λ por unidad de longitud. Una línea de muestreo de alguna orientación/echado (αs/βs) encontrará una frecuencia de discontinuidad λs que es menor o igual a λ. La figura 6.2 representa un diagrama de esta familia de discontinuidades, construido en un plano que contiene la normal a la familia así como la línea de muestreo de orientación general. El ángulo agudo entre la línea de muestreo y el sistema normal es δ. Una línea, de longitud l, paralela a la familia normal, puede, para valores grandes de l, intersectar un número de N discontinuidades dadas por:

N = λ l Una línea general de muestreo, con un ángulo δ con la familia normal, tendría una longitud l/cosδ, con el fin de intersectar las mismas discontinuidades N. Por lo tanto, la frecuencia observada a lo largo de la línea de muestreo está dada por:

lN

sδcosλ =

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pero λ = N / l

por lo tanto λs = λ cosδ (6.1)

Esto demuestra que el número de discontinuidades de una familia dada, intersectada por una línea de muestreo, que forma un ángulo agudo δ con la familia normal, disminuye al aumentar el valor de δ y se aproxima a 0 cuando δ se aproxima a 90°. Por lo que los datos de orientación del muestreo lineal podrían desviarse severamente.

Figura 6.2 Familia de discontinuidades intersectadas por una línea de muestreo de orientación general

Ahora es posible considerar el caso general donde hay m familias, cada una conteniendo discontinuidades planas paralelas. La orientación y echado de la línea de máxima inclinación de la i-ésima familia son αdi/βdi, la frecuencia a lo largo de la normal a esta i-ésima familia es λi y el ángulo agudo entre la normal de la i-ésima familia y la línea de muestreo es δi, donde i = 1, 2, 3 ,..., m. Aplicando la ecuación 6.1, la frecuencia λsi de la i-ésima familia, medida a lo largo de la línea de muestreo, está dada por:

λsi = λi cosδi (6.2) La frecuencia total λs, a lo largo de la línea de muestreo está dada por la suma de las componentes de la frecuencia λsi como sigue:

∑=

=m

isis

1λλ

El tamaño total del muestreo, Ns, obtenido de una línea de muestreo de longitud ls, esta dado por λsls. El número Nsi de discontinuidades de la i-ésima familia en este muestreo está dado por λsils y, por consiguiente, de acuerdo con la ecuación 6.2 depende en parte del valor de λi y del ángulo δi. Aunque es apropiado que el tamaño de la muestra para esta i-ésima familia reflejaría la frecuencia normal para el sistema, no es razonable que también dependiera del ángulo arbitrario

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δi. Terzaghi (1965) sugirió que ésta dependencia podría conducir a errores al interpretar los resultados de exploración de discontinuidades. En el caso teórico donde todas las discontinuidades dentro de una familia dada sean paralelas, ésta dependencia se puede eliminar dividiendo Nsi por cosδi a fin de obtener un tamaño medio de muestra Ni como sigue:

Ni = Nsi / cosδi = λsils (6.3) En la práctica, las discontinuidades nunca están orientadas en familias perfectamente paralelas, por lo que es necesario tratar cada discontinuidad por separado. Con el fin de aplicar el análisis descrito, es conveniente, considerar cada discontinuidad por separado como miembro de una familia diferente. El número de familias será, por lo tanto, el mismo que el número de discontinuidades muestreadas y el tamaño del muestreo, Nsi para cada familia, será igual a la unidad. Usando la ecuación 6.3, el tamaño medio de la muestra, para la i-ésima discontinuidad, está dado por 1/cosδi. Cuando se aplica a una sola discontinuidad, el tamaño medio de la muestra será referido como un "factor medio" w, el cual, acompañado con el subíndice i, se define como sigue:

w = 1/cosδ donde δ es el ángulo agudo entre la normal a una discontinuidad dada y la línea de muestreo. El factor w puede ser calculado analíticamente como sigue, aplicando la ecuación 6.1,

snsnsn

wββββαα sensencoscos)(cos

1+−

= (6.4)

donde αs y βs son la orientación y echado de la línea de muestreo y αn y βn son la orientación y echado de la normal al plano de discontinuidad, lo cual puede encontrase a partir de la orientación y echado de la línea de máxima inclinación del plano, como se explicó en el Capítulo 1. El signo del “valor absoluto” se usa para evitar la generación de valores negativos de w. Alternativamente, el ángulo δ se puede medir directamente en la proyección hemisférica en la forma usual. De hecho conviene construir varios lugares geométricos con incrementos angulares adecuados de la línea de muestreo, aplicando los métodos de construcción explicados en la sección 5.2, y para aplicar un factor medio constante para todos los puntos dato en un incremento dado. Cualquiera que sea el método usado para calcular w, es necesario anotar cada una de las normales a la discontinuidad, para indicar su factor medio, en la proyección hemisférica inferior. La interpretación del diagrama resultante debe ser compatible respecto a los factores medios resultantes. Hay, sin embargo, dos complicaciones, analizadas más adelante, asociadas con esta alternativa. Si la línea de muestreo llegara a intersectar una sola discontinuidad cuya normal forma un ángulo de casi 90° con la línea, entonces el factor medio resultaría muy grande. Este gran factor podría producir una concentración totalmente falsa de discontinuidades normales en la proyección y a su vez daría lugar a una interpretación errónea del arreglo de la discontinuidad. Se requeriría entonces líneas adicionales de muestreo, normales a las primeras, para verificar si en realidad había concentración de discontinuidades normales a la orientación analizada. Una posterior y más seria complicación, que aparecería del uso de factores medios es que cada uno de los puntos dato en la proyección hemisférica estarán asociados con una variación del factor medio, en teoría, de 1 a más de 50 cuando δ = 89°. Por consiguiente, aunque los datos han sido corregidos para eliminar la desviación del muestreo, el impacto visual de la matriz resultante de los números será deficiente.

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El resto de este capítulo será dedicado a explicar los 3 métodos siguientes de atacar el problema:

(a) Reducir al mínimo la desviación durante el proceso de muestreo. (b) Procesar los datos posteriores, mediante contornos. (c) Procesar los datos analíticamente sobre una base estadística.

La forma más fácil de minimizar la desviación mientras se muestrea es estableciendo cuando menos 3 líneas de muestreo ortogonales entre sí, de aproximadamente la misma longitud, en un lugar dado. Cualquier discontinuidad que tienda a ser ignorada por una línea de muestreo, en virtud de tener un ángulo grande δ, tenderá a ser muestreada preferentemente por una o ambas de las otras líneas de muestreo. Esta tendencia de la desviación del muestreo a cancelarse, quiere decir que los datos agregados para las líneas de muestreo proporcionarán una representación razonable del origen de la discontinuidad. Sin embargo, en teoría, la desviación del muestreo, no es completamente eliminada. Consideremos, por ejemplo, 3 líneas de estudio a, b y c ortogonales entre sí, cada una de 10 m de largo, las cuales intersectan un sistema persistente de discontinuidades planas y paralelas cuya frecuencia a lo largo del sistema normal es 8.4 m-1. Sean δa,δb y δc respectivamente los ángulos agudos entre el sistema normal y las líneas de muestreo a, b y c. Si δa=0 y δb=δc=90°, entonces, aplicando la ecuación 6.2, aproximadamente 84 discontinuidades de éste sistema estarían presentes en el agregado de la muestra de las 3 líneas de estudio. En el otro extremo, si δa=δb=δc=arc cos(1/√3)=54.74°, de nuevo, aplicando la ecuación 6.2, aproximadamente 145 discontinuidades de este sistema estarían presentes en el agregado de la muestra. Esta desviación residual, aunque todavía significativa, es considerablemente menor que la asociada con una sola línea de estudio. El empleo de líneas de estudio ortogonales tiene un atractivo adicional, en el sentido de que no hay necesidad de aplicar ningún factor medio; los datos de orientación se pueden dibujar simplemente como se muestra en la figura 6.1 e interpretarse sin procesamiento posterior. Desde un punto de vista práctico geológico, cualquier orientación (u orientaciones) preferentes en el arreglo de la discontinuidad, deberán ser evidentes como grupos de normales en dicho diagrama. Desde luego, el empleo de un procesamiento posterior y contorneo de curvas de nivel, a menudo tiene efecto negativo oscureciendo los datos originales y generando concentraciones erróneas. En opinión del autor, las curvas de nivel solamente se pueden justificar en casos en que la aplicación de factores medios haya generado una matriz de números en la proyección hemisférica, que inevitablemente tiene poco impacto visual. 6.3 Método para configurar curvas de nivel Para realizar el plano de contornos de los datos de orientación, es necesario desarrollar un proceso de 3 etapas:

1) Cada normal de la discontinuidad se dibuja, en conjunto con su factor medio asociado, en una proyección hemisférica inferior.

2) Se coloca sobre los datos, una ventana de muestreo, para generar una matriz de valores medios variables, representando la variación en la concentración de las normales de las discontinuidades sobre la proyección.

3) Los valores medios variables se contornean en cierto intervalo apropiado. Donde hay una gran cantidad de puntos, el proceso puede ser muy laborioso y tardado, es mejor realizarlo en una computadora que tenga capacidad para graficar. Sin embargo, las curvas de

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nivel se pueden trazar manualmente si se desea. El siguiente método, es probablemente el más simple de los que hay disponibles. La primera etapa incluye el trazo de las discontinuidades normales, así como los factores medios asociados para la línea de muestreo apropiada, sobre la proyección hemisférica inferior. Aunque, en teoría, debería usarse una proyección de áreas iguales, ya que ello minimiza los efectos de distorsión de área, en la práctica hay poco que escoger entre los resultados obtenidos de ésta y una proyección de ángulos iguales (Hoek Brown, 1980). No existe claramente propósito alguno en usar tamaños y formas diferentes de símbolos, como se muestra en la figura 6.1 para representar diferentes tamaños y tipos de discontinuidades ya que los datos originales serán reemplazados por el diagrama de contornos. Para una cierta línea de muestreo, el tamaño medio de la muestra es simplemente la suma de todos los factores medios separados w, calculados mediante la ecuación 6.4, para cada una de las discontinuidades intersectadas por la línea de muestreo. Si los datos de algunas líneas de muestreo se dibujan en el mismo diagrama, el tamaño medio total de la muestra es la suma de los valores separados w para cada línea de muestreo. Un promedio variable se obtiene encontrando aquella submuestra media total que aparece dentro de una pequeña ventana, colocada sobre los puntos en la proyección. Es conveniente diseñar una ventana, de modo que su área sea el 1 % del área de proyección. Si se usa una ventana circular por consiguiente, debe tener un radio a, de un décimo del radio de la proyección. El uso de una ventana de tamaño constante impone una ligera distorsión. Por ejemplo, si se ha usado una proyección de ángulos iguales, una ventana circular de 1 % localizada en el centro de la proyección da un ángulo sólido aproximado de 23°; y cerca del perímetro, el ángulo es de aproximadamente 12°. Los ángulos correspondientes para una proyección de áreas iguales son aproximadamente de 16° y 22°, respectivamente. Esto demuestra que la distorsión disminuye, pero no es totalmente eliminada cuando se usa una ventana circular en una proyección de áreas iguales. Idealmente, para eliminar esta distorsión, es necesario cambiar el área (o, en una proyección de áreas iguales, la forma) de la ventana en función de su distancia desde el centro de la proyección. En la práctica, éste refinamiento raramente se justifica, ya que los contornos elaborados en computadora se pueden usar cuando se requiere un resultado preciso. El siguiente método considera el empleo de una ventana circular de conteo; éste circulo contador puede dibujarse ya sea en papel dibujo o bien, cortado de una hoja de acetato. Antes de empezar con el proceso de conteo, se requiere construir una rejilla cuadrada, con un espaciamiento lineal a para disponer de puntos de referencia para el círculo de conteo. Esta rejilla se dibuja en papel transparente y se fija en la parte superior de la proyección que contiene los puntos que se van a contornear. Finalmente, se traza en una hoja de papel transparente, que contenga el círculo de proyección y el punto que indica el norte, se coloca sobre la rejilla como se muestra en la figura 6.3a. El círculo de conteo se coloca con su centro en un punto de la intersección de la rejilla y se calcula el promedio total de la submuestra dentro del círculo. Si los factores promedio se han aplicado a los polos, esto incluirá sumar todos los valores medios separados para los polos que quedan dentro del círculo de conteo. Esta submuestra total se expresa como un porcentaje del tamaño de la muestra total y se registra en el punto de la rejilla en la cubierta. La figura 6.3b, muestra las posiciones de traslape, para el círculo de conteo cuando su centro se desplaza sucesivamente sobre cada punto de la rejilla cuadrada. Si el tamaño total de la muestra en la figura 6.3a es, digamos 275.63, entonces los porcentajes de valores promediados por el 1 % del área de la proyección, son los mostrados en la figura 6.3b. Estos valores de porcentaje deben marcarse cerca del punto de la rejilla, en el centro del círculo de conteo. Por supuesto, solo es necesario usar el contador en áreas donde haya al menos un polo. Cuando el círculo contador está cerca del borde de la red, cualquier parte del círculo que se prolongue más allá del perímetro debe reingresar en un punto diametralmente opuesto. Esto hace necesario

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operar el círculo contador en dos partes separadas; esto se logra cortando dos círculos en una hoja de acetato, con sus centros separados por un diámetro, como se muestra en la figura 6.3a. Comúnmente resulta útil registrar el valor resultante del porcentaje en ambos círculos, cuando se opera en el perímetro de la red de esta forma.

Figura 6.3 Configuración de datos de orientación promediados usando una ventana circular de 1% de área

Cuando el proceso de conteo esta completo, la cubierta, que contiene la matriz de los porcentajes, se puede remover y configurar. Un intervalo de contornos del 1 %, comúnmente es satisfactorio

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para la mayoría de los propósitos, aunque se puede requerir un intervalo del 2 %, donde hay un agrupamiento significante de las normales. El proceso de configurar más bien es una cuestión de juicio personal y habilidad. Es importante recordar, sin embargo, que si un contorno dado cruza el perímetro de la proyección, debe reingresar a la proyección en un punto diametralmente opuesto. Finalmente, las zonas entre contornos, pueden sombrearse para hacer resaltar las diferentes concentraciones, como se muestra en la figura 6.4. Se anotó al principio que la corrección de la desviación del muestreo puede producir grandes anomalías de los factores medios cuando el ángulo δ se aproxima a 90º. Esto, a su vez, puede conducir a altas concentraciones en el diagrama de contornos resultante. Tales concentraciones se deben tratar con precaución, a menos que se puedan verificar mediante líneas de muestreo adicionales. En muchas aplicaciones de la mecánica de rocas, es necesario identificar grupos de discontinuidades, que representan familias de discontinuidades subparalelas. Estas familias comúnmente se le aplicará el valor representativo de una sola orientación. Para fines prácticos esta orientación representativa puede evaluarse visualmente como el “centro de gravedad” de un conjunto de normales, o bien, como la "concentración mas alta" de un área, en un diagrama de curvas de nivel. Esta alternativa, sin embargo, no permite medir el grado según de como las normales están agrupadas. Además, puede ser difícil evaluar la orientación representativa de un conjunto, que no es simétrico o está ampliamente distribuido sobre la proyección. En tales casos, se requiere de una aproximación estadística más rigurosa.

Figura 6.4 Configuración de una proyección hemisférica inferior

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6.4 Análisis de agrupamiento de los puntos normales de las discontinuidades Existen varios métodos estadísticos diferentes, que pueden aplicarse al análisis de la orientación de discontinuidades en tres dimensiones. El más importante de éstos fue explicado por Krumbein y Graybill (1965), Koch y Link (1971) y Ti (1974). Algunos de estos métodos se basan en modelos estadísticos altamente sofisticados, a fin de discriminar los grupos de discontinuidades normales que se traslapan, para determinar orientaciones representativas y obtener una medida del grado de agrupamiento dentro de cada familia. Estas aproximaciones estadísticas están más allá del objeto de este trabajo y, como se describen en otras obras, no se consideran posteriormente. Existe, sin embargo, una referencia descrita más adelante, muy simple y que se adapta bien a problemas de la mecánica de rocas. Una muestra de una discontinuidad típica, puede contener varios cientos de valores de orientación, obtenidos en varias líneas de muestreo de datos en diferentes orientaciones. El primer paso en el análisis consiste en trazar cada discontinuidad normal como un solo punto en una proyección hemisférica inferior. En vista de que el análisis subsecuente se realiza mejor por computación, es conveniente dibujar éstos datos de orientación, usando gráficas construidas por computadora, en lugar de hacerlas a mano. La teoría básica para graficar por computadora se explica más adelante. Los datos origen, dando la orientación de una discontinuidad dada, comúnmente se expresaran en términos de la orientación αd y el echado βd de su línea de máxima inclinación. La orientación αn y el echado βn de la normal a esta discontinuidad están dadas por:

αn = αd ±180° 0° < αn < 360° (6.5) βn = 90° - βd (6.6)

Es necesario asegurarse que αn se sitúe entre 0° y 360° solamente cuando los datos se van a dibujar a mano. La figura 6.5a muestra un área circular de proyección de radio R, relacionada a un sistema de coordenadas cartesianas x, y en el cual el sentido positivo de x es horizontal hacia el este (orientación 90°) y el sentido positivo y es horizontal hacia el norte (orientación 0°). Las coordenadas cartesianas x, y de la proyección de la normal a la discontinuidad, de orientación/echado αn/βn, están dadas en la tabla 6.1, para las proyecciones de ángulos iguales y áreas iguales.

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Figura 6.5 Sistema de coordenadas cartesianas

Tabla 6.1 Coordenadas cartesianas x, y de un punto en una proyección hemisférica inferior de

radio R. x y Proyección de ángulos iguales R sen αn tan (45 - βn/2) R cos αn tan (45 - βn/2) Proyección de áreas iguales R√2 sen αn cos (45 + βn/2) R√2 cos αn cos (45 + βn/2) Las expresiones en la tabla 6.1 se pueden usar como base para elaborar un simple programa de computación, que dibuje una proyección hemisférica inferior, de la muestra completa de los puntos normales a los planos de discontinuidad, ya sea que se procese por computadora o en forma manual, el diagrama resultante se usa para identificar las orientaciones de los límites aproximados de los diversos sistemas de discontinuidades. Si los datos de orientación están dispersos, las zonas cubiertas por sistemas adyacentes se pueden traslapar en cierto grado. Por ejemplo, el sistema 1 puede parecer que ocurra entre los valores aproximados de orientación de 210° < αn < 265°, mientras que el sistema 2, puede generalmente ocurrir entre 240°< αn < 315°. En algunos casos también será necesario especificar el rango de valores para un sistema dado. Alternativamente el juego geométrico de las orientaciones para un sistema dado, se puede definir como un ángulo cónico, medido a partir de un eje situado cerca de la orientación central de un

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cierto grupo de normales. El análisis que se describe abajo, se lleva a cabo solamente en aquellas discontinuidades que pertenecen a un sistema dado, como fue definido por los métodos anteriores. Si existe algún traslape entre un par de sistemas adyacentes, conviene analizarlos primero en forma separada y después juntos. La ecuación 6.4 muestra como el factor medio w puede calcularse para una discontinuidad, que es intersectada por una línea de muestreo de orientación/echado (αs/βs). Consideramos un grupo de N discontinuidades, que suponemos pertenecen al mismo sistema. Dejemos la normal a la j-ésima de estas discontinuidades tener una orientación αnj y echado βnj, y estar asociada con un factor medio wj calculado mediante la ecuación 6.4. El tamaño total de la muestra media, Nw, para el sistema, esta dado por:

)7.6(1

∑=

=N

jjw wN

Cada uno de los factores promedio wj serán mayores o iguales a 1.0; consecuentemente Nw comúnmente será mayor que N, con valores típicos para la relación Nw/N fluctuando entre 2 y 5. Este incremento en el tamaño efectivo de la muestra fue de poca consecuencia en la sección previa, debido a que los diagramas de contornos fueron presentados en términos de porcentajes. Sin embargo, cuando se estime la precisión de los datos, el tamaño de la muestra es de importancia crítica. En vista de esto, es necesario normalizar cada uno de los factores promedio wj, de modo que el tamaño total de la muestra promedio normalizada sea igual a N. Los factores promedio normalizados w’j están dados por: w'j = wj Nw/N (6.8) de manera que:

NwN

jj =∑

=1

'

La relación N/Nw es constante y por lo tanto no cambia los valores promedio relativos. Se requieren dos pasos a través de los datos de orientación para el sistema; el primero para evaluar Nw aplicando las ecuaciones 6.4 y 6.7, y el segundo para evaluar los factores medios normalizados w’j aplicando la ecuación 6.8. La j-ésima discontinuidad se puede representar por un vector de magnitud w’j , que sea paralelo a la discontinuidad normal. La figura 6.5b muestra un sistema de coordenadas cartesianas en el cual el valor positivo de x es horizontal hacia el este (orientación 90°), el valor positivo de y es horizontal hacia el norte (orientación 0°) y el valor positivo z es vertical hacia abajo (echado de 90°). El empleo no común de este sistema, es compatible con el sistema bidimensional de la figura 6.5a, garantizando que la proyección hemisférica inferior, existe en el lado positivo de Z del plano xy. Las componentes cartesianas x, y, y z del punto terminal del vector nj de magnitud w’j, el cual tiene su punto inicial en el origen y es paralelo a la j-ésima discontinuidad normal, están dadas por njx, njy y njz como sigue:

njx = w’j sen αnj cos βnj

njy = w’j cos αnj cos βnj (6.9)

njz = w’j sen βnj

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Se supone que la orientación representativa o normal media para este sistema, esta dada por la orientación de la resultante de los vectores nj donde j = 1 para N. Esta aproximación tiene la ventaja de añadir automáticamente mayor importancia a aquellas orientaciones que acarrean un factor medio mayor. Las componentes cartesianas x, y y z, de esta resultante, o vector rn, están dadas por rx, ry y rz como sigue:

∑=

=N

jjxx nr

1

)10.6(1

∑=

=N

jjyy nr

∑=

=N

jjzz nr

1

La magnitud de rn esta dada por Rw como sigue:

Rw = √(r²x + r²y + r²z) (6.11) La orientación αrn y echado βrn de rn son:

αrn = arctan (rx/ ry) + q (6.12) βrn = arctan [rz/√(r²x/ r²y)] (6.13)

El parámetro q es un ángulo, en grados, que asegura que αrn se sitúe en el cuadrante correcto y en el rango de 0° a 360°. Este parámetro es necesario debido a que la función arco tangente de la mayoría de las computadoras da un valor comprendido entre –90° y +90°. En la ecuación 6.12:

si rx > 0 y ry > 0 entonces q = 0

si rx < 0 y ry > 0 entonces q = 360°

para todos los demás signos de rx y ry, q = 180° Finalmente, debe tenerse cuidado de comprobar si los denominadores en las ecuaciones 6.12 y 6.13 son iguales a cero. Si esto ocurre en la ecuación 6.12 entonces αrn es 90° si rx > 0, y es 270° si rx < 0; un denominador cero en la ecuación 6.13 implica que βrn = 90°. Las ecuaciones 6.9 a 6.13 pueden emplearse para encontrar la orientación representativa de un grupo de discontinuidades, en términos de la orientación αrn y el echado βrn de la normal al plano representativo. La orientación de la línea de máxima inclinación de este plano, se puede encontrar a partir de αrn y βrn, aplicando las ecuaciones 6.5 y 6.6. Puede ser útil obtener alguna medida del grado de agrupamiento en un sistema dado. Este problema lo consideró indirectamente Fisher (1953), en un análisis estadístico generalizado de dispersión en una esfera. Su análisis no consideró el uso de factores medios para corregir la desviación del muestreo, y de aquí que implícitamente haya supuesto que todos los valores medios wj sean iguales a la unidad. En este caso, por consiguiente, cada vector nj es de magnitud unitario y el tamaño de la muestra media total Nw es igual a N. Por lo tanto, no se requiere

89

normalización. Fisher definió un factor K (constante de Fisher), el cual es una medida del agrupamiento que se estima a partir de N y Rw como sigue:

)14.6(1

wRNN

K−−

=

Si todas las discontinuidades en el sistema son casi paralelas, entonces Rw se aproxima a N y por lo tanto K se aproxima al infinito. Si las discontinuidades están orientadas al azar entonces Rw, y por lo tanto K, llegan a ser muy pequeños. Teóricamente, el valor mínimo de K es casi la unidad; en la práctica K rara vez es menor que 5. Con el objeto de corregir la desviación del muestreo, se hace necesario aplicar factores medios que sean diferentes a la unidad. En el resto del capítulo suponemos que los métodos de Fisher son aplicables para el análisis de datos medios si estos datos han sido normalizados, aplicando la ecuación 6.8, para asegurarse de que el tamaño total de la muestra media normalizada es igual a N. Los errores introducidos por este método de aproximación, son considerablemente menores que aquellos que se generarían ignorando la desviación del muestreo. Fisher supuso fundamentalmente que el conjunto de vectores (de los cuales nj son muestras) está disperso al azar con respecto a alguna orientación “real”. En el presente contexto esto equivale a la idea de que las normales a una discontinuidad están dispersas dentro de un sistema. Fisher también supuso que la probabilidad P(θ) de un vector seleccionado al azar (esto es sin desviación) del conjunto forma un ángulo sólido que varía de θ a θ+dθ con la orientación real dada por la siguiente expresión:

P(θ) = v eK cos θ dθ (6.15) donde v es un valor que incorpora los siguientes requerimientos: (a) El área de un anillo de ancho dθ en un ángulo θ de la orientación real es proporcional al senθ.

El valor de P(θ) debe, por consiguiente, ser también proporcional a senθ. (b) La suma de todos los valores posibles de P(θ) debe ser la unidad. Estos requerimientos conducen al siguiente resultado:

)16.6(KK eesenK

v−−

=θ

Cuando K es grande, la distribución en las ecuaciones 6.15 y 6.16 tiende a conformar una distribución Gaussiana isotrópica bidimensional, en la cual la variación es 1/K. Cuando el tamaño de la muestra N es grande (aprox. mayor que 30), es posible anotar aproximaciones bastante simples para las siguientes probabilidades: (a) P1(<θ), la probabilidad de que un vector seleccionado al azar del conjunto forme un ángulo

sólido menor que θ con la orientación real ; y (b) P2(<θ), la probabilidad de que el vector resultante rn forme un ángulo sólido menor que θ con

la orientación real,

90

donde: P1(<θ) ≈ 1 – e -K(1-cosθ) (6.17)

la cual cuando se invierte da:

[ ])18.6(

)(1log1cos 1

KPe θ

θ<−

+≈

y

P2(<θ) ≈ 1 – e -KRw(1-cosθ) (6.19) cuya inversa es:

[ ])20.6(

)(1log1cos 2

w

e

KRP θ

θ<−

+≈

Las ecuaciones 6.17 y 6.18, se pueden emplear para probar que tan bien se adapta el modelo de distribución a un grupo dado de valores de orientación. Para lograr esto primero es necesario suponer que el vector resultante rn es la mejor estimación de la orientación real desconocida. Entonces pueden construirse lugares geométricos cónicos a intervalos convenientes de ángulo cónico θ respecto a rn. El modelo predice que una proporción P1(<θ) de una muestra sin desviación, podría ocurrir dentro del lugar geométrico asociado con un ángulo cónico θ. Los valores actuales y teóricos se pueden dibujar en papel especial para obtener una evaluación visual de la conveniencia del modelo. Si se encuentra que el modelo de distribución concuerda razonablemente bien con los datos observados, entonces se puede aplicar las ecuaciones 6.18 y 6.20, para definir los rangos de la probable orientación de la discontinuidad en la proyección. Si el principal interés es conocer el rango probable de las orientaciones para discontinuidades individuales, entonces puede usarse la ecuación 6.18, asociada con P1(<θ). Si, por otra parte, resulta más importante definir el rango probable para la orientación media del sistema, entonces debe aplicarse la ecuación 6.20 asociada con P2(<θ). Por ejemplo, usando la ecuación 6.18, existe el 0.8 de probabilidad de que una discontinuidad normal seleccionada al azar del sistema, se ubicará dentro de un lugar geométrico, con centro en rn, que tenga un ángulo cónico dado por la relación arccos[1+loge(1-0.8)/K)]. Los lugares geométricos definidos de esta manera proporcionarían por ejemplo, una buena base para lograr un análisis de sensitividad sobre la estabilidad de bloques de roca individuales y rígidos. Alternativamente, aplicando la ecuación 6.20, hay por ejemplo un 0.95 de probabilidad de que la orientación media real para el sistema, se ubique dentro de un lugar geométrico con centro en rn, que tenga un ángulo cónico dado por arccos[1+loge(1-0.95)/KRw)]. La zona definida por la ecuación 6.20, comúnmente se denomina "zona de seguridad". En este caso hay 95% de seguridad de que la orientación media real se sitúe en el interior del lugar geométrico específico. Los lugares geométricos así definidos, proporcionan una buena base para evaluar la estructura de una masa rocosa dada y, en particular, para comparar los datos obtenidos de diferentes lugares. Ejemplo 6.1 (Tablas 6.2 y 6.3, Figuras 6.6 y 6.7) El siguiente ejemplo hipotético sirve para ilustrar el análisis de agrupamiento ya descrito. La tabla 6.2 es una lista de orientaciones de 162 discontinuidades obtenidas de las líneas de muestreo 1 y 2, de orientación (349/05) y (192/10) respectivamente. La figura 6.6 es un trazo

91

sobre una red de ángulos iguales hecha por computadora donde se muestran los puntos normales a las discontinuidades, junto con las orientaciones de las dos líneas de muestreo. La inspección visual de esta grafica permite la división de los datos en tres familias básicas, de acuerdo con los rangos de los puntos normales listados en la tabla 6.3. Una cuarta familia se obtuvo agregando las familias 2 y 3. Cada uno de estas familias se analizó para determinar la orientación de la normal media y la constante de Fisher, aplicando las ecuaciones presentadas al principio. Este análisis primero se realizó sin promediar la orientación de la línea de muestreo y se repitió para cada familia, ésta vez aplicando factores medios y de normalización. Este último análisis se indica por la letra "w" en la primera columna de la tabla 6.3. Los resultados en esta tabla muestran que la orientación de la normal media puede cambiar cuando los datos son promediados. Este efecto solo es importante, sin embargo, para las familias que están ampliamente dispersas y por consiguiente, tienen valores relativamente pequeños para la constante de Fisher.

Figura 6.6 Trazo en una red de ángulos iguales de discontinuidades normales (Ejemplo 6.1)

92

Tabla 6.2 Datos de orientación de varias discontinuidades (Ejemplo 6.1) a) Línea de muestreo 1, 349/05 b) Línea de muestreo 2, 192/10 Dirección del echado/echado Dirección del echado/echado

003/68 004/49 008/77 009/85 011/77 017/24 018/24 018/87 019/74 050/58 107/69 108/81 110/72 113/67 113/68 114/70 115/72 116/63 116/66 116/68 119/68 123/69 124/77 126/48 131/68 132/75 133/69 139/64 139/72 141/52 141/77 147/71 149/75 150/70 150/81 152/57 152/72 152/73 154/71 154/75

156/69 158/76 158/80 158/84 159/75 163/74 166/85 168/79 168/82 171/84 218/26 263/10 267/10 267/34 297/61 300/56 306/46 307/14 315/33 320/17 320/22 321/31 323/27 327/24 329/21 329/31 331/25 332/16 332/44 332/60 335/38 335/47 336/25 347/47 348/23 351/30 353/11 354/61 355/42 356/36

000/38 002/68 003/32 003/47 005/77 008/72 009/76 011/52 012/27 014/72 014/80 015/78 017/50 029/76 036/67 044/18 052/56 093/57 094/77 100/65 109/68 111/71 113/62 113/74 114/67 115/69 118/70 120/54 125/77 130/64 132/81 133/67 147/73 151/72 152/66 152/70 153/72 153/74 154/78 154/89 156/74

157/71 157/73 160/63 160/71 160/72 160/79 164/77 166/80 168/71 170/77 173/73 190/67 232/66 263/20 278/68 286/24 286/53 291/25 302/26 304/17 313/21 313/27 318/33 324/24 327/17 328/62 329/23 329/27 330/38 333/28 335/23 336/44 337/35 337/46 339/31 340/26 342/22 345/30 351/38 352/16 352/26

93

Tabla 6.3 Análisis estadístico de discontinuidades normales trazadas en la figura 6.6. Ejemplo 6.1

Rango de normales Normal media Familia o sistema

Orientación (grados)

Echado (grados)

Número de valores

Constante de Fisher

Orientación (grados)

Echado (grados)

1 1w 2 2w 3 3w 2 y 3 2w y 3w

030 – 260

260 – 325

315 – 030

260 – 030

0 – 90

0 – 90

0 – 90

0 – 90

86

36

44

76

7.42 7.47

36.18 49.68

49.47 50.50

13.56 14.43

165.2 113.8

299.3 293.6

337.0 336.6

320.5 304.9

55.0 57.0

22.2 22.7

16.6 17.0

19.8 22.2

Las figuras 6.7a y 6.7b, son ejemplos de gráficas de la proporción P(<θ) de discontinuidades normales que forman un ángulo sólido menor que θ con el vector resultante o normal media para una familia dada. La figura 6.7a, muestra la gráfica de P(<θ) contra θ para datos no promediados de la familia 1; la figura 6.7b muestra la gráfica para datos promediados de las familias 2 y 3 agregados. Cada figura también contiene la gráfica teórica de P(<θ), dada por P1(<θ) en la ecuación 6.17. Estas gráficas, derivadas de datos hipotéticos, se presentan con fines ilustrativos solamente, y no deberán tomarse para confirmar o desaprobar la validez del modelo de Fisher. Debido a que éste modelo se puede aplicar para algunas masas rocosas y no para otras, se aconseja construir gráficas como las de la figura 6.7 para evaluar la validez del modelo para un cierto grupo de valores.

Figura 6.7 Gráficas de la proporción P(<θ) de discontinuidades normales que forman un ángulo sólido menor a θ con la normal media (Ejemplo 6.1)

94

Si puede demostrarse que el modelo de Fisher es válido, entonces la ecuación 6.20 se puede usar para construir zonas de seguridad en la proyección. Por ejemplo, el 90 % y 95 % de las zonas de seguridad centradas en la normal media, para valores sin promediar del sistema 1 en el ejemplo anterior, tienen ángulos cónicos de 5.23° y 5.96°, respectivamente. Los ángulos correspondientes para valores promedios de este sistema son 5.21° y 5.94°. Si éstos fueran datos reales, la conclusión sería que hay un 95 % de certeza que la orientación real, para éste sistema se ubica dentro de 6° del valor medio aproximado calculado para ambos análisis, los promediados y los no promediados. Las normales medias para los datos promediados y no promediados para éste sistema están; sin embargo, separados por un ángulo de 28.1°. Esto demuestra como la desviación de la muestra puede conducir a una interpretación errónea de los datos de orientación. Finalmente, es importante reconocer que, en este método de análisis, la especificación del rango de normales para un sistema dado, se basa enteramente en una evaluación visual de un dibujo de normales de discontinuidad así como del criterio personal. Por ejemplo, la inclusión de los sistemas 2 y 3 en uno sólo, conduce a interpretaciones muy distintas de los datos dados. En general, es mejor evaluar algunas especificaciones diferentes para los rangos de normales y para añadir los sistemas básicos en diferentes formas antes de formular conclusiones respecto a la estructura de la roca.

95

7. ANÁLISIS DE FUERZAS 7.1 Introducción En los estudios de mecánica de rocas, en ocasiones es necesario considerar los efectos de fuerzas que actúan sobre un cuerpo dado. Una fuerza es una cantidad vectorial que tiene una orientación y magnitud. Por ejemplo, la orientación de una fuerza de magnitud F, se puede especificar en términos de la orientación α y echado β de la línea a lo largo de la cual actúa la fuerza. Los métodos de proyección hemisférica ofrecen una herramienta importante para la representación gráfica y el análisis de las propiedades de orientación de vectores. Sin embargo, es muy difícil representar y analizar magnitudes vectoriales en una proyección hemisférica. Consecuentemente para el análisis completo de cantidades vectoriales como fuerzas, los métodos de proyección hemisférica deben complementarse, mediante cálculos adicionales o construcciones gráficas. En muchos casos resulta mas sencillo representar cada vector por sus componentes cartesianas en tres dimensiones, y efectuar el análisis vectorial aplicando los métodos clásicos de álgebra vectorial. Entonces la proyección hemisférica se utiliza solamente para presentar los datos de entrada y salida en forma gráfica. Por ejemplo, es muy común en estudios de mecánica de rocas que el cuerpo bajo análisis sea un bloque rígido, cuya geometría esta definida por planos de discontinuidad de algunas orientaciones específicas. En tales casos resulta conveniente llevar a cabo un análisis geométrico preliminar cualquiera, aplicando los métodos de proyección hemisférica, pero para transferirlos o transformarlos a los métodos de álgebra vectorial para el análisis de las fuerzas asociadas. Todas las fuerzas involucradas se pueden dibujar en la proyección hemisférica para su análisis geométrico posterior en el caso que se requiera. Esta aproximación tiene la ventaja de visualizar fácilmente el estado físico real de un problema, poniendo énfasis en la relación que existe entre la geometría de la masa rocosa y las fuerzas asociadas. Algunos de los métodos de álgebra vectorial descritos en este capítulo, requieren de cálculos muy largos por lo que es preferible el empleo de computadoras. Sin embargo, en algunos casos, es posible reducir y simplificar estos cálculos mediante el empleo posterior de métodos de proyección hemisférica. Siempre que sea posible, las explicaciones sobre álgebra vectorial serán seguidas por una descripción de los métodos gráficos equivalentes, basados en técnicas de proyección hemisférica, que reducen al mínimo las computadoras, sacrificando un poco la precisión de los resultados. Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, se supone por simplicidad, que las fuerzas actúan sobre un punto común, el cual en la mayoría de los casos será el centro de masa (C.M.) del cuerpo. Esta simplificación elimina la necesidad de considerar rotación del cuerpo, así como las ecuaciones asociadas con momentos de equilibrio. 7.2 Representación de un vector fuerza Una fuerza, representada por un vector de cantidad u, se puede definir en términos de las tres componentes ux, uy y uz de su punto terminal, respecto a un sistema de ejes cartesianos x, y y z, los cuales se encuentran localizadas de tal forma, que el punto inicial del vector coincide con el origen del sistema de coordenadas. El sistema izquierdo de ejes mostrado en la figura 7.1 es el empleado en el capítulo 6, en el cual el sentido positivo de las x es horizontal hacia el este, la y positiva es horizontal al norte y la z es positiva verticalmente hacia abajo. Este sistema de coordenadas será el usado en este capítulo y también en varios ejemplos y ejercicios.

97

Figura 7.1 Vector en tres dimensiones

La magnitud de un vector se puede encontrar directamente a partir de sus tres componentes cartesianas; por ejemplo, la magnitud de u esta dada por:

|u| = √( u²x+ u²y+ u²z) (7.1) la cual, en este caso, da la magnitud de la fuerza. Si |u| es igual a 1.0, el vector se conoce como vector unitario y sus componentes cartesianas se conocen como cosenos directores. La orientación α y el echado β de una línea paralela a u están dadas por:

α = arctan (ux / uy) + q (7.2)

β = arctan [uz / √( u²x+ u²y)] (7.3) donde q es un ángulo, discutido en relación con las ecuaciones 6.12 y 6.13, que aseguran que α se sitúa en el cuadrante correcto fluctuando de 0° a 360°:

si ux ≥ 0 y uy ≥ 0 entonces q = 0 si ux < 0 y uy ≥ 0 entonces q = 360° para todos los demás signos de ux y uy, q = 180°

Como se mencionó antes, se debe tener cuidado cuando los denominadores en las ecuaciones 7.2 y 7.3 sean cero. Si las componentes cartesianas de un vector fuerza dado se conocen, entonces las ecuaciones 7.2 y 7.3 permiten calcular su orientación y echado, lo que permite dibujar el vector como un punto en una proyección hemisférica inferior. Hay dos dificultades menores para lograr esto. Primero, porque una proyección puede representar solamente datos de orientación en forma gráfica, es necesario anotar el punto con el objeto de indicar la magnitud de la fuerza cuya orientación representa. Segundo, si uz fuera negativo entonces β sería también negativo y entonces el punto tendría que dibujarse en una proyección hemisférica superior y no en la inferior. Este problema puede resolverse dibujando en dirección contraria aquellos vectores para los cuales la componente de z es negativa. Las componentes cartesianas de este vector invertido se obtienen simplemente multiplicando las componentes originales x, y y z por –1.0, antes de aplicar las ecuaciones 7.2 y 7.3. Esto garantiza que β siempre es positivo y que todos los vectores se pueden dibujar y analizar en una proyección hemisférica inferior. Tomando el vector inverso de esta

98

forma no cambia ni la magnitud ni la orientación de la línea de acción del vector fuerza original. Sin embargo, es necesario anotar en cada punto no solo la magnitud del vector que representa, sino también deberá señalarse si el vector original tenia sentido hacia abajo (z positiva) o bien sentido hacia arriba (z negativa). Este concepto del sentido de una fuerza tiene la ventaja de dar una relación lógica con los principios de acción y reacción, expresados por la 3ª. Ley de Newton. Ahora es posible escribir las formas inversas de las ecuaciones 7.2 y 7.3. Consideremos un vector de magnitud conocida |u| actuando a lo largo de una línea de orientación α y echado β. Las componentes cartesianas del vector u, con respecto al sistema de ejes definidos en la figura 7.1, están dadas por:

ux = S |u| sen α cos β uy = S |u| cos α cos β (7.4) uz = S |u| sen β

El sentido de la fuerza que esta representado por el parámetro S, el cual toma un valor de +1.0 si la fuerza tiene sentido hacia abajo y –1.0 si tiene sentido hacia arriba. Una fuerza horizontal tiene un sentido de +1.0 si actúa en dirección de la orientación especificada y valdrá –1.0 si actúa en la dirección opuesta. Por lo tanto, es posible hacer la conversión de la representación cartesiana usada en álgebra vectorial a coordenadas polares, en términos de orientación, echado, magnitud y sentido, requeridos para hacer la proyección hemisférica. Ejemplo 7.1 (Figura 7.2) Las componentes cartesianas x, y y z de los vectores fuerza u y v, con respecto a un sistema definido en la Figura 7.1, son respectivamente:

ux = 1.83 kNuy = –3.29 kNuz = 2.47 kN

vx = 4.25 kN vy = –1.78 kN vz = –6.53 kN

Dibuje estos vectores en una proyección hemisférica inferior. La componente cartesiana z de u es positiva; por lo tanto la fuerza esta dirigida hacia abajo. Los signos de ux y uy requieren que el parámetro q de la ecuación 7.2 sea igual a180°; por lo que u, usando las ecuaciones 7.1 a 7.3: |u| = 4.503 kN con sentido hacia abajo α = 150.9° β = 33.3° La componente cartesiana z de v es negativa; por lo tanto esta dirigida hacia arriba, y solo es posible dibujar el vector inverso cuyas componentes x, y y z son –4.25, 1.78 y 6.53 kN, respectivamente. Los signos de las componentes cartesianas x y y, de este vector inverso requieren que el parámetro q en la ecuación 7.2 sea igual a 360°; de donde para v: |v| = 7.992 kN con sentido hacia arriba α = 292.7° β = 54.8° Los dos vectores fuerza están trazados en la figura 7.2

99

Figura 7.2 Trazo hemisférico inferior de vectores fuerza (Ejemplo 7.1)

Ejemplo 7.2 Una fuerza de magnitud 6.34 kN actúa con sentido hacia arriba a lo largo de una línea de orientación de 215° y echado de 69°. Determinar las componentes cartesianas x, y y z de la fuerza, de acuerdo con el sistema de ejes de la figura 7.1. El parámetro S en las ecuaciones 7.4, es –1.0, debido a que la fuerza esta dirigida hacia arriba. Estas ecuaciones dan las componentes cartesianas x, y y z de la fuerza, que son: 1.303, 1.861 y –5.919 kN respectivamente. 7.3 Resultante de fuerzas La resultante de dos o más fuerzas puede encontrarse por el método de suma vectorial, el cual se explica brevemente mas adelante. Consideremos, por ejemplo, tres fuerzas, representadas por los vectores u, v y w, cuyas componentes cartesianas son ux, uy, uz, vx, vy, vz, wx, wy y wz, respectivamente, las cuales suponemos que actúan en el mismo punto. Los efectos combinados de las tres fuerzas se pueden representar por un sólo vector resultante hipotético r = u + v + w, cuyas componentes cartesianas rx, ry y rz, están dadas respectivamente por ux + vx + wx, uy + vy + wy y uz +

vz + wz. La resultante de cualquier número de vectores, que actúan en un punto, se encuentra sumando sus componentes cartesianas algebraicamente. Esta propiedad importante de los vectores se usó en el capítulo 6, para el análisis estadístico de los puntos normales a los planos de discontinuidad. En la ilustración de arriba, una cuarta fuerza de componentes cartesianas –rx, –ry y –rz sería necesaria para actuar en el punto dado, con el objeto de conservar el equilibrio estático con las fuerzas u, v, y w.

100

Ejemplo 7.3 (Figura 7.3) Las siguientes tres fuerzas actúan en un punto:

Fuerza Orientación (grados)

Echado (grados)

Magnitud (kN) Sentido

u v w

132 347 266

61 27 48

7.3 6.1 12.5

Hacia arribaHacia abajoHacia arriba

Encuentre la orientación, echado, magnitud y sentido de la fuerza resultante en el punto y dibújela en una proyección hemisférica inferior. Las componentes cartesianas x, y y z de las tres fuerzas están dadas por las ecuaciones 7.4; las componentes de la resultante r se encuentran haciendo la suma algebraica como sigue: Componentes Cartesianas (kN)

Fuerza x y z u v w r

–2.630 –1.223 8.344 4.491

2.368 5.296 0.583 8.247

–6.385 2.769 –9.289 –12.905

La componente cartesiana z de la resultante es negativa; por lo tanto la fuerza tiene sentido hacia arriba, por lo que sólo es posible dibujar el vector inverso, el cual, según las ecuaciones de 7.1 a 7.3 tiene una magnitud de 15.960 kN, una orientación de 208.6° y un echado de 54.0°. En la figura 7.3 se han dibujado dichas fuerzas. Ejemplo 7.4 (Figura 7.4) Las siguientes dos fuerzas actúan sobre un punto:

Fuerza Orientación (grados) Echado (grados) Magnitud (kN) u v

190 095

60 50

3 5

Encuentre la orientación, echado, magnitud y sentido de la fuerza resultante en el punto, para las siguientes combinaciones de sentido de las componentes:

Sentido de la fuerza u v

(a) (b) (c) (d)

Hacia abajo Hacia arriba Hacia arriba Hacia abajo

Hacia abajo Hacia arriba Hacia abajo Hacia arriba

Dibuje las fuerzas en una proyección hemisférica inferior.

101

Figura 7.3 La resultante de tres fuerzas (Ejemplo 7.3)

Este ejemplo demuestra que hay cuatro posibles combinaciones de sentido que pueden producir un par de fuerzas dado; aunque, por supuesto, solo una de estas combinaciones se podría aplicar en una situación particular. Las componentes cartesianas x, y y z de las dos fuerzas, se encuentran aplicando las ecuaciones 7.4, así como su resultante r para cada una de las cuatro combinaciones de sentido están listadas en la siguiente tabla. El parámetro S es +1.0 cuando la componente tiene sentido hacia abajo y –1.0 en sentido hacia arriba.

Componentes cartesianas (kN) Fuerza x y z

u v r

(a) (b) (c) (d)

–0.2603.202

2.942–2.9423.462

–3.462

S S

–1.477–0.280

–1.7571.7571.197

–1.197

S S

2.598 3.830

6.428

–6.428 1.232

–1.232

S S

La orientación, echado, magnitud y sentido para cada una de las cuatro diferentes fuerzas resultantes se encuentran usando las ecuaciones de 7.1 a 7.3 y se enlistan en la tabla siguiente. Es importante notar que, para las combinaciones (b) y (d) la componente cartesiana z de la resultante es negativa, por lo que su sentido es hacia arriba, haciéndose necesario trazar la orientación del vector inverso.

102

r Orientación (grados) Echado (grados) Magnitud (kN) Sentido (a) (b) (c) (d)

120.9 120.9 070.9 070.9

61.9 61.9 18.6 18.6

7.284 7.284 3.865 3.865

Hacia abajo Hacia arriba Hacia abajo Hacia arriba

Las fuerzas, que se dibujaron en la figura 7.4, muestran que las cuatro posibles combinaciones de sentido, dan lugar a dos orientaciones diferentes para la fuerza resultante, con un sentido hacia arriba y otro hacia abajo para cada orientación.

Figura 7.4 Resultante de dos fuerzas, con las cuatro combinaciones posibles de sentido (Ejemplo 7.4)

Ejemplo 7.5 (Figura 7.5) Una fuerza horizontal de 350 kN y una orientación de 241°, con sentido hacia el SW, actúa sobre el centro de masa de un cuerpo que pesa 680 kN. Dibújese en una proyección hemisférica inferior, la tercera fuerza que debería actuar en el centro de masa, para mantener el cuerpo en equilibrio estático. En este ejemplo, el peso del cuerpo esta representado por una fuerza vertical u, de magnitud 680 kN actuando hacia abajo a través del centro de masa del cuerpo. Las componentes cartesianas x, y y z de las fuerzas vertical y horizontal, están dadas por las ecuaciones 7.4 como sigue. Como antes, las componentes cartesianas de la resultante se encuentran sumando sus componentes.

103

Componentes cartesianas (kN) Fuerza x y z

u Vertical v Horizontal r Resultante

0 –306.117 –306.117

0 –169.683 –169.683

680 0

680 La fuerza requerida para mantener el equilibrio estático debe tener componentes cartesianas x, y y z de 306.117, 169.683 y –680.0 kN respectivamente. Esta fuerza por lo tanto tiene sentido hacia arriba y de nuevo se hace necesario dibujar el vector inverso, el cual de acuerdo con las ecuaciones 7.1 a 7.3, tiene una magnitud de 764.788 kN, una orientación de 241.0° y un echado de 62.8°. En la figura 7.5 se han dibujado las fuerzas.

Figura 7.5 Fuerzas en equilibrio estático (Ejemplo 7.5)

Estos ejemplos, así como los ejercicios al final del capitulo, sirven para ilustrar algunos principios fundamentales relacionados con pares de fuerzas y sus resultantes. (a) Un par dado de componentes de fuerzas y su resultante siempre son coplanares, esto es, se

sitúan sobre el mismo gran círculo. (b) Si ambas componentes tienen el mismo sentido, entonces la fuerza resultante se trazará entre

ellas en su gran círculo común y también tendrá el mismo sentido que las fuerzas componentes.

104

(c) Si las fuerzas componentes son de diferente sentido, entonces la fuerza resultante no se trazará entre ellas, pero se trazará en algún lugar a lo largo de su ángulo externo sobre el gran circulo común.

(d) La resultante de dos fuerzas formará un ángulo sólido más pequeño con la fuerza componente de mayor magnitud.

Estos puntos ayudarán a reducir el riesgo de cometer graves errores durante el cálculo y dibujo de los vectores fuerza. 7.4 Descomposición de una fuerza 7.4.1 Método de álgebra vectorial La descomposición de una fuerza es la inversa del problema descrito en la sección previa. Consideremos una fuerza conocida r de orientación αr, echado βr, magnitud |r| y sentido Sr. El objetivo es descomponer esta fuerza en dos o mas componentes hipotéticas, que actúan a través de un punto común y que tengan una resultante r. De hecho, existe un número infinito de soluciones a este problema, ya que para cualquier vector arbitrario u, siempre es posible encontrar un vector v, que tenga una resultante r. Por consiguiente, para disponer de soluciones únicas, es necesario dar mas información respecto a los componentes vectoriales requeridos. En aplicaciones de mecánica de rocas, esta información adicional comúnmente toma la forma de orientaciones especificadas para las componentes requeridas, dejando sus sentidos y magnitudes como las únicas incógnitas. Usando esta alternativa es posible descomponer un vector en tres componentes no paralelas. Se supone que la fuerza conocida r, especificada arriba, se puede descomponer en tres componentes u, v y w, sujetas al requerimiento de que sus orientaciones y echados son respectivamente αu, βu, αv, βv, αw y βw y también que deben actuar a través de un punto común. La finalidad es encontrar los sentidos y magnitudes de u, v y w. Las propiedades de orientación de las tres componentes se pueden expresar en términos de las componentes cartesianas, de vectores unitarios dirigidos hacia abajo para los cuales son paralelas. Estas componente cartesianas se conocen como cosenos directores, se pueden encontrar a partir de las ecuaciones 7.4 haciendo el sentido y la magnitud del vector unitarios. Por lo tanto los cosenos directores de u están dados por:

lx = sen αu cos βu

ly = cos αu cos βu (7.5) lz = sen βu

Los cosenos directores mx, my y mz para v y nx, ny y nz para w, se pueden encontrar de manera similar. Las componentes cartesianas rx, ry y rz del vector conocido r se pueden encontrar mediante la ecuación 7.4 en la forma usual. Si los sentidos y magnitudes desconocidos de las componentes vectoriales de u, v y w son Su, |u|, Sv, |v|, Sw y |w|, respectivamente, entonces las ecuaciones 7.4 y 7.5 se pueden combinar para obtener las expresiones para las componentes cartesianas de u, v y w. Por ejemplo, las componentes cartesianas x, y y z de u están dadas por:

ux = Su |u| lx uy = Su |u| lyuz = Su |u| lz

105

Las componentes cartesianas vx, vy y vz para v y wx, wy y wz para w se pueden especificar de manera similar. Se establece que r es la resultante de u, v y w; por lo tanto, por suma vectorial tenemos:

r = u + v + w (7.6)

o, en términos de sus componentes cartesianas:

rx = ux + vx + wx ry = uy + vy + wy (7.7)

rz = uz + vz + wz Sustituyendo para las componentes cartesianas de u, v y w obtenemos:

rx = Ulx + Vmx + Wnx ry = Uly + Vmy + Wny (7.8)

rz = Ulz + Vmz + Wnz donde:

U = Su |u| V = Sv |v| (7.9) W = Sw |w|

Los parámetros U, V y W, que son las únicas incógnitas en las tres ecuaciones simultáneas 7.8, pueden resolverse aplicando cualquier método algebraico o numérico adecuado. El sentido y magnitud de cada componente se puede encontrar a partir de las ecuaciones 7.9, recordando que el sentido toma un valor de +1.0 para una fuerza dirigida hacia abajo y de –1.0 para una fuerza hacia arriba, y que la magnitud de una fuerza es siempre mayor o igual a cero. De aqui que los signos de U, V y W indican los sentidos respectivos, mientras que sus valores absolutos proporcionan las respectivas magnitudes de la fuerza. En general, un cuerpo tridimensional sujeto a una o mas fuerzas activas debe ser soportado por tres reacciones para considerar el sistema como una estructura estáticamente determinada. Como antes, se supone que todas las fuerzas actúan a través del mismo punto. La orientación de las tres fuerzas reactivas o reacciones, que son requeridas solamente por las orientaciones de los apoyos, se pueden especificar en función de sus orientaciones y echados, o bien de sus cosenos directores como ya se explicó. Supongamos que la resultante de las fuerzas activas en el cuerpo es r, y que las reacciones desconocidas están dadas por los vectores a, b y c, dirigidos a lo largo de la orientación de la reacción especificada. Si el cuerpo esta en equilibrio estático, entonces la resultante de las fuerzas activas y reactivas debe ser cero, esto es:

r + a + b + c = 0 o

r = – a –b – c La comparación de las expresiones anteriores con la ecuación 7.6, demuestra que las fuerzas reactivas se pueden obtener encontrando las componentes de r, a lo largo de las tres orientaciones específicas de la reacción y entonces simplemente tomando los vectores inversos o negativos. Ejemplo 7.6 (Figura 7.6) Una fuerza de magnitud 35 kN actúa con sentido hacia arriba a lo largo de una línea de orientación 145° y echado 43°. Encontrar las magnitudes y sentidos de las

106

componentes de esta fuerza que actúan a lo largo de líneas con las siguientes orientaciones/echados: (1) 291/34, (2) 115/78, (3) 188/50. Aqui se supone que r corresponde a la fuerza conocida de magnitud 35 kN y que u, v y w son las componentes desconocidas 1, 2 y 3, respectivamente, cuyas orientaciones ya se dieron. Las componentes cartesianas de r se encuentran a partir de la ecuación 7.4; los cosenos directores de u, v y w se encuentran aplicando las ecuaciones 7.5. Estas componentes cartesianas y cosenos directores se sustituyen en las ecuaciones 7.8 para dar el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

–14.682 = –0.774U + 0.188V – 0.089W 20.968 = 0.297U – 0.088V – 0.637W

–23.870 = 0.559U + 0.978V + 0.766W

donde los valores de las incógnitas U, V y W, dan los sentidos y magnitudes de las fuerzas componentes, de acuerdo con las ecuaciones 7.9. La solución de las ecuaciones simultáneas, da los siguientes resultados:

U = 17.476 kN V = –16.800 kN W = –22.465 kN Los signos de estos valores indican que la primera componente tiene sentido hacia abajo, y que las otras dos componentes tienen sentido hacia arriba, como se muestra en la figura 7.6.

Figura 7.6 Descomposición de una fuerza en tres componentes (Ejemplo 7.6)

107

Ejemplo 7.7 (Figura 7.7) Tres fuerzas u, v y w, que actúan en un punto P de un cuerpo pequeño de poco peso, tienen las siguientes propiedades:

Fuerza Orientación (grados) Echado (grados) Magnitud (kN) Sentido u v w

282 076 135

15 74 56

18 23 10

Hacia abajo Hacia abajo Hacia arriba

El cuerpo esta en equilibrio estático por tres fuerzas reactivas a, b y c que actúan a través del punto P a lo largo de líneas con las siguientes orientaciones/echados 191/36, 353/25 y 108/51, respectivamente. Encontrar las magnitudes y sentidos de las tres reacciones. La resultante r de las tres fuerzas activas u, v y w, se encuentra usando el método descrito al principio y también en el ejemplo 7.3. Esta resultante tiene una orientación de 301.6°, echado de 46.7°, magnitud de 25.369 kN y un sentido hacia abajo. Ahora podemos descomponer esta fuerza en tres componentes con orientaciones paralelas a las fuerzas reactivas a, b y c. Las propiedades de estas componentes son las siguientes:

Sentido

Fuerza Orientación (grados)

Echado (grados)

Magnitud (kN) Componente Reacción

a b c

191 353 108

36 25 51

26.010 30.395 12.426

Hacia abajo Hacia abajo Hacia arriba

Hacia arriba Hacia arriba Hacia abajo

Las propiedades de las fuerzas de reacción a, b y c son las mismas que las de las componentes, excepto las que son de sentido opuesto, como se anotó arriba y se muestra también en la figura 7.7. La resultante de las tres fuerzas activas u, v y w, y las tres reacciones a, b y c tienen magnitud cero; esto confirma que el cuerpo esta en equilibrio estático. Si la fuerza conocida r se va a descomponer en solo dos componentes no paralelas u y v, como se definió arriba, entonces las ecuaciones 7.8 quedan como sigue:

rx = Ulx + Vmx ry = Uly + Vmy (7.10)

rz = Ulz + Vmz Estas tres ecuaciones contienen solamente las dos incógnitas U y V, lo que implica que hay una dependencia lineal entre las ecuaciones. Esta dependencia proviene de la condición de que r, u y v deben ser coplanares. Este requisito importante se puede satisfacer asegurándose de que las tres fuerzas se dibujen en un gran círculo común sobre una proyección hemisférica. La simple inversión algebraica de pares de las expresiones para rx, ry y rz, proporcionan tres expresiones alternas para U y tres para V como sigue:

zxxz

zxxz

yzzy

yzzy

xyyx

xyyx

mlmlmrmr

mlmlmrmr

mlmlmrmr

U−−

=−−

=−−

=

(7.11)

zxxz

zxxz

yzzy

yzzy

xyyx

xyyx

mlmlrlrl

mlmlrlrl

mlmlrlrl

V−−

=−−

=−−

=

108

Figura 7.7 Fuerzas en equilibrio estático (Ejemplo 7.7)

En general, si r, u y v son coplanares pero diferentes de cero y no paralelos, cualquiera de las expresiones de arriba dará soluciones para U y V, las cuales son interpretadas en la forma descrita al principio. Sin embargo, hay ciertas orientaciones especiales de r, u y v que pueden dar lugar a uno o mas valores nulos en los numeradores y denominadores de las ecuaciones 7.11. Si esto ocurre, una de las expresiones alternas para U y V siempre darán la solución correcta. Por ejemplo, si r fuera vertical entonces rx = ry = 0 y sería necesario seleccionar expresiones conteniendo un valor diferente de cero para rz, con el fin de obtener soluciones de U y V. Un problema mas serio relacionado con el empleo de las ecuaciones 7.11 ocurre cuando las orientaciones especificadas para r, u y v no son exactamente coplanares. Esta dificultad, que puede originarse cuando se usan los métodos gráficos para determinar las orientaciones de u y v, pueden conducir a graves errores. Consecuentemente, a menos que sea posible asegurar que r, u y v son coplanares, la siguiente alternativa gráfica ofrece un método mas exacto y mas rápido. 7.4.2 Método gráfico Cuando se descompone una fuerza en sus dos componentes, la condición de que las tres fuerzas involucradas sean coplanares se satisface aproximadamente, procurando que todas se dibujen en un gran círculo común sobre una proyección hemisférica. Las medidas angulares tomadas a lo largo de este gran círculo conducen a un método directo y relativamente simple para valuar las magnitudes y sentidos de las dos fuerzas componentes. Este método tiene la ventaja de dar

109

resultados satisfactorios aun cuando las tres fuerzas no sean exactamente coplanares. Primero es necesario dibujar las orientaciones de la fuerza conocida r, y también la primera fuerza componente u, en forma de puntos sobre la proyección. Puede ser útil, es esta etapa, anotar el punto que representa r para indicar la magnitud y sentido de la fuerza. La segunda fuerza componente v debe dibujarse en cualquier lugar a lo largo del gran circulo que contiene r y u para asegurar que sean coplanares. Ahora es importante reconocer que pueden producirse tres diferentes situaciones generales, dependiendo ello de cual de las fuerzas esta dibujada entre las otras dos. Se dibuja un punto entre los otros dos, ubicándose en cualquier lugar a lo largo de su ángulo interno en la proyección. Las tres diferentes situaciones son las siguientes: (a) r se dibuja entre u y v (Figura 7.8a): En este caso u y v tienen el mismo sentido que r. El

ángulo θu se mide internamente entre u y r; el ángulo θv se mide internamente entre v y r. (b) u se dibuja entre r y v (Figura 7.8b): En esta caso u tiene el mismo sentido que r, pero v es de

sentido opuesto a r. El ángulo θu se mide internamente entre u y r; θv se mide externamente entre v y r.

(c) v se dibuja entre u y r (Figura 7.8c): En este último caso v tiene el mismo sentido que r, pero u tiene sentido opuesto a r. El ángulo θu se mide externamente entre u y r; el ángulo θv se mide internamente entre v y r.

Una manera simple de recordar estas reglas, es asegurarse de que los ángulos θu y θv se midan internamente o externamente a r, de modo que no se traslapen. Un ángulo interno siempre esta asociado con una componente que tiene el mismo sentido que r; un ángulo externo esta asociado con una componente de sentido opuesto a r. En todos los casos θu + θv ≤ 180°, y las magnitudes de u y v se encuentran con la ley de los senos para resolver los paralelogramos de fuerzas en la figura 7.8:

( ) )12.7(vu

v

sensen

θθθ+

=r

u

( ) )13.7(vu

u

sensen

θθθ+

=r

v

Finalmente, si el ángulo entre u y v es de 90°, es permisible descomponer u o v, en dos componentes adicionales. Si se elige u para hacer esta descomposición, esto debe hacerse en el plano que contiene v así como su normal. Similarmente, si se escoge v, la descomposición ocurre en el plano que contiene u y su normal.

110

111

Figura 7.8 Medidas angulares para la descomposición de una fuerza en dos componentes

Ejemplo 7.8 (Figura 7.9) Una fuerza de magnitud 17.33 kN actúa con sentido hacia arriba a lo largo de una línea de orientación aproximada 176.2° y echado 16.3°. Encuentre las magnitudes y sentidos de las componentes de esta fuerza de modo que actúen a lo largo de líneas con orientación/echado (1) 261/59, (2) 325/31, las cuales son coplanares con r. De nuevo r corresponde a la fuerza de magnitud conocida 17.33 kN y u y v son las componentes desconocidas, cuyas orientaciones son dadas. Las componentes cartesianas de r son rx = –1.102, ry = 16.597, rz = –4.864. Los cosenos directores de u y v son:

lx = –0.509 ly = –0.081 lz = 0.857 mx = –0.492 my = 0.702 mz = 0.515

Las ecuaciones 7.11 dan U ≈ –18.6 kN y V ≈ 21.5 kN, lo cual implica que u tiene sentido hacia arriba y v hacia abajo. La naturaleza aproximada de la respuesta se deriva de redondear errores en la especificación de la orientación y echado de r. La figura 7.9 ilustra el método gráfico empleado para descomponer las fuerzas dadas en este ejemplo. La componente u se dibuja entre r y v, por lo tanto u tiene el mismo sentido hacia arriba que r, en cambio v tiene sentido opuesto (es decir hacia abajo). El ángulo θu medido internamente de 73°; θv se mide externamente y es de 56°. De las ecuaciones 7.12 y 7.13: |u| = 18.5 kN y |v| = 21.3 kN, lo cual, admite el hecho de que los ángulos θu y θv fueran medidos o redondeados al grado mas próximo de acuerdo con el resultado inicial.

112

Figura 7.9 Descomposición de una fuerza en dos componentes (Ejemplo 7.8)

Ejemplo 7.9 (Figura 7.10) Un bloque de roca que pesa 175 kN, descansa sobre un talud plano que tiene una dirección del echado 248° y echado 29°. Calcular las magnitudes y sentidos de las componentes del peso del bloque que actúan (1) a lo largo de la línea de máxima inclinación del talud, y (2) a lo largo de la normal al talud. En este caso r corresponde al vector vertical peso, con sentido hacia abajo. La línea de máxima inclinación del talud, representada por u, tiene una orientación de 248° y un echado de 29°. La normal al talud representada por v, tiene una orientación de 068° (248-180) y un echado de 61° (90-29). La figura 7.10 muestra que r se dibuja entre las componentes u y v; esto significa que estas componentes tienen el mismo sentido hacia abajo como r, y que los ángulos θu y θv se miden internamente a r. Estos ángulos pueden medirse ya sea desde la proyección o, debido a que r, u y v se sitúan en un plano vertical, calculándose a partir de los valores apropiados de echado. Los valores resultantes de θu y θv, que son 61° y 29°, respectivamente, son sustituidos en las ecuaciones 7.12 y 7.13, obteniéndose |u| = 84.842 kN, |v| = 153.058 kN. Este tipo de problema, que se presenta con frecuencia en estudios de mecánica de rocas, se presta a una solución directa no gráfica. En el caso particular donde r es vertical y se dibuja entre u y v, y donde los ángulos θu + θv = 90°, las ecuaciones 7.12 y 7.13 se reducen a:

|u| = |r| sen βu (7.14)

|v| = |r| cos βu

113

donde βu es el echado de u. En este caso u y v tiene igual sentido que r.

Figura 7.10 Fuerzas asociadas con un bloque que descansa sobre un solo plano (Ejemplo 7.9)

Si se requiere, u o v se pueden descomponer, ya que, en este caso, las componentes son normales entre si. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. Antes de determinar este ejemplo, es bueno recalcar que u y v son componentes del vector peso r. Las reacciones, escogidas paralelas a u y v para mantener el equilibrio estático con r, tiene las mismas magnitudes pero son de sentidos opuestos a estas componentes. Ejemplo 7.10 (Figura 7.11) Un bloque de roca en forma de cuña pesa 836 kN y descansa en dos planos que tienen dirección del echado/echado siguientes: (a) 148/54, (b) 251/42. Calcular las magnitudes y sentidos de las componentes del peso de bloque que actúan (1) a lo largo de la normal al plano (a), (2) a lo largo de la normal al plano (b), y (3) a lo largo de la línea de intersección de los dos planos. Suponga que todas las fuerzas actúan a través del centro de masa del bloque. De nuevo r corresponde al vector vertical peso, que tiene un sentido hacia abajo. La normal al plano (a) representada por u, tiene una orientación de 328° y un echado de 36°; la normal al plano (b) representada por v tiene una orientación de 071° y un echado de 48°. La figura 8.11 muestra que la línea de intersección entre los planos (a) y (b), representada por w, tiene una orientación de 209° y un echado de 34°, medidas al grado mas próximo. El problema se puede resolver usando los métodos vectoriales explicados al principio de este capítulo. La sustitución de valores para las componentes cartesianas de r y los cosenos directores de u, v y w, en las ecuaciones 7.8 dan el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

114

0 = –0.429U + 0.633V – 0.402W 0 = 0.686U + 0.218V – 0.725W

836 = 0.588U + 0.743V + 0.559W La solución de este sistema de ecuaciones simultáneas es:

U = 327.0 kN V = 516.7 kN W = 464.6 kN

Por lo tanto, la componente normal al plano (a) es 327.0 kN, la componente normal al plano (b) es 516.7 kN y la componente a lo largo de la línea de intersección es 464.6 kN. Todas estas componentes tienen el mismo sentido hacia abajo al igual que el vector peso r. Igual que antes, las reacciones, escogidas paralelas a u, v y w para mantener el equilibrio estático con r, tienen las mismas magnitudes, pero son de sentido opuesto a las componentes respectivas.

Figura 7.11 Fuerzas asociadas a un bloque con forma de cuña que descansa sobre dos planos (Ejemplo 7.10)

115

El tipo de problema ilustrado en el ejemplo anterior, ocurre frecuentemente durante el análisis de estabilidad de mecanismos de deslizamiento, tratándose de bloques de roca rígidos en forma de cuña. Esta geometría particular se presenta favorable para un análisis gráfico simplificado a fin de determinar las fuerzas componentes, lo cual elimina la necesidad de recurrir a métodos vectoriales mas engorrosos. Con el objeto de aplicar los métodos gráficos, primero se hace necesario reconocer que, en este caso, u y v se sitúan en un plano cuya normal es paralela a w, (ver sección 4.5), por consiguiente es posible en primer lugar descomponer r en dos componentes w y t, donde la orientación de t se escoge de tal modo que sea normal a w y también coplanar con w y r. En virtud de que t es normal a w, debe ser coplanar con w y v. Por lo tanto, la componente t se puede descomponer posteriormente para obtener las componentes u y v. En la primera etapa de la descomposición, r se dibuja entre w y t, de modo que las dos componentes tengan el mismo sentido hacia abajo al igual que r. Por añadidura, ya que w y t son normales, se pueden aplicar las ecuaciones 7.14, a fin de encontrar las magnitudes de las fuerzas componentes. En este caso:

|w| = |r| sen βw y

|t| = |r| sen βw donde βw que tiene 34° en el ejemplo anterior, es el echado de w. Por lo tanto |w| = 467.5 kN y |t| = 693.1 kN. En la segunda etapa de descomposición, de nuevo dibujamos t entre u y v de manera que las dos componentes tengan el mismo sentido hacia abajo como t. Los ángulos θu y θv se miden internamente a t y son de 45° y 27°, respectivamente. Aplicando las ecuaciones 7.12 y 7.13 tenemos |u| = 330.9 kN y |v| = 515.3 kN. En el contexto geotécnico, la reducción en precisión asociada con la alternativa gráfica esta mas que compensada, en este tipo particular de problema, en virtud de la facilidad relativa del calculo. En el análisis de la cuña descrito, r siempre se dibuja entre w y t, de modo que estas dos componentes siempre tengan el mismo sentido hacia abajo que el del vector peso r. Es posible sin embargo, para los dos planos (a) y (b) tener una orientación tal que t no se dibuje entre u y v. Si esto sucede, ya sea u o v tendrán sentido opuesto (esto es hacia arriba) a t. Esto implica que, a menos que el plano que contiene la fuerza normal hacia arriba se proyecte fuera del bloque, el plano estará sujeto a una fuerza normal de tensión. Es práctica común en estudios de mecánica de rocas suponer que los planos de discontinuidad no pueden soportar una fuerza de tensión. En vista de esto, seria necesario volver a analizar las fuerzas bajo la suposición de que el peso del bloque es soportado totalmente sobre el otro plano. Este problema se discutirá a fondo en el siguiente capitulo. 7.5 Productos escalar y vectorial El producto escalar de dos vectores u y v se escribe comúnmente u.v y se define como sigue

u.v = |u| |v| cos θ

donde θ (<180°) es el ángulo entre las direcciones positivas de u y v. El producto escalar se puede determinar a partir de las componentes cartesianas de u y v como sigue:

u.v = uxvx + uyvy + uzvz

116

El producto escalar, que proporciona un método conveniente para calcular el ángulo entre dos líneas, se aplico para deducir la ecuación 4.1. El capitulo 4 también contiene un método de proyección hemisférica para encontrar el ángulo entre dos líneas. El producto vectorial de dos vectores u y v comúnmente se escribe u × v y es un vector de magnitud |u| |v| sen θ donde de nuevo θ (<180°) es el ángulo formado por las direcciones positivas de u y v. El producto vectorial es un vector i, con componentes cartesianas x, y y z (uyvz – uzvy), (uzvx – uxvz), (uxvy – uyvx) respectivamente, el cual actúa a lo largo de una línea que es normal al plano que contiene u y v. La dirección positiva de i esta dada por la dirección de rotación de un tornillo izquierdo girando de u a v un ángulo θ. (Esto es porque se esta usando un sistema izquierdo de coordenadas cartesianas). La interpretación física del producto vectorial es que si u y v son normales a un par de planos que se intersectan, entonces su producto vectorial i es paralelo a la línea de intersección de los planos. La sección 4.5, la cual trata con la intersección de planos, proporciona un método alternativo de proyección hemisférica para encontrar la orientación de un producto vectorial. Cuando se usan los vectores para analizar solamente las propiedades de orientación, es conveniente operar con vectores de magnitud unitaria paralelos a los rasgos de interés. El ejemplo 4.5 se relaciona con la intersección entre el plano 1, de dirección del echado/echado 146/59 y el plano 2, de dirección del echado/echado 266/36. Los vectores unitarios dirigidos hacia abajo u y v, normales a los planos 1 y 2, tienen las siguientes componentes cartesianas (cosenos directores) –0.479, 0.711, 0.515 y 0.586, 0.041, 0.809 respectivamente, encontrados con las ecuaciones 7.5. El producto escalar de u y v es 0.165, que corresponde al coseno del ángulo entre las normales a los planos 1 y 2. Este ángulo es por lo tanto de 80.5° que coincide aproximadamente con el valor de 81° encontrado gráficamente en el ejemplo 4.5. Las componentes cartesianas del producto vectorial i = u × v son 0.554, 0.690, –0.436. Este vector actúa con sentido hacia arriba, a lo largo de una línea que tiene una orientación de 218.8° y un echado de 26.3°. De nuevo, este resultado concuerda aproximadamente con la orientación de la línea de intersección, 219/26, encontrada gráficamente en el ejemplo 4.5. 7.6 El cono de fricción Las discontinuidades planas en una masa rocosa pueden llegar a constituirse en planos de falla, cuando las fuerzas que actúan sobre ellos toman ciertos valores críticos. Uno de los modelos mas simples para este tipo de comportamiento se basa en las componentes normal y cortante de la fuerza resultante r (y su reacción –r) actuando en un punto sobre el plano. La componente normal n, (y su reacción –n) actúa en sentido perpendicular al plano en cuestión. La componente del cortante s (y su reacción –s) es paralela al plano de discontinuidad y también se sitúa en el plano que contiene r y n, como se muestra en la figura 7.12. El grupo de fuerzas r, –n y –s están en equilibrio estático, como lo están también las fuerzas –r, n y s.

117

Figura 7.12 Fuerzas que actúan sobre un plano de discontinuidad

Debido a que n y s son normales entre si, la descomposición de r es relativamente simple. Si θ es el ángulo agudo sólido entre r y la normal al plano entonces:

|n| = |r| cos θ (7.15) y

|s| = |r| sen θ (7.16) Se supone que la discontinuidad permanecerá estable en tanto que las siguientes condiciones se satisfagan: (a) Las fuerzas normales n y –n deben formar un par de compresión a través del plano. (b) La magnitud de la componente cortante |s| debe ser menor que |n| tan φ, donde φ es el ángulo

de fricción del plano de discontinuidad. La primera condición, que supone que la discontinuidad tiene una resistencia nula a la tensión, se puede demostrar examinando el sentido de r. Combinando las ecuaciones 7.15 y 7.16 con la segunda condición da el requerimiento de que, para la estabilidad sen θ < cos θ tan φ, ó θ < φ. Este simple resultado sugiere que si se construye el lugar geométrico de un ángulo cónico φ, en la proyección, con relación al punto que representa la discontinuidad normal, la segunda condición para la estabilidad siempre será satisfecha si r se dibuja en cualquier lugar dentro del lugar geométrico. Si r se dibuja fuera del lugar geométrico, y las fuerzas normales son de compresión, entonces ocurrirá la falla por cortante en la dirección de s. Este lugar geométrico del ángulo cónico φ se conoce normalmente como “cono de fricción”. Ejemplo 7.11 (Figura 7.13) Un bloque de roca que pesa 140 kN tiene una base plana y descansa sobre un talud plano no sobresaliente de dirección del echado/echado 253/39. Una fuerza en un cable de magnitud T dirigida hacia abajo, actúa a través del centro de masa del bloque a lo largo de una línea de orientación 110° y echado 20°. Si el contacto entre el bloque y el talud tiene un ángulo de fricción de 30°, determinar el rango de los valores de T que mantiene el bloque en una condición estable, con respecto a la posible falla por deslizamiento. El primer paso en este problema es dibujar la normal, Nf, y el gran círculo del talud plano en una proyección hemisférica. Se construye entonces un lugar geométrico con un ángulo cónico de 30° con respecto a la normal del talud Nf, siguiendo uno de los métodos explicados en la sección 5.2. Este es el cono de fricción.

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El vector u representa el peso vertical del bloque de magnitud 140 kN, y el vector v representa la fuerza del cable de orientación conocida y dirigida hacia abajo pero de magnitud desconocida |v| = T. En virtud de que u y v actúan hacia abajo sobre el bloque, el contacto entre su base y el talud se mantiene en compresión; consecuentemente la única posibilidad de falla es por deslizamiento. El bloque empezara a deslizarse cuando la resultante de u y v se trace dentro del cono de fricción. Debido a que esta resultante debe ser coplanar con u y v se puede situar solamente en uno de los dos puntos sobre el cono de fricción, marcados r1 y r2 en la figura 7.13. Ambas resultantes se dibujan entre u y v y por lo tanto ofrecen posibilidades validas, ambas con un sentido hacia abajo. Es importante considerar la validez de una fuerza resultante hipotética de este modo, recordando los principios del final de la sección 7.3. Por ejemplo, si v se hubiera dibujado entre u y r, entonces u y v tendrían que ser de sentido diferente entre si para que r1 fuera una resultante valida. Para r1, los ángulos θu y θv en las ecuaciones 7.12 y 7.13, medidos desde la proyección, son 54° y 16° respectivamente. Aplicando la ecuación 7.12 nos da |r1| = 477.3 kN. Sustituyendo este valor en la ecuación 7.13 da |v| = 410.9 kN. Para r2, los ángulos θu y θv son respectivamente 13° y 57°, dando |r2| = 156.9 kN y |v| = 37.6 kN. Estos resultados muestran que la fuerza del cable T debe situarse entre 37.6 kN y 410.9 kN para mantener el bloque en una condición estable. Si T es ligeramente mayor que 410.9 kN, el bloque empezará a deslizarse hacia arriba a lo largo de la línea dada por s1 en la figura 7.13. El vector s1 debe tener sentido hacia arriba porque r1 no se traza entre las componentes normal y cortante n1 y s1. Si T es ligeramente menor que 37.6 kN, el bloque empieza a deslizarse hacia abajo a lo largo de la línea dada por s2. Aqui s2 tiene sentido hacia abajo porque r2 se traza entre n2 y s2. Si se requiere, las magnitudes de las componentes normal y cortante en ambas situaciones críticas se pueden encontrar de la forma usual. Si se quitara el cable, entonces T sería cero, y el vector peso vertical u sería la fuerza resultante actuando sobre el bloque. En caso de que u se trace en el exterior del cono de fricción, el bloque fallaría por deslizamiento hacia abajo de la línea de máxima inclinación del talud.

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Figura 7.13 El cono de fricción (Ejemplo 7.11)

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8. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE BLOQUES CON PROYECCIÓN HEMISFÉRICA 8.1 Introducción La estabilidad de una masa rocosa discontinua expuesta en una superficie libre como en un talud o en una excavación subterránea, está controlada por la orientación, geometría y resistencia de las discontinuidades predominantes dentro de la masa. Si estas discontinuidades son suficientemente grandes y frecuentes, al combinarse forman bloques separados que pueden caer o deslizarse por la superficie libre (Figura 8.1). Es frecuente encontrar cerca de una superficie libre, especialmente en excavaciones relativamente superficiales, que los esfuerzos in situ son pequeños comparados con la deformabilidad del material rocoso. En tales casos los bloques de roca dentro de la masa no se deforman significativamente al ser expuestos y raramente se fracturan; esto permite considerarlos cuerpos efectivamente rígidos en cualquier análisis de estabilidad.

Figura 8.1 Bloques con y sin salida formados en superficies libres

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Antes de diseñar una excavación superficial o subterránea en una masa rocosa discontinua, es de vital importancia investigar las propiedades geométricas y mecánicas relevantes de las discontinuidades en la roca adyacente a la excavación propuesta. Esto permite analizar la estabilidad de bloques rígidos que pudieran estar expuestos durante la excavación. Los métodos para calcular y analizar los datos de orientación se explicaron en los capítulos previos. Los métodos para medir la frecuencia y dimensión de las discontinuidades se pueden ver en Priest y Hudson (1976-1981) y por Hudson y Priest (1983). Las técnicas para medir otras propiedades geométricas y de la resistencia al cortante de las discontinuidades han sido explicadas por Hoek y Bray (1981) y, Brady y Brown (1985). Después de recopilar los datos necesarios, la primera etapa consiste en definir la geometría de un bloque rígido potencialmente inestable. Después se postula el mecanismo de falla, se analizan las fuerzas que intervienen y finalmente se determina la estabilidad del bloque. En este trabajo únicamente se consideran dos mecanismos de falla: el movimiento a través de espacio libre y deslizamiento traslacional. Los bloques que se someterán al mecanismo de deslizamiento se supondrá su deslizamiento en un sólo plano o alternativamente en un par de planos adyacentes a lo largo de su línea de intersección. Para el análisis en tres dimensiones, se requiere de por lo menos cuatro planos delimitando el bloque. Cuando están implicados cuatro planos el bloque resultante es un tetraedro (Figura 8.2). Un lado del tetraedro está formado por la cara de la roca; los otros tres lados están formados por planos de discontinuidad no paralelos o, por otras caras libres. Esta, es la geometría de bloques mas frecuente, es común en las masas rocosas donde existen tres o más orientaciones de discontinuidad mutuamente inclinadas.

Figura 8.2 Geometría de un bloque tetraédrico típico

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8.2 Factibilidad y congruencia cinemática Para fines prácticos es conveniente asumir que una superficie libre dada de una excavación es un rasgo planar que divide el espacio tridimensional de sus alrededores en dos medios espacios: uno hecho de roca, y el otro de espacio libre. Además, para especificar la orientación de una superficie plana determinada es necesario establecer en cual lado de la superficie se sitúa la masa rocosa. Para una superficie no vertical esto se logra especificando si la superficie tiene salida o no. Si un punto imaginario, moviéndose hacia abajo a lo largo de una línea vertical que pasa a través de la superficie, se dirige de la roca hacia el espacio libre, entonces la superficie tiene salida; si el punto imaginario viaja hacia abajo desde el espacio libre a la roca entonces la superficie no tiene salida (Figura 8.1). Los techos de las excavaciones y las paredes colgantes en las minas son superficies con salida; los taludes de roca y muros de pie en las minas por lo general no tienen salida. Si la superficie es vertical es necesario especificar hacia cual lado de la superficie caen las rocas. En la mayoría de los casos es obvio, de acuerdo a la geometría de la excavación propuesta. A continuación se ilustran algunos principios fundamentales para el análisis de falla de bloques rígidos en superficies planas. Las investigaciones han demostrado que la conjugación de tres familias de discontinuidades planas, de suficiente frecuencia y tamaño poseen la amenaza de fallar en bloques tetraédricos rígidos a través de las superficies libres de la excavación propuesta. Aunque haya sido muy exhaustiva la investigación del sitio, no hay ninguna forma de conocer la ubicación precisa de cada discontinuidad individual hasta que la excavación esta en proceso. A fin de realizar el diseño preliminar, será necesario formular algunas hipótesis acerca de la ubicación de las discontinuidades individuales. Una aproximación simple es hacer la hipótesis conservadora de que cada discontinuidad tendrá una ubicación de tal modo que con la presencia de otras discontinuidades se defina el bloque tetraédrico mas grande y potencialmente menos estable. Esta aproximación es similar al “Método de Uniones Ubicuas” descrito por Cartney (1977). Esto significa que los distintos planos de discontinuidad se supone están situados en sus orientaciones correctas, de tal modo que junto con una superficie libre determinada definen los bloques potencialmente críticos. Algunas veces se descubre que una o mas superficies libres adicionales, no paralelas a la superficie principal, se encuentran en la vecindad de la masa rocosa que se estudia. Una superficie libre adicional puede, bajo ciertas circunstancias, comportarse en la misma forma que el plano de discontinuidad para ayudar a delimitar los bloques potencialmente críticos en la superficie principal. En vista de esto es conveniente tratar algunas superficies libres adicionales exactamente de la misma forma que los planos de discontinuidad, teniendo en mente que los bloques no pueden existir en el lado del espacio libre de cualquier superficie adicional. Este enfoque, el cual asume implícitamente que cualquier superficie libre adicional tiene las mismas propiedades ubicuas como las discontinuidades, se discute en la sección 8.4. Hasta entonces, se supone que todos los bloques están limitados por tres planos de discontinuidad y en una sola superficie libre. En esta etapa es importante diferenciar entre inestabilidad potencial y actual. Un bloque es potencialmente inestable si físicamente es capaz de ser removido de la masa rocosa sin perturbar la roca adyacente. Se dice que un bloque de este tipo es cinematicamente factible, ya que su inestabilidad potencial esta evaluada sobre la base de su libertad para moverse y no sobre las fuerzas que pueden ocasionar este movimiento. Un bloque es actualmente inestable si es cinematicamente factible y si las fuerzas que pretenden mover el bloque de la masa exceden a aquellas a mantenerlo en su lugar. Estas ideas se ilustran en la figura 8.1. Es posible colocar unas tres intersecciones mutuas de planos de discontinuidad no paralelos en solo dos arreglos espaciales diferentes, en algunas superficies de rocas con salida y sin salida. Si

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esta superficie no es paralela a cualquiera de los planos de discontinuidad implicados, un arreglo siempre produce un bloque tetraédrico cinemáticamente factible; el otro arreglo no lo produce. El problema inicial es descubrir el arreglo de una manera mas precisa, las ubicaciones relativas de grupos de tres planos de discontinuidad que definan los bloques tetraédricos cinemáticamente factibles en una superficie determinada. Esto se puede lograr simplemente disponiendo los planos de tal manera que converjan en un punto de algún lugar en la masa rocosa y de este modo delimitar un bloque tetraédrico. Consideremos, por ejemplo, una superficie de roca horizontal con salida, intersectada por tres familias de discontinuidades planas persistentes con las siguientes direcciones del echado/echados: (1) 138/51, (2) 355/40 y (3) 219/67. En la figura 8.3a, una discontinuidad de la familia 1 forma el limite sureste de un bloque tetraédrico, la familia 2 forma el limite norte y la familia 3 el limite suroeste. Este bloque es cinemáticamente factible y puede caer fácilmente de la superficie horizontal. La figura 8.3b, muestra el otro arreglo espacial de los tres planos de discontinuidad. En este caso la familia 1 forma el límite noroeste, la 2 forma el límite sur y la 3 el límite noreste. En este segundo arreglo las discontinuidades se desvían dentro de la masa rocosa y, aún si fueran cortados por un cuarto plano de discontinuidad subhorizontal, no definirían un bloque cinemáticamente factible. La figura 8.3c muestra una proyección hemisférica inferior de grandes círculos de los tres planos de discontinuidad implicados. Estos grandes círculos se cruzan uno a otro para generar una forma triangular curva, aquí referida como triángulo esférico, e indicado por el sombreado en la proyección en la figura 8.3c. En esta figura el gran círculo de un plano de la familia 1 forma el límite sureste del triángulo esférico, la familia 2 el límite norte y la 3 el límite suroeste. En otras palabras, las localizaciones relativas de los tres grandes círculos sobre el triángulo esférico son las mismas que las ubicaciones físicas relativas de sus planos respectivos cuando delimitan un bloque tetraédrico cinemáticamente factible en la superficie dada. Esta importante propiedad de un triángulo esférico, aquí referido como una congruencia cinemática, ocurre cuando las dos condiciones cinematicas siguientes de proyección son reunidas: (a) El plano de proyección debe ser paralelo a la superficie que esta siendo estudiada. (b) El hemisferio de proyección debe ser convexo hacia el lado del espacio libre de la superficie.

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Figura 8.3 Congruencia cinemática

Estas condiciones siempre se satisfacen, para una superficie horizontal con salida, en una proyección hemisférica inferior ordinaria (Figuras 8.3a y 8.3c). Esto se aprecia imaginando el bloque tetraédrico ilustrado en la figura 8.3a, que está colocado en su orientación correcta en la parte superior de la proyección en la figura 8.3c. El plano de proyección entonces representaría la superficie de la roca; el bloque existiría en el lado de la masa rocosa de la superficie y el

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hemisferio de proyección existiría en el lado del espacio libre. El punto de observación sería desde dentro de la masa rocosa, mirando dentro del espacio libre a lo largo de la normal a la superficie. Si una proyección puede ser construida de tal modo que las condiciones cinemáticas de proyección sean satisfechas para una superficie determinada, entonces cualquier triángulo esférico en esta proyección, formado por tres planos no paralelos de cualquier orientación, serán cinemáticamente congruentes con un bloque tetraédrico factible en la superficie. Por ejemplo, si hubieran cinco familias de discontinuidades podrían, combinándose en diferentes formas, definir 10 diferentes bloque tetraédricos tales como: superficie de roca, familia 1, familia 2 mas familia 3; o superficie de roca, familia 1, familia 2 mas familia 4; etc. En general, si existen n familias de discontinuidad, el número de los diferentes bloques tetraédricos esta dado por:

t = n!/6 (( n-3 )!)

Figura 8.4 Triángulos esféricos producidos por cinco planos que se intersectan mutuamente

La figura 8.4 muestra como los grandes círculos de cinco planos no paralelos se intersectan para dar diez diferentes triángulos esféricos. En general, n planos no paralelos siempre se intersectan para dar t triángulos esféricos, cada uno de los cuales esta asociado con un bloque tetraédrico diferente. Si la proyección satisface las dos condiciones cinemáticas de proyección enlistadas arriba, para una superficie dada, entonces cada triángulo esférico será cinemáticamente congruente con su respectivo bloque tetraédrico en la superficie. Puesto que la congruencia cinemática facilita bastante la visualización de la geometría de los bloques tetraédricos cinemáticamente factibles, es deseable estar capacitado para satisfacer estas condiciones para

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cualquier superficie inclinada con salida o sin salida que se este analizando. Esto asegura que las geometrías de los bloques tetraédricos cinemáticamente factibles estén directamente relacionados a la geometría de sus triángulos esféricos en la proyección. 8.3 Construcción de proyecciones hemisféricas inclinadas 8.3.1 Métodos de construcción El proceso de satisfacer las dos condiciones de proyección para una superficie no horizontal, a fin de generar triángulos esféricos que son cinemáticamente congruentes con la superficie dada, conducen al concepto de la proyección hemisférica inclinada (Priest 1980). Esto implica rotación o inclinación del hemisferio de proyección de tal modo que: (1) el plano de proyección sea paralelo a la superficie y (2) el hemisferio de proyección sea convexo hacia el lado del espacio libre de la superficie. Puede ser útil en esta etapa, imaginar el hemisferio que se ilustra en la figura 2.8, siendo inclinado físicamente y después colocado como una “burbuja” en la superficie de la roca como se muestra en la figura 8.5. Ya ha sido mostrado que si la superficie es horizontal y tiene salida, no se requiere ninguna inclinación. Si la superficie tuviera salida pero inclinada a 50°, entonces se requerirán 50° de inclinación. Si la superficie fuera vertical, entonces se requerirán 90° de inclinación. Si la superficie fuera horizontal y sin salida, entonces se requerirán 180° de inclinación. Si la superficie fuera sin salida pero inclinada a 60°, entonces se requerirán 120° de inclinación (es decir 180°–60°), como se muestra en la figura 8.5. En general, si la superficie libre tiene un ángulo de echado βf entonces el ángulo requerido de inclinación esta dado por ςf como sigue:

ςf = βf para una superficie con salida ςf = 180 – βf para una superficie sin salida (8.1)

Con la inclinación las orientaciones absolutas de los planos de discontinuidad, la superficie de la roca y otros rasgos fijos no cambian. Consecuentemente los grandes círculos y normales representando las orientaciones de tales rasgos se correrán a través de la proyección según la inclinación del hemisferio. Este efecto es similar al movimiento aparente de las estrellas según gira la Tierra. En la práctica, no es necesario inclinar el hemisferio de proyección físicamente ya que las rotaciones aparentes de todos los rasgos fijos están representados correctamente.

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Figura 8.5 Inclinación del hemisferio para hacer que el plano de proyección sea paralelo al frente rocoso

El objetivo principal de inclinar el hemisferio de proyección es asegurar que el plano de proyección venga a ser paralelo a la superficie de la roca. Esto significa que la normal a la superficie de la roca, Nf, debe ser girada hasta que se trace en el centro de la proyección, (Figura 8.5). Esto solamente se puede lograr por medio de una rotación alrededor de un eje que es el rumbo de capa de la superficie de roca dada. Sin embargo, para colocar a Nf en el centro de la proyección se puede girar en dos diferentes direcciones (Figura 8.6). La dirección correcta esta gobernada por la segunda condición de la proyección: que el hemisferio de proyección debe ser convexo al lado del espacio libre de la superficie. Este requerimiento esta incluido en las ecuaciones 8.1, las cuales dan el ángulo de rotación ςf. En una superficie con salida ςf es siempre agudo y así Nf debe girar en una dirección que la lleve a través del ángulo agudo directo al centro de la proyección. En una superficie sin salida ςf es siempre obtuso, así que Nf debe primero girar hacia el perímetro y después del punto diametralmente opuesto moverse al centro de la proyección. Si la superficie es vertical, Nf inicialmente se traza en el perímetro. En este caso, con la dirección del rumbo de la superficie en el diámetro norte-sur de la red, es necesario inicialmente trazar Nf en el extremo del diámetro este-oeste que lo coloca en el lado del espacio libre de la superficie de la roca. Si se hace esto, la dirección de rotación correcta es la que toma Nf del perímetro directamente al centro de la proyección. Cualquiera que sea la orientación de la superficie, lo mas importante de esta rotación es que todos los otros puntos de referencia en la proyección deben rotarse la misma cantidad, ςf, así como Nf, alrededor del mismo eje y en la misma dirección con el fin de mantener sus orientaciones relativas correctas. Durante este proceso es mas fácil rotar puntos de referencia individuales, tales como las normales en los planos, en lugar de tratar de rotar grandes círculos completos.

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Figura 8.6 Dos alternativas de rotación que mueven a la normal del frente Nf hacia el centro de la proyección

8.3.2 Resumen y ejemplos El proceso de construir una proyección hemisférica inclinada se puede resumir como sigue: (1) Los siguientes puntos de referencia son trazados y claramente etiquetados en una proyección

hemisférica inferior ordinaria. Las normales N1, N2, N3, etc., y también las líneas de máxima inclinación D1, D2, D3, etc., de los diversos planos de discontinuidad y las superficies libres adicionales se trazan de la forma usual. Sus grandes círculos, sin embargo, no se trazan en esta etapa. La dirección de rumbo de capa Sf, la normal Nf y la línea de máxima inclinación Df de la superficie de la roca también se trazan. Finalmente, la normal a la horizontal, Nh, se traza en el centro de la proyección; esto, por supuesto, da la dirección vertical.

(2) El ángulo de rotación requerido, ςf, para una superficie inclinada con un ángulo βf se encuentra a partir de las ecuaciones 8.1, cuidándose de tomar en cuenta la distinción entre una superficie con salida y una sin salida.

(3) El rumbo de capa de la superficie, Sf, se coloca en el diámetro norte-sur de la red. Si el ángulo ςf es agudo (es decir la superficie tiene salida) entonces la dirección de rotación es tal que Nf se mueve a través del ángulo ςf directamente al centro de la proyección a lo largo del diámetro este-oeste. Si ςf es obtuso (la superficie no tiene salida), entonces la rotación requerida debe ser en una dirección que lleve primero a Nf al perímetro, para reingresar en un punto diametralmente opuesto y continuar su rotación al centro de la proyección. Si la superficie es vertical, Nf se traza inicialmente en el lado del espacio libre de la superficie y después rotado directamente al centro de la proyección.

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(4) Todos los otros puntos de referencia se rotan a lo largo de pequeños círculos, la misma cantidad ςf, como Nf, alrededor del mismo eje y en la misma dirección. Cualquier punto que sale del perímetro de la proyección continúa su rotación después de reingresar en un punto diametralmente opuesto en la forma usual. La línea girada de máxima inclinación de la superficie de la roca, la cual siempre termina en el perímetro de la proyección, se traza en el punto donde primero intersecta este perímetro y no se transfiere al otro lado del diámetro. Puede ser útil añadir un subíndice “r” a la etiqueta por cada punto girado para diferenciarlo del punto original.

(5) Los grandes círculos de los diversos planos de discontinuidad, y también el plano horizontal, se trazan a partir de sus respectivas normales aplicando los mismos principios básicos que se usan cuando se trazan grandes círculos y sus normales en una proyección hemisférica inferior ordinaria (Sección 4.3). Aunque la línea girada de máxima inclinación de un plano de discontinuidad dado siempre se traza en algún punto a lo largo de su respectivo gran círculo, solo en circunstancias muy especiales se traza en el punto medio usual.

El gran círculo del plano horizontal divide la proyección en dos zonas: una arriba y otra bajo la horizontal. La línea girada de máxima inclinación de la superficie de la roca, Dfr, siempre se dibuja en el perímetro de la proyección, en el borde del fondo de la zona que se halla bajo la horizontal. Comúnmente resulta útil situar el punto Dfr con el azimut sur de la red, con el fin de facilitar la interpretación. Todos los triángulos esféricos dibujados sobre una proyección hemisférica inclinada, construidos por el método anotado arriba, son cinemáticamente congruentes con bloques de la superficie rocosa dada. Esto facilita enormemente el análisis de los bloques tetraédricos asociados con dicha superficie. Antes de considerar la interpretación de una proyección hemisférica inclinada, puede ser de utilidad hacer los siguientes ejemplos de construcción. Ejemplo 8.1 (Figura 8.7) Una superficie rocosa plana con salida de dirección del echado/echado 120/50 es intersectada por cinco familias de discontinuidades planas persistentes con las siguientes orientaciones:

Familia Dirección del echado (grados)

Echado (grados)

1 2 3 4 5

185 117 150 325 048

54 70 81 32 64

Construya la proyección hemisférica inclinada para esta superficie. Las normales N1, N2, ..., N5 y también las líneas de máxima inclinación D1, D2, ..., D5 de las cinco diferentes orientaciones de la discontinuidad, se dibujan, en una proyección hemisférica inferior ordinaria de la manera usual, como se muestra en la figura 8.7. Deben dibujarse e identificarse también el rumbo de capa, la normal y la línea de máxima inclinación de la superficie rocosa como Sf, Nf, Df respectivamente. El centro de la proyección, que inicialmente representa la normal a la horizontal, se etiqueta Nh. En esta etapa no se deben dibujar grandes círculos. En este ejemplo la superficie rocosa tiene salida con un echado de 50°; el ángulo requerido de rotación, ςf, es por consiguiente 50°. Con el eje de rotación, Sf, en el diámetro norte-sur de la red, la dirección de rotación es tal que Nf se desplaza directamente al centro de la proyección a través de un ángulo de 50°. Todos los otros puntos dados se hacen girar a lo largo de pequeños círculos en

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la misma cantidad, sobre el mismo eje y en la misma dirección. Estos puntos girados se etiquetan con una “r” para evitar confusión con los puntos originales. Finalmente los grandes círculos de los cinco planos de discontinuidad y también el plano horizontal, se dibujan a partir de sus respectivas normales giradas. Esto se logra situando primero la normal girada sobre el diámetro este-oeste de la red y enseguida contando 90° desde la normal, a lo largo de este diámetro y del centro de la red. El gran círculo que se sitúa a 90° desde la normal se traza de la manera usual (Figura 8.7). Esta nomenclatura es particularmente importante cuando se dibujan un gran número de discontinuidades. Puede ser útil también, para diferenciar las normales de las líneas de máxima inclinación, representar cada una de las primeras con un punto y las últimas con una pequeña cruz (Figura 8.7)

Figura 8.7 Proyección hemisférica inclinada construida para una superficie con salida de dirección del echado/echado 120/50

(Ejemplos 8.1 y 8.3) Es conveniente reiterar que, aunque las líneas giradas de máxima inclinación siempre se dibujan en sus respectivos grandes círculos, generalmente ellas no ocurren en el punto medio usual. Este

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requisito, de que un gran círculo dado debería contener su línea de máxima inclinación representa una comprobación útil en la construcción, ya que los dos se dibujan en forma independiente. Si este chequeo independiente no es requerido, las líneas de máxima inclinación pueden omitirse a partir del dibujo inicial del hemisferio inferior, por lo que casi se reduce a la mitad el número de puntos que requieren rotación. Esto es posible porque la línea girada de máxima inclinación, Dir, del i-ésimo plano en una proyección hemisférica inclinada puede también ser trazado por referencia de la normal girada Nir, para este plano y la normal girada para la horizontal Nhr. Puesto que Nhr representa la dirección vertical, cualquier gran círculo que pase a través de Nhr debe representar un plano vertical. Sin embargo, cualquier gran círculo que contenga tanto a Nhr como a Nir debe representar un plano vertical que también contenga a Dir. Esta línea rotada de máxima inclinación por lo tanto, se traza en su gran círculo asociado 90° desde Nir medido en la forma usual a lo largo del gran círculo que contiene a Nhr y a Nir. La línea girada de máxima inclinación para un plano dado es de gran valor cuando se interpreta el comportamiento de un bloque bajo la simple carga gravitacional. Ejemplo 8.2 (Figura 8.8) Una superficie de roca plana sin salida de dirección del echado/echado 251/60 es intersectada por cinco familias de discontinuidades planas persistentes con las siguientes orientaciones:

Familia Dirección del echado (grados)

Echado (grados)

1 2 3 4 5

121 207 049 244 322

77 62 73 41 19

Construir la proyección hemisférica inclinada para esta superficie. Como antes, las distintas normales y líneas de máxima inclinación son trazadas sobre una proyección hemisférica inferior ordinaria. En este ejemplo la superficie de la roca no tiene salida y se inclina en 60°. Mediante las ecuaciones 8.1 el ángulo de rotación requerido ςf, es por lo tanto de 120°. Con el eje de rotación en el diámetro norte-sur de la red, la dirección de rotación es tal que la normal a la superficie primero se mueve 30° a lo largo del diámetro este-oeste de la red hacia el perímetro de la proyección, y después reingresa en una posición diametralmente opuesta para completar los 90° restantes de rotación hacia el centro. Todos los demás puntos de referencia por medio de esta misma rotación a lo largo de sus respectivos pequeños círculos. Haciendo esto, varios puntos cruzan el perímetro de la proyección, vuelven a entrar en una posición diametralmente opuesta, para completar su rotación. Finalmente, los grandes círculos de los cinco planos de discontinuidad y también el plano horizontal se trazan desde sus respectivas normales. La proyección hemisférica inclinada resultante se muestra en la figura 8.8.

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Figura 8.8 Proyección hemisférica inclinada construida para una superficie sin salida de dirección del echado/echado 251/60

(Ejemplos 8.2 y 8.4) 8.4 Interpretación de las proyecciones hemisféricas inclinadas 8.4.1 Interpretación geométrica Si una proyección hemisférica inclinada satisface las dos condiciones cinemáticas de proyección para una superficie determinada, entonces cada uno de los triángulos esféricos será cinemáticamente congruente con su respectivo bloque tetraédrico en la superficie. Esto facilita mucho el análisis geométrico del bloque tetraédrico proporcionando la información necesaria para determinar la orientación, área de superficie y volumen del bloque. Además, la ubicación del triángulo esférico en la proyección indica en cual dirección se moverá el bloque si es inestable, ya sea por desplazamiento a través del espacio libre o por deslizamiento en uno o dos planos. Algunos nuevos términos y definiciones, aquí usados para describir la geometría de los bloques tetraédricos y sus triángulos esféricos asociados, se explican adelante. Las figuras 8.9a y 8.9b

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muestran dos tipos de geometría de bloques tetraédricos cinemáticamente factibles que se pueden formar por tres planos de discontinuidad y una superficie libre plana. En cada uno de los casos los tres planos de discontinuidad se intersectan en pares para formar tres esquinas de un bloque, marcados I12, I23, etc. Estas tres esquinas se intersectan en un punto, en este caso nombrado el ápice del bloque. Las tres discontinuidades intersectan la superficie de la roca para delimitar el triángulo de superficie. Los tres lados restantes del tetraedro, formado por los tres planos de discontinuidad, son aquí nombrados como triángulos de superficie de un bloque. Una línea imaginaria, construida desde el ápice del bloque hacia la superficie de la roca, de una orientación normal a esta superficie es nombrada eje normal. El eje normal del tetraedro en la figura 8.9a cae dentro del bloque y por lo tanto no intersecta el triángulo de superficie. Esto provee la distinción entre los dos tipos generales de geometría de bloque: uno con un eje normal interno, el otro con un eje normal externo. Cualquier plano imaginario construido a través del eje normal es llamado un plano normal; un número infinito de planos normales puede ser generado por la rotación de un solo plano normal alrededor del eje normal. En la figura 8.9a todos los planos normales deben cortar completamente el bloque porque el eje normal es interno. Sin embargo en la figura 8.9b, el eje normal es externo, y consecuentemente todos los planos normales no necesariamente intersectan el bloque. Si un plano normal intersecta a un bloque determinado, cortará completamente a dos triángulos de superficie del bloque para definir dos líneas de superficie del bloque. Las esquinas del bloque son líneas especiales de superficie del bloque puesto que son comunes a un par de triángulos adyacentes de superficie del bloque. Para ciertos propósitos es conveniente representar la orientación de una línea de superficie de bloque mediante un vector unitario, con un sentido que lo dirija hacia afuera del ápice del bloque y hacia afuera del espacio libre. Las figuras 8.9c y 8.9d muestran las proyecciones hemisféricas que contienen triángulos esféricos cinemáticamente congruentes con los bloques tetraédricos en las figuras 8.9a y 8.9b, respectivamente. Esto significa que en cada caso, el plano de proyección (el perímetro de la red) es paralelo al frente rocoso. El centro de la proyección es, por lo tanto, normal al frente rocoso y paralelo al eje normal del bloque. En cada caso, los grandes círculos de los tres planos de discontinuidad se intersectan para originar las tres esquinas del bloque y con esto delimitan el triángulo esférico congruente. Cualquier diámetro de la proyección representa el gran círculo de un plano normal. En la figura 8.9c cualquier plano normal intersectará el triángulo esférico en dos puntos para definir un par de líneas de superficie de bloque. El bloque al que se hace referencia en la figura 8.9d tiene un eje normal externo; por lo que, el triángulo esférico de esta figura no rodea el eje normal en el centro de la proyección. Esto significa que solamente aquellos planos normales dentro de un rango específico de orientaciones intersectan el triángulo esférico. En cada caso, el perímetro del triángulo esférico puede se considerado como el lugar geométrico generado por un número infinito de líneas de superficie de bloque radiando desde el ápice del bloque hacia el frente rocoso. Vale la pena apreciar que siempre es posible encontrar una línea que radia desde el ápice del bloque y cae en una discontinuidad plana dada, pero que no es una línea de superficie de bloque para el bloque dado. Tal como una línea, mostrada en la figura 8.9c, no cae en el triángulo esférico congruente y debe, por lo tanto, tener una orientación que se ubique fuera de la superficie física del bloque dado. Cualquier bloque que se suponga que tiene un mecanismo de falla por deslizamiento debe, si es inestable, deslizarse a lo largo de una línea de superficie de bloque.

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Figura 8.9 (a y b) Propiedades geométricas de bloques tetraédricos y (c y d) sus respectivos triángulos esféricos cinemáticamente

congruentes Cada una de las figuras 8.7 y 8.8 contienen diez triángulos esféricos diferentes; algunos de los cuales rodean el centro de la proyección y por tanto tienen un eje normal interno. Cuando rotamos la línea de máxima inclinación del frente rocoso, Dfr, se coloca en el azimut suroeste de la red, el rumbo del frente rocoso se ubicará en el diámetro este-oeste de la red. Puede ser útil, cuando la proyección esta en esta posición, imaginar que estamos sentados dentro de la masa rocosa de manera que la proyección hemisférica inclinada representa la “vista” mirando hacia fuera de la superficie libre a lo largo de la normal al frente rocoso. Los puntos, norte, sur, este y oeste de la red deberán interpretarse como: arriba, abajo, derecha e izquierda respectivamente en el plano del frente inclinado. El gran círculo del plano horizontal rotado intersecta al gran círculo de cada plano en la proyección para definir, en cada caso, el rumbo del plano. Cualquier punto trazado del mismo lado del plano horizontal de Dfr estará debajo de la horizontal; y cualquier punto trazado del lado opuesto de Dfr estará sobre la horizontal. Cuando trabajamos con rasgos puramente geométricos no es necesario considerar el sentido de la línea asociada. Por simplicidad, en una proyección hemisférica inferior todas las líneas se consideran con sentido hacia abajo. De igual forma, en una proyección hemisférica inclinada nos conviene asumir que todas las líneas puramente geométricas tienen un sentido que las dirige hacia afuera, desde la masa rocosa hacia el espacio libre. Por lo tanto, en una proyección hemisférica inclinada, si un punto que representa una línea puramente geométrica se traza debajo de la horizontal, entonces interpretamos que la línea esta dirigida hacia abajo y hacia el espacio libre. Un punto geométrico que se traza encima de la horizontal representa una línea que esta dirigida hacia arriba y hacia el espacio libre. El ángulo de echado de la línea representada por cualquier punto dado se obtiene en una proyección hemisférica inclinada colocando el punto y la vertical rotada, Nhr, en un gran círculo común. El echado es el ángulo agudo medido a lo largo de este gran círculo desde el punto dado hasta el plano horizontal rotado. En algunos casos este puede ser el ángulo externo en el gran círculo. La línea mas vertical dirigida hacia abajo en una proyección construida para una superficie con salida está dada por la vertical rotada, Nhr. La línea más vertical dirigida hacia abajo en una proyección para una superficie sin salida esta dada por la línea rotada de máxima inclinación, Dfr, de la superficie. En cualquier caso la línea mas vertical se interpreta como el “punto del fondo” de la proyección.

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Cuando una o mas superficies planas, libres y adicionales se presentan cerca de la superficie rocosa principal, es absolutamente válido tratar cada una de las superficies adicionales de la misma forma que un plano de discontinuidad cuando se construye la proyección hemisférica inclinada para la superficie principal. Cualquier superficie adicional puede, bajo ciertas circunstancias, instersectar planos de discontinuidad y/o otras superficies libres, para definir un bloque tetraédrico cinemáticamente factible, la geometría del cual esta relacionada directamente al triángulo esférico cinemáticamente congruente en la proyección de la forma usual. Sin embargo, es importante tener en cuenta que las rocas se presentan solamente en un lado de cualquier superficie libre determinada. Consecuentemente, si un triángulo esférico cinemáticamente factible formando una superficie libre adicional genera el bloque asociado en el lado del espacio libre de esa superficie, entonces ese bloque no puede existir. Si una o mas superficies libres adicionales vana a estar involucradas en la delimitación de un bloque tetraédrico válido, entonces el triángulo esférico cinemáticamente congruente asociado debe estar en el lado de la masa rocosa en cada una de las superficies. Esto significa que, a fin de delimitar un bloque válido, una superficie libre adicional con salida puede participar solamente en triángulos esféricos que caigan sobre ella en la proyección; una superficie libre sin salida solo puede participar en triángulos esféricos que estén por debajo de ella. Estas restricciones solamente se aplican cuando la superficie libre adicional forma efectivamente parte de un triángulo esférico dado; aquellos triángulos que implican tres planos de discontinuidad son interpretados en la forma usual. En algunas situaciones se pueden conocer una o varias ubicaciones actuales de las superficies libres adicionales. En este caso solamente aquellas superficies libres que existen en el lado de la masa rocosa de la superficie principal necesitan ser incluidas en el análisis. Aquellas superficies libres en el lado del espacio libre de la superficie principal forman esquinas de reingreso que no pueden formar bloques tetraédricos. Esto se ilustra en la figura 8.10. La situación mas común involucrando una superficie libre adicional, es cuando un talud de una roca sin salida tiene un “tope” formado por una superficie libre sin salida, la cual con frecuencia tiene un ángulo de echado relativamente pequeño.

Figura 8.10a Localización de las superficies libres adicionales permisibles en un frente rocoso principal con salida

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Figura 8.10b Localización de las superficies libres adicionales permisibles en un frente principal sin salida

8.4.2 Interpretación del comportamiento de bloques bajo condiciones generales de carga La estabilidad y en su caso el mecanismo de falla de un bloque dado depende de la orientación, magnitud y sentido de la resultante del vector fuerza r que actúa sobre el bloque. Los métodos para determinar r, lo cual implica calcular el peso del bloque y el análisis de las fuerzas externas se obtienen mediante pruebas de laboratorio. Cuando los vectores fuerza se trazan en una proyección hemisférica inferior es muy importante anotar el sentido de cada fuerza. Dependiendo de su orientación y sentido, un fuerza resultante r puede estar dirigida hacia el espacio libre o hacia la masa rocosa. Para analizar esto primero es necesario representar la orientación de la fuerza resultante en una proyección hemisférica inclinada adecuada, llevando el punto r a través de la rotación ςf de la forma usual, para dar la fuerza resultante rotada rr. El análisis, basado en el sentido de r y la posición de rr en la proyección hemisférica inclinada, se resume en la tabla 8.1. Tabla 8.1 Interpretación del sentido de una fuerza en una proyección hemisférica inclinada

Posición de rr en la proyección hemisférica inclinada Sentido de la fuerza r Se traza arriba del plano

horizontal Se traza debajo del plano

horizontal

Sentido hacia arriba La fuerza esta dirigida hacia el espacio libre

La fuerza esta dirigida hacia la masa rocosa

Sentido hacia abajo La fuerza esta dirigida hacia la masa rocosa

La fuerza esta dirigida hacia el espacio libre

Cuando analizamos la forma en que se comportará un bloque dado suponemos que dicho bloque tenderá a moverse en la dirección del vector resultante rr, a menos que el macizo rocoso adyacente a los planos de discontinuidad que delimitan el bloque lo impidan. Esta restricción se presenta si uno o más de estos planos de discontinuidad están orientados de tal forma que mantengan un estado de compresión con rr. En este caso, el bloque solamente puede fallar por deslizamiento en uno o dos planos de compresión a lo largo de la línea de superficie del bloque

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asociada con el valor mayor de esfuerzo cortante en este o estos planos. Esta dirección de deslizamiento potencial esta dada por la línea de superficie del bloque que forma el ángulo agudo sólido más pequeño con rr. Si consideramos a cada una de las líneas de superficie del bloque como un vector unitario radiando desde el ápice del bloque hacia el espacio libre, este ángulo agudo se debe medir entre su extremo positivo y el extremo positivo de rr. Consecuentemente si rr se dirige hacia fuera al espacio libre este ángulo agudo se debe medir internamente en la proyección hemisférica inclinada. Sin embargo, si rr se dirige hacia adentro de la masa rocosa es necesario medir este ángulo agudo externamente en la proyección. En este último caso es mas conveniente determinar la dirección del deslizamiento ubicando la línea de superficie del bloque que forma el ángulo obtuso mas grande con rr cuando es medido internamente en la proyección. Este ángulo es por lo tanto, en este último caso, medido desde el extremo negativo del vector rr. Esto siempre da el mismo resultado que el obtenido tomando el ángulo agudo extreno mas pequeño, pero en cierta forma es mas fácil de medir y visualizar. Si se encuentra que el ángulo sólido mas pequeño entre una línea de superficie del bloque y rr es mayor de 90° entonces el bloque asociado no puede llegar a ser inestable porque la fuerza resultante, cualquiera que sea su magnitud, genera componentes de cortante que tienden a empujar al bloque hacia adentro de la masa rocosa. El perímetro de cualquier triángulo esférico cinemáticamente congruente nos da la ubicación geométrica de las líneas de superficie del bloque para el bloque asociado. La relación entre la geometría del bloque y la orientación de la fuerza resultante que actúa sobre éste se expresa en términos del ángulo θ medido desde rr hasta el punto L, el cual representa una línea de superficie del bloque en el perímetro del triángulo esférico asociado. Este ángulo θ se cuenta internamente a lo largo del gran círculo que contiene a rr y L y por lo tanto se ubicará en el rango 0 < θ < 180°. En un triángulo esférico determinado siempre existirá un solo punto Lmin, representando la línea de superficie del bloque que forma el ángulo mínimo posible θmin con rr. También existirá un solo punto Lmax, que representa la línea de superficie del bloque que forma en ángulo máximo posible θmax con rr. Cualquiera de estos puntos Lmin o Lmax pueden representar una línea que se ubica en un solo plano de discontinuidad o alternativamente en una esquina del bloque, dependiendo de la orientación de rr y la geometría del bloque. Aunque de hecho solo pueden existir hasta seis posibles candidatos para Lmin y Lmax en un triángulo esférico dado. Los primeros tres candidatos se ubican en cada uno de los tres planos implicados en el punto donde cada plano es intersectado por el gran círculo que contiene tanto a rr como a la normal rotada del plano. Sin embargo, si el punto definido en esta forma no se ubica en el triángulo esférico debe ser eliminado puesto que no representa una línea de superficie del bloque. Los tres posibles candidatos restantes son las esquinas del triángulo esférico, las cuales representan las tres esquinas del bloque. Estas mediciones están ilustradas en la figura 8.11, la cual es la proyección hemisférica inclinada previamente presentada en la figura 8.7 pero en este caso solo contiene los planos 1, 2 y 3 así como sus normales rotadas. Se supone que el vector resultante r que actúa sobre el bloque tiene una dirección del echado/echado 333/28 y sentido hacia abajo. La representación hemisférica inclinada de este vector, marcado como rr se obtuvo por rotación en la forma usual. Los ángulos θ medidos desde rr hasta los puntos extremos en los planos 1, 2 y 3 son 63°, 56° y 70° respectivamente. Los puntos extremos en los planos 1 y 2 sin embargo no se ubican sobre el triángulo esférico así que son ignorados. Los ángulos θ medidos desde rr hasta las esquinas del triángulo esférico son de 96° para la intersección entre los planos 1 y 2, 72° para 2 y 3 y de 79° para 1 y 3. De aquí que θmin es de 70° y Lmin se ubica en el plano 3; θmax es de 96° y Lmax es la esquina formada por la intersección entre los planos 1 y 2.

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Figura 8.11 Determinación de los puntos extremos Lmin y Lmax sobre un triángulo esférico

Los valores de θmin y θmax así como el sentido y orientación de rr, son indicadores importantes de cómo se comportará el bloque tetraédrico asociado. Las distintas combinaciones posibles de estos valores originan cinco diferentes categorías de comportamiento del bloque que se resumen en la tabla 8.2 y se ilustran en la figura 8.12. Para una mejor claridad en esta figura, el vector resultante ha sido trazado de tal manera que actúe a través del ápice de cada bloque. En general, sin embargo, se supone que este vector actúa a través del centro de masa de un bloque determinado. En los casos donde rr esta dirigido hacia adentro de la masa rocosa, el ángulo interno θmax debe ser medido desde su extremo negativo.

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Tabla 8.2 Comportamiento de bloques tetraédricos cinemáticamente factibles sujetos a un vector fuerza resultante r

rr está dirigido hacia el espacio libre rr está dirigido hacia la masa rocosa θmin ≥ 90° θmin < 90° θmax ≤ 90° θmax > 90°

rr se traza fuera del triángulo

esférico

Ia El bloque asociado no se puede mover

IIa Si es inestable, el bloque asociado se desliza hacia afuera a lo largo de Lmin

a

rr se traza dentro del triángulo

esférico

III

Si es inestable, el bloque asociado se mueve en la dirección de rr

Ib El bloque

asociado no se puede mover

IIb Si es inestable, el bloque asociado se desliza hacia fuera a lo largo

de Lmaxb

a Lmin = Línea de superficie del bloque que forma el ángulo agudo mas pequeño θmin, con rr. b Lmax = Línea de superficie del bloque que forma el ángulo obtuso mas grande θmax, con rr.

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Figura 8.12 Comportamiento de bloques tetraédricos cinemáticamente factibles sujetos a la resultante de un vector fuerza rr

Si rr está dirigido hacia el espacio libre y se traza fuera del triángulo esférico, entonces el comportamiento del bloque asociado depende solamente del valor de θmin: si θmin ≥ 90° entonces el bloque asociado no se puede mover (Categoría Ia, Figura 8.12a); si θmin < 90° entonces el bloque asociado, en caso de ser inestable, se deslizará hacia el espacio libre a lo largo de la línea de superficie del bloque representada por el punto Lmin (Categoría IIa, Figura 8.12b). Si rr se dirige hacia la masa rocosa, entonces el comportamiento del bloque asociado depende únicamente de valor de θmax, sin considerar si rr se traza fuera o dentro del triángulo esférico: si θmax ≤ 90° entonces el bloque asociado no se puede mover (Categoría Ib, Figura 8.12c); si θmax > 90° y si el bloque asociado es inestable entonces se deslizará hacia el espacio libre a lo largo de la línea de superficie del bloque representada por Lmax (Categoría IIb, Figura 8.12d). Si rr se dirige hacia el espacio libre y también se traza dentro del triángulo esférico, entonces el bloque asociado, si es inestable, se moverá a través del espacio libre en la dirección de rr (Categoría III, Figura 8.12e). Los bloques en la categoría I no se pueden mover porque el vector fuerza resultante genera componentes de esfuerzos cortantes que tienden a meter el bloque hacia adentro de la masa rocosa. Los bloques en la categoría II sufren deslizamiento si son inestables porque el vector

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fuerza resultante genera componentes de esfuerzo cortante que tienden a sacar el bloque hacia el espacio libre por deslizamiento a lo largo de uno o dos planos que se mantienen en un estado de compresión. Si el punto extremo apropiado Lmin o Lmax esta ubicado en un solo plano entonces el bloque, si es inestable, se deslizará solo en ese plano. Si el punto extremo representa una esquina del bloque, entonces si es inestable, se deslizará a lo largo de una línea de intersección de los dos planos que forman la esquina. La orientación y echado reales de la dirección de deslizamiento se puede encontrar invirtiendo la rotación ςf para el punto, o alternativamente volviendo a trazar los planos implicados en una proyección hemisférica inferior común. Los bloques en la categoría IIa son más probables de ser inestables si θmin es pequeño; aquellos en la categoría IIb son mas probables de ser inestables si θmax es mayor. Los bloques en la categoría III son “jalados” de la masa rocosa puesto que el vector fuerza resultante induce la separación a través de cada plano de discontinuidad. Si el bloque bajo análisis está formado por una combinación válida de planos de discontinuidad y una o mas superficies libres adicionales, es necesario considerar la posibilidad de que el bloque pueda fallar por desplazamiento de una de las superficies libres adicionales. Si un bloque determinado ha sido clasificado como categoría I en la superficie principal, esta posibilidad se puede investigar construyendo una proyección hemisférica inclinada para cada una de las superficies libres adicionales en cuestión. Cuando se interpretan triángulos esféricos que involucran superficies libres adicionales, es importante reconocer que una superficie libre nunca puede formar un plano de deslizamiento, ya sea por si sola o en combinación con un plano de discontinuidad puesto que el deslizamiento requiere una interfase roca a roca. En la práctica, esta complicación aparece muy raramente cuando se analizan bloques tetraédricos válidos puesto que en la mayoría de los casos la superficie libre adicional no tiene salida y forma la superficie superior del bloque. Volviendo a la ilustración en la figura 8.11, el vector resultante que actúa sobre el bloque tiene un sentido hacia abajo y puesto que rr se traza por debajo de la horizontal, debe estar dirigido hacia el espacio libre (Tabla 8.1). Puesto que rr se traza fuera del triángulo esférico en la figura 8.11 y θmin < 90°, si el bloque asociado es inestable, se deslizará hacia fuera a lo largo de Lmin, la cual en este caso se ubica en el plano 3. La orientación y echado reales de la línea de superficie del bloque Lmin se encuentra invirtiendo la rotación ςf, para este punto es de 116/79. Los principios explicados en esta sección y resumidos en la tabla 8.2 y figura 8.12 son de vital importancia cuando se predicen mecanismos de falla y se analiza la estabilidad de bloques tetraédricos. 8.4.3 Interpretación del comportamiento de bloques bajo simple carga gravitacional En los macizos rocosos secos y donde no existe ninguna fuerza externa, los bloques están con frecuencia sujetos solamente a la simple carga gravitacional. En tales casos el vector fuerza resultante r en el bloque actúa en una dirección vertical con sentido hacia abajo. La orientación de rr en la proyección hemisférica inclinada por lo tanto esta dada por la vertical rotada Nhr. En cualquier superficie con salida rr se traza por debajo de la horizontal y por consiguiente está dirigida hacia el espacio libre; en cualquier superficie sin salida rr se traza por encima de la horizontal y por lo tanto está dirigida hacia adentro de la masa rocosa (Tabla 8.1). Puesto que durante la construcción la línea de máxima inclinación de la superficie no se transfiere a través del diámetro de la proyección, una superficie vertical debe ser interpretada como si tuviera salida. En cualquier proyección hemisférica inclinada, el plano horizontal da la ubicación geométrica de puntos que forman un ángulo de 90° con Nhr. Por lo tanto ahora es posible volver a escribir la interpretación generalizada de la tabla 8.2 para el caso específico de bloques que están sujetos

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solamente a la simple carga gravitacional. La interpretación resultante, la cual esta en la tabla 8.3 y se ilustra en la figura 8.13, es equivalente en todos los aspectos a la interpretación generalizada descrita en la sección anterior y resumida en la tabla 8.2 y figura 8.12. Como antes, solo pueden existir hasta seis posibles candidatos para Lmin y Lmax en un triángulo esférico determinado. En este caso, sin embargo, los primeros tres candidatos están dados por las líneas giradas de máxima inclinación Dir, de los tres planos implicados puesto que estas líneas deben ser coplanares con la normal asociada Nir y la fuerza vertical resultante. Una vez más, si uno de estos puntos no se ubica en el triángulo esférico, debe ser eliminado puesto que no representa una línea de superficie del bloque. Como antes, los tres posibles candidatos restantes son las esquinas del triángulo esférico, las cuales representan las tres esquinas del bloque. En muchos casos es relativamente fácil identificar Lmin y Lmax simplemente inspeccionando las líneas de máxima inclinación de los planos y las esquinas del triángulo esférico. Tabla 8.3 Comportamiento de bloques tetraédricos cinemáticamente factibles sujetos a simple

carga gravitacional

Superficie rocosa con salida (o

vertical), rr se dirige hacia el espacio libre

Superficie rocosa sin salida, rr se dirige hacia la masa rocosa

El triángulo esférico se traza completamente por arriba del

plano horizontal

Parte del triángulo esférico

se traza debajo del plano horizontal

El triángulo esférico se traza completamente por arriba del

plano horizontal

Parte del triángulo esférico

se traza debajo del plano horizontal

Nhr se traza fuera del triángulo

esférico

Ia Bloque asociado

dirigido hacia arriba, no se puede mover

IIa Si es inestable, el bloque asociado se desliza hacia fuera a lo largo

de Lmina

Nhr se traza dentro del

triángulo esférico

III

Si es inestable, el bloque asociado cae verticalmente

Ib Bloque asociado

dirigido hacia arriba, no se puede mover

IIb Si es inestable, el bloque asociado se desliza hacia fuera a lo largo

de Lmaxb

a Lmin = Línea de superficie del bloque que forma el ángulo agudo mas pequeño θmin, con Nhr. b Lmax = Línea de superficie del bloque que forma el ángulo obtuso mas grande θmax, con Nhr.

Los bloques en la categoría I no pueden moverse porque todas las líneas de superficie del bloque están dirigidas hacia arriba y hacia la superficie de la roca (Figuras 8.13a y c). Los bloques en la categoría II presentan desplazamiento, si son inestables, a lo largo de una sola línea de superficie del bloque que tiene la pendiente mas inclinada (Figuras 7.13b y d). Esta línea de extremo dada por Lmin en una superficie con salida y Lmax en una superficie sin salida, pueden ser la línea rotada de máxima inclinación de un solo plano (dando un solo plano de deslizamiento) o la línea de intersección entre dos planos (dando doble plano de deslizamiento en los dos planos). En caso de un solo plano de deslizamiento la orientación y echado de la dirección de deslizamiento están dados por la dirección del echado/echado del plano en cuestión. Donde se predice un doble plano de deslizamiento, la orientación real de la línea de intersección se puede encontrar ya sea invirtiendo la rotación ςf para el punto de intersección o volviendo a trazar los planos implicados

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en una proyección hemisférica inferior común. Los bloques en la categoría II son mas probables de ser inestables si la dirección de deslizamiento predicha tiene una pendiente de echado hacia abajo. Esto ocurre para los bloques en la categoría IIa cuando θmin es pequeño y para los bloques en la categoría IIb cuando θmax es grande. Aquellos bloques en la categoría III simplemente caen verticalmente desde la superficie de la roca si son inestables (Figura 7.13e).

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Figura 8.13 Comportamiento de bloques tetraédricos cinemáticamente factibles sujetos solamente a carga gravitacional simple

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8.4.4 Resumen y ejemplos El proceso de interpretación de una proyección hemisférica inclinada se resume como sigue:

1) Cada triángulo esférico en la proyección es cinemáticamente congruente con el bloque tetraédrico asociado en la superficie dada. Un triángulo esférico se puede considerar como la ubicación geométrica de líneas de superficie del bloque para el bloque asociado. Cualquier bloque que se deduzca que tiene un mecanismo de falla por deslizamiento, si es inestable, debe deslizarse a lo largo de una línea de superficie del bloque.

2) El gran círculo del plano horizontal rotado, divide a la proyección en dos zonas: una por arriba y otra por debajo de la horizontal. La línea rotada de máxima inclinación Dfr, de la superficie rocosa sirve para diferenciar estas zonas puesto que siempre se traza por debajo de la horizontal. Cuando esta línea rotada de máxima inclinación está colocada en el azimut sur de la red, los puntos originales del norte, sur, este y oeste son interpretados como arriba, abajo, derecha e izquierda respectivamente en el plano de la superficie inclinada.

3) Cualquier línea meramente geométrica, representada por un punto en la proyección se supone que está dirigida hacia el espacio libre, en una dirección hacia arriba si se traza por encima del plano horizontal rotado y hacia abajo si se traza por debajo de este plano. El ángulo de echado de una línea dada es el ángulo agudo que va desde esa línea hasta el plano horizontal rotado, medido a lo largo del gran círculo que contiene la vertical Nhr.

4) Un bloque tetraédrico válido, que contiene una o mas superficies libres adicionales, solamente se puede formar si el triángulo esférico asociado construye el bloque en el lado de la masa rocosa de cada superficie.

5) La representación hemisférica inclinada rr del vector fuerza resultante r que actúa sobre un bloque dado se puede usar para determinar la forma de falla del bloque si es inestable. La dirección de rr ya sea hacia el espacio libre o hacia la masa rocosa, depende del sentido de r y de la posición de rr en la proyección hemisférica inclinada como se resume en la tabla 8.1.

6) La relación entre la geometría de un bloque dado y la orientación de la fuerza resultante que actúa sobre ella se expresa en términos del ángulo θ contado internamente desde rr hasta el punto L, el cual representa una línea de superficie del bloque en el perímetro del triángulo esférico asociado. Siempre habrá un punto único Lmin asociado con el valor mínimo de θ, θmin y otro punto único Lmax asociado con el valor máximo θmax. Puede haber solamente hasta seis posibles candidatos para Lmin y Lmax en un triángulo esférico dado: en cada uno de los tres planos implicados, en el punto donde cada plano es intersectado por el gran círculo que contiene tanto a rr como a la normal rotada del plano; los tres candidatos restantes son las esquinas del triángulo esférico. Los valores de θmin y θmax, y también la dirección y orientación de rr, son indicadores importantes de cómo se comportará el bloque tetraédrico asociado. Las distintas combinaciones posibles de estos valores dan origen a cinco categorías diferentes del comportamiento del bloque como se resume en la tabla 8.2 y la figura 8.12.

7) Donde los bloques están sujetos solamente a la simple carga gravitacional, el vector fuerza resultante en el bloque actúa hacia abajo en dirección vertical dado por Nhr en una proyección hemisférica inclinada. Por lo tanto esta fuerza esta dirigida hacia fuera en una superficie con salida y hacia el interior de la masa rocosa cuando la superficie no tiene salida. Como antes, solo existen seis posibles candidatos para Lmin y Lmax en un triángulo esférico determinado. En este caso los bloques que se supone son potencialmente inestables ya sea deslizándose por la línea de superficie del bloque de máxima inclinación

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o bien cayendo verticalmente en caso de ser inestable. La interpretación del comportamiento de los bloques que están sujetos solo a la simple carga gravitacional se resume en la tabla 8.3 y figura 8.13.

8) Si la dirección de deslizamiento predicha para un bloque dado se ubica en un solo plano, entonces el bloque se deslizará solo en ese plano si es inestable. Si la dirección de deslizamiento pronosticada se ubica en una esquina del triángulo esférico y es inestable, entonces el bloque se deslizará en los dos planos implicados a lo largo de su línea de intersección, la cual esta representada por la esquina. Es más probable que los bloques que se supone tienen una falla por deslizamiento sean inestables cuando θmin es pequeño o cuando θmax es grande. Si el bloque que se analiza esta formado por una combinación válida de planos de discontinuidad y una o mas superficies libres adicionales, etonces la dirección de deslizamiento nunca se ubicará en el plano de una de estas superficies libres adicionales.

Los siguientes ejemplos ilustran la interpretación del comportamiento de un bloque bajo condiciones de simple carga gravitacional. Ejemplo 8.3 (Figura 8.7) Analice los modos de falla que podrían ser inducidos por simple carga gravitacional de los bloques tetraédricos representados por los triángulos esféricos en la proyección hemisférica inclinada en la figura 8.7 formada por una superficie con salida de dirección del echado/echado 120/50. En el caso de mecanismos de deslizamiento, dar el o los planos de deslizamiento y también la dirección del mismo. El primer paso es colocar la línea rotada de máxima inclinación de la superficie rocosa, Dfr, en el azimut sur de la red. La vertical rotada, Nhr, representa el vector fuerza resultante, el cual actúa hacia abajo en cada uno de los diez bloques tetraédricos dados por los diez triángulos esféricos cinemáticamente congruentes en la proyección. Puesto que Nhr se traza por debajo del plano horizontal y representa una fuerza con un sentido hacia abajo, esta fuerza resultante debe estar dirigida hacia el espacio libre (Tabla 8.1). Todos los bloques deben, por lo tanto, pertenecer ya sea a la categoría Ia, IIa o III en la tabla 8.3. Ningún triángulo esférico en la figura 8.7 se traza completamente por encima del plano horizontal, por eso no existe ningún bloque en la categoría Ia (esta es una situación común cuando la superficie rocosa tiene salida así como un ángulo de echado relativamente pequeño). Hay cinco triángulos esféricos y cada uno encierra la dirección vertical rotada Nhr, y por lo tanto representan bloques de la categoría III que pueden caer verticalmente desde esta superficie con salida. Estos bloques son los siguientes: 1,2,4 (definidos por las intersecciones de los planos 1, 2 y 4), 1,2,5 1,3,5 2,3,4 y 3,4,5. Los cinco triángulos esféricos restantes representan bloques de la categoría IIa los cuales si son inestables en cada caso se deslizan hacia fuera a lo largo de sus líneas de superficie del bloque Lmin, que forma el ángulo agudo mas pequeño θmin medido internamente desde Nhr. El triángulo esférico definido por la intersección de los planos 1, 2 y 3 tiene un θmin de solamente 9°, dado por la línea rotada de máxima inclinación del plano 3, D3r, el cual representa Lmin para el bloque asociado. Por lo tanto si este bloque es inestable, deberá deslizarse sobre el plano 3, debajo de su línea de máxima inclinación, la cual tiene una orientación/echado de 150/81. Los bloques 1,4,5 y 2,4,5 también si son inestables, sufren deslizamiento en un solo plano, en primero en el plano 4 (352/32) y el segundo en el plano 5 (048/64). El bloque 1,3,4 no puede caer verticalmente puesto que no encierra a Nhr. El plano 1 de este bloque se traza mas cerca a Nhr y debe por lo tanto, contener a Lmin. Sin embargo la línea de máxima inclinación de este plano, D1r, no es una línea de superficie del bloque. Consecuentemente para este bloque Lmin es la intersección de los planos 1 y 3 los

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cuales dan un θmin de 47°. En este caso, el otro candidato principal para Lmin, la intersección entre los planos 1 y 4 tiene un ángulo θ mayor de 74°. El bloque 1,3,4 por lo tanto se deslizará, si es inestable, sobre los planos 1 y 3 a lo largo de su línea de intersección la cual desde una proyección hemisférica inferior tiene una orientación/echado de 231/43. El bloque 2,3,5 también, si es inestable, experimentará un doble plano de deslizamiento. En este caso Lmin esta dado por la intersección entre los planos 2 y 3 lo cual da una dirección de deslizamiento de orientación/echado 080/65. El análisis completo de los 10 bloques resumidos en la tabla 8.4 muestra que esta superficie rocosa con salida podría presentar serios problemas de estabilidad, no solamente de caída sino también de deslizamiento de los bloques. La fuerte inclinación de muchas de las direcciones de deslizamiento sería de interés especial. Tabla 8.4 Resumen de resultados para el ejemplo 8.3 relativos a la figura 8.7

Bloque Planos de deslizamiento Dirección del deslizamiento

si es inestable (orientación/echado)

1,2,3 1,2,4 1,2,5 1,3,4 1,3,5 1,4,5 2,3,4 2,3,5 2,4,5 3,4,5

3 Cae verticalmente Cae verticalmente

1 y 3 Cae verticalmente

4 Cae verticalmente

2 y 3 5

Cae verticalmente

150/81 ─ ─

231/43 ─

325/32 ─

080/65 048/64 ─

Ejemplo 8.4 (Figura 8.8) Analice los modos de falla que podrían ser inducidos por la simple carga gravitacional de los bloques tetraédricos representados por los triángulos esféricos en la proyección hemisférica inclinada en la figura 8.8 constituida por una superficie sin salida de dirección del echado/echado 251/60. Realice este análisis suponiendo que el plano 5 es una superficie libre adicional sin salida localizada del lado de la masa rocosa de la superficie principal. En el caso de mecanismos de deslizamiento, dar el plano o los planos de deslizamiento y también la dirección del mismo. Como en el ejemplo anterior el primer paso es colocar Dfr en el azimut sur de la red. En el plano 5 se puede considerar que la superficie libre adicional forma la parte superior de la superficie sin salida principal y solo puede estar relacionada con bloques que estén formados del lado de la masa rocosa. Puesto que el plano 5 representa una superficie sin salida, únicamente aquellos triángulos esféricos construidos por debajo de ella en la proyección están asociados con bloques tetraédricos válidos. Los cuatro triángulos esféricos formados por los planos 1, 2 y 5, planos 1, 3 y 5 planos 2, 3 y 5 y planos 3, 4 y 5 todos ellos se presentan encima del plano 5 y por lo tanto no representan bloques válidos. Los seis triángulos esféricos restantes están asociados con los bloques tetraédricos válidos cinemáticamente factibles en esta superficie. Como antes, la vertical rotada, Nhr, representa el vector fuerza resultante el cual actúa hacia abajo en cada uno de estos bloques. Puesto que en este caso Nhr se traza por encima del plano horizontal y representa una fuerza con un sentido hacia abajo, esta fuerza resultante debe de estar dirigida hacia la masa

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rocosa (Tabla 8.1). Por lo tanto, los seis bloques restantes deben pertenecer ya sea a la categoría Ib o IIb en la tabla 8.3 Claramente, ningún bloque puede caer verticalmente desde esta superficie sin salida. El triángulo esférico formado por la intersección de los planos 1, 2 y 3 se traza por completo encima del plano horizontal rotado, así el bloque asociado debe ser de categoría Ib. Esto significa que todas las líneas de superficie del bloque están dirigidas hacia arriba al espacio libre y de esta manera el bloque no se puede deslizar o caer de la superficie bajo la simple carga gravitacional. Los cinco triángulos esféricos restantes representan bloques de la categoría IIb los cuales, si son inestables, en cada caso se deslizan hacia fuera a lo largo de sus líneas de superficie del bloque, Lmax, que forma el ángulo obtuso mayor θmax medido internamente desde Nhr. Es relativamente fácil encontrar Lmax para un triángulo esférico dado, puesto que simplemente es la línea de superficie del bloque que se traza mas abajo del plano horizontal rotado. El triángulo esférico formado por los planos 1, 2 y 4 se traza parcialmente por debajo de la horizontal, con el plano 4 formando el margen inferior del bloque. La línea Lmax para este triángulo esférico, dada por la línea rotada de máxima inclinación del plano 4, D4r, tiene un θmax de 131°. Los otros dos candidatos para Lmax en este triángulo esférico, la intersección entre los planos 1 y 4 y la intersección entre los planos 2 y 4, tienen valores de θ de 123° y 127° respectivamente. Por definición, la línea de máxima inclinación de un plano dado, siempre será la de mayor inclinación que cualquier otra línea en el plano. El bloque 1,2,4 si es inestable, se deslizará en el plano 4, hacia debajo de su línea de máxima inclinación de orientación/echado 244/41. Los bloques 1,3,4 y 1,4,5 si son inestables, también se deslizarán sobre el plano 4 en esta dirección. El plano 4 también forma el margen inferior del bloque 2,3,4 y por lo tanto debe contener a Lmax. Sin embargo, la línea de máxima inclinación D4r de este plano no es una línea de superficie del bloque. Consecuentemente para este bloque Lmax es la intersección de los planos 2 y 4 los cuales dan un θmax de 127° y para una proyección hemisférica inferior ordinaria, tiene una orientación/echado de 237/37. El bloque 2,4,5 si es inestable, también se desliza en los planos 2 y 4 en esta dirección. El análisis completo de este ejemplo se resume en la tabla 8.5 y confirma que la superficie libre adicional (plano 5) nunca forma un plano de deslizamiento. Este caso siempre será así porque el deslizamiento requiere de una interfase roca a roca. Los resultados en esta tabla sugieren que los planos 2 y 4 son de importancia crítica en el control de la estabilidad de los bloques de roca expuestos en la superficie sin salida. Tabla 8.5 Resumen de resultados para el ejemplo 8.4 relativos a la figura 8.8

Bloque Planos de deslizamiento Dirección del deslizamiento

si es inestable (orientación/echado)

1,2,3 1,2,4 1,2,5 1,3,4 1,3,5 1,4,5 2,3,4 2,3,5 2,4,5 3,4,5

Dirigido hacia arriba 4 No válido 4 No válido 4 2 y 4 No válido 2 y 4 No válido

─ 244/41 ─

244/41 ─

244/41 273/37 ─

273/37 ─

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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Para la interpretación y análisis adecuado de los métodos de proyección hemisférica, así como su aplicación dentro de la mecánica de rocas, es necesario definir los términos y unidades que se utilizan. Cualquier rasgo lineal dado en un espacio tridimensional se registra sin equivocación en términos de su orientación (α) y echado (β) con tres y dos dígitos, respectivamente, separados por una diagonal, por ejemplo 256/40. Los ángulos se expresan en grados, el valor de la orientación va de 0° ≤ α ≤ 360° y para el echado -90° ≤ β ≤ 90°. La normal a un plano de discontinuidad algunas veces es llamada “polo de un plano”. El uso de la palabra polo es confuso sobre todo cuando se trabaja con la proyección polar por lo que en todo este trabajo se denominó simplemente normal. Existen dos tipos de proyección para generar las redes ecuatoriales y polares, estas son: las de áreas iguales y ángulos iguales. La proyección de áreas iguales también se conoce como proyección de Lambert o Schmidt y son las redes de las figuras 2.4 y 2.11. La proyección de ángulos iguales también se conoce como proyección estereográfica o de Wulff y sus redes son las mostradas en las figuras 2.5 y 2.12. Ambos tipos de proyección se usan para el análisis de datos geotécnicos. Los geólogos prefieren la proyección de áreas iguales ya que no presenta distorsión de área y esto la hace ideal para analizar normales a las diferentes discontinuidades. Por otro lado los ingenieros civiles prefieren la proyección de ángulos iguales, ya que las construcciones geométricas que se necesitan para solucionar problemas de ingeniería son más sencillas y precisas de lograr con este tipo de proyección. Las ventajas y desventajas que podría haber entre un sistema y otro se compensan cuando se llega a la solución total de un problema, la única limitación que existe es que se debe utilizar un mismo tipo de proyección durante todo un análisis determinado, el querer analizar datos trazados inicialmente en una red de áreas iguales como si lo fueran en una red de ángulos iguales o viceversa resultará un completo fracaso. Debido a que casi siempre se trabaja con las proyecciones en el campo es más práctico y preciso usar la proyección de ángulos iguales, al final de este trabajo se encuentran reproducciones hechas en computadora de la red ecuatorial y polar de ángulos iguales para que puedan ser fotocopiadas. Existen algunas máquinas que distorsionan sus copias por lo que hay que tener cuidado de que las copias no salgan distorsionadas. Para obtener los valores de orientación y echado de cualquier discontinuidad para su análisis posterior usamos la brújula, sin embargo hay que calibrarla previamente al levantamiento ya que existe una diferencia entre el norte magnético y el norte geográfico, esta diferencia se llama declinación magnética, cambia año con año y su valor depende de la ubicación geográfica; en la figura 3.4 se muestran los valores de la declinación para la República Mexicana obtenidos en el año 2005. Todas las brújulas están equipadas con un mecanismo para realizar este ajuste, casi siempre es un tornillo que gira la marca de 0° hacia la izquierda o derecha dependiendo del valor de la declinación, en la figura 3.5 se muestra un ejemplo. Antes de iniciar con los procedimientos básicos debemos tener el material necesario, hay que pegar una fotocopia de la red ecuatorial de ángulos iguales (ubicada al final de este trabajo) en

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una base rígida como puede ser una cartulina ilustración o una tabla de madera; también necesitaremos hojas de papel transparente como pueden ser acetatos o albanene y una chinche o tachuela. Se recomienda marcar sobre las hojas de papel transparente el perímetro de la red así como el punto que indica el norte con una “N”. La forma mas fácil de trazar un gran círculo es colocando el papel transparente de tal forma que la mano que va a dibujar esté diametralmente opuesta a la línea de máxima inclinación, esto permite dibujar el gran círculo con una sola pasada de la mano. También es útil marcar con una pequeña línea los puntos donde el gran círculo intersecta el perímetro de la red ya que esto indica la dirección del rumbo de capa del plano. Cuando se están analizando lugares geométricos definidos por dos ángulos cónicos δ de dos barrenos no paralelos, estos lugares se intersectarán en dos o cuatro puntos, pero si no se tocan o intersectan, entonces hay un error en los datos de entrada. Los datos de orientación de las discontinuidades obtenidas de un barreno o un frente rocoso se pueden representar gráficamente en una proyección hemisférica. La forma más sencilla de hacer esto es trazar puntos que representen las normales de cada uno de los planos de discontinuidad medidos. Estos diagramas permiten identificar grupos de discontinuidades llamados “familias” que pueden tener gran influencia en el comportamiento de la masa rocosa. En teoría el trazo de las discontinuidades normales se debería de hacer en una proyección de áreas iguales ya que ello minimiza los efectos de distorsión de área; sin embargo, se llega a los mismos resultados finales usando la proyección de ángulos iguales. En los estudios de mecánica de rocas, en ocasiones es necesario considerar los efectos de fuerzas que actúan sobre un cuerpo dado. Una fuerza es una cantidad vectorial que tiene una orientación y magnitud. Por ejemplo, la orientación de una fuerza de magnitud F, se puede especificar en términos de la orientación α y echado β de la línea a lo largo de la cual actúa la fuerza. Los métodos de proyección hemisférica ofrecen una herramienta importante para la representación gráfica y el análisis de las propiedades de orientación de vectores. Sin embargo, es muy difícil representar y analizar magnitudes vectoriales en una proyección hemisférica. En muchos casos resulta mas sencillo representar cada vector por sus componentes cartesianas en tres dimensiones, y efectuar el análisis vectorial aplicando los métodos clásicos de álgebra vectorial. Entonces la proyección hemisférica se utiliza solamente para presentar los datos de entrada y salida en forma gráfica. Todas las fuerzas involucradas se pueden dibujar en la proyección hemisférica para su análisis geométrico posterior en el caso que se requiera. Esta aproximación tiene la ventaja de visualizar fácilmente el estado físico real de un problema, poniendo énfasis en la relación que existe entre la geometría de la masa rocosa y las fuerzas asociadas. La estabilidad de una masa rocosa discontinua expuesta en una superficie libre como en un talud o en una excavación subterránea esta controlada por la orientación, geometría y resistencia de las discontinuidades predominantes dentro de la masa. Si estas discontinuidades son suficientemente grandes y frecuentes, al combinarse forman bloques separados que pueden caer o deslizarse por la superficie libre. La primera etapa en el análisis de estabilidad consiste en definir la geometría de un bloque rígido potencialmente inestable, después se postula el mecanismo de falla, se analizan las fuerzas que intervienen y finalmente se determina la estabilidad del bloque. Un bloque es potencialmente inestable si físicamente es capaz de ser removido de la masa rocosa sin perturbar la roca adyacente. Se dice que un bloque de este tipo es cinemáticamente factible, ya que su inestabilidad potencial esta evaluada sobre la base de su libertad para moverse y no sobre las fuerzas que pueden ocasionar este movimiento. Un bloque es actualmente inestable si es

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cinemáticamente factible y si las fuerzas que pretenden mover el bloque de la masa exceden a aquellas a mantenerlo en su lugar. El proceso de satisfacer las dos condiciones de proyección para una superficie no horizontal, a fin de generar triángulos esféricos que son cinemáticamente congruentes con la superficie dada, conducen al concepto de la proyección hemisférica inclinada. Esto implica rotación o inclinación del hemisferio de proyección de tal modo que: (1) el plano de proyección sea paralelo a la superficie y (2) el hemisferio de proyección sea convexo hacia el lado del espacio libre de la superficie. En general, si la superficie libre tiene un ángulo de echado βf entonces el ángulo requerido de inclinación esta dado por ςf como sigue ςf = βf para una superficie con salida y ςf = 180 – βf para una superficie sin salida. El objetivo principal de inclinar el hemisferio de proyección es asegurar que el plano de proyección sea paralelo a la superficie de la roca. La representación hemisférica inclinada rr del vector fuerza resultante r que actúa sobre un bloque dado se puede usar para determinar la forma de falla del bloque si es inestable. La dirección de rr ya sea hacia el espacio libre o hacia la masa rocosa, depende del sentido de r y de la posición de rr en la proyección hemisférica inclinada como se resume en la tabla 8.1. La relación entre la geometría de un bloque dado y la orientación de la fuerza resultante que actúa sobre ella se expresa en términos del ángulo θ contado internamente desde rr hasta el punto L, el cual representa una línea de superficie del bloque en el perímetro del triángulo esférico asociado. Siempre habrá un punto único Lmin asociado con el valor mínimo de θ, θmin y otro punto único Lmax asociado con el valor máximo θmax. Puede haber solamente hasta seis posibles candidatos para Lmin y Lmax en un triángulo esférico dado: en cada uno de los tres planos implicados, en el punto donde cada plano es intersectado por el gran círculo que contiene tanto a rr como a la normal rotada del plano; los tres candidatos restantes son las esquinas del triángulo esférico. Los valores de θmin y θmax, y también la dirección y orientación de rr, son indicadores importantes de cómo se comportará el bloque tetraédrico asociado. Las distintas combinaciones posibles de estos valores dan origen a cinco categorías diferentes del comportamiento del bloque como se resume en la tabla 8.2 y la figura 8.12. Donde los bloques están sujetos solamente a la simple carga gravitacional, el vector fuerza resultante en el bloque actúa hacia abajo en dirección vertical dado por Nhr en una proyección hemisférica inclinada. Por lo tanto esta fuerza esta dirigida hacia fuera en una superficie con salida y hacia el interior de la masa rocosa cuando la superficie no tiene salida. Como antes, solo existen seis posibles candidatos para Lmin y Lmax en un triángulo esférico determinado. En este caso los bloques que se supone son potencialmente inestables ya sea deslizándose por la línea de superficie del bloque de máxima inclinación o bien cayendo verticalmente en caso de ser inestable. La interpretación del comportamiento de los bloques que están sujetos solo a la simple carga gravitacional se resume en la tabla 8.3 y figura 8.13.

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