PROVES D ’ HIPÒTESIS

PROVES D’HIPÒTESIS

Objectius

Conèixer el procés per fer contrastos d’hipòtesis

Diferenciar entre hipòtesi nul·la i alternativa

Regió crítica i nivell de significació

Grau de significació

Presa de decisions, tipus d’errors i quantificació de l’error.

Que és una hipòtesi?

És una proposició sobre la població, principalment sobre algun paràmetre: Mitjana Proporció Variança

Normalment s’estableix abans de obtenir una mostra i fer l'anàlisi estadístic

Bioestadística FMCS Reus URV Curs 2012-13 4

Elements de les proves d’hipòtesi

Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements:

Hipòtesis Nul·la (H0) Hipòtesis alternativa (Hα) El estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica


Hipòtesis Nul·la (H0):

Una hipòtesi que fa referència a algun dels paràmetres que desconeixem de una variable aleatòria X

La hipòtesi nul·la serà la hipòtesi que volem contrastar Triarem la hipòtesi nul·la, sempre que les dades que

tenim no ens indiquen que es falsa



Hipòtesis alternativa (Hα) :

La hipòtesi alternativa es la contraria a la hipòtesi nul·la

Solament s'accepta si, amb les dades que tenim, hi ha una gran evidencia que la hipòtesi nul·la es falsa.


Hipòtesi nul·la Ho

La que contrastem o posem a prova

No es pot rebutjar sense una bona raó, les diferències observades poden ser degudes a l’atzar

Hipòtesi alternativa H1

Contradiu la H0

No s’ha d’acceptar sense una gran evidencia a favor de rebutjar la hipòtesi nul·la


Problema: La osteoporosi està relacionada amb el gènere? Si considerem que el 50 % són homes i l’altre 50 % dones.

Solució:

Traduir al llenguatge estadístic:

Establir el seu oposat:

Seleccionar la hipòtesi nul·la

%50=p

%50p ≠

%50=p:H0


Problema: El colesterol mitjà quan es segueix una dieta mediterrània és de 5 mmol/l?

Solució:

Traduir al llenguatge estadístic:

Establir el seu oposat:

Seleccionar la hipòtesis nul·la

5=μ

5μ ≠

5=μ:H0



El estadístic de la prova:

Es una funció que s’elabora a partir de dades mostrals. En funció del valor de l’estadístic de la prova.

Si el valor està dintre de la regió d'acceptació acceptarem la hipòtesi nul·la.

Si el valor està fora de la regió d'acceptació rebutjarem la hipòtesi nul·la i acceptarem la hipotesi alternativa


Raonament

X

Si se suposa que la H0 és certa...

... el resultat de l’experiment era improbable. No obstant ha

succeït

Què fa un investigador quan la seva teoria no coincideix amb els resultats que obté?

Exemple: Si H0 i el valor obtingut a la mostra és de

40=μ

20=X

... el resultat de l’experiment era poc probable. No obstant ha

succeït

Rebutjo que la H0 sigui certa i concloc que μ ≠ 40.

40 20=X

40=μ

38=X

... el resultat del experiment és coherent.

• No hi ha evidencia contra la H0

•No es pot refusar la H0

•L’experiment no és concloent

•El contrast no és significatiu

Exemple: Si H0: i el valor obtingut a la mostra és de 40 38X


La regió de rebuig o regió critica:

Son aquells valors de l'estadístic de la mostra en la cula es rebutja la hipòtesi nul·la (H0)

La regió crítica es defineix abans de realitzar el experiment Es basa en un nivell de significació α donat a priori Definim α com la probabilitat de rebutjar la

hipòtesi nul·la quan la hipòtesi nul·la és realment certa


Regió crítica i nivell de significació

Regió crítica On els valores són ‘improbables’ Es coneix abans de realitzar

l’experiment. Hi ha resultats experimentals que rebutjarien H0

Nivell de significació: Número petit: 1% , 5% Fixat de manera prèvia per

l’investigador És la probabilitat de refusar la

H0 quan és certa

No refús H0

Reg. Crit.Reg. Crit.

= 5%

• Paràmetre: µ• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = µ0

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ µ0

• El estadístic de la prova (σ coneguda)• Sota la hipòtesi H0 certa

• La regió de rebuig o regió crítica

Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)

Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96

( )nσ,μN~X0

)1,0(N

nσμ

=σ

μ=Z 0

X

X ≈-X-X


• Paràmetre: µ• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = µ0

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ µ0

• El estadístic de la prova (σ desconeguda)• Sota la hipòtesi H0 certa


Rebuig de H0 si t Є (-∞,-t n-1,α/2) o t Є (t n-1,α/2,∞)

Acceptació de H0 si t Є (- t n-1,α/2,t n-1,α/2)

Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)

)1n(

0

X

X t

nsμ

=σ

μ=T

-≈

-X-X


( )ns,μt~X0)1n( -

• Paràmetre: p• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: p = p0

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : p ≠ p0

• El estadístic de la prova• Sota la hipòtesi H0 certa


Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)

Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96

),(N

n

)p(ppp̂pp̂

Zp̂

10≈-1--

00

00


n)p(p,pN~p̂ 000 -1

Contrastos: unilateral i bilateral

La posició de la regió crítica depèn de com es faci la hipòtesi alternativa

Unilateral Unilateral

Bilateral

H1: m < H1: m >

H1: m ≠

• Paràmetre: µ• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ µ0

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > µ0

• El estadístic de la prova (σ coneguda)• Sota la hipòtesi H0 certa


Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα)

Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645


( )nσ,μN~X0

)1,0(N

nσμ

=σ

μ=Z 0

X

X ≈-X-X

• Paràmetre: µ• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ µ0

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > µ0

• El estadístic de la prova (σ desconeguda)• Sota la hipòtesi H0 certa


Rebuig de H0 si t Є (t n-1,α,∞)

Acceptació de H0 si t Є (-∞ ,t n-1,α)

Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)


( )ns,μt~X0)1n( -

)1n(

0

X

X t

nsμ

=σ

μ=T

-≈

-X-X

• Paràmetre: p• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: p ≤ p0

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : p > p0

• El estadístic de la prova• Sota la hipòtesi H0 certa


Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα)

Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645

),(N

n

)p(ppp̂pp̂

Zp̂

10≈-1--

00

00


n)p(p,pN~p̂ 000 -1

Nivell de significació

Nivell

És un número petit que s’escull al dissenyar l’experiment

Serveix per definir la regió crítica

Tipus d’error aleatori en una prova estadística de contrast d’hipòtesi: error tipus

I i tipus II

Realitat (població)

Hi ha diferència o associació (H0 falsa)

No hi ha diferència o associació (H0 certa)

Resultatde laprova

(mostra)

diferència o associació significativa(refús de H0)

No error error tipus I

diferència o associació no significativa (no refús de H0)

error tipus II

No error

[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00

[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00

Poder i nivell de confiança

DecisióPoblació real

H0 és falsa H0 és certa

Es refusa la H0 Decisió correcte1- (poder)

Risc (error tipus I)

No es refusa la H0 Risc (error tipus II)

Decisió correcte1- (confiança)

[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00

1- és el nivell de confiança


EXERCICISPROVES D’HIPÒTESIS


Exemple 1: Un estudi clínic sobre la temperatura mitjana del cos

humà per adults sans afirma que la temperatura mitjana és una variable que es distribueix normalment amb mitjana =370C i desviació típica =0’90C.

Definim la hipòtesi de que la temperatura mitjana és

μ = 370 C Hipòtesi nul·la H0

μ ≠ 37 0C Hipòtesi alternativa H1

X~N(37,0’9)


Per poder fer aquest contrast és tria una mostra aleatòria formada per 10 persones adultes sanes i se'ls pren la temperatura, el resultat és:

37’7 36’7 37’5 37 37’9 37’6 37’1 37 36’8 37’1

nNX ,:

109'0,37: NX

xEn aquesta mostra la mitjana d'aquests valors és = 37’24C

nNX ,:

109'0,37: NX


Regió crítica

36’44

37,56

0’0250’025

37

0’95

Regió d’acceptació

Regió crítica

Comprovem si = 37’24C esta dintre de la regió critica o dintre de la regió d’acceptació

x

α= 0’05

Sota la hipòtesis:

109'0,37: NX


Z~N(0,1)

109'0,37: NX

109'037--X X

ZX

1’96

109'0,37NX

-1’9636’44 37,56


Es fixa un nivell de confiança, per exemple 1- α = 0’95

Acceptarem la hipòtesi nul·la si l'estadístic de contrast un cop tipificat cau dins de l'interval (- z/2 a z/2) és a dir dins de l'interval ( -1’96 a 1’96) que anomenem regió d'acceptació. En cas contrari

Rebutjarem la hipòtesi nul·la, Si l'estadístic de contrast un cop tipificat cau dins la regió complementaria, fora del interval (- z/2 a z/2) que anomenem regió crítica o regió de rebuig.


Així dons si segueix una llei N(37, 0’285) i tipifiquem el valor 37’24.

x

285'037x -

⇒ segueix una N(0,1) 84'0285'0

3724'37

com que 0’84 )96'1a96'1(-∈

No podem refusar la hipòtesi nul·la. Es a dir, la mostra és realment compatible amb la població en el 95% dels casos. També podem concloure que la mitjana de la temperatura del cos humà per adults sans és de 370C amb una confiança del 95%.


Regió crítica

-1’96 1’96

0’0250’025

0

0’95


Regió crítica

Regió d’acceptació i regió crítica

Hem efectuat un contrast bilateral


Contrastos: unilateral i bilateral

La posició de la regió crítica depèn de com es faci la hipòtesi alternativa

Unilateral Unilateral

Bilateral

H1: > 37ºC H1: < 37ºC

- z/2

z

H0: = 370 CH1: ≠ 37º C

- z

z/2


Valors crítics més usuals

Nivell de significació

Valors crítics per a contrastos unilaterals

z

Valors crítics per a contrastos bilaterals

z/2

0’1 ± 1’28 ± 1’645 0’05 ± 1’645 ± 1’96 0’01 ± 2’33 ± 2’58

0’005 ± 2’58 ± 2’81 0’002 ± 2’88 ± 3’08


Exemple 2:

L'Ajuntament d'una ciutat ha dut a terme un estudi per conèixer l’efecte de l'alcohol en els accidents juvenils dels caps de setmana. Com a conseqüència de l'estudi se sap que el 65% dels accidents juvenils amb víctimes durant els caps de setmana les persones causants havien begut alcohol. Com podríem comprovar aquesta hipòtesi sobre l’efecte de l’alcohol sobre els accidents que dóna l'Ajuntament ?

Un investigador que decideix comprovar aquesta hipòtesi, agafa una mostra formada per 35 accidents i observa que 24 han estat a causa de l’alcohol a partir d'aquí fa un contrast d'hipòtesis.


1er pas: es formulen les hipòtesis: H0 p = 0’65 = Po

Ha p ≠ 0’65

2on pas: es tria , per exemple = 0’01 3er pas: es tria l’estadístic de contrast

n

)p1(p

pp̂=z

oo

o

-

-

4art pas: es determina la regió d’acceptació. Com que es tracta d’un contrast bilateral, per a = 0’01, tenim que és (-2’58; 2’58) 5è pas

444'0=

35)65'01(65'0

65'0686'0=Z

35=n;686'0=3524

=p̂


6è pas: Com que 0’444 (-2’58;2’58), s’accepta la

hipòtesi nul·la i diem que al nivell de l’1% s’accepta que la proporció d’accidents a causa de l’alcohol és del 65 %


Exemple 3:Un entrenador assegura que els seus jugadors encistellen més del 92% dels tirs lliures. A fi de comprovar aquesta afirmació, s'han triat de manera aleatòria una mostra de seixanta llançaments dels quals quaranta-dos han entrat en cistella. Aquests resultats posen en qüestió l'entrenador ?1er pas

es formulen les hipòtesis:H0 p ≥ 0’92 = Po

Ha p < 0’92 2on pases tria ; per exemple = 0’1 3er pases tria l’estadístic de contrast

n

)p1(p

pp̂z

oo

o


4art pases determina la regió d’acceptació. Com que es tracta d’un contrast unilateral, per a = 0’1, tenim que la regió d’acceptació és (-1’28; ∞)

5è pas

2857'6

60)92'01(92'0

92'07'0z

60n;7'06042

p̂

6è pasCom que -6’29 (-1’28;∞), es rebutja la hipòtesi nul·la, per tant, es posa en qüestió l’afirmació de l’entrenador al nivell del 10 %.


Contrast per al paràmetre p

n

p1p

pp̂z

oo

o

- z

1 -

z

1 -

- z/2 z/2

1 -

Hipòtesi nul·la

Ha

Hipòtesi alternativa

Ha

Tipus de contrast

Estadístic de contrast


P = Po P ≠ po bilateral

segueix una llei N(0,1)

(-z/2,z/2)

P po P > po unilateral (-∞,z)

P ≥ po P < pp unilateral (-z,+∞)


Alguns exemples de regions d’acceptacióContrastos bilaterals (valors crítics)

0’90

-1’645 0 1’645

0’95

-1’96 0 1’96

0’99

-2’58 0 2’58

Contrastos unilaterals (valors crítics)

0’90

0’90 0’95 0’99

0’99 0’95

0 1’28 0 1’645 0 2’33

-1’28 0 -1’645 0 -2’33 0


Exercici

Diferents estudis han permès dir que la distribució de pesos al néixer presenta una mitjana = 3’200 gr. i una desviació estàndard = 360 gr. en la població.Suposem que es vol comprovar si l'hàbit de fumar durant l'embaràs disminueix el pes dels nens al néixer.

Per contrastar la hipòtesi anterior s'han registrat els pesos en gr. d'una mostra de nounats, fills de mares fumadores. Suposem que els valors registrats en gr. siguin :

3000, 3100, 2800, 3300, 2600, 2700, 2500, 2900, 3000, 3200


Quin valor correspon a la mitjana del pes al néixer de la mostra de nounats de l'estudi ?

x

3000, 3100, 2800, 3300, 2600, 2700, 2500, 2900, 3000, 3200

= 2910 x = 2910 x = 2910


Quin valor correspon a la desviació estàndard del pes al néixer de la mostra de nounats de l'estudi ?

3000, 3100, 2800, 3300, 2600, 2700, 2500, 2900, 3000, 3200

s0= 260,13


Quin valor correspon a la mitjana de la distribució mostral de la mitjana dels pesos al néixer en mostres de mida n = 10 procedents d'una població de mitjana = 3200 gr. i desviació estàndard = 360 gr. ?

3200


Quin valor correspon a la desviació estàndard de la distribució mostral de la mitjana dels pesos al néixer en mostres de mida n=10 procedents d'una població de mitjana = 3200 gr. i desviació estàndard = 360 gr?

nNX ,:

360/√10 = 113’84


Quin valor de z s'obté al fer la prova de comparació de la mitjana observada a l'estudi amb la mitjana teòrica = 3200?

84'1133200-2910

= 2’55


Quin grau de significació correspon al valor anterior ?.

p( Z > 2’55 ) = 0’0054


Que podem dir a partir dels resultats obtinguts fins ara ? (Se sap que el pes al néixer es distribueix normalment en la població de fills de mares no fumadores i en el de mares fumadores.)

Podem acceptar la hipòtesi que els fills de mares fumadores són d'una població amb mitjana de pes inferior a =3200gr.

PROVES D ’ HIPÒTESIS

Documents

Transcript of PROVES D ’ HIPÒTESIS