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1

NOMBRE _______________________________________________________

GRUPO _________

Doa Rosario Nieto Romero D. Marcos Puig Prez

PROPUESTA DE ACTIVIDADES PARA LA PRUEBA

EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE

MATEMTICAS TERCER CURSO EDUCACIN SECUNDARIA OBLIGATORIA

Curso 2012-2013

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2

Es recomendable que los alumnos suspensos hagan los ejercicios marcados durante el curso en el libro de texto. Adems se recogen en este documento otros realizados durante el curso.

Y tambin se proponen dos Web con ejercicios resueltos de todas las unidades:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/eso.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/entrada.html

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3

Unidad 0. Repaso de los nmeros naturales y enteros.

Objetivos

Conocer los conjuntos N y Z. Operar en dichos conjuntos. Conocer las propiedades de las operaciones en el conjunto N y Z. Representar los nmeros ( ) sobre una recta numrica.

Contenidos

a) Definicin de los conjuntos de nmeros N y Z. Necesidad de crear los conjuntos N y Z.

b) Mltiplos y divisores de un nmero. c) Nmeros primos y nmeros compuestos. d) Criterios de divisibilidad. e) Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor (definiciones y clculos). f) Operaciones combinadas: - Prioridad de las operaciones.

- Reglas de los signos (+, -, y ) - Parntesis, corchetes, llaves.

Procedimientos

1. Operaciones combinadas (en N, Z): prioridades, reglas de los signos, parntesis, corchetes y llaves.

2. Clculo del mcd y mcm. 3. Hallar el valor absoluto y opuesto

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4

UD 0 EJERCICIOS

1. Calclense el m.c.d. y m.c.m. de los dos nmeros indicados en cada uno de los siguientes casos:

a. 12 y 40. b. 22 y 66. c. 504 y 396.

2. Representa sobre una recta real los siguientes nmeros enteros: -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6.

3. Ordena de mayor a menor los siguientes nmeros enteros: +7, -7, 0, +5, +3, -3, -5, -4, +6, +2.

4. Coloca los parntesis donde corresponda para que las igualdades sean ciertas:

01174 =+ 42412 = 36362 = 215134 =+ 5247 = 230415 = 1061127 =+ 4971421 = 5410609 =

5. Realiza las siguientes operaciones: =+ 21214 ( )[ ] =+++ 312326 ( ) =+ 21214 ( ) ( ) =+ 2353035 ( ) = 4612 ( ) ( )[ ]{ }=++ 21053247 = 4612 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] = 91834154362 ( ) =+ 342537 ( )[ ] =+ 836423 ( ) =+ 753946 ( ) ( )[ ] =++ 10524325 =+ 2534 ( ) ( ) =++ 3261834 ( ) = 773 ( )[ ] = 4131215 ( ) ( ) =+ 1231512 ( )[ ] ( )[ ] = 811045 ( ) =+ 1231512 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) =++ 2531531213 ( ) =+ 73473429 ( )[ ] =++ 234532323 ( ) ( ) = 55234137 ( ) =+ 3253232 42

( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) =++

324237

212

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5

Unidad 1: Nmeros racionales e irracionales

Objetivos

1. Reconocer el conjunto de las fracciones. 2. Utilizar el concepto de fracciones equivalentes para obtener fracciones ampliadas

y simplificadas. 3. Identificar los nmeros racionales. 4. Operar con nmeros racionales. 5. Pasar de un nmero decimal a su fraccin generatriz y viceversa. 6. Reconocer los nmeros irracionales. 7. Aproximar un nmero real y representarlo grficamente. 8. Calcular el valor de un radical y expresarlo en forma de potencia con exponente

fraccionario.

Contenidos

Conceptos

1. Nmeros fraccionarios. 2. Fracciones equivalentes. 3. Simplificacin y ampliacin de fracciones. 4. Nmeros racionales. 5. Operaciones con nmeros racionales. 6. Operaciones combinadas. 7. Conversin entre nmeros decimales y nmeros racionales, y viceversa. 8. Nmeros irracionales. 9. Nmeros reales.

Procedimientos

1. Conversin entre decimales y fracciones utilizando la fraccin generatriz. 2. Uso de las propiedades de las fracciones equivalentes para simplificar y ampliar

una fraccin dada. 3. Interpretacin y representacin de los nmeros racionales en la recta numrica. 4. Suma, resta, multiplicacin y divisin de nmeros racionales. 5. Uso de la jerarqua de las operaciones para realizar estas con nmeros racionales

que contengan parntesis. 6. Manejo de radicales y su conversin a potencias de exponente fraccionario.

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6

UD 1 EJERCICIOS

REPASO POTENCIAS Y FRACCIONES -1

1.

22

311

52

21

15.

+

81

1219

31

21

43

21

45

87

413

2.

32

61

32

213

16.

241

4516

94

32

149

73

65

+

3.

222

21

53

53

17.

+

212

521

52

4.

3266

25

53

23

18.

36

41

412 +

5.

232

23

32

19. ( )236702 25543 +

6.

312

312

3

20. ( )[ ] 925 66 +

7. 497

31

43

23 12

+

21. ( ) ( )[ ] ( )1052252 1232453 +

8. 81

92

21 14

9. 11

22

5353

11. ( ) 1221 + 12. ( ) 1222 + 13.

22311

+

14. 21

211

431

++

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7

REPASO POTENCIAS Y FRACCIONES - 2

1. Calcula paso a paso

2. Efecta y simplifica descomponiendo en factores como en el ejemplo:

51

5573753

2521715

257

2115

=

=

=

a) 2120

53

b) 185

256

c) 3635

712

d) 2720

169

e) 6584

1213

f) 3614

3590

3. Calcula:

a) 22

31

65

61

21

43

32

b)

+

41

21

:3121

:52

c)

3

311

2017

533

83

d)

+

32

:13213

91

32 2

4. Calcula:

a)

23

21

:123

b) 2

2

3312

+

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8

5. Calcula:

a)

32

23

52

51

42

31

b) 311

32

321

+

c) 1

31

23

21

43

+

d) 21

41

211

32

+

e)

311

23

1312

+

+

Sol: a) -7/30; b) 2/5; c) 3/26; d) -10/9; e) 16/5

6. Calcula:

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PROBLEMAS DE FRACCIONES

1. Una mezcla de cereales est compuesta por 7/15 de trigo, 9/25 de avena y el resto de arroz.

a. Qu parte de arroz tiene la mezcla?

b. Qu cantidad de cada cereal habr en 600 g de mezcla?

2. Los 5/12 de las entradas de un teatro son butacas, el son entresuelo, y el resto anfiteatro. De las 720 entradas que tiene el teatro, cuntas son de anfiteatro? Qu parte del total representan?

3. Julia gast 1/3 del dinero que tena en libros y 2/5 en discos. Si le han sobrado 36 , cunto tena?

4. De los 300 libros de una biblioteca, 1/6 son de poesa; 180 de novela y el resto de historia. Qu fraccin representan los libros de historia?

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5. Del dinero de una cuenta bancaria, retiramos primero los 3/8 y despus los 7/10 de lo que quedaba. Si el saldo actual es 1893 . Cunto haba al principio?

6. De un depsito de aceite, se vaca la mitad; de lo que queda, se vaca otra vez la mitad y luego los 11/15 del resto. Si al final quedan 36 l, cuntos haba al principio?

7. Compro a plazos una bicicleta que vale 540 . Pago el primer mes los 2/9; el segundo los 7/15 de lo que me queda por pagar y luego 124 .

a. Cunto he pagado cada vez?

b. Qu parte del precio me queda por pagar?

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11

Unidad 2. POTENCIAS Y RACES

Objetivos

1. Realizar operaciones con potencias. 2. Realizar operaciones con races. 3. Identificar los distintos tipos de nmeros reales (N, Z, Q, I).

Contenidos

Conceptos

1. Definicin de potencia. 2. Reglas para multiplicar y dividir potencias. 3. Potencia de potencia; potencia de exponente: 0, 1, exponente entero. 4. Potencias con exponente racional (races): n bnb aa = . 5. Raz de una potencia. 6. Propiedad fundamental de los radicales: amplificacin, simplificacin. 7. Raz de una raz.

Procedimientos

1. Hallar el signo de una potencia. 2. Realizacin de operaciones con potencias: producto, cociente, potencia de una

potencia, potencia de un producto y potencia de un cociente. 3. Clculo de races mediante factorizacin previa del radicando y posterior

aplicacin de raz de una potencia. 4. Clculo de potencias de exponente uno o cero, potencias de base 10 y

potencias con exponente negativo. 5. Extraccin e introduccin de factores en un radical. 6. Clculo de races aplicando la definicin. 7. Operaciones con radicales: suma, resta, multiplicacin y divisin. 8. Clculo de potencia de una raz y de raz de una raz.

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UD 2 EJERCICIOS

1. Calcula el valor de cada potencia:

2. Calcula el valor de cada potencia:

3. Expresa como una potencia de base 5:

4. Reduce y expresa como potencia de un slo nmero (observa el caso resuelto):

5. Calcula el valor de de cada expresin:

6. Reduce:

7. Calcula y simplifica:

a. b. c.

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RADICALES 3 ESO APUNTES

1. POTENCIAS CON EXPONENTE FRACCIONARIO

Toda potencia con exponente fraccionario representa una raz cuyo ndice es el denominador del exponente y cuyo radicando es una potencia de la misma base que la potencia dada y cuyo exponente es el numerador del exponente: Ejemplos:

525

22 = 3 73

7

55 = 4 34

3

33 =

99 21

=

331

2727 =

441

625625 =

Se puede considerar la radicacin como la operacin inversa de la potenciacin. As: abba nn ==

255525 2 == ( 555 22

2== )

273327 33 == ( 333 33

3 3== )

62555625 44 == ( 555 44

4 4== )

Una raz de ndice par y radicando positivo tendr dos soluciones, una positiva y otra negativa:

39 = ya que:

333 22

2==

3)3()3( 22

2==

Una raz de ndice par y radicando negativo no tiene solucin en el conjunto R: 2525 2 == xx

(Esto es imposible, ya que ningn nmero real elevado al cuadrado puede ser negativo) Rx

Una raz de ndice impar tiene una nica solucin, positiva si el radicando es positivo y negativo si el radicando es negativo:

2228 33

3 33===

2)2()2(8 33

3 33===

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A diferencia de las fracciones, cuando la raz no es exacta, las cifras decimales no se repiten en periodos, aunque se saquen infinitas cifras, es decir, las races no exactas son nmeros decimales ilimitados no peridicos (irracionales). Los irracionales junto con los racionales forman el conjunto de los nmeros reales.

2. OPERACIONES CON RADICALES

2.1 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES

Si se multiplican o dividen el exponente del radicando y el ndice de la raz por un mismo nmero, el resultado de la raz no vara:

=n pa

mn mpa** (amplificacin)

mn mpa// (simplificacin)

Ejemplos:

6 43 2 aa = (amplificacin)

5 410 8 aa = (simplificacin)

2.2 MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE RADICALES

Para multiplicar o dividir radicales es necesario que sean homogneos, es decir, que tengan el mismo ndice:

nnn baba ** = n

n

n

ba

ba

=

Ejemplos: 333 357*5 = 5 35 25

* aaa =

33

3

75

75

=

5 155 2

5 1

== aaa

a

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Si los radicales no son homogneos hay que homogeneizarlos, para ello se aplica la propiedad fundamental de los radicales:

=4 36 5

* aba

1 paso: mcm de los ndices: mcm(6, 4)=12. 12 ser el ndice comn. 2 paso: buscar las races equivalentes a los anteriores con ndice 12 (aplicar la propiedad fundamental de los radicales).

12 106 5 aa = ; 12 934 3 baab =

**12 104 36 5 aaba = 12 93ba = 12 913ba

2.3 EXTRACCIN DE FACTORES DE UN RADICAL

Cuando un factor que forma parte de un radicando tiene el exponente mayor o igual que el ndice del radical, el factor se podr sacar del radical, totalmente si adems de mayor es mltiplo del ndice y parcialmente si es mayor pero no mltiplo. Ejemplos:

33381 44

4 44===

933381 224

4====

35

1555

5 155*** bababa ==

10*1010*1010*10101000 22

23====

333

333 33 43 3*33*33*3381 ====

5 235 25

1555

5 25 1555 176********** bababababababa ===

2.4 INTRODUCCIN DE FACTORES EN UN RADICAL

A veces interesa introducir un factor dentro del signo radical. Para ello se multiplica el exponente del factor por el ndice del radical

32 1010*)10(10*10 ==

3 43 33 33*33*3 ==

5 1765 21555 2535 23 ******)*(** bababababababa ===

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2.5 POTENCIA DE UN RADICAL

p nnp aa =)( Ejemplos:

3 443 )( aa =

)******)(( 3 43333343 aaaaaaaaaa ===

5 635 2 2)2( =

)22*2*22*2*2)2(( 5 65 2225 25 25 235 2 ===

2.6 RAZ DE UN RADICAL

nmm n aa *=

Ejemplos:

63 55 =

( 661

21

31

31

3 55)5(55 ==== )

15 23 5 2 aa =

( 15 2152

31

52

3 52

3 5 2 )( aaaaa ==== )

2.7 ADICCIN Y SUSTRACCIN DE RADICALES

Para sumar y restar radicales tienen que ser semejantes, es decir, tienen que tener el mismo ndice y el mismo radicando

3*43*)15(33*5 == 2*52*)261(2*22*62 =+=+ 2*82*62*218*28 =+=+

2*22*228 23 === ; 2*32*39*218 2 ===

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RADICALES (3 ESO) FOTOCOPIA-1

1. Expresa en forma de raiz: 23

32

21

45

,,,

yxax

2. Expresa en forma de potencia: 5 3

4 33 73 25

21

,,3,, xbaa

3. Calcula: 5543344 32,32,1,27,001,0,16,125,09,0,25,0,10000

4. Simplifica: 10 28246154 6 ,1000000,1000,64,3 ba

5. Extrae factores: 364 56 1393 ,16,,40,600 cababa

6. Introduce factores: 3324 3 ,, aabaamm

7. Realiza las operaciones:

3 63 33 3333

464463 24 38 5

4 234 3343 24 35 35 24 24 3

8131243,162505

,825018,1020,320

125

,279,

,,64275,544,,3215,

zyx

abaaa

babababaaaaa

+++

+

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RADICALES (3 ESO) FOTOCOPIA-2

1. Calcula los resultados de las siguientes potencias:

a. ( )53 27 ; b. ( )436 ; c. 25 22

a ; d.

7

3 2

25

ba ; e.

5

6 338

a

2. Realiza las operaciones siguientes: a. 32a ; b. 3 581 ba ; c. 4 3 12664 ca ; d. 3 32 baa

3. Hallar el resultado de: a. 353436 + d. 122732 2 aaa + b. 1838323 + e. 75274812 ++ c. 23822 +a f. 12816335 +

4. Formula las siguientes expresiones sin exponentes fraccionarios ni negativos:

a. 412a ; b. ( ) 523a ; c. 215 ; d. 3263 ; e. ( ) 213 x ; f. 525

5. Calcula los resultados de las siguientes races:

a. 4 625 ; b. 5 243 ; c. 5 1024 ; d. 000729'0 b. 5 00032'0 ; f. 3 64278 ; g. 3 8064'0 ; h. 5 32243

6. Introduce todos los factores:

a. yxx 22 45 ; b. 3 23 2

yxyx ; c. 5 4x

yx .

7. Saca fuera todos los factores posibles:

a. 327xy ; b. 4 85

32yx ; c. 3 3

427

yx ; d. . 616 y

x

8. Realiza las siguientes operaciones:

a. 32

3 :3

abyx

abxy

; b. 6

3 2

a

aa; c.

6 2

3 24 3

ba

baba

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RADICALES (3 ESO) FOTOCOPIA-3

1. Simplifica, trabajando en potencias:

a. 21

54

45

b. 254

52

:25

c. 34

743

cbacba

2. Realiza con radicales:

a. 3003427435 +

b. 25

458

31

125184

52

+++

c. z

yxyx :

25

2

22

d. 811

27325 +

e. 4 3259

925

f. 161

22222

g.

4

44

1

:

x

x

yx

yx

x

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SOLUCIONES

1. Simplifica, trabajando en potencias:

a. 3221

54

54

54

54

45

=

=

b. 622410424254

255225

255

:25

52

:25

=

=

=

c. 5105

10

34

743

=

=

bcabca

cbacba

2. Realiza con radicales:

a. 32171043

2531034333

253003427

435 =

+=+=+

310103300 2 ==

217

222511

25

=

=

b. 25

52

45163

25

52

92

5121

25

52

92

52

512

52

25

458

31

125184

52

+=+

++=+++=+++

c. 1010 55

5

4

445

2

22

:2 yx

z

yxz

z

yxz

yxyx

=

=

d. 2227

222227

22227220

81127325

==

+=

+

e. 312 4

412

2

2

6

64 3

35

35

33

35

259

925

===

f. 16 158 3484 343161

222222222222222 ====

g. 4 144

4

4

4

4

8 2

4

824

3

4

84

83

4

44

1

1

1

1

11

:

1

:

=====

=

=

yxyx

yx

x

y

x

y

x

yxxx

x

x

xyy

x

x

x

yx

yx

x

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Unidad 3: Polinomios

Objetivos

1. Reconocer los elementos de un polinomio. 2. Realizar sumas y restas de polinomios. 3. Efectuar multiplicaciones, divisiones y potencias de polinomios. 4. Conocer y utilizar la regla de Ruffini. 5. Identificar las propiedades de las operaciones con polinomios. 6. Desarrollar y distinguir los productos notables. 7. Factorizar polinomios.

Contenidos

Conceptos

1. Expresin algebraica: valor numrico. 2. Monomios y polinomios. 3. Polinomios ordenados y completos. Grado de un polinomio. 4. Productos notables. 5. Propiedad distributiva y su viceversa (factor comn) 6. Regla de Ruffini. 7. Factorizacin. Teorema del factor y teorema del resto.

Procedimientos

1. Utilizacin de letras como incgnitas, nmeros generalizados, variables, etctera. 2. Empleo de los smbolos algebraicos adecuados para expresar propiedades numricas. 3. Reconocimiento de trminos, coeficientes y exponentes en una expresin algebraica. 4. Reduccin de trminos semejantes para la suma y resta de polinomios. 5. Multiplicacin y divisin de polinomios 6. Manejo de las relaciones notables ms frecuentes. 7. Simplificacin de expresiones algebraicas. 8. Determinacin del valor numrico de expresiones algebraicas. 9. Asignacin de un enunciado razonable a una expresin algebraica. 10. Descomposicin factorial de polinomios, utilizando factor comn, productos notables y regla de

Ruffini. 11. Simplificacin de fracciones algebraicas sencillas utilizando el punto anterior.

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UD 3 EJERCICIOS

EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRICAS 3 ESO FOTOCOPIA 1 1. Escribe en lenguaje algebraico.

a. Dos nmeros cuyo producto es 18. b. Tres cubos consecutivos. c. Un mltiplo de 5 ms su doble. d. El producto de dos pares consecutivos. e. Los cuadrados de tres nmeros consecutivos. f. Dos nmeros que sumen 34. g. El doble de un nmero menos cuatro quintos del mismo nmero. h. El 30 % de un nmero impar.

2. Con los siguientes polinomios: P(x) = 3x4 7x3 + 2x2 11 Q(x) = 4x4 + 5x3 8x2 + 12 R(x) = 3x5 7x4 + 6x 5 Realiza estas operaciones. a) P(x) + Q(x) c) R(x) + Q(x) e) P(x) + Q(x) R(x) b) P(x) R(x) d) R(x) Q(x) f) P(x) Q(x) + R(x)

3. Calcula estos productos de binomios. a) (x2 + 11) (x2 11) c) (2x 3y) (x y) b) (x3 + y3) (7x + 2) d) (3tz 2t2) (tz z2)

4. Extrae factor comn en estas expresiones. a) x3 7x4 + 2x2y c) 3t5 + 21t3x4 + 15t2x b) 4z2x 2zx4 12zx d) 6x4y 24x7y + 12x3y5

5. Desarrolla estas potencias. a) (2x + y + 1)2 b) (2ab 1 + a)2 c) (2a + 1)3 d) (1 3t)3

6. Comprueba la veracidad de estas igualdades. Si alguna es falsa, escribe el resultado verdadero. a) (2x3 + 3x)2 = 4x6 + 9x2 + 12x4 c) (5x + 3)(5x 3) = 25x2 + 9 b) (2x3 5x)2 = 4x6 25x2 + 20x4 d) (3x2 4y)2 = 9x2 16y2

7. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables. a) (a + 3b)2 b) (a 3b)2 c) (3a + b)2 d) (a + 3b) (a 3b)

8. Escribe el polinomio que cumple las siguientes caractersticas: - Binomio en la variable z. - De grado 5. - Con coeficiente del trmino principal 8. - Trmino independiente 7.

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9. Con los siguientes polinomios: P(x) = 5x4 + 7x2 5x + 1 M(x) = 6x3 + 9x2 x + 1 T(x) = x4 + 2x3 + 8x 2 Realiza las operaciones indicadas. a) P(x) T(x) + 2M(x) b) (M(x) P(x)) (T(x) M(x)) c) 3P(x) 4T(x) M(x)

10. Efecta estos productos. a) 3x2 (4x3 5x + 2) b) 5x2yz4 (4x3 5x + 2) c) (6y2 5y + 1) (4y2 3)

11. Extrae factor comn en estas expresiones. a. b.

c.

d. -

12. Realiza estas operaciones con polinomios y simplifica.

13. Realiza estas divisiones. a) (x3 + 6x2 + 6x + 5) : (x2 + x + 1) b) (x4 5x3 + 11x2 12x + 6) : (x2 x + 2) c) (x5 2x4 + 3x2 5x + 6) : (x2 + 3x 2) d) (x6 + 3x4 2x2 + 5x 7) : (x4 3x + 1)

14. Calcula el cociente y el resto. a) (2x5 + 2x4 2x3 + 2x) : (x3 x + 1) b) (4x4 2x3 + x2) : (x + 1) c) (x3 2x 1) : (x2 + 1) d) x10 : (x 1) e) x10 : (x + 1) f) (x4 + x3 + x2 + x + 1) : (x2 + 2x + 1)

15. Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto. a) (4x3 8x2 9x + 7) : (x 3) b) (2x3 + 5x2 4x + 2) : (x + 3) c) (5x5 7x4 + 3x3 5x2 + 3x 1) : (x + 1)

d) (6x4 + 9x3 10x2 + 8x 2) : (x 2) e) (7x3 + 7x2 + 7x ) : (x + 1)

16. Averigua el cociente y resto de estas divisiones mediante la regla de Ruffini. a) (2x3 x2 + 5) : (x 3) b) (3x5 + 3x2 4) : (x + 1)

17. Divide utilizando la regla de Ruffini. a) (x3 1) : (x 1) b) (x4 + 1) : (x + 1)

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EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRICAS 3 ESO FOTOCOPIA 2

1) Extraer factor comn en cada una de las siguientes expresiones: a. ba 55 + ; b. 105 +a ; c. aa 124 2 + ; d. baab 22 + ; e. 242 xx + ; f. 32 24 xx + ; g. xxzxy 363 ++ ; h. 22 xyyxxy ++

2) Simplifica, extrayendo factor comn donde se pueda, las siguientes fracciones: a.

10555

+

+

a

ba ; b. 323

246

xx

x

+; c. 32

2

xx

xx

+

+ ; d. xyxxyx

2442

2

2

+

+

3) Factoriza las siguientes expresiones usando las frmulas de los productos notables: a. 442 + xx c. 36122 ++ xx b. 1682 ++ xx d. 24129 xx +

4) Simplifica las siguientes fracciones: a.

11

2

+

x

x ; b. 210255

xx

x

+

; c. 12

12

2

++

xx

x ; d. 22

251025

x

xx

+

5) Calcula: a. ( )23 x ; b. ( ) ( )44 + xx ; c. ( )253 x d.

2

32

x ; e. ( )253 ba ; f. ( ) ( )1212 + xx

6) Utiliza los productos notables y la extraccin de factores comunes para descomponer en factores las siguientes expresiones:

a. 273 2 x ; b. 14 x ; c. 144 242 + abba d. xx 33 3 ; e. 5105 2 ++ xx ; f. 456 646416 xxx + g. 24 xx ; h. xxx 27183 23 + ; i. 12 24 + xx

7) Simplifica las siguientes fracciones: a.

2105 2

+

+

x

xx ; b. 2323

23

xx

xx

+

; c. 55 2

3

x

xx ; d. 22232

yxyxyx

e. 44

42

2

+

xx

x ; f. 2

82 2

+

x

x ; g. 2434

4422

xx

xx

; h. xxx

xx

++

++23

2 333

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EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRICAS 3 ESO FOTOCOPIA 3

1. Simplifica las siguientes fracciones:

a. 252x

x

b. 4422

+

+

x

x

c. 51036

+

+

x

x

d. 3366

+

x

x

e. 156

9x

x

f. xx

x

22103

g. xx

xx

2

23

h. 12

222 +

xx

x

i. 22

26 yxyxy

j. aa

aa

153102

2

2

+

+

k. 2323

3366aba

baa

l. 4

442

2

+

x

xx

2. Reduce a denominador comn para efectuar estas operaciones. Simplifica cuando sea posible:

a. 225

413

xxx+

b. 22123yxyx

++

c. xyyxxy 83

21

41

22 +

d. xx

x 21

3

e. 21

35

+

x

x

f. xx

x 1115

++

g. 2121

+

x

x

x

h. 1

11

2+

+ xx

x

i. 21

31+

xx

x

j. 2

53

+ xx

x

k. 2

14

12

xx

x

l. ( ) 551

13

2

xx

3. Efecta las siguientes multiplicaciones y divisiones, y simplifica los resultados:

a. 4

:2

3 2xx

b. 43

3

2 2:

54

yx

yx

c. 32

:3

aba

d. 23 46

12 xyxyxy

e. x

yx

yx 3

:2 23

f.

+

242:

2

2xx

x

x

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EJERCICIOS EXPRESIONES ALGABRAICAS.-fotocopia 4

1. Realiza las siguientes operaciones:

( )[ ]

( )[ ]

( )

( )[ ]( )( )( )

( )[ ]( ) =+++=++

=+++

=

+

=+

=+

=

+

12)

132)

3234132)

2633

1)

1)

1043523)

212

2)

24524

23

22

xxxxxxxg

xxxxxf

xxxxxe

babad

xc

xxb

xx

a

2. Dados: =+=

++=

)(3)(2:Re135)(2234)(

234

25

xQxPalizaxxxxXQxxxxP

3. Desarrolla y simplifica: ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )( )( ) ( ) =+++

=+

=++

=++

=++

=++

2

422

22

22

2

2

555)

11)

3325)

5353)

23212)

332)

xxxf

xxxe

xxxxd

xxc

xxxb

xxxa

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4. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

=

+

+

+=

+

+

+

x

x

xx

xbx

x

xx

xa

33

31)

33

31) 22

=

+

+

+

=

+

=

++

++=

++

+

=

+

=

+

hhhi

x

x

x

x

xh

mm

m

m

mg

aa

aaf

xxxxe

x

x

x

xdx

xx

x

xc

414)

112

11)35

51)

23121)1

11

11

11

1)

1326

213)12

1)

2

2

22

5. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

4978)

65328)

34)

1025103)

965)

2

2

2

2

234

23

2

2

2

2

+

+

++

++

+

+

yyy

e

xx

xdxxx

xxc

xx

xxbx

xxa

6. Escribe dos polinomios cuyas races o ceros sean: 0, 2 (raz doble), -1.

7. Dado ( )( )( )5322)( ++= xxxxA ; contesta: a) Coeficiente del trmino principal: b) Ceros o races de A(x) c) Escribe A(X) en forma polinmica d) Escribe otro polinomio equivalente a A(X)

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Unidad 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Objetivos

1. Utilizar estrategias para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. 2. Emplear estrategias para resolver inecuaciones de primer grado. 3. Discutir y resolver mediante diferentes mtodos, sistemas de ecuaciones lineales con dos

incgnitas. 4. Resolver problemas utilizando el lenguaje algebraico para expresar relaciones entre los datos y

la incgnita. 5. Comprobar si las soluciones de las ecuaciones planteadas en la resolucin de problemas

tienen sentido en el contexto.

Contenidos

Conceptos

1. Ecuaciones de primer grado con una incgnita. 2. Ecuaciones de segundo grado incompletas y completas. 3. Inecuaciones. 4. Sistemas de ecuaciones lineales. 5. Mtodos de resolucin de sistemas lineales. 6. Resolucin algebraica de problemas.

Procedimientos

1. Interpretacin y utilizacin del signo = en distintas expresiones numricas y algebraicas. 2. Uso de ecuaciones equivalentes para la resolucin de ecuaciones de primer grado. 3. Resolucin, por el mtodo ms adecuado, de ecuaciones de segundo grado completas e

incompletas. 4. Manejo de las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones de primer grado. 5. Utilizacin de mtodos de solucin para sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas. 6. Uso de diferentes estrategias para resolver problemas de la vida cotidiana.

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UD 4 EJERCICIOS

EJERCICIOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 3 ESO FOTOCOPIA 1

1. Resuelve: a. xxxx 3)5(25)2(2 =+ Sol: x= -3 b.

268

361)2(3 xxx =+ Sol: x= -1/2

c. )45(7)24(3)42(2 =+ xxx Sol: x= 1 d.

42081

5510

262

=

+ xxx Sol: x= 2

e. 53

=

x Sol: x= -15

f. 16435

=

xx

Sol: x= 1/3

g. 2

212435

=

xx Sol: x= 1/3

h. 3622

+=+

xx

xx Sol: x= -6

i. 3

418

33420

103515 xxx

=

=

Sol: x= 7

j. 22

15

13 xx =+ Sol: x=-1

k. 222

359

=

+ xxx

Sol: x=9

l. 2

9104

353

17 xxx = Sol: x=4

m. 2125

745

313

=

+ xx Sol: x=1

n. 6534

33

2532 +=

+xx

xx Sol: x=37/28

o. 03

)1(223

2 =+

xx Sol: Incompatible

p. 4

322

1 +=

+ xx

x Sol: Incompatible

q. 0)13( 2 =x Sol: (X1=1/3, X2=1/3)

r.

25

232

312

12

=

+=

yxyx

Sol: (x=5, y=2)

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s.

52

34

21

=

=

yx

yx

Sol: (x=2, y=-2)

t. 4

42

423

=

=

yx

yx

Sol: (x=6, y=-4)

u.

3710

253

10138

23

54

+=

+

=

+

yx

xyxyx

Sol: Infinitas soluciones

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EJERCICIOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 3 ESO FOTOCOPIA 2

1. Un hijo tiene 30 aos menos que su madre y sta tiene cuatro veces la edad del hijo. Qu edad tiene cada uno?

2. Hace dos aos un padre tena el triple de la edad de su hijo y dentro de 11 aos slo tendr el doble. Halla la edad que tienen ahora.

3. La edad de un hijo es la quinta parte de la edad de su padre y dentro de 7 aos el padre tendr el triple de la edad de su hijo. Calcula las edades que tienen cada uno.

4. 125

2145

52

4xxxx

=

5. ( ) )2(`21

32)1()1(2 2 +=+ xxxxx

6. Halla dos nmeros enteros consecutivos tales que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la sptima parte del menor sea igual a la quinta parte del menor.

7. 23)21()

61(3

3224

33

=

+

+

xxx

xx

8. Si se aumenta la longitud de un cuadrado en 4m y la anchura en 15m, resulta un rectngulo cuya rea es igual a la del cuadrado aumentada en 28 m2. Calcula el lado del cuadrado.

9. Calcula los ngulos de un tringulo sabiendo que uno es la mitad del otro y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros.

10. En un tringulo rectngulo un cateto mide 5/13 de la longitud de la hipotenusa y el otro cateto 48 cm. Halla el permetro y el rea.

11. El triple de la edad que yo tena hace dos aos es el doble de la que tendr dentro de seis. Cul es mi edad actual?

12. Una madre tiene 64 aos y su hija 32, cuntos aos han transcurrido desde que la edad de la madre era triple que la de su hija?

13. Halla un nmero sabiendo que 11 veces dicho nmero ms 10 unidades es igual a otro nmero que es 14 veces dicho nmero menos cinco unidades.

14. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a.

=+

1

241

323 xx g.

352

22 22 xxxx

=

b. 131

2312 +

=

xx h. ( ) ( ) 52154 2 += xxxx

c. ( ) ( )1234126

31

+=+ xx i. ( ) ( )

5412

51

2=+ x

xx

x

d. ( ) ( )2531

32

+=+ xxx j. ( ) 013 2 =x

e. ( ) ( ) ( ) 01043212523 =++ xxx k. ( ) 2512 2 =x f. ( )432892 += xxx l. ( )

2114

295 ++=

+ xxxx

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15. Cul es el nmero que aumentado en 55 unidades es igual a 6 veces su valor inicial?

16. Si a un nmero le sumas 7 unidades, obtienes el mismo resultado que si a su doble le restas 3. De qu nmero se trata?

17. Anbal tiene 15 aos, su hermana 12 y su madre 40. Cuntos aos han de transcurrir para que entre ambos hijos igualen la edad de la madre?

18. En un tringulo issceles, cada uno de los lados iguales es 5cm ms largo que el lado desigual. El permetro mide 55cm. Cunto mide cada lado?

19. El mayor de los ngulos de un tringulo se diferencia en 20 del mediano y este se diferencia en 20 del menor. Cul es la medida de los ngulos del tringulo?

20. El dueo de un restaurante mezcla una bolsa de caf de 10 /kg con cierta cantidad inferior de 8 /kg. As obtiene 10kg de mezcla que sale a 950 /kg. Qu cantidad de cada clase emple?

21. Cuntos litros de aceite de girasol a 075 /l, se deben mezclar con 15 litros de oliva, a 375 /l, para que la mezcla salga a 3 /l?

22. En mi bolsillo llevo diez monedas, unas de 5 cntimos y otras de 20 cntimos. El valor total de las monedas es 140 . Cuntas llevo de cada clase?

23. Busca dos nmeros impares consecutivos cuyo producto sea 255.

24. Busca el nmero natural que es 30 unidades menor que su cuadrado.

25. Si al cuadrado de un nmero se le suman 8 unidades, se convierte en el cuadrado de su triple. Cul es ese nmero?

26. Calcula las dimensiones de un rectngulo, sabiendo que es 4cm ms largo que ancho y que tiene una superficie de 45 cm2.

27. Calcula la longitud de la base de un tringulo sabiendo que la base mide 3cm menos que la altura y que el rea del tringulo es 35 cm2.

28. Calcula dos nmeros sabiendo que su suma es 119 y que el triple del menor sobrepasa en 17 unidades al doble del mayor.

29. Alejandro ha pagado 66 por 3kg de naranjas y 2kg de manzanas. En la misma frutera, han pagado 39 por dos kg de naranjas y uno de manzanas. Cunto cuesta el kg de naranjas y el de manzanas?

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Unidad 5: Funciones

Objetivos

1. Identificar las relaciones funcionales entre magnitudes. 2. Expresar una funcin mediante una expresin algebraica, una tabla de valores o una grfica. 3. Realizar un estudio del dominio, el recorrido, signo de una funcin y los puntos de corte de la

grfica de una funcin. 4. Detectar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, as como los puntos mximos y

mnimos de la grfica de una funcin. 5. Comprobar si una funcin es continua. 6. Analizar la simetra respecto a los ejes coordenados, o del origen de coordenadas de una

funcin y su periodicidad. 7. Interpretar la grfica de una funcin, relativa a problemas de la vida cotidiana.

Contenidos

Conceptos

1. Funcin. 2. Distintas formas de expresar una dependencia funcional: expresin algebraica, tabla y grfica. 3. Estudio grfico de las propiedades de una funcin: dominio y recorrido, puntos de corte con los

ejes, signo de la funcin, crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos, continuidad, simetra y periodicidad.

4. Lectura e interpretacin de una grfica en problemas relacionados con fenmenos naturales, la vida cotidiana y el mundo de la informacin.

Procedimientos

1. Deteccin de la dependencia funcional entre dos magnitudes. 2. Construccin de grficas a partir de una funcin dada en forma de tabla, con su expresin

algebraica, o a travs de descripciones verbales. 3. Obtencin de una tabla de valores de una funcin a partir de su grfica o de su expresin

algebraica. 4. Obtencin de tablas, grficas y expresiones algebraicas a partir de una de ellas. 5. Obtencin de los puntos de cortes con los ejes a partir de funcin lineal o cuadrada. 6. Descripcin de las propiedades globales de una funcin a partir de casos sencillos de grficas. 7. Interpretacin de una grfica utilizando sus propiedades globales. 8. Uso del lenguaje y la notacin matemtica para describir las propiedades de una funcin. 9. Construccin de una tabla de valores a partir de la imagen o de la variable independiente en

funciones sencillas (lineales y cuadradas). 10. Deteccin de errores o manipulaciones arbitrarias en las grficas, que afecten a su

interpretacin.

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UD 5 EJERCICIOS

FUNCIONES-1

1. Cules de las grficas siguientes corresponden a una funcin?

2. Realiza el estudio de las siguientes grficas:

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3. Es peridica esta funcin?

4. Determina el dominio de definicin de las siguientes funciones:

637)()42)()5)()23)() 2

=

+==+=

xXfd

x

xxfcxfbxxxfa

( )( ) 626)()

345)() 2

+

=

+=

xx

xxff

xxx

xxfe

5. Las siguientes grficas corresponden a funciones discontinuas. Relaciona cada funcin con el motivo de su discontinuidad.

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6. Completa:

=+=

=======

)23(;)5()2(;)0(:)1(;)1(;)2(;)2(;2)( 2

ffffffffxxf

X -2 2 -1 1 0 2 23 +

F(x)

7. Completa:

245)( = xxf

X

F(x) 7 0 2 -5

xxxf 3)( 2 =

X

F(x) 0 -2 2 -4

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1. Estudia las caractersticas de las siguientes funciones:

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Unidad 6: Funciones elementales

Objetivos

1. Identificar las relaciones entre magnitudes caracterizadas por funciones afines, cuadrticas. 2. Indicar e interpretar la pendiente y la ordenada en el origen de una funcin afn. 3. Obtener la expresin algebraica de una funcin afn a partir de una tabla de valores, de la

grfica correspondiente y mediante la pendiente y ordenada en el origen. 4. Representar grficamente una funcin afn. 5. Resolver grficamente sistemas ecuaciones lineales de dos incgnitas 6. Identificar rectas paralelas e incidentes 7. Representar grficamente una funcin cuadrtica. 8. Determinar el vrtice y el eje de simetra de una parbola. 9. Encontrar los puntos de corte con los ejes coordenados de una funcin lineal y cuadrtica. 10. Interpretar la grfica de una funcin afn, cuadrtica relativa a fenmenos de la vida cotidiana.

Contenidos

Conceptos

1. Funcin lineal. 2. Funcin afn. 3. Posiciones relativas de dos rectas en el plano. 4. Pendiente y ordenada en el origen de una recta. 5. Funcin constante. 6. Funcin cuadrtica. 7. Vrtice, eje de simetra y puntos de cortes de una parbola. 8. Representacin grfica de una parbola. 9. Mtodo grfico de sistemas lineales (dos ecuaciones dos incgnitas).

Procedimientos

1. Identificacin de las relaciones funcionales entre magnitudes susceptibles de ser expresadas mediante una funcin afn, cuadrtica.

2. Determinacin de la pendiente y la ordenada en el origen de una funcin afn o de su grafica. 3. Identificar rectas paralelas e incidentes a partir del valor de la pendiente. 4. Representacin grfica de funciones afines, que vengan dadas en forma de tabla, con su

expresin algebraica, o a travs de descripciones verbales. 5. Obtencin de la expresin algebraica de una recta conocidos dos de sus puntos, la pendiente

y la ordenada en el origen o un punto y su pendiente. 6. Obtencin de la expresin algebraica de una funcin lineal a partir de su grfica. 7. Determinacin de los puntos de corte con los ejes, del vrtice y del eje de simetra de una

parbola. 8. Resolver sistemas de ecuaciones lineales a partir del mtodo grafico. 9. Representacin grfica de una funcin cuadrtica.

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UD 6 EJERCICIOS FUNCIONES-1

1. Representa las siguientes rectas:

En qu punto cortan al eje OY? Y al eje OX?

2. Representa las rectas r y s en los mismos ejes de coordenadas y halla su punto de corte en los siguientes casos:

3. Comprueba que el punto (17, 68) pertenece a la recta y= 5x 17.

4. Calcula c para que la recta 5x 2y = c pase por el punto (-3, 7).

5. Calcula b para que la recta 3x + by = -5 pase por el punto (-3, 4).

6. Cules son la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x - 5y + 15 = 0?

7. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas:

8. Asocia cada una de las rectas r, s, t, p, q a una de estas ecuaciones:

9. Escribe la ecuacin de estas rectas y represntalas: a) Pasa por (-2, 3) y (5, -4). b) Pasa por (3/5, -2) y su pendiente es -3/2. c) Pasa por el punto (2, 2) y su ordenada en el origen vale -5. d) Pasa por (1, -5) y es paralela a y=2x.

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10. Halla la ecuacin de las siguientes rectas en forma general: a) Paralela a 4x 3y = 4 y pasa por el origen de coordenadas. b) Paralela al eje X y pasa por el punto (5, 4). c) Paralela a 2x 3y = 6 y pasa por (-3, 2).

11. En cada caso, escribe la funcin y di el significado de la pendiente: a) EL precio de x kilos de manzanas, si pagu 3,6 por 3 kg. b) Los metros que hay en x kilmetros. c) El precio de un artculo que costaba x , si se ha rebajado un 20 %.

12. Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos A (-1, 3), B (5, 0) y C (45, -20). Para ello, halla la ecuacin de la recta que pasa por A y por B y prueba despus si el punto C pertenece a esa recta.

13. Al colgar diferentes pesos de un muelle, este se va alargando segn los valores que indica esta tabla:

a) Haz la grfica de esa funcin. b) Halla su expresin analtica. c) Explica el significado de pendiente.

14. Una milla equivale aproximadamente a 1,6 Km. a) Haz una tabla para convertir millas en kilmetros. b) Dibuja la grfica y escribe su ecuacin.

15. En el contrato a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas: A: Sueldo fijo mensual de 1000 . B: Sueldo fijo mensual de 800 ms el 20 % de las ventas que haga.

a) Haz una grfica que muestre lo que ganara en un mes segn la modalidad del contrato. Toma como variable independiente las ventas que haga y como variable dependiente el sueldo.

b) Escribe la expresin analtica de cada funcin. c) A cunto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades

del contrato? Cules son esas ganancias?

16. El precio de un viaje en tren depende de los kilmetros recorridos. Por un trayecto de 140 km pagamos 17 , y si recorre 360 km, cuesta 39 . Escribe la ecuacin de la recta que relaciona los kilmetros recorridos, x con el precio del billete y. Represntala grficamente.

17. La temperatura de fusin del hielo en la escala centgrada es 0 C y en la Fahrenheit es 32 F. La ebullicin del agua es 100 C, que equivale a 212 F.

a) Encuentra la funcin lineal que nos da la relacin entre las dos escalas y represntala. b) Expresa en grados Fahrenheit las siguientes temperaturas: 25 C; 36,5 C; 10 C.

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c) Pasa a grados centgrados 86 F y 63,5 F

18. Pon un ejemplo de una funcin de proporcionalidad, halla tres puntos de ella y comprueba que el cociente entre la ordenada y la abcisa es constante. Cmo se llama esa constante?

19. En la funcin y = mx + n, cmo debe ser m para que la funcin sea decreciente?

20. Sea la recta 523

= xy

a) Escribe la ecuacin de dos rectas paralelas a ella. b) Escribe la ecuacin de una recta con la misma ordenada en el origen y que no sea paralela

a ella.

21. Cul es la recta que tiene por ecuacin y=0? Y la de ecuacin x=0?

22. Escribe la ecuacin de una recta paralela al eje vertical y que pase por el punto (2, 3).

23. Sean las rectas:

Compara sus pendientes y di, sin dibujarlas, cules son paralelas.

24. Verdadero o falso? a) La recta x = 4 es paralela al eje de abcisas. b) La recta x-3 = 0 es paralela al eje de ordenadas. c) La recta y= -2 es paralela al eje de abcisas. d) Las rectas y= 2x 1 e y= x 1 son paralelas.

25. Representa grficamente estas funciones:

26. Las rectas r: 2x + 3y 6 = 0; s: x y 7 = 0; t: y 4 = 0 determinan un tringulo. Cules son sus vrtices?

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EJERCICIOS FUNCIONES

1. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (3, 7) y tiene por pendiente m= 5.

2. Dadas las rectas y = x 4 e y = 10 x: a. Dibjalas b. Si son secantes, di cul es el punto de interseccin

3. Halla, si existe, el punto de interseccin de las rectas siguientes: y + x 10 = 0 y = - 2x + 14

4. Halla, si existe, el punto de interseccin de las rectas siguientes: 6x 4y + 22 = 0 2x= + 5y 11

5. Una recta tiene por ecuacin y = 5x + 7. Escribe otras tres rectas paralelas a ella.

6. Indica cules de las siguientes rectas son paralelas: a. y = 3x + 7 b. y = 2 3x c. y 3x + 8 = 0 d. 3x + y 12 = 0

7. Halla la recta paralela a y = 4x + 6 que pasa por el punto A (1, 1).

8. Calcula los valores m y n para que las rectas y = mx + 3 e y= - 7x + n: a. Sean paralelas. b. Sean coincidentes, es decir, sean la misma recta.

9. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (1, 3) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por los puntos B (5, 4) y C (7, 8).

10. Halla el valor de m y n para que las rectas y = mx 5ey = - 2x + n sean paralelas y distintas.

11. Comprueba si las rectas r: 3x + 4y 5 = 0 y s: 6x + 8y + 5 = 0 son paralelas o secantes.

12. Comprueba se las rectas r: x 3y + 7 = 0 y s: 3x + 3y + 8 = 0 son paralelas o secantes.

13. Las rectas 3x 5y + 8 = 0 y 6x + my+ 11 = 0 son paralelas. Cunto tiene que valer m?.

14. Comprueba si los puntos A (1, 0), B (2, 1) y C (3, 3) estn o no alineados.

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Unidad 7: Figuras planas

Objetivos

1. Aplicar los teoremas de la altura, del cateto, Tales y de Pitgoras para hallar medidas en ciertos tringulos y otras figuras geomtricas.

Contenidos

Conceptos

1. Teorema de Tales 2. Teorema de la altura. 3. Teorema del cateto. 4. Teorema de Pitgoras. 5. Aplicaciones de los teoremas anteriores.

Procedimientos

1. Empleo de los teoremas de Tales, de la altura, del cateto y de Pitgoras para obtener diferentes medidas en ciertos tringulos y otras figuras geomtricas.

2. Resolucin de problemas relacionados con formas geomtricas utilizando lo teoremas anteriores.

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UD 7 EJERCICIOS

1. Sabiendo que:

Calcula

2. Calcula la longitud del segmento BA:

3. Mide y comprueba que se cumplen las siguientes proporciones:

4. Calcula x e y utilizando las relaciones de semejanza:

5. Calcula mentalmente las distancias desconocidas:

6. Calcula en cada caso los valores desconocidos, x e y.

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7. Busca tringulos semejantes y, basndote en las relaciones existentes entre ellos, calcula a, b y c.

PROBLEMAS DE SEMEJANZA

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1. A cierta hora del da, la sombra de Enrique mide 0,70 m y la de la torre de la iglesia 22.8 m. Si la estatua de Enrique es de 1,75 m, cul es la altura de la torre?

2. Anabel ha fabricado con tres listones un instrumento para calcular la altura de los rboles. Si se ha colocado a 20 m del tronco de cierto rbol y los listones han quedado como indica la figura, cul es la altura de ese rbol?

3. Mercedes est en la orilla de la playa y ve una barca anclada mar adentro. Observa el mtodo que ha ideado para calcular la distancia x, de la barca a la orilla:

a. Ha clavado tres estacas A, B y C en las posiciones que ves en la figura. b. Despus se ha desplazado desde C, paralelamente a la orilla, hasta que B y la barca

han coincidido en la visual. Ese es el punto D. c. Ha medido la distancia = 70 m

Seras t capaz, con estos datos, de calcular x?

4. Dispones de un listn de 1 m de longitud y de una cinta mtrica. Qu distancias necesitaras medir para calcular la altura del rbol sin tener que subirte a la copa?

5. El ciclista acaba de coronar el puerto. A qu altura se encontrar despus de 4,5 km de bajada? (La seal de trfico indica que cada 100 m recorridos se descienden 8 m).

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6. Antonia mide 1.78 m y su sombra, ahora 1.23 m de largo. En ese mismo momento, el edificio arroja una sombra de 31.08 m. Cul es la altura del edificio?

7. A qu distancia de la pared habr que colocar el foco para que la sombra ocupe una superficie igual a cuatro pantallas?

8. Mara mira desde una altura de 1.75 m A qu altura debe levantar la valla para no ver, desde ningn punto de su patio, la casa del vecino?

TEOREMA DE PITGORAS

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1. Calcula en cada figura las distancias que se indican mediante una incgnita:

Ejercicios Teoremas de la altura y del cateto

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1. La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 30 cm y la proyeccin de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

2. En un tringulo rectngulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa

3. En cada uno de los siguientes tringulos rectngulos se ha trazado la altura BH sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y.

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4. Tenemos un tringulo rectngulo, de forma que la altura relativa a la hipotenusa determina sobre sta, dos segmentos de longitudes 1,8 cm y 3,2 cm. Halla:

a)La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa. b)Lalongitud de los catetos. c)El rea del tringulo

5. Tenemos un tringulo rectngulo, como el de la figura en el que se conoce la hipotenusa a=100 m. y el rea A=2.400 m2. Halla:

a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa. b) la longitud de n c) la longitud del cateto b.

6. Calcula la proyeccin del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm y el cateto mayor 40 cm.

7. La hipotenusa mide 25 cm, y la proyeccin del cateto menor sobre la hipotenusa 9 cm. Halla el cateto mayor.

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8. La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyeccin del cateto menor sobre la hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.

9. Uno de los catetos de un tringulo rectngulo mide 12 m y su proyeccin sobre la hipotenusa mide 7,2 m. Calcula el rea y el permetro del tringulo.

10. Halla el permetro del tringulo ABC del que conocemos AH = 9 cm, BH = 12 cm.

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TEOREMA DE PITGORAS, DE LA ALTURA Y DEL CATETO

1. Calcula la diagonal de un tringulo de lados 5 y 2 respectivamente.

2. Halla el permetro de un tringulo issceles, sabiendo que su lado desigual o base mide 18 cm y que la altura relativa a esta base mide 12 cm.

3. Un terreno tiene forma de trapecio issceles y sus bases miden 16 cm y 10 cm. Calcula el permetro sabiendo que su altura es 4 cm.

4. Calcula los catetos x e y:

5. Uno de los catetos de un tringulo rectngulo mide 6 cm y su proyeccin sobre la hipotenusa mide 3 cm. Cunto mide la hipotenusa? Y el otro cateto?

6. La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 6 cm y uno de los catetos 4 cm. Cunto mide su proyeccin sobre la hipotenusa?

7. Calcula las incgnitas:

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Unidad 8: Probabilidad

Objetivos

1. Determinar y diferenciar los fenmenos aleatorios y deterministas. 2. Diferenciar experimentos aleatorios elementales y compuestos. 3. Distinguir los tipos de sucesos y operar con ellos.

Contenidos

Conceptos

1. Conocimiento experimental del carcter imprevisible del azar. 2. La probabilidad como medida del grado de posibilidad de que ocurra un suceso. 3. Lenguaje del azar: suceso, suceso seguro, suceso elemental, suceso imposible, suceso

compuesto, etctera. 4. Espacio muestral. Sucesos elementales.

Procedimientos

1. Realizacin de experimentos aleatorios y determinsticos sencillos. 2. Conocimiento de los fenmenos tpicos de azar. 3. Identificacin de los posibles resultados del espacio muestral; primero, experimentando y,

despus, deduciendo. 4. Manejo del lenguaje del azar: suceso, suceso seguro, suceso elemental, suceso imposible,

suceso compuesto, suceso contrario, etctera.

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UD 8 EJERCICIOS

1. Indica si estos experimentos son aleatorios y, en caso afirmativo, forma el espacio muestral. a) Se extrae, sin mirar, una carta de una baraja espaola. b) Se lanza un dado tetradrico regular, cuyas caras estn numeradas del 1 al 4, y se anota el resultado de la cara oculta. c) Se mide la longitud del permetro de un cuadrado de 4 centmetros de lado.

2. Expresa el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios. a) Se lanza una moneda y se anota el resultado de la cara superior. b) Se lanza un dado de quinielas, (que tiene tres caras con un 1, dos caras con una X y una cara con un 2) y se anota el resultado de la cara superior. c) Se extrae una bola de una urna que contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8, y se anota el nmero de la bola extrada.

3. Se lanza una moneda de un euro y se anota el resultado de la cara superior. a) Establece los distintos tipos de sucesos. b) Escribe el espacio de sucesos. c) Escribe el suceso contrario de salir cara.

4. Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6, y se anota el nmero de la cara superior. Determina estos sucesos y sus contrarios. a) A = salir un nmero impar. c) C = salir un nmero mayor que 8. b) B = salir un nmero mayor que 4. d) D = salir un nmero primo

5. Sean los sucesos A = hace sol y B = llueve. a) Escribe el espacio de sucesos. Cuntos elementos tiene? b) Si se aade el suceso C = nieva, cuntos elementos tiene ahora? c) Intenta generalizar: cuntos elementos tiene el espacio de sucesos si el espacio muestral tiene n elementos?

6. Se realiza un experimento que consiste en lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y anotar el nmero de la cara superior. Dados estos sucesos: A = {1, 2, 3}, B = {2, 5, 6} y C = {3}, halla los sucesos:

7. En el experimento de lanzar un dado de 6 caras, considera los sucesos F = {2, 4} y G = {1, 4, 5, 6}.

8. Se considera el experimento aleatorio consistente en sacar una bola de una urna en la que hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Determina: a) El espacio muestral. b) El suceso A = sacar un nmero par. c) El suceso B = sacar un nmero mayor que 3. d) Los sucesos . Son A y B incompatibles? e) El suceso contrario de B.

9. Se lanza un dado cbico. Indica los sucesos elementales que forman cada uno de estos sucesos.

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a) Sacar un mltiplo de 3. d) Sacar un nmero primo mayor que 3. b) Sacar un nmero menor que 4. e) Sacar un nmero menor que 7. c) Sacar un 0.

10. Se extrae una carta de una baraja espaola de 40 cartas y se consideran los sucesos: A = sacar una copa; B = sacar un rey; C = sacar una carta menor que 5. Determina estos sucesos.