La proporciónM. C. Tomasini

Introducción: La proporción es una relación matemática que vincula las partes entre sí y las partes con el todo. Por medio de la proporción los artistas organizan sus composiciones, otorgándoles unidad y belleza. En Occidente han predominado los cánones de proporción que derivan del arte de la Antigüedad Grecorromana. Sin embargo, estos cánones no son universales puesto que, en distintas civilizaciones y en distintos períodos, se han empleado diferentes sistemas para proporcionar tanto la figura humana como los grandes monumentos arquitectónicos.

*** Parte I: La proporción en la figura humana. En Occidente, la proporción de la figura humana ha variado a lo largo de la historia. Por ejemplo, en el Antiguo Egipto el canon de la figura humana se establecía a partir de un módulo o unidad ajeno al cuerpo humano. Toda parte de la figura se dibujaba tomando como referencia este módulo. De esta manera, desde el Imperio Antiguo hasta la Baja Época el canon imperante para la altura del cuerpo femenino o masculino era igual a 18 veces el módulo. A partir del siglo VII a.C. este canon se modificó, y la altura del cuerpo humano pasó a ser igual a 21 veces el módulo. En la Grecia Antigua se empleó, como unidad de referencia, la altura de la cabeza humana. De este modo, en el siglo V a.C., Policleto estableció, para la figura humana, una altura de 7 y 1/2 cabezas. El modelo por excelencia de este canon es su Doríforo (siglo V a.C.). Posteriormente, en el siglo IV a.C., Lisipo modificó este canon, dando a sus esculturas una altura de 8 cabezas. Estos cánones clásicos permanecieron casi invariables durante la Antigüedad Grecorromana. Sin embargo, desde fines de la Antigüedad, fueron progresivamente abandonados, a medida que el interés en la representación naturalista de la figura humana fue decayendo. Durante la Edad Media no existió un canon riguroso para las proporciones del cuerpo humano. Según se puede apreciar en los cuadernos de Villard de Honnecourt (fines del siglo XIII), las figuras humanas y animales se trazaban a partir de formas geométricas simples, como el triángulo o el cuadrado. Entretanto, en el Imperio Bizantino, el dibujo de los íconos se basaba en un sistema de tres círculos concéntricos. Para el rostro de frente el centro de los círculos se situaba aproximadamente en la intersección de la línea de los ojos y la nariz, o en el centro de la

frente. Estas relaciones permitían trazar tanto los rasgos del rostro como el contorno de la cabeza y la aureola. Por otro lado, para el rostro en escorzo el centro de los círculos se situaba en algún punto entre la pupila del ojo y la ceja. En todos los casos, los radios de los círculos estaban vinculados entre sí, aproximadamente, por la relación

r, 2r, 3r En el Renacimiento se adoptaron nuevamente los cánones de la Antigüedad grecorromana. La proporción del cuerpo humano fue considerada como la expresión sensible de la armonía, y la teoría de las proporciones humanas despertó enorme interés entre los artistas de la época. Tanto Leonardo Da Vinci como Alberto Durero realizaron numerosos estudios antropométricos con la finalidad de tabular las medidas del cuerpo humano, considerado como idealmente bello. El canon de belleza clásico del Renacimiento -basado, a su vez, en el canon de la Antigüedad Grecorromana- siguió predominando durante los siglos subsiguientes entre las normas enseñadas en las academias de arte. Sin embargo, no todos los artistas se han ajustado a estas normas. Algunos de ellos, como el Greco, han seguido pautas propias para proporcionar la figura humana. En particular, los artistas del siglo XX han representado el cuerpo humano con una enorme libertad, recurriendo, incluso, a la deformación como modo de expresar sus emociones.

*** Parte II: La proporción como factor armonizante en la pintura. En la historia de la pintura occidental se verifican, principalmente, 3 formas de estructurar la obra de arte en base a la proporción. Estas formas son las siguientes: a) la división del plano pictórico según la proporción armónica. b) la división del plano pictórico según la sección áurea. c) el uso de un módulo. II a. La proporción armónica: Esta proporción es una de las más comúnmente utilizadas en Occidente. Asimismo, ha sido muy empleada por diversas culturas no occidentales que han tenido matemáticas suficientemente desarrolladas. La proporción armónica se basa en las propiedades de la diagonal del cuadrado; es decir, en las relaciones existentes entre los lados de un cuadrado y su diagonal. En otras palabras, proporcionar armónicamente implica proporcionar en base al cuadrado y su diagonal. En un cuadrado de lado igual a 1 la diagonal vale 2 . (Ver figura 1). Por lo tanto la base de las relaciones armónicas es el número 2 .

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El trazado del rectángulo armónico es sumamente simple. Se comienza dibujando un cuadrado. Se traza la diagonal del cuadrado completo. Con ayuda del compás se traslada la medida de esta diagonal D sobre la prolongación de la base del cuadrado, marcando el punto A. A partir de este punto se traza la perpendicular a la base hasta cortar la prolongación del lado superior del cuadrado. (Ver figura 2). Con ayuda del Teorema de Pitágoras es posible obtener la relación entre los lados del rectángulo armónico. En efecto, dado que D es la diagonal del cuadrado (ver figura 2), entonces

D d d2 2 2= +

D d2 22= Al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación se obtiene

D d= 2 Por lo tanto

Dd= 2

Es decir que el lado mayor D y el lado menor d del rectángulo armónico están relacionados entre sí como

D d= ×2 o bien, si el lado menor del rectángulo vale d, entonces su lado mayor debe valer

D d= ×1 4142, para que el rectángulo tenga proporciones armónicas. La proporción armónica constituye la base geométrica sobre la cual Piero della Francesca construyó su famosa "Flagelación". Existen, además, numerosos ejemplos del uso de esta proporción en el arte sagrado de diferentes culturas. Por ejemplo, la planta del templo budista de Horyuji Nara en Japón (siglo VII) responde a un trazado armónico. También existen indicios del empleo de esta proporción en las civilizaciones precolombinas. Así, por ejemplo, el hacha ceremonial de jade procedente de la cultura Olmeca, que se encuentra actualmente en el Museo Británico, obedece a un trazado geométrico basado en las proporciones armónicas. Por último, la realización de los altares brahmanes en la Antigua India requería del dominio empírico de las propiedades del

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cuadrado y del manejo de la proporción armónica. En fin, esta proporción está ampliamente difundida en el arte del mundo entero, y en las antiguas culturas se relacionó estrechamente con el ritual sagrado.

*** II b. La sección áurea o divina proporción. Una de las relaciones de proporcionalidad más difundidas en la estética occidental es la proporción áurea. El origen de esta proporción se encuentra en el Timeo, diálogo escrito por Platón en el siglo V a.C. En este diálogo se alaba a la proporción áurea como a la más bella de las proporciones1. Durante el Renacimiento italiano el Timeo alcanzó una enorme difusión, sobre todo a partir de la traducción que realizó el humanista italiano Marcilio Ficino en la segunda mitad del siglo XV. Hacia fines de ese mismo siglo, en el año 1498, Fra Luca Pacioli escribió su tratado titulado La Divina Proporción, en el cual se analizan y se desarrollan las propiedades de la proporción áurea. El texto fue ilustrado por Leonardo da Vinci. Desde la publicación de este tratado, la proporción áurea se conoce también con el nombre de divina proporción. Posteriormente también se le han dado los nombres de número de oro o número φ . A continuación veremos brevemente los fundamentos matemáticos del número de oro, y algunas de sus aplicaciones más características2. Para comenzar construiremos la llamada serie de Fibonacci3. Partimos del número uno:

1 y lo sumamos con sigo mismo

1+1=2 Obtenemos así una serie de dos números:

1, 2 Al último número de la serie le sumamos el inmediato anterior:

2+1=3 1 En rigor, en el Timeo se alude a la proporción geométrica continua. Sin embargo, dado que la proporción áurea es un tipo particular de proporción geométrica continua, la idea de belleza proveniente del Timeo se asocia a la proporción áurea. 2 Nos limitaremos al estudio de la proporción áurea en el rectángulo, puesto que la mayoría de las obras pictóricas del arte occidental se presentan en este formato. 3 Fibonacci o Leonardo de Pisa fue un matemático italiano que vivió en el siglo XIII.

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y obtenemos una serie de tres números:

1, 2, 3 Al último número de la serie, nuevamente, le sumamos el inmediato anterior:

3+2=5 con lo cual obtenemos un nuevo número para nuestra serie:

1, 2, 3, 5 Continuamos del mismo modo, sumando siempre al último número de la serie el inmediato anterior:

5+3=8

1, 2, 3, 5, 8

8+5=13

1, 2, 3, 5, 8, 13

13+8=21

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 Así sucesivamente formamos la serie de Fibonacci:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,..... Ahora buscaremos la razón entre dos números sucesivos de la serie (es decir, la razón de un número cualquiera de la serie al número inmediato anterior):

5

2

12

3

21 5

5

31 666

8

51 6

13

81 625

21

131 615

34

211 619

55

341 618

89

551 618

=

=

=

=

=

=

=

=

=

,

,

,

,

,

,

,

,

....y así sucesivamente. Observamos entonces que la razón de dos números sucesivos de la serie de Fibonacci presenta cierta regularidad. Efectivamente, a partir de cierto momento se repite (aproximadamente) el valor 1,618. Entonces:

Definimos como NÚMERO DE ORO al valor constante

φ = 1 618,

que surge de la razón de dos números sucesivos de la serie de Fibonacci4.

De manera general decimos que la serie de Fibonacci establece una relación de proporción como la siguiente:

"L es a B como B es a A" 4 En rigor, la proporción áurea surge a partir de consideraciones geométricas, En consecuencia, el número de oro es un número irracional. Esto significa que no puede ser expresado como la razón -o cociente- entre dos números enteros. El número que se obtiene a partir de la Serie de Fibonacci, es un número racional, puesto que deriva de la razón de dos números enteros. Por lo tanto, la Serie de Fibonacci sólo proporciona una muy buena aproximación al número de oro.

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puesto que ésta es justamente la relación que satisfacen los números de la serie de Fibonacci:

89 es a 55 como 55 es a 34, 55 es a 34 como 34 es a 21, 34 es a 21 como 21 es a 13,

etc., etc. Cálculo de la sección áurea de un segmento (relación de proporción áurea entre longitudes): Si entre dos longitudes existe una relación de tamaños igual a φ decimos que entre dichas longitudes se verifica la proporción áurea. Por ejemplo, si una línea mide 34 cm. de longitud, otra línea de 21 cm. estará relacionada con la primera según la proporción áurea. Siempre es posible dividir un segmento en dos partes que guarden entre sí una relación de proporción áurea. Si L es la longitud del segmento más largo, se lo divide en dos partes A y B tales que cumplan con la relación derivada de la serie de Fibonacci (ver figura 3). Es decir que entre la longitud del segmento B y la longitud del segmento A se verifica la siguiente relación:

BA= 1 618,

Por otro lado, sabemos que sumando los segmentos A y B se obtiene la longitud del segmento original L (ver figura 3):

B A L+ = De esta manera nos queda un sencillo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas A y B. En la primera de ellas:

BA= 1 618,

observamos que en el primer miembro hay una A que divide. Por lo tanto esta A puede pasar al segundo miembro multiplicando:

B A= ×1 618, Reemplazando este valor de B en

B A L+ =

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se obtiene:

( ) LAA =+× 618,1 Sacando factor común A obtenemos:

( ) ( )( ) LA

LAA=+×

=×+×1618,1

1618,1

Efectuando la suma dentro del paréntesis tenemos:

( ) LA =× 618,2 Y despejando A (el número 2, 618 pasa al otro miembro dividiendo) nos queda:

A L= ×1

2 618,

Pero 1

2 6180 382

,,= , por lo tanto podemos escribir la expresión anterior como

A L= × 0 382, Volviendo a la ecuación

B A L+ = despejamos B:

B L A= − y ahora podemos reemplazar el valor obtenido para A L= × 0 382, . Entonces:

( )382,0×−= LLB Sacando factor común L:

( ) ( )( )382,01

382,01

−×=×−×=

LBLLB

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Y resolviendo la resta dentro del paréntesis:

B L= × 0 618, Hemos obtenido dos sencillas expresiones para calcular el número de oro o las proporciones áureas entre dos segmentos de cualquier longitud. Estas expresiones son:

A L= × 0 382, B L= × 0 618,

donde A y B son, respectivamente, el segmento menor y el segmento mayor en los que se ha dividido a L. Estas relaciones también pueden escribirse como:

A L=

2 618,

B L=

1 618,

Cálculo geométrico de la sección áurea: La sección áurea de un segmento (por ejemplo, el lado mayor o el menor de un cuadro rectangular) puede calcularse a partir de cualquiera de las relaciones matemáticas enunciadas anteriormente. Pero también es posible seguir el siguiente método geométrico (ver figura 4):

1-. Se determina la mitad del segmento AB. 2-. Esta medida se proyecta sobre la perpendicular a AB que pasa por B. Así queda determinado el segmento BC. 3-. Se unen los puntos A y C formando un triángulo rectángulo. 4-. Con centro en C se proyecta la distancia BC sobre el lado AC marcando el punto D. 5-. Se toma la distancia AD y, con centro en A, se proyecta esta distancia sobre el lado AB, marcando el punto E. Este punto marca la sección áurea del segmento AB, es decir que verifica la relación

ABAE

AEEB

= = =φ 1 618,

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Este método debe aplicarse tanto al lado mayor como al lado menor del rectángulo, si se desea determinar la sección áurea vertical y horizontal. Trazado del rectángulo áureo: En un rectángulo áureo el lado mayor L y el lado menor l están relacionados de la siguiente manera:

Ll= =φ 1 618,

Para trazar un rectángulo áureo se procede de la siguiente manera: en primer lugar se traza un cuadrado; se lo divide por la mitad, y se traza la diagonal del medio cuadrado, señalada como d en la figura 5. Se prolongan la base del cuadrado y su lado superior. Desde el punto O se proyecta la diagonal d sobre la base del cuadrado, marcando el punto A. Desde A se traza una perpendicular que corta a la prolongación del lado superior del cuadrado. Puede comprobarse que los lados de este rectángulo obedecen a la proporción áurea, es decir que:

Ll= =φ 1 618,

Muchos grandes artistas del Renacimiento, como Fra Angélico, Piero della Francesca o Leonardo da Vinci, han estructurado sus obras a partir de la sección áurea. También artistas modernos. como Seurat en el siglo XIX, o Juan Gris, Mondrian y el uruguayo Torres García en el siglo XX, han recurrido a la proporción áurea para armonizar ópticamente sus composiciones. Asimismo, se han encontrado relaciones de proporción áurea en monumentos de la Antigua Grecia y en las iglesias góticas. Ciertas dimensiones de las pirámides de Gizah están relacionadas entre sí según el número de oro. Y es también conocido el hecho de que algunas formas de vida rigen su simetría y patrones de crecimiento según la proporción áurea. Efectivamente, el crecimiento de la concha de ciertos caracoles se rige por este número; y la simetría pentámera de la estrella de mar o de ciertas flores como el Cistus Incanus obedece también a la proporción áurea.

*** II c. Estructuración a partir de un módulo: Otra manera de dar coherencia a las dimensiones de una obra es referir toda la composición a alguna medida tomada como unidad fundamental. En algunos casos esta medida puede ser la altura de algún personaje importante. Por ejemplo, en "La Escuela de Atenas" de Rafael la construcción completa de la obra se basa en la altura del personaje central, que es Platón. Esta medida se repite en distintos lugares del fresco dando por resultado una estructura sensiblemente articulada. Otro ejemplo es la "Flagelación" de Piero della Francesca en la cual el artista ha empleado como módulo la altura de la figura de Cristo.

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El módulo de referencia no es necesariamente la altura de la figura humana. Efectivamente, el módulo de referencia puede ser la altura de cualquier elemento fundamental de la obra. Por ejemplo, en "La Catedral de Chartres" de Corot las alturas de las torres y la altura máxima de la catedral son medidas que se repiten en diferentes lugares de la pintura. De esta manera, la obra adquiere unidad y coherencia.

*** Parte III. Sugerencias de aplicaciones prácticas por parte de los alumnos. Se propone la siguiente ejercitación como aplicación práctica de los conceptos anteriormente expuestos: 1-. Encontrar ejemplos en la escultura grecorromana que respondan al canon de Policleto. 2-. Encontrar el canon de la figura humana predominante en el Renacimiento a partir de "Las Tres Gracias" de Rafael. 3-. Realizar el trazado del rectángulo armónico en "La Flagelación" de Piero della Francesca y explorar las relaciones surgidas a partir de este trazado. 4-. Determinar la sección áurea en los lados mayor y menor en la tabla principal del Retablo de Annalena de Fra Angélico, y observar su incidencia en la estructura de la obra. 5-. Investigar la estructura de "La Escuela de Atenas" de Rafael usando como módulo la altura de la figura de Platón.

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Bibliografía: - Barja de Quiroga, Y. (dir.): "Luca Pacioli. La Divina Proporción". Intr. de A. M. Gonzales; Trad. de J. Calatrava. Ed. Akal, Fuentes de Arte, Madrid, 1991. - Barrow, G.: "La trama oculta del universo", Ed. Crítica, Drakontos, Madrid, 1996. - Berger, R.: "El conocimiento de la pintura". Tomo II: "El arte de comprenderla". Ed. Noguer, Barcelona, 1999. - Ghyka, M.: "Estética de las Proporciones en la naturaleza y en las Artes". Ed. Poseidon, Barcelona, 1983. - Ghyca, M: "El número de oro". Tomo I: "Los ritmos". Tomo II: "Los ritos". Ed. Poseidon, Barcelona, 1992. - Gideion: "El presente eterno: los comienzos de la arquitectura". Ed. Alianza, Madrid, 1992. - Lawlor, R.: "Geometría Sagrada". Ed. Debate, Madrid, 1993. - Panofsky, E.: "El significado en las artes visuales". Cap. 2: "La historia de la teoría de las proporciones humanas como reflejo de la historia de los estilos". Ed. Alianza, Madrid, 1983. - Pedoe, D: "La geometría en el arte", Ed. G. Gili, Barcelona, 1979. - Tosto, P: "La composición áurea en las artes plásticas", EDICIAL, 1998, Bs. As. - Zimmermann, F.: "Lilavati, la graciosa geometría". Correo de la Unesco, Nov. 1989, p. 18 a 21.

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