Propiedades y clasificación de...
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Clase
Propiedades y clasificación de triángulos
MT-22
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Síntesis de la clase
Ángulos
Clasificación
de ángulos
Polígonos convexos
Relaciones
angulares
Congruentes
(ángulos iguales)
Complementarios
+ = 90°
Suplementarios
+ = 180°
Adyacentes
Opuestos
por el vértice
Ángulos
entre paralelas
Regulares Irregulares
Generalidades0º < Agudo < 90°
Recto = 90°
90º < Obtuso < 180°
Extendido = 180°
Completo = 360°
2
3)n(nD
Número diagonales desde un vértice
d = n – 3
Número total de diagonales
Suma de ángulos interiores
Si = 180° (n – 2)
Suma de ángulos exteriores
360°
180º < Cóncavo < 360°
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Aprendizajes esperados
• Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades.
• Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus
propiedades.
• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.
• Aplicar las propiedades de un triángulo equilátero.
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Pregunta oficial PSU
En la figura 4, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen
exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el
lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2005.
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1. Elementos primarios
2. Elementos secundarios
3. Área y perímetro
4. Clasificación
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1. Elementos primarios
1.1 Definición
El triángulo es un polígono de tres lados que tiene los siguientes
elementos primarios:
Vértices: intersección de dos lados.
Lados : segmentos que delimitan el triángulo.
A B
C
ab
c
= c AB = a BC = b AC
Teorema: “La suma de dos lados debe ser siempre mayor que la medida
del tercer lado”.
a + b > c b + c > a a + c > b
Ejemplo: ¿Puede existir un triángulo de lados: 3, 4 y 7 cm?
Verificando el teorema se tiene: 3 + 4 = 7 4 + 7 > 33 + 7 > 4
Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.
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1. Elementos primarios
1.1 Definición
Ángulos interiores: se forman por la intersección de
dos lados, en el interior de la figura.
Ángulos exteriores : son los ángulos adyacentes a
los ángulos interiores.
, y g
´, ´ y g´ son los ángulos exteriores del triángulo ABC.
C
A B
son los ángulos interiores del triángulo ABC.
Teoremas:
“La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º”.
“En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa”.
+ + g 180°
“La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º”. ´ + ´ + g´ 360°
“Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes
a él”.
’ = + g ’ = + g g’ = +
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2. Elementos secundarios
2.1 Altura (h)
Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o
a su prolongación.
En la figura, CD es la altura (hC) desde el vértice C.
A B
C
hC
D
El ortocentro (H) es el punto de
intersección de las alturas (hA , hB, hC).
A B
C
H
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2. Elementos secundarios
2.2 Transversal de gravedad (t)
Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
El baricentro o centro de gravedad (G)
es el punto de intersección de las
transversales de gravedad.
tC
En la figura, CD es la transversal de gravedad (tC)
desde el vértice C y D es el punto medio del lado AB.
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2. Elementos secundarios
Propiedad del centro de gravedad o baricentro (G)
El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.
D, E y F: Puntos medios
AE = tA
BF = tB
CD = tC
G: Centro de gravedad
Ejemplo:
En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.
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2. Elementos secundarios
2.3 Simetral (S)
Recta perpendicular a un segmento, trazada en su punto medio.
En la figura, está representada la simetral del lado AB, que pasa por su punto
medio D.
A B
C
S
El punto de intersección de las simetrales
se llama circuncentro y corresponde al
centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo.D, F y G:
Puntos medios.
E: Circuncentro
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2. Elementos secundarios
2.4 Bisectriz (b)
Rayo que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.
B
C
DA
bC
El punto de intersección de las bisectrices
se llama incentro y corresponde al centro
de la circunferencia inscrita en el triángulo.
E: Incentro
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2. Elementos secundarios
2.5 Mediana (M)
Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La
mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.
Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4
triángulos iguales entre sí. El área de cada uno es la cuarta
parte del área total del triángulo original.
D, E y F: Puntos medios
DF, DE y EF: Medianas
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3. Área y perímetro
A B
C
ab
c
hC
hA hB
Área = base ∙ altura
2
Para obtener el área y perímetro en un triángulo cualquiera se utilizan las
siguientes fórmulas:
A B
C
ab
c
Perímetro = a + b + c
Perímetro = 10 + 17 + 21
Perímetro = 48u
Área = base ∙ altura
2
Área = 21 ∙ 8
2
Área = 84u²
Ejemplo: Determinar el área y perímetro del triángulo de la figura.
D
C
21
17
10
B
A
8
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4. Clasificación
Según ángulos Según lados
Acutángulo
Todos sus ángulos
interiores son agudos.
Rectángulo
Tiene un ángulo
recto.
Obtusángulo
Tiene un ángulo
obtuso.
Escaleno
Todos sus lados y
ángulos son distintos.Ejemplo:
Isósceles
Tiene solo 2 lados
congruentes y el lado
distinto es la base.
(Base)
Equilátero
Tiene todos sus lados y
ángulos congruentes.
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4.1 Propiedades en el triángulo equilátero
AB BC CA
4. Clasificación
Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales
coinciden sobre la misma recta. Por lo tanto, el
ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro
coinciden.
23ah
4
3aA
2
30º30º
60º 60º
ha a
a
2
a
2
Área (A) y altura (h) de un triángulo equilátero
con a: lado del triángulo
23a
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Ejemplo
Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide cm. 33
Sea x la medida del lado, entonces:
Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:
2
3xh
2
3x33
2
x3
6 = x
39 A 4
336 A
436A
2
cm2
A partir de la altura determinaremos el lado.
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4. Clasificación
Relación entre el triángulo equilátero y
la circunferencia circunscrita
h = r + 2
r h =
2
3rh = 3r
Relación entre el triángulo equilátero
y la circunferencia inscrita
4.1 Propiedades en el triángulo equilátero
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4. Clasificación
4.2 Propiedades en el triángulo isósceles
Las alturas y transversales que se trazan desde los
vértices congruentes, miden lo mismo.
hA = hB tA = tB
La altura, transversal, bisectriz y simetral que llegan a la
base, coinciden sobre la misma recta.
x = 50°
DBA = 40° y ADB = 90°
Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC.
Si D es punto medio, entonces BD es transversal.
BD es altura, bisectriz y simetral.
40°
90°
= 50°
Ejemplo: En la figura, el triángulo ABC es isósceles en B y D es punto
medio de AC. Determine la medida del ángulo x.
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4.3 Propiedades en el triángulo rectángulo
Triángulo rectángulo isósceles
En el triángulo rectángulo isósceles de lado a
de la figura, se cumple que:
A
C
B
Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa).
A
C
B
CBA = 45°
BC = 4 2
AC = 4 y
45°
44 2
4. Clasificación
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Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
tC : transversal
Si M es punto medio de AB, entonces AM MB CM
4. Clasificación
4.3 Propiedades en el triángulo rectángulo
Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el DCB.
D es punto medio
Por lo tanto, DCB = 40°
Si CD es transversal de gravedad,
El triángulo CDB es isósceles de base BC
AD DB CD
CBA DCB
40°
40°
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Pregunta oficial PSU
ALTERNATIVA CORRECTA
E
En la figura 4, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen
exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el
lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El área total de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2005.
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Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
1 E Triángulos Aplicación
2 B Triángulos Aplicación
3 B Triángulos Aplicación
4 D Triángulos Análisis
5 E Triángulos Análisis
6 C Triángulos Análisis
7 D Triángulos Análisis
8 C Triángulos Aplicación
9 A Triángulos Aplicación
10 D Triángulos Aplicación
11 C Triángulos Aplicación
12 B Triángulos Análisis
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Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
13 D Triángulos Análisis
14 E Triángulos Análisis
15 D Triángulos Análisis
16 B Triángulos Aplicación
17 A Triángulos Aplicación
18 D Triángulos Aplicación
19 D Triángulos Análisis
20 B Triángulos Análisis
21 C Triángulos Análisis
22 A Triángulos Análisis
23 A Triángulos Análisis
24 C Triángulos Evaluación
25 C Triángulos Evaluación
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Síntesis de la clase
secundariosprimarios área
perímetro
según sus
ángulos
según sus
lados
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
escaleno
isósceles
equilátero
vértices
lados
ángulos
interiores
ángulos
exteriores
Triángulos
Elementos Generalidades Clasificación
altura
simetral
bisectriz
transversal
mediana
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Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, resolveremos el
Taller II
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Equipo Editorial Matemática