Propiedades estructurales de los sistemas mltiples.Se denomina sistema mltiple a un modelo estructural que tiene varios grados de libertad, se entiende como direcciones de aceleracin (traslacional o rotacional) de una masa concentrada cualquiera. Esto los diferencia de los sistemas continuos, que se caracterizan por un nmero infinito de grados de libertad. Ecuaciones de movimientoLas expresiones matemticas que gobiernan la respuesta dinmica de las estructuras se conocen con el nombre de ecuaciones del movimiento. Dichas ecuaciones se obtienen aplicando cualquiera de los principios de la mecnica clsica, como, por ejemplo, el principio DAlembert, el de los trabajos virtuales, o el de Hamilton. En el caso de los edificios, los modelos dinmicos ms usuales son el de edificio de cortante y el de prtico tridimensional.Ecuacin de Rigidez.Para determinar las ecuaciones que rigen el comportamiento de un sistema de varios grados de libertad, se considerar el anlisis de un edificio de cortante. Por ello iniciaremos el anlisis determinando la ecuacin de rigidez.Un edificio simple puede ser definido como un edificio en el cual no se producen rotaciones en los miembros horizontales a la altura de los pisos. Se deben suponer las siguientes condiciones: Que toda la masa de la estructura est concentrada al nivel de los pisos; que las vigas en los pisos son infinitamente rgidas, con relacin a la rigidez de las columnas y que la deformacin de la estructura es independiente de las fuerzas axiales presentes en las columnas.

Fig1. Modelo de una columna para representar un edificio simple.Se puede idealizar al edificio simple como una sola columna con masas concentradas a la altura de los pisos, en el bien entendido que slo son posibles desplazamientos horizontales de estas masas. Otra alternativa para representar un edificio simple es adoptar un modelo de resortes y masas, como el que se muestra en la siguiente figura.

Fig 2 Modelo de masas concentradas y resortes para representar un edificio simple.En cualquiera de las tres representaciones mostradas en las figuras, el coeficiente de rigidez o constante del resorte KI entre dos masas consecutivas, es la fuerza requerida para producir un desplazamiento relativo de magnitud unitaria entre dos pisos adyacentes.Las ecuaciones de movimiento de un edificio simple de tres pisos se pueden obtener de cualquiera de los diagramas de cuerpo libre mostrados en las figuras, esto es, igualando a cero la suma de las fuerzas que actan en cada una de las masas. As obtenemos

Este sistema de ecuaciones constituye la formulacin de la rigidez de las ecuaciones del movimiento para este edificio simple de tres pisos. Las ecuaciones pueden escribirse convenientemente usando matrices como

Donde y son, respectivamente, las matrices de masa y de rigidez dadas por

Y por

Y donde , son, respectivamente, los vectores de desplazamiento, aceleracin y fuerza dados por , Debe notarse que la matriz de masa, correspondiente a un edificio simple, es una matriz diagonal (los elementos distintos a cero estn slo en la diagonal principal). Los elementos de la matriz de rigidez son llamados Coeficientes de rigidez. En general, el coeficiente de rigidez se define como la fuerza en la coordenada i cuando la coordenada j se desplaza una unidad, mientras que todas las otras coordenadas permanecen fijas. Vibracin libre de un edificio simple.Cuando una estructura no est sometida una excitacin externa alguna (fuerza o desplazamiento del soporte) y su movimiento est gobernado solamente por las condiciones iniciales, se considera que est en vibracin libre. Existen, ocasionalmente, circunstancias en las que es necesario determinar el movimiento de la estructura en condiciones de vibracin libre, pero son casos especiales. No obstante, el anlisis de la estructura en movimiento libre proporciona las propiedades dinmicas ms importantes de la estructura, que son las frecuencias naturales y los correspondientes modos normales. El problema de vibracin libre requiere que el vector fuerza sea igual a cero en la formulacin de rigidez con , tenemos: 6)Para la vibracin libre de una estructura sin amortiguacin, buscamos soluciones para la ecuacin anterior de la forma o en forma de notacin vectorial 7)donde es la amplitud del movimiento de la coordenada i y n es el nmero de grados de libertad. La aplicacin de la ecuacin anterior en 6) da 8)

O reordenando los trminos 9)que en el caso general, es un sistema algebraico de n ecuaciones lineales homogneas (segundo miembro igual a cero) con n incgnitas, amplitudes, , adems de un parmetro por determinar, . La formulacin de la ecuacin 9)es un importante problema matemtico conocido como problema caracterstico. Su solucin no trivial, esto es, la solucin en la cual no todos los valores =0, requiere que el determinante de la matriz del factor de sea igual a cero; en este caso, 10) La ecuacin 10) resulta ser una ecuacin algebraica de grado n de la incgnita ,la cual se satisface para n valores de . Esta ecuacin es conocida como ecuacin caracterstica del sistema. Para cada valor de que satisface la ecuacin 10), podemos resolver la ecuacin 9), para en trminos de una constante de proporcionalidad arbitraria.La ordenacin en una matriz de los modos normales constituye la matriz modal del sistema. Es particularmente conveniente normalizar los vectores caractersticos para hacerlos satisfacer la siguiente condicin: i= 1,2,, ndonde los vectores caractersticos se obtienen dividiendo los componentes de por .El movimiento forzado de un sistema tambin puede ser expresado en funcin de los modos normales de vibracin, y que la respuesta total puede obtenerse mediante la superposicin de las soluciones modales independientes. Los modos normales pueden ser usados para transformar el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas en un nuevo conjunto de ecuaciones diferenciales desacopladas en el que cada ecuacin contiene una sola variable independiente. Por lo tanto, el mtodo de superposicin modal reduce el problema de encontrar la respuesta de un sistema con mltiples grados de libertad a la determinacin de las respuestas de sistemas con un solo grado de libertad.Las ecuaciones de movimiento para el caso particular de un edificio simple con dos grados de libertad, son

Transformar este sistema acoplado de ecuaciones en un sistema de ecuaciones independientes o desacopladas, en el que cada ecuacin contenga slo una incgnita en funcin del tiempo. Primer es necesario expresar la solucin en funcin de los modos normales multiplicados por coeficientes que determinen la contribucin de cada modo. En el caso del movimiento libre esos factores eran funciones sinusoidales del tiempo; en el caso presente, de movimiento forzado, son funciones generales del tiempo que designamos como . Por tanto, la solucin de la ecuacin anterior se supone de la forma

Sustituyendo en las ecuaciones de movimiento y haciendo uso de las relaciones ortogonales para separar los modos. Los resultados obtenidos nos permiten una simple interpretacin fsica. La fuerza capaz de excitar un modo es igual al trabajo realizado por las fuerzas externas desplazadas por las componentes del modo respectivo. Desde el punto de vista matemtico, lo que hemos conseguido con eso es desacoplar, con un cambio de variables, el sistema original de ecuaciones diferenciales. Cada una de las ecuaciones anteriores corresponde un sistema de un solo grado de libertad que puede escribirse como

Donde

son las masas modales;

Las rigideces (constantes de resorte) modales; y

Son las fuerzas modales. Si utilizamos la normalizacin pueden escribirse simplemente como

en las cuales, las fuerzas modales y estn, ahora, dadas por

La transformacin de un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas, a un conjunto de dos ecuaciones diferenciales desacopladas, puede extenderse a un sistema de N grados de libertad. Para tal sistema es particularmente conveniente hacer uso de la notacin matricial. Con dicha notacin, la ecuacin del movimiento de un sistema lineal con N grados de libertad est dada como

Donde y son, respectivamente, las matrices de masa y de rigidez, el vector de las fuerzas externas.

En la que es la matriz modal del sistema, resulta

Multiplicando la ecuacin anterior por el vector modal i transpuesto resulta

Las condiciones de ortogonalidad entre los modos normales implica que

Y

Entonces puede ser escrita como Donde la fuerza modal est dada por

Ecuaciones para un sistema con amortiguacin

En la que las matrices y vectores han sido definidos previamente excepto la matriz de amortiguacin C.Para resolver las ecuaciones diferenciales del movimiento, se desacoplaran.

La aplicacin de la ecuacin anterior y sus derivadas en la ecuacin para un sistema con amortiguacin conduce a

Fig 3 Modelo de edificio con amortiguacin

Premultiplicando la ecuacin anterior por el vector modal de orden n transpuesto, da

En la cual N es el nmero total de modos del sistema. La ecuacin puede ser escrita como

O alternativamente, como

En cuyo caso

La normalizacin presentada anteriormente

De manera que la ecuacin se reduce a

Amortiguamiento de RayleighAmortiguamiento relacionado a la masa y a la rigidez Con

Y con

De la forma matricial