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I.E.S. JOSÉ
ISBERT (TARAZONA)
Consejos sobre Dimensiones Óptimas<Construcción, ubicación, decoración, logotipos, publicidad,…>
Santo Tomás de Aquino (1225‐1274)
Los sentidos se deleitan con las cosas que tienen las
proporciones correctas.
Algunos modelos básicos de referencia (cuerpo humano):
La proporción en Geometría
Polígonos
regulares
Polígonos irregulares
Polígonos irregulares
(cuadriláteros uniformes)
Matemáticas. 3 números mágicos:
π = 3,141592654…
e = 2,718281828…
φ = 1,618033988…
Especialmente
útil en Geometría y
Trigonometría.
Especialmente
útil en
Operaciones
Logarítmicas.
Especialmente
útil para hallar
proporciones
perfectas.
Sílaba inicial del nombre del célebre arquitecto griego Phidias.
Letra griega phi.
EL NÚMERO “FI”
Se obtiene así: [(1 + Raíz Cuadrada de 5)]
/ 2 = 1,61803398
Es el valor del denominado “número áureo”
(número de oro).
Es la referencia de la proporción perfecta, también llamada “áurea”
y
“divina”.
Phidias (490 AC –
431 AC)
Cuadro de 1868. Phidias mostrando el friso
del Partenón a sus amigos.
Pasos para construir la división áurea de un segmento:
1º) Se traza una recta de cualquier longitud “AB”. Y sobre la perpendicular a AB
desde el punto B se traza otra recta de longitud AB/2. El punto del nuevo extremo
se llamará
H. Y por tanto, BH será
justo la mitad de AB.
Pasos para construir la división áurea de un segmento:
2º) Se une A con H. Hasta aquí
se ha formado un triángulo rectángulo.
Pasos para construir la división áurea de un segmento:
3º) Con centro en H y radio HB se traza un arco hasta determinar el punto C´
(corte
con la recta AH).
Pasos para construir la división áurea de un segmento:
y 4º) Con centro en A y radio AC´
se traza un arco hasta determinar el punto C (corte
con la recta AB).
Obteniéndose este resultado:Es decir: AC x φ
= AB También: AB – AC = CB
Longitud total MayorMenor
Resumen de la proporción perfecta de un segmento:
Ejercicios:
1.‐
Conocemos la longitud del segmento total (por ejemplo: 24 cms.)
y queremos
dividirlo “divinamente”. Hállense los valores de los trozos mayor y menor.
2.‐
Conocemos la longitud del segmento mayor (por ejemplo: 12 cms.)
y
queremos añadirle un segmento menor para alcanzar la longitud total “divina”.
Hállense los valores del trozo menor y del segmento total.
3.‐
Conocemos la longitud del segmento menor (por ejemplo: 5 cms.) y queremos
añadirle un segmento mayor para alcanzar la longitud total “divina”. Hállense los
valores del trozo mayor y del segmento total.
Donde mejor se aprecia y resulta eficaz la proporción divina es en el rectángulo
áureo
Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado
un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial. Los griegos lo consideraban
de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. A la mayoría de
las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas
proporciones entre sus lados.
¿Cómo se construye?Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo
unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia
sobre el lado inicial a través de un arco de circunferencia, obteniendo el lado
mayor de un rectángulo. Acto seguido se completa el polígono final.
Una propiedad importante de los rectángulos áureos es que cuando se colocan
dos iguales, como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.
En un rectángulo divino:
Φ
= lado mayor / lado menor
Es decir, la proporción perfecta se comprueba cuando, tras alinear juntos dos
rectángulos iguales (ubicando el primero en horizontal y el segundo en vertical),
al trazar la diagonal, dicha recta resultante pasa por los vértices inferior izquierdo
y superior derecho del primer rectángulo, así
como por el vértice superior
derecho del segundo rectángulo.
Algunos ejemplos de rectángulos áureos en la vida cotidiana:
Curiosidades sobre el terreno de juego de los campos de fútbol:
Dimensiones reglamentarias:
Medidas reglamentarias Largo Ancho
Partidos nacionales Mín: 90 Máx: 120 Mín: 45 Máx: 90
Partidos internacionales Mín: 100 Máx: 110 Mín: 64 Máx: 75
Final de un Mundial 105 68
Campo de fútbol Equipo Medidas Proporción
Camp Nou 107 x 72 1,486
Santiago Bernabéu 105 x 68 1,544
Mestalla 100 x 59 1,695
Vicente Calderón 105 x 70 1,500
San Mamés 105 x 68 1,544
Ciutat de Valencia 107 x 68 1,573
Aunque algunas dimensiones se aproximan a la proporción perfecta,
ninguna da como resultado exacto el número de oro (que se lograría
por ejemplo con 105x65 ó
110x68).
Excepción
Ciutat Esportiva Joan GamperEl 1 de junio del año 2006 se inauguró
oficialmente
la Ciudad Deportiva del FC Barcelona Joan Gamper.
De los 8 campos construidos
de fútbol 11, siete de ellos
son “divinos”: la proporción
rectangular de sus lados
guarda la relación áurea,
pues el cociente obtenido es
prácticamente el número de
oro: 105/65 = 1,61538
Ejemplos de rectángulos cotidianos “no áureos”:
Ejercicios:
4.‐
Conocemos la longitud del lado mayor de un rectángulo (por ejemplo: 22 cms.)
y queremos construir un rectángulo divino. ¿Cuánto debe medir el lado menor del
rectángulo?
‐‐
Tamaño estándar de las fotografías: 36/24 (relación: 1,5)
‐‐
Pantallas de televisión: 16/9 (relación: 1,77)
‐‐
Hojas DIN A: Raíz cuadrada de 2 (relación: 1,41)
5.‐
Conocemos la longitud del lado menor de un rectángulo (por ejemplo: 10 cms.)
y queremos construir un rectángulo divino. ¿Cuánto debe medir el lado mayor del
rectángulo?
El rectángulo áureo tiene otra propiedad muy interesante. A partir de él podemos
obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo y
consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado; la superficie que queda
después de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo.
Los números de oro de la Serie de Fibonacci
Leonardo Piosano Fibonacci
(1170‐1250)
La serie la descubrió
cuando resolvió
un
problema de reproducción de conejos: ¿Cuántas
parejas de conejos tendremos a fin de año si
comenzamos con una pareja que produce cada
mes otra pareja, la cual procrea a su vez a los dos
meses de vida?
Mes 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11 12ºParejasConejos 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Prácticamente todas las proporciones corresponden al Número de Oro:13/8= 1,625 21/13=1,615 34/21=1,619 55/34=1,618 89/55=1,618 144/89=1,618
El halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica:
su mejor visión está
en ángulo con su dirección de vuelo; este
ángulo es el mismo que el grado de la espiral.
Los insectos se aproximan a la luz según una espiral logarítmica
porque acostumbran a volar con un ángulo constante a la
fuente luminosa.
Proporción divina en la morfología de las abejas.
La medida del abdomen de la abeja dividida por Φ
es
igual a la medida de su tórax y a su vez la medida del
tórax dividida por Φ
es igual a la medida de su cabeza.
Algunas imágenes ilustrativas de proporciones idóneas de ubicación empresarial
José
Agustín García Talavera
Profesor del IES José
Isbert (Tarazona)