PROGRESIONES MATEMATICAS

Progresiones matemáticas. Fenómeno financiero Pag 1_____________________________________________________________________________________

1.- PROGRESIONES ARITMETICAS.

Definición y características:

Existe un primer término que denominaremos a1.Existe un valor llamado “razón” que sirve para obtener los términos de la progresión mediante la suma de dicho valor al término precedente. A dicha razón la denominaremos r.Es decir, a2 = a1 + r; a3 = a2 + r; y así sucesivamente hasta calcular el último término que denominaremos an, con lo que obtendremos un conjunto de valores tales que:

a1, a2 , a3, a4, ………………, an-1, an

en donde cualquier término en la posición m, cumple que : am = am-1 + r

Ejemplo:

Sea el primer término de una progresión aritmética el número 7.Sea la razón de dicha progresión aritmética el número 2.Los diez primeros términos de dicha progresión serán los siguientes:

7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 (hemos ido sumando dos unidades a cada término para obtener el siguiente)

Nota.- este es un ejemplo de progresión aritmética creciente (los términos van aumentado de valor). Pero existen las progresiones aritméticas decrecientes (los términos van disminuyendo su valor), estás se dan cuando la razón es un número negativo. Si en el ejemplo anterior la razón de la progresión hubiera sido “-2”, los diez primeros términos obtenidos serían: 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11.

Suma de una progresión aritmética:

Puede ser interesante obtener el valor que representa la suma de una progresión aritmética. Su cálculo se realiza sumando el primero con el último término de la progresión y multiplicando dicho resultado por el número de elementos de la progresión dividido por dos. La fórmula a aplicar sería la siguiente:

(a1 + an)*nSn = (a1 + an) * (n/2); Sn = _________________ (ambas expresiones son la misma fórmula)

2Para ilustrar el procedimiento hallemos el valor de la suma de la progresión creciente anterior:Primer elemento: 7 Numero de elementos de la progresión: 10Último elemento: 25 Número de elementos dividido por 2: 10/2= 5Suma primero+último: 7+ 25= 32 Valor suma total progresión: 32*5= 160

Si hacemos la suma con ayuda de una calculadora veremos que el resultado es correcto. Si observamos, hay una característica de las progresiones aritméticas que facilita este cálculo:Sumamos el elemento en posición 1 con el elemento en posición 10: 7+25= 32Sumamos el elemento en posición 2 con el elemento en posición 9: 9+23= 32Sumamos el elemento en posición 3 con el elemento en posición 8: 11+21= 32Es decir, siempre obtenemos el mismo resultado. Luego, sumando el primero y el último elemento conocemos el valor de dichas sumas.


¿Y cuántas sumas se pueden hacer de este tipo? Pues la mitad del número de elementos que tenga la progresión, ya que en cada suma intervienen dos elementos de dicha progresión.Luego, la suma total de la progresión será igual a “suma del primero más el último, multiplicando dicho resultado por la mitad del número de elementos de la progresión”

Calcular un término de la progresión aritmética a partir del primero:

Si el primer término de la progresión los denominamos a1, el segundo término por a2, el tercero a3 y así sucesivamente hasta el último término en la posición n an, observamos que se cumple la siguiente relación:a2 = a1 + ra3 = a2+ r = a1 + r + r = a1 + 2*ra4 = a3 + r = a2 +r + r = a1 + r + r + r = a1 + 3*r...an = a1 + (n -1) *r

Ejemplo:

Tomando como referencia la progresión aritmética creciente del ejemplo anterior, con primer término a1 = 7 y razón r = 2, si queremos calcular el valor del elemento que va en quinta posición, aplicando la fórmula anterior, obtendremos lo siguiente:

a5 = 7 + (5 -1) *2 = 7 + (4 *2) = 7 + 8 = 15

2.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.


Definición y características:

Existe un primer término que denominaremos a1.Existe un valor llamado “razón” que sirve para obtener los términos de la progresión mediante la multiplicación de dicho valor por término precedente. A dicha razón la denominaremos r.

Es decir, a2 = a1*r; a3 = a2*r; y así sucesivamente hasta calcular el último término que denominaremos an, con lo que obtendremos un conjunto de valores:

a1, a2 , a3, a4, ………………, an-1, an

en donde cualquier término en posición m, cumple que : am = am-1 * r

Ejemplo:

Sea el primer término de una progresión geométrica el número 5.Sea la razón de dicha progresión geométrica el número 2.Los diez primeros términos de dicha progresión serán los siguientes:

5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560 (es decir, hemos ido multiplicando por dos cada término para obtener el siguiente)

Nota.- este es un ejemplo de progresión geométrica creciente (los términos van aumentado de valor). Pero existen las progresiones geométricas decrecientes1 (los términos van disminuyendo su valor), estás se dan cuando la razón es un número positivo menor que uno. Si en el ejemplo anterior la razón de la progresión hubiera sido “0,5”, los diez primeros términos obtenidos serían: 5, 2.5, 1.25, 0.625, 0.3125, 0.15625, 0.078125, 0.0390625, 0.01953125, 0.009765625.

Suma de una progresión geométrica:

Puede ser interesante obtener el valor que representa la suma de una progresión geométrica. Para realizar dicho cálculo, el último elemento se multiplica por la razón, después se le resta el primer elemento y, el resultado anterior, se divide por la razón menos 1.

Si denominamos Sn = suma de la progresión.a1 = primer término de la progresiónan = último término de la progresiónr = razón de la progresión

an*r -a1La fórmula matemática sería: Sn =

r - 1

En nuestro ejemplo de progresión creciente, si aplicamos la fórmula obtendremos:

Sn = (2560*2 – 5)/ (2 -1) = (5120 - 5)/ 1 = 5.115

En nuestro ejemplo de progresión decreciente, si aplicamos la fórmula obtendremos:

Sn = (0.009765625*0,5 – 5) / (0.5 -1) = 0,004882813 - 5 / -0.5 = -4,99511719/- 0,5 =9,990234375

1 También existen las progresiones geométricas oscilantes, son aquellas en las que los términos van teniendo, alternativamente, signo positivo y signo negativo, Esto sucede cuando la razón es un número negativo. Por ejemplo, si el primer término de la progresión es 5 y la razón es -2, tendremos que a1 = 5; a2 = 5* (-2) = -10; a3 = (-10)*(-2)= 20; a4 = 20 * (-2) = -40, etc.


Nota.- vemos que en las progresiones geométricas decrecientes la fórmula nos lleva a dividir un número negativo por otro numero negativo, cuyo resultado ya sabemos que es positivo; por ello, en las progresiones geométricas decrecientes, para evitar confusiones, la fórmula se aplica dándole la vuelta, pues el resultado es el mismo, ya que nos quedará un número positivo dividido por otro número positivo, cuyo resultado es positivo2. La expresión sería la siguiente:

a1 - an*r Sn =

1 - rDemostración:

Se basa en un pequeño truco matemático que consiste en los siguientes pasos:

Tenemos una progresión geométrica de razón “r” y de “n” términos: a1, a2, a3, ……….., an-1, an

La suma de sus términos será: Sn = a1+ a2+ a3+ ……….. + an-1 +an

Si multiplicamos3 ambas partes de esta igualdad por la razón “r”, obtendremos la siguiente expresión:

Sn*r = a1*r, a2*r, a3*r, ………. an-1*r, an*r

Observemos que si en las progresiones geométricas cada elemento se obtiene multiplicando por “r” el anterior, en esta última expresión se cumplen las siguientes igualdades: a1*r = a2, a2*r = a3, a3*r = a4, ………. an-1*r = an, an*r, en resumen, la igualdad se puede expresar así:

Sn*r = a2+ a3+ ……….. + an +an*r

Si ahora restamos las sumas de las dos progresiones : Sn*r – Sn, obtenemos que

Sn*r = a2+ a3+ ……….. + an +an*r Sn = a1+ a2+ a3+ ……….. + an-1 +an _______________________________ Sn*r – Sn = - a1 an*r

Observemos que sólo nos queda el último término de la primera suma al que le resta el primer término de la otra.

Como Sn*r – Sn, al sacar factor común a Sn, es igual que Sn*(r – 1), obtenemos que

Sn*(r – 1) = an*r - a1 ;

Si pasamos (r - 1) al otro miembro de la igualdad, que pasará dividiendo al estar multiplicando4, resulta:

an*r - a1Sn =

(r – 1)

2 Equivale a multiplicar la fórmula original por -1/-1 que es 1, y una fórmula multiplicada por 1 es ella misma.3 Aquí comienza el truco.4 Nótese que equivale a dividir los dos miembros de la igualdad por (r- 1), por lo que la igualdad se sigue respetando.


Calcular un término de la progresión geométrica a partir del primero:

Si el primer término de la progresión los denominamos a1, el segundo término por a2, el tercero a3 y así sucesivamente, hasta el último término en la posición n an, observamos que se cumple la siguiente relación:a2 = a1*ra3 = a2*r = a1* r *r = a1* r2

a4 = a3* r = a2*r *r = a1* r *r *r = a1* r3

.

.

.an = a1* rn-1

Ejemplo:

Tomando como referencia la progresión geométrica creciente del ejemplo anterior, con primer término a1 = 5 y razón r = 2, si queremos calcular el valor del elemento que va en sexta posición, aplicando la fórmula anterior, obtendremos lo siguiente:

a6 = 5* 26-1 = 5* 25 = 5* 32= 160

3.- FENOMENO FINANCIERO

Hipótesis:

Todo sujeto económico prefiere, a igualdad de cantidad y calidad, la disposición de bienes en el momento presente sobre la posibilidad de disponer de ellos en el momento futuro.5

Consecuencia:

5 Esta hipótesis en Economía se la conoce como “principio de subestimación de las necesidades futuras”.


El tiempo influye como un bien económico negativo en la valoración de cualquier otro bien; la no disponibilidad de un bien en este momento debe ser compensada con la disponibilidad de una mayor cantidad de dicho bien en un momento futuro.

En notación matemática lo expresaríamos así:

Co: cantidad del bien C disponible en el momento presente denominado to.

Cn: cantidad del bien C disponible en un momento futuro denominado tn.

Sólo si Cn > Co, es posible que un sujeto económico esté dispuesto a renunciar a Co

en to a cambio de obtener Cn en el momento tn.

Hay que advertir que no todos los sujetos económicos están dispuestos a renunciar a la disposición de un bien ahora por una mayor cantidad de dicho bien en el futuro; los habrá que se conformen con menos y los habrá que necesiten mayor cantidad para renunciar a su disposición actual6.

Por ejemplo, puede existir un sujeto A que esté dispuesto a renunciar a la disposición de 1.000 euros ahora a cambio de recibir 1.050.- dentro de seis meses. Puede existir otro sujeto B que no esté dispuesto a ese intercambio y que prefiera disponer del dinero en este momento. Incluso podemos imaginarnos un tercer sujeto C que esté dispuesto a renunciar a la disposición de 1.000 euros ahora a cambio de recibir 1.035.- dentro de seis meses.

En consecuencia, un bien estará siempre valorado con referencia a un momento temporal en el que esté disponible -> capital financiero. Así diremos que:

(Co, to) -> Expresa que la cantidad del bien C disponible en el momento to es Co

(C1, t1) -> Expresa que la cantidad del bien C disponible en el momento t1 es C1

../..(Cm, tm) -> Expresa que la cantidad del bien C disponible en el momento tm es Cm

4.- CONCEPTO DE INTERESES Y TIPO INTERES:

Supongamos que el uno de enero de este año tenemos un capital de 1.000,- euros que estamos dispuestos a depositar en una entidad financiera a cambio de que nos devuelva el día 16 de marzo del mismo año la cantidad de 1.150.- euros.

Sin calculamos la diferencia entre capitales obtendremos: 1.150 – 1000 = 150 (a este exceso entre el capital entregado y el recibido se le denomina “intereses” y se la suele denominar por la letra I)

Si dividimos los “intereses” entre el capital entregado: 150 / 1.000 = 0,15 (nos indica la cantidad recibida en exceso por cada euro entregado “tanto por uno”). Dicho de otra manera: recibimos 15 céntimos por cada euro, luego, como hemos prestado 1.000 euros, recibiremos: 0,15 * 1000 = 150 euros.

6 Hay que advertir que en Economía se admite que cada individuo puede actuar de forma distinta, pues establece sus prioridades en base a la valoración que hace de sus necesidades y de los bienes que pueden cubrirlas. Esto no se contradice con el hecho de que se estudie el comportamiento de agregados (conjuntos de individuos), pues con independencia de los gustos y apreciaciones que cada individuo realiza, existen unas pautas que los grupos siguen y son éstas las que interesan en Economía. En nuestro caso, cada individuo puede exigir una cantidad futura distinta por renunciar a un misma cantidad actual, pero la pauta que cumplen en conjunto es la de que “sólo estarán dispuestos a renunciar a la disposición presente de un bien si reciben una cantidad mayor de dicho bien en el fututo” -> HIPÓTESIS de partida del FENOMENO FINANCIERO.


Pues bien, si el “tanto por uno” lo multiplicamos y dividimos por 100, el valor no se altera, pero obtendremos un “tanto por ciento” expresando así los intereses como un porcentaje: (0,15 *100)/100 = 15/100 = 15% (indica los euros recibidos en exceso por cada 100 euros entregados, que nosotros enunciamos como “quince por ciento”). A este porcentaje se le denomina tipo de intereses y se le suele denominar por la letra i).

Nótese que si multiplicamos el “tipo de interés” por el capital prestado obtenemos los “intereses” que devenga la operación. (1000 * 15/100 = 150)

Tenemos que tener en cuenta que los intereses recibidos (150 euros) están referidos a un periodo de tiempo (los días que van desde el uno de enero hasta el 16 de marzo, en total 74 días7. Luego podemos decir que:

Hemos recibido 150 euros por 74 días, a un tipo de interés del 15% por 74 días.

Esto no es lo habitual, pues el tipo de interés suele estar referido a un periodo de tiempo que represente una unidad de tiempo habitual en nuestra cultura: un día, un mes, un trimestre, un semestre ó un año. Y así hablaremos de tipo de interés diario, mensual, trimestral, semestral, anual, etc.

En resumen, podemos definir como:

I = Intereses: La cantidad recibida en exceso sobre el capital inicial de la operación.

i = Tipo de interés: porcentaje referido a un periodo temporal que permite, mediante la aplicación de fórmulas financieras, obtener los intereses de la operación.

A continuación, analizaremos las fórmulas financieras básicas para el cálculo de intereses: “fórmula del interés simple” y “fórmula de interés compuesto”.

5.- EL INTERES SIMPLE:

Hipótesis de partida: “los intereses vencidos no devengan intereses”

EJEMPLO:

Tenemos un capital de 100 euros que prestamos durante dos años al tipo de interés anual del 7%. Se pide calcular cuánto nos tienen que devolver al final del segundo año.

Capital inicial: 100 eurosTipo de interés anual: 7%

7 Hemos considerado un año no bisiesto y además hemos supuesto que el uno de enero dejamos de disponer del dinero, pero el 16 de marzo ya está a nuestra disposición, luego 31 días de enero, más 28 días de febrero, más 15 días de marzo, dan 74 días.


Vencimiento: 2 años.

Cálculos:

Intereses devengados el primer año: 100 * 7% = 7Intereses devengados el segundo año: 100 * 7% = 7Importe total que recibiremos al final del segundo año: 100 + 7 + 7 = 114 euros.

De este ejemplo se puede inferir que para el cálculo del importe a devolver de un capital prestado, la fórmula aplicable sería:

Cn = Co + Co * i * tn

Siendo:

Cn = capital a devolver en el momento n.Co = capital inicial i = tipo de interés.tn = numero de periodos transcurridos desde el inicio de la operación.

Si aplicamos la fórmula en el ejemplo anterior obtenemos lo siguiente:

Cn = 100 + (100 * (7/100) * 2) = 100+14 = 114

6.- EL INTERES COMPUESTO:

Hipótesis de partida: “los intereses vencidos sí devengan intereses”

EJEMPLO:

Tenemos un capital de 100 euros que prestamos durante dos años al tipo de interés anual del 7%. Se pide calcular cuánto nos tienen que devolver al final del segundo año.

Capital inicial: 100 eurosTipo de interés anual: 7% Vencimiento: 2 años.

Cálculos:

Intereses devengados el primer año: 100 * 7% = 7Intereses devengados el segundo año: (7*7/100) *(100 * 7%) = 0,49 + 7 = 7,49Importe total que recibiremos al final del segundo año: 100 + 7 + 7,49 = 114,49 euros.


En notación matemática

Siendo:

Cn = capital a devolver en el momento n.Co = capital inicial i = tipo de interés.n = numero de periodos transcurridos desde el inicio de la operación.

Si calculamos Cn para un periodo:

Cn = Co + Co*i

Si calculamos Cn para dos periodos:

Intereses devengados el primer año: Co * i Intereses devengados el segundo año: (Co*i*i) + (Co*i) = Co*i2 + Co*iImporte total que recibiremos al final del segundo año: Co + Co * i2 + Co*i = Co *(1+i2+i) = Co * (1+i)2

Si calculamos Cn para tres periodos:

Luego, se puede inferir que para el cálculo del importe a devolver de un capital prestado a interés compuesto, la fórmula aplicable sería:

Cn = Co (1+i) n

Siendo:

Cn = capital a devolver en el momento n.Co = capital inicial i = tipo de interés.n = numero de periodos transcurridos desde el inicio de la operación.

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