Progresión aritmética

Término general de una progresión aritmética

Término general de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.

Si el término inicial de una progresión aritmética es a y la diferencia común es d, entonces el término n-ésimo de la sucesión viene dada por

a + nd, n = 0, 1, 2, ... si el término inicial se toma como el cero. a + (n − 1)d n = 1, 2, 3, ... si el término inicial se toma como el 1º.

La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal.

Generalizando, sea la progresión aritmética

a1, a2, a3, ...., am, ...., an de diferencia d

tenemos que

a1 = a1

a2 = a1 + d a3 = a2 + d ... an-1 = an-2 + d an = an-1 + d

sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:

an = a1 + (n − 1)d (I)

expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia.

Podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos am

y an (m < n) de la progresión anterior y pongámolos en función de a1:

am = a1 + (m − 1)dan = a1 + (n − 1)d

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:

an = am + (n − m)d (II)

expresión más general que cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de que la diferencia negativa, tendremos:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior. d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales. d<0: progresión decreciente. Cada término es mayor que el siguiente.

Interpolación de términos diferenciales

Interpolar k términos diferencialesprogresión aritmética de k + 2

El problema consiste en encontrar la diferencia

Apliquemos (II), an = am + (1:

b = a + (k + 2 − 1)db = a + (k + 1)d

de dónde, si despejamos d:

(III)

Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14.

Calculamos la diferencia de la progresión según

d = 3

Los términos a interpolar serán

Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:

2, 5, 8, 11, 14

Suma de términos de una progresión aritmética

expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de que la diferencia d de una progresión aritmética sea positiva, nula o

: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior. : progresión constante. Todos los términos son iguales. : progresión decreciente. Cada término es mayor que el siguiente.

Interpolación de términos diferenciales

diferenciales entre dos números a y b dados, es formar una + 2 términos, siendo a el primero y b el último.

El problema consiste en encontrar la diferencia d de la progresión.

+ (n − m)d, teniendo en cuenta que a = am, b =

d

Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14.

Calculamos la diferencia de la progresión según (III) haciendo a = 2, b

Los términos a interpolar serán a2 = 5, a3 = 8, y a4 = 11.

Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:

Suma de términos de una progresión aritmética

pues nos da los términos de la progresión conociendo uno

de una progresión aritmética sea positiva, nula o

: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.

: progresión decreciente. Cada término es mayor que el siguiente.

dados, es formar una el último.

= an, n = k + 2 y m =

= 14, k = 3

Suma de términos de una progresión aritmética

Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética.

En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquéllos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión.

Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos.

Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.

Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos

Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n.

Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término cen

Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.

Sea la progresión aritmética de diferencia

Sumemos el primer y último términos:

a1 + an = a1 + [a1 + (a1 + an = 2a1 + (n − 1)

Veamos ahora la suma de dos forma a1 + k y an − k, siempre que

Aplicando (I)

a1 + k = a1 + kdan − k = a1 + (n − k − 1)

Sumamos y obtenemos:

Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término

Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central.

Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.

Sea la progresión aritmética de diferencia d :

Sumemos el primer y último términos:

+ (n − 1)d]− 1)d (IV)

Veamos ahora la suma de dos términos equidistantes de los extremos. Éstos serán de la , siempre que (n − k) > 0.

− 1)d

Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término

Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos

Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una

. Éstos serán de la

a1 + k + an − k = 2a1 + (

el mismo resultado que el obtenido para

Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

a1 + an = a1 + k + an −

El término central de una progresión aritmética con un número impar de términos

En una progresión aritmética con un número impar de términos, aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a

Sea la progresión aritmética acentral ac.

De acuerdo con la expresión del término general en

ac = a1 + (c-1)d

pero para el término central

c =

sustituímos este valor de c y resolvemos:

ac = a1 + ·d (V)

y comparando con (IV) es evidente que:

a1 + an = 2ac

Resumiendo, hemos demostrado que:

a1 + an = a1+k + an-k = 2a

Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.

Suma de todos los términos de una progresión aritmética

+ (n − 1)d

el mismo resultado que el obtenido para a1 + an.

Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

− k

El término central de una progresión aritmética con un número impar de

En una progresión aritmética con un número impar de términos, término centralaquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a

Sea la progresión aritmética a1, a2, a3, ...., ac, ...., an-2, an-1, an de diferencia

la expresión del término general en (I):

pero para el término central

y resolvemos:

(V).

es evidente que:

Resumiendo, hemos demostrado que:

= 2ac = cte (VI)

Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión

los términos de una progresión aritmética

Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

El término central de una progresión aritmética con un número impar de

término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.

de diferencia d, y término

Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión

La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética

La suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

donde a1 es el primer término y

Sea una progresión aritmética de término general

aplicando la propiedad conmutativa de la suma:

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad asociativa de la suma:

pero según IV, y según VI sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor que a1 + an, de manera que:

La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas.

primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

es el primer término y an el último. Demostrémoslo.

Sea una progresión aritmética de término general an y de diferencia d:

aplicando la propiedad conmutativa de la suma:

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad

sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el , de manera que:

La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a órmula para las series aritméticas.

primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad

sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el

ya tenemos la suma de todos los términos de una progresión términos extremos, y el número total de aquéllos.

La utilidad de (VII) se comprende mejor cuando nos las vemos con un número muy grande de términos en una progresión.

Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros múltiplos deinmediato:

a1 = 5 an = 500.000 n = 100.000

Sn = 100.000 Sn = 2,500025 · 1010

más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.

Así también, para hallar la suma de los

lo que también se conoce como

Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 pnúmeros y calculó el resultado de inmediato: 5050.

Esto se puede explicar más detalladamente:

S = 1 + 2 + 3 + ... + (S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 (por la pueden expresar los sumandos en este orden) 2S = (n+1) + (n+1) + (2S = n(n+1) S = n(n+1)/2

(VII)

ya tenemos la suma de todos los términos de una progresión aritmética conociendo sus términos extremos, y el número total de aquéllos.

se comprende mejor cuando nos las vemos con un número muy grande de términos en una progresión.

Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros múltiplos de 5? El resultado es

10

más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.

Así también, para hallar la suma de los n primeros enteros positivos:

lo que también se conoce como número triangular.

Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 pnúmeros y calculó el resultado de inmediato: 5050.

Esto se puede explicar más detalladamente:

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n2) + ... + 3 + 2 + 1 (por la propiedad conmutativa

pueden expresar los sumandos en este orden) +1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1) (hay n sumandos)

aritmética conociendo sus

se comprende mejor cuando nos las vemos con un número muy grande

5? El resultado es

más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.

Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Gauss cuando su profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros

propiedad conmutativa de la suma, se

sumandos)

En el caso del problema de Gauss, n vale 100 y S = 100·101/2 = 5050.