Programación lineal principal
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L6
L1
L2
L3 L4L5
Región Factible
LECTURA
MOTIVACIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
EJEMPLOS BÁSICOS
NOTAS SUGERIDAS
¿PRACTICAS UN POCO MAS?
AUTOEVALUACION
EVALUACION
ACTIVIDADES
![Page 4: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/4.jpg)
CONCEPTO
FUNCIÓN OBJETIVO
RESTRICCIONES
SISTEMA DE RESTRICCIONES
SOLUCIÓN FACTIBLE
PROBLEMASEJEMPLOS
SISTEMA
INECUACIONES
INECUACIONES
ECUACIONES
SISTEMA
ECUACIONES
![Page 5: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/5.jpg)
Ejemplo 1.- x+5=9
x=9-5
x=4
Representación gráfica:
4
Ejemplo 2.- x+y=3X Y
-2 5
0 3
2 1
Representación gráfica
X
Y
4 x=4
x+0y=4
![Page 6: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/6.jpg)
Ejemplo 1.- -x-3<4
-x<4+3
-x<7
x>-7
Ejemplo 2.- x-y>2
Suponemos. x-y=2 X Y
0 -2
2 0
Representación gráfica
Comprobamos la veracidad del semiplano:
para (1;1) en la inecuación x-y>2
1-1>2
0>2 (F)
para (3;0) en la inecuación x-y>2
3-0>2
3>2 (V)
Representación gráfica:
-7
X
Y
-7
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METODOS DE RESOLUCION
POR SUSTITUCION
POR IGUALACIONPOR REDUCCION
GRAFICANDOTABULACION
POR MATRICES
REGRESAR
![Page 8: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/8.jpg)
4x-3y =152x+y =5
X Y
-3 -9
0 -5
3 -1
6 3
4x-3y =15
X Y
0 5
1 3
2 1
3 -1
2x+y =5
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
(x;y)=(3;-1)
(3;-1)
El conjunto solución es el punto de intersección de las rectas
4x-3
y =1
5
2x+y =5X
Y
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METODO DE ELIMINACION POR IGUALACION
4x-3y =152x+y =5
4x-3y =15
4x=15+3y
2x+y = 5
2x = 5 - y
4315 y
x 2
5 yx
25
4315 yy
2(15+3y)=4(5-y)
30+6y=20-4y
6y+4y=20-30
10y=-10
y=-1
3262152)1(5
x
x
x
x25 y
x
(3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y
2x+y =5
4x-3
y =1
5
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METODO DE ELIMINACION POR SUSTITUCION
4x-3y =15
2x+y =5
4x-3y =15
4x=15+3y
2x+y =5
4315 y
x
1
55
15105
102315
52315
54315
2
y
y
y
yy
yy
yy
4315 y
x
341243154
)1(315
x
x
x
x
(3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y
4x-3
y =1
5
2x+y =5
![Page 11: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/11.jpg)
METODO DE ELIMINACION POR REDUCCION
4x-3y =15
2x+y =5
4x-3y =15
(3) 2x+y=5
4x-3y=15
6x+3y=15
10x / =30
x=30/10
x=3
Reemplazando: 2x+y =5
2(3)+y = 5
6+y =5
Y =5-6
y =-1 (3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y
2x+y =5
4x-3
y =1
5
![Page 12: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/12.jpg)
MÉTODO DE GAUSS O MATRICIAL:
2x+y =54x-3y =15
4 -3
2 1
15
5 ?(1era)+(2da)
?(4)+2=0
?(4)=-2
?=-2/4
?=-1/2
-2 3/2 -15/2
2 1 5
0 5/2 -5/2
4 -3 15
0 5/2 -5/2
4x-3y=15
5/2y=-5/2
4x-3y=15
5/2y=-5/2 y=(-5/2).(2/5)
y=-1
4x-3(-1)=15 4x+3 = 15
4x = 15-3
4x = 12
x = 12/4
x = 3
(x;y)=(3;-1)
VIDEO: GAUSS
![Page 13: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/13.jpg)
Sea el sistema de inecuaciones:
6x+3y-4<0
013 yx
Las analizaremos por separado para luego concluir en su conjunto solución.
![Page 14: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/14.jpg)
Sea la inecuación: 6x+3y-4<0
6x+3y<4
3y<4-6x
y<4-6x
3
Condideramos: y = 4-6x
3
X Y
-2 16/3
0 4/3
2 -8/3
Si x=-2 y= 4-6(-2)
3
y=(4+12)/3
y= 16/3
Si x=0 y= 4-6(0)
3
y= 4/ 3
Si x=2 y= 4-6(2)
3
y=-8/3
Por lo tanto:
6x+3y<4 entonces comprobamos:
Para ( 3;0)
6(3)+3(0)<4
18+0<4
18<4 (F)
Para (-1;0)6(-1)+3(0)<4-6<4 (V)
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013 yx
13 xy
13 xy
X Y
-2 7
0 -1
2 5
Suponemos la igualdad: y=3x-1
Comprobamos en la desigualdad
para (3;0)
para (-1;0)
013 yx
)(08
019
001)3(3
v
)(04
013
001)1(3
f
Sea la segunda inecuación del sistema
![Page 16: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/16.jpg)
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Sea el sistema de inecuaciones:
6x+3y-4<0
013 yx
6x+3y-4<
0
01
3
y
x
C.S.
Compruébalo utilizando PROLIN
Digita
6x+3y<=4
3x-y>=1
![Page 17: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/17.jpg)
1. PROBLEMA DE REGIÓN FACTIBLE2. PROBLEMA MAXIMIZAR
3. OPTIMIZAR EL RENDIMIENTO
4. BENEFICIO MAXIMO
![Page 18: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/18.jpg)
Dibuja la región factible asociada a las restricciones:x + y >= 4 y<= 4 y >= xLas rectas asociadas son : r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x
Ejemplo Ejemplo 1:1:
COMPRUEBALO
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Ejemplo Básico 2:Ejemplo Básico 2: Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere fabricar bicicletas de paseo y de montaña , que quiere vender, respectivamente, a 2000 y 1500 nuevos soles, para obtener el máximo beneficio. En la elaboración de la bicicleta de paseo empleará un Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y en la de montaña 2 Kg. de cada metal. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá el herrero para obtener el máximo beneficio?
Solución:
Planteamos según los datos la
función objetivo:
X: número de bicicletas de paseo
Y: número de bicicletas de montaña
F(x;y)= 2000x + 1500y
0x
0y
802 yx
12023 yx
entonces x=0 (L1)
entonces y=0 (L2)
entonces x+2y=80 (L3)
entonces 3x+2y=120 (L4)
x y
0 40
80 0
x y
0 60
40 0Se grafican las rectas y se determina el semiplano del conjunto
solución de cada una de las restricciones
Según las condiciones del problema se plantean las restricciones:
COMPRUEBALO
![Page 20: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/20.jpg)
L1
L2
L3
L4
Determinamos los vértices de la región factible, que son los puntos de intersección entre: L1 y L3; L4 y L3; L4 y L2; L1 y L2
)0;0(
)0;40(
)30;20(
)40;0(
21
24
34
31
DLL
CLL
BLL
ALL
Determinemos el beneficio obtenido en la función objetivo:
F(x;y)= 2000x + 1500y
F(A)=2000(0)+1500(40)
F(A)=60000 nuevos soles
F(B)=2000(20)+1500(30)
F(B)=85000 nuevos soles
F(C)=2000(40)+1500(0)
F(C)=80000 nuevos soles
Observando los beneficios
deducimos que:el herrero
debe vender 20 bicicletas de
paseo y 30 bicicletas de montaña
para obtener el máximo beneficio de 85000 nuevos soles.
AB
CD
COMPRUEBALO
Región Factible
![Page 21: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/21.jpg)
Ejemplo básico 3.-Ejemplo básico 3.- Blanca dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión(A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones, y quiere destinar a esta opción, como mínimo tanta cantidad de dinero como a la B. sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B ¿Qué cantidad debe invertir en cada una de las dos opciones para optimizar el rendimiento global? ¿A cuánto ascenderá? Función objetivo:
F(x;y)= 0,09x + 0,12y
x: inversión en A
y: inversión en BRestricciones:
10
7
2
0
0
yx
yx
x
x
y
x x=0 y=0 2=x x=7 x=y x+y=10
L1: eje y
L2: eje x
L3
L4
L5
L6
X Y
2 0
2 3
X Y
0 7
3 7
X Y
0 0
10 10
X Y
0 10
10 0
L6
L1
L2
L3 L4L5
Región Factible
COMPRUEBALO
![Page 22: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/22.jpg)
L6
L1
L2
L3 L4L5
Región Factible
Soluciones factiblesA(2;2) B(5;5) C(7;3) D(7;0) E(2;0)
F(A)=0,09(2)+0,12(2)
F(A)=0,18+0,24=0,42
F(B)=0,09(5)+0,12(5)
F(B)=0,45+0,60=1,05
F(C)=0,09(7)+0,12(3)
F(C)=0,63+0,36=0.99
F(D)=0,09(7)+0,12(0)
F(D)=0,63+0=0,63
F(E)=0,09(2)+0,12(0)=0,18
Respuesta: Se debe invertir 5 millones en A y 5 en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones
COMPRUEBALO
A(2;2)
B(5;5)
C(7;3)
D(7;0)E(2;0)
![Page 23: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/23.jpg)
4.4. Alfonso es un estudiante que dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea el máximo?Solución:X: nº de impresos diarios tipo A Y: nº de impresos diarios tipo B Función objetivo: F (x,y)= 5 x + 7 yRestricciones:
;0
;0
y
x
120
100
Vértices de la región factible:
A(0;100)
B(50;100)
C(120;30)
D(120;0)
Valores en la función objetivo:
f(A)=7(100)=700
F(B)=5(50)+7(100)=950
F(C)=5(120)+7(30)=810
F(D)=5(120)=600
Respuesta: Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B,
para una ganancia máxima diaria de 950 nuevos soles.
150
150
A B
C
Zona de soluciones factibles
COMPRUEBALO
X
Y
150
100
120
yx
y
x
Región
factible D
![Page 24: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/24.jpg)
Taller 1: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Taller 2: Sistema de Ecuaciones e Inecuaciones.
Taller 3: Programación Lineal
![Page 25: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/25.jpg)
http://descartes.cnice.mec.es/http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/materiales_didacticos/Programacion_lineal/index.htmProgramacion_lineal/index.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/matematicas-rd98/Matematicas/29/matematicas-29.html29.html
Es recomendable que visites estas direcciones, te van ayudar de
mucho.
![Page 26: Programación lineal principal](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081506/5590faad1a28ab39038b46ae/html5/thumbnails/26.jpg)