Programación Lineal JAN
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8/20/2019 Programación Lineal JAN
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PROGRAMACIÓNLÍNEAL(APLICACIÓN)
Unidad de Aprendizaje: Introduccin a !o" M#todo"Cuantitati$o"
Pro%e"or: In&' Mar&arito Caraja! uarez
A!u*na": +ioni"io Arteta Are!i Macie! Gonz,!ez -ern,ndez Nor*a E!izaet.
u"taita oto /enni%er
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Índice
Introducción 3
Fundamentos 4
Desarrollo 7
Ejemplo 8
Ejemplo del M. Simplex 13
Conclusiones !
"i#lio$ra%&a 1
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Introduccin'El si$uiente tra#ajo tiene como %in la presentación de uno de los temas mas
importantes para el al$e#ra lineal' programación lineal.
En el primer apartado se encuentra los Antecedentes, en donde se concentra
la in%ormación cla(e para el desarrollo de este tema) %ue de nuestra elección
incluir la de%inición *istórica) pr+ctica , el por-u es importante para las
ciencias económicas/administrati(as de#ido a -ue al momento de estudiar el
ejemplo presentado nos %ue m+s %+cil entender el Desarrollo de las
de%iniciones maximizar o minimizar, región factible, entre otras.Si #ien el ejemplo presentado es practico de entender no ol(idamos anexar
comentarios en esta presentación para el %+cil entendimiento de los alumnos.
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0a ro$ramación 0ineal estudia la
optimi2ación mejor utili2ación de
recursos de una %unción lineal -ue
satis%ace un conjunto restricciones
lineales de i$ualdad ,5o desi$ualdad. El
pro#lema de pro$ramación lineal %ue
conce#ido por primera (e2 por 6eor$e
". Dant2i$) alrededor de 147 cuando
utili2a#a pro#lemas de operaciones
militares. En 14 pu#licó el mtodo
simplex.
0unda*ento"
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0os modelos de pro$ramación lineal est+n construidos por los si$uientes
elementos #+sicos'
1. La $aria!e de deci"in: son las (aria#les -ue de#en de descri#ir por
completo las decisiones -ue se de#en de tomar) $eneralmente se expresan
por letras del a#ecedario con su#&ndices '
) ) ) ) ) ) ..etc
. Lo" par,*etro": son los (alores -ue descri#en la relación de
utili2ación de cada recurso , permanecen constantes para un pro#lema en
particular.
3. Re"triccione": representan las limitaciones en la utili2ación de
recursos) se expresan como %unciones matem+ticas.
4. 0uncin ojeti$a: Es una %unción matem+tica -ue se utili2a para
medir la e%ecti(idad del modelo en %unción de las (aria#les de decisión
9maximixar o minimi2ar utilidad o costos:
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De manera $eneral) un modelo de pro$ramación lineal tiene la si$uiente
estructura'
;estriccionesde utili2aciónde recursos
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>l$unas (eces se desea *a1i*izar o *ini*izar una %unción sujeta a
al$unas limitaciones o restricciones. or ejemplo) pro#a#lemente un
%a#ricantes desee maximi2ar una %unción de utilidad sujeta a restricciones
de producción -ue imponen las limitaciones so#re el uso de la ma-uinaria ,
la mano de o#ra.
?na %unción lineal en 1 , 2 tienen la %orma'
>un-ue por lo re$ular existe un numero in%inito de soluciones para el
sistema de restricciones llamadas "o!ucione" %acti!e" o punto"
%acti!e"3 la meta es encontrar una -ue sea una "o!ucin pti*a es
decir) uan -ue d el (alor m+ximo o m&nimo de la %unción o#jeti(o.
+e"arro!!o'
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Eje*p!o'?na compa@&a produce dos tipos de a#relatas' manuales , elctricos. ara su
%a#ricación) cada uno re-uiere del uso de tres ma-uinas) >) " , C. En la ta#la seproporciona la in%ormación relacionada con la %a#ricación de dic*os art&culos.Cada a#relatas manual re-uiere del uso de la ma-uina > durante *oras) de lama-uina " por 1 *ora , dela ma-uina C otra *ora. ?n a#relatas elctricore-uiere de 1 *ora de la ma-uina >) *oras de la " , 1 *ora de la C. >dem+ssupon$a -ue el numero m+ximo de *oras disponi#les por mes para el uso de las
ma-uinas >) " , C es de 18!) 1A! , 1!!) respecti(amente. 0a utilidad por una#relatas manual es de B4 , por uno elctrico es de BA. Si la compa@&a (endetodos los a#relatas -ue puede producir) cu+ntos de cada tipo de#e %a#ricar conel %in de maximi2ar la utilidad mensual
Ma4uina
"
Manua! E!#ctrico -r"
di"poni!e" > * 1 * 18!
" 1 * * 1A!
C 1 * 1 * 1!!
Uti!idad5
unidad
B4 BA
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Considere -ue , denota el numero de a#relatas manuales , elctricos)respecti(amente) %a#ricados en un mes. Como el nmero de art&culosproducidos no es ne$ati(o)
,ara la ma-uina >) el tiempo necesario para tra#ajar so#re a#relatasmanuales es *oras) , el tiempo para tra#ajar so#re elctricos es de *oras.0a suma de estos tiempos no puede ser ma,or -ue 18!) de modo -ue
De manera similar) las restricciones para las m+-uinas " , C dan
,0a utilidad es una %unción de , , est+ dada por la función de utilidad
En resumen) se desea *a1i*izar la función objetivo
Sujeta a condiciones de -ue , de#en ser soluciones del sistema derestricciones'
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0a re$ión -ue satis%ace de manera simultanea a todas las restricciones se
llama Re&in 0acti!e'
Si x= ! y= 18!Si y= ! x=90
Si x= ! y=8!Si y= ! x= 1A!
Si x= ! y= 1!!
Si y= ! x= 1!!
!0,"0#
D!0,0#
$!90,0#
A.
"
A ! % 0 ,& 0 #
' ! " 0 ,(
0 #
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Si una re$ión %acti#le puede estar contenida dentro de un circulo) se
denomina entonces re&in %acti!e acotada' De otra manera es no
acotada' Cuando una re$ión %acti#le contiene al menos un punto) se
dice -ue no e" $ac6a7 en caso contrario es $ac6a'
?na %unción lineal de%inida so#re una re$ión %acti#le acotada no (ac&a)
tiene un (alor m+ximo m&nimo -ue puede encontrarse en un (rtice.
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Con A(40,60)
)= *&0+ &0=-(0
Con B(80,20)
)= (0+*(0=%%0
Con C(90,0)
)= &0
Con D(0,0) )= 0
Con E(0,80)
)=%"0
0a solución óptima para un pro#lema de
pro$ramación lineal est+ dada por el (alor
óptimo de la %unción o#jeti(o , el punto
donde ocurre dic*o (alor.
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Eje*p!o de! M#todo
i*p!e1:;esol(er el si$uiente pro#lema'
Maximi2ar = f!x
*,x
( # = x
*+ (x
(
Sujeto a' (x * + x ( / *"
(x * + x ( / %(
x * + x ( / (%
x * 0 , x ( 0
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Se consideran los si$uientes pasos'
8' Con$ertir !a" de"i&ua!dade" en i&ua!dade":
Se introduce una $aria!e de .o!&ura por cada una de las
restricciones) este caso s*, s(, s para con(ertirlas en i$ualdades ,
%ormar el sistema de ecuaciones estandar.
?sando en simplex el si$uiente criterio'
Si$no' Introducir
/ sn
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F;M> ESG>;'
(x * + x ( + s* = *"
(x * + x ( + s( = %(
x *
+ x (
+ s
= (%
. I$ualar la %unción o#jeti(o a cero ,
despues a$re$ar la (aria#les de
*ol$ura del sistema anterior'
1 x *
1 ( x (
= 0
ara este caso en particular la %uncion o#jeti(o ocupa la ultima %ila del
ta#lero) pero de pre%erencia siempre se de(era de colocar como la primer
%ila
Cuando minimi2amos se toma el (alor H positi(o de Fo para
con(ertirlo en ne$ati(o , cuando maximi2amos tomamos el (alor H
ne$ati(o de Fo para con(ertirlo en positi(o.
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9' E"criir e! ta!ero inicia! "i*p!e1:
En las columnas aparecer+n todas las (aria#les del pro#lema ,) en
las %ilas) los coe%icientes de las i$ualdades o#tenidas) una %ila para cada
restricción , la ltima %ila con los coe%icientes de la %unción o#jeti(o'
Iteración
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;esultado de Iteración
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Ga#lero Final
"ase aria#le de
decisión
aria#le de *ol$ura Solución
J1
J
S1
S
S3
J
! 1 /15 ! ! 1
S3
! ! /754 ! 1 3
J1
1 ! /354 ! ! 3
L ! ! N54 ! ! 33
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Como todos los coe%icientes de la %ila de la %unción o#jeti(o son
positi(os) *emos lle$ado a la solución óptima.
0os solución óptima (iene dada por el (alor de L en la columna de
los (alores solución) en nuestro caso' 33.
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Conc!u"ione"Este tema tiene su importancia para esta carrera resumida en dos
pala#ras' *a1i*izar o *ini*izar3 la aplicación m+s comn de
los mtodos de pro$ramación lineal es la a"i&nacin de
recur"o") cuando los recursos son limitados , *a, un manejo de
candidatos compitiendo por el uso de dic*os recursos con el
o#jeti(o de maximi2ar el retorno o minimi2ar los costos entre
otros.
Sin em#ar$o) en cual-uier pro#lema con un modelo matem+tico -ue
cumpla con las si$uientes caracter&sticas , las suposiciones de
pro$ramación lineal.
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i!io&ra%6aOaeussler) E. aul) ;. P. Qood) ;.
!!8. Matem+ticas para
>dministración , Econom&a.
*(a. dición) Edt. rentice/Oall.